Saatteeksi. Lassi Kurittu

Transkriptio

1 Sisältö 1 Johdanto Yleiskatsaus Esimerkkikieli Syntaksi Semantiikka Syntaksin ja semantiikan vertailua Induktio ja rekursio Propositiokieli Propositiokielen syntaksi Aakkoset ja kaavat Päättely propositiokielessä Propositiokielen semantiikka Propositiokielen syntaksin ja semantiikan vastaavuus Predikaattikielet Predikaattikielten syntaksi Aakkoset ja kaavat Vapaat ja sidotut muuttujat Päättely predikaattikielissä Predikaattikielten teoreemoja Predikaattikielten semantiikka Predikaattikielten syntaksin ja semantiikan vastaavuus i

2 Saatteeksi Tämä luentomoniste pohjautuu Jyväskylän yliopiston matematiikan laitoksella pidettyyn logiikan johdantokurssiin. Asioiden käsittelytapa perustuu lähinnä teokseen [9] ja siitä tehtyyn suomenkieliseen referaattiin [8]. Monisteen ymmärtämiseksi ei tarvita kovinkaan kummallisia matemaattisia pohjatietoja. Joukko-opin alkeet olisi syytä hallita, eikä induktio- ja rekursioperiaatteiden hallitseminen jo ennalta ainakaan haitallista ole. Suositeltavaa oheislukemistoa logiikan alkeista ovat esimerkiksi [12] ja [10]. Edistyneemmille lukijoille on tarjolla muun muassa [14] ja [4] sekä suomenkieliset [15] ja [5]. Hauskoja loogisia arvoituksia löytyy teoksesta [13]. Monisteeseen olen ripotellut runsaasti harjoitustehtäviä. Niiden omatoiminen ratkaiseminen on oleellinen osa logiikan opiskelua. Englanninkieliset harjoitustehtävät ovat peräisin teoksesta [14]. Jyväskylässä keväällä 2014 Lassi Kurittu ii

3 Propositio- ja predikaattilogiikka 1 Johdanto 1.1 Yleiskatsaus Matemaattinen logiikka on formaalien kielten tutkimista. Formaali kieli eroaa tavallisesta (esim. suomen- tai kiinan-) kielestä niin, että siinä on ensinnäkin täsmällisesti määritelty syntaksi eli kielioppi, joka kertoo tarkkaan ja yksityiskohtaisesti, miten kielen lauseita muodostetaan. Tavallisen kielen kieliopista tämä eroaa nimenomaan täsmällisyytensä puolesta: esimerkiksi suomenkielessä lauseen sanajärjestyksen valinta ei ole kovin tiukasti säädeltyä, mutta formaalissa kielessä asia on yleensä toisin. Toisaalta formaalissa kielessä on myös täsmällisesti määritelty semantiikka eli merkitysoppi eli totuuden käsitteen määrittely. Tavallisessa kielessä esimerkiksi lause näinä päivinä on aika pilvistä on semantiikaltaan häälyvä, ts. ei ole aivan selvää onko tämä puolipilvisellä viikolla totta vai ei; formaalissa kielessä tällaista häälyvyyttä ei ole, vaan asiat (eli kaavat) joko ovat tosia (eli valideja) tai sitten eivät ole. Oleellista siis on, että tämäkin on täsmällisesti määritelty jokaiselle kaavalle. Formaalin kielen opiskelu jakautuu kolmeen osaan: 1) Määritellään kielen syntaksi. Tämä tapahtuu niin, että määritellään ensin kielen aakkoset (tavallisessa kielessä esimerkiksi a, b, c,... tai α, β, γ,...), jotka voivat olla periaatteessa mitä merkkejä tai symboleja hyvänsä. Sitten kerrotaan, mitkä peräkkäisten aakkosten muodostamat jonot eli sanat ovat kieliopillisesti oikeita kaavoja. Tätä terminologiaa käyttäen suomenkielisiä sanoja ovat sekä kassi että ashjkl (koska ne ovat suomenkielen aakkosten muodostamia jonoja); kieliopillisesti oikea (eli kaava) näistä on vain sana kassi. Huomaa, että suomenkieli on tässä(kin) suhteessa vähän epämääräistä; ei ole esimerkiksi täysin selvää, onko sana kasi suomenkielen kieliopillisesti oikea sana. Kielen syntaksiin luetaan kuuluvaksi myös päättely. Päättelyn pohjana ovat ak- 1

4 sioomat, jotka ovat joitakin sovittuja kaavoja. Näistä aksioomista lähtien voidaan sovituin päättelysäännöin päätellä uusia kaavoja. Yleensä mielivaltainen kaava ei ole pääteltävissä aksioomista lähtien, mutta niitä kaavoja, jotka ovat pääteltävissä, kutsutaan kielen teoreemoiksi. Suomenkielessä päättelyn käsite on (valitettavasti) kovin epämääräinen, eikä mitään selvää vertailukohtaa formaaliin kieleen ole. Tässä yhteydessä lukija voi vilkaista lukua 1.2, jossa kehitellään konkreettinen tosin kovin alkeellinen esimerkki formaalista kielestä. On huomattava, että syntaksin sisällä ei ole mitään totuuskäsitettä, vaan kysymys siitä, onko annettu kaava teoreema vai ei, on kysymys siitä, onko se pääteltävissä vai ei. Tässä ei siis oteta mitään kantaa siihen onko kyseinen kaava tosi vai ei. Toisaalta on toki niin, että käytännössä formaalilla kielellä pyritään kuvaamaan reaalimaailman ilmiöitä ja sovittamaan aksioomat ja päättelysäännöt siten, että teoreemoja ovat ne ja vain ne kaavat, jotka kuvaavat ilmiöitä, jotka ovat reaalimaailmassa tosia. Kuinka hyvin kyseinen formaali kieli tähän pystyy, onkin mittari sille, kuinka hyvä tämä kieli on. 2) Määritellään kielen semantiikka. Tässä onkin sitten kysymys siitä, mistä edellisessä kappaleessa alustavasti puhuttiin, eli tulkitaan kielen täysin abstraktit kaavat (eli merkkijonot) imitoimaan jotain reaalimaailman tilannetta, jolloin voidaan tarkastella sitä, onko tämä kyseinen tilanne tosi vai ei. Tämä tapahtuu antamalla jokaiselle kielen kaavalle tulkinta. Esimerkiksi luvun 1.2 tapauksessa kielen kaavat imitoivat luonnollisten lukujen yhteenlaskua ja jokainen kaava tulkitaan muotoa n+m = k olevaksi yhtälöksi. Kussakin kielessä näitä tulkintoja voi olla (ja yleensä onkin toisin kuin luvun 1.2 yksinkertaistetussa kielessä) useampia erilaisia. Semantiikan määrittelyn yhteydessä sovitaan siitä, mitkä ovat hyväksyttäviä tulkintoja. Lisäksi sovitaan siitä, milloin tulkittu kaava on tosi. Nimenomaan tässä pyritään imitoimaan todellisuutta, ts. kyseinen sopimus pyritään saamaan sellaiseksi, että se vastaa intuitiivista käsitystä totuudesta. Esimerkiksi luvun 1.2 kielessä sovitaan, että yhtälöksi m + n = k tulkittu kaava on tosi, mikäli kyseinen yhtälö toteutuu. Siten yhtälöksi = 5 tulkittu kaava on tosi, mutta yhtälöksi = 3 tulkittu kaava ei. On huomattava, että lähtökohtana pidetään luonnollisten lukujen yhteenlaskun tuntemista. Tämä yhteenlasku on siis tunnettua todellisuutta, johon kielen kaavoja heijastetaan sovitun tulkinnan kautta. Kun kaavojen hyväksyttävät tulkinnat on määritelty, sanotaan, että kaava on 2

5 validi, mikäli se on tosi kaikilla hyväksyttävillä tulkinnoilla. Luvun 1.2 kielessä on kullakin kaavalla siis vain yksi hyväksytty tulkinta ja kaava on siten validi, mikäli se on tosi tällä nimenomaisella yhtälötulkinnalla. 3) Tutkitaan kielen syntaksin ja semantiikan suhdetta. Tässä on kaksi pääkysymystä: a) onko jokainen validi kaava teoreema? b) onko jokainen teoreema validi kaava? Muistetaan, että validisuus tarkoittaa sitä, että kaava on intuitiivisesti tosi (siis edellyttäen, että esitetty validisuuden määritelmä imitoi todellisuutta riittävän hyvin). Toisaalta teoreema on pääteltävissä. Päättelysäännöt ovat kehittyneemmissä kielissä pohjimmiltaan aina samat (erot ovat näennäisiä), ne ovat hyvin yksinkertaisia ja vastaavat matemaattisen päättelyn sääntöjä. Näin päättely antaa matemaattisen todistuksen kyseiselle kaavalle. Teoreemalla on siis aina matemaattinen todistus annetuista aksioomista lähtien. Siten kysymykset 3a) ja 3b) voidaan esittää muodossa a) jos kaava on tosi, onko sillä todistus? b) onko jokainen todistuva kaava tosi? Jotta kielen rakenteissa olisi mieltä, on vastauksen kysymykseen b) oltava myönteinen: ei olisi järkevää, jos epätosia tuloksia voitaisiin todistaa. Kysymys a) on mielenkiintoisempi. Tämän kurssin aikana esitettävillä kielillä vastaus on myönteinen, mutta näin ei välttämättä aina ole. Itävaltalainen loogikko Kurt Gödel todisti vuonna 1931 (ks. [2], todistuksesta löytyy myös helppolukuisempi versio [6]) kuuluisan epätäydellisyyslauseen, joka sanoo yksinkertaistetusti sanoen sen, että jos kieli on niin kehittynyt, että sillä voidaan imitoida luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskua sekä niiden perusominaisuuksia, kielessä on tosi eli validi kaava, jota ei voi todistaa. Tämä on hämmästyttävä tulos: tiedetään siis, että luonnollisten lukujen aritmetiikassa on jokin väite, joka pitää paikkansa, mutta jolle ei mitenkään voi esittää todistusta. Gödelin epätäydellisyyslauseeseen (ja tähän ihmeelliseen toteen mutta todistumattomaan väitteeseen) tutustutaan tarkemmin logiikan jatkokurssilla. 1.2 Esimerkkikieli Konstruoidaan tässä luvussa esimerkinomaisesti äärimmäisen yksinkertainen kieli, kutsutaan sitä vaikkapa bittikieleksi. Tämä kieli pyrkii imitoimaan luonnollisten lukujen yhteenlaskua ja sen semanttinen tulkinta tapahtuu juuri tätä kautta. 3

6 1.2.1 Syntaksi Kielen aakkoset ovat symbolit 0 ja 1 (jäljempänä näitä kutsutaan biteiksi) ja lisäksi symbolit ja. Tässä symboli yrittää approksimoida binäärilukujen yhteenlaskua ja symboli binäärilukujen yhtäsuuruutta. Kielen sanoja ovat siis näistä muodostetut äärelliset jonot, esimerkiksi 10 0, 1 1 ja Huomaa, että äärettömiä tai tyhjiä jonoja ei pidetä sanoina. Nyt täytyy siis sopia siitä, mitkä sanat ovat tässä kielessä hyväksyttäviä eli kaavoja ja mitkä eivät. Sovitaan, että bittikielen kaava on sana, joka on muotoa A B C missä A, B ja C ovat (epätyhjiä) sanoja, joissa esiintyy vain bittisymboleja 0 ja 1. Tämän mukaisesti yllä olevista esimerkkisanoista vain viimeinen eli on kaava. Myös seuraavat sanat ovat kaavoja: , 1 1 1, ja ; sen sijaan 0, 0 1, ja eivät ole kaavoja viimeinen siitä syystä, että se ei ole edes bittikielen sana. Kuten edellisessä luvussa todettiin, kielen teoreemat saadaan joistakin tietyistä peruskaavoista joidenkin tiettyjen päättelysääntöjen nojalla. Näitä peruskaavoja kutsutaan aksioomiksi. Tässä kielessä on neljä aksioomaa: (Ax1): 0 0 0, (Ax2): 0 1 1, (Ax3): ja (Ax4): Huomaa, että nämä kaikki todella ovat kaavoja. Seuraavaksi pitää määritellä kieleen liittyvä päättelysäännöstö. Tässä leikkikielessä päättely on sellaista, että kaava A B C on pääteltävissä aksioomista (Ax1) (Ax4), mikäli bittijonot A ja B alekkain yhteenlaskettuna antavat bittijonon C. Tämä alekkainen yhteenlasku määritellään samalla tavalla kuin alakoulussa, paitsi että nyt lasketaan tavallisten kymmenjärjestelmän numeroiden sijasta yhteen bittejä ja nimenomaan aksioomien (Ax1) (Ax4) ilmaisemalla tavalla. Tässä määritelmässä täytyy ottaa huomioon myös mahdollisen muistinumeron syntyminen. Kyseinen määritelmä on vähän hankala esittää täsmällisesti ja jätetään se harjoitustehtäväksi alakoulussahan se on jo opetettu. Seuraava esimerkki valaissee asiaa; tässä lasketaan alekkain yhteen bittijonot A = 10 ja B = 111. Rivillä M ovat näkyvissä syntyvät muistinumerot 4

7 ja riville C syntyy summajono. M 1 1 A 1 0 B C Harjoitustehtävä Määrittele täsmällisesti, mitä tarkoittaa bittijonojen alekkainen yhteenlasku. Huomaa, että tässä on kyseessä täsmälleen sama algoritmi, jolla tietokone laskee binäärilukuja yhteen. Nyt kun alekkainen yhteenlasku on (toivottavasti) täsmällisesti määritelty, voidaan sopia, mitkä bittikielen kaavat ovat teoreemoja eli pääteltävissä aksioomista lähtien. Sanotaan, että kaava A B C on teoreema, jos bittijono C on saatu bittijonoista A ja B alekkaisella yhteenlaskulla. Huomaa erityisesti, että tällöin kaikki aksioomat ovat teoreemoja. Kuten yllä olevasta yhteenlaskusta eli bittikielen päättelystä näkyy, myös kaava on bittikielen teoreema. Harjoitustehtävä Ovatko seuraavat kaavat teoreemoja: , tai ? Huomautus. Tehtävän viimeinen kaava ei ole aivan itsestäänselvyys. Antaako bittijonojen 00 ja 1 alekkainen yhteenlasku summaksi 1 vai 01? Tämän pulman selvittämiseksi tarvitaan tarkkaa alekkaisen yhteenlaskun määritelmää. Tässä oikeastaan konkretisoituu syy, miksi logiikan eri kielten määritelmissä on oltava niin tavattoman tarkka: jos määritelmä on löysä, on väistämättä myös teoreeman käsite vähintään yhtä löysä, ja silloin homma onkin pilalla. Sivulla 1 tätä asiaa myös sivuttiin vertaamalla logiikan kieltä arkikieleen: ero tulee nimenomaan täsmällisyydestä. Logiikan kielissä ei siis saa suvaita minkäänlaista epätarkkuutta tai epätäsmällisyyttä Semantiikka Nyt pitäisi siis antaa bittikielen kaavoille tulkinta tavalliseen arkielämään, jolloin voidaan tutkia sitä, mitä tälle tulkitulle kaavalle kuuluu siinä suhteessa, että onko se totta vai ei. Jos tulkittu kaava sattuu olemaan totta (näin ei aina ole!), alkuperäistä kaavaa sanotaan validiksi. Tässä bittikielessä ideana on tietysti tulkita symboli tavalliseksi kokonaislukujen yhteenlaskuksi ja symboli kokonaislukujen yhtäsuuruudeksi. Bittijonot tulkitaan seuraavalla tavalla: Liitetään jokaiseen epätyhjään, äärelliseen bittijonoon A tietty kokonaisluku t(a) N, jota sanotaan A:n tulkinnaksi ja 5

8 määritellään seuraavasti: Olkoon A = a k a k 1... a 1 a 0, missä a i {0, 1}, kun i {0,..., k}; asetetaan tällöin t(a) = k a i 2 i. i=0 Huomaa, että bittijonon tällainen tulkinta on täsmälleen binääriluvun muuttamista tavalliseksi (kymmenjärjestelmän) luvuksi. Näiden tulkintojen avulla voidaan määritellä jokaisen bittikielen kaavan validisuus. Sovitaan, että kaava A B C on validi, mikäli pätee t(a) + t(b) = t(c). Siis kaavaa sanotaan validiksi, mikäli sen esittämä luonnollisten (kymmenjärjestelmän) lukujen yhteenlasku on oikein laskettu eli totta. Huomaa, että tässä arkielämä, johon kaavan tulkinta tehdään on nimenomaan luonnollisten lukujen yhteenlasku, ja tällöin tietysti kuvitellaan, että tämä arkielämä on hallinnassa (niinkuin kaikilla opiskelijoilla pitäisi olla), eli yhteenlaskua osataan laskea eli aina voidaan sanoa onko esitetty kokonaislukujen summa sitä mitä väitetään. Esimerkki. Kaava on validi, sillä t(10) = = 2, t(111) = = 7 ja t(1001) = = 9 sekä toisaalta arkielämässä pätee = 9. Harjoitustehtävä Osoita, että kaava ei ole validi. Onko kaava validi? Vertaa tehtävän jälkeiseen huomautukseen. Harjoitustehtävä Osoita, että kaikki aksioomat ovat valideja Syntaksin ja semantiikan vertailua Kuten aiemmin oli puhetta, jokaisen teoreeman tulisi olla tosi eli validi, jotta kielen rakenteissa olisi mieltä. Esimerkkikielessämme tämä asia on kunnossa: Harjoitustehtävä Osoita, että bittikielen teoreemat ovat valideja. Tässä monisteessa konstruoitavat oikeat kielet ovat sellaisia, että myös kaikki validit kaavat ovat teoreemoja. Tällaisessa tilanteessa sanotaan, että kieli on täydellinen. Kuten aiemmin mainittiin, kuuluisa Gödelin epätäydellisyyslause osoittaa, että kehittyneemmät kielet eivät suinkaan ole täydellisiä. Harjoitustehtävä Onko bittikieli täydellinen? Tämäpä onkin hankala kysymys. Tehtävässä osoitettiin, että kaava on validi, mutta onko se teoreema? Vertaa tehtävän jälkeiseen huomautukseen. Tässä siis näkyy taas se tarkkuusvaatimus, joka kielelle asetetaan: jos 6

9 (esimerkiksi) päättelysäännöstö (eli tässä tapauksessa alekkainen yhteenlasku) on löysästi määritelty, jopa kielen täydellisyyskysymys muuttuu hämäräksi. Huomautus. Kuten edellä todettiin, bittikielessä syntaktinen päättely on juuri sitä mitä tietokone tekee, kun se laskee binäärilukuja yhteen. Tietokone ei siis näe asian semanttista puolta lainkaan, ts. se ei tulkitse binäärilukuja tavallisiksi luvuiksi, vaan koneelle ne ovat pelkkiä bittijonoja, joita käsitellään päättelysäännöstön eli alekkaisen yhteenlaskun määritelmäalgoritmin osoittamalla tavalla. Ihminen taas (yleensä) käsittelee asiaa semanttisesti: on havainnollisempaa ja helpompaa ajatella, että kaksi (esinettä) plus kolme (esinettä) on viisi (esinettä) kuin että formaalisti Juuri tästä on kysymys yleensäkin syntaksin ja semantiikan välillä. Esimerkiksi matematiikan kielessä (mitä se on?) voidaan joskus intuitiivisesti nähdä jokin asia epätodeksi, jolloin tiedetään heti, että sillä ei ole todistusta (edellyttäen tietysti, että teoreemat ovat valideja). Sitä, että todistusta ei ole, on yleensä hyvin vaikea nähdä syntaksin sisältä, missä siis mitään semanttista tulkintaa ei tunneta. Siis jos tehtävänä on osoittaa, että jollakin väitteellä ei ole todistusta mikä on puhtaasti syntaktinen väite, on useimmiten paljon helpompi käyttää hyväksi semantiikkaa ja osoittaa, että kyseinen väite (eli kaava) on epävalidi, jolloin se ei voi olla teoreemakaan. Sen sijaan asian käänteinen puoli on paljon monimutkaisempi. Jos jokin väite nähdään intuitiivisesti todeksi, ei ole suinkaan varmaa, että sillä on todistus, kuten edellä mainittu Gödelin epätäydellisyyslause sanoo. On kuitenkin jälleen huomautettava, että tämän luentomonisteen kielet ovat niin yksinkertaisia, että niistä tulee täydellisiä, jolloin kaavan validisuus takaa myös todistuksen olemassaolon. Täytyy kuitenkin muistaa, että pelkkä validisuus takaa vain todistuksen olemassaolon eikä anna itse todistusta. Siis jos halutaan konstruoida todistus, on operoitava syntaksin sisällä ja toimittava sen antamien aksioomien ja päättelysääntöjen mukaisesti. Tietysti monimutkaiselle kaavalle kannattaa ensin tarkistaa validisuus (mikä on usein suhteellisen helppoa), ennenkuin lähtee todistusta pähkäilemään. Täydellisessä kielessä siis todistuksen olemassaolosta saa tiedon validisuuden perusteella, kunhan itse todistuksen vain sitten jostakin kivenkolosta kaivaa. Epävalidille kaavalle todistusta on turha lähteä edes yrittämään. 1.3 Induktio ja rekursio Oletetaan tunnetuksi luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2,...} ja erityisesti sen induktioperiaate: Induktioperiaate 1: Jos A N siten, että 0 A ja jokaiselle n A pätee n + 1 A, niin A = N. Induktioperiaate on erittäin käyttökelpoinen monien luonnollisia lukuja koske- 7

10 vien väitteiden todistuksissa. Esimerkki. Osoitetaan, että kaikille luonnollisille luvuille n pätee n i=0 i = 1 n(n + 1). 2 Merkitään symbolilla A niiden luonnollisten lukujen joukkoa, joille väite pätee. Tehtävänä on silloin osoittaa, että A = N. Induktioperiaatteen nojalla riittää osoittaa, että 0 A ja toisaalta, jos n A, niin myös n + 1 A. Kun n saa arvon 0, niin väitetyn yhtälön molemmat puolet ovat nollia; siis väite pätee. Siten 0 A. Oletetaan sitten, että n A, ts. siis n i=0 i = 1 2n(n + 1). Pitää osoittaa, että myös n + 1 A, ts. että Lasketaan: i=0 n+1 i = 1 (n + 1)((n + 1) + 1). 2 i=0 n+1 n i = ( i) + (n + 1) = 1 2 n(n + 1) + n + 1 = 1 2 n n + n + 1 = i=0 1 2 n n + 1 = 1 2 (n + 1)(n + 2) = 1 (n + 1)((n + 1) + 1). 2 Siis väite pätee. Huomaa, että yllä olevassa yhtälöketjussa neljä viimeistä yhtälöä ovat pelkkiä sievennyksiä, ensimmäinen seuraa summasymbolin määritelmästä (ks. sivun 10 esimerkki 3)) ja toinen yhtälö on tärkein: se seuraa induktiooletuksesta. Harjoitustehtävä Todista induktiolla, että kaikille n N pätee n i=0 i 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1). 6 Harjoitustehtävä Todista induktiolla, että kaikille n N pätee (1 + x) n 1 + nx mielivaltaiselle reaaliluvulle x 1. Harjoitustehtävä Todista induktiolla, että binomikerroin ( ) m m! = n n!(m n)! on kokonaisluku kaikille (m, n) N N, joille m n. (Ohje: tee induktio n:n suhteen; induktioaskeleessa tarvitset toista induktiota nyt m:n suhteen) 8

11 Logiikassa on usein tarpeen käyttää induktioperiaatteen seuraavaa yleisempää versiota: Induktioperiaate 2: Olkoon B joukko ja {B i B i N} perhe B:n osajoukkoja siten että B = i N B i. Oletetaan, että jokin alkioon x B liittyvä ominaisuus Q(x) pätee kaikille x B 0. Oletetaan lisäksi seuraavaa: Siitä, että Q(x) pätee kaikille x n i=0 B i seuraa, että Q(x) pätee kaikille x n+1 i=0 B i. Tämä siis kaikille n N. Tällöin ominaisuus Q(x) pätee kaikille x B. Huomaa, että toinen induktioperiaate seuraa ensimmäisestä, kun merkitään A = {n N Q(x) pätee kaikille x n i=0 B i}. Harjoitustehtävä Tee harjoitustehtävä induktioperiaatteen toisen version avulla. Ohje tehtävään 1.3.4: Tämä on aika hankala. Merkitään ensin K:llä kaikkien bittikielen kaavojen A B C joukkoa ja edelleen K i :llä niiden kaavojen A B C joukkoa, joissa A:ssa tai B:ssä esiintyy maksimissaan i bittiä. Tällöinhän K = i=0 K i ja toisen induktioperiaatteen mukaisesti riittää osoittaa, että 1) väite pätee joukossa K 0 ja että 2) jos väite pätee joukossa n i=0 K i, niin se pätee myös joukossa n+1 i=0 K i. Tässä vaihe 1) on triviaali, koska K 0 =, mutta yleinen induktioaskel on vaikeampi. Tässä tietysti tarvitaan taas alekkaisen yhteenlaskun tarkkaa määritelmää. Logiikassa esiintyvien funktioiden f : A B (missä A ja B ovat joitakin joukkoja) konstruoinnissa tarvitaan usein ns. rekursioperiaatetta, joka seuraavassa esitetään. Tätä periaatetta on vaikea esittää tavalla, joka olisi samanaikaisesti matemaattisesti eksakti ja toisaalta havainnollinen. Seuraavassa on valittu mahdollisimman havainnollinen esitystapa. Asetetaan ensin apumääritelmä: sanotaan, että joukko A on pistevieras yhdiste joukoista A i, i N, jos A = i N A i ja A i A j = aina, kun i j. Rekursioperiaate. Olkoon A joukko, joka on pistevieras yhdiste joukoista A i, i N. Olkoon B jokin toinen joukko. Oletetaan, että on olemassa funktio f 0 : A 0 B. Oletetaan lisäksi seuraavaa: jos n 1 ja jos funktiot f i : A i B on jo määritelty kaikille n:ää pienemmille i eli kaikille i = 0, 1,..., n 1, niin on olemassa yksikäsitteinen sääntö, jonka avulla voidaan määritellä funktio f n : A n B. 9

12 Tällöin on olemassa yksikäsitteisesti määrätty funktio f : A B siten että f(x) = f n (x) kaikille x A n, n N. Huomautus. Intuitiivinen idea rekusioperiaatteen takana on melko yksinkertainen. Funktion määrittelyjoukko A jaetaan ensin (jollakin tavalla) osiin A i, i N. Tämän jaon tulee olla pistevieras, jottei vahingossa määriteltäisi funktiota samassa pisteessä useampaan kertaan. Ensin määritellään f (eli f 0 ) joukossa A 0 jollakin tavalla. Sitten tehdään rekursio-oletus, että f (eli f i :t) on jo määritelty joukoissa A 0, A 1,..., A n 1. Näiden määritelmien avulla laajennetaan sitten f:n määritelmä (jollakin tavalla) myös joukkoon A n. Näin sitten jatketaan ad infinitum. Käytännössä nuo f:n alaindeksit (eli merkinnät f i ) voi unohtaa; ne ovat tässä määritelmässä mukana vain teknisistä syistä f i :hän on loppujen lopuksi pelkästään f:n rajoittuma joukkoon A i. Rekursioperiaate sanoo siis oikeastaan vain sen, että tällainen rekursiivinen funktion määrittelytapa on korrekti, ts. että näin todella syntyy matemaattisesti asiallisesti määritelty kuvaus f : A B. Esimerkkejä. 1) Tyypillinen rekursioperiaatteen avulla määriteltävä funktio on kertomafunktio σ : N N, σ(n) = n! joka rakennetaan seuraavasti: Tässä ajatellaan, että A = B = N ja A i = {i}, jolloin todellakin A on pistevieras yhdiste joukoista A i, i N. Funktio σ 0 : A 0 B eli σ 0 : {0} N määritellään asettamalla σ 0 (0) = 1. Jos sitten tehdään rekursio-oletus, että n 1 ja että funktiot σ 0,..., σ n 1 on jo määritelty, niin rekursiosääntö, jolla funktio σ n : A n N eli σ n : {n} N määrätään, on seuraava: σ n (n) = n σ n 1 (n 1). (1) Rekursioperiaatteen nojalla näin syntyy funktio σ : N N, joka toteuttaa kaavan σ(n) = σ n (n) kaikille n N. Katsotaan vielä vähän tarkemmin, mitä tälle funktiolle σ kuuluu pienille muuttujan arvoille. Lähtökohta (eli rekursion alkuaskel) tapahtuu siis joukossa A 0 = {0} eli tässä vaiheessa määritellään vain σ:n arvo pisteessä 0. Sopimus on siis se, että σ(0) = σ 0 (0) = 1. Seuraavaksi tulee σ:n eli σ 1 :n määrittely joukossa A 1 = {1} eli pitää määrätä σ 1 pisteessä 1. Tämä saadaan nyt yleisohjeesta (1), jonka mukaan σ(1) = σ 1 (1) = 1 σ 0 (0) = 1 σ(0) i) = 1 1 = 1, missä yhtälö i) saadaan siitä, että σ:n arvo pisteessä 0 tunnetaan jo edellisestä askeleesta. Vastaavalla tavalla voidaan laskea σ:n arvot joukossa A 2 eli tässä tapauksessa (vain) pisteessä 2: σ(2) = σ 2 (2) = 2 σ 1 (1) = 2 σ(1) ii) = 2 1 = 2, 10

13 missä yhtälö ii) saadaan siitä, että σ:n arvo pisteessä 1 tunnetaan jo edellisestä askeleesta. Näin jatkaen saadaan σ:n muutkin arvot: σ(3) = 3 σ(2) = 3 2 = 6, σ(4) = 4 σ(3) = 4 6 = 24 ja niin edelleen. Huomaa, että määritelmä on varsin triviaali, mutta tuottaa silti aika hankalasti laskettavan funktion: paljonko on esimerkiksi σ(n) kun n = ? Jonkinlaisena yleissääntönä rekursiivisesti määritellyille funktioille voidaan pitää sitä, että jos näille jotain täytyy todistaa, niin se tapahtuu yleensä induktioperiaatetta soveltaen. 2) Bittikielessä tarvittu bittijonojen alekkaisen yhteenlaskun määritelmä on myös pohjimmiltaan rekursiivinen. Tästä seuraa se (vrt. yo. yleissääntö ), että tehtävän ratkaisussa tarvittiin induktioperiaatetta. 3) Aiemmin on jo esiintynyt summa n i=0 a i, missä a i :t ovat joitakin lukuja. Tämäkin määritellään viime kädessä rekursiivisesti. Ensin asetetaan 0 i=0 a i = a 0 ja yleisesti, jos n 1 i=0 a i on jo määritelty, n i=0 a i := ( n 1 i=0 a i) + a n. 4) Matematiikassa on runsaasti muitakin rekursiolla määriteltäviä asioita. Esimerkiksi neliömatriisin determinantti määrätään näin; tässä rekursio tehdään matriisin koon suhteen. Tarkkaan ottaen myös tavalliset kokonaislukujen yhteenja kertolasku n+m ja n m ovat rekursiivisia. Näissä m pidetään kiinteänä ja rekursio tehdään n:n suhteen. Esimerkiksi kertolaskussa asetetaan ensin 0 m = 0 ja jos (n 1) m on jo määritelty, asetetaan n m = ((n 1) m) + m. Mieti itse, mitkä ovat vastaavat määrittelyt yhteenlaskulle. Huomautus. Vaikka rekursiomääritelmä on pohjimmiltaan yksinkertainen, sen käytössä on kuitenkin oltava tarkkana. Tarkastellaan esimerkiksi seuraavia virheellisiä rekursiomääritelmiä: Näissä määritellään funktiot f, g : N N seuraavasti: Määritellään ensin f(0) = 0, f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4. Tämä on siis rekursion alkuaskel eli joukko A 0 on {0, 1, 2, 3}. Sitten yleinen rekursiosääntö: jos n 4 ja n = j k joillekin n:ää pienemmille j, k, niin määritellään f(n) = f(j) f(k), mikä on järkevää, koska f(j) ja f(k) on määritelty jo aiemmin rekursiossa. No mikä tässä sitten on mukamas vikana? Esimerkiksi, koska 4 = 2 2, niin saadaan f(4) = f(2) f(2) = 2 2 = 4, eikä mitään ongelmia. Eipä niin, mutta heti seuraavassa askeleessa ongelmat ilmenevät: f:n arvoa pisteessä 5 ei voi laskea, koska luvulla 5 ei ole tarvittavaa tuloesitystä 5 = j k, j, k < 5. Yleisestikään alkuluvuille tämä määritelmä ei toimi. 11

14 Tästä esimerkistä voi oppia sen, että rekursiossa tarvittava f:n määrittelyjoukon A jako on tehtävä huolellisesti; tässä nimenomaisessa tilanteessahan alkuluvut (kakkosta ja kolmosta lukuunottamatta) jäävät tehdyn jaon (jota tässä ei edes mainita) ulkopuolelle, eikä homma siitä syystä toimi. Alkulukuja ei siis voida esittää kahden pienemmän luvun tulona, mutta summana voidaan, joten edellisestä epäonnisesta esimerkistä viisastuneena voidaan yrittää määritellä rekursion avulla toinen funktio g : N N seuraavasti: Määritellään ensin g(0) = 0, g(1) = 2, g(2) = 3. Tämä on siis rekursion alkuaskel eli joukko A 0 on {0, 1, 2}. Sitten yleinen rekursiosääntö: jos n 3 ja n = j + k joillekin n:ää pienemmille j, k, niin määritellään g(n) = g(j) + g(k), mikä on järkevää, koska g(j) ja g(k) on määritelty jo aiemmin rekursiossa. No mikäs tässä nyt sitten on vikana? Esimerkiksi, koska 3 = 2 + 1, niin saadaan g(3) = g(2) + g(1) = 3 2 = 5, eikä mitään ongelmia. Eipä ei, mutta heti seuraavassa askeleessa ongelmat taas ilmenevät: Koska 4 = 1 + 3, niin määritelmän mukaan g(4) = g(1) + g(3) = = 7. Toisaalta kuitenkin myös 4 = 2 + 2, joten taas määritelmän mukaan g(4) = g(2) + g(2) = = 6. Siten g(3) saa kaksi eri arvoa tulkinnasta riippuen. Ei tämä tämmöinen peli vetele funktion määritelmässä: toki arvon on oltava yksikäsitteinen. Syntynyt pulma johtuu siitä, että tässä ei ole noudatettu rekursioperiaatteen määritelmän vaatimusta siitä, että... on olemassa yksikäsitteinen sääntö, joka.... Tämä seikka on sellainen, johon kannattaa aina kiinnittää huomiota rekursiota tehdessä tässä tulee helposti huolimattomuusvirheitä. Harjoitustehtävä Esitä tavallisen kokonaislukujen yhteenlaskun ja toisaalta neliömatriisin determinantin tarkka rekursiivinen määritelmä. Selitä, miksi reaalilukujen yhteenlaskua ei voi määritellä näin. Rekursioperiaatteen avulla voidaan määritellä aika hurjasti kasvavia funktioita, joista teoreettisesti erittäin mielenkiintoinen (ks. logiikan jatkokurssi) on ns. Ackermann in funktio A : N N, joka määritellään seuraavasti. Ensin määritellään rekursiivisesti (n:n suhteen) funktiot A n : N N kaikille n N. Rekursio aloitetaan sopimalla, että A 0 on kuvaus A 0 (m) = m+1 kaikille m N. Oletetaan sitten, että A n on jo määritelty ja määritellään tämän avulla A n+1. Tässä tehdään toinen rekursio, tällä kertaa A n+1 :n muuttujan m suhteen. Tämä rekursio aloitetaan arvosta m = 0 määrittelemällä A n+1 (0) = A n (1). Tehdään sitten rekursio-oletus, että A n+1 (m) on jo määritelty ja määritellään tämän avulla A n+1 (m + 1) asettamalla A n+1 (m + 1) = A n (A n+1 (m)). Rekursioperiaatteen nojalla A n+1 on tällöin hyvin määritelty funktio, ja rekursioperiaatetta uudelleen käyttäen nähdään, että A n on korrektisti määritelty kaikille n N. 12

15 Varsinaisen Ackermann in funktion A määritelmä on nyt A(n) = A n (n) kaikille n N. Harjoitustehtävä Laske A(n), kun n = 0, 1, 2, 3, 4. (Tämä ei ole niin helppo kuin näyttää; A(4) on melko iso luku. A kasvaa erittäin nopeasti voit yrittää laskea vaikkapa lukua A(10) jollakin koneella.) 2 Propositiokieli Propositiokielen tarkoituksena on imitoida reaalimaailman yksinkertaisia teesejä kuten esimerkiksi hevosella on neljä jalkaa, Sokrates on ihminen, logic is boring, dulce et decorum est pro patria mori, H ɛυψɛνɛστ ɛρη ɛυχαριστ ηση ɛιναι η χαρα τ ηζ κατ ανoησηζ yms, joista voidaan intuitiivisessa mielessä sanoa, että ne ovat joko tosia tai epätosia. Propositiokielen kyky ilmaista asioita riittää esimerkiksi syllogismin Jos Sokrates on ihminen, niin Sokrates on kuolevainen. Sokrates on ihminen. Siis Sokrates on kuolevainen. ilmaisemiseen tai siis tarkkaan ottaen propositiokielen syntaksissa voidaan kirjoittaa kaava, joka on semanttisesti tulkittavissa kyseiseksi syllogismiksi. Toisaalta propositiokieli ei kuitenkaan riitä syllogismin Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Sokrates on ihminen. Siis Sokrates on kuolevainen. ilmaisemiseen. Tähän päästään vasta kehittyneemmissä predikaattikielissä luvussa 3. Tavallisessa puhekielessä ja arkiajattelussa yllä olevilla syllogismeilla ei tuntuisi olevan suurtakaan eroa. (Tämä on sivumennen sanoen osoitus arkiajattelun löysyydestä.) Loogiselta kannalta ne ovat kuitenkin aivan eri kategorioissa; muun muassa tätä eroa pyritään tällä kurssilla selventämään. 2.1 Propositiokielen syntaksi Aakkoset ja kaavat Propositiokielen aakkoset ovat symbolit p n, n {1, 2, 3,...} ja lisäksi neljä erikoisymbolia f,, [ ja ]. Aakkosia on siis äärettömän monta. Aakkosia p n kutsutaan propositiokirjaimiksi, symbolista f voidaan käyttää sen englanninkielistä nimeä falsity sign tai 13

16 lyhyesti false. Loput symbolit ovat nimeltään nuoli sekä vasen ja oikea sulku. Propositiokielen sanat ovat aakkosista muodostettuja epätyhjiä, äärellisiä jonoja. Siis esimerkiksi jonot p 4 p 4 ja [p 1 p 2 ] p 347 ovat sanoja. Sanan pituus on siinä esiintyvien peräkkäisten aakkosten lukumäärä. Siten esimerkiksi sanan p 4 p 4 pituus on kolme (eikä kaksi, vaikka siinä on vain kaksi eri aakkosta) ja sanan [p 1 p 2 ] p 347 pituus on kuusi. Jatkossa käytetään seuraavaa lyhennysmerkintää: Olkoot A = a 1 a 2... a n B = b 1 b 2... b m sanoja, missä a i :t ja b i :t ovat aakkosia. Merkintä ja tarkoittaa tällöin sanaa [A B] [a 1... a n b 1... b m ]. Määritellään sitten, mitkä sanat ovat kaavoja: Määritelmä 2.1 Olkoon A sana. A:n rakennejono on äärellinen jono sanoja A 1, A 2,..., A m siten, että A m = A ja kaikille i = 1,..., m pätee joko 1) A i = p n jollakin n {1, 2, 3,...} tai 2) A i = f tai 3) A i = [A j A k ] joillekin j, k {1,..., i 1}. Sanotaan, että sana A on kaava, mikäli sillä on rakennejono. Esimerkki. Yksittäinen propositiokirjain p i on kaava kaikille i 1, samoin symboli f, sillä rakennejonon pituudelle m voi päteä myös m = 1. Sana [[p 1 f] p 2 ] on kaava; sen rakennejonoksi käy A 1 = p 1 (ehto 1)) A 2 = f (ehto 2)) A 3 = [A 1 A 2 ] (ehto 3)) A 4 = p 2 (ehto 1)) A 5 = [A 3 A 4 ] (ehto 3)). Huomautus. Kaavan rakennejono ei ole missään nimessä yksikäsitteinen; jonoonhan voi aina lisätä kaavoja niiden omine rakennejonoineen ja usein jonossa voi järjestystä vaihtaa tässä järjestyksenvaihdossa on kuitenkin oltava tarkkana. Mieti esimerkiksi, minkälaisia järjestyksenvaihtoja edellisessä esimerkissä voi tehdä ja minkälaisia ei. Joistakin rakennejonoista voi myös poistaa ylimääräisiä sanoja. Edellisessä esimerkissä ei kuitenkaan ole mitään liikaa, joten siitä ei voi poistaa yhtäkään sanoista A i ; siis jos jokin sana poistetaan, jäljelle jääneet eivät enää muodosta kaavan [[p 1 f] p 2 ] rakennejonoa. Harjoitustehtävä Olkoon A kaava ja A 1,..., A m sen rakennejono. Osoita, että jokainen sana A i, 1 i m on myös kaava. 14

17 Harjoitustehtävä Ovatko seuraavat sanat kaavoja? a) [[[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f]] f], b) [[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f]] f] tai c) [[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f]. Huomautus. Sanan voi siis todistaa kaavaksi konstruoimalla sille rakennejonon mitään muuta keinoa ei tässä vaiheessa oikeastaan olekaan käytössä. Toisaalta rakennejonon konstruoiminen on käytännössä varsin helppoa, jos kyseessä todella on kaava. Vertaa vaikkapa tehtävän a)-kohtaan. Jos pitää todistaa, että jokin sana ei ole kaava, niin tilanne on vähän hankalampi. Pitäisi siis osata todistaa, että rakennejonoa ei ole olemassa. Tähän ei riitä argumentiksi se, että en minä ainakaan osaa sellaista tehdä. Pitäisi siis keksiä jotain viisaampaa; tällaista viisautta kaivattiin edellä tehtävän kohdissa b) ja c). Seuraava lemma on tässä suhteessa erittäin käyttökelpoinen. Lemma 2.1 Jokaisessa kaavassa on yhtä monta nuolta sekä vasenta ja oikeaa sulkumerkkiä. Harjoitustehtävä Todista lemma 2.1. (Ohje: Induktio nuolien lukumäärän suhteen). Huomautus. Lemman 2.1 avulla voi monessa tilanteessa nähdä, että annettu sana ei ole kaava: lasketaan vain nuolet ja sulkumerkit jos kaikkia ei ole yhtä monta, kyseessä ei voi olla kaava. Toisaalta on huomattava, että nuolien ja sulkujen lukumäärien yhtäsuuruus ei missään nimessä takaa, että kyseessä välttämättä olisi kaava. Esimerkiksi sana [[p 1 p 2 p 3 ]] ei ole kaava. Miksei? Tähän ei ehkä olekaan ihan helppo vastata. Lemma 2.2 Olkoot a 1,..., a n aakkosia ja A = a 1... a n kaava. Tällöin sana B = a 1... a k ei ole kaava millekään k = 1,..., n 1. Harjoitustehtävä Todista lemma 2.2. (Ohje: Käytä hyväksi lemmaa 2.1; tarvitset myös jonkinlaisen induktion, tässä se on ehkä helpointa tehdä sanan pituuden suhteen.) Harjoitustehtävä Lemma 2.2 kertoo siis, että minkään kaavan (aito) alkupää ei ole kaava. Voiko kaavan loppupää olla kaava? Lemmaa 2.2 tarvitaan seuraavan lauseen todistuksessa. Tämä lause 2.3 ja erityisesti sen yksikäsitteisyyspuoli on aivan ratkaisevan tärkeässä osassa jatkossa tehtävissä rekursiomääritelmissä. Tämä yksikäsitteisyys tarvitaan nimenomaan rekursion toimivuutta ajatellen tästähän oli jonkinlainen varoittava esimerkki sivulla 12. Tähän asiaan (ja lauseeseen 2.3) palataan vielä lukuisia kertoja. Lause 2.3 Olkoon A kaava, jossa on ainakin yksi nuoli. Tällöin on olemassa yksikäsitteiset kaavat B ja C siten että A = [B C]. 15

18 Todistus. Koska A on kaava, sillä on rakennejono A 1,..., A m. Tällöin kaava A = A m on muodostettu käyttäen määritelmän 2.1 sääntöjä 1), 2) tai 3). Koska kaavassa A on oletuksen mukaan nuoli, vaihtoehdot 1) ja 2) eivät tule kyseeseen. Tällöin A on saatu käyttäen ehtoa 3) eli A on muotoa A = [B C] joillekin sanoille B ja C, jotka esiintyvät aiemmin rakennejonossa eli B = A i ja C = A j joillekin 1 i, j < m. Harjoitustehtävän nojalla B ja C ovat myös kaavoja. Siten A:lla on väitteen mukainen esitys A = [B C], missä B ja C ovat kaavoja. Pitää vielä osoittaa esityksen yksikäsitteisyys. Oletetaan siis, että A:lla on myös esitys A = [B C ], missä B ja C ovat kaavoja; pitää osoittaa, että B = B ja C = C. Olkoon B = b 1... b n ja B = b 1... b k, missä b i:t ja b i :t ovat aakkosia. Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että n k. Koska [B C] = [B C ], niin [b 1... b k... b n C] = [b 1... b k C ] ja tällöin b 1 = b 1 sekä edelleen b 2 = b 2,..., b k = b k. Siten B on B:n alkupää ja koska B sekä B ovat kaavoja, niin tämä on lemman 2.2 mukaan mahdollista vain, kun n = k, ja tällöin B = B. Ehdosta [B C] = [B C ] seuraa tällöin edelleen aakkonen kerrallaan, että C = C. Huomautus. Käytännössä kaavat tahtovat paisua niiden käsittelyn kannalta kohtuuttoman pitkiksi, esimerkkinä vaikkapa harjoitustehtävän kaava [[[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f]] f]. Muun muassa juuri tämä kaava esiintyy jatkossa usein. Mukavuussyistä muutamille tällaisille kaavoille on omat lyhennysmerkintänsä, jotka määritellään seuraavassa. Lyh1: Olkoon A mielivaltainen kaava. Merkitään A = [A f]. Symboli on negaatiomerkki ja luetaan ei-a. Harjoitustehtävä Osoita, että A on kaava jokaiselle kaavalle A. Lyh2: Olkoot A ja B mielivaltaisia kaavoja. Merkitään A B = [ A B]. Symboli on disjunktiomerkki ja merkintä A B luetaan A tai B. Harjoitustehtävä Osoita, että A B on kaava kaikille kaavoille A ja B. Lyh3: Olkoot A ja B mielivaltaisia kaavoja. Merkitään A B = [ A B]. 16

19 Symboli on konjunktiomerkki ja A B luetaan A ja B. Harjoitustehtävä Osoita, että A B on kaava kaikille kaavoille A ja B. Lyh4: Olkoot A ja B mielivaltaisia kaavoja. Merkitään A B = [A B] [B A] Symboli on ekvivalenssimerkki ja A B luetaan kaavat A ja B ovat ekvivalentteja. Harjoitustehtävä Osoita, että A B on kaava kaikille kaavoille A ja B. Harjoitustehtävä Kirjoita auki (siis ilman mitään lyhennysmerkintöjä) lyhennysmerkintä p 1 p 2. Vertaa harjoitustehtävään Huomaa, että lyhennysmerkinnät säästävät kirjoitusvaivaa todella paljon, varsinkin jos niitä on useampia samassa yhteydessä. Huomautus. Kaavoissa jätetään usein myös uloimmat sulut kirjoittamatta, mistä ei yleensä aiheudu sekaannusta; siis kirjoitetaan lyhyesti A B kaavan [A B] sijasta. Tätä lyhennysmerkintää käytetään korkeintaan kerran kussakin kaavassa ja vain uloimpien sulkujen osalta. Sisäsulkuja ei saa jättää pois, esimerkiksi kaava [[p 1 p 2 ] [p 3 p 4 ]] kirjoitetaan [p 1 p 2 ] [p 3 p 4 ], mutta ei suinkaan p 1 p 2 p 3 p 4. Kaava A B luetaan joko A:sta seuraa B tai jos A (pätee) niin B (pätee) Päättely propositiokielessä Päättelyn lähtökohtana on kolme kaavatyyppiä (itse asiassa tässä on äärettömän monta kaavaa), joita kutsutaan aksioomiksi. Ne ovat: (Ax1) A [B A], (Ax2) [A [B C]] [[A B] [A C]] (Ax3) A A, ja missä A, B ja C ovat mielivaltaisia kaavoja. Huomautus. Koska nyt puhutaan kielen syntaksista, tässä ei oteta mitään kantaa siihen, ovatko aksioomat tosia (mitä se sitten tarkoittaakin) vai eivät. Koska kuitenkin pyritään siihen, että syntaksi ja myöhemmin määriteltävä semantiikka (jossa totuuden käsite määritellään) olisivat tasapainossa, on syytä jo tässä vaiheessa huomata, että jos kaavojen A, B ja C paikalle sijoitetaan reaalimaailman teesejä ja jos luetaan kuten edellisessä huomautuksessa, niin aksioomat antavat intuitiivisesti tosia lauseita. Jos esimerkiksi (Ax1):ssä A on Eukleides on ihminen ja B on tänään sataa, niin saadaan lause jos Eukleides on ihminen, niin pätee: jos tänään sataa, niin Eukleides on ihminen, mikä tuntuu uskottavalta, vaikkei ehkä kovin selkeästi 17

20 olekaan sanottu. Samalla tavalla, jos tänään todella sataa, niin sekä lauseet jos Tarja Halonen on presidentti, niin tänään sataa että jos Sauli Niinistö on presidentti, niin tänään sataa ovat tosia. Huomaa, että aksioomassa (Ax1) ei edellytetä mitään kausaliteettia teesien A ja B välillä eikä myöskään sitä, pätevätkö teesit A ja/tai B vai eivätkö päde. Vastaavasti aksioomassa (Ax3) jos luetaan kielloksi saadaan lause jos ei ole niin, että tänään ei sada, niin tänään sataa, mikä vaikuttaa myös uskottavalta. Sama koskee aksioomaa (Ax2); keksi itse esimerkki. Huomautus. Aksioomia pyritään ottamaan mukaan mahdollisimman vähän ja mahdollisimman yksinkertaisessa muodossa; on turhaa pitää mukana aksioomaa, joka voidaan päätellä muiden avulla. Aksioomien validisuus (tälle siis tulee tarkka määritelmä kielen semantiikan yhteydessä) on myös tärkeää. Toisaalta aksioomajärjestelmän on oltava riittävän vahva, jotta jokainen validi kaava voidaan päätellä valituista aksioomista lähtien. Tässä esityksessä käytetään kolmea aksioomaa, mutta muunkinlaisia aksioomajärjestelmiä on olemassa, ks. esim. [11] tai [14, sivu 64]. Monisteessa [12] aksioomia ei näennäisesti ole lainkaan, mikä johtuu siitä, että siinä päättelysäännöt ovat sellaiset, että tyhjästäkin voi päätellä jotakin. Tässä monisteessa valittua aksioomajärjestelmää voitaisiin (minkään oleellisesti muuttumatta) säätää vaikkapa niin, että aksiooma (Ax3) korvattaisiin aksioomalla (Ax3 ): [A B] [ B A]. Voidaan todistaa, että aksioomajärjestelmästä (Ax1), (Ax2) ja (Ax3) voidaan päätellä aksiooma (Ax3 ), jolloin kaikki mikä on pääteltävissä aksioomajärjestelmästä (Ax1), (Ax2) ja (Ax3 ), voidaan päätellä myös aksioomajärjestelmästä (Ax1), (Ax2) ja (Ax3). Sama pätee myös kääntäen, joten mikään ei todellakaan muuttuisi, jos aksioomajärjestelmäksi valittaisiinkin (Ax1), (Ax2) ja (Ax3 ). Tämä on tietenkin tyhjää puhetta, koska päättelyn käsite on vielä määrittelemättä. Se tehdään seuraavaksi: Määritelmä 2.2 Olkoon A kaava. Sanotaan, että kaavajono A 1, A 2,..., A n on A:n päättelyjono, mikäli A n = A ja kaikille i {1,..., n} pätee joko 1) A i on aksiooma tai 2) on olemassa j, k {1,..., i 1} siten, että A k = A j A i. Sanotaan, että kaava A on teoreema, mikäli sillä on päättelyjono. Tällöin käytetään merkintää A. Huomautus. Määritelmän 2.2 ehto 2) on varsinainen päättelysääntö. Se tunnetaan latinankielisellä nimellä modus ponens. Intuitiivisesti se tarkoittaa sitä, että annetulle i on jo aiemmin päätellyt (koska j, k < i) kaavat A j ja A k, missä A k on muotoa A k = A j A i. Tämä vastaa aiemmin (s. 13) esiintynyttä syllogismia Sokrateen kuolevaisuudesta, kun tulkitaan A j = Sokrates on ihminen ja A i = Sokrates on kuolevainen 18

21 sekä A k = A j A i = jos A j niin A i. Esimerkkejä. 1) Jokainen aksiooma on triviaalisti teoreema, sillä se yksinään muodostaa tarvittavan päättelyjonon. Huomaa, että päättelysääntöjen mukaan tosiaan myös yhdestä aksioomasta muodostuva jono on kelvollinen päättelyjono. Modus ponens-sääntöä ei ole mikään pakko käyttää, vaikka se on sallittua. 2) Jokaiselle kaavalle A pätee A A, toisin sanoen siis kaava A A on teoreema. Todistus. Päättelyjonoksi käy A 1,..., A 5, missä A 1 = A [[A A] A] A 2 = [A [[A A] A]] [[A [A A]] [A A]] A 3 = [A [A A]] [A A] A 4 = A [A A] A 5 = A A. Tässä A 4 ja A 1 ovat (Ax1):n sovelluksia (sopivalle B:lle), A 2 perustuu aksioomaan (Ax2) (kun B = A A ja C = A), A 3 seuraa kaavoista A 1 ja A 2 (modus ponens) ja lopulta kaava A 5 seuraa kaavoista A 3 ja A 4 (modus ponens). 3) Kaikille kaavoille A ja B pätee Todistus. Päättelyjonoksi käy f [[A B] [A A]]. A 1 = [A [B A]] [[A B] [A A]] A 2 = A [B A] A 3 = [A B] [A A] A 4 = [[A B] [A A]] [f [[A B] [A A]]] A 5 = f [[A B] [A A]]. Tässä A 2 ja A 4 ovat (Ax1):n sovelluksia, A 1 seuraa (Ax2):sta, A 3 ja A 5 päätellään modus ponensia käyttäen (A 3 :ssa apuna A 1 ja A 2 ; A 5 :ssä vastaavasti A 3 ja A 4 ). 4) Kaikille kaavoille A ja B pätee A [B [A B]]. Todistus.Tarvittava päättelyjono voidaan muodostaa vaikkapa näin: A 1 = B [A B] A 2 = [B [A B]] [A [B [A B]]] A 3 = A [B [A B]] (Ax1) (Ax1) A 1 +A 2 +modus ponens. 19

22 Huomautus. Kuten nimi falsity sign sanoo, symboli f kuvaa väärää tai epätotta tilannetta. Silloin on luontevaa, että kaava f ei ole teoreema. Yhtä luontevaa on tietysti se, että sen negaatio on teoreema. Näin asia onkin, kuten seuraava tehtävä sanoo: Harjoitustehtävä Todista, että f eli että kaava f on teoreema. Todista myös, että kaava f ei ole teoreema. (Varoitus: Tämä jälkimmäinen tehtävä on varsin vaikea.) Harjoitustehtävä Olkoon A mielivaltainen kaava. Todista, että A A. (Ohje: Kirjoita ensin lyhennysmerkinnät auki.) Harjoitustehtävä Olkoon A mielivaltainen kaava. Todista, että [A A]. Huomautus. Kun teoreemat monimutkaistuvat, myös niiden päättelyjonot monimutkaistuvat ja erityisesti pitenevät. Määritelmän mukaan päättelyjonossa saisi olla ainoastaan aksioomia ja modus ponens-sääntöä käyttäen syntyviä kaavoja. Kirjoitusvaivan helpottamiseksi hyväksytään jatkossa päättelyjonoihin myös kaavoja, jotka tiedetään teoreemoiksi ja joilla siis tiedetään olevan oma päättelyjononsa. Tällöin tätä aikaisemman teoreeman päättelyjonoa ei ole enää tarpeen toistaa, vaan kirjoitetaan lyhyesti pelkkä aikaisempi teoreema uuden teoreeman päättelyjonoon. Tässä siis ikäänkuin ajatellaan, että tämä aikaisempi teoreema symboloi koko päättelyjonoaan. Päättelyjonon määritelmää tarkastelemalla nähdään heti, että tämä kirjoituskäytäntö ei aiheuta mitään ongelmia eikä tulkintapulmia. Tietysti on pidettävä tarkkaan mielessä, että nämä päättelyjonoihin lisättävät kaavat todella ovat teoreemoja tästä syystä on yleensä syytä mainita se lähde (esim. joku lause tai harjoitustehtävä), mistä tiedetään, että kyseinen kaava on teoreema. Huomaa, että tätä lyhennettyä kirjoitustapaa voi menestyksellisesti käyttää harjoitustehtävien ratkaisuissa. Monimutkaisille kaavoille päättelyjonoa on usein vaikea keksiä ja joka tapauksessa siitä tulee pitkä. Seuraavassa esiteltävä päättelylause on aivan keskeinen apuväline päättelyjonojen rakentamisessa. Määritellään ensin, mitä tarkoittaa päättely joistakin oletuksista lähtien. Määritelmä 2.3 Olkoot A ja O 1,..., O n kaavoja. Sanotaan, että A on pääteltävissä oletuksista O 1,..., O n mikäli on olemassa kaavat B 1,..., B m siten, 20

23 että B m = A ja kaikilla B i, i {1,..., m} pätee joko 1) B i on aksiooma tai 2) B i = O j jollekin j {1,..., n} tai 3) on olemassa j, k {1,..., i 1} siten että B k = B j B i. Tällöin sanotaan, että jono B 1,..., B m on kaavan A oletuspäättelyjono oletuksista O 1,..., O n lähtien ja merkitään O 1,..., O n A. Huomautus. Määritelmään 2.2 verrattuna tässä on muodollisesti uutta vain ehto 2). Asiallisesti ottaen ero on kuitenkin merkittävä. Tässä siis oletuspäättelyjonoon saa lisätä myös kaavoja, joiden ei välttämättä tarvitse olla teoreemoja, kunhan ne ovat annetussa oletuslistassa O 1,..., O n. Tässä siis ikäänkuin oletetaan että maailmantilanne on sellainen, että teesit O 1,..., O n ovat voimassa, vaikka ne eivät olisikaan yleispäteviä eli teoreemoja. Tässä on kuitenkin syytä huomata, että mitään rajoituksia näille oletuslistan kaavoille ei aseteta ne voivat olla myös sellaisia, että ne eivät ole voimassa ikinä, olipa maailmantilanne mikä tahansa. Edelleen on syytä huomauttaa, että että mitään totuuskäsitettä ei (vielä) ole olemassa, eikä myöskään siis sellaista käsitettä kuin olla/ei olla voimassa ; tässä vaiheessa näillä kaavoilla pelaaminen on puhtaasti formaalista leikkiä kuten syntaksin sisällä aina. Huomautus. Nyt on siis käytössä kaksi erilaista päättelyjonon käsitettä; näitä ei saa sotkea toisiinsa. Määritelmän 2.3 ehdoin syntyvä jono on siis oletuspäättelyjono. Jos pienintäkin sekaannuksen vaaraa on, kutsutaan määritelmän 2.2 ehdoin tehtyä jonoa teoreemapäättelyjonoksi. Jos taas on täysin selvää, mistä on kysymys, kutsutaan molempia lyhyesti vain päättelyjonoiksi. Huomautus 2.4 Jokainen teoreema on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista lähtien; tämä seuraa suoraan määritelmistä, sillä teoreemapäättelyjono on aina myös oletuspäättelyjono eihän annettuja oletuksia ole mikään pakko käyttää, vaikka se olisikin sallittua. Harjoitustehtävä Osoita, että kaikille kaavoille A pätee A A. Harjoitustehtävä Osoita, että kaikille kaavoille A 1,..., A n {1,..., n} pätee A 1,..., A n A i. ja i Harjoitustehtävä Olkoot A 1,..., A n, B 1,..., B m ja A mielivaltaisia kaavoja. Oletetaan, että A 1,..., A n A. Osoita, että myös A 1,..., A n, B 1,..., B m A. Harjoitustehtävä Olkoot A 1,..., A n, B ja A mielivaltaisia kaavoja. Oletetaan, että A 1,..., A n A ja A B. Osoita, että myös A 1,..., A n, A B. 21

24 Lause 2.5 Olkoon A mielivaltainen kaava. Tällöin A, A f. Todistus. Muistetaan, että lyhennysmerkintä A tarkoittaa kaavaa A f. Päättelyjonoksi käy A 1 = A oletus A 2 = A f oletus A 3 = f A 1 +A 2 +modus ponens, ja asia on selvä. Huomautus. Lause 2.5 sanoo siis, että jos teesit A ja ei-a ovat yhtaikaa voimassa, niin päädytään mahdottomaan tilanteeseen, jota symboli f imitoi. Lemma 2.6 Olkoon B ja B C. Tällöin C. Todistus. Olkoon D 1,..., D i kaavan B ja vastaavasti E 1,..., E j kaavan B C päättelyjono, jolloin siis D i = B ja E j = B C. Tällöin jono D 1,..., D i 1, B, E 1,..., E j 1, B C, C on kaavan C päättelyjono. Lemma 2.7 Olkoon A 1,..., A n B ja A 1,..., A n B C. Tällöin A 1,..., A n C. Harjoitustehtävä Todista lemma 2.7. Seuraavaksi esitetään sitten edellä mainittu päättelylause. Sen idea on seuraava. Oletetaan, että on todistettavana muotoa A B oleva teoreema. Huomaa, että jos teoreemaehdokkaassa on ainakin yksi nuoli, se voidaan lauseen 2.3 nojalla esittää yksikäsitteisellä tavalla tässä muodossa tässä siis A ja B ovat kaavoja. Lauseen 2.3 yksikäsitteisyyspuolen nojalla voidaan sanoa, että A:n ja B:n välissä oleva nuoli on kaavan A B päänuoli. Huomaa, että tässä kaavassa voi olla ja useimmiten onkin myös lukuisia muita nuolia. Sanotaan myös, että A on kaavan A B etujäsen ja B sen takajäsen. Nyt päättelylause sanoo, että teoreeman A B todistamiseksi riittää suorittaa oletuspäättely A B. Siis väitetyn teoreeman etujäsen voidaan siirtää oletuksiin ja päätellä sen avulla takajäsen. Tästä on käytännössä se etu, että päättelyssä on tällöin enemmän aseita: aksioomien ja modus ponensin (ja aikaisempien teoreemien, vrt sivun 20 huomautus) lisäksi on sallittua käyttää oletusta eli etujäsentä A. Tietysti on huomattava, että samalla tavoite muuttuu: enää ei ole tarkoitus päätellä kaavaa A B vaan takajäsen B. 22