(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2"

Transkriptio

1 46. Väite: Luku on jaollinen luvulla 71. Todistus: (mod 71), 1(mod 71) (3 ) 3 ( ) (mod 71) Luku ei ole jaollinen luvulla (3 ) 6 36(mod 71) ( ) 37 40(mod 71) Laudatur 11 MAA11 ratkaisut kertausharjoituksiin 1. Peruskäsitteitä 47. a) Kissa a on harmaa on avoin lause, koska sen totuusarvo riippuu muuttujan a valinnasta. b) Lotta-kissa on musta on suljettu lause, koska sillä on tietty totuusarvo. c) = 9 on suljettu lause, koska sillä on tietty totuusarvo (epätosi). 5 d) x x 5 on avoin lause, koska sen totuusarvo riippuu muuttujan x valinnasta. V astaus: a) Avoin lause b) Suljettu lause c) Suljettu lause d) Avoin lause 48. p = Olen opiskelija., q = Olen töissä. a) p = En ole opiskelija. b) q = En ole töissä. c) p q = En ole opiskelija, ja olen töissä. d) p q = Jos olen opiskelija, niin en ole töissä. e) p q = En ole opiskelija ainoastaan jos olen töissä. Vastaus: a) En ole opiskelija. b) En ole töissä. c) En ole opiskelija, ja olen töissä. d) Jos olen opiskelija, niin en ole töissä. e) En ole opiskelija ainoastaan jos olen töissä. 49. a) Lauseen p q pääkonnektiivi on implikaatio ( ). p q q p q

2 b) Lauseen ( p q) p ääkonnektiivi on negaatio ( ), joka on sulkeiden edessä. p q q p q ( p q ) c) Lauseen p q rp ääkonnektiivi on disjunktio ( ). p q r p q p q r a) Lauseen p q r pääkonnektiivi on implikaatio ( ). p q r p q p q r b) Lauseen p q rpääkonnektiivi on ekvivalenssi ( ). p q r q r p q r

3 c) Lauseen ( p q) p qp ääkonnektiivi on (viimeinen) konjunktio ( ). p q q p p q ( p q) p ( p q) p q a) p ( q r) p q r q r p ( q r) b) p ( q r) p q r q r p ( q r) p = x = 3 ja q = 6x = 18 Lau se q p = Jos 6x = 18, niin x = Lause on tosi, sillä jos 6x = 18 x = x = 3. 6 Vastaus: Jos 6x = 18, niin x = 3., lause on tosi. 53. Merkitään p = Ranta on lähellä., q = Oikealle menevä tie vie rantaan. Herra 1: Ranta on lähellä tai oikealle menevä tie vie rantaan. = p q Herra : Ranta on lähellä ja oikealle menevä tie vie rantaan. = p q Herra : Jos ranta on lähellä, oikealle menevä tie johtaa rantaan. = p q 99

4 Laaditaan totuustaulu. p q 1: p q : p q : p q b) Koska herra ei voi puhua sekä totta että valetta, tulevat vain rivit 1 ja kysymykseen. Kummaltakin riviltä nähdään, että herra 1 puhuu totta, joten herra valehtelee. c) Ri vi on totu uden mukain en rivi, joten Liisan on valittava vasemmalle vievä tie. Vast aus : b) Herra 1 puhuu totta ja herra valehtelee. c) Liisan on valittava vasemmalle menevä tie.. Tautologia 54. a) Väite: Lause ( p q) ( p q) on tautologia. Todistus: ( p q) De Morganin laki ( p) ( q) kaksoisnegaation laki p q Koska la useet ( p q) ja p q ovat ekvivalentit, niin lause ( p q) (p q) on tautologia. b) Väite: Lau se [ p ( q r)] ( q r) pon tautologia. Todistu s: p ( q r) kontrapositiolaki [ ( q r) ( p)] De morganin laki {[ ( q) ( r)] ( p)} kaksoisnegaation laki [( q r) p] Koska l auseet p ( q r) ja ( q r) p ovat ekvivalentit, niin lause [ p ( q r )] ( q r) pon tautologia. 55. [( p q) p] p Laaditaa n totuustaulu. p q p p q ( p q) p [( p q) p] p

5 Koska lauseen [( p q) p] p totuus ei ole riippumaton atomilauseiden totuusarvoista, lause ei ole tautologia. Vastaus: Lause ei ole tautolo gia. 56. [( p q) ( q r)] ( p r) Laaditaan totuustaulu. p q r p q q r ( p q) ( q r) p r [( p q) ( q r)] ( p r) Koska lauseen [( p q) ( q r)] ( p r) totuusarvo on riippumaton atomilauseiden totu usarvoista, lause on tautologia. Vast aus : Lause on tautologia. 57. Osoitetaan, että [( p r) q] [ q ( p r)] ( p r) q kontrapositiolaki [ ( q) ( p r)] De Morganin laki { ( q) [( p ( r)]} kaksoisnegaation laki [ q ( p r)] q ( p r) ovat ekvivalentit. ja 58. Muodostetaan sellainen lause r lauseiden p ja q avulla, joka on tosi vain silloin, kun lause p on tosi ja lause q on epätosi, ja muulloin lause on epätosi. Totuustaulu p q r Lause p q on epätosi, kun lause p on tosi ja lause q on epätosi, muulloin lause on tosi. Kysytty lause on tämän lauseen negaatio, siis lause r voi olla r ( p q) 101

6 3. Predikaattilogiikka 59. Lause px ( ): x + 1= Yhtälön ratkaisu (jos määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko) x + 1= x = 1 x =±1 a ) Määrittelyjoukko on A = Z. Koska yhtälön molemmat ratkaisut kuuluvat määrittelyjoukkoon, ne kelpaavat. Ratkaisujoukko on { 1, 1} A =, 1, 0. Ratkaisuista vain x = 1 kuuluu b) Määrittelyjoukko on { } määrittelyjoukkoon, joten ratkaisujoukko on { 1}. Vastaus: a) { 1, 1} b) { 1} 60. Lause px ( ): x> 1 x 4 Lauseen ratkaisu (jos määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko) x > 1 ja x 4 x > 1 ja x x > 1 ja x Lukusuora x > 1 1 x 4 x > 1 x 4 a) Kun määrittelyjoukko on A = Z, ratkaisuksi kelpaa vain luku. b ) Kun määrittelyjoukko on A = R, niin ratkaisuksi kelpaa puoliavoin väli ]1,]. Vastaus: a) { } b) ]1,] a) Lause x R:( x Z ) on epätosi, sillä esimerkiksi, Z. b) Lause x R:( x Z) on tosi, sillä esimerkiksi 1 ja 1 Z. c) Lause x Z:( x R) on tosi, sillä kokonaislukujen joukko sisältyy reaalilukujen joukkoon. d) Lause x Z:( x R) on tosi, sillä kokonaislukujen joukko sisältyy reaalilukujen joukkoon. Vastaus: a) Epätosi b) Tosi c) Tosi d) Tosi 10

7 x 6. x Z+ : y Z+ : = 1 y Lause on tosi, jos löytyy sellainen positiivinen kokonaisluku, joka jaettaessa millä tahansa positiivisella kokonaisluvulla antaa osamääräksi 1. Tämä on mahdotonta, koska kahden positiivisen kokonaisluvun osamäärä on yksi vain jos luvut ovat yhtä suuret. Lause on epätosi. Vastaus: Lause on epätosi. 63. Lause x R :[ x = x 4x+ 4 = 0] Yhtälö x = ( x = x= ) Tarkastellaan lauseen x R :[ x = x 4x+ 4 = 0] totuusarvoa, kun x. Epätodeksi todistamiseen riittää vain yksi esimerkki. Lasku totuusarvo lasku totuusarvo x x = x = x 4x+ 4= 0 x 4x+ 4= 0 x = x 4x+ 4= 0 x ± 1 0 ( 1) 4 ( 1) x = = 1 ( ) 4 ( ) x = 1 = 4 + 4= Lauseen totuusarvo ei ole riippumaton muuttujan x valinnasta, joten lause ei ole tautologia. V astaus: Ei ole 64. a) Lause x R: y R: x y = 0 on tosi, jos jokaiselle reaaliluvulle x löytyy ainakin yksi reaaliluku y siten, että voidaan valita, että x = y. x y = 0 x = y. Lause on tosi, sillä esimerkiksi b) Lause y R: x R: x y = 0 on epätosi, koska x y = 0 x = y ja vain samojen lukujen tai vastalukujen neliöt ovat yhtä suuret. Ei ole olemassa sellaista reaalilukua, jonka neliö olisi yhtä suuri kuin minkä tahansa muun reaaliluvun neliö. Vastaus: a) Tosi b) Epätosi 65. Lause x : qx ( ) on tosi. a) x : qx ( ) Jos lause q(x) kaikilla reaaliluvuilla, niin ei voi olla yhtään sellaista reaalilukua, jolle lause q(x) ei olisi tosi. Näin ollen lauseen q(x) negaatio ei olla tosi millään reaaliluvulla. Voidaan siis päätellä totuusarvo. 103

8 b) x : qx ( ) Jos lause q(x) kaikilla reaaliluvuilla, niin ei voi olla yhtään sellaista reaalilukua, jolle lause q(x) ei olisi tos i. Näin ollen lause x : qx ( ) on aina tosi. Voidaan siis päätellä totuusarvo. V astaus: a) Voidaan b) Voidaan 4. Todistusmenetelmiä 66. Merkitään p = Olio on hyönteinen, q = Oliolla on 3 jalkaparia Päättelyn formalisointi Hyönteisillä on 3 jalkaparia. Hämähäkillä on 4 jalkaparia. Tästä seuraa, että hämähäkki ei ole hyönteinen. [( p q) q] p Laaditaan totuustaulu lauseelle p q p [( p q) q] p q p q [( p q) q] [( p q) q] p Koska lause on tautologia, päättely on oikea. Vastaus: Päättely on oikea x 53x 1 = 0 ( x = x = 7) 8 Todistetaan ensin implikaatio vasemmalta oikealle ( ) 8x 53x 1 = 0 ( 53) ( 53) 4 8 ( 1) ± x = 8 3 x1 = 8 x = 7 Todistetaan implikaatio oikealta vasemmalle ( ) 3 Sijoitetaan x = = + 1= Sijoitetaan x = = 0 Koska implikaatiot ovat kumpaankin suuntaan tosia, on ekvivalenssi tosi. 104

9 68. a) Oletus: n on pariton Väite: n 1 on pariton Todistus: Merkitään n = k + 1 n 1 = (k + 1) 1 = 4k + 3 = 4k = (k + 1) + 1, joka on pariton. b) Oletus: n on pariton Väite: n 1 on pariton Todistus: Vastaväite: n 1 on parillinen Merkitään n 1 = p, p n 1 = p n = p +1 Päädyttiin ristiriitaan, koska yhtälön vasemmalla puolella on parillinen luku ja oikealla puolella pariton, joten väite on oikea. 69. Oletus: x < y ja a < b Väite: x + a < y + b Todistus: x < y +a x +a < y + a < y + b On osoitettu, että jos x < y ja a < b, niin x + a < y + b. 70. Oletus: Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Väite: Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret Todistus: α β α β β α β α Kun kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa kaksi muuta keskenään yhdensuuntaista suoraa, muodostuu yhtä suuret samankohtaiset kulmat, jotka ovat suunnikkaan vastakkaiset kulmat. 71. x + x+ 3x+ 3 0 Vastaesimerkki 7 Sijoitetaan x = , = < 4 Joten epäyhtälö ei ole tosi kaikilla reaaliluvuilla x. Vastaus: Epäyhtälö ei ole tosi kaikilla reaaliluvuilla x. 105

10 7. a > b a > b Vastaesimerkki Sijoitetaan a = ja b = 1 > 1 mutta < 1 Vastaus: Lause on epätosi. 73. x > 3 x+ 1, 9 x 9 > Vastaesimerkki Sijoitetaan x = , = 1, < Vastaus: Lause on epätosi. 74. a) x :x > x Vastaesimerkki Sijoit et aan x = 0 0 = 0> 0 b) x : x + x 9 0 Tutkitaan funktiota f( x) = x + x 9 Nollakohdat D = 1 4 ( 1) ( 9) = 35< 0 ei nollakohtia Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa vain negatiivisia arvoja. 5. Alkuluvut 75. a) 7 = 3 3 b) 198 = 3 11 c) 448 = a) 117 = 3 13 b) 638 = 11 9 c) 75 = d) 1 15 = 3 5 e) 1 45 = f) 110 = 5 11 g) 436 = h) 7 05 = Poistetaan luvusta viimeinen numero 5 ja jäljelle jäävästä luvusta 950 vähennetään alkuperäinen viimeinen numero 5 kerrottuna kahdella eli = 940 Toistetaan menettely luvulle = 94 Toistetaan menettely luvulle = 1 106

11 Koska luku 1 on jaollinen seitsemällä, on luku 94 jaollinen seitsemällä ja luku 940 sekä alkuperäinen luku jaollinen seitsemällä. Vastaus: On jaollinen luvulla Luku ei ole jaollinen yhdellätoista, koska sen numeroista vuorotellen yhteen ja vähennyslaskulla saatu luku = 6 ei ole jaollinen yhdellätoista. V astaus: Ei ole jaollinen yhdellätoista Koska luku ei ole jaollinen luvuilla, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31 ja 37, se on alkuluku. Vastaus: Luku on alkuluku. 80. a) 1 = 3 40 = 3 5 syt(1, 40) = = 4 p yj (1,4 0) = = 10 b) 8 = 3 90 = = 3 7 syt(8, 90, 16) = pyj (8, 90, 16) = = 50 Vastaus: a) 4 ja 10 b) ja a) 56 = = = 3 7 syt(56, 70, 84) = 7 = 14 pyj(56, 70, 84) = = 840 b) 54 = = = 3 19 syt(54, 153, 171) = 3 = 9 pyj(54, 153, 171) = = Vastaus: a) 14 ja 840 b) 9 ja

12 a) = = b) = = c) 996 = = 14 Vastaus: a) 4 9 b) c) Oletus: n Väite: 5n 3 + n on parillinen. Todistus: Jaetaan todistus kahteen osaan. 1) n on parillinen 5n 3 + n = n(5n + 1) tulo on parillinen, koska n on parillinen ) n on pariton 5n 3 + n on pariton, koska parittomien lukujen tulo on pariton ja parittomien lukujen summa on parillinen. 6. Jaollisuus ja lukujärjestelmät 84. a) = b) = V astaus: Jakojäännös on a) 3 b) a) 41 5 = = 111 b) = = 39 c) 56,3 8 = = 46,375 d) FF,A 16 = = 55,65 Vastaus: a) 111 b) 39 c) 46,375 d) 55, a) 91 = = 5 ( ) + 1 = = 5 ( 5 + 1) = = b) 91 = = ( 7 + 1) + 1 = = = = 5 ( 4 + 1) = = c) 91 = = 16( ) + 3 = =13 16 Vastaus: a) b) c)

13 87. a) = ( ) ( ) = = b) Jakolasku : : 543 = jää 7 Vastaus: a) b) jää a) = (7 1) 801 = b) = (11 + 1) 111 = = 3 37 c) = (3 9 1) ( ) = [(3 3 ) 3 1] [(3 3 ) 3 + 1] = (3 3 1) 757 ( ) 703 = = = Vastaus: a) b) 3 37 c) Tekijöihin jako 14 1 = ( 7 1) ( 7 + 1) = Luvun pienin tekijä on 3. Luvun suurin tekijä on = Vastaus: Luvun 14 1 suurin tekijä, joka on pienempi kuin luku itse on =... = Vastaus: Luku alkutekijöinä on Tekijöihin jako + 1 = ( 11 ) = ( ) 1 = ( ) ( ) = = Vastaus: Alkutekijät ovat 5, 397 ja Ykköset x Kymmenet y Sadat z Luku 100z + 10y + x 109

14 Yhtälöryhmä y = 3z x = y 1 100z + 10y + x = 100x + 10y + z 97 y = 3z x = y 1 99z 99x = 97 Ratkaisemalla yhtälöryhmä saadaan x = 5, y = 6 ja z =. Vastaus: Luku on Ykköset x Kymmenet y Sadat z Luku 100z + 10y + x, missä xyz,, Yhtälöryhmä x + y+ z = 10y+ x x + y + z = 118 z = 9y x + y + z = 118 Kun sijoitetaan ylempi yhtälö alempaan, saadaan x + 8y = 118. Koska ainoa ratkaisu on y = 1 ja x = 6, jolloin z = 9. xyz,,, niin Vastaus: Luku on Luku 1 on 10 x, missä x on oikean käden ojentamatta jätettyjen sormien lukumäärä. Luku on 10 y, missä y on vasemman käden ojentamatta jätettyjen sormien lukumäärä. Lukujen tulo (10 x)(10 y) = y 10x + xy = 10(10 x y) + xy Edellä olevassa lausekkeessa xy on ojentamatta jääneiden sormien tulo. Lisäksi ojennettujen sormien lukumäärä on 10 x y. 8. Eukleideen algoritmi 95. a) 36 = = = 4 syt(8, 36) = 4 b) 31 = = = 1 syt(63, 31) = 1 110

15 c) = = = = = = = = = 3 1 syt(735, 1 013) = 1 Vastaus: a) 4 b) 1 c) a) Lukujen 408 ja 45 suurin yhteinen tekijä 45 = = 17 4 Supistetaan luvulla ) = 45 5 b) Lukujen ja 856 suurin yhteinen tekijä 856 = = = 5 56 Supistetaan luvulla ) = c) Lukujen ja suurin yhteinen tekijä = = = = = = = = = = = = = 4 Supistetaan luvulla 4. 4) = Vastaus: a) 4 5 b) 6 51 c)

16 97. a) 98 = = = = 9 Syt(78, 98) = Lineaarikombinaatio = 0 18 = 0 (78 3 0) = = 4 (98 78) 78 = Vastaus: Suurin yhteinen tekijä ja lineaarikombinaatio on = = = = = = 8 8 syt(3 164, 3 89) = 8 Lineaarikombinaatio 8 = 5 4 = 5 (78 5) = = 3 ( ) 78 = = ( ) = Vastaus: Suurin yhteinen tekijä 8 ja lineaarikombinaatio on 8 = a) Diofantoksen yhtälö x 3y = 1 Haetaan lukujen 1 ja 3 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 3 = 3 1 Lineaarikombinaatio 1 = = 1 Yksityisratkaisu x 0 = 1 ja y 0 = 0 Yleinen ratkaisu b 3 x = x0 + n = 1+ n = 1 3n= 1+ 3n syt( ab, ) 1 a 1 y = y0 n = 0 n = n = n, n syt( ab, ) 1 b) Diofantoksen yhtälö 13x 5y = 18 Haetaan lukujen 13 ja 5 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 5 = = = 1 1 Syt(13, 5) = 1 = 13 1 = 13 (5 13) = = = 18 13x 5y = 18 ksityisratkaisu x = 36 ja y 0 = 18 Y 0 11

17 Yleinen ratkaisu b 5 x = x0 + n = 36 + n = 36 5n= 11+ 5n syt( ab, ) 1 a 13 y = y0 n = 18 n = 18 13n= n, n syt( ab, ) 1 c) Diofantoksen yhtälö 14x 6y = 1 Haetaan lukujen 6 ja 14 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 14 = = 3 Syt(6, 14) = = = Koska yhtälön vasemmalle puolelle pitäsi saada pariton luku, joka on mahdotonta, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: a) x = 1+ 3n y = n, n b) x = 11+ 5n y = n, n c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua Diofantoksen yhtälö 10x + 8y = 36 Haetaan lukujen 8 ja 10 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 10 = = 4 Syt(8, 10) = = ( 1) = ( 18) = 36 10x + 8y = 36 Yksityisratkaisu x 0 = 18 ja y 0 = 18 Yleinen ratkaisu b 8 x = x0 + n = 18 + n = n= + 4n syt( ab, ) a 10 y = y0 n = 18 n = 18 5n= + 5 n, n syt( ab, ) Vastaus: Kaikki ratkaisut ovat x = + 4n y = + 5 n, n Yhtälön x y = 15 kokonaislukuratkaisut Yhtälön vasemmalla puolen oleva luku 15 voidaan jakaa tekijöihin seuraavasti: 15 = 1 15 = 15 1 = 1 ( 15) = 15 ( 1) = 3 5 = 5 3 = 3 ( 5) = 5 ( 3) Täten yhtälön oikealla puolella olevan lausekkeen x y = (x y) (x + y) tekijöiden pitää olla samat kuin yhtälön oikealla puolen olevat tekijät. Saadaan kahdeksan yhtälöparia ja niille ratkaisut 113

18 x y = 1 x 8 x = + y = 15 y = 7 x y = 15 x = 8 x + y = 1 y = 7 x y = 1 x = 8 x + y = 15 y = 7 x y = 15 x = 8 x+ y = 1 y = 7 x y = 3 x = 4 x + y = 5 y = 1 x y = 5 x = 4 x + y = 3 y = 1 x y = 3 x = 4 x+ y = 5 y = 1 x y = 5 x = 4 x + y = 3 y = 1 Vastaus: Ratkaisuja ovat x = 4 tai y = 1 x = 4. y = 1 x = 8 x = 8 x = 8,,, y = 7 y = 7 y = 7 x = 8, y = 7 x = 4, y = 1 x = 4, y = Kolmen litran astioita x kpl Viiden litran astioita y kpl Marjoja oli 31 litraa Saadaan Diofantoksen yhtälö 3x + 5y = 31 Haetaan lukujen 3 ja 5 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 5 = = = 1 Syt(3, 5) = 1 = 3 1 = 3 1 (5 1 3) = ( 1) = ( 31) = 31 3x + 5y = 31 Yksityisratkaisu x 0 = 6 ja y 0 = 31 Yleinen ratkaisu b 5 x = x0 + n = 6 + n = 6 + 5n = + 5n syt( ab, ) 1 a 3 y = y0 n = 31 n = 5 3 n, n syt( ab, ) 1 Koska x 0, niin + 5n 0 eli n 0,4 114

19 Koska y 0, niin 5 3n 0 eli n 1,66 Kokonaisluvut, jotka toteuttavat ehdot ovat 0 ja 1. Sijoittamalla n = 0, saadaan x = ja y = 5. Sijoittamalla n = 1, saadaan x = 7 ja y =. Näistä pienempi pussien määrä saadaan kun n = 0. Vastaus: Anni tarvitsi vähintään kolmen litran ja 5 viiden litran astiaa. 9. Kokonaislukujen kongruenssi 303. a) 3 6(mod 5) on epätosi, sillä 3 6 = 6 = eli 5 (3 6) b) 5 11(mod 6) on tosi, sillä 5 11 = 36 = 6 6 eli 6 ( 5 11) c) 73 3(mod 7) on tosi, sillä 73 3 = 70 = 10 7 eli 7 (73 3) Vastaus: Lause on a) epätosi b) tosi c) tosi a) 157 = , joten jakojäännös on 1 a) 1 13 = , joten jakojäännös on 10 a) = , joten jakojäännös on 10 Vastaus: Jakojäännös on a) 1 b) 10 c) Vuonna 005 jouluaatto oli lauantai a) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) oli tiistai. b) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) oli maanantai. c) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) oli sunnuntai. Vastaus: Viikonpäivä oli a) tiistai b) maanantai c) sunnuntai Vuonna 005 jouluaatto oli lauantai. a) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) on keskiviikko. b) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) on sunnuntai. 115

20 c) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) on keskiviikko. Vastaus: Viikonpäivä on a) keskiviikko b) perjantai c) keskiviikko a) x 1(mod7) x 1 = 7y x 7y = 1 Haetaan lukujen ja 7 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 7 = = 1 Syt(, 7) = 1 = 7 3 ( 3) 7 ( 1) = 1 x 7y = 1 Yksityisratkaisu x 0 = 3 ja y 0 = 1 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 7 x = x0 + n = 3+ n = 3 7n= 4+ 7 n, n syt( ab, ) 1 b) 15x 16(mod17) 15x 17y = 16 Haetaan lukujen 15 ja 17 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 17 = = = 1 Syt(15, 17) = 1 = 15 7 = 15 7 ( ) = = = 16 15x 17y = 16 Yksityisratkaisu x 0 = 18 ja y 0 = 11 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 17 x = x0 + n = 18 + n = 18 17n = n, n syt( ab, ) 1 Vastaus: a) x= 4+ 7 n, n a) x= n, n 308. a) 4x 3(mod 45) 4x 3 = 45y 4x 45y = 3 Haetaan lukujen 4 ja 45 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 45 = = = 7 3 Syt(4, 45) = 3 = 4 1 = 4 (45 4) = = 3 4x 45y = 3 Yksityisratkaisu x 0 = ja y 0 = 1 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 45 x = x0 + n = + n = 45n= + 45n, n syt( ab, ) 1 116

21 b) 17x 15(mod51) 17x 51y = 15 Haetaan lukujen 17 ja 51 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 51 = 3 17 Syt(17, 51) = 17 Koska syt(17, 51) ei ole luvun 15 moninkerta, niin Diofantoksen yhtälöllä ei ole ratkaisua. Täten myös korgruenssiyhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: a) x= + 45 n, n b) Ei ratkaisua a) 1x = 35y 1x + 4 3(mod 35) 1x 35y = 1 :( 1) 35y 1x = 1 Haetaan lukujen 1 ja 35 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 35 = = = 11 1 = Syt(1, 35) = 1 = 1 11 = 1 (35 1) 35 ( 1) 1 ( 3) = 1 1x 35y = 1 Yksityisratkaisu x 0 = 3 ja y 0 = 1 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 35 x = x0 + n = 3+ n = n, n syt( ab, ) 1 Pienin positiivinen ratkaisu on 3. b) 19x (mod 55) 19x = 55y 19x 55y = 5 Haetaan lukujen 19 ja 55 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 55 = = = = 1 Syt(19, 55) = 1 = 17 8 = 17 8 (19 17) = = 9 (55 19) 8 19 = ( 6) 55 9 = ( 130) = 5 4x 45y = 3 Yksityisratkaisu x 0 = 130 ja y 0 = 45 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 55 x = x0 + n = 130+ n = n= n, n syt( ab, ) 1 Pienin positiivinen ratkaisu on 35. Vastaus: Pienin positiivinen ratkaisu on a) 3 b)

22 (mod9) V astaus: Jakojäännös on (mod9) 14 + ( ) (mod9),3101 7(mod9) 311. Luvun kaksi viimeistä numeroa saadaan laskemalla kongruenssi modulo 100. a) Luvun kaksi viimeistä numeroa 3 3 (3 ) (mod100) (9 ) (mod100) (81 ) (mod100) (mod100) (mod100) Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat = = (3 ) = (3, ) = 3, ,5 10 Luvun kaksi ensimmäistä numeroa ovat b) (mod100) 103 ( 1) 1(mod100) Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat = 99 = (99 ) 99 = (6, ) 7, = 6, , = 4, , ,98 10 Luvun kaksi ensimmäistä numeroa ovat 31. V astaus: Luvun kaksi ensimmäistä ja viimeistä numeroa ovat a) 44 ja 87 b) 31 ja Jäännösluokat 31. a) = 151 = Kello näyttää 7. b) = = Kello näyttää 5. c) = = Kello näyttää 5. Vastaus: Kaappikello näyttää kellonaikaa a) 7 b) 5 c)

23 = = = 4 3 = = = = Vastaus: Samaan jäännösluokkaan kuuluvut 1 ja 18 tai 3 ja 16 tai 34, tai Lasketaan joukossa 13. a) [8] + [1] = [0] = [7] b) [9] [7] = [63] = [11] c) [5] ([] + [6]) + [8] [6] = [5] [8] + [48] = [40] + [48] = [88] = [10] Vastaus: a) [7] b) [11] c) [10] 315. Laaditaan yhteenlasku- ja ketolaskutaulukko jäännösluokassa Yhteenlaskutaulukko jäännösluokassa 7 + [0] [1] [] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [1] [] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [] [3] [4] [5] [6] [0] [] [] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [] [4] [4] [5] [6] [0] [1] [] [3] [5] [5] [6] [0] [1] [] [3] [4] [6] [6] [0] [1] [] [3] [4] [5] Kertolaskutaulukko jäännösluokassa 7 [0] [1] [] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [] [3] [4] [5] [6] [] [0] [] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [0] [3] [6] [] [5] [1] [4] [4] [0] [4] [1] [5] [] [6] [3] [5] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [] [6] [0] [6] [5] [4] [3] [] [1] Ratkaistaan yhtälö [][x] = [1]. Katsotaan kertolaskutaulukon riviä []. Haetaan [1]. Tällöin [x] = 4. Vastaus: [x] = Katsotaan vastaus edellisen tehtävän taulukoista. Alkion [4] vasta-alkio on [3], sillä [4] + [3] = 0. Alkion [4] käänteisalkio on [], sillä [4] [] = 1. Vastaus: Alkion [4] vasta-alkio on [3] ja käänteisalkio on [] riviltä alkio

24 317. Luvun [15] ja sen vasta-alkion [x] summa on [0] lukujoukossa 37, joten se toteuttaa yhtälön [15] + [x] = 0. Käänteisalkio on [x] = [15] = []. Luvun [15] ja sen käänteisalkion [x] tulo on [1] lukujoukossa 37, joten se toteuttaa kongruenssin 15x 1(mod 37). 15x 37y = 1 Haetaan lukujen 15 ja 37 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 37 = = = 7 1 Syt(15, 37) = 1 = 15 7 = 15 (37 15) = Täten [5] [15] [] [37] = [1] [37] = [0] [5] [15] = 1 Luvun [15] käänteisalkio on [5]. Vastaus: Luvun [15] vasta-alkio on [] ja käänteisalkio on [5] Ratkaistaan yhtälö [15][x] = [4] lukujoukossa 3. [15][x] = [4] 15x 4(mod 3) 15x 3y = 4 Haetaan lukujen 15 ja 3 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 3 = = = = 7 1 Syt(15, 3) = 1 = 8 7 = 8 (15 8) = 8 15 = (3 15) 15 = ( 3) 3 ( ) = ( 1) 3 ( 8) = 4 15x 3y = 4 Yksityisratkaisu x 0 = 1 ja y 0 = 8 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b x x0 n 1 n 1 syt( ab, ) = + 3 = + 1 = 3n= n, n Yhtälön ratkaisu [15][x] = [4] [x] = [11] Vastaus: [x] = [11] 10

25 319. Caesar in yhteenlaskumenetelmässä käytetään 9 kirjainta ja avaimena on k = 9. a) Viestin Kaunis iltapäivä salaus. Viesti Koodi Salauskoodi Salaus K T a u j a n 13 x i 8 17 r s 18 7 ö 8 8 i i 8 17 r l 11 0 u t 19 8 a 0 9 j p 15 4 z ä 6 6 g i 8 17 r v 1 1 b ä 6 6 g b) Salausavain k = 9 Purkuavain k = 9 Vies tin ru jzgrbgjaärxty p urku: Salaus Koodi Purkukoodi V iesti r 17 8 i u 0 11 l 8 19 t j 9 0 a z 4 15 p g 6 6 ä r 17 8 i b 1 1 v g 6 6 ä j 9 0 a a 0 0 u ä 6 17 r r 17 8 i x 13 n t k y 3 14 o Vastaus: a) Salattu viesti on Tjaxröiru jzgrbg. b) Purettu viesti on iltapäiväaurinko. 11

26 30. a) Viesti on salattu Caesar in kertolaskumenetelmällä käyttäen 9 merkkiä (aakkoset ja välilyönti), sekä avaimena k = 19. Salakirjoitetaan viesti Hyvää huomenta. Salaus Salauskoodi Koodi Viesti H 7 17 R y 3 c v 1 x ä 6 1 b ä 6 1 b 8 10 k h 7 17 r u o d f m e å s n p t n a 0 0 a b) Viesti on salattu Caesar in kertolaskumenetelmällä käyttäen 9 merkkiä (aakkoset ja välilyönti), sekä avaimena k = 19. Avaa viesti ru jzgrbgjaärxty. Viestin kirjain [x] Salattu viestin kirjain [y] Salaus [19] [x] = [y] [19] 1 [x] = [19] 1 [y] Määritetään alkion [19] käänteisalkio lukujoukossa 9 Luvun [19] ja sen käänteisalkion [x] tulo on [1] lukujoukossa 9, joten se toteuttaa kongruenssin 19x 1(mod 9). 19x 9y = 1 Haetaan lukujen 9 ja 9 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 9 = = = = 9 1 Syt(19, 9) = 1 = 10 9 = 10 (19 10) = = (9 19) 19 = Täten [] [9] [3] [19] = [1] [9] = [0] [3] [19] = 1 Luvun [19] käänteisalkio on [ 3] = [6] 1

27 Purkuavaain k 1 = 6 Salaus Salauskoodi Koodi Viesti y a g s a l a 0 0 a q k h 7 8 i e 4 17 r ä 6 9 j f 5 14 o h 7 8 i n t d 3 0 u y 3 18 s n t a 0 0 a k ä j a 0 0 a k 10 8 å 5 1 m a 0 0 a n t s å e m a 0 0 a n t h 7 8 i h 7 8 i q k q k a 0 0 a a 0 0 a Vastaus: a) Salattu viesti on Rcxbbkrdfåspna. b) Purettu viesti on salakirjoitusta ja matematiikkaa 11. Mielenkiint oisia lukuteorian ongelmia 31. Koska = , niin ei ole Mersennen alkuluku. Vastaus: Ei ole. 13

28 3. Luku 00 neljän neliön summana 00 = 10 0 = (1 + 9) (4 + 16) = (1 + 3 ) ( + 4 ) = = Vastaus: Luku on neljä n neliön summana Lasketaan 1 5 (mod 53) (1 ) 1 1 1( mod53) (mod53) Vastaus: Ei ole. 34. Tuhatta suurempia alkulukukaksosia ovat esimerkiksi ja 1 01, ja sekä ja jne Vastaus: ja Lasketaan modulo ( ) (mod 47) (30 ) (mod 47) Vastaus: Jakojäännös on (mod 47) 36. Lasketaan modulo ( ) ( ) (57 ) (mod107) ( ) (mod107) (mod107) 143 3(mod107) 68(mod107) Lasketaan luvun 57 käänteisalkio lukujoukossa 107. Luvun [57] ja sen käänteisalkion [x] tulo on [1] lukujoukossa 107, joten se toteuttaa kongruenssin 57x 1(mod 107). 57x 107y = 1 Haetaan lu kujen 57 ja 107 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 107 = = = = 7 1 Syt(57, 107) = 1 = = 50 7 (57 50) = = 8 (107 57) 7 57 = Täten [8] [107] [15] [57] = [1] [107] = [0] [ 15] [57] = 1 Luvun [57] käänteisalkio on [ 15] = [9]. 14

29 Jatketaan kongruenssin laskemista = (mod107) Vastaus: Jakojäännö s on 4. Harjoituskoe 1 1. a) Lause p p q p q p p q p p q Koska lauseen p p q totuusarvo ei ole riippumaton atomilauseiden totuusarvoista, lause ei ole tautologia. b) Merkitään p = Jukka menee Pori Jazziin., q = Jukka menee Ruisrockiin., r = Jukka menee Rauma Bluesiin. Jos h än menee P oriin, eikä m ene Raumalle, niin hän menee Ruisrockiin. = ( p r) q Hän menee Ruisrockiin jos ja vain jos hän menee Raumalle. = q r Jos Jukk a menee Raum alle, niin hän menee myös Poriin. = r p Laaditaan totuustaulu p q r r p r ( p r) q q r r p Koska vain rivillä 1 kaikki totuusarvot ovat samoja, Jukka menee kaikkiin (Pori Jazz, Ruisrock ja Rauma Blues). Vastaus: a) Lause ei ole tautologia. b) Jukka menee kaikkiin. 15

30 . a) Lukujen ja suurin yhteinen tekijä Käytetään Eukleideen algoritmia = = = = = = = = = syt(1 134, ) = 1 b) syt( ab, ) pyj( a, b) = a b pyj(1 134, ) = = = syt(1 134, ) 1 Vastaus: a) syt(1 134, ) = 1 b) pyj(1 134, ) = a b a b : joko a mutta ei b, tai sitten, joko ei a tai b. a b [( a b) ( a b)] b a b a a b a b [( a b) ( a b)] Vastaus: a b [( a b) ( a b)], a bon epätosi vain jos molemmat ovat, muuten tosi. 4. a) 13 6(mod 7), 13 = 169 1(mod 7) (13 ) (mod7) Jakojäännös on siis 6 16

31 b) 7x+ 5y = 3 Haetaan s yt(7, 5) E ukleideen algoritmilla: 7 = = + 1 = 1 syt(7, 5) = 1 Lausutaan syt(7, 5) = 1 lukujen 7 ja 5 lineaarikombinaationa. Koska Eukleideen algoritmissa 5= + 1, niin 1= 5 7= = = 5 (7 14 5) 1= = Yhtälön 7x+ 5y = 1 eräs ratkaisu on x = ja y = 9 Yhtälön 7x+ 5y = 3 yksi ratkaisu 7x+ 5y = 1 3 7x 3 + 5y 3 = 1 3 x =, y = 9 7 ( ) = 3 7 ( 6) = 3 Yksi yhtälön 7x+ 5y = 3 ratkaisu on x = 6 ja y = 87. Vastaus: a) Jakojäännös 6 b) x = 6 ja y = a) x 5 (mod 5) x 5= 5y x 5y = 5 Ratkaistaan Diofantoksen yhtälön x 5y = 5 ratkaisu. Lukujen ja 5 suurin yhteinen tekijä 5= + 1 = 1 syt(5, )=1 Lineaarikombinaatio 1= 5 + 5(1) = 1, joten yhtälön x 5y = 1 eräs ratkaisu on x=, y = 1 x 5y = 1 5 x 5 5y 5= 1 5 x =, y = 1 ()5 + 5(1)5 = 5 ( 10) + 5 ( 5) = 5 17

32 Diofantoksen yhtälön ax + by = ckaikista ratkaisuista tarvitaan vain x ja x 0 = 10 x x b 5 0 n (, ) n = + = + = syt a b 1 n b) 9x (mod 7) 9x (mod 7) 9x = 7y 9x 7y = R atkaistaan Diofantoksen yhtälön 9x 7y = ratkaisu. Lukujen 7 ja 9 suurin yhteinen tekijä 9= = = 1 syt(9, 7 )=1 Lineaarikombinaatio 1= 7 3 = 7 3 ( 9 1 7) = = joten yhtälön 9x 7y = 1 eräs ratkaisu on x= 3, y = 4 Diofantoksen yhtälön 9x 7y = 1 9x 7y = 1 x = 3, y = 4 9(3) + 7(4) = 9(6) + 7(8) = b 7 x = x0 + n = 6+ n = 6 7n syt( a, b) 1 6. Z = {[0], [1]} Yhteenlasku [0] + [0] = [0 + 0] = [0] [0] + [1] = [0 + 1] = [1] [1] + [0] = [1 + 0] = [1] [1] + [1] = [1 + 1] = [] = [0] + [0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0] ax + by = ckaikista ratkaisuista tarvitaan vain x ja x 0 = 6 18

33 Kertolasku [0] [0] = [0 0] = [0] [0] [1] = [0 1] = [0] [1] [0] = [1 0] = [0] [1] [1] = [1 1] = [1] [0] [1] [0] [0] [0] [1] [0] [1] 7. a) 1. kissaa menee. 1 kissa palaa 3. 1 koira menee 4. 1 kissa palaa 5. kissaa menee 6. 1 kissa palaa 7. 1 koira menee 8. 1 kissa palaa 9. kissaa menee Eli jokaista koiraa kohden tarvitaan kissaa, sitten vielä kissojen paluut: 4 + 1= 9. b) Jokaiselle koiralle tarvitaan 4 reissua ja kissaa kissaa 1 kissa 1 koira 1 kissa Jos koiria on n kappaletta reissuja tarvitaan 4n. Tämän jälkeen haetaan kissat. Rannalla kissaa, niin lisää tulee yksi matka (paluu) Rannalla 3 kissaa, niin 1 paluu ja sitten sekä meno että paluu Rannalla 4 kissa, niin 1 paluu ja sitten kertaa sekä meno että paluu Eli aina, kun kissojen määrä luvusta kaksi kasvaa yhdellä, matkojen määrä kasvaa kahdella. Kissojen määrä kasvaa kahdella matkojen määrä kasvaa = 4:llä. Näin ollen näyttää siltä, että jos rannalla on n koiraa ja n kissaa, matkoja on koirat 4n kissat 1+ (n ) yhteensä 4n+ 1+ ( n ) = 6n 3 Osoitetaan oikeakasi induktiolla. Väite: Matkoja 6n 3 kappaletta, kun kissoja ja koiria on n kappaletta ja Todistus: Alkuaskel: Osoitetaan, että väite on tosi, kun n =. n 19

34 Matkoja 6n 3= 6 3= 9kappaletta, mikä pitää tehtävän a-kohdan perusteella paikkansa. Induktioaskel Induktio-oletus: Väite on tosi, kun n = k, k >. Matkoja tarvitaan 6k 3kappaletta Induktio väite : Jos väite on tosi n:n arvolla k, niin se on tosi n:n arvolla k + 1 Matkoja tarvitaan 6( k + 1) 3 = 6k + 3 kappaletta Todistus: Induktio-oletuksen mukaan k koiraa ja k kissaa pääsee leirille tekemällä 6k 3matkaa. Tämän jälkeen vastarannalla on vielä yksi koira ja yksi kissa. Yksi kissa lähtee, koiraan menee saarelle ( matkaa) Yksi kissa lähtee, kissaa palaa ( matkaa) Yksi kissa lähtee kissaa palaa ( matkaa) Matkojen määrä: 6k = 6k +3. Joten induktio-oletuksesta seuraa induktio väite. Koska alkuaskel ja induktioaskel on todistettu, niin alkuperäinen väite pitää paikkansa. 8. Jokainen positiivinen kokonaisluku on muotoa 4 q,4q+ 1, 4q+ tai 4q+ 3, q + Olkoon s mielivaltainen kakkosta suurempi alkuluku. s 4q, sillä alkuluku ei ole jaollinen luvulla 4 = s q + 4, sillä s = q+ 4 = ( q+ ), eli jaollinen luvulla kaksi. Näin ollen s = 4q+ 1 tai s = 4q+ 3. Jos s = 4q +1, se yhtä suurempi kuin neljällä jaollinen luku 4q Jos s = 4q + 3, se on yhtä pienempi kuin neljällä jaollinen luku 4q + 4 = 4(q + 1) Harjoituskoe 1. a) 13 5 = = b) 101 = = Vastaus: a) b) p q q p q r (p q ) r

35 3. 6 a) 7 1 = ( )(7 3 1) = = = b) 1 = ( )( 18 1) = = = Vastaus: a) b) p q p q p q p q p q ( p q) ( p q) [0] [1] [] [0] [0] [1] [] [1] [1] [] [0] [] [] [0] [1] [0] [1] [] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [] [] [0] [] [1] [][x] = [1] jäännösluokassa Kertolaskutaulukosta nähdään,että yhtälön ratkaisu on [x] = [] Vastaus: [x] = [] 6. a) 5 (mod8) x x 5x (mod8) 0 50 = 0 (mod8) 1 51 = 5 (mod8) 5 = 10 (mod8) = 15 (mod 8) 4 54 = 0 (mod8) 5 55 = 5 (mod8) = 30 (mod 8) 7 57 = 35 (mod8) Taulukosta nähdään, että x = + 8n, n 3 131

36 b) x 1(mod9) x x 1(mod9) 0 0 = 0 1(mod9) 1 1 = 1 1(mod 9) = 4 1(mod9) 3 3 = 6 1(mod9) 4 4 = 8 1(mod 9) 5 5 = 10 1(mod9) 6 6 = 1 1(mod9) 7 7 = 14 1(mod9) 8 8 = 16 1(mod9) Tauluko sta nähdään, että x = 5 + 9n, n Vastaus: a) x = + 8n, n b) x = 5 + 9n, n 7. 1x + 7y = 0 syt(7, 1) = 1 1 = = 7 1 (4 1 (6 7) = = = = 0 x 0 = 880 y0 = x = n = n 1, n 1 y = 1540 n = n 1 Vastau s : x = n, n y = n 13

37 8. a) ( n ) + ( n 1) + n + ( n+ 1) + ( n+ ) = n 4n+ 4+ n n+ 1+ n + n + n+ 1+ n + 4n+ 4 = 5n + 10= 5( n + ) Joten viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa on jaollinen luvulla 5. b) Oletus: Viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa on 5(n + ). Väite: Viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa ei voi olla minkään luonnollisen luvun neliö. Todistus: Jotta 5(n + ) olisi luonnollisen luvun neliö, olisi luvun n + tekijänä oltava luku 5. Tämä on mahdotonta, koska silloin luvun n viimeinen numero pitäisi olla 3, mutta mahdollisia numeroita ovat vain: 0 = 0 1 = 1 = 4 3 = 9 4 = 16 5 = 5 6 = 36 7 = 49 8 = 64 9 = 81 Joten viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa ei voi olla minkään luonnollisen luvun ne liö. Harjoituskoe 3 1. Jaetaan tekijöihin. a) 10 = 10 1 = 5 3 = = 4 4 = 3 7 = = 4 66 = = = pyj(10, 168, 64) = 9 40 b) 97 = 9 33 = = 4 88 = 11 = 5 11 syt(97, 35) = 11 Vastaus: a) Suurin yhteinen tekijä on b) Pienin yhteinen jaettava on 11.. Taul ukoidaan lause L : ( A B C) [ A B C]. A B C B C A B C A B C A B A B C L Vastaus: Lause ei ole tautologia. 133

38 3. 35 k = 1647 k + 3k+ 5= k + 3k+ 5= 95 k + 3k 90= 0 Va staus: 6-järjestelmässä k = 6 tai k = 7,5 Ei käy, k > 0 4. Ensimmäinen alkuluku a = n + 1, missä n Toinen alkuluku b = m + 1, missä m Alkulukujen tulo ab =(n + 1) (m + 1) = 4mn + n + m + 1 = (mn + m + n) + 1 Tulo on pariton, koska mn + m + n, kun m ja n. Tällöin luku (mn + m + n) on parillinen ja siihen kun lisätään 1 saadaan pariton luku. 5. Määrätään Eukleideen algoritmilla syt(5 568, ) = = = = Jakoyhtälöiden viimeinen jakojäännös on syt(5 568, ) = 94. Kertoimien määritys 94 = = ( ) = = 8 ( ) = Vastaus: syt(5 568, ) = 94 sekä x = 8 ja y = x 3 (mod 16) 7x 16y = 3 Haetaan lukujen 16 ja 7 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 7 = = = = 5 1 Syt(16, 7) = 1 = 11 5 = 11 (16 11) = = 3 (7 16) 16 = = = 3 7x 16y = 3 Yksityisratkaisu x 0 = 9 ja y 0 = 15 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 16 x = x0 + n = 9+ n = n, n syt( ab, ) 1 Vastaus: x= n, n ( ) = = Vastaus: Jakojäännös on

39 8. Suoritetaan jakolasku :4 jakokulmassa Koska jakojäännös on nolla, niin kello on Vastaus: Kello on

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

3. Predikaattilogiikka

3. Predikaattilogiikka 3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 7. toukokuuta 04 Sisältö Joukko-oppia 4. Joukko-opin peruskäsitteitä ja merkintöjä........... 4 Todistamisen ja matemaattisen päättelyn alkeita 3. Alkupala..............................

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R): Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 15. syyskuuta 2015 Alkulause Much more important than specific mathematical results are the habits of mind used by the people who create those results. Cuoco, Goldenberg

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot