Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Transkriptio

1 POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää löytämää sellaie eksoettifuktio h( x) k, joka derivaatassa h ( x) h (0) hx ( ) tekijä h (0) saa arvo yksi. Tällöi saadaa tulos h ( x) hx ( ). Tällaise eksoettifuktio kataluku o äättymätö desimaaliluku, matemaattie vakio s. Neeri luku e 2, Ku fuktio derivaatta eli erotusosamäärä raja-arvo kirjoitetaa muotoo x f ( x) lim f( x ) f ( x ) ja ku fuktioksi valitaa luoollie logaritmi ts. f( x) l x, jolle o voimassa ii saadaa yhtälöketju x f ( x), f () l( ) l() lim lim l( ) lim l( ). Tästä saadaa ääteltyä tulos lim ( ) e, joka o tavallisi Neeri luvu määritelmä. Koulumatematiikassa tämä raja-arvo käsitellää ymmärrettävästi varsi ylimalkaisesti. Toisaalta matematiikassa o kyllä mota erilaista taaa johtaa Neeri luku, mutta tämä edellä saatu raja-arvomuoto o matematiikassa aljo käytetty ja yksi matematiika keskeisimmistä erusteista. Symboli e o tiettävästi otettu käyttöö kuioittamaa matemaatikko Leohard Euleria ( ).

2 Tehtävä. Etsi Neeri luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko sueevia lukujooja tai äättymättömiä summia eli sarjamuotoja. Tehtävä 2. Laske lausekkeelle ja arvot : arvoilla, 2, 5, 0, 00, 000, 0000, ( ) Tehtävä 3. Piirrä samaa koordiaatistoo fuktioide f( x) x 0. e ja gx ( ) ( ), ku x Jacob Beroulli ( ) esitti esimmäise kerra lasketamalli korkoa korolle, joka johtaa yllättävää tuloksee s. jatkuvaa korkoo. Korkoa korolle laskelmassa esimmäise vuode jälkee lasketaa korkoa, aitsi alkueräiselle ääomalle, myös se edellisiä vuosia kertyeille koroille. Tällöi korko o joka vuosi hiema edellistä suuremi, ja aikaa myöte ääoma kasvaa eksoetiaalisesti hyviki suureksi. Sijoitettaessa ääoma K 0 vuosikorolla rosettia, sijoitus korkoiee esimmäise vuode loussa eli toise vuode alussa o K 0 00 K ( ) ja toise vuode loussa eli kolmae vuode alussa ääoma o K K ( ) ja ku vuotta o kuluut, ii ääoma suuruus o 2 K K ( ) Beroulli esitti aluksi ajatukse tutkia ääoma kaksikertaistumista vuodessa. Hä oletti, että ääoma kasvavaa vuodessa sata rosettia. Tällöi alkuääoma kerrottaisii luvulla ( ). Mitä taahtuu, ku korkojakso lyheetää uolee vuotee ja kummassaki jaksossa korkorosetti o uolet alkueräisestä eli 50 %? Tällöi alkuääoma kerrottaisii luvulla 2 ( ). Mitä taahtuu, ku korkojakso lyheetää kolmee kuukautee ja kussaki 2 jaksossa korkorosetti o 25 %? Tällöi alkuääoma kerrottaisii luvulla 4 4 ( ).

3 Jos korkojaksoa lyheetää edellee esimerkiksi site, että laskettaisii ääomaa korko äivittäi, ii saataisii vuode loulla olevaksi ääomaksi K K ( ). Tietekää korkojaksoa ei voi tosielämässä louttomasti lyhetää, mutta esimerkiksi äivittäisessäki laskeassa kertoimeksi tulisi ( ) 2, , e. Voidaa siis todeta, että laskettaessa talletukselle korkoa korolle yhä ieemmissä erissä lähestyy kertyyt ääoma tiettyä raja-arvoa. Eli jos korkorosetti yhdelle erälle o, erie määrä vuodessa, alkuääoma K 0, ii tilille kertyee ääoma määrä aja (vuosia) fuktioa o t K( t) K0 lim ( ) t 00 0 lim 00 K( t) K [ ( ) ] mikä voidaa aiemmi esitety ojalla kirjoittaa muotoo. K() t K0 e t 00 Näi laskettua korkoa kutsutaa jatkuvaksi koroksi. Tehtävä 4. Laske louääoma 000 : talletukselle, ku vuotuie korkorosetti o kymmee ja talletusaika o kymmee vuotta. Tehtävä 5. Laske louääoma 000 : talletukselle jatkuva koro eriaatteella, ku yhde korkoerä korkorosetti o kymmee ja talletusaika o kymmee vuotta. O syytä muistaa, että käytäö luottosuhteita säätelevää oikeusjärjestykseemme o kohtuusyistä sisällytetty korkoa korolle -kielto, joka olveutuu jo atiiki roomalaisesta oikeudesta. Poikkeuksea tähä säätöö o korolliseksi sovitu vela erääivää meessä luottoajalta kertyyt s. varsiaie korko, jolle voidaa laskea yksikertaie viivästyskorko

4 maksu viivästyessä erääivästä. Maksuviivästykse itkittyessäkää ei site ole sallittua ääomittaa kertyeitä ja edellee maksamattomia viivästyskorkoja kasvamaa korkoa korolle esimerkiksi vuosittai. Hiema Neeristä Joh Naier tai myös Jhoe Neer (550-67) oli skotlatilaie matemaatikko, joka keksi logaritmi. Häet muistetaa erityisesti Neeri luvusta, joka o myös luoollise logaritmi kataluku. Tuoho aikaa erityisesti kaikki lasketaa liittyvä oli ogelmallista. Toisaalta logaritmi-käsittee lisäksi juuri Neer oli yliäätää erityise kiiostuut kaikelaise laskea automatisoiista. Neeri aikaa tuettii aritmeettie lukujoo ( a ) 0,, 2, 3, 4, 5,... ja geometrie lukujoo ( b ), 2, 4, 8,6, 32,... sekä iihi liittyvät summat. Neer huomasi, että äillä kahdella lukujoolla oli keskiäie suhde, joka hä esitti muodossa , 2 2, 2 4, 2 8, 2 6, 2 32,.... Hä esitti, että kaksi o erusta eli kata ja geometrise lukujoo jäseet ovat arvoja ja aritmeettise lukujoo jäseet ovat eksoetteja ja kute hä saoi logaritmeja. Ku tarkastellaa geometrise lukujoo arvoa 8, ii voidaa saoa, että kaksikataie logaritmi luvusta 8 o 3. Näi lähtivät liikkeelle käsitteet kataluku, logaritmi ja myöhemmi mm. eksoettifuktio ja myös logaritmifuktio. Varsiaiste taskulaskite ja tietokoeide aikakautee oli vielä aikaa oi 500 vuotta. Neer oli esimmäisiä, joka kehitti jotai, joka oli mullistavaa ja lasketaa automatisoivaa. Häet tuetaa erityisesti s. Naieri luide keksimisestä, joita käyttäe hä muutti kertolaskut diagoaaleilla laskettaviksi yhteelaskuiksi. Itse asiassa logaritmit muutavat myös suurte lukuje laskea yhtä yksikertaiseksi kui o yhteelasku. Saa logaritmi kääettii 2 suome kielelle vielä 800-luvu loulla muotoo suoritusluku ja esimerkiksi logaritmitaulut kääettii muotoo suoritusluku-taulut. Ks. myös htt:// 2 K.K.Wiwoli: Luvu-lasku Oikirja (ja Nimisaasto), Wilei kustaus, Turku 884

5 Lotoo Kesigtoissa sijaitsevasta tiede- ja tekiikkamuseosta Sciece Museum löytyy uea kokoelma hyviki erilaisia laskea ja matematiika auvälieitä meeiltä vuosisadoilta. Naieri luut

6 Naieri luide kaettavia salkkumalleja Mitä ämä taskulaskite ja tietokoeide esiasteet olivat? Naieri luut ovat itse asiassa hyvi yksikertaie välieistö laskea kertolaskuja ja jakolaskuja. Jälkikätee arvioitua lasiki ymmärtää kertolasku idea, mutta toimiva auvälie joka taauksessa useaksi vuosisadaksi! Yhdessä tagossa eli luussa tai luutikussa o aia yhde luvu kertotaulu. Seuraavassa kuvassa ovat lukuje kuusi ja seitsemä luut.

7 Mite äillä Naieri luilla lasketaa? Esimerkiksi kertolasku 8 67 laskettaisii käyttäe hyväksi edellä oleva kuva riviä kahdeksa ja aioastaa yhteelaskua. Vastaus o siis koottavissa helosti suoraa riviltä kahdeksa 8* Lasketaa vielä aiemaa kuvaa ja myös lukuje 3 ja 5 luita hyväksi käyttäe Esiä asetetaa lukuje 3, 5 ja 7 luut eli ystykertotaulut järjestyksee 7735, jolloi riviltä seitsemä voidaa oeasti katsoa tulos. Vastaus o siis Tehtävä 6. Valmista itsellesi 500-luvu taskulaski eli tee esim. ahvista itsellesi Naieri luut. Tee kulleki luvulle 0 9 esim. kolme luuta. Tehtävä 7. Laske Naieri luilla kertolasku a) 5 67 b) Tehtävä 8. Laske Naieri luilla kertolasku a) b) EXTRA Tehtävä 9. Pohdi mite Naieri luilla suoritetaa jakolaskuja. Esitä lyhyesti eriaate mite lasketaa jakolasku 62 : 6. Tehtävä 0. Neeri luku e tulee esille hyviki erilaisissa ilmiöissä. Esim. todeäköisyyslasketa, alkulukuje lukumäärä, lottorivie kirjoittajat, radioaktiivie hajoamie je. Käytä iteretiä hyväksi ja etsi erilaisia ilmiöitä, joista Neeri luku e utkahtaa esii. Tehtävä. Tutki ja ohdi, miksi luoollie logaritmi, eli ku logaritmi katalukua o e, o imeomaa luoollie (ruot. aturliga, egl. atural, ras. aturel, ital. aturale).