ANALYYTTINEN MEKANIIKKA A. Erkki Thuneberg

Transkriptio

1 ANALYYTTINEN MEKANIIKKA A Eri Thuneberg Luonnontieteellinen tiedeunta Oulun liopisto 017

2 Järjesteljä Kurssin verosivu on Verosivulta löt luentomateriaali (tämä moniste), harjoitustehtävät ja möhemmin mös harjoitustehtävien rataisut. Katso sieltä mös mahdolliset muutoset luentoja harjoitusaioihin. Aiataulut 017 Luennot: lo 10-1 päivinä e 6.9., to 7.9. ja e , sali SÄ14 lisäsi ti 10-1 päivinä , sali IT106 paitsi sali IT113. Harjoituset (lasupäivä): to 10-1, sali MA335 päivinä ja Tentti: Harjoitusassistentti: Sami Laine Kurssiin uuluvat oleellisena osana lasuharjoituset, joiden tehtävät laitetaan urssin verosivulle pian vastaavan luennon jäleen. Määräaiaan mennessä nätetistä tehdistä harjoitusista saa hden arvosanapälän orotusen loppuarvosanaan. (Ei pisterajoja, joainen tehtävä vaiuttaa paitsi että loppuarvosana pöristetään oonaisluvusi.) Korostettaoon että nämä lisäpisteet ovat vain pieni lisä siihen hötn, joa lasuharjoitusten teemisestä on urssin asian mmärtämiselle ja siten tenttimenestselle. Harjoitustehtäviä annattaa rittää lasea ensin itsenäisesti esim. otona, sillä ahden tunnin lasupäivä on liian lht aien alusta aloittamiseen. 1. Johdanto Analttinen meaniia tunnetaan mös nimellä lassinen meaniia tai teoreettinen meaniia. Siinä tutut Newtonin lait on puettu uuteen muotoon. Eri muotoja utsutaan mm. Lagrangen ja Hamiltonin meaniiasi. Uudessa muodossa meaniian lait voidaan helpommin leistää osemaan aiia fsiaalisia ssteemejä. Seuraavassa muutamia leistsiä. jatuvan aineen meaniia hdrodnamiia (nesteet ja aasut) elastisuusteoria (iinteät aineet) suuret hiuasnopeudet, relativistinen teoria lassinen sähömagneettinen enttä vanttimeaniia (hiuasille) ahden edellisen hdists: vanttienttäteoria Tässä urssissa mennään fsiaalisessa sisällössä Newtonin teorian ulopuolelle ainoastaan äsittelemällä hiuasta uloisessa sähömagneettisessa entässä. Kaii muut leistset tehdään vasta möhemmissä ursseissa, mm. lassinen enttäteoria ja vanttimeaniian urssit. Matemaattisesti nähtnä analttistä meaniiaa voi pitää vetorilasennan, osittaisderivoinnin ja variaatiolasennan sovellutusena. Esitiedot Fsiian matematiiaa ja meaniia (tai vastaavat tiedot) Kirjoja M. Saarela, E. Suhonen ja V. Halonen: Analttisen meaniian urssi Osa I (1990). Moniste, jota on osittain ätett tämän urssin pohjana. A.L. Fetter ja J.D. Waleca, Theoretical mechanics of particles and continua (1980). Tämä on suositeltavin irja. Vain si appale on irjastossa, mutta ostettavissa edullisesti verosta. H. Goldstein, Classical Mechanics (1950, 1980). Hvin leisesti ätett irja aiemmin, luennot melo lähellä tätä, irjastossa luuisia opioita saatavilla. Uusin painos (000) sisältää mös aaosteoriaa. L.D. Landau ja E.M. Lifshitz, Mechanics. Joaisen teoreettisen fsion tulee tutustua Landaun ja Lifshitzin 10-osaiseen irjasarjaan, jona ensimmäinen osaa äsittelee lassista meaniiaa. J.B. Marion, Classical dnamics of particles and sstems (1965). J.V. Jose ja E.J. Saletan, Classical dnamics (1998), äsittelee mös aaosteoriaa. 1

3 sanastoa nopeus velocit iihtvs acceleration liiemäärä momentum voima force ulmaliiemäärä angular momentum ulmanopeus angular velocit tö wor vääntömomentti torque slinterioordinaatisto clindrical coordinates pallooordinaatisto spherical coordinates häiriöteoria perturbation theor. Newtonin meaniiaa.1 Liiehtälöt Tarastellaan pistemäistä hiuasta. Hiuasen hetellistä paiaa uvaa paiavetori r. Komponenttimuodossa r ˆ + ŷ + ẑz, (1) missä ˆ, ŷ ja ẑ taroittavat oordinaattiaselien suuntaisia siövetoreita. (Usein ätetään mös merintöjä i ˆ, j ŷ ja ẑ. Lisää vetorien ominaisuusia on äsitelt Liitteessä.) Nopeus v on tämän derivaatta ajan t suhteen: v dr. () Komponenteittain tämä voidaan irjoittaa muotoon v d, v d, v z dz. (3) Kiihtvs a määritellään nopeuden aiaderivaattana: a dv d r. (4) Oletamme että Newtonin lait ovat voimassa: N I: Jos miään voima ei vaiuta hiuaseen niin se jataa liiettään vaionopeudella (tai ps paiallaan). N II: Hiuasen iihtvs on suoraan verrannollinen hiuaseen vaiuttavaan voimaan F ja on voiman suuntainen. Kaavana dp F, (5) missä liiemäärä p mv ja massa m on hiuasesta riippuva vaio. N III: Jos hiuanen vaiuttaa toiseen hiuaseen jollain tietllä voimalla niin tämä toinen hiuanen vaiuttaa ensimmäiseen hiuaseen täsmälleen saman suuruisella mutta vastaaissuuntaisella voimalla. Lisäsi voimat oletetaan hiuasia hdistävän janan suuntaisisi.. Hiuasjouo Tarastellaan N massapisteen 1,,..., N muodostamaa järjestelmää: hiuasten massat m 1, m,..., m N. hiuasen j hiuaseen aiheuttama sisäinen voima F j. hiuaseen vaiuttavat sisäiset (internal) voimat F (i) F j. (6) j1 j

4 hiuaseen vaiuttava uloinen voima (eternal force) F (e). Liiemäärän säilmislai Newtonin toisen lain avulla hiuasen liiehtälö on dp F (i) + F (e). (7) Määritellään oonaisliiemäärä P summana sittäisten hiuasten liiemääristä. Siis P p m v. (8) Sen aiaderivaatalle saadaan dp N dp F (i) + F (e). (9) Newtonin olmannen lain muaan ahden hiuasen väliset voimat toteuttavat ehdon joten sisäisten voimien summa F j F j, (10) F (i) F j 0, (11) j1 j sillä esim. termit F 1 ja F 1, jota molemmat esiintvät summassa, umoavat toisensa. Määritellään uloinen oonaisvoima F (e) F (e). (1) Tästä seuraa, että hiuasssteemin oonaisliiemäärän P aiaderivaatta on htä uin uloinen voima F (e) : dp F (e). (13) Tästä voimme luea liiemäärän säilmislain: jos ssteemiin ei vaiuta uloisia voimia (tai niiden summa F (e) häviää), niin ssteemin oonaisliiemäärä on vaio. Määritellään ssteemin massaesipiste oonaismassa N R m r N m, (14) M m. (15) Kosa massat ovat vaioita, voidaan oonaisliiemäärälle (8) irjoittaa P m dr d m r M dr. (16) Tätä ättäen voidaan aava (13) irjoittaa muotoon F (e) dp M d R. (17) Näemme, että ssteemi liiuu iään uin sen oo massa olisi esittnt massaesipisteeseen, johon uloinen voima vaiuttaa. Kulmaliiemäärän säilmislai Hiuasjouon oonaisulmaliiemäärä origon suhteen määritellään aavalla L Derivoidaan L ajan suhteen: dl r p. (18) ( dr m v + r dp ) r F (i) + r F (e), (19) missä on ätett v v 0. Ensimmäiselle termille saadaan r F (i) r F j j1 j (r F j + r F j ) j1 j (r F j + r j F j ) j1 j (r r j ) F j 0. (0) j1 j Tässä olmas htäsuuruus on saatu vaihtamalla summausindesien nimet jälimmäisessä termissä, neljäs voiman ja vastavoiman laista (10) ja viimeinen siitä että esinäinen voima F j ja hiuasten hdsvetori r r j oletettiin hdensuuntaisisi. Määritellään uloinen vääntömomentti Näin saadaan N (e) r F (e). (1) dl N (e) () 3

5 eli ulmaliiemäärän aiaderivaatta on htä uin uloinen vääntömomentti. Tästä on luettavissa ulmaliiemäärän säilmislai: Miäli hiuasssteemiin vaiuttava uloinen vääntömomentti jonin pisteen suhteen on nolla, niin sen ulmaliiemäärä o. pisteen suhteen säil. (demonstraatio polupörän pörällä) Energian säilmislai Kun hiuasssteemi siirt tilasta 1 tilaan, teevät voimat tön W 1 : W 1 () (1) F dr. (3) Ilmaistaan hiuasten paiat r (t) parametrin t avulla, joa muuttuu arvosta tilassa 1 arvoon t tilassa. Tehdään integraaliin (3) muuttujan vaihto () (1) F dr t F dr. (4) Kättäen liiehtälöä tämä integraali voidaan irjoittaa () (1) t () / (1) F dr t ( d 1 m v dv m v ) () (1) ( ) 1 d m v 1 m v. (5) Summaamalla li hiuasten saadaan siis W 1 T T 1, (6) missä T on hiuasssteemin ineettinen energia T 1 m v. (7) Tutitaan seuraavasi, voidaano W 1 ilmaista mös voimien avulla. Sanotaan, että voimaenttä F (r) on onservatiivinen, jos sen teemä tö on riippumaton uljetusta tiestä. Tällöin voiman viivaintegraalin on hävittävä aiille suljetuille poluille l: F dr 0, l. (8) l Stoesin lauseen muaan on F dr ( F ) ds, (9) l missä S on suljetun ärän l rajoittama pinta. Tässä S ˆ + ŷ + ẑ z. (30) Jos nt voimaenttä F (r) on pörteetön, ts. F (r) 0, (31) niin se on onservatiivinen (ja ääntäen). Vetorilasennasta tiedämme, että salaarifuntion gradientti toteuttaa edellä olevan ehdon. Siis muotoa F (r) V (r) (3) oleva voimaenttä on onservatiivinen. Salaarifuntiota V (r) utsutaan potentiaalisi tai potentiaalienergiasi. Hiuasssteemissä tö jaaantuu uloisten ja sisäisten voimien teemään töhön W 1 () (1) () (1) F dr F (e) dr + j1 j () (1) F j dr. Oletetaan, että uloiset voimat ovat onservatiivisia. Kirjoitetaan F (e) U (e) (r ), missä nablan alaindesi ertoo että se operoi r :hon. (Potentiaalilla U on alaindesi siltä varalta, että hiuaseen ohdistuva voima riippuu hiuasen paian lisäsi hiuasen tpistä, esim. massasta tai sähövarausesta.) Uloisten voimien teemälle tölle saadaan W (e) 1 N () (1) () (1) ( () (1) U (e) (r ) dr U (e) d + du (e) (1) (e) U d + () / ) (e) U dz z U (e) (r ). (33) Oletetaan, että mös sisäiset voimat ovat onservatiivisia. Tällä taroitetaan sitä, että joaiselle hiuasparille (j, ), missä j <, on olemassa potentiaali U j (r j, r ) niin että F j U j (r j, r ) F j j U j (r j, r ). (34) [Huomaa että voiman ja vastavoiman laista (10) seuraa että U j voi riippua vain erotusesta r j r, U j (r j r ), mutta tämä ei ole oleellista energian säilmisen annalta.] Sisäisten voimien teemäsi tösi saadaan W (i) 1 1 () j1 (1) 1 () j1 (1) + j U j (r j, r ) dr j ] (F j dr + F j dr j ) [ U j (r j, r ) dr 4

6 1 j1 1 () (1) () / j1 (1) du j (r j, r ) U j (r j, r ). (35) Tässä olmas htäsuuruus seuraa siitä että lasettaessa differentiaalia du j (r j, r ) pitää ottaa osittaisderivaatat aiien muuttujien (r j, r ) ( j, j, z j,,, z ) suhteen, miä vastaa juuri edellisessä muodossa olevia gradientteja muuttujien r j ja r suhteen. Määritellään oonaispotentiaali (huomaa että uin pari lasetaan vain erran) V U (e) (r ) + 1 U j (r j, r ). (36) j1 Yhdistämällä aavoista (6) ja (33)-(36) saadaan W 1 T T 1 (V V 1 ). (37) Toisin sanoen, saamme energian säilmislain: jos hiuasssteemiin vaiuttavat voimat ovat onservatiivisia, niin ssteemin oonaisenergia T + V on vaio. Edellä äsiteltiin liiemäärän, ulmaliiemäärän ja oonaisenergian säilmislait Newtonin meaniiassa. Jatossa tässä urssissa äsitellään uina nämä lait leistetään osemaan staattista magneettienttää. Lisäsi muotoillaan meaniian teoria siten, että se on möhemmin helpompi leistää osemaan relativistisia hiuasia, vanttimeaanisia hiuasia, seä leistä sähömagneettista enttää. toteutua ussain :n ertaluvussa eriseen. Nollannessa ertaluvussa saadaan m r 0 mgŷ. (40) Tämä on heittoliieen htälö ilman ilmanvastusta. Se voidaan integroida, jolloin saadaan sopivilla aluehdoilla (alunopeus V ) 0 (t) V t, 0 (t) V t 1 gt. (41) Kooamalla htälön (38) ensimmäisen ertaluvun termit saadaan htälö m r 1 ṙ 0. (4) Tätä integroimalla saadaan orjauset 1 (t) m V t, 1 (t) ( 1 m V t 1 ) 6 gt3. (43) Tästä voidaan päätellä, että appale osuu maahan ( 0) hetellä ja heiton pituus t V g 3 mg +... (44) V V g 8 3 V V V mg +... (45) Nämä aii siis sarjaehitelminä :n suhteen. Lase välivaiheet harjoitustehtävänä..3 Häiriöteoria Meaniian ongelmien tara rataisu on monesti hanalaa, jopa mahdotonta. Usein riittävän taraan rataisuun voidaan päästä ättämällä sinertaisempaa häiriölasua. Itse asiassa sms on vain rataisun ehittämisestä Talorin sarjasi jonun parametrin suhteen, ja lasea vain sarjan alimmat termit. Seuraava esimeri havainnollistanee tätä hvin leistä menetelmää. Esim. Tutitaan ilmanvastusen vaiutusta heittoliieeseen. Ysinertaisuuden vuosi oletetaan, että vastusvoima on suoraan verrannollinen nopeuteen F vastus v. Liiehtälö on m r mgŷ ṙ, (38) missä aiaderivaattaa on meritt pisteellä. Tämän rataisu on muotoa r(t, ). Olettaen, että ilmanvastus on suhteellisen pieni, on mahdollista ehittää r(t, ) Talorin sarjasi :n suhteen: r(t, ) r 0 + r 1 + r +..., (39) missä alaindesi antaa termin ertaluvun :ssa (r i i ). Sijoitetaan tämä liiehtälöön (38). Tämän htälön tulee 5

7 3. Lagrangen meaniiaa 3.1 Yleistett oordinaatit Newtonin meaniiassa ätetään hiuasten paiojen ilmaisemiseen paiavetoreita r, 1,,..., N. Useissa tapausissa on sen sijaan hödllistä ättää leistettjä oordinaatteja q i, i 1,,..., 3N: tai q i q i (r 1,..., r N ; t) i 1,..., 3N. (46) q i q i ( 1, 1, z 1,..., N, N, z N ; t) i 1,..., 3N. (47) Yleistett oordinaatit siis riippuvat seä hiuasten paiaoordinaateista, että mahdollisesti ajasta. Ssteemissä oletetaan olevan N appaletta hiuasia ja joaiseen hiuaseen liitt 3 paiaoordinaattia. Jotta leistett oordinaatit uvaisivat ssteemin tilan tädellisesti, tät niitäin olla 3N appaletta. Ainoa vaatimus paia- ja leistettjen oordinaattien välillä on, että niillä on si hteen vastaavuus (ainain jossain määrittelalueessa). Toisin sanoen vaaditaan, että Jacobin determinantti D 0, eli D (q 1,..., q 3N ) ( 1,..., z N ) Tällöin äänteismuunnos voidaan lasea. q 1 q 3N q 1 z N q 3N z N 0. (48) r r (q 1,..., q 3N ; t) 1,..., N. (49) Yleistett oordinaatit ovat hödllisiä mm. seuraavissa tapausissa. Voimaentällä on join smmetria, esim. slinterismmetria. Tällöin on järevää ättää slinterioordinaatteja ρ, φ ja z: r ˆρ cos φ + ŷρ sin φ + ẑz. (50) Liie on rajattu, esim. uula vierii (hitaasti) pinnalla. Tällöin tarvitaan vain leistett oordinaatit, jota uvaavat paiaa pinnalla, ja hiuasen olmas leistett oordinaatti voidaan jättää tarpeettomana pois. Katsotaan muutamia muunnosen r r (q 1,..., q 3N ; t) (51) seuraamusia. Hiuasjouon liiettä uvaavat nt leistett oordinaatit jota ovat ajan funtioita, q i (t). Kätetään aiaderivaatan lhennsmerinä pistettä, df f (5) mille tahansa ajan funtiolle f(t). Eritisesti siis Määritelmän muaan nopeudelle saadaan v dr dq i q i. (53) i r q i + r t. (54) Tästä nähdään että v riippuu mös leistettjen oordinaattien aiaderivaatoista q i. Täten v :n omponentit on seuraavaa muotoa olevia funtiota f (q 1,..., q 3N ; q 1,..., q 3N ; t). (55) Jatossa tarastellaan paljon funtioita, jota ovat tätä samaa muotoa. Näille määritellään osittaisderivaatat f, f q i, f t (i 1,..., 3N) (56) äsittelemällä muuttujia q i, q i ja t toisistaan riippumattomina. Mös r (51) on tppiä (55) oleva funtio, mutta osa r ei riipu q i :stä. r q i 0 (57) Lasetaan osittaisderivaatta v / q i. Kaavasta (54) saadaan v r q j + r. (58) q i q i q j j t Huomaa että summausindesi on vaihdettu j:si, jotta i ei esiintisi ahdessa eri meritsessä. Kosa r ja siten r / ja r / t ovat riippumattomia q i :stä, saadaan v q i j r q j q j q i. (59) Kosa q i ja q j äsitellään osittaisderivoinneissa toisistaan riippumattomia luuun ottamatta tapausta i j, pätee missä on ätett Kronecerin deltaa, { 1 un i j δ ij 0 un i j. Siten saadaan q j q i δ ij, (60) v q i mitä ohta tullaan ättämään. Kaava (6) voidaan irjoittaa dr q i (61) r, (6) r. (63) 6

8 Voidaan huomata, että vasemmalla puolella olevien derivointien järjests on oleellinen, sillä r ei riipu ollenaan q i :stä. Osoitetaan, että derivointien järjests voidaan uitenin muuttaa lauseeessa Kosa niin r d r j j d r. (64) r (q 1,..., q 3N ; t) (65) r q j q j + r t r q j + r q j t r q j + r q j j t v, (66) sillä osittaisderivointien järjests voidaan aina vaihtaa ja q j ja q i tulitaan osittaisderivoinnissa toisistaan riippumattomisi. 3. Lagrangen htälöt Ns. Lagrangen htälössä Newtonin liiehtälö on irjoitetaan leistettjen oordinaattien avulla. Seuraavassa johdetaan Lagrangen htälöt lähtien Newtonin liiehtälöistä dp F, 1,..., N. (67) Kerrotaan molemmat puolet pistetulona r / :lla ja summataan :n li: dp r F r, i 1,..., 3N. (68) Ysinertaisuuden vuosi summausrajat ( 1,..., N) on jätett meritsemättä. Huomaa, että htälörhmät (67) ja (68) ovat täsin evivalentteja osa muunnos r :n ja q i :n välillä on si hteen. Määritellään oiean puolen suure leistetsi voimasi Q i : Q i F r. (69) Muoataan (68) vasemmalla puolella olevaa termiä: dp r d ( p r ) p d r d ( m v v ) m v v q i d [ ( )] 1 q i m v ( ) 1 m v, (70) missä toisella rivillä ätettiin tulosia (6), (66) ja p m v. Näin ollen voidaan (68) irjoittaa ( ) d T T Q i. (71) q i missä T on ineettinen energia. Tätä utsutaan Lagrangen htälösi. Useimmiten nimeä Lagrangen htälö uitenin ätetään siitä erioistapausesta, jossa voimat ovat onservatiivisia, ja joa seuraavasi muotoillaan. Konservatiiviselle voimalle Tällöin leistett voima Q i F V (r 1,..., r N ; t). (7) F r V r ( V + V + V ) z z V. (73) Ts. leistett voima saadaan suoraan derivoimalla potentiaalia, un se on ilmaistu leistettjen oordinaattien funtiona: V V (q 1,..., q 3N ; t). (74) Kosa V ei tässä riipu q i :stä, voidaan (73) aivan htä hvin irjoittaa Q i V + d ( ) V. (75) q i Näin saadaan aavasta (71) onservatiivisille ssteemeille Lagrangen liiehtälö d ( L q i ) L 0, i 1,..., 3N, (76) missä L T V on Lagrangen funtio. Se on muotoa L L (q 1,..., q 3N ; q 1,..., q 3N ; t). Mitä on tapahtunut siirrttäessä Newtonin htälöistä dp F, 1,..., N, (67) Lagrangen htälöihin ( ) d L L 0, i 1,..., 3N? (76) q i Yleistett oordinaatit voidaan valita edullisemmin uin vetorit. Salaarihtälö (L ei muutu oordinaattimuunnosessa, vain sen riippuvuus oordinaateista. Liieen rajoitusehdot helpompi ottaa huomioon. Helpompi leistettävs (esim. q i voi olla magneettientän voimauus) toimii mös nopeudesta riippuvalle potentiaalille V (q 1,..., q 3N ; q 1,..., q 3N ; t) jos vain htälö (75) on voimassa. 7

9 Rajoitus: vain onservatiiviset ssteemit (ita ei sallittu) Vaatimus: osattava lausua L T V leistettjen oordinaattien avulla. Eritisesti ineettinen energia on lausuttava T 1 m v ( ) 1 m r q i + r, (77) q i i t missä toinen potenssi on mmärrettävä pistetulona. Tästä seuraa, että T on muotoa T a + a i q i + a ij q i q j, (78) i i j missä a, a i ja a ij ovat funtioita jota riippuvat muuttujista q i (i 1,..., 3N) ja t. Esimerejä Esim. 1. Ysi hiuanen arteesisissa oordinaateissa On hvä tutia mös tämä sinertaisin tapaus, jossa leistett oordinaatit ovat tutut q 1, q ja q 3 z. Tällöin V V (,, z) ja T 1 mv 1 m ( ẋ + ẏ + ż ), (79) L 1 m ( ẋ + ẏ + ż ) V (,, z). (80) Lagrangen htälö (76) antaa 0 d ( ) L L ẋ 0 d ( ) L L ẏ 0 d ( ) L L ż z d V (mẋ) + d V (mẏ) + (81) (8) d V (mż) + z. (83) Tulosena on (niin uin pitääin) tutut Newtonin htälöt: mẍ V, mÿ V, Esim.. Ysi hiuanen napaoordinaateissa m z V z. (84) Napaoordinaatit --tasossa määrittelee htälö r ˆr cos φ + ŷr sin φ. (85) Yleistett oordinaatit ovat nt q 1 r ja q φ. Tällöin V V (r, φ). Kineettisen energian lasemisesi tarvitaan ṙ ˆ(ṙ cos φ r φ sin φ) + ŷ(ṙ sin φ + r φ cos φ). (86) Kineettiselle energialle saadaan tästä T 1 mṙ 1 m (ṙ + r φ ). (87) Tässä osuus 1 mṙ tulee radiaalisesta liieestä ja 1 mr φ ulmaliieestä. rdφ dφ r dr Lagrangen funtio on siis L 1 m (ṙ + r φ ) V (r, φ). (88) Osittaisderivaatoille saadaan L ṙ mṙ, L φ mr φ, Lagrangen htälöt ovat siis d L r mr φ V r (89) L φ V φ. (90) d (mṙ) ( ) mr φ V r mr φ (91) V φ. (9) Tulinta: Yhtälössä (9) mr φ m(r ṙ) z L z on ulmaliiemäärän z-omponentti, uten voidaan todeta pienellä lasulla. Oiealla puolella esiintvä suure on taas leistetn voiman määritelmän muaan V φ Q φ F r φ F r ˆφ (r F ) z N z, (93) missä ˆφ ˆ sin φ + ŷ cos φ on siövetori atsimuuttisuuntaan. Ts. (9) voidaan irjoittaa L z N z, joa on erioistapaus aiemmin johdetusta htälöstä (). Yhtälö (91) voidaan irjoittaa m r mr φ Q r F r, (94) missä r φ vφ /r on mpräliieen eseisiihtvs. Harjoitus: lase läpi esimerin aii välivaiheet. Vastaavalla tavalla uin tässä esimerissä voidaan johtaa hiuasen ineettisen energian lausee slinteri- ja pallooordinaateissa. z φ ρ z Slinterioordinaateissa (ρ, φ, z), joissa r ˆρ cos φ + ŷρ sin φ + zẑ, (95) 8

10 saadaan tulosesi T 1 m ( ρ + ρ φ + ż ). (96) Esim. 4. Helmi tasaisesti pörivässä langassa z φ θ r Pallooordinaateissa (r, θ, φ), joissa saadaan tulosesi r r(ˆ cos φ + ŷ sin φ) sin θ + ẑr cos θ, (97) T 1 m (ṙ + r θ + r sin θ φ ). (98) Usein esiintviä potentiaaleja ovat seuraavat: (a) appaleen potentiaalienergia vaiossa gravitaationentässä V mgh, missä g on gravitaatioiihtvs, m appaleen massa ja h oreus jolla appale on, ja (b) ventetn jousen potentiaalienergia V 1 s, missä s on jousen pituuden muutos sen lepopituudesta ja jousivaio (harjoitus). Esim. 3. Atwoodin pudotusoe m 1 m l- Kahta punnusta hdistävä venmätön naru liuuu itatta iinteällä pörällä. Tämä on esimeri järjestelmästä, jossa rajoitusehtojen vaiutusesta on vain si oleellinen oordinaatti. Tälle saadaan V m 1 g m g(l ), T 1 m 1ẋ + 1 m ẋ, (99) joten L 1 (m 1 + m )ẋ + m 1 g + m g(l ). (100) Tästä saadaan L ẋ (m 1 + m )ẋ, L (m 1 m )g, (101) jolloin Lagrangen htälö antaa liiehtälön (m 1 + m )ẍ (m 1 m )g. (10) Tämän rataisu on 1 ( ) m1 m gt + v 0 t + 0. (103) m 1 + m r φωt Tämä on esimeri ajasta riippuvasta rajoitusehdosta. Kosa φ ωt, ainoa vapaa oordinaatti on r. Olettaen V 0 saadaan L T 1 m(ṙ + r ω ). (104) Lagrangen htälöstä saadaan 0 d ( ) L L ṙ r m r mω r. (105) Tämän leinen rataisu on r A ep(ωt) + B ep( ωt). (106) Tässä on asi tuntematonta vaiota A ja B, uten uluu olla toisen asteen differentiaalihtälön leisessä rataisussa. Näiden arvot voidaan määrittää un tunnetaan helmen paia ja nopeus jollain ajanhetellä. Nopeusista riippuvat potentiaalit Kuten aiaisemmin todettiin, Lagrangen htälöiden d L L 0 (76) q i voimassaolo nopeusista riippuvien potentiaalien tapausessa vaatii leistetlle voimalle lauseeen Q i d V V. (75) q i Osoitetaan, että tämä on voimassa varatulle hiuaselle sähömagneettisessa entässä. Hiuaseen vaiuttaa Lorentz-voima missä F q (E + v B), (107) q varaus E sähöenttä B magneettivuon tihes v hiuasen nopeus. Kentät toteuttavat Mawellin htälöt E ρ ɛ 0 (108) E B t (109) B 0 (110) B E µ 0 ɛ 0 t + µ 0j. (111) 9

11 Kaavoista (109) ja (110) on mahdollista päätellä, että E ja B voidaan irjoittaa muotoon E ϕ A (11) t B A, (113) joten voidaan identifioida Lorentz-voiman nopeudesta riippuva potentiaali V (r, v, t) q [ϕ(r, t) v A(r, t)]. (119) missä ϕ ϕ(r, t) on salaaripotentiaali ja A A(r, t) vetoripotentiaali. [Osoita että materiaalittomat htälöt (109) ja (110) toteutuvat tällöin automaattisesti.] Lorentzvoimasi saadaan [ F q ϕ A ] + v ( A). (114) t Valitaan nt leistt oordinaatit q i samoisi uin arteesiset oordinaatit, ja z, jolloin Q 1 F jne. Pritään lötämään potentiaali V (,, z, ẋ, ẏ, ż, t) niin että aavaan (75) sijoitettuna se antaisi voiman (114). Nt v ( A) (v A) (v ) A. (115) (Tällaisissa lauseeissa tulee vetorialgebran oieellisuuden lisäsi iinnittää huomiota siihen, että nablat operoivat samoihin suureisiin htälön molemmilla puolilla. Kosa v ṙ ja r äsitellään osittaisderivoinneissa toisistaan riippumattomisi, ei tässä haittaa se että oiean puolen ensimmäisessä termissä nabla operoi mös v:hen.) Sijoittamalla saadaan [ F q ϕ A ] + (v A) (v ) A. (116) t Jotta tätä voitaisiin sieventää, muodostetaan oonaisderivaatta d A d A(r(t), t) + A d + A z dz + A t (v )A + A t. (117) Tämä lausee voidaan tulita fsiaalisesti siten että da/ uvaa entän muutosta, jona hiuanen näee: termi A/ t uvaa entän muutosta ajassa iinteässä pisteessä r. Termi (v )A taas ottaa huomioon, että tässä ajassa hiuanen on liiunut matan dr v ja enttä muuttunut sen taia (siäli un enttä riippuu paiasta). Kaavan (117) avulla voidaan Lorentz-voima irjoittaa edelleen muotoon [ F q (ϕ v A) da ]. (118) Tämän -omponentti voidaan irjoittaa [ F q (ϕ v A) da ] { q (ϕ v A) + d [ ]} (ϕ v A). v Tämä on samaa muotoa uin leistetn voiman lausee Q i d V V, (75) q i 10

12 4. Variaatiolasenta ja Lagrangen htälöt 4.1 Hamiltonin periaate Yleisten oordinaattien q i (i 1,..., n) muodostamaa avaruutta utsutaan onfiguraatioavaruudesi. Ssteemin tilaa ullain ajanhetellä uvaa si piste tässä avaruudessa. Ajan uluessa tämä piste (leisesti) liiuu ja siten piirtää polun onfiguraatioavaruudessa. Edellä johdettiin Lagrangen htälöt ( ) d L L 0. (76) q i Tämä on differentiaalihtälö. Ts. se on differentiaalinen (eli loaali) ehto, joa sitoo ssteemin tilan jollain hetellä t infinitesimaalisen lähellä oleviin aioihin t +. Tästä ehdosta toi voidaan johtaa ssteemin aiaehits pitänin aiavälin li, un differentiaalihtälö rataistaan. Joissain tapausissa on hödllistä Lagrangen htälön (76) sijasta ättää integraalimuotoista (eli globaalia) ehtoa. Siinä lausutaan suoraan ehto polulle onfiguraatioavaruudessa ahden pisteen välillä vastaten äärellistä aiaväliä (, t ). Meaniian integraaliehdon nimi on Hamiltonin periaate: Oloon annettuna onfiguraatioavaruuden asi pistettä, ja niitä vastaavat ajanhetet ja t. Ssteemin liie näiden välillä tapahtuu siten, että integraalilla on ääriarvo. S t L ; L T V (10) olemassa si luu A(). Tällaista funtion funtiota utsutaan funtionaalisi. Eritisen sinertainen esimeri funtionaalista on määrätt integraali A() 1 ()d. (1) Seuraavassa tutimme hieman leisempää funtionaalia, joa on muotoa A() 1 f((), d(), )d, (13) d ja f on join olmen muuttujan funtio. Esimerisi [ ( ) ] d A() + d. (14) d 1 Lisäsi oletamme, että ( 1 ) 1 ja ( ) on iinnitett vaiosi. Kaii funtiot oletetaan matemaattisesti hvin ättätvisi (jatuvisi ja ertaa derivoituvisi). Seuraavasi haluamme tutia ääriarvoja, eli minimejä ja masimeja. Tavallisen simuuttujaisen funtion ääriarvot saadaan ehdosta da() 0. (15) d Miten tämä leistetään funtionaaliin? Ts. miten derivoida funtiota toisen funtion suhteen? Rataisu. Oletetaan, että funtio () antaa funtionaalin (13) ääriarvon. Tarastellaan tällöin funtiota (, α) () + αη(). (16) Tässä η() on funtio jolle η( 1 ) η( ) 0, ja α on uusi riippumaton parametri. Muodostetaan A(α) 1 f((, α), d(, α), )d. (17) d q t q 1 Meritään d/d ẏ ja lasetaan derivaatta da(α) dα 1 1 ( f η + f ẏ df ((, α), ẏ(, α), )d dα ) dη d. (18) d Seuraavassa pritään mmärtämään Hamiltonin periaate taremmin, ja osoitetaan, että se on evivalentti Lagrangen htälöiden anssa. Sitä ennen on hödllistä opetella vähän puhdasta matematiiaa. 4. Variaatiolasentaa Olemme tutustuneet (reaaliarvoisiin) funtioihin, jota riippuvat hdestä muuttujasta A(), tai useammasta muuttujasta A( 1,,..., n ). (11) Nt haluamme leistää funtioihin A, jota riippuvat äärettömästä määrästä muuttujia (), un 1 < <. Toisin sanoin, vastaten mitä tahansa funtiota (), on Jälimmäisestä termistä saadaan osittaisintegroinnilla 1 f dη / ẏ d d f ẏ η 1 1 d d Sijoitustermi häviää osa η( 1 ) η( ) 0. Saadaan siis da(α) dα 1 [ f d d Jotta () antaisi A:lle ääriarvon, tät ( ) f ηd. (19) ẏ ( )] f ηd. (130) ẏ da(α) dα α0 0. (131) 11

13 Eritisesti integraali (130) pitää hävitä aiille funtiolle η(). Kosa voidaan aina valita η():si funtio joa on nollasta poieava vain mielivaltaisen pisteen lähimpäristössä, voidaan ehto (131) toteuttaa vain jos haasululausee aavassa (130) häviää. Siis f d d ( ) f 0. (13) ẏ Tämä Eulerin htälö on variaatiolasennan päätulos. Nimi variaatiolasenta tulee siitä, että htälössä (16) esiintvää :n muutosta usein utsutaan :n variaatiosi δ η()dα (taremmin möhemmin). Esim. 1. saadaan f. Tällöin Tavalliselle integraalille A() f d d 1 ()d (1) ( ) f 1, (133) ẏ ts. Eulerin htälö ei osaan ole toteutunut. Integraalilla (1) siis ei ole ääriarvoja leisessä funtiojouossa (), niin uin tietsti luonnollista onin. Esim.. Määrättävä ahden pisteen välinen lhin etäiss tasossa. Tasossa viivaelementin pituus on Etsitään integraalin minimiä. Nt joten A 1 ds d + d. (134) ds ( ) d d (135) d f f(ẏ) 1 + ẏ, (136) f f ẏ Eulerin htälö tulee muotoon ( ) d ẏ d 1 + ẏ joten tät olla 0 (137) ẏ 1 + ẏ. (138) 0, (139) ẏ C vaio. (140) 1 + ẏ Nähdään, että toteuttaa differentiaalihtälön ẏ a, (141) missä vaio a on a Differentiaalihtälön rataisu on eli suoran viivan htälö. Eulerin htälön toinen muoto Eulerin htälö f d d C 1 C. (14) a + b (143) ( ) f 0 (13) ẏ on ätännöllinen siinä tapausessa, että f/ 0, osa tällöin saadaan heti ensimmäinen integraali f ẏ vaio. (144) Usein esiint uitenin tapaus, että f/ 0. Tällöin on ätännöllistä muoata Eulerin htälö toiseen muotoon f d ( f ẏ f ) 0. (145) d ẏ Siinä tapausessa, että f/ 0 siis mös saadaan ensimmäinen integraali, joa on f ẏ f ẏ vaio. (146) Toisen muodon (145) todistus: f d ( f ẏ f ) d ẏ f f f ẏ f ẏ ÿ + ÿ f ẏ + ẏ d f d ẏ ( d f ẏ d ẏ f ) 0. (147) Esim. 3. Minimaalinen pörähdspinta Etsitään pinta-alaltaan pienin pinta, joa on pörähdssmmetrinen -aselin mpäri; esimerisi saippuaalvo ahden renaan välillä. Yhden suialeen pinta-ala on πds π 1 + ẏ d. Jätetään vaioteijä π pois, jolloin minimoitavasi jää integraali A ẏ d. (148) Kosa f 1 + ẏ ei riipu esplisiittisesti :stä, saadaan ensimmäinen integraali aavasta (146): C f ẏ f ẏ 1 + ẏ ẏ ẏ 1 + ẏ. (149) 1 + ẏ Totea lasemalla että tämän leinen rataisu on ( ) b () a cosh. (150) a 1

14 ontatiulman θ niin että ẏ(0) cot θ, saadaan ehto σ g σ l + σ cos θ. Tulitse tämä olmen pintajännitsvoiman -omponenttien voimatasapainona. Kaavan (15) integraalitermi on samaa tppiä uin edellä. Kosa f σ 1 + ẏ + 1 gρ ei suoraan riipu :stä, on helpoin ättää Eulerin htälön toista muotoa. Osoita että tästä seuraa ontatiulman ja nesteen nousuoreuden välille htälö (0) a 1 sin θ missä a σ/gρ. Pienellä vaivalla saadaan mös toinen integrointi tehtä, jolloin saadaan 0 a 1 (/a) 1 (/a) ln (. (153) 1)/a a 1.0 Minimaalinen pörähdspinta toteutettuna saippuaalvolla. Lähde en/eper/eper.htm Seuraava esimeri ei uulu urssiin, mutta se on jätett tähän osoitusena hieman monimutaisemmasta tapausesta. Esim. 4. Tämä esimeri on hieman vaativampi ja siinä ätetään variaatiomerintää, joa opitaan vasta seuraavassa luvussa, joten tähän harjoituseen annattaa palata vasta sen jäleen. Tutitaan nesteen pinnan muotoa pstsuoran tasaisen seinämän lähellä. Oletetaan että eri rajapintoihin liittvät seuraavat energiat pinta-alaa ohti: neste-aasu σ, nesteiinteä σ l ja aasu-iinteä σ g. Väitämme nt että ongelmaa uvaa funtionaali E d (σ 1 + ẏ + 1 ) gρ 0 + σ l (0) σ g (0), (151) missä () on pinnan oreus ja E on energiatihes (energia jaettuna rajapinnan pituudella tarasteltavaa - tasoa vastaan ohtisuorassa suunnassa). Seinämä on ohdassa 0, ja reunaehtona annetaan ( ) 0. Perustele harjoitustehtävänä että energia (151) uvaa annettua ongelmaa ja että integroitavan jälimmäinen termi uvaa pinnan noususta oreuteen () aiheutuvaa painovoimaenergian muutosta (ρ on nesteen tihes). Osoita että E:n variaatiolle saadaan ( ) δe d σ d ẏ 0 d + gρ δ 1 + ẏ ( ) ẏ(0) + σ l σ g σ δ(0). (15) 1 + ẏ (0) Jotta E:llä olisi ääriarvo δ(0):n suhteen, tät jälimmäisen sululauseeen hävitä. Kun määrittelemme θ Nesteen pinnan muoto ontatiulmille θ 0 ja θ 40. Puhtaan veden ja ilman rajapinnalle normaaliolosuhteissa a 3.9 mm. Seuraavasi palaamme taaisin Hamiltonin periaatteeseen. 4.3 Meaniian johto Hamiltonin periaatteesta Hamiltonin periaatteen muaan vaiutusfuntionaalilla (action functional) S t L(q 1,..., q n, q 1,..., q n ; t) (154) on ääriarvo un q 1,..., q n on iinnitett ajanhetillä ja t. Ainoa olennainen ero tässä edellä äsiteltn tapauseen (13) nähden on, että funtioita q i (t) on enemmän uin si. Näin ollen irjoitetaan varioiduille funtiolle q 1 (t, α) q 1 (t) + αη 1 (t) q (t, α) q (t) + αη (t)... (155) Luuun ottamatta tätä monistumista on Eulerin htälön (jota tässä tapausessa siis utsutaan Lagrangen htälösi) johto samanlainen uin edellä. Siirrtään ättämään variaatiomerintää, mitä leisesti ätetään irjallisuudessa. Siinä meritään ds dα δs, (156) dα a 13

15 ja vastaavasti muille suureille. Koordinaattien variaatiota δq i utsutaan usein virtuaalisesi siirtmäsi: se ei uvaa hiuasen paian muutosta ajassa, vaan samanaiaisten pisteiden eroa onfiguraatioavaruudessa ahden eri polun välillä. Välin päätepisteissä variaatioiden tät hävitä, δq i ( ) δq i (t ) 0. Yleistäen aiaisempaa äsittelämme saamme δs t ( L δl δq i + L ) δ q i q i i q i ( L δq i + L ) d q i δq i t t t i i t t L δq i + t / ( d L q i i ( L d L q i i i ) δq i L q i δq i ) δq i 0. (157) Kosa variaatiot δq i ovat toisistaan riippumattomia ja mielivaltaisia t:n funtioita, saamme Lagrangen liiehtälöt d L L 0, (i 1,..., n). (76) q i Olemme siis johtaneet Lagrangen htälöt lähtien Hamiltonin periaatteesta. On mös mahdollista osoittaa, että Lagrangen htälöistä seuraa Hamiltonin periaate. Hamiltonin periaatetta voidaan pitää fundamentaalisempana uin Lagrangen htälöitä. Eritisesti Hamiltonin periaate on esplisiittisesti riippumaton leisten oordinaattien valinnasta, un taas Lagrangen htälössä esiintvät aina jotin oordinaatit. Joissain oppiirjoissa (esim. Landau-Lifshitz) on Hamiltonin periaate otettu lähtöohdasi, ja oo meaniia on johdettu siitä. Side-ehdot Edellä tutittiin jo esimerein tapausia joissa meaaniseen ssteemiin ohdistuu side- eli rajoitusehtoja. Ysi laji side-ehtoja on holonomiset ehdot. Ne ovat muotoa h 1 (r 1,..., r N ; t) 0 h (r 1,..., r N ; t) 0... (158) Sopivalla leisten oordinaattien valinnalla holonomiset side-ehdot voidaan irjoittaa muotoon jossa joillain leisillä oordinaateilla on vaioarvot. Tällöin näihin oordinaatteihin liittvät Lagrangen htälöt voidaan sinertaisesti jättää pois tarastelusta. On olemassa side-ehtoja, jota eivät ole holonomisia. Demonstroidaan näitä ieolla, joa vierii pstasennossa tasolla. φ θ Kieon asennon uvaamiseen tarvitaan neljä leistettä oordinaattia: osetuspisteen ja oordinaatit, ieon suuntaulma θ seä ieon vierintäulma φ. Kun ieon säde on a, sitovat näitä toisiinsa differentiaaliset ehdot d a cos θdφ d a sin θdφ. (159) Näitä ei pst integroimaan holonomiseen muotoon ennen uin ieon liierata tasossa on rataistu. Yleisemmin differentiaaliset side-ehdot voidaan irjoittaa muotoon n a li dq i + a lt 0, (l 1,..., m), (160) i1 missä m on ehtohtälöiden luumäärä. 4.4 Lagrangen htälö differentiaalisille side-ehdoille Seuraavasi tarastellaan miten side-ehdot (160) voidaan ottaa huomioon lähdettäessä Hamiltonin periaatteesta. Lagrangen htälöiden johto sujuu uten edellä aavaan (157) asti t n ( L δs d ) L δq i 0. (157). q i i1 Tästä ei uitenaan nt voi päätellä, että sululauseeet eriseen häviävät, sillä variaatiot δq i (t), joita on n appaletta (i 1,..., n), eivät ole riippumattomia. Niitä sitovat ehdot n a li δq i 0, (l 1,..., m). (161) i1 Siis vain n m appaletta variaatioista δq i (t) on riippumattomia. Huomaa, että Hamiltonin periaatetta sovellettaessa tutitaan variaatiota ssteemin leisiin oordinaatteihin δq i (t) aina ullain hetellä t. Näin ollen htälössä (160) 0 ja sisi aiatermi putoaa pois variaatiossa (161). Keinoa jolla minimointi (157) tehdään side-ehtojen (161) vallitessa utsutaan Lagrangen määräämättömien ertoimien menetelmäsi. Lähdetään liieelle ertomalla rajoitusehdot toistaisesi mielivaltaisilla ajan funtioilla λ l (t) ja integroidaan saadut lauseeet ajan li t n λ l a li δq i 0, (l 1,..., m). (16) i1 Summataan hteen nämä m htälöä seä Hamiltonin periaatteesta edellä johdettu htälö t n ( L δs d ) L δq i 0, (157) q i i1 14

16 jolloin saadaan ( ) t n L d L m + λ l a li δq i 0. (163) q i i1 l1 Kiinnitetään nt ertoimet λ l (joita on m appaletta) siten, että m appaletta sululauseeita (163) häviää identtisesti. Valitaan esimerisi indesin i arvot jota ovat suurempia uin n m: L d L m + λ l a li 0, (i n m+1,..., n). (164) q i i1 l1 Kun nämä sijoitetaan integraaliin (163), jää summausessa jäljelle vain n m appaletta i:n arvoja: ( ) t n m L d L m + λ l a li δq i 0. (165) q i Toisaalta juuri n m appaletta siirrosista δq i on toisistaan riippumattomia. Valitsemalla nämä vastaamaan i:n arvoja 1,..., n m todetaan, että aii δq i :t aavassa (165) ovat riippumattomia. Tällöin oo lausee (165) voi hävitä vain jos aii sululauseeet ovat eriseen nollia. Yhdistämällä tämä tulos edellisen (164) anssa saadaan l1 d L L m λ l a li, (i 1,..., n), (166) q i l1 eli tämä lausee on voimassa aiille indesin i arvoille. Tämä on Lagrangen htälö differentiaalisten side-ehtojen (160) tapausessa. Tavalliseen Lagrangen htälöön nähden aavassa (166) esiint m appaletta erroinfuntioita λ l. Näiden määräämisesi tarvittavat lisähtälöt saadaan ehtohtälöistä n a li dq i + a lt 0, (l 1,..., m) (160) i1 tulitsemalla ne differentiaalihtälöisi n a li q i + a lt 0, (l 1,..., m). (167) i1 Huomaa, että oiean puolen termi Lagrangen htälössä (166) voidaan tulita side-ehtojen aiheuttamasi leistetsi voimasi. l θ r ϕ Esim. Kaltevalla tasolla luistamatta pörivä vanne Valitaan leistetisi oordinaateisi ja θ. Luistamattomuusehdosta seuraa si side-ehto r dθ d, (168) jolloin ertoimisi a 1i aavassa (160) saadaan a 1θ r, a 1 1 ja a 1t 0. (169) (Tässä sinertaisessa esimerissä side-ehto itse asiassa on suoraan integroitavissa, mutta se soveltuu silti esimerisi differentiaalisesta side-ehdosta.) Kineettinen energia muodostuu massaesipisteen ja esipisteen mpäri tapahtuvan pörimisliieen ineettisistä energioista: (perustelu harjoitusena) Potentiaalienergia on Lagrangen funtio T 1 Mẋ + 1 Mr θ. (170) V Mg(l ) sin ϕ. (171) L T V 1 Mẋ + 1 Mr θ Mg(l ) sin ϕ. (17) Kosa ehtohtälöitä on vain si, niin tarvitaan vain si Lagrangen ertoja. Lagrangen htälöisi (166) saadaan ja ehtohtälösi (167) Mẍ Mg sin ϕ λ (173) Mr θ λr (174) r θ ẋ. (175) Saatiin siis olme htälöä olmelle muuttujalle, θ ja λ. Ehtohtälöstä saadaan edelleen r θ ẍ, (176) joten jälimmäisen Lagrangen htälön perusteella on Mẍ λ. (177) Sijoittamalla erroin λ lempään Lagrangen htälöön (173), voimme rataista suureen ẍ ja saamme ẍ g sin ϕ (178) Mg sin ϕ λ (179) θ g sin ϕ. (180) r Siis vanne vierii alas vain puolella siitä iihtvdestä mitä sillä olisi jos itaa ei olisi. Yhtälössä (173) suure λ esittää pörimisestä aiheutuvaa limääräistä hitausvoimaa. Jos vanne lähtee levosta, saadaan aavasta (178) integroimalla (t) g sin ϕ t, (181) 4 ja mm. loppunopeus v gl sin ϕ. 4.5 Smmetriat ja säilmislait 15

17 Liiehtälöiden osittaisena rataisuna saadaan usein säilmislaeja, jota ovat muotoa A vaio. Tällaista suuretta A utsutaan mös liievaiosi. Liiehtälöitä rataistaessa on aina ensin hödllistä lötää mahdolliset säilmislait. Seuraavassa tarastellaan miten säilmislaeja voi etsiä tutimalla Lagrangen funtion smmetrioita. Määritellään leistett liiemäärä eli anoninen liiemäärä p i L q i. (18) Tätä määritelmää ättäen voidaan Lagrangen htälö (76) irjoittaa muotoon ṗ i L. (183) Jos Lagrangen funtio L ei riipu esplisiittisesti jostain leistetstä oordinaatista q i, saadaan tästä välittömästi sitä vastaavalle leistetlle liiemäärälle ṗ i 0, eli p i on vaio. Tällaista leistettä oordinaattia utsutaan slisesi. Toistetaan vielä Yleistetn liiemäärän säilmislai: Jos Lagrangen funtio ei riipu jostain leistetstä oordinaatista, tätä oordinaattia vastaava leistett liiemäärä on vaio. Se että Lagrangen funtio ei riipu jostain oordinaatista on sama uin, että Lagrangen funtiolla on tiett smmetria. Jos esimerisi L/ q 1 0, niin un tehdään muutos q 1 q 1 + c, missä c on vaio, Lagrangen funtio säil muuttumattomana (invarianttina), L(q 1 + c, q,..., q n, q 1, q,..., q n, t) L(q 1, q,..., q n, q 1, q,..., q n, t). (184) Esim. 1. Kolmiulotteinen liie siulotteisessa potentiaalissa Jos potentiaali riippuu vain hdestä oordinaatista z, saadaan Lagrangen funtio L 1 m(ẋ + ẏ + ż ) V (z). (185) Tämän L:n uvaama ssteemi on translaatioinvariantti - tasossa, ts. se ei muutu - tason suuntaisissa siirrosissa. Sama asia voidaan ilmaista differentiaalisesti Yleistetisi liiemäärisi saadaan p L ẋ mẋ, L 0 L. (186) p L ẏ mẏ, (187) mitä ovat samat uin tutut liiemäärän ja omponentit. Tässä tapausessa leistetn liiemäärän säilmislai antaa siis normaalit liiemäärän säilmislait p vaio, p vaio. (188) Esim.. Liie (tasossa) eseisvoimaentässä Lagrangen funtio [johdettu edellä (88)] on L 1 m(ṙ + r φ ) V (r). (189) Tämä on iertoinvariantti z aselin suhteen, eli L ei riipu ulmaoordinaatista φ: L 0. (190) φ Yleistetsi liiemääräsi φ:n suhteen saadaan p φ L φ mr φ. (191) Tämä on sama uin ulmaliiemäärän l r p z- omponentti (lase harjoitusena). Yleistetn liiemäärän säilmislain muaan siis p φ vaio. (19) Esim. 3. Hiuanen magneettientässä Jos vetoripotentiaali A on riippumaton -oordinaatista, saadaan leistetn liiemäärän säilmislaisi p mẋ + qa vaio, (193) ts. liiemäärä mẋ ei ole vaio, mutta anoninen liiemäärä p on. (Esimeri harjoitusessa 4) Hamiltonin funtio Edellä tarasteltiin smmetrioita paiaoordinaattien suhteen. Vastaavasti voimme sä mitä seuraa, jos ssteemi on invariantti ajan suhteen. Määritellään ensin Hamiltonin funtio: H i Nt väitetään seuraavaa. q i p i L. (194) Hamiltonin funtion säilmislai: Jos L ei riipu esplisiittisesti ajasta, on Hamiltonin funtio vaio: L t 0 dh 0. (195) Ehto L/ t 0 voidaan mös ilmaista, että L on ajan suhteen smmetrinen, eli muuttumaton siirrossa t t + c, missä c on vaio: L(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t + c) L(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t). (196) Todistus. Huomaamme, että H:n muoto on olennaisesti sama uin ohtasimme Eulerin htälön toisen muodon ohdalla. Mös perustelu on olennaisesti sama. Lasetaan 16

18 suoraan määritelmästä (194) ( ) dh d q i p i L i ( q i p i + q i ṗ i L q i L ) q i L (197) q i i q i t ( q i p i L ) + ( q i ṗ i L ) L q i i q i i t 0, missä viimeisellä rivillä ensimmäinen summaus häviää p i :n määritelmän (18) muaan, seuraava Lagrangen htälön (183) muaan ja viimeinen termi oletusen muaan. Monissa tapausissa Hamiltonin funtio on sama uin oonaisenergia, H E T + V. (198) Tällöin Hamiltonin funtion säilminen on siis sama uin energian säilminen. Osoitetaan tämä täreä tulos siinä tapausessa että potentiaali V ja side-ehdot ovat nopeusista ja ajasta riippumattomia. Tällöin voidaan mös leiset oordinaatit määritellä ajasta riippumattomasti: r r (q 1,..., q n ). (199) Lisäsi oletamme että ineettinen energia on tavanomaista (epärelativistista) muotoa T 1 m v. (00) Nt väitetään että näillä ehdoilla Hamiltonin funtio on sama uin ssteemin oonaisenergia. Todistus. Kaavasta (199) saadaan nopeus v dr i r q i. (01) Sijoittamalla tämä aavaan (00) saadaan ineettinen energia muotoon missä T 1 A ij q i q j, (0) A ij ij m r r q j (03) on smmetrinen matriisi: A ij A ji. Lasetaan leistett liiemäärä p m L T q m q m 1 A ij δ mi q j + 1 i ij A ij q i δ mj ij A mi q i. (04) Saadaan siis ensimmäiselle H:ssa (194) esiintvälle termille q i p i A ij q i q j T, i ij ja siis H i q i p i L T (T V ) T + V E. (05) Mös muissa uin edellä esitetssä tapausessa voidaan H identifioida energian anssa. Esimerisi sähömagneettisen entän nopeudesta riippuvan potentiaalin tapausta tutitaan möhemmin luvussa 9., ja relativistista tapausta tutitaan Klassisen enttäteorian urssissa. Nähdään siis, että energian säilmislai seuraa siitä, että ssteemin Lagrangen funtio ei riipu suoraan ajasta. Tämä voitaisiin ottaa energian määritelmäsi: energia on se säilvä suure joa on seurausta järjestelmän smmetriasta ajan siirrossa. Yleisemmin aii äsitellt säilmislait ovat seurausta jostain smmetriasta, joa on nähtävissä Lagrangen funtiossa. Tpillinen tapaus jossa energia ei säil on, että tarasteltavaan järjestelmään vaiuttaa uloinen potentiaali tai side-ehto, joa riippuu ajasta. Esim. L L 0 (q 1,..., q n, q 1,..., q n ) V e (q 1,..., q n, t), (06) missä L 0 on järjestelmän sisäinen Lagrangen funtio, ja V e järjestelmän ulopuolelta tuleva potentiaali. Tällöin leisesti L/ t 0, ja seä järjestelmän energia että H eivät leensä ole säilviä suureita. Joissain tapausissa ajasta riippuvat side-ehdot uitenin johtavat Lagrangen funtioon, joa ei riipu esplisiittisesti ajasta. Tällöin on voimassa säilmislai H vaio, mutta tämän ei tarvitse olla sama un järjestelmän energian. Esimeri tästä on harjoitustehtävänä. Kerrataan vielä aiein eseisimmät tuloset: Järjestelmän liiehtälöt on täsin määrätt un tunnetaan järjestelmän Lagrangen funtio. Säilmislait seuraavat Lagrangen funtion smmetrioista. Nämä tuloset osevat aiea tällä hetellä tunnettua fsiiaa. 17

19 5. Kahden appaleen ongelma 5.1 Redusointi hden appaleen ongelmasi Tarastellaan ahta hiuasta joiden välillä vaiuttaa potentiaali V, joa riippuu vain hiuasten suhteellisesta sijainnista r 1 r : L 1 m 1ṙ m ṙ V (r 1 r ). (07) Otetaan ättöön massaesipiste ja suhteelliset paiavetorit R m 1r 1 + m r m 1 + m (08) r r 1 r. (09) Kääntäen saadaan rataisemalla nämä r m R r 1 r m 1 m r 1 R + r m 1 + m (10) r m 1 R r. m 1 + m (11) Derivoimalla nämä ja sijoittamalla Lagrangen funtioon (07) saadaan L 1 (m 1 + m )Ṙ + 1 m 1 m ṙ V (r). (1) m 1 + m Nähdään heti, että massaesipisteoordinaatti R on slinen, ts. P (m 1 + m )Ṙ vaio. (13) Siis R liiuu tasaisella nopeudella. Jatossa tarastelemme vain suhteellisista oordinaateista riippuvaa osaa missä m on redusoitu massa: L 1 mṙ V (r), (14) 1 m 1 m m m m 1m m 1 + m. (15) Lisäsi rajoitutaan tarastelemaan vain eseispotentiaalia V V (r), r r, (16) missä voimat ovat hiuasia hdistävän janan suuntaisia. 5. Keseisvoimaentän leinen rataisu Lausutaan Lagrangen funtio (14) pallooordinaateissa. Kättäen aavaa (98) saadaan L 1 m (ṙ + r θ + r sin θ φ ) V (r). (17) Väitetään että hiuasen liie eseisvoimapotentiaalissa tapahtuu aina hdessä tasossa. Todistus. Kirjoitetaan Lagrangen liiehtälö oordinaatin θ suhteen. Saadaan d ( ) mr θ mr sin θ cos θ φ 0 (18) eli r θ + rṙ θ r sin θ cos θ φ 0. (19) Oloon hiuasen lähtöpiste r(0) ja lähtönopeus v(0) mielivaltaiset. Nämä määrittävät ulmaliiemäärän L mr(0) v(0). Valitaan oordinaatisto siten että sen z-aseli on L:n suuntainen. Tämä vastaa polaariulman aluehtoja θ(0) π/ ja θ(0) 0. Yhtälön (19) rataisu näillä aluehdoilla on θ(t) π/, toisin sanoen liie tapahtuu hdessä tasossa. Kun iinnitetään θ π/ saa Lagrangen funtio (17) muodon L 1 m(ṙ + r φ ) V (r), (0) miä on sama uin johdettiin edellä napaoordinaatistossa (88). Kosa ulmaoordinaatti φ on slinen, säil vastaava leistett liiemäärä p φ L φ mr φ l vaio. (1) Sädevetorin ajassa phäisemä pinta-ala on da 1 r(rdφ) 1 r φ. da Siis on vaio, miä tulos tunnetaan Keplerin toisena laina. dφ da r r dφ t + t Hamiltonin funtio H on määritelmän (194) muaan H ṙ L ṙ + φ L φ L mṙ + mr φ L m (ṙ + r φ ) + V (r). () Kosa Lagrangen funtio ei riipu esplisiittisesti ajasta, L/ t 0, Hamiltonin funtio on ssteemin oonaisenergia E ja säilvä suure. Kättäen hväsi (1) saadaan E m ṙ + l + V (r) vaio. (3) mr 18

20 Voimme rataista tästä radiaalinopeuden ṙ. Kulmaliiemäärän ja energian säilmislaeista olemme siis saaneet johdettua asi tettä 1. ertaluvun differentiaalihtälöä ( ) ṙ ± E V l m mr (4) φ l mr. (5) Nämä voidaan periaatteessa rataista seuraavasti. Kirjoitetaan (4) differentiaalimuotoon ± m Tästä saadaan integroimalla t ± r r 0 m dr ( ). (6) E V l mr dr ( ), (7) E V (r) l mr josta voidaan rataista r(t). Yhtälö (5) irjoitetaan vastaavasti dφ l mr, (8) josta saadaan integroimalla φ l m t 0 r (t) + φ 0. (9) Kun V (r) on annettu saadaan näistä leinen rataisu jossa on 4 vaiota l, E, r 0 ja φ 0. Prittäessä valitatiiviseen mmärtämiseen on hödllistä tulita energialausee (3) muodossa E m ṙ + V eff, V eff l + V. (30) mr Tämä voidaan tulita siulotteisesi liieesi efetiivisessä potentiaalissa V eff. Riippuen E:n ja l:n arvoista seä potentiaalista V (r), voi liie olla sidottua tai rajoittamatonta. E 0 V eff E < 0 V E > 0 r Mahdollisia ratoja tasossa vastaten E < 0 ja E > 0. Miäli olemme iinnostuneita vain radasta, annattaa htälöistä (6) ja (8) eliminoida, jolloin saadaan dφ dr ± l r m(e V l /mr ), (31) jona muodollinen rataisu on φ φ 0 ± r r 0 dr r me/l mv/l 1/r. (3) 5.3 Ellipsirada/r potentiaalissa Rajoitutaan jatossa tutimaan Keplerin liiettä, eli potentiaalia Integraalin (3) lasemisesi sijoitetaan jolloin saadaan φ φ 0 V r. (33) s 1 r ja ds 1 dr, (34) r s s 0 φ 1 ± arccos ds me/l + (m/l )s s (35) 1 l s m 1 + El m, (36) missä φ 1 on join uusi vaio. Sijoitetaan r 1/s ja sinertaistetaan 1 l 1 m r 1 + El m cos(φ φ 1). (37) Kosa suunta φ 0 voidaan valita vapaasti, voidaan sinertaisuuden vuosi valita φ 1 0. Nt voidaan tulos irjoittaa muotoon r (1 ε cos φ) l m, (38) missä ε 1 + El m. (39) Jos E < 0, rata (38) on ellipsi. Tämän toteamisesi tutisellaan ellipsin määritelmää. Ellipsi on niiden tason pisteiden jouo, joiden etäissien summa r+r ahdesta polttopisteestä ±f, 0 on vaio, r + r a. (40) Tässä a on ellipsin isoaselin puolias. Määritellään lisäsi ellipsin esentriss ε f/a. Ellipsille 0 < ε < 1. Piuaselin puoliaalle b saadaan b a f a (1 ε ). f r φ f r' b a 19

21 Kirjoitetaan ellipsin htälö toisella tavalla. Valitaan vasen polttopiste napaoordinaatiston origosi, jolloin r on radiaalioordinaatti. Kosinilauseesta saadaan r r 4fr cos φ + 4f. (41) Kättämällä aavaa (40) ja f εa tämä saadaan muotoon r(1 ε cos φ) a(1 ε ). (4) Pienellä algebrallisella näpertelllä voi mös osoittaa ellipsin htälölle (40) vaihtoehtoisen muodon a + 1. (43) b Vertaamalla aavoja (38) ja (4) todetaan ensimmäinen Keplerin lai: hiuasen rata V 1/r voimaentässä on ellipsi, jona toinen polttopiste on voimaesipisteessä. Radan esentriss saadaan aavasta (39) ja isoaselin puoliaasi saadaan a l m(1 ε ) E. (44) Ellipsin pinta-ala on a A πab πla m. (45) Toisaalta pinta-ala jaettuna periodilla τ on sama uin pintanopeus A l m A τ. (46) Periodisi saamme τ A A m ma 3 A π l. (47) Gravitaatiovoiman tapausessa Gm 1 m aavassa (33). Sijoittamalla mös redusoitu massa (15) saadaan τ π G(m1 + m ) a3/. (48) Jos toisen esusappaleen massa on paljon suurempi uin toisen, planeetan, voidaan planeetan massa tässä aavassa jättää pois. Tällöin saadaan olmas Keplerin lai: Saman esusappaleen planeetoilla iertoaia riippuu ainoastaan radan isoaselin pituudesta a, ja on suoraan verrannollinen sen 3/ potenssiin. Kooamme vielä Keplerin oeellisesti lötämät lait: (i) Planeetat iertävät ellipsiratoja, joiden toisessa polttopisteessä on esusappale. (ii) Planeetan liieen pintanopeus on vaio. (iii) Saman esusappaleen planeetoilla iertoaia riippuu ainoastaan radan isoaselin pituudesta ja on suoraan verrannollinen sen 3/ potenssiin. Kertaustehtävä: Mitä oletusia vaadittiin johdettaessa utain laia? Ratojen suleutuvuus Saatiin siis, että Keplerin potentiaalissa V (r) /r aii radat suleutuvat un E < 0, ts. ne palaavat alupisteeseensä. Osoitetaan seuraavasi, että leiselle potentiaalille V (r) tämä on itse asiassa erittäin poieusellinen tapaus. E 0 V eff E < 0 V E > 0 Kuvasta on ilmeistä, että ssteemillä on mprärata jos efetiivisellä potentiaalilla (30) V eff (r) r l + V (r) (49) mr on mimimi. Radan säde r 0 ja energia E 0 saadaan ehdoista dv eff dr r 0 V eff(r 0 ) 0, E 0 V eff (r 0 ). (50) Lisäsi vaaditaan, että toinen derivaatta V eff (r 0) > 0, jotta rata olisi stabiili. Tutitaan pientä häiriötä mprärataan, eli E on hiuan suurempi uin E 0. Sovelletaan radan aavaa (3) φ φ 0 ± l r dr m r. (3) E V eff Määrätään tästä se napaulman muutos φ, jossa hiuanen ulee minimietäisden r min ja masimietäisden r ma välin: φ φ r ma r min r 0 l rma dr m r. (51) E V eff r 0 r min Kehitetään V eff Talorin sarjasi r 0 :ssa. Lineaarinen termi häviää ja saadaan E V eff E E 0 1 V eff(r r 0 ) +... (5) Tämän nollaohdista saadaan r ma,min r 0 ± (E E 0 ) V eff. (53) 0

22 Pienen E E 0 :n tapausessa voidaan aavassa (51) approsimoida neliöjuurta ertova r r0. Teemällä muuttujanvaihdos saadaan φ l r 0 mv eff r r 0 s 1 1 ds 1 s (E E 0 ) V eff (54) πl r0 mv eff (r 0), (55) missä integraali on rataistu sijoitusella s sin θ. Kosa leisen potentiaalin tapausessa r 0 ja V eff (r 0) ovat riippumattomia, pätee useimmissa tapausissa φ π, toisin uin Keplerin potentiaalille. Harjoitus: tuti potenssilaipotentiaalia ja osoita V ar n+1 F a(n + 1)r nˆr (56) φ π 3 + n. (57) Huom. Tästä seuraa φ π Keplerin potentiaalille (n ), minä tulosen tiedämme jo edeltä. Toinen erioistapaus on harmoninen potentiaali (n 1), jolle φ π/. Tässäin tapausessa rataisu on ellipsi, mutta nt voimaesipiste on ellipsin esipisteessä (ei polttopisteessä). Jälimmäinen on erioistapaus hajoitusessa 5.1 tutitusta tapausesta. 5.4 Hperbelirada/r potentiaalissa Hperbeli on niiden tason pisteiden jouo, joiden etäissien erotus r r ahdesta polttopisteestä ±f, 0 on vaio, r r ±a. (58) Tässä lempi ja alempi meri vastaavat hperbelin oieaa ja vasenta haaraa. Kuten ellipsillä määritellään esentriss ε f/a. Hperbelille ε > 1. Kun r saadaan asmptoottiselle ulmalle cos α 1/ε a/f. Asmptootin etäisdelle b polttopisteestä saadaan b f a (ε 1)a. Pienellä lasulla voidaan osoittaa mös muoto a 1. (60) b Palaamme tutimaan E > 0 ratoja 1/r potentiaalissa. Edellä saimme missä r [1 ε cos(φ φ 1 )] l m, (38) ε 1 + El m. (39) Valitsemme esusappaleen paiasi vasemman polttopisteen. Vertaamalla hperbelin htälöön (59) toteamme, että vasen haara (alempi meri) antaa radan attratiiviselle potentiaalille ( > 0) un valitaan φ 1 π. Vastaavasti, oiea haara (lempi meri) antaa radan repulsiiviselle potentiaalille ( < 0) valinnalla φ 1 0. attratiivinen θ α b b repulsiivinen Molemmissa tapausissa ε (39) antaa esentrisden ja a l (ε 1)m E. (61) Etäiss b on törmäsparametri eli radan asmptoottisen suoran etäiss sirontaesusesta. Sirontaulma θ π α. Lopputulos tulee osoittamaan, että on hvä lasea otangentti tämän puoliaasta f φ a r α f a r' b cot θ 1 cot(π α) tan α cos α cos α El ε 1 m mv b, (6) missä viimeisessä vaiheessa olemme ättäneet hiuasen nopeutta v auana sirontapisteestä ja aavoja Kuten ellipsin tapausessa valitaan vasen polttopiste napaoordinaatiston origosi, jolloin r on radiaalioordinaatti. Kosinilauseesta saadaan r r 4fr cos φ + 4f (41) ja sijoittamalla tähän hperbelin määritelmä (58) saadaan r(ε cos φ 1) a(ε 1). (59) E 1 mv, l mv b. (63) 5.5 Sironnan vaiutusala Tutitaan hiuasia, jota saapuvat samasta suunnasta ohti ohtiota. Kohtiosta ne siroavat eri suuntiin, ja ne havaitaan etäisdellä R, joa on paljon suurempi uin ohtion oo. 1