Harjoitustehtävien ratkaisuja
|
|
- Aki Kokkonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0, 6. c) 7, 9, 3,, Laske rekursiivise lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku joo yleie jäse o: a) a 5 3 kaikilla ja a a b) a 5 a kaikilla ja a c) a ( ) 5a a), 7, 3, 57, 78. kaikilla ja a b),, 63, 39, 600. c),, 57, 8, Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä: a 3 +, ku., jolla o toki valta ,,,, 0. Samat pisteet löytyvät myös paraabelilta va paljo muitaki pisteitä. y x 3 x Muodosta sellaise lukujoo laskulauseke alkae : arvosta, joka kuvaa lija-autoje lähtemistä 0 miuuti välei alkae kello Joo esimmäie jäse o kelloaika a Joo yleie jäse voidaa ilmaista kirjoittamalla esimerkiksi a +0 a mi, ku,, 3... Toie vaihtoehto o kirjoittaa mi, ku 0,,, 3... Ei vaivata päätämme illa viimeisellä vuorolla. a 3.5 Muodosta sellaise lukujoo laskulauseke alkae : arvosta, joka kuvaa lija-autoje lähtemistä 5 miuuti välei alkae kello Kuika mota kertaa ämä lija-autot lähtevät samaa aikaa tehtävä 4 lija-autoje kassa kello 6 ja 8 välillä? (0)
2 3. Mallitamie lukujooje avulla Joo esimmäie jäse o kelloaika a Joo yleie jäse voidaa ilmaista kirjoittamalla esimerkiksi a +5 a mi, ku,, 3... Toie vaihtoehto o kirjoittaa a mi, ku 0,,, 3... Ei vaivata päätämme illa viimeisellä vuorolla. Kello 6 ja 8 välillä o viisi lähtöä, jotka sattuvat samaa aikaa eli äitte kahde joo yhteiset jäseet kyseisellä välillä ovat: kello 6:00, 6:30, 7:00, 7:30 ja kello 8: Määrittele parittomat luoolliset luvut lukujoo avulla käyttämällä kaikkia kolmea määrittelytapaa. I tapa:, ku,, 3, a II tapa: a, a +, ku, 3, 4, a III tapa:, 3, 5, 7, 9,, 3, 3.7 Määrittele kolmella jaolliset luoolliset luvut lukujoo avulla käyttämällä kaikkia kolmea määrittelytapaa. I tapa: a 3, ku,, 3, II tapa: a 3, a + 3, ku, 3, 4, a III tapa: 3, 6, 9,, 5, 8, 3.8 Etsi sellaise lukujoo jäsee yleie laskukaava, joka viisi esimmäistä jäsetä ovat 7, a 9, 3,, 3. Aloita ideksoiti ykkösestä. 8, ku,, 3, 3 Aritmeettise lukujoo harjoituksia 3.9 Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja. Mikä o tämä joo differessi? b) a 6 ja 3. Mikä o tämä joo differessi? a) 6,, 8, 4, 30. Lukujoo differessi o b) 8,, 6, 0, 6. Differessi Aritmeettise lukujoo ( a ),,, 3,, differessi o ja a 5 0. Laske joo. jäse., ii a a + ( 5 ) ( ), josta 0 ( 5 ) ( ) 4 Koska a a + ( )d 5 a. (0)
3 3. Mallitamie lukujooje avulla Joo. jäse o Aritmeettise lukujoo ( a ),,, 3,, differessi o ja a 5 7. Laske joo 0. jäse. ii + ( 5 ) d 7 Koska, a a + ( )d Joo 0. jäse o 7. a, josta joo 0. jäse o Aritmeettise lukujoo ( a ),,, 3,, differessi o 3 ja a 4. Mikä joo piei jäse, joka o suurempi kui 00? Piei jäse, joka o suurempi kui 00 o 35. jäse eli Laske lukujoo, 3, 5, 7, yleie jäse ja 50. jäse. Koska kaikkie aettuje joo peräkkäiste jäsete erotus o vakio, päätellää, että kyseessä o aritmeettie joo, joka esimmäie jäse o ja differessi o. Kaavasta: ja a ( ) +, ku,, 3, ( 50 ) 99 a 50 + Joo yleie jäse o + ( ) a, ku,, 3, ja 50. jäse o Aritmeettise lukujoo. jäse o 5 ja 00. jäse o 30. Laske se differessi. Kaavasta: 5 + ( 00 ) d 30 a, jote d Differessi o Oko joo a), 4, 7, 0, b), 4, 0,, aritmeettie? a) Koska kaikki laskettavissa olevat, peräkkäiste jäsete erotukset ovat samat, ii joo o aritmeettie. O. b) Koska , ii joo o ei ole aritmeettie. Ei. 3.6 Porraspyramidi alimmaisessa kerroksessa o 4777 kiveä. Jokaisessa kerroksessa o 48 kiveä vähemmä kui heti se alla olevassa kerroksessa. Kuika mota kerrosta pyramidissa o ja kuika mota kiveä o se ylimmässä kerroksessa? Pyramidi kerrokse kivimäärä muodostaa päättyvä, aritmeettise joo. Muodostetaa tämä joo kuki jäse järjestysluvu fuktioa. Jäse : fuktioa o 4777 ( ) 48. Jos vali- a 3(0)
4 3. Mallitamie lukujooje avulla taa, ii. kerroksessa o 4777 kiveä, kute pitää ja jos valitaa, ii. kerroksessa o kiveä eli 48 kiveä vähemmä kui alimmassa kerroksessa kute pitiki olla. Etsitää se kerros, jossa kivie määrä saavuttaa laskeallisesti olla. ( ) , , jote pyramidissa o 00 kerrosta ja 00. kerroksessa o 5 kiveä. Täte pyramidi kerroste kivimäärä saadaa myös sääö 5 + ( ) 48,,,3,..., 00. avulla. Pyramidissa o 00 kerrosta, joista ylimmässä o 5 kiveä. Aritmeettise summa harjoituksia 3.7 Käytä seuraavissa kohdissa aritmeettise summa kaavaa a) a S ( a + a ). b) c) a) Koska jokaie peräkkäise yhteelaskettava erotus o sama 6, ii kyseessä o aritmeettie summa. Se esimmäie yhteelaskettava o 6, erotusvakio o 6 ja viimeie yhteelaskettava o 60. Siksi summa o S b) S c) S a) Summa o 330 b) Summa o 07 c) Summa o Porraspyramidi alimmaisessa kerroksessa o 4777 kiveä. Jokaisessa kerroksessa o 48 kiveä vähemmä kui heti se alla olevassa kerroksessa. Kuika mota kiveä pyramidissa o? Tämä tehtävä voi tietysti ratkaista edellise sarja viimeise harjoitukse avulla suoraa, mutta koska itse kivie määrä ei kuitekaa ole kiiostava, vaa meetelmä jolla se saadaa, ii käytetää mieluummi aritmeettise summa teoriaa. Käytetää maiittua aiempaa tehtävää kuiteki se verra, että todetaa, että pyramidissa o 99 täysilukuista kerrosta ja iitte lisäksi kerros, jossa o 5 kiveä. Kivie kokoaismäärä S o siis ( a + a ) S kappaletta. Pyramidissa o kiveä. 3.9 Yrjäällä o eliömuotoisilla kivillä laatoitettu alue. Laattoja o kahta väriä, siisiä ja valkoisia. Häe aapurisa Teppaa pyytää saada ostaa kivet. Yrjää suostuu, sillä hä päättää muokata kyseise aluee ryytimaaksi. Yrjää ja Teppaa sopivat, että Teppaa maksaa siisistä laatoista,5 euroa kappaleelta ja valkoisista euroa kappaleelta. Kahdesta laata puolikkaasta Teppaa maksaa yhde koko laata hia. 4(0)
5 3. Mallitamie lukujooje avulla Laatoitettu alue o eliömuotoie ja se sivu pituus o kymmee metriä. Siiset laatat muodostavat tasakylkise kolmio, joka kyljet ovat ymmärrettävistä syistä sahalaitaiset ja joka kata muodostaa kivety aluee yhde sivu. Kolmio seuraavassa, kaa suutaisessa siisessä rivissä o yksi laatta vähemmä kui kataa olevassa rivissä. Samoi seuraavassa rivissä ja sitä seuraavassa ja ii edellee o yksi siie kivi vähemmä kui edellisessä rivissä. Vähimmillää siisiä laattoja o rivissä yksi. Kuika paljo Teppaa maksaa Yrjäälle laatoista yhteesä? Ratkaise tämä tehtävä aritmeettise summa teoria avulla. Porraspyramidi alimmaisessa kerroksessa o 4777 kiveä. Jokaisessa kerroksessa o 48 kiveä vähemmä kui heti se alla olevassa kerroksessa. Kuika mota kerrosta pyramidissa o ja kuika mota kiveä o se ylimmässä kerroksessa? Aetuista tiedoista seuraa, että siisiä laattoja o riveissä 0 kappaletta yhde välei. Niitä o + 0 siis yhteesä 0 55 kappaletta. Koska mitää muuta ei saota, o lupa olettaa yksikertaisi mahdollie tilae eli puolikkaita laattoja lukuu ottamatta kaikki laatat ovat yhtä suuria ja eliö muotoisia. Laattoja o kaikkiaa 00 kappaletta, jote valkoisia laattoja o 45 kappaletta, ku kaksi puolikasta lasketaa yhdeksi koko laataksi. Teppaa maksaa siis Yrjäälle 55,5 + 45,00 3,75 euroa. Mahtavatko pyöristää summa johoki suutaa? Teppaa maksaa laatoista 3,75 euroa. 3.0 Nisse huomaa tarvitsevasa portaat, joita pitki hä pääsee kulkemaa kahde taso välillä, joide pystysuoraa mitattu ero o 4,8 metriä. Molemmat tasot ovat tarkallee vaakasuorat ja ii isot, että tila ei portailta lopu. Nisse päättää, että yhdellä askeleella 6 seti ousu sekä 0 seti vaakasuutaie eteemä ovat sopivat. Kuika mota porrasaskelmaa Nisse tekee? Nisse portaitte jokaie askel koostuu yhdestä, kulkusuutaa ähde poikittai olevasta tiilestä, joka leveys käytetää hyväksi portaa askelee syvyyteä kulkusuuassa. Kuika kaukaa ee ylemmä taso reuaa portaat alkavat, jos e eteevät kohtisuorassa tuota reuaa vastaa ja jos Nisse muuraa portaat tiilistä, joide leveys o juuri uo 0 cm? Kuika mota tiiltä hä tarvitsee, jos oletetaa että hä muuraa portaa jokaise kerrokse täytee tiiliä alkae esimmäisestä, jolle astutaa, aia ylemmä kerrokse reua alle alhaalta ylös saakka? Portaiko leveys o sama kui tiile pituus, mutta emme välitä siitä yt. 5(0)
6 3. Mallitamie lukujooje avulla Esimmäisessä kerroksessa o 30 tiiltä, ylimmässä tiili. Jokaisessa kerroksessa o yksi tiili vähemmä kui se alla olevassa kerroksessa tietysti alita lukuu ottamatta, yhteesä Portaat alkavat kuude metri päästä ja askelia tulee 30. Tiiliä tarvitaa 465 kappaletta. 3. Kauppias pioaa peltiset kurkkutölkit sääölliseksi pyramidiksi, joka pohjaa o eliö. Jokaise kerrokse sivussa o yksi tölkki vähemmä kui välittömästi se alla oleva kerrokse sivussa. Kuika mota tölkkiä piossa voi korkeitaa olla, jos alimmassa kerroksessa o 44 tölkkiä? 44. Tölkkejä o yhteesä 650 kappaletta. 3. Kuika paljo o säästettävä kuukaudessa, jos tavoitteea o, että tilillä o kuukausi viimeise säästöerä jälkee korkoiee 050 euroa, ku säästöeriä o 8? Tilille maksetaa,4 proseti vuotuie korko ja talletus tehdää aia kuukaude. päivää, josta alkae kuki talletus myös alkaa kasvaa korkoa. Vihje: Korkoa maksetaa joka kuukaude viimeiseä,4% päivää koko kuukaude saldosta. 8 0,05 + x 050, josta x 57,0. 57,0 euroa. 3.3 Teippirulla ulkoläpimitta o 0 cm ja teipi paksuus o 0,0 mm. Kuika mota metriä teippiä rullassa o, jos teippirulla hylsy eli tyhjä ytime halkaisija o 3cm? 0cm,5cm Teippiä o 45 kerrosta. Kuki kerros o π 0,mm lyhyempi kui ylempää 0,mm oleva, ylimmässä kerroksessa o teippiä π 0cm ja alimmassa π ( 3 cm + 0, mm). Teippirulla teipi määrä voi laskea aritmeettise summa sovelluksea, missä o 45 yhteelaskettavaa, piei yhteelaskettava o π ( 3 cm + 0, mm) ja suuri π 0cm. Teippiä o siis π ( 3cm + 0,mm) + 0πcm 45 54m. Rullassa o teippiä oi 54 metriä. Geometrise lukujoo harjoituksia 3.4 Mitkä seuraavista jooista ovat geometriset? Jos joo o geometrie, ilmoita se suhdeluku. a), 3, 9, 7, 8... b), 4, 9, 64, (0)
7 3. Mallitamie lukujooje avulla c),,, , 0000,, d),,,,,, e) 00, 99, 98, 97, 96, 95, 94 O: a (q 3), c (q 0 ), ei: b, d ja e. 3.5 Geometrise joo esimmäie jäse o 9 ja se suhdeluku o. Laske joo 5. jäse Mikä o seuraava geometrise joo suhdeluku:,,,,,? Kuika suureksi kasvaa 0 euro talletus sadassa vuodessa, jos tilille hyvitetää vuotuista korkoa,5 prosettia koko tuo sada vuode aja, korko liitetää pääomaa eikä tililtä osteta mitää? (Todellisuudessa tili ei ilma muuta kasva korkoa loputtomii.) 8,4 euroa Kuika moes joo,,,,,, jäse o piei, joka o suurempi kui ? 8. jäse. 3.9 Mikä o pitkäaikaistili vuotuise koro oltava, jos halutaa, että kertatalletus kaksikertaistuu kuudessa vuodessa? Korko liitetää taas pääomaa eikä tililtä osteta mitää. Noi, prosettia. Geometrise summa harjoituksia 3.30 Laske geometrise lukujoo, 4, 8, 6, 3, 64 kahdetoista esimmäise jäsee summa Laske geometrie summa Kuika mota geometrise joo a, jäsetä o laskettava yhtee, jotta summa ylittää 000? Mikä o piei summa, joka o suurempi kui 000? 48 jäsetä. Summa o tällöi oi 056,9. 47 jäsee summa olisi oi 959,7. suuri arvo (: fuktioa), joka o pieem Kuika suuri o geometrise summa i 7 pi kui miljooa? i 7(0)
8 3. Mallitamie lukujooje avulla Yhtälöstä saadaa 87 ja summa o oi ,763; : arvolla i 88 8 summa o ,05 ja siis suurempi kui i 7 Noi ,763. Geometrista summaa soveltavia harjoituksia 3.34 Hitsa Kaapi tallettaa vuode aja pakkii rahaa aia vuode alussa 000 euroa. Kuika paljo häellä o rahaa tilillää. vuode lopussa, ku Hitsa ei osta rahaa koko aikaa yhtää ja ku tilille maksetaa korkoa,5 prosettia vuodessa ja ku korko lisätää pääomaa? 4 40,44 euroa Jösse Sakko poimi masikoita. Helle oli kova. Häe esimmäise päivä ettosaaliisa oli 6,00 kiloa marjoja. Kuumuus kävi päälle ja iipä häe päivä ettotuloksesa oli toisesta päivästä alkae joka päivä viisi prosettia pieempi kui edelliseä päivää. a) Kuika paljo hä sai kasaa kahde työviiko aikaa? b) Kuika kaua hä joutuisi tekemää töitä samoje ehtoje vallitessa jotta hä saisi kasaa 00 kiloa puhtaita marjoja? c) Mikä olisi häe esimmäise työpäivä ettosaaliisa, jos häe kahde työviiko ettotuloksesa olisi 60 kiloa ja edellee jokaie päivä olisi viisi prosettia edellistä huoompi alkae toisesta työpäivästä kute aluperiki oli asialaita? d),98 kg e) 00,47 kg f) kiloa Esimerkistä 8: Erico lähettää avaruutee kohti α Cetauria laittee, joka tehtävä o seuraava. Ku se o saapuut perille, se tekee itsestää heti kaksi kopiota ja lähettää e kahdelle muulle tähdelle, mutta ei Aurigo luo. Ku ämä kaksi laitetta saapuvat määräpäähäsä, e tekevät puolestaa itsestää kaksi kopiota ja lähettävät e kohti kahta sellaista tähteä, joille laitetta ei ole vielä lähetetty. Mikää laite ei koskaa lähetä kopiotaa kohti Aurikoa.. Kuika mota sukupolvea riittää kattamaa Liurada kaikki 00 miljardia tähteä? 38 sukupolvea Valpuri Iamaalla o 300 -litraie sadevesityyri. Kuo sateella tyyrii tulee vettä 0 litraa tuissa, mutta samaa aikaa pohjassa oleva reikä päästää hukkaa kolme prosettia edellise tui aikaa sataeesta vedestä. Täyttyykö tyyri ollekaa ja jos täyttyy, kuika kaua täyttymie kestää? Täyttyy alle 76 tuissa Keväällä, toukokuu alussa Valpuri istuttaa puutarhaasa 3000 uutta kukataita. Valitettavasti joka viikko kukista kuihtuu 4 prosettia. Tilalle Valpuri istuttaa uskollisesti joka viik- 8(0)
9 3. Mallitamie lukujooje avulla ko 360 uutta taita. Kuika paljo Valpurilla o eläviä kukkia syyskuu lopulla eli viikkoa myöhemmi? 589 kpl Ralliauto saavuttaa edellää ajavaa autoa ii, että autoje välimatka lyheee joka sekuti kolmee eljäsosaa jäljellä olevasta. Kuika kaua kestää, että autot ovat metri päässä toisistaa, jos lähestymie alkaa 350 metri päästä? Noi sekuissa. Rekursiivise lukujoo harjoituksia 3.40 Laske vähitää 30 Fiboacci joo esimmäistä jäsetä taulukkolasketaohjelmalla käyttämällä joo rekursiivista määritelmää. Solu B sisältö: Solu B3 sisältö: Solu B4 sisältö: B3+B 3.4 Laske rekursiivise lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku joo määritellää seuraavalla tavalla: a, ku, 3, 4, ja a. a 3.4 Nii saotut Lucasi luvut määritellää rekursiivise lukujoo sääö avulla seuraavasti: a a a, ku 3, 4, 5, ja a, a 3. Laske joo kuusi esimmäistä jäsetä Nii saotut Pelli-Lucasi luvut määritellää rekursiivise lukujoo sääö avulla seuraavasti: a + a a, ku 3, 4, 5, ja a, a. Laske joo kuusi esimmäistä jäsetä. 5 9 ( + ) ( ) [Aalyyttie säätö: a,,, 3, ] 3.44 Sovella harjoitukse 4 säätöä tapauksee, missä a, a 3 ja laske tämä uude joo kuusi jäsetä (0)
10 3. Mallitamie lukujooje avulla 3.45 Sovella Fiboacci joo säätöä sellaisee tapauksee, missä a a ja laske se 0 jäsetä Laadi kertoma - fuktio luvut tuottava joo rekursiivie säätö. a a, a a a +, ku 3, 4, 5,... a 3.47 Laadi lukujoo joki rekursiivie ja joki aalyyttie säätö, ku se esimmäiset jäseet ovat,, 3,, 5. Rekursiivie säätö: a, a a +, ku,3,4,.... Aalyyttie säätö : a, ku,3,4, Laadi lukujoo joki rekursiivie ja joki aalyyttie säätö, ku se esimmäiset jäseet ovat 458, 486, 6, 54, 8. Laske joo 6. jäse. a Rekursiivie säätö: a 458, a, ku,3,4, Aalyyttie säätö : a, ku,,3, Laadi Esimerkkii 37 liittyvä taulukko Laadi lukujoo joki rekursiivie ja joki aalyyttie 4 säätö, ( 0 3) ku se esimmäiset jäseet ( ) ovat, 4, 0, 8, 8, 44, 5 730, 88. a Aalyyttie säätö Rekursiivie säätö 4 ( ) ( a ) Rekursiivie säätö: a, a 3 +, ku,3,4,.... Aalyyttie säätö : a 3 +, ku,,3,... 0(0)
3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia
3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisuja
3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,
Lisätiedot3.6. Geometrisen summan sovelluksia
Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa
Lisätiedot3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
Lisätiedot2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
Lisätiedot3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p
MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha
LisätiedotLasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:
Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotGeometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200
Geometrie lukujoo 7. Geometrise lukujoo esimmäie jäse o = 0 j peräkkäiste jäsete suhde =. Määritä lukujoo kolme seurv jäsetä. = 0 = 00 = 0 = 800 = 0 = 00 8. Geometrie lukujoo lk seurvsti: ), 0, 0, b) 000,
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotR S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.
9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o 99. 0. Lukujoo rekursiivie
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
Lisätiedotja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S
3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
Lisätiedot117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.
a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
Lisätiedot3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
LisätiedotEräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.
POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
Lisätiedot4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
Lisätiedot1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu
81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje
Lisätiedotja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:
10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotAritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
Lisätiedota) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on
Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)
LisätiedotRuletti ja Martingaalistrategia
POHDIN projekti Ruletti ja Martigaalistrategia Ruletti o uhkapeli, jossa pelaaja pyrkii veikkaamaa kuula pysähtymiskohda pyörivältä kehältä. Euroopassa käytettävässä ruletissa o käytössä 37 umeroa (0-36)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)
Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
Lisätiedotmäärittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.
Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
Lisätiedot3.7. Rekursiivisista lukujonoista
.7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
Lisätiedot2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt
Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3
83 Tekijä Pitkä matematiikka 7..07 a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0
LisätiedotTehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.
POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedot10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.
10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia
Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.
LisätiedotTarkastellaan ympyräsylinterin käyttäytymistä eri muotoisilla tukipinnoilla. Oletetaan sylinterin vierintävastus merkityksettömäksi.
NURJAHDUS ERUSKÄSITTEITÄ Katava raketee mitoitusperusteet ovat ujuus jäitykset eivät ylitä iille sallittuja arvoja Jäykkyys siirtymät ja muodomuutokset pysyvät ealta määrätyissä rajoissa Stabiilius raketee
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotTalousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231
Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Jonon neljä ensimmäistä jäsentä saadaan sijoittamalla n= 1, n= 2, n= 3 ja n = 4 lausekkeeseen
TEHTÄVIEN RATKAIUT Luku 5. 0. ) Joo eljä esimmäistä jäsetä sd sijoittmll,, j lusekkeesee +. + + 5 + + 7 + 6+ 9 + 8 + b) ijoitet,, j lusekkeesee + ( ). + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + Vstus: ) 5, 7, 9, b),,,
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu
111A Tietoraketeet ja algoritmit, 016-017, Harjoitus, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje kompleksisuusluokat
LisätiedotMAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotAritmeettinen summa Laske. a) b) 23 + ( 24) + ( 25) + ( 26) + ( 27) + ( 28) Ratkaisu.
Aritmeettinen summa 403. Laske. a) 101 + 103 + 105 + 107 + 109 + 111 b) 3 + ( 4) + ( 5) + ( 6) + ( 7) + ( 8) a) 636 b) 153 404. ijoita ensimmäinen yhteenlaskettava a1, viimeinen yhteenlaskettava an sekä
LisätiedotRatkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2
Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku
LisätiedotMAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
Lisätiedot5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat
2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä
LisätiedotPotenssi a) Kirjoita potenssiksi ja 7 ( 7) ( 7) ( 7). b) Kirjoita kertolaskuksi 9 6 ja ( 11) 3. Laskuja ei tarvitse laskea.
Potessi 9. ) Kirjoit potessiksi j 7 ( 7) ( 7) ( 7). Kirjoit kertolskuksi 9 j ( ). Lskuj ei trvitse lske. ) 5 j ( 7) 9 9 9 9 9 9 j ( ) ( ) 9. Lske. ) 0 7 9 ) 000 9 8 9. Lske. ) ( ) ( ) ) 7 95. Yhdistä prit.,
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
Lisätiedotj = I A = 108 A m 2. (1) u kg m m 3, (2) v =
764A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 6 Kevät 28. Tehtävä: Aiemmi olemme laskeeet kupari johtavuuselektroie tiheydeksi 8.5 28 m. Kuparijohdossa, joka poikkipita-ala o mm 2, kulkee A: virta. Arvioi Drude
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
Lisätiedot= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.
.. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Lisätiedotdx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
LisätiedotKenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
LisätiedotMAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotLaudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto
Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7
LisätiedotHuom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).
Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka
LisätiedotBM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8
(b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi
Lisätiedot3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot
3. Polyomifuktio kulku. Lokaaliset ääriarvot Tähäastiste opitoje perusteella osataa piirtää esiasteise polyomifuktio kuvaaja, suora, ku se yhtälö o aettu. Osataa myös pääpiirtei hahmotella toise astee
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Lisätiedotc) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
LisätiedotTunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA
Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat
LisätiedotGeneroivista funktioista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Maria Kyröläie Geeroivista fuktioista Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tamperee yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö KYRÖLÄINEN, MARIA: Geeroivista
Lisätiedotjoissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie 1999 Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a 1,a,...,a ja b 1,b,...,b pätee Cauchy epäyhtälö (a 1 b 1 + a
Lisätiedot