R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.
|
|
- Noora Järvenpää
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o Lukujoo rekursiivie lauseke a + = a + 0 ja a = 0 Lasketaa lukujoo termejä. a = 0 a = a + 0 = a = a + 0 = = a 4 = a + 0 = = a 5 = a = = a 6 = a = = a = 0 + ( ) 0 = = 0 + 0, Vastaus: Aalyyttie lauseke o a = 0 + 0,. KETAUHAJOITUKIA 7. Vastaus: T x = 6 y = 5, x+ y = 46 T x+ y = 4 y = 4 x b 5, x+ 4 x = 46 5, x+ 86 4x = 46 g 5, x = 40 : 5, x = 6 y = 4 6 = b g 46
2 8. Vastaus: y = x Ty x = 0 x x = 0 x = x = y = T x = y = 9. T T 4x 0y = 6 6x+ 5y+ 9 = 0 x 0y = 8 x+ 0y+ 8 = 0 8 = 8 Vastaus: Yhtälöpari toteuttavat kaikki suora 4x 0y = 6 pisteet. 40. T T x y = 6 x+ y = x 4y = 6 x+ 4y = 0= 4 Vastaus: Ei ratkaisua. 4. T T T ( x+ y) + ( x y) = 7 5( x+ ) ( y+ ) = x+ y+ x 6y = 7 5x+ 0 4y 6= 5x 4y = 7 5x 4y = 7 0= 0 Vastaus: Yhtälöpari toteuttavat kaikki suora 5x 4y = 7 pisteet. 47
3 4. x+ y + = 4 4 x y = T T T x+ + 4y = 9 x+ y = x+ 4y = x+ y = 6 5y = 5 y = x + = 6 Vastaus: x = 7 T : 5 x = 7 y = 4. Kaupugi A asukasmäärä y t: vuode kuluttua y = t Kaupugi B asukasmäärä y t: vuode kuluttua y = t Asukasmäärät yhtä suuret t = t :b g 600t = t = 4 Asukasmäärä o tällöi y = = Vastaus: Kaupukie asukasmäärä o sama eljä vuode kuluttua ja tällöi asukkaita o Vuxa x Ugdomar y T T x+ y = 600 x+ 8y = 4 00 x y = 9 00 x+ 8y = y = y = 50 b :b g g x + 50 = 600 x = 50 varet: 50 vuxa och 50 ugdomar har köpt biljetter. 48
4 45.a) x 5y = 7 T x+ 7y = 4 Piirretää suorat koordiaatistoo laskemalla joitai suora pisteitä. atkaistaa y piirtämistä varte. x 5y = 7 7 y y = x x y = x =,4 x + 7y = x 5y = 7 (, ) 5 6 x x+ 7y = 4 4 y = x x y = x , 4 atkaistaa yhtälöpari laskemalla x 5y = 7 T T x+ 7y = 4 6x 5y = 6x 4y = 8 b g 9y = 9 y = sijoitetaa ylempää yhtälöö bg x = x 5 = 7 Vastaus: x = ja y = b) x+ 6y = 4x 7y = T Piirretää suorat koordiaatistoo. atkaistaa piirtämistä varte yhtälöstä y. 49
5 x+ 6y = y = x 4 x y = x = 0,5 4 4 =,5 4x 7y = 4 y = x x y = x , 9 4 4, Kuvaajasta saadaa x 04, ja y 0 atkaistaa yhtälöpari laskemalla x+ 6y = 4 4x 7y = T b g x+ 4y = 6 T 9 x+ y = 45y = x + 6y = 4x 7y = y = sijoitetaa ylempää yhtälöö F 0 x + 6 H G I 0 K J = x = + 5 x = 0 x = y 5 6 x 50
6 Vastaus: x = 0 ja y = Lota luut x x + 6 Veti luut y y % + 5 % = 5 % =,5 00 %,5 % = 87,5 % = 0,875 aadaa yhtälöpari T x = 5, y y+ 6 = x+ 6, b g ijoittamalla saadaa y+ 6= 0875, 5, y+ 6 y = 8 x = 5, y= 5, 8= 0 b Vastaus: Lotta o jemmaut 0 luuta. g 47. Kirjoiti A tulostaa x kpl ajassa h 55 mi = 5 mi x Kirjoittime A opeus 5 Kirjoiti B tulostaa 00 x kpl ajassa h 0 mi = 90 mi Kirjoittime B opeus 00 x 90 Kirjoitita B käytetää h 0 mi = 80 mi, jolloi se tulostaa x = 90 8 b 9 00 xgkpl Kirjoitita A käytetää h 0 mi = 0 mi, jolloi se tulostaa 0 5 Yhteesä A ja B tulostava 00 kpl eli b xg + x = x 6x + = x = 07 9 x = 55 Kirjoittime A opeus: 55 kpl / mi = 4,8 kpl/mi Kirjoittime B opeus kpl/mi = 7, kpl/mi 90 x 6 = x kpl 5
7 Nopeampaa käyttäe 00 mi = 66 7, mi 67 mi = h 47 mi. Vastaus: Nopeudet A 4,8 sivua miuutissa ja B 7,. Jos käytetää vai kirjoitita B aikaa kuluu h 47 mi. Yhtälöryhmie sovelluksia 48. T y = x + x y = x ijoittamalla saadaa x + x = x x x = 0 b g b g b g ± 4 x = x = ± e j = + x = + = + y = x = + e j = x = = y = x = Vastaus: Leikkauspisteet ovat (+, + ) tai (, ) 49. Tageti yhtälö o y = 4x, jote se kulmakerroi o 4 ja derivaata arvo kohdassa x = o 4. Paraabeli kulkee pistee (,4) kautta, jote koordiaatit x = ja y = 4 toteuttavat paraabeli yhtälö. y = f( x) = ax + c ( ) f ' x = ax aadaa yhtälöpari f () = 4 f ' () = 4 a + = a = 4 c 4 a+ c = 4 a = sijoitetaa ylempää + c = 4 c = Jote paraabeli yhtälö o y = x +. Vastaus: Paraabeli yhtälö o y = x +. 5
8 50. Paraabeli yleie yhtälö o muotoa f x ax bx c. Yhtälö toteuttavat paraabeli pisteet ja vai e. aadaa yhtälöryhmä. 4, = 5 b g a b c (, 6) a + b + c= 6 b, g a b g + b b g+ c = 6a+ 4b+ c= 5 T 4a+ b+ c= 6 4a b+ c = bg= + + Laskemalla kaksi alita yhtälö yhtee saadaa 8a+ c= 8 ja edellee c = 4a 4. ijoittamalla tämä ylimpää yhtälöö saadaa 6a+ 4b 4a 4 = 5, josta b = a. ijoitetaa b ja c keskimmäisee yhtälöö 4 F I HG K J =, josta 4a+ a 4a a = 4 b = a 4 = 4 4 = c = 4a 4= 4 4 = 5 4 Paraabeli yhtälö fbg= x x x 5 4 Huippu saadaa derivaata ollakohdasta f 'bxg= x x = 0 x = y = 4 5 = 6 Vastaus: Paraabeli yhtälö fbg= x x x 4 ja se huippu o pisteessä, 6. b g 5. a) a+ b+ c = T a b+ c= 4 a b c= 4 Laskemalla kaksi ylitä yhtälöä yhtee saadaa 4a+ 4c= 6, josta a = 4 c. ijoittamalla tämä ylimpää yhtälöö saadaa 5
9 b g ja edellee b =. ijoitetaa tämä yhtälöryhmä alimpaa 4 c + b+ c= yhtälöö. a c = 4, eli a = c. Toisaalta a = 4 c, jote c = 4 c, eli c = ja a =. b) T a+ b+ c= 0 5a 5b+ c= 0 a b c= atkaistaa ylimmästä yhtälöstä a ja sijoitetaa keskimmäisee. 5 b c 5b+ c= b g 0 b = 04, c b g a = 04, c c= 06, c b g b g ijoittamalla ämä alimpaa saadaa 06, c 04, c c=, josta c = 5, b = 04, 5, = a = 06, 5, = 5, Vastaus: a) a =, b = ja c = b) a =,5; b = ja c =,5 5. a) 0x+ 0y = 0 T 0x 0y 0z = 0x 0z = atkaistaa ylimmästä yhtälöstä y ja alimmasta z sekä sijoitetaa ämä keskimmäisee. 0x 0y 0z = y = x, z = x 0 b g I 0x 0 x 0 x HG 0 K J = 0x = x = 0, y = 0, z = 0, 0, = 0, b) x+ y 4z = 6 F x+ y+ z = 0 T x+ y 8z = 7 atkaistaa keskimmäisestä yhtälöstä x ja sijoitetaa alimpaa yhtälöö. x+ y 8z = 7 x = y+ z b g 7 y+ z + y 8z = 54
10 4y = 7+ z x = y+ z= 7 + z+z= z 4 4 ijoitetaa kummatki ylimpää yhtälöö x+ y 4z = 6 x = + z, y = + z 4 4 F F 7 5 I HG 4 K J I z + + z HG 4 K J z = z = 05, 7 y = + z 4 = 7 + b 05, g=, x = + z 4 = b 05, g = 0,5 4 Vastaus: a) x = 0,; y = 0, ja z = 0, b) x = 0,5; y =,5 ja z = 05, 5. x+ z = T x+ y = 0 y+ z = atkaistaa kahdesta ylemmästä yhtälöstä y ja z muuttuja x avulla ja sijoitetaa alimpaa yhtälöö. y+ z = z = x, y = x x + x = x = z = y = Vastaus: x =, y = ja z = 54. Oskari ikä x, Leea y ja Alice z x+ y+ z = 56 y = x sijoitetaa muihi z 4 = ( y 4) x+ x+ z = 56 z 4 = (x 4) 4x+ z = 56 eli z = 4x+ 56 sijoitetaa alempaa 6x + z = 4 6 x+ ( 4x+ 56) = 4 x = 6 55
11 y = 6 = 48 Vastaus: 48 vuotta Koordiaatisto tasoalueet ja lieaarie optimoiti 55. y T y x+ y x+ Piirretää rajasuorat laskemalla suorie leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa. y = o x-akseli suutaie ja kulkee pistee x = 0, y = kautta. y = x+ x = 0, y = y = 0, x = =,5 y = x+ x = 0, y = y = 0, x = 5 4 y 4 x Koska y, alue sijaitsee suora y = yläpuolella. Vastaavasti alue sijaitsee suorie y = x+ ja y = x+ alapuolella. ajasuorat tulevat mukaa. 56. y T x 0 x+ y 0 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa. y = o x-akseli suutaie ja kulkee pistee x = 0, y = kautta. x = 0 o y-akseli y = B x + y = 0 y A y+ x =0 x = 0, y = 0 Tälle suoralle pitää laskea vielä toie piste x =, y = 4 O x = 0 x 56
12 Alue sijaitsee suora y = alapuolella ja y-akseli vasemmalla puolella. ijoitetaa piste, alimmaisee epäyhtälöö b g x+ y tosi Koska alimmaieki epäyhtälö toteutuu kyseessä o kolmio OAB. Määritetää kärkipisteide koordiaatit O(0,0) Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A(0, ) y = B Tx+ y = 0 ijoittamalla saadaa x + = 0 x = B, b g Lasketaa kolmio piiri. OA = 0 = AB = OB = Piiri + = 8 = p = + + = 6 + 0, V astaus: Piiri o 6 + 0, 57. x 0 T y 5x y 6 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa. x = 0 o y-akseli y = o x-akseli suutaie ja kulkee pistee x = 0, y = kautta. C x = y y = B 4 5x y = 6 x 5x y = 6 x = 0, y = 8 y = 0, x =, 7 8 A Alue sijaitsee y-akseli vasemmalla puolella ja suora y = alapuolella. ijoitetaa piste (, 0) alimmaisee epäyhtälöö. 5x y tosi 57
13 Koska kolmaski epäyhtälö toteutuu, kyseessä o kolmio ABC. Lasketaa kolmio kärkipisteet Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A(0, 8 ) y = B T 5 x y = 6 ijoittamalla saadaa 5x = 6 5x = 0 x=4 B(4, ) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0, ) Lasketaa lausekkee x + y arvot kolmio kärkipisteissä Piste x + y A(0, 8 ) 0 8= 8 piei B(4, ) 4 + = 0 suuri C(0, ) 0 + = Vastaus: Piei arvo o 8 ja suuri x = y = x Ty + = 0 Piirretää rajasuorat koordiaatistoo. x = o y-akseli suutaie ja kulkee pistee x =, y = 0 k autta y y = x x = 0, y = 0 x =, y = y + = 0 y = x-akseli suutaie suora, joka kulkee pistee x = 0, y = x Koska alue o suora x = vasemmalla puolella, x < Koska alue o suora y = yläpuolella, y > Koska alue o suora y = x alapuolella, y < x aadaa epäyhtälöryhmä x < T y < x y > V astaus: x <, y < x ja y > 58
14 59. Tehdää taulukko Baaai (00 g) x C (mg) 0x B6 (mg) 0,6x hita ( ) 0x = 0 x Appelsiii y 49y 0,06y 0y, = y yhteesä 70,0 0x + y vähitää Optimoitava lauseke o tuotto 0x + y, joka piei arvo haetaa ajoite-epäyhtälöt x 0 y 0 0x+ 49y 70 T 06, x+ 006, y Piirretää suorat laskemalla leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa 0x+ 49y = 70 x = 0, y = = 7 4, y = 0, x = 7 06, x+ 006, y = x = 0, y = y = 0, x = = , 6 x = 0 o y-akseli y = 0 o x-akseli, = 00 06, 6 56, ijoitetaa piste (,) T 06, + 006, Koska kaksi alimmaista ei toteudu, kyseessä o äide suorie yläpuolie alue. Lasketaa avoime aluee BAC kärkipisteide koordiaatit 0x+ 49y = 70 A T 06, x+ 006, y = atkaisemalla ylemmästä yhtälöstä x ja sijoittamalla alempaa saadaa 0 x = 70 49y x = 7 49, y b g 06, 7 49, y + 0,06y = 5 C appelsiiit (00 g) A baaait (00 g) B 59
15 , 704y = 0, 5 y = 65 y 0, x = 7 49, 65 x = x 550, A(5,50; 0,) Piste B o laskettu piirtämise yhteydessä B(7, 0) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0;,) Lasketaa optimoitava lausekkee 0 x + 5y Piste 0x + y A(5,50; 0,) 0 55, + 0, =, 7 piei B(7, 0) = 40 C(0;,) 0 0 +, = 99, 6 Baaaeja 5,50 00 g = 550 g Appelsiieja 0, 00 g = g Vastaus: Baaaeja 550 g ja appelsiieja 0 g. 60. Tehdää taulukko uusi x ruskea laka (g) 400x vihreä laka (g) 400y hita (mk) 700x vaha y 600y 00y 600y käytössä korkeitaa x +600y Optimoitava lauseke o tuotto 700x + 600y, joka suuri arvo haetaa ajoite-epäyhtälöt vahakuosi (g) x 0 y 0 400x+ 600y 7 00 T 400 x+ 00 y Piirretää suorat laskemalla leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa 400x+ 600y =7 00 x = 0, y = y = 0, x = 8 400x+ 00y =4 800 x = 0, y = 4 y = 0, x = C x + 00y = B 400x + 600y = 7 00 A uusikuosi (g) O
16 x = 0 o y-akseli y = 0 o x-akseli ijoitetaa piste (,) 0 T Kaikki epäyhtälöt toteutuvat, jote kyseessä o elikulmio OABC Lasketaa kärkipisteide koordiaatit O(0, 0) Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A(, 0) 400x+ 600y = 7 00 B 400x+ 00y = T atkaistaa alemmasta y ja sijoitetaa ylempää 400x+ 00y = y = x :00 y = 4 x sijoitetaa ylempää 400x+ 600 ( 4 x) = x = 7 00 : b 800g x = 9 y = 4 x = 4 9 = 6 B(9, 6) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0,) Lasketaa optimoitava lause kkee 700x + 600y arvot kärkipisteissä Piste O(0, 0) 700x + 600y = 0 A(, 0) = B(9, 6) = 9900 suuri C(0,) = 7 00 Vastaus: Uusikuosisia 9 ja vahakuosisia Tehdää taulukko aika ( h) raaka-aieet ( ) tuotto ( ) esie A x,5x 5x 5x esie B y 5y 0y 8,y yhteesä korkeitaa x + 8,y Optimoitava lauseke o tuotto 5x + 8,y 6
17 ajoite-epäyhtälöt x 0 T y 0 5, x+ 5y 40 5x+ 0y 00 Piirretää suorat laskemalla leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa 5, x+ 5y = 40 x = 0, y = 8 y = 0, x = 6 5x+ 0y = 00 x = 0, y = 0 y = 0, x = 40, x = 0 o y-akseli y = 0 o x-akseli ijoitetaa piste (,) T, Kaikki epäyhtälöt toteutuvat, jote kyseessä o elikulmio OABC Lasketaa kärkipisteide koordiaatit O(0, 0) Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A( 40, 0) B T 5, x+ 5y = 40 5x+ 0y = 00 atkaistaa ylemmästä y ja sijoitetaa alempaa 5y = 40 5, x :5 y = 8 05, x b g 5x , 5x = 00 sijoitetaa alempaa 0 C B (kpl) 5x + 0y = 00 5x = 40 x = 8 y = 8 05, x= 8 05, 8=4 B(8, 4) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0,88) Lasketaa optimoitava lausekkee 5x + 8,y arvo kärkipisteissä B,5x + 5y = 40 A (kpl) O A 6
18 Piste 5x + 8,y O(0, 0) , 0 = 0 A( 40, 0) , 0 suuri B(8, 4) , 4 =, C(0,) , = 99, 96 uuri pisteessä A Vastaus: Esieitä A 40 kpl,eikä yhtää esiettä B Lukujoot 6. a) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö a a + +( ) =+ b) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö,,, 0,77, 0,7, 0,7 0,59 0,77 0,7, 0,7 0,7... a a 0,7, 0,7 c) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö a + ( ) = + ( ) Vastaus: a) a = + b) a =, 0,7 c) a = 6
19 6. a = + a = + = a 00 = = 0 0 a 0000 = = a = = a = a = = 0 b g a b g = = = b g a = = = = b g a 4 4 = 4 = 4= b g a 5 5 = 5 = 5 = = Vastaus: 0,,,, a F I = + HG K J b g F I = HG 00 K J =,... F I = + HG 000 F I = + HG a = + = a a = 76,... KJ a e =, =, KJ Vastaus: Luvut eroavat 4. desimaalissa. 66. a a = b g b = b g b a = = g g 9 64
20 b g b g 45 b g = 4 b g 89 b g = 5 b g 79 F I HG K J = a = = 4 a 4 = 4 5 a 5 = Vastaus: Pii kaksidesimaalie likiarvo 46,... 4, 67. Ylläpitoaoksia o. vrk: aikaa ja muia, yhteesä 8 aosta. Näppäillää laskimella 400 = AN x 0, = (paietaa =-merkkiä 8 kertaa) Vastaus: 48 mg Aritmeettie ja geometrie lukujoo 68. Esimerkiksi a) 9, 8, 7, b) 9, 8, 79, c) 9,9,9, 69. a) a = 9+ ( ) = + 7, a 5 = = 7 b) a = + ( ) ( ) = + 5, a 5 = 5 + 5= 40 5 F I c) a = + ( ) HG K J = +, a 5 = 5 + = 70. a = a + ( ) d a) a = a + 0 9d 47 = a a = a = + ( ) 5= 5 a 00 = 5 00 = 497 b) a8 = a+ 7d = a + 7 0, b g b g a = +,4 = 4,4 a = 44, + ( ) 0, = 0, + 46, a 00 = 0, , = 54, 65
21 c) a4 = a + d = a 5 + a = 5 = a = ( ) = 5 a 00 = 00 9 = 45 9 Vastaus: a) a = 5, a 00 = 497 b) a = 0, + 4,6, a 00 = 5,4 5 9 c) a =, a 00 = a = a q a = 6 q = = a b g b g = 7 a 7 = = 458 Vastaus: =, a = a b g a) a = a q = 4, 5 a 5 = = 4, 8, 944 b) a = a q = a 0, b a = = 5 0, a g b g b g = 5 0, 5 a 5 = 5 0, = 0, 04 5 c) a 6 = F H G I K J 5 5 a 5 6 F = H G I K J = 4 8 Vastaus: a) 5 c) a 6 = F H G I K J a 4, =, 5 8, 944, 5 a = a = b) = 5 0,, a = 4 8 a b g 5 0, 04 66
22 7. a+ = a 5, a = 4 a = 4,5 =,5 a = 4,5 a 4 = 4,5 a = 4 5 = 5 + 6, b g,, 5 Vastaus: a =, 5+ 6, a0 = a + 0 d 00 = a + 9 a = = 4 a = a + ( ) d 4 = 4+ = 0 b b g g 0 = = 4 o oltava luoollie luku, jote 4 ei kuulu jooo Vastaus: a = 4, luku 4 ei kuulu jooo. 75. a) 77 = 5 + = 7 = 4 b) 77 = 0 4 ( ) 77 = = 8 = 7 Vastaus : a) 4. b) a = a + 6 = 5 + 4d 4d = 7 4d d = 4 a = a+ d 5 = a + 4 a = 4 67
23 a 00 = = Vastaus : a 4 =, a 00 = a + a + a = T a + a + a = a = a+ d a = a + d a = a + d 4 a6 = a+ 5d sijoitetaa yllä olevat alkuperäisee yhtälöparii a+ a+ d + a+ d = Ta+ d + a+ d + a+ 5d = 4 a + d = T a + 9d = 4 6d = d = b g sijoitetaa a + = a = a 0 = + 0 = 4 Vastaus : a 0 = b g b 60, + d = 60, + 60, + d 6 + 4d + 4d = d + d d + d 6=0 d = ± 4 6 = ± 576 = ± d = = 6, ei käy, d > d = + = 6 Vastaus: sivut ovat 6,0 m, 8,0 m ja 0,0 m g b g 68 6,0 6,0 + d 6,0 + d
24 79. x = lisättävä luku joo +x, 6+x ja +x 6 + x + x = + x 6 + x 6 + x+ x = + x+ x+ x 0x = 5 x = 5, Vastaus: Lisättävä luku o, a = aq = 5 q 5 q = 5 5 q = 5 q =± 5 F = H G I 5 K J F 5 tai a 6 I = 5 HG 5KJ F = tai a 6 I = HG 5 5KJ 5 a 6 5 a 6 5 a 6 = tai a 6 = 5 5 Vastaus: a 6 = tai a 6 = a) 00 = 4. Koska 00 o jaollie 7:llä, o 00 yö kuluttua myös suutai. 7 b) 0 00 ei ole jaollie 7:llä, jote kyseessä ei ole suutai. Etsitää lähi 7:llä jaollie luku = 48, jote yö kuluttua o suutai ja edellee siitä 5: yö kuluttua 7 o perjatai. Vastaus: a) suutai b) perjatai 8. a) 40 = 55 = 8 = = 69
25 = 4 b b g b 05, g = b 05, g g b) 40 = 0, , = 0065, = 4 = 5 4 Vastaus: a) 4. b) , 5 = 949, Vastaus: Ala o 950 mm 9 84., 0, 7 0, 048 yksikkömuuos 0,048 m = 4,8 cm Vastaus: 4,8 cm korkeudelle , 0 0, 85, 4 Vastaus:, kg a) 500 0, b) kuluut aika (a) puita ,9+80 (500 0,9+80) 0,9+80= 500 0, , , , , , , , , , , 9 5 = 500 0, , 600 Vastaus: a) 890 puuta b) 600 puuta e 5 j 70
26 87. aika (6h) lääkettä ,+50 (50 0,+50) 0,+50=50 0, +50 0, , , = e, j 90 0, Vastaus: 90mg 88. a = 64, 70 a = a q 70 = 64, 70 q q 70 = 64, 70 q =± a , 70 egatiivie juuri ei käy F 70 = 70 H G I K J 7, 80, Vastaus: 7,80 rahaa ummat 89. a + a Aritmeettise lukujoo summa = =, a =, a = + = = 49, 5 Vastaus: umma o 49, Erotusluku d = lukujoo kymmees termi a0 = a + ( ) d = + 9 = a + a 5 umma 0 = = 0 = Vastaus: 0 = 7
27 9. a) Erotusluku d = 9 = Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d = = 56 a + a 9 56 umma + 0 = = 0 = 650 b) Erotusluku d = 4 ( 6) = 8 Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d = ( 8) = 58 ( ) a + a 6 58 umma + 0 = = 0 = 640 c) Erotusluku d = 4,8 =, Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d =,8+ 9,= 4,6 a + a,8 4, 6 umma + 0 = = 0 = 454 d) Erotusluku d = = 5 5 Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d = + 9 = + a + a umma 0 = = 0 = Vastaus: umma o a) 650 b) 640 c) 454 d). 9. a) Kahdeksas termi a8 = a+ ( ) d = a+ 7d Esimmäie termi 85, = a , a = 5 adas termi a00 = a + ( ) d = , 5 = 54, 5 a + a 5 54,5 umma + 00 = = 00 = 975 b) Erotusluku a7 = a7 + 0d 54 = 4 + 0d 0d = 0 :0 d = Esimmäie termi a = a + d = a + 6 a = 58 7
28 adas termi a00 = a + ( ) d = = 00 a + a umma + 00 = = 00 = 4600 Vastaus: umma o a) 975 b) q a) Geometrie summa = a a =,, q =, = 8 q umma 8 8 ( ) ( ) =, = 77 q b) Geometrie summa = a a =, q =, = 8 q 6 umma 8 8 = = 4 6 Vastaus: umma o a) 77 b) Joo o aritmeettie. Erotusluku d = = 4 Yhteelaskettavie lukumäärä = 8 + a + a umma 8 = = 8 = 4 Vastaus: umma o Joo o geometrie. uhde q = Termie lukumäärä = 7 umma q 8 5 = a = = 9 q Vastaus: umma o
29 96. Yhteelaskettavia o vastalukuja ja summa sieveee muotoo = = = Vastaus: umma o Esimmäie termi a = Erotusluku d = = Yleie termi a00 = a + ( ) d = + ( ) = + a + a Aritmeettie summa + + > > 0 F I HG 4 4 K J > > Nollakohdat = = 0 Merkkikaavio 98,50 0 = yli b g = ± = = 050, = + = 98,
30 > 0, ku > 98,50 eli Vastaus: Yhteelaskettavia o oltava vähitää Esimmäie termi a = 7 Erotusluku d = 9 7= Yleie termi a00 = a + ( ) d = 7 + ( ) = + 5 a + a Aritmeettie summa = yli > > > 0 b g > 0 Nollakohdat = 0 b g = 6 ± = = 5, = + = 5,... Merkkikaavio 0 5, > 0, ku > 5, eli 6 Vastaus: Yhteelaskettavia o oltava vähitää Kuljetaa ulkoa sisälle päi..kierros 0 m + 40 m + 0 m + 6 m = 6 m. kierros 6 m + m + m + 8 m = 08 m. kierros 8 m + 4 m + 4 m + 0 m =76 m 4. kierros 0 m + 6 m + 6 m + m = 44 m Edward kulkee yhteesä 6 m + 08 m + 76 m + 44 m = 64 m Vastaus: Edward kulkee yhteesä 64 m. 75
31 00. Esimmäie kättelee kaikkia muita paitsi itseää, eli kättelyä Toie kättelee kaikkia muita paitsi itseää ja esimmäistä eli kättelyä Viimeie ei kättele ketää eli = 0 kättelyä aadaa yhtälö = 9 b g b g b g b g... = = 9 b + = 9 + = 8 g b g 8 = 0 b g b g b g ± 4 8 = 7 = = ei käy 7 = + = 4 Vastaus: Kutsuilla oli 4 osallistujaa. 0. Esimmäie termi a = 4 Viides termi a + a 5 = 5 = 4 + a5g 5 = 0 a 5 = b Erotusluku a = a + ( ) d 4 + a 5 5= 5 a = a + 4d a =, a =4 5 5 = 4 + 4d d = 6, 5 Lukujoo 8. termi a 8 = , 5 = 46, 5 b g ( ) a + a 4 46,5 umma + 8 = = 8 = 9,5 Vastaus: umma o 9,5. 76
32 0. Kolme esimmäise termi summa uhdeluku + q+ q = 68, q + q+ 0, = 0 q = ± 40, q =, = 08, 4 q = +, = 0, Vastaus: uhdeluku o 0,8 tai 0,. = a + aq+ aq 0. uhdeluku q = ( q ) Geometrie summa = a q Esimmäie termi = 6 5 a = a = 6 a F + umma HG I K J = 0 a = 0 0 ( q ) 04 4 = a = = = q + 5 Vastaus: umma o
33 04. Kyseessä o aritmeettie joo, koska = 80 ja = 80. Erotusluku d = 80 Termie lukumäärä 7 5 a = a+ ( ) d a =, a =, d = = + ( ) = : = a + a umma 8 8 = = = 7 Vastaus: umma o Kyseessä o geometrie joo, koska π π = ja π = π π uhdeluku q = π umma 9 9 ( q ) ( π ) 9 π = a = = 98,660 q π π 9 π Vastaus: umma o 98, 660. π 06. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Kuudes termi a6 = d Toisaalta kuudes termi a6 = 7 a = 7 a+ d = 7a+ 7d = +7 8 aadaa yhtälö 7 + = + 8 7d 8 5d 6 d = : 8 d = 8 b g d 78
34 + + 9 a + a umma 0 = = 0 = Vastaus: umma o Geometrise lukujoo kahde esimmäise jäsee summa = a+ aq Esimmäise ja kolmae jäse summa aadaa yhtälöpari a+ a q = a+ a q = 5 = a + a q atkaistaa ylemmästä yhtälöstä a a + aq = ( q) a + = :(+ q ) a = + q ijoitetaa yhtälöpari alempaa yhtälöö. 5 + q + + q q = + q + q = 5 ( + q) + q = 5 + q q 5q =0 b g b g b g b g 5 ± 5 4 q = 5 7 q = = ijoittamalla saadaa a = 6 = 9 Vastaavat summat 4 ( q ) 9 5 = a = = q tai q 5+ 7 = = ijoittamalla saadaa a = =
35 5 4 ( q ) ( ) = a = = 5 q Vastaus: umma o tai Paikkoje määrät riveillä muodostavat aritmeettise summa. Paikkoja esimmäisellä rivillä a = 5 Erotusluku d = Paikkoja viimeisellä rivillä a = a + ( ) d = 5 + ( ) = + 4 ivie lukumäärä a + a = 75 = = = = 470 b = 0 g b g = 49 ± = + < 0 ei käy 49 9 = + = Vastaus: ivejä o yhteesä. 09. Juoksumatkat muodostavat aritmeettise summa =,0 +, +, + Viimeie juoksumatka a 0 = 0, + 9 0, = 9, a + a, 0 +, 9 0 = = 0 = 9 Vastaus: Asku o juossut 9 km. 0. Tyhjeyskerta Matka. (80+9)=78. (80+9+9)= (80+ 9)=96. (80+ 9)=4 80
36 Tyhjeyksiä 0 = eli 9m + m 9 Viimeisellä 4. kerralla kerättävää o m.. tyhjeyskerta (80+ 9) = 94 täyde tyhjeyskerra kokoaismatka saadaa aritmeettisesta summasta a + a = = = 78 Viimeie vajaa tyhjeyskerta (97+) = 400 Yhteesä matkaa 78 m m = 4 8 m Vastaus: Matti joutui kävelemää 4, km. 4, km äästämie summa sovelluksea. Talletettu pääoma k = 900 Korkoprosetti i =,4 % = 0,04 Talletusaika vuosia t = 5 kk = 5 a Korko 5 r= kit = 900 0,04,78 Tilillä o rahaa 900 +,78 = 9,78 Vastaus: jai voi ostaa 9,78 talletusaaja päätyttyä.. Ajatellaa, että jokaie talletus laitetaa omalle tilillee. Jokaiselle talletukselle lasketaa oma korko. aadut korot lasketaa yhtee, ja lisätää siihe talletettu pääoma. Korkoprosetti i =,4 % = 0,04 8 Esimmäie 50 : talletus kasvaa korkoa 8 kuukautta, t = a 7 Toie 50 : talletus kasvaa korkoa 7 kuukautta, t = a Viimeie 50 : talletus kasvaa korkoa kuukaude, t = a Korko 8 7 r = kit k = 50, i = 0,04, t = a, a,, a 8
37 8 7 6 r = 50 0, , , ,04 a + a = = = = 50 0,04 ( ), 8, a 8, a = 50 0, = 8 = 4,9 Tilillä o rahaa ,9 = 84,9 Vastaus: Juka tilillä o rahaa 84,9.. Korkoprosetti i =,0 % = 0,0 0 Talletusaika t = a, a,, a Talletuksia yhteesä 6 kertaa Kertatalletus k Pääoma vuode lopussa k 0, 0 + 6k + 6 = 00 6k + 0,077k = 00 0 K = 6k+ kit K =00, i = 0,0, t = a, a,, a 0 00 = 6k + k 0, 0 + k 0, k 0, 0 a + a k 0,0 = 00 = 6 k + ( ) = 6, a =, a = 6, 077k = 00 :6, 077 k 45, 57 Vastaus: Oskari pitää tallettaa tilille kuukausittai 45, Korkokata i = 5,00 % = 0,05 Korkokerroi q = + 0,05 =,05 Alkupääoma 000 Talletukse määrä talletusaja lopussa K a) Talletusaika t = a K = 000, ,00 = kq t 8
38 b) Talletusaika t = 0 a 0 K = 000, 05 68,89 c) Talletusaika t = 00 a 00 K = 000, 05 50,6 Vastaus: Pääoma o talletukse päättyessä a) 050,00 b) 68,89 c) 50,6. 5. Korkokata i =,80 % = 0,08 Korkokerroi q = + 0,08 =,08 Alkupääoma Talletusaika t = 4 a Talletukse määrä talletusaja lopussa K 4 K = 6 400, ,9 Korko r = 6 87, = 47,9 = kq t Vastaus: Ai saa talletuksellee 47,9 : koro. 6. Korkokata i =,5 % = 0,05 Korkokerroi q = + 0,05 =,05 Esimmäie talletus tehdää vuode 000 lopussa ja se o tilillä 9 vuotta euraava talletus vuode päästä ja se o tilillä 8 vuotta. Näi jatketaa yhdeksä kertaa. Viimeie talletus tehdää vuode 009 lopussa ja se o tilillä 0 vuotta. Talletuksie määrät talletusaja lopussa K = kq t Talletus Pääoma talletusaja lopussa. talletus 000 vuode lopussa ,05. talletus 00 vuode lopussa ,05. talletus 00 vuode lopussa ,05 9. talletus 008 vuode lopussa ,05 0. talletus 009 vuode lopussa Pääoma yhteesä yhdeksä vuode jälkee 8
39 K = , , , = 700 ( +, ,05 +,05 ) 0, 05 = 700,05 888, 70 q = a q a =, q =, 05, = 0 Vastaus: Tilillä o rahaa 8 88, Korkokerroi q = + 0,050 =,05 Talletusaika t = 0, 9, 8,, a Kertatalletus k ( ) Talletukse k määrä talletusaja t kuluttua K = kq t Talletus Pääoma talletusaja lopussa Talletus. vuode alussa k 0 k,05 Talletus. vuode alussa k 9 k, 05 Talletus. vuode alussa k 8 k, 05 Talletus 8. vuode alussa k k,05 Talletuste pääoma säästöaja jälkee pitää olla yhteesä , jote k + k + + k = 0 9, 05, 05..., q 0 9 = a k (, 05 +, , 05) = q 0, 05 k,05 = 50000, 05 9, k = : 9, k 708, 6 a =, 05, q =, 05, = 0 Vastaus: Veijo pitää tallettaa vuosittai 708,6. 84
40 Harjoituskoe. x+ y = x y 6 ( ) = 9x+ 4y = 7 9x + 0y = 7 4y = 44 y = x+ 0y = 60 8x 0y = 44 6x = 6 x = 7 Vastaus: x = ja 7 y = 0 7. a) Joo jäse saadaa laskemalla kaksi edellistä jäsetä yhtee, jote d + 0 =, josta d =. Jatkamalla samoi saadaa c + = 0, josta c =, b =, josta b = ja a + =, josta a =. b) Osoittaja o parito ja kasvaa kahdella, imittäjä o aia sama, jote a = 4. c) Joo o geometrie q = = Vastaus: a) a = b) a = 4 c) 7 a = : 7. 4 :. Täte a = F H G I K J = = =. Esimmäie luku a = 0 000, viimeie luku a = , lukuja yhteesä = = Lukuje summa a + a = Vastaus: = =
41 4. x+ y 4x+ y 0 y 0 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie ja koordiaattiakselie leikkauspisteet. y = 0 o x-akseli x+ y = x = 0, y = y = 0, x = 4x+ y = 0 x = 0, y = 0 y = 0, x = 0 ijoitetaa epäyhtälöihi piste ( 0,5; 0,5), ja varmistetaa, että kyseessä o suorie rajoittama kolmio. ( 0,5) + ( 0,5) 4 ( 0,5) + ( 0,5) 0 0,5 0 Kaikki epäyhtälöt toteutuvat. Lasketaa kolmio ABC kärkipisteet. A o laskettu piirtämise yhteydessä A(,0) B: x+ y = 4x+ y = 0 eli y = 4 x sijoitetaa ylempää 86
42 x + ( 4x) = x = y = 4 = 4 B (, 4) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0,0) Lasketaa lausekkee x y arvo kolmio kärkipisteissä Piste x y A(,0) ( ) 0 = piei B(, 4) ( 4) = 6 suuri C(0,0) 0 0 = 0 Vastaus: Piei arvo o ja suuri Lasketaa yhtälö vasemma puole summa = a + a = =, a =, a = + = = 78 atkaistaa yhtälö = x + 7x x + 7x = 78 x + 7x 78= 0 Vastaus: x = tai x = 6. x = 7 ± 7 4 ( 78) 7 6 x = + = x = = 6. Aritmeettie lukujoo 0 a = b 0. Geometrie lukujoo 6 b =. a 6 aadaa yhtälöpari b= 40 a sijoitetaa alempaa. ab = 56 a( 40 a ) = 56 a 40a+ 56 = 0 a = ja a 40 ± ( 40) ± 576 a = =. = 8 Vastaavat b: arvot b = 40 = 8 ja b = 40 8 =. Vastaus: a = ja b = 8 tai a = 8 ja b =. 87
43 7. Esimmäise vuode talletuksille lasketaa yksikertaie korko. Pääoma, joka o tilillä esimmäise vuode jälkee o tilillä vielä eljä vuotta kasvae korkoa korolle. Korkoprosetti i =,00 % = 0,0 Talletusaika t = a, a,, a Kertatalletus k = 40 Korko talletusaja lopussa r = kit k = 40, i = 0,0, t = a, a,, a r = 40 0, , ,0 40 0,0 a (... ) + a = =, =, a =, a =, + = = 7,8 Tilillä rahaa vuode kuluttua ,8 = 487,80 Loppu säästöaika talletus kasvaa korolle korkoa t K = kq k = 487,80, q = + 0,0 =,0, t = a K = 487,80, 0 50,4 Toisea vuoa tapahtuvat talletukset kasvavat yksikertaista korkoa kute esimmäise vuode talletukset, jote toise vuode talletuksista kertyy 487,80. Talletukset korkoiee yhteesä 50, ,4 = 990,. Vastaus: Tilillä o rahaa 990, talletusaja jälkee. 8. Maapallo öljyvarat 00a Vuotuie kulutus ykyää a Kulutusta pieeetää 0,8 % vuodessa, jote kulutus. vuoa 0,99a. Kulutus. vuoa 099, a Kulutus. vuoa 099, Kulutus yhteesä 00a, jote a+ 0, 99a+ 0, 99 a , 99 a = 00a :a a 88
44 + 0, , , 99 = , 99 0, 99 + q q a =, q = 099, = a = 00 ( 0, 99) 0, 99 = 00 99, 099, + = 0, lg ( + )lg 099, = lg 0, :lg 099, lg 0, = = 99, lg 099, Vastaus: Öljyvarat riittäisivät 00 vuotta. Harjoituskoe. Piei :lla jaollie eliumeroie luku a = 00 uuri :lla jaollie eliumeroie luku a = Lukuja yhteesä = = 000 Lukuje summa a + a = = 000 = Vastaus: Aritmeettise lukujoo yleie jäse a = a + ( ) d Lukujoo esimmäise ja kolmae jäsee summa s= a + ( a + d) = a + d Toise ja kuudee jäsee summa = ( a+ d) + ( a+ 5d) = a+ 6 d aadaa yhtälöpari a + d = T a + 6d = 5 Vähetämällä yhtälöt puolittai saadaa 4d =, josta d =. ijoittamalla tämä ylempää yhtälöö saadaa a + =, josta a =. umma esimmäie jäse a = adas jäse a 00 = + 99 = 0 ada esimmäise jäsee summa a + a 00 = Vastaus: = 00 = 575
45 . ajasuorat x =, y = x + 5 ja y = x. Tarkistetaa, että pistee (,) koordiaatit toteuttavat kaikki epäyhtälöt. > + < 5 < 9 Kaikki epäyhtälöt toteutuvat, jote varjostettu alue o oikea. 4. a) = 9 b) 6 5 x x = 9 x 9 = 64 : 9 x = 4 x = = 05 8 q q a =, q =, = 6 = a 7 x x = 05 x 05 = 80 : 05 x = 6 x = 4 x = 4 Vastaus: a) x = b) x = 4 q q a =, q =, = 8 = a 90
46 5. Elokuvissa käyit x Urheilukilpailuissa käyit y Tehdää taulukko aha ( ) Aika (h) Elokuvat, x 8x x Urheilukilpailut, y 5y y Käytettävissä eitää Haetaa lausekkee x + y suuri arvo. ajoite-epäyhtälöt x y 8 8x+ 5y 40 x+ y 56 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie ja koordiaattiakselie leikkauspisteet. x = y = 8 8x + 5y = 40 x = 0, y = 8 y = 0, x = 7,5 y-akseli suutaie suora x-akseli suutaie suora x + y = 56 x = 0, y = 8 y = 0, x = 8 9
47 Testataa toteuttaako piste (,0) rajoite-epäyhtälöt Koska epäyhtälöt toteutuvat, varjostettu alue toteuttaa rajoite-epäyhtälöt. Viisikulmio kärkipisteet Piste A(0,8) Piste B(,8) Piste C x = 8x+ 5y = 40 ijoittamalla x: arvo saadaa 8 + 5y = 40, josta y = 8,8. C(; 8,8) Piste D 8x+ 5y = 40 x+ y = 56 ( 4) 8x + 5y = 40 8x y = 4 7y = 84 y = ijoittamalla y: arvo alempaa yhtälöö saadaa x + = 56, josta x = 0. D(0, ) Piste E(0,8) Koska muuttujie x ja y arvoje pitää olla luoollisia lukuja, lasketaa optimoitava lausekkee arvo pisteitä A,B, D ja E sekä pistettä C lähiä olevissa kokoaislukupisteissä (,9) ja (,0). Piste A(0,8): x + y = = 8 Piste B(,8): x + y = + 8 = 0 Piste D(0,): x + y = 0 + = suuri Piste E(0,8): x + y = = 8 Piste (,9): x + y = + 9 = 0 Piste (,0): x + y = + 0 = Vastaus: Elokuvissa 0 ja urheilukilpailuissa kertaa. 9
48 6. Joo perättäiste jäsete suhde o aia sama x x + = x + 8= 0x + 0 b b 4ac x 0x+ 8= 0 x = ± a x = ( 0) ± ( 0) x = 6 = x = = 6 Jos x =, joo. jäse a = x+ = + = 6 Joo. jäse a = x + 6= + 6= Joo suhdeluku q = = = aq = = = Joo. jäse a 6 6 Jos x = 4, joo. jäse a x 4 4 = + = + = F 4 70 Joo. jäse a = x + 6 = 6 H G I K J + = Joo suhdeluku q = : = = F Joo. jäse a = HG I KJ = 7 = 7 Vastaus: Lukujoo kolmas jäse o 6 tai A: hita a ( ) ja I: hita i ( ). aadaa seuraavat yhtälöt: masikka: a + i = 9,00 siirita: a + i = 9,50 eli a = 9,50 i sijoitetaa ylempää yhtälöö (9,50 i) + i = 9,00 9,00 6i + i = 9,00 i =,00 a = 9,50 i = 9,50,00 =,50 Vastaus: Vokaalie hita: a,50 ja i,00. 9
49 8. Esimmäise vuode talletuksesta saatu korko o r = kit, missä k = 00, i =,50 % = 0,050 ja t = 9, 6,, a. Korko r = 00 0, , , , 050 = 00 0, ( 9 6 ) =,50 Pääoma vuode jälkee 400 +,50 = 8,50. Tämä talletus kasvaa korolle korkoa 7 a. amalaisia talletusvuosia o seitsemä. Korkokerroi q =,05. Talletusvuosi k ( ) K ( ). 8,50 8, 50, ,50 8, 50, ,50 8, 50, 05 Talletukset yhteesä 7 = 8,50 05, 7 + 8,50 05, ,50 05, = 8,50, 05 ( +, , 05 ) = 8,50 05,, 05, 05 = 8 046,09 Vastaus: Tilillä oli rahaa 8 046,09. = a 6 7 q q a =, q = 05,, = 7 Harjoituskoe. Lukuje ja 4 välissä 6 lukua, jote iide välillä o 7 väliä. 4 Kahde perättäise luvu erotus d = = 7 7 Luvut ovat, 7 6, 7, 7 5, 7 ja Vastaus: Luvut ovat, 7 6, 7, 7 5, 7 ja
50 . Puaise ruusu hita x ( ) Valkoise ruusu hita y. kimppu x+ 4y =,90. kimppu x+ y = 4,70 aadaa yhtälöpari x+ 4y =,90 x+ y = 4,70 atkaistaa alemmasta yhtälöstä y. x + y = 4,70 y = 4,70 x : y = 4,90 x ijoitetaa y yhtälöpari ylempää yhtälöö. x + 4y =,90 y = 4,90 x x + 4(4,90 x) =,90 x + 9,60 4x =,90 x = 5,70 :( ) x =,85 Lasketaa y = 4,90 x = 4,90,85 =,05 Vastaus: Puaiset ruusut maksoivat,85 ja valkoiset,05 kappale.. Esimmäie tyttö kätteli 40 poikaa ja 9 tyttöä Toie tyttö kätteli 40 poikaa ja 8 tyttöä Kolmas tyttö kätteli 40 poikaa ja 7 tyttöä Neljäskymmees tyttö kätteli 40 poikaa eikä yhtää tyttöä Kättelyjä yhteesä = a + a =, = 40, a = 79, a = = 40 = 80 Vastaus: Kättelyjä suoritettii 80 kertaa. 4. Väkiluku kasvaa vuodessa q-kertaiseksi ja t vuodessa q t -kertaiseksi. Kasvuprosetti t K = kq K = 0 000, k = 000, t = = 000q : = q q = 0 = 07,... 95
51 Väkiluku sada vuode kuluttua t 0 K = kq k = 000, q = 0, t = F K = H G I K J 000 Vastaus: Väkiluku o sada vuode kuluttua Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Kuudes termi a 6 = 8,9, jote a + 5d = 89, Viidestoista termi a 5 = 8,0, jote a + 4d = 8, 0 aadaa yhtälöpari a + 5d = 89, T a + 4d = 8, 0 Vähetämällä yhtälöt puolittai saadaa 9d = 0,7, josta d = 0,0. ijoittamalla ylempää yhtälöö saadaa a + 5 ( 0, 0) = 8, 9, josta a = 8,44. Termi o egatiivie, ku a < 0, jote 8, 44 + ( ) ( 0, 0) < 0 00, + 847, < 0 Nollakohta 00, + 847, = 0 Merkkikaavio 65 _ = 65 Vastaus: Joo termit ovat egatiivisia 66. termistä lähtie. 6. Jokaise polu pituus lyheee aia kuljettaessa vastakkaisee suutaa yhdellä metrillä. Esimmäie polku vaakasuoraa 9,5 m Esimmäie polku pystysuoraa 9,0 m Toie polku vaakasuoraa 8,5 m Toie polku pystysuoraa 8,0 m Yhdeksäs polku vaakasuoraa,5 m Yhdeksäs polku pystysuoraa,0 m Kymmees polku vaakasuoraa 0,5 m Kymmeettä polkua pystysuoraa ei ole. Polkuje yhteispituus = 9,5 + 9,0 + 8,5 + 8,0 + +,5 +,0 + 0,5 96
52 = (9,5 + 8, ,5) + (9,0 + 8,0 + +,0) a + a = 9, 5+ 0, 5 90, + 0, = = 95 Vastaus: Jai joutuu kävelemää 95 m. 7. ukset x auvat y Tehdää taulukko aha ( ) Aika (mi) ukset x 80x 45x auvat y 0y 5y Käytettävissä eitää = Haetaa tuottolausekkee 0x +50 y suuri arvo. ajoite-epäyhtälöt x 0 T y 0 80x+ 0y x+ 5y Piirretää rajasuorat koordiaatistoo. x = 0 y-akseli y = 0 x-akseli uora uora 80x+ 0y = x+ 5y = y = x+ 800 y = x+ 000 Taulukoidaa joitaki arvoja suorie piirtämistä varte x 8 y = x+ 800 x y = x
53 y D 45x + 5y = x = 0 80x + 0y = y = 0 x A B Kuva viivoitettu alue toteuttaa rajoite-epäyhtälöt. Nelikulmio kärkipisteet Piste A o origo A(0,0) Piste B T y = 0 45x+ 5y = ijoittamalla y: arvo saadaa 45x = 0 000, josta x = 666. Piste B( 666,0) C Piste C 80x+ 0y = T 45x+ 5y = ( ) 80x+ 0y = T 90x 0y = ( ) Laskemalla yhtälöt yhtee saadaa 0x = 6 000, josta x = 600 ijoittamalla x: arvo alempaa yhtälöö saadaa y = 0 000, josta y = 00. Piste C(600,00) Piste D T x = 0 80x+ 0y = ijoittamalla x: arvo alempaa yhtälöö saadaa y = , josta y = 800. Piste D(0, 800) 98
54 Koska x ja y ovat kokoaislukuja, ja aluee aioat kokoaislukupisteet ovat (,) ja B(,), ii lasketaa optimoitava lausekkee arvo äissä pisteissä. Piste 0x +50 y A(0,0) = 0 B( 666,0) C(600,00) = D(0, 800) = suuri Vastaus: Kaattaa tehdä vai sauvoja. 8. Korkoprosetti i =,5 % = 0,05 0 Talletusaika t = a, a,, a Talletuksia yhteesä 6 kertaa Kertatalletus 55 Pääoma vuode lopussa 0 K = 6k+ kit k = 55, i = 0, 05, t = a, a,, a 0 K = , , ,05 a + a 55 0,05 = = ( ) = 6, a =, a = 55 0, 05 + = ,4 Vastaus: Oskarilla o tilillä,4. 99
2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
Lisätiedot3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
Lisätiedot117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.
a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotLISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.
LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste
Lisätiedot4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
Lisätiedot3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p
MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka
Lisätiedot3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia
3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3
LisätiedotLaudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto
Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisuja
3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedotmäärittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.
Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)
Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedot3.6. Geometrisen summan sovelluksia
Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotLasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:
Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisuja
3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotAritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotGeometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200
Geometrie lukujoo 7. Geometrise lukujoo esimmäie jäse o = 0 j peräkkäiste jäsete suhde =. Määritä lukujoo kolme seurv jäsetä. = 0 = 00 = 0 = 800 = 0 = 00 8. Geometrie lukujoo lk seurvsti: ), 0, 0, b) 000,
LisätiedotRatkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2
Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3
83 Tekijä Pitkä matematiikka 7..07 a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotMAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
Lisätiedot3 Lainat ja talletukset
3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotTehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.
POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI
TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52
LisätiedotHuippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan
LisätiedotEräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.
POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
Lisätiedot