1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit"

Transkriptio

1 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät ilmoitetaan lauseina. Seuraako lause toisesta lauseesta, on logiikan pääaiheita. 1.1 Logiikan symbolit Propositio eli suljettu lause sisältää jonkin väitteen tai päätelmän. Väite voi olla totta tai sitten epätotta. Esimerkki 1.1. Lauseita ovat Helsinki on Suomen pääkaupunki. Ville Virtanen on Suomen presidentti. 2+4 = < 8 Näistä ensimmäinen ja viimeinen lause on totta ja keskimmäiset epätotta. Sen sijaan suomen kielen lauseet Jaaha. Miksei Suomessa ole kuningasta? eivät ole logiikan lauseita. Tämä logiikan järjestelmä rakentuu siis kahdelle periaatteelle: kielletyn kolmannen laki: Jokainen lause on tosi tai epätosi. Kolmatta vaihtoehtoa ei ole. kielletyn ristiriidan laki: Mikään lause ei voi olla sekä tosi että epätosi. Koska lauseet ovat tosia tai epätosia, lauseella on aina totuusarvo 1 tai 0: jos lause on tosi, lauseella on totuusarvo 1, ja jos lause on epätosi, sillä on totuusarvo 0. Edellä olevat propositiot katsotaan logiikassa atomilauseiksi. Propositioita voidaan yhdistellä ja saada näin aikaan uusia propositioita. Atomilauseista yhdistettyjä propositioita sanomme yhdistetyiksi lauseiksi. Seuraavaksi katsomme viisi eri tapaa yhdistellä lauseita. 1

2 Negaatio Negaatio (merkitään ) tarkoittaa puhekielessä sanaa ei. Esimerkki 1.2. Jos lausetta Helsinki on Suomen pääkaupunki merkitään p:llä, niin p tarkoittaa lausetta Helsinki ei ole Suomen pääkaupunki. Tämä voidaan myös ilmoittaa muodossa Ei pidä paikkaansa, että Helsinki on Suomen pääkaupunki. Esimerkki 1.3. Jos merkitään q:llä lausetta 6 ei ole parillinen, niin p tarkoittaa lausetta 6 on parillinen. Huomaa, että jos p on tosi, niin p on epätosi. Jos taas p on epätosi, niin p on tosi. Lauseen p totuusarvotaulukko on alla. Konjunktio p p Konjunktio (merkitään ) tarkoittaa puhekielessä sanaa ja. Esimerkki 1.4. Jos merkitään p:llä lausetta Aino laulaa ja q:lla lausetta Bertta soittaa huilua, niin p q tarkoittaa lausetta Aino laulaa ja Bertta soittaa huilua. Tämä lause on tosi, jos Aino laulaa ja Bertta soittaa huilua ovat molemmat tosia lauseita. Esimerkki 1.5. Jos merkitään p:llä lausetta 3 < 1 ja q:lla lausetta 2 < 4, niin p q tarkoittaa lausetta 3 < 1 ja 2 < 4. Tämä lause ei ole tosi, sillä lause p ei ole tosi. Myöskään lause q p ei ole tosi. Esimerkki 1.6. Jos p on edelleen epätosi lause 3 < 1 ja q onkin lause 4 < 2, joka on myös epätosi, niin lause p q eli 3 < 1 ja 4 < 2 on epätosi. Propositio p q on siten tosi vain silloin, kun molemmat lauseet p ja q ovat tosia. Totuusarvotaulukossa on nyt neljä riviä propositioiden p ja q eri totuusarvovaihtoehtojen mukaan. p q p q

3 Disjunktio Disjunktio (merkitään ) tarkoittaa puhekielessä sanaa tai. Esimerkki 1.7. Jos merkitään p:llä lausetta Maari syö mansikoita ja q:lla lausetta Meeri syö mustikoita, niin p q tarkoittaa lausetta Maari syö mansikoita tai Meeri syö mustikoita. Tämä lause on tosi, jos Maari syö mansikoita tai jos Meeri syö mustikoita. Lause on myös tosi, jos molemmat p ja q ovat tosia, ts. jos Maari syö mansikoita ja Meeri mustikoita. Huomaa, että disjunktio eroaa puhekielen tai -sanasta siinä, että puhekielessä usein voidaan tarkoittaa, että vaihtoehdoista on valittava jompi kumpi. Esimerkiksi Kahvi tai tee kuuluu hintaan tarkoittaa käytännössä usein, ettei asiakas saa ottaa sekä kahvia että teetä vaan jompaa kumpaa. Jos tarkoitetaan, että molemmat vaihtoehdot ovat sallittuja, puhutaan inklusiivisesta taista, ja jos vain jompikumpi vaihtoehto on sallittu, puhutaan eksklusiivisesta (poissulkevasta) taista. Esimerkki 1.8. Jos merkitään p:llä lausetta Kuu on juustoa ja q:lla lausetta Kuussa sataa vettä, niin lause p q eli Kuu on juustoa tai Kuussa sataa vettä on epätosi, koska kumpikaan lauseista p ja q ei ole tosi. Disjunktion totuusarvotaulukko on alla. Implikaatio p q p q Implikaatio (merkitään ) tarkoittaa puhekielessä jos... niin tai seuraa. Lause p q voidaan sanoa muodossa jos p, niin q tai muodossa p:stä seuraa q. Tämä tarkoittaa, että jos p on totta, niin myös q on totta. Siten lause p q, on selvästi tosi, jos p on tosi ja q on tosi. Selvästi myös lause p q on epätosi, jos p on tosi, mutta q ei olekaan tosi. Silloin p:n voimassaolosta ei seuraakaan q:n voimassaolo. Entä sitten jos p onkin epätosi? Jos p on epätosi, niin lause jos p, niin q ei sano mitään siitä, onko q tosi vai ei. 3

4 Esimerkki 1.9. Olkoon p lause Kirja on alennuksessa ja q lause Ostan kirjan. Lause p q tarkoittaa silloin Jos kirja on alennuksessa, ostan kirjan. Mitä jos kirja ei ole alennuksessa? Silloin p on epätosi. Onko lause p q totta vai ei? Tällöin katsotaan, että p q on tosi, sillä siitä asiantilasta, että kirja ei ole alennuksessa, ei sanota mitään. Silloin voin joko siltiostaakirjantaiollaostamatta,eikäsemuutalauseenp q totuusarvoa mihinkään. Ainoa tapaus, jossa p q on epätosi, on se tapaus, missä kirja on alennuksessa, mutta en ostakaan kirjaa. Esimerkki Olkoon p lause x > 7 ja q lause x > 2. Jos p on totta, täytyy muuttujan x olla suurempi kuin 7. Silloin muuttujan x täytyy olla myös lukua 2 suurempi. Siten lause q on totta. Täten implikaatio p q on tosi. Sen sijaan implikaatio q p ei ole tosi. Jos q on totta, muuttuja x on suurempi kuin 2. Tästä ei voi päätellä, että x on suurempi kuin 7, sillä x:hän voi olla esimerkiksi 4, jolloin p ei ole totta, vaikka q on totta. Sovimme siis implikaation totuusarvotaulukoksi alla olevan. p q p q Huomaa, että pänvastoin kuin aiemmin, propositiot p ja q ovat nyt eriarvoisessa asemassa. Konjunktion ja disjunktion totuustaulut ovat symmetriset p:n ja q:n suhteen, mutta implikaation totuustaulu ei ole. Ekvivalenssi Ekvivalenssi (merkitään ) tarkoittaa puhekielessä ovat yhtäpitävät tai jos ja vain jos. Lause p q voidaan sanoa muodossa p ja q ovat yhtäpitävät tai pjaqovatekvivalentit taimuodossa pjosjavainjosq.tämätarkoittaa, ettäjokopjaq ovatmolemmat tosiataisittenpjaq ovatmolemmat epätosia. Toisin sanoen propositioilla p ja q on sama totuusarvo. Lause p jos ja vain jos q tarkoittaa, että jos toinen propositioista on tosi, niin toinenkin on. Silloin ei voi olla niin, että toinen propositioista on tosi 4

5 ja toinen epätosi. Ekvivalentit propositiot seuraavat täten toisistaan, jolloin p q jaq p.tämäselittää,miksi ekvivalenssin merkki onyhdistetty kahdesta erisuuntaisesta implikaatiosta ja. Esimerkki Merkitään p:llä lausetta Akseli on töissä ja q:lla lausetta Akseli ansaitsee palkkaa. Silloin jos Akseli saa työstään palkan ja jos Akseli ei saa palkkaa muuten kuin käymällä töissä, niin p q. Toisin sanoen jos Akseli on töissä, hän saa palkkaa, ja jos Akseli saa palkkaa, hän on töissä. Esimerkki Olkoon p lause x+2 = 7 ja q lause x 3 = 2. Jos p on totta, täytyy muuttujan x olla arvoltaan 5. Silloin lause q:kin on totta. Jos q on totta, täytyy jälleen muuttujan x olla 5, jolloin lause p:kin on totta. Siten lauseet p ja q ovat ekvivalentit. Voidaan siis kirjoittaa (x+2 = 7) (x 3 = 2). Järkevämpää olisi lisätä apulause x = 5 ja kirjoittaa (x+2 = 7) (x = 5) (x 3 = 2). Kun sulut vielä jätetään pois, nähdään, että tavalliset yhtälönratkaisuketjut ovat yleensä juuri ekvivalenssien jonoja. Ekvivalenssin totuustaulu on alla. Yhdistetyt lauseet p q p q Kaikkia edellisiä yhdistelymerkkejä,,,, sanotaan konnektiiveiksi. Jo konnektiiveilla yhdistettyjä lauseita voi yhdistellä edelleen. Aloitetaan propositioista p, q, r,... Nyt emme kiinnitä huomiota propositioiden sisältöön, vaan vain niiden totuusarvoon. Siksi kutsumme propositioita p, q, r... propositiomuuttujiksi. Näistä yhdisteltyjä lauseita ovat esimerkiksi p q r ja (p q) p. Näitä yhdistettyjä lauseita merkitään isoilla kirjaimilla P, Q, R,... Yhdistettyjen lauseiden totuusarvot saadaan selville, kun tiedetään siinä esiintyvien propositiomuuttujien totuusarvot. 5

6 Esimerkki Tutkitaan lauseen (p q) ( p) totuusarvo, kun lauseen p totuusarvo on 1 ja lauseen q totuusarvo on 0. Silloin konjunktiivin totuustaulun kolmannen rivin mukaan lauseen p q totuusarvo on 0. Lauseen p totuusarvo on 0, sillä p:n totuusarvo on 1. Ekvivalenssin (p q) ( p) totuusarvo on 1, sillä lauseilla p q ja p on sama totuusarvo, 0. Edellä tarkistettiin totuusarvoyhdistelmä, jossa lauseen p totuusarvo on 1 ja lauseen q totuusarvo on 0. Propositiomuuttujien totuusarvot on helpompi ilmoittaa funktiona. Tässä tapauksessa funktio on α joukolta {p, q} totuusarvojen joukolle{0, 1}. Tällaista funktiota α sanotaan tulkinnaksi(tai totuusarvotukseksi). Ã skeisen esimerkin tulkinta voidaan ilmoittaa näin: α(p) = 1 ja α(q) = 0. Usein halutaan tietää yhdistetyn lauseen totuusarvot kaikissa totuusarvoyhdistelmissä eli kaikissa tulkinnoissa. Sitä varten kannattaa tehdä totuustaulu. Totuustaulun jokaiselle riville kirjoitetaan yksi totuusarvoyhdistelmä. Silloin taulun jokaisella rivillä on yksi propositiomuuttujien tulkinta. Taulun sarakkeita voi täyttää konnektiivi kerrallaan, kunnes osalauseista on koottu kysytty yhdistetty lause viimeiseen sarakkeeseen. Edellisen esimerkin lauseen totuustaulu onkin alla. p q p q p (p q) ( p) Edellisen esimerkin tulkinta (α(p) = 1 ja α(q) = 0) on nyt totuustaulun kolmannella rivillä. Totuustaulusta nähdään, että lause (p q) ( p) on melkein aina epätosi ja tosi ainoastaan silloin, kun lauseella p on totuusarvo 1 ja lauseella q on totuusarvo 0. Huomaa myös, että luettelemme tulkinnat aina samassa järjestyksessä: 00, 01, 10, 11. Kun totuusarvoyhdistelmät tulkitaan binäärilukuina, ne muodostavat luvut 0, 1, 2, 3 suurenevassa järjestyksessä. Vastaavat tulkinnat saavatkin kätevästi nimet α 0, α 1, α 2 ja α 3. Jokainen yhdistetty lause voidaan kuvata puumuodossa. Yksi propositiomuuttuja kuvataan yhtenä pisteenä. Lauseen p q puussa on kolme pistettä p, q ja p q ja näistä p q on ylimpänä ja siitä on viivat pisteisiin p ja q. Edelleen lauseen (p q) puu saadaan, kun edellinen puu yhdistetään viivalla ylempään pisteeseen (p q). Alla on tämän puun kuva: 6

7 p q Lauseita voi kuvailla puumuodossa ylimpänä esiintyvän konnektiivin mukaan. Edellisen esimerkin lausetta (p q) voi sanoa negaatioksi, sillä on lauseen uloin konnektiivi ja samalla puun ylin merkki. Lauseessa (p q) ( p) käytimme sulkuja konjunktion ja negaation ympärillä. Yleensä sulkuja halutaan kirjoittaa kuitenkin mahdollisimman vähän. Mutta silloin emme tiedä välttämättä, mitä yhdistettyä propositiota tarkoitetaan. Tarkoittaako esimerkiksi p q p lausetta(p q) p vai lausetta p (q p)? Nehän eivät ole sama lause, mikä nähdään alla olevasta totuustaulusta. p q p q (p q) p q p p (q p) Korostetuilla sarakkeilla näkyvät tutkittavien lauseiden totuusarvot. Ensimmäisellä rivillä totuusarvot eroavat: siksi lauseet eivät merkitse samaa. Tämän takia sovitaan konnektiivien sitomisjärjestys. Sovitaan, että negaatio sitoo eniten, seuraavaksi konjunktio ja disjunktio, ja vähiten sitovat implikaatio ja ekvivalenssi. Järjestys on siis 1) 2), 3),. Siten esimerkiksi lause p q p tulkitaan lauseeksi p (q p) eikä lauseeksi (p q) p. Lauseesta (p q) ei sen sijaan voi jättää sulkuja pois ja muuttaa sitä lauseeksi p q, sillä silloin se tulkittaisiinkin lauseeksi ( p) q. Myöskin lauseeseen p q r on lisättävä kuitenkin sulut, että tiedetään, tarkoitetaanko lausetta (p q) r vai lausetta p (q r). Propositiomuuttujia voi olla enemmänkin kuin kaksi. Esimerkki Lauseessa p (q r) esiintyy kolme muuttujaa p, q ja r. Muuttujille p ja q tarvitaan neljä eri totuusarvoyhdistelmää. Nämä 7

8 neljä tarvitaan lauseen r arvolla 0 ja toiset neljä lauseen r arvolla 1. Totuustauluun tarvitaan siis kahdeksan riviä. Järjestetään rivit taas nousevaan binäärilukujärjestykseen. Alla olevaan totuustauluun on lisätty vastaavat binääriluvut ensimmäiseen sarakkeeseen. p q r q r p (q r) Huomaa, että jos totuustaulussa on n propositiomuuttujaa, rivejä on 2 n kappaletta. 1.2 Tautologia Esimerkki Lause p p saa aina totuusarvon tosi: jos nimittäin p on tosi, myös disjunktio p p on tosi, ja jos taas p on epätosi, niin p on tosi, ja silloin taas disjunktio p p on tosi. Siis disjunktiossa p p joko p tai p on aina tosi, jolloin disjunktio ei voi olla koskaan epätosi. Tällaista lausetta, joka on propositiomuuttujien totuusarvoista riippumatta aina tosi, sanotaan identtisesti todeksi lauseeksi eli tautologiaksi. Tällaisen lauseen totuustaulussa kaikki rivit ovat ykkösiä: p p p p Lause, jonka totuusarvo on aina epätosi riippumatta propositiomuuttujien arvosta, on identtisesti epätosi (eli kontradiktio). Esimerkki Lause p q (p q) on identtisesti epätosi. Tämä nähdään sen totuustaulustakin: 8

9 p q q p q p q (p q) Looginen seuraus ja looginen ekvivalenssi Määritelmä Lauseet P ja Q ovat loogisesti ekvivalentit, jos niiden totuusarvot ovat samat kaikissa tulkinnoissa. Tällöin merkitään P Q. Esimerkki Tarkastellaan lauseita P = (p q) ja Q = p q. Tutkitaan, ovatko lauseet P ja Q loogisesti ekvivalentteja. Tapa 1. Tehdään totuustaulut. Koska jokaisella totuustaulun rivillä on yksi tulkinta ja taulussa on kaikki mahdolliset tulkinnat, riittää tarkastaa, ovatko taulun sarakkeet kohdissa P ja Q samat. p q q p q P Q Huomataan, että viimeiset sarakkeet ovat samat, joten P Q. Tapa 2. Katsotaan, mitkä ovat ne tulkinnat, joilla P on tosi, ja mitkä ne tulkinnat, joilla Q on tosi. Jos tulkinnat ovat täsmälleen samat, lauseet ovat loogisesti ekvivalentit. Lause P = (p q) on tosi, kun lause p q on epätosi. Implikaatio p q taas on epätosi, kun p on tosi ja q on epätosi. Siten tulkintoja, joilla P on tosi, on vain yksi kappale. Merkitään tätä tulkintaa α:lla; silloin α(p) = 1 ja α(q) = 0. Lause Q = p q on tosi, kun p on tosi ja q on tosi. Lause q taas on tosi, kun q on epätosi. Jälleen saatiin vain yksi tulkinta, jossa Q on tosi. Merkitään tätä tulkintaa β:lla; silloin β(p) = 1 ja β(q) = 0. Koska ainoat tulkinnat, joilla P ja Q ovat tosia, α ja β ovat samat, niin P ja Q ovat ekvivalentit. Ensimmäinen tapa osoittaa lauseet loogisesti ekvivalenteiksi on hyvä, kun propositiomuuttujia on melko vähän. Toinen tapa voi olla parempi, kun propositiomuuttujia on paljon, sillä silloin totuustauluista voi tulla melko isoja. 9

10 Esimerkki Ovatko lauseet P = (p q) r ja Q = p (q r) loogisesti ekvivalentit? Jälleen voidaan laatia totuustaulut, mutta nyt muuttujia on enemmän ja työtäkin on enemmän. Kokeillaan sen sijaan toista tapaa. Arvaamme, että P ja Q eivät ole loogisesti ekvivalentit. Silloin riittää etsiä tulkinta, jossa toinen lauseista P ja Q on tosi ja toinen epätosi. Koska P on konjunktio (ulommaisin konnektiivi on konjunktio), se on useimmassa tulkinnoissa epätosi. Lause Q taas on disjunktiona useimmiten tosi. Etsitään siis tulkinta, jossa P on epätosi ja Q tosi. Jos valitaan r epätodeksi, niin P on epätosi riippumatta p:n ja q:n totuusarvoista. Nyt Q saadaan todeksi valitsemalla p ja q todeksi. Näin siis tulkinnassa α, jossa α(p) = α(q) = 1 ja α(r) = 0, lauseilla P ja Q on eri totuusarvot, joten P ja Q eivät ole loogisesti ekvivalentit. Yllä olevasta esimerkistä huomataan, ettei sulkuja voi välttämättä siirrellä muuttamatta lauseen totuusarvoa. Määritelmä Jos lause Q on tosi kaikissa tulkinnoissa, joissa lause P on tosi, niin lause Q on lauseen P looginen seuraus, merkitään P Q. Esimerkki LauseQ = p q onlauseenp = p q looginenseuraus, sillä Q on tosi aina, kun P on tosi. Tämä nähdään myös lauseiden totuustaulusta: p q p q p q On vain yksi rivi, jossa p q on tosi; se on totuustaulun viimeinen rivi. Tällä rivillä myös p q on tosi. Siten p q p q. Huomaa, että siitä ei tarvitse välittää, että lauseen p q sarakkeessa on muitakin tosia rivejä. Esimerkki Lause Q = (p q) r ei ole lauseen P = p (q r) looginen seuraus, sillä lause P on tosi tulkinnassa α(p) = α(q) = α(r) = 0 ja lause Q on siinä epätosi. Sama voidaan todeta katsomalla totuustaulun ensimmäistä riviä: p q r q r P p q Q

11 1.4 Päättelyt Päättely tarkoittaa johtopäätöksen tekemistä oletuksista. Päättely on pätevä, jos johtopäätös on tosi, kun oletukset ovat tosia. Esimerkki Aristoteles antoi seuraavan esimerkin pätevästä päättelystä. Oletukset ovat (O1) Ihmiset ovat kuolevaisia ja (O2) Sokrates on ihminen. Johtopäätös on(q) Sokrates on kuolevainen. Päättelyn oletukset kirjoitetaan viivan yläpuolelle ja johtopäätös alapuolelle. O1 Ihmiset ovat kuolevaisia. O2 Sokrates on ihminen. Q Sokrates on kuolevainen. Päättely on pätevä, sillä jos ihmiset ovat kuolevaisia ja Sokrates on yksi ihmisistä, täytyy Sokrateenkin olla kuolevainen. Esimerkki Päättely O1 Kaikki hyvät kirjat ovat paksuja. O2 Mikään runokirja ei ole paksu. Q Mikään runokirja ei ole hyvä kirja. on pätevä. Jos jokin runokirja olisi hyvä kirja, se olisi oletuksen O1 perusteella paksu. Mutta oletuksen O2 perusteella mikään runokirja ei ole paksu. Siten runokirja ei voi olla hyvä kirja. Huomaa, että hieman järjettömältä tuntuva johtopäätös perustuu ainoastaan oletuksiin, joten mahdollisesti oletukset eivät ehkä pidä paikkaansa. Silti päättely on aivan looginen maailmassa, jossa oletukset pitävät paikkansa, ja tätähän tässä haetaan. Esimerkki Fifi on koira. Gigi on koira. Didi on koira. Mimi on koira. Päättely ei ole pätevä. Vaikka Fifi, Gigi ja Didi ovat koiria, siitä ei seuraa ilman muuta, että Mimi on koira. Myös matematiikka perustuu päättelyihin. Seuraavassa luvut a, b ja c tulkitaan reaaliluvuiksi. 11

12 Esimerkki a > b b > c (a > b) (b > c) = (a > c) a > c Esimerkki a > b (a > b) = (a+c > b+c) a+c > b+c Esimerkki a > b c > 0 (a > b) (c > 0) = (ac > bc) ac > bc Esimerkki a > 1 2 < 0 (a > b) (c < 0) = (ca < cb) 2a < 2 Yllä olevissa esimerkeissä on aina otettu oletukseksi mukaan myös epäyhtälöiden yleisiä sääntöjä: T: (a > b) (b > c) = (a > c) P: (a > b) = (a+c > b+c) M+: (a > b) (c > 0) = (ac > bc) M-: (a > b) (c < 0) = (ac < bc) Ajatellaan nyt, että nämä säännöt ovat käytettävissä ilman erikseen kirjoittamatta oletuksiin. Tarkastellaan päättelyitä, joissa on useampi vaihe. Esimerkki Päätellään seuraavaksi, että jos a > b > 0, niin a 2 > b 2. Oletuksia on siis kaksi: a > b ja b > 0. Johtopäätös on a 2 > b 2. a > b a > b b > 0 (T) a > 0 (M+) ab = ba (V) a 2 > ba ba = ab a 2 > b 2 a > b b > 0 (M+) ab > b 2 (T) 12

13 Käytetyt säännöt on kirjoitettu päättelyviivan vasemmalle puolelle. Tarvitsimme yllä myös reaalilukujen vaihdantalakia ab = ba (V) ja yhtäsuuruuden symmetrisyyttä a = b = b = a. Päättelyitä voidaan esittää myös puhtaasti logiikan lausein. Esimerkki Päättely P Q on pätevä, sillä jos oletus P Q on tosi, P niin silloin sekä P että Q ovat tosia. Erityisesti näistä Q on tosi. Esimerkki Päättely P Q ei ole pätevä, sillä jos oletus P Q on P tosi, niin silloin P tai Q on tosi. Jos vain Q on tosi, niin silloin johtopäätös P ei ole tosi. Esimerkki Päättely P Q Q P P on pätevä. Nimittäin jos P olisi tosi, niin Q olisi tosi ensimmäisen oletuksen nojalla. Silloin toisen oletuksen Q P perusteella P olisi tosi. Täten P olisikin epätosi. Tämä on mahdotonta, koska oletimme P:n todeksi. Ainoa mahdollisuus on, että P on epätosi ja johtopäätös P on tosi. Tärkeitä päättelysääntöjä ovat modus ponens ja modus tollens: P Q P Q P Q Q P Modus ponensia käytimme kovin päättelyissä lukujen epäsuuruudesta, esimerkeissä Joskus oletukset ovat ristiriidassa keskenään, jolloin mitään johtopäätöstä ei voi tehdä. Haluamme ilmaista tämän lauseella, joka on aina epätosi. Toisessa tapauksessa haluamme ilmaista, että lause on aina tosi. Tähän tarkoitukseen ovat totuusvakiot: ja. Lause on tosi kaikissa tulkinnoissa ja lause on epätosi kaikissa tulkinnoissa. Niitä voi käyttää esimerkiksi seuraavissa pätevissä päättelyissä: P P P P P P 13

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

LOGIIKKA johdantoa

LOGIIKKA johdantoa LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä

Lisätiedot

Lauselogiikka Tautologia

Lauselogiikka Tautologia Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan

Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa

Lisätiedot

Ratkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle

Ratkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi

Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan

Lisätiedot

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2 uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.

Lisätiedot

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat 16. 6 Predikaattilogiikkaa 31. 8 Relaatiot 42.

1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat 16. 6 Predikaattilogiikkaa 31. 8 Relaatiot 42. Diskreetit rakenteet, syksy 2015 Itä-Suomen yliopisto, Tietojenkäsittelytieteen laitos Ville Heikkinen 14.12.2015 15:18 Sisältö 1 Johdanto, Tavoitteet 2 2 Lähteitä 2 3 Propositiologiikkaa 2 4 Karnaugh'n

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 1

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 1 Tekijä Pitkä matematiikka 11 16.2.2017 1 a) Yhdistetään ja-sanalla lauseet A ja B. A B: Järvi on tyyni ja lähden vesihiihtämään. b) Muodostetaan lauseiden A ja B negaatiot. A : järvi ei ole tyyni B : en

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R): Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?

2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}? HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan II, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Mitkä muuttujat esiintyvät vapaina kaavassa x 2 ( x 0 R 0 (x 1, x 2 ) ( x 3 R 0 (x 3, x 0

Lisätiedot

13. Loogiset operaatiot 13.1

13. Loogiset operaatiot 13.1 13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.

Lisätiedot

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa. Johdanto Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tarkastelemme aluksi klassisen

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan (Fte170)

Johdatus logiikkaan (Fte170) Johdatus logiikkaan (Fte170) Teoreettinen filosofia, 5 op, periodit I ja II, 2010 Markus Pantsar 1. Johdanto 1.1 Filosofinen logiikka Logiikkaa tutkitaan pääasiallisesti kolmen tieteen piirissä: filosofian,

Lisätiedot

Käänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla

Käänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla Käänteismatriisi, L5 1 Tässä kalvosarjassa käsittelemme neliömatriiseja. Ilman asian jatkuvaa toistamista oletamme seuraavassa, että kaikki käsittelemämme matriisit ovat neliömatriiseja. Määritelmä. Olkoon

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a ( )

Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a ( ) Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a (23.1.2010) 1. Merkitään P := Elokuva on kiinnostava., Q := Käyn katsomassa elokuvan., R := Elokuvassa on avaruusolioita.. Kirjoita seuraavat

Lisätiedot

Predikaattilogiikkaa

Predikaattilogiikkaa Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6) Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p

Lisätiedot

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

13. Loogiset operaatiot 13.1

13. Loogiset operaatiot 13.1 13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.

Lisätiedot

Ehto- ja toistolauseet

Ehto- ja toistolauseet Ehto- ja toistolauseet 1 Ehto- ja toistolauseet Uutena asiana opetellaan ohjelmointilauseet / rakenteet, jotka mahdollistavat: Päätösten tekemisen ohjelman suorituksen aikana (esim. kyllä/ei) Samoja lauseiden

Lisätiedot

Matematiikan peruskäsitteitä

Matematiikan peruskäsitteitä 2 Matematiikan peruskäsitteitä Nimensä mukaisesti kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin

Lisätiedot

Induktio kaavan pituuden suhteen

Induktio kaavan pituuden suhteen Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan objektikieli määritellään kurssilla Logiikka 1B seuraavasti: 1. Lausemuuttujat p 1, p 2, p 3,... ovat kaavoja. 2. Jos A on kaava, niin A on kaava. 3. Jos

Lisätiedot

Logiikka. Kurt Gödel ( )

Logiikka. Kurt Gödel ( ) Logiikka Tutustumme seuraavaksi propositio- eli lauselogiikkaan, jossa tarkastellaan formaalien lauseiden ominaisuuksia, ennenkaikkea niiden totuusarvoja. Formalisoimalla luonnollisen kielen lauseet propositiologiikan

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C. T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.

Lisätiedot

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?

Lisätiedot

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3 Φ Logiikka I Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mitä logiikka on?.............................. 3 2 ropositiologiikka 4 2.1 Lauseet...................................

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Matematiikan peruskäsitteitä

Matematiikan peruskäsitteitä 2 Matematiikan peruskäsitteitä Kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin peruskäsitteitä

Lisätiedot

3. Predikaattilogiikka

3. Predikaattilogiikka 3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista

Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Lammi Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2018 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Koottu lause; { ja } -merkkien väliin kirjoitetut lauseet muodostavat lohkon, jonka sisällä lauseet suoritetaan peräkkäin.

Koottu lause; { ja } -merkkien väliin kirjoitetut lauseet muodostavat lohkon, jonka sisällä lauseet suoritetaan peräkkäin. 2. Ohjausrakenteet Ohjausrakenteiden avulla ohjataan ohjelman suoritusta. peräkkäisyys valinta toisto Koottu lause; { ja } -merkkien väliin kirjoitetut lauseet muodostavat lohkon, jonka sisällä lauseet

Lisätiedot

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet 1. Kysy Asiakkaalta: Tunnista elämästäsi jokin toistuva malli, jota et ole onnistunut muuttamaan tai jokin ei-haluttu käyttäytymismalli tai tunne, tai joku epämiellyttävä

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010

Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Ensimmäisen viikon luennot Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Perustuu osittain kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix A ja Appendix B ja Trench in verkkokirjaan,

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan 1

Johdatus logiikkaan 1 Johdatus logiikkaan 1 Åsa Hirvonen Kevät 2016 Sisältö 1 ropositiolauseet 3 2 Rekursiiviset määritelmät ja induktio rakenteen suhteen 7 3 Totuusjakaumat ja totuustaulut 12 3.0.1 Negaatio..........................

Lisätiedot

Aaro rakastaa Inkaa tai Ullaa

Aaro rakastaa Inkaa tai Ullaa VIHJELAPPUSET C.2 I O U I O U A I O B U O O U (U O) (O U) C D I: Aaro rakastaa Inkaa. O: Aaro rakastaa Outia. U: Aaro rakastaa Ullaa. A: I U B: ( I O) U C: ((U O) (O U)) D: O Aaro rakastaa Inkaa tai Ullaa

Lisätiedot

Luonnolliset vs. muodolliset kielet

Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnollisia kieliä ovat esim. 1. englanti, 2. suomi, 3. ranska. Muodollisia kieliä ovat esim. 1. lauselogiikan kieli (ilmaisut p, p q jne.), 2. C++, FORTRAN, 3. bittijonokokoelma

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

Tietotekniikka ja diskreetti matematiikka

Tietotekniikka ja diskreetti matematiikka Tietotekniikka ja diskreetti matematiikka Tietotekniikassa Epäjatkuvan matematiikan (diskreetin matematiikan) välineitä. Ongelmien ja ratkaisujen kuvaus. Tavoite: Perehdytään tavanomaisimpiin käytetyistä

Lisätiedot

Muodolliset kieliopit

Muodolliset kieliopit Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot