35. Kahden aallon interferenssi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "35. Kahden aallon interferenssi"

Transkriptio

1 35. Kahden aallon interferenssi 35.1 Interferenssi ja koherentit lähteet Superpositioperiaate: Aaltojen resultanttisiirtymä (missä tahansa pisteessä millä tahansa hetkellä) on yksittäisiin aaltoliikkeisiin (sellaisina kuin niistä kukin ilman muita aaltoja olisi) liittyvien (hetkellisten lokaalien) siirtymien vektorisumma. Interferenssi = kahden tai useamman aallon yhteisvaikutus. Monokromaattinen valo = valo jossa vain yksi taajuus. Koherentit lähteet = monokromaattiset saman taajuuden lähteet, joiden vaiheet ovat kiinteässä suhteessa toisiinsa, esim. 2 lähdettä: E 1 (t) cos(ωt + φ) E 2 (t) cos(ωt) missä φ=vaihe-ero. Vaihe-eron voi tuottaa aikaero tai matkaero. Tarkkaan ottaen superpositioperiaate pätee vain lineaaristen aaltoyhtälöiden kuvaamille (oletuksena yleisesti pienet siirtymät) aaltoliikkeille. 137 Kahden samassa vaiheessa olevan koherentin lähteen S 1 ja S 2 r tuottamille aalloille pisteessäp: 1 KONSTR P Konstruktiivinen interferenssi kun S 1 S r 2 r 1 = mλ (m Z) 2 r 2 r 1 Destruktiivinen interferenssi kun P S DESTR r 1 2 r 1 =(m +1/2)λ (m Z) S 2 r Kumpikin voi olla osittainen tai täydellinen. 2 Nämä kaavat toimivat, kun λ on vakio eli kun väliaine on optisesti homogeeninen. Rajapinnoilla on otettava huomioon λ:n muutos. Kuvut (antinoodit) = pisteet, joissa E 1 (t)+ E 2 (t) maksimoituu. Solmut (noodit) = pisteet, joissa E 1 (t)+ E 2 (t) =0. Jatkossa (luvut 35 36) oletamme, että aalloilla on sama polarisaatiotaso eli E1 E 2, jolloin voimme jättää pois vektorimerkit! 138

2 35.2 Kaksoisrakokoe Kuvan mukaisessa koejärjestelyssä aaltojen vaihe pisteissä S 1 ja S 2 on sama. Matka-ero niistä pisteeseen P riippuu kulmasta θ. Olettaen θ mono krom. pieneksi ja R d saadaan pienestä kolmiosta S 1 S 2 Q matkaero r 2 r 1 d sin θ, mistä konstr. ja destr. interferenssin ehdot ovat S 1 d S 2 Q r 1 r θ 2 d sin θ = mλ (konstruktiivinen) (64) d sin θ =(m + 1/2)λ (destruktiivinen) (65) Merkitäänpä m. intensiteettimaksimin paikkaa varjostimella y m :llä ja sitä vastaavaa kulman arvoa θ m :llä y m R tan θ m, missä d sin θ m = mλ pienillä kulmilla maksimit paikoissa y m mrλ/d. R P 139 y 0 varjostin 35.3 Interferenssikuvion intensiteetit Tutkitaan kahden monokromaattisen lähteen resultanttiaaltoa pisteessä, jossa aalloilla on sama amplitudi mutta vaihe-ero φ: E(t) =E 1 (t)+e 2 (t) E 1 (t) =E cos(ωt + φ) E 2 (t) =E cos(ωt) Käyttäen trigonometristen funktioiden laskusääntöjä saadaan E(t) =E P cos(ωt + δ), E P =2E cos φ, (66) 2 missä kulman δ arvo on jatkon kannalta epäoleellinen. Oleellista tässä on, että resultanttiaaltokin on sinimuotoinen ja sillä on sama taajuus kuin alkuperäisillä aalloilla. Sen amplitudi on E P. Resultanttiaallon intensiteetti amplitudin neliö (vrt. luku 33.5): I = I 0 cos 2 φ 2. (fysp105: I 0 =2ɛcE 2 ) (67) Havaitsemme, että esim. I =I 0 kun φ=2π ja I =0 kun φ=π. 140

3 Johdetaanpa tulos (66) geometrisella kikalla. E E γ = π φ P φ cos γ = cos φ, γ ωt jolloin kosinilauseesta E ωt E=fysikaalinen EP 2 = E2 + E 2 +2E 2 cos φ Ecos(ωt) Ecos(ωt+φ) kentta =2E 2 (1 + cos φ) josta kaksinkertaisen kulman cos:n kaavalla E P =2E cos(φ/2). Kuvassa fysikaaliset kentät ovat vaakasuorassa. Huomaamme, että ajan t kuluessa kuvan vektorit kiertävät yhden jakson aikana täyden kierroksen ja resultanttikentän amplitudi on E P. Kätevää! imag.kentta Huom: Konstruktio yllä, vaihevektorikaavio, on monikäyttöinen. Sen avulla voi helposti summata useampiakin saman taajuuden aaltoja, joilla voisi eri vaiheiden lisäksi olla eri amplituditkin. Eli yleistetty Pythagoraan lause a 2 = b 2 +c 2 2bc cos α ja cos 2x=2 cos 2 x Koherenteille lähteille esim. vaihe-ero φ = 2π vastaa matkaeroa r 2 r 1 = λ ja φ = π matkaeroa r 2 r 1 = λ/2. Kun φ r 2 r 1 kaikille φ, voimme kirjoittaa φ = 2π λ (r 2 r 1 )=k(r 2 r 1 ) (k =2π/λ). (68) Esim: Palaamme luvun 35.2 kaksoisrakokokeeseen eli Youngin kokeeseen: r I=I 0 cos 2 [π(d/λ)sinθ] 2 r 1 = d sin θ. Nyt (67,68) I = I 0 cos 2 φ 2 = I 0 cos 2{ π d λ sin θ}. Siis I maksimoituu, kun {...} = mπ 1 (d/λ)sinθ eli kun d sin θ = mλ, mikä oli konstruktiivisen interferenssin ehto! Pienillä θ on θ y/r I I 0 cos 2 (πyd/λr) eli intensiteetin maksimit y m ovat varjostimella tasavälein. Kurssikirjan www-sivun animaatiot kannattaa käydä läpi. I 0 142

4 35.4 Interferenssi ohuissa kalvoissa Heijastukset rajapinnoista aallonpituusriippuva vaihe-ero konstr. tai destr. interferenssi eri värit näkyvät eri kulmissa. n a n b θ a h Kalvon paksuuden h ohella heijastuksissa syntyvään vaihe-eroon vaikuttavat myös väliaineiden taitekertoimet. Tarkastellaan yhtä heijastusta: Jos θ a =0jas on etäisyys rajapinnasta, havaitaan E r = n a n b n a + n b E a E a cos(ωt + ks) = tuleva aalto E r cos(ωt + ks) = heijastuva aalto (69) eli heijastumisessa voi tapahtua vaihesiirto: n a <n b : E r ja E a erimerkkisiä vaihesiirto = π. n a >n b : E r ja E a samanmerkkisiä vaihesiirto = 0 n a = n b : E r =0 ei heijastumista. Rajapinnan läpi menevä aalto ei koe vaihesiirtoa (mutta E b E a ). Johdettavissa Maxwellin yhtälöistä ja analogista mekaniikan aaltojen kanssa. 143 Kahden aallon välinen kokonaisvaihe-ero on siten matka-eroon liittyvän vaihe-eron ja heijastukseen liittyvän vaihesiirron summa. Interferenssin määrää kokonaisvaihe-ero. Esim: Newtonin renkaat linssillä, jonka sovellus on linssin muodon tarkastus: Pyörähdysymmetrisen (tavoite) linssin interferenssikuvio muodostuu samankeskisistä ympyrärenkaista. Esim: Silmälasin linssin pinta saadaan lähes heijastamattomaksi pinnoittamalla se ohuella kalvolla, jonka taitekerroin on pienempi kuin linssimateriaalin taitekerroin. Tälloin heijastuksissa kalvon ylä- ja alapinnoilta vaihesiirrot ovat samat. Kokonaisvaihe-ero muodostuu siten matka-eroista, jolloin valitsemalla kalvon paksuudeksi λ/4, missä λ on (ilmassa keltaisen) valon aallonpituus kalvomateriaalissa, saadaan φ = π ja destruktiivinen interferenssi. Esim: Michelsonin-Morleyn koe (kirjan luvuissa 32.1, 35.5, 37.1). 144

5 36. Diffraktio Diffraktio on interferenssi-ilmiö, jossa aalto interferoi itsensä kanssa, esim. osuttuaan (esim. läpinäkymättömään) esteeseen. Keskenään interferoivien aaltojen lähteitä on tällöin äärettömän monta (vrt. Huygensin periaate) tai lähde on jatkumo Fresnelin ja Fraunhoferin diffraktio Fresnel-alue: Lähde tai varjostin on lähellä estettä. Fraunhofer-alue: Lähde ja varjostin ovat kaukana esteestä. Diffraktiivisten perusilmiöiden havainnollistamiseksi keskitymme (matemaattisestikin yksinkertaiseen) Fraunhofer-alueeseen: - tulevan valon voidaan katsoa tulevan yhdestä suunnasta - varjostinta siirrettäessä interferenssikuvion muoto ei muutu -tässä alueessa oltava tyypillisesti Rλ > a 2 (a =lähteen koko) Yksi rako y monokrom Aluksi: Valitaanpa raon a θ 0 (leveys a) sisältä kaksi R pistettäetäisyydellä a/2 toisistaan (jaamme siis raon kahteen osaan). Sivujen tarkastelut destruktiivinen interferenssi varjostimella kohdissa a 2 sin θ = ±λ sin θ = ± λ 2 a Voimme jakaa raon jakaa pienempiinkin osiin siten, että niitä on parillinen määrä, jolloin ehdoksi tulee (a/2m) sin θ = ±λ/2. Päättelemme, että destruktiivinen interferenssi saadaan, kun varjostin sin θ = m λ a m = ±1, ±2, ±3,... (destruktiivinen) (70) Tämän mukainen interferenssi on täydellinen pienillä kulmilla; suuremmilla kulmilla varjostimella nähdään tummat kohdat. 146

6 Päättelemämme tulos (70) on helppo johtaa luvun 35.3 vaihevektorimenetelmällä, nyt summaamalla äärettömän monen lähdepisteen yli. Olkoon kokonaisvaihe-ero raon leveyden matkalla β. E P ωt β β/2 β/2 E 0 /β E P /2 E P /2 βe 0 /β = E 0 Kaarenpituus = kulma (rad) säde kolmioista saamme E P 2 = E 0 β sin β 2. Toisaalta intensiteetti amplitudi 2 eli I EP 2. Merkitsemällä nyt I 0 = max(i) =I(β 0) saamme I = I [ sin β/2] 2. 0 β/2 147 Vaihe-ero = (2π/λ) matka-ero, joten β =(2π/λ) a sin θ ja I 0 I [sin ( πa I = I λ sin θ) ] 2. 0 πa (71) λ sin θ θ 2 θ 1 0 θ θ 1 2 θ Intensiteetin keskusmaksimi: θ = 0 Muut maksimit: a sin θ ± ( m + 1 2) λ m =1, 2, 3,... Intensiteettiminimit: a sin θ m = ±mλ m =1, 2, 3,... Huom: Kun λ<a, antaa (71) minimejä välille π/2 <θ<π/2. Jos on λ a, keskusmaksimin leveys on θ 1 sin θ 1 = λ/a. Huom: Diffraktiomaksimien intensiteetit laskevat nopeasti m:n kasvaessa, koska tulos (71) on muotoa I x 2 sin 2 x. 148

7 Monta rakoa ja hila Kannattaa ottaa käyttöön merkinnät φ =2π d λ β =2π a λ sin θ d = rakojen valimatka (72) sin θ a = kunkin raon leveys (73) Kaksi rakoa: Yhdistämällä sivujen 142 ja 148 tulokset saamme I I 0 diffraktio (1 rako) yhdistetty (2 rakoa) I = I 0 [cos(φ/2)] 2[ sin(β/2) ] 2 (74) β/2 0 θ Kun a/λ < d/λ < 1, rakojen keskinäinen interferenssi (φ) oskilloi nopeammin kuin rakojen (sisäinen) diffraktio (β). Kuvassa yllä on d = 3a ja diffraktio (katkoviiva) moduloi intensiteettiä. 149 N kapeaa rakoa: Tässä pätevin oletuksin saadaan I = I [ sin(nφ/2) ] 2 [ sin(β/2) ] 2 0 (N>1) (75) sin(φ/2) β/2 I I 0 m= 1 m=0 m=+1 Siis kapeat korkeat päämaksimit, joiden välissä N 1 minimiä. Diffraktiohila N 1: (75) päämaksimit samoissa kohdissa kuin N =2:lle ja N:n kasvaessa sivumaksimit vaimenevat näkyvistä. Siten päämaksimeille (kunhan a d λ) pätee (64) sellaisenaan d sin θ = mλ m =0, ±1, ±2,... (76) Terminologiaa: m = ±1 1. kertaluvun viivat jne. θ 150

8 Hilan erotuskyky: Kapeiden piikkien ansiosta hilalla saadaan hajotettua ei-monokromaattinen valo aallonpituuskomponentteihin spektrianalyysi! Erotuskyky R = λ/δλ, missä Δλ on pienin esiin saatava aallonpitusero. Lasketaanpa R: Intensiteettimaksimit: sin θ = mλ/d cos θδθ = mδλ/d Vaihe-ero: φ = 2π(d/λ) sin θ Δφ = 2π(d/λ) cos θδθ Piikin leveys vaiheyksiköissä: Δφ = 2π/N Näistä saamme hilan erotuskyvylle arvion mikä odotetusti paranee N:n kasvaessa. R = λ/δλ = Nm, (77) Huom: Edellä olemme tarkastelleet valoa läpäisevää hilaa. Samat yhtälöt toimivat konstruktion perusteella heijastavallekin hilalle. Esimerkki jälkimmäisestä on heijastus cd-levyn pinnasta Röntgen-sironta kiteestä Tutkitaan sirontaa kidetasoista, joiden välimatka toisistaan on d. Interferenssi on konstruktiivinen, kun matkaero on λ:n monikerta. Pienet kolmiot Braggin ehto: d θ 2d sin θ = mλ (78) Kiinteä kide toimii tässä heijastavana (monikerroksisena) hilana. Sovelluksia: Sironnan intensiteettikuviosta voidaan tunnistaa materiaalin kiderakenteen avaruussymmetria ja määrittää d. Röntgensironnalla voidaan selvittää myös suurten molekyylien rakenne, kun ne on ensin kiteytetty. Huom: Tässä havaintaan makrotasolla (kuvio varjostimella) seuraus mikrotason rakenteesta (raot, kiderakenne). 152

9 36.7 Pyöreän aukon erotuskyky Diffraktio rajoittaa (säde)optisten laitteiden kulmaerotuskykyä. Pyöreälle aukolle (esim. mikroskoopin linssi) saadaan ympyrän muotoinen diffraktiokuvio: 1. intensiteettiminimi tulee kohtaan sin θ λ D, (79) missä D on aukon halkaisija. Tulos on työläs johtaa, mutta varsin lähellä kapean raon destruktiivisen interferenssin ehtoa (70). Resoluutio paranee λ:n pienetessä jad:n kasvaessa. Esim: (radio)teleskooppi ja (elektroni)mikroskooppi Hologrammi Holografiassa tallennetaan esineestä heijastuvan ja suoraan monokromaattisesta lähteestä tulevan aallon interferenssikuvio, oleellisesti siis sekä intensiteetti että vaihe-ero. Vaihe-ero antaa esineen pisteen sijainnin kuvaussuunnassa syvyysvaikutelma X Kurssikirjan ja muita esimerkkejä Example 35.2 (edellisen pääluvun esimerkki) Taajuudella 1500 khz toimiva AM-asema (amplitudimodulaatio) käyttää lähetyksessään kahta 400 m etäisyydellä toisistaan olevaa antennia. Kaukana lähettimestä, missä suunnassa havaitaan suurin ja pienin intensiteetti? Ratkaisu: Nyt λ = c/f = 200 m. Yhtälöstä (64) intensiteettimaksimit ovat siten suunnissa sin θ = m/2 eli θ =0, ±30, ±90 asteen kulmissa vastaten m:n arvoja m = 0, ±1, ±2. Intensiteettiminimit taasen ovat näiden välissä eli yhtälöstä (65) θ = ±14.5, ±48.6 asteen kulmissa vastaten siinä m:n arvoja m =0, ±1, 2. Huomaa (kirjassakin käytetty) hieman epäsymmetrinen notaatio kahden lähteen intensiteettiminimien m-indeksoinnille. Ulos tuleva fysiikka on toki symmetristä, kun lähtötilanne on symmetrinen. 154

10 Example 36.4 Sähkömagneettisen aallonpituusspektrin näkyvän osan rajat ovat suunnilleen 400 (violetti) ja 700 nm (punainen). Olkoon hilassa 600 rakoa millimetrillä ja tuleva valo kohtisuorassa sen tasoa vastaan. Määritä ensimmäisen kertaluvun maksimien alue kulmayksiköissä. Entä menevätkö ensimmäisen, toisen ja/tai kolmannen kertaluvun spektrit varjostimella päällekkäin? Ratkaisu: Nyt d = 5/3 μm ja yhtälöstä (76) saamme ensimmäisien kertaluvun maksimeille näkyvän spektrin ääripäissä m =1 sin θ vio 0.24 θ vio 14 o m =1 sin θ pun 0.42 θ pun 25 o. Spektrin leveys varjostimella on näiden kahden erotus eli 11 o. Kysyttäessä spektrien päällekkäin menemistä vertaamme sin θ:n arvoja eri kertaluvuissa (toki kulmatkin saa laskea): d sin θ viol =4(m=1), 8(m=2), 12 (m=3) 10 7 m d sin θ pun =7(m=1), 14 (m=2), 21 (m=3) 10 7 m joten 1. ja 2. eivät mene päällekkäin mutta 2. ja 3. menevät. 155 Esim: Kaksi oleellisesti pistemäistä kaiutinta on toisistaan 3.36 m etäisyydellä. Olkoon niistä lähtevän testiäänen taajuus 400 Hz ja niiden värähtelyjen välillä vaihe-ero siten, että toinen kaiutin on 1/6 jaksoa edellä toista kaiutinta. Äänen nopeus on 330 m/s. Kuulija on kaukana kaiuttimista. Sopivin oletuksin (ei kaikuja jne) ja mitattuna kaiutinten välisen keskiviivan suhteen, missä kulmissa kuulija ei kuulisi pihaustakaan? Ratkaisu: Lähteillä on 1/6 jakson vaihe-ero, joten saamme ehdot d sin θ ± =(m +1/2 ± 1/6)λ, missä d =3.36 m ja λ =0.825 m. Ratkaisuja ovat (m=0,1,...-4): θ + =9.4, 24.2,..., 54.9 astetta θ =4.7, 19.1,..., 64.2 astetta Arvolla m =+4jakun m > 4 ei ratkaisuja. THE END 156

Interferenssi. Luku 35. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun

Interferenssi. Luku 35. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun Luku 35 Interferenssi PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Interferenssi-ilmiö tapahtuu, kun kaksi aaltoa yhdistyy

Lisätiedot

Diffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun

Diffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun Luku 36 Diffraktio PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Ääni kuuluu helposti nurkan taakse Myös valo voi taipua

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 12 Tavoitteet Diffraktio Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio Diffraktio yhdestä raosta Yhden raon kuvion intensiteetti Monen

Lisätiedot

Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa

Lisätiedot

VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA

VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA 1 VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA MOTIVOINTI Tutustutaan laservalon käyttöön aaltooptiikan mittauksissa. Tutkitaan laservalon käyttäytymistä yhden ja kahden kapean raon takana. Määritetään

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat

Lisätiedot

TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1 TEKNIIKKA FYSIIKAN LABORATORIO V

TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1 TEKNIIKKA FYSIIKAN LABORATORIO V TURUN AMMATTIKORKAKOUU TYÖOHJ 1 3A. asertyö 1. Työn tarkoitus Työssä perehdytään interferenssi-ilmiöön tutkimalla sitä erilaisissa tilanteissa laservalon avulla. 2. Teoriaa aser on lyhennys sanoista ight

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

12 DIFFRAKTIO 12.1 FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO KAPEASSA RAOSSA

12 DIFFRAKTIO 12.1 FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO KAPEASSA RAOSSA 73 DFFAKTO Optisella alueella valon aallonpituus on hyvin lyhyt ( 5 cm). Valoa voidaan hyvin kuvata geometrisen optiikan approksimaatiolla ( ), jossa siis valoenergia etenee säteinä tai aaltorintamina.

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

OPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti:

OPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: OPTIIKAN TYÖ Vastaa ensin seuraaviin ennakkotietoja mittaaviin kysymyksiin. 1. Mitä tarkoittavat

Lisätiedot

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne 4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee

Lisätiedot

SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA

SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA FYSA234/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 Johdanto Kvanttimekaniikan mukaan atomi voi olla vain tietyissä, määrätyissä energiatiloissa. Perustilassa, jossa atomi normaalisti on, energia on pienimmillään.

Lisätiedot

FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA

FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 JOHDANTO Työssä tutustutaan hila- ja prismaspektrometreihin, joiden avulla tutkitaan valon taipumista hilassa ja taittumista prismassa. Samalla tutustutaan eräiden

Lisätiedot

Kuva 1. Kaaviokuva mittausjärjestelystä. Laserista L tuleva valonsäde kulkee rakojärjestelmän R läpi ja muodostaa diffraktiokuvion varjostimelle V.

Kuva 1. Kaaviokuva mittausjärjestelystä. Laserista L tuleva valonsäde kulkee rakojärjestelmän R läpi ja muodostaa diffraktiokuvion varjostimelle V. VALON DIFFRAKTIO 1 Johdanto Tässä laboratoriotyössä havainnollistetaan diffraktiota ja interferenssiä valaisemalla kapeita rakoja laservalolla ja tarkastelemalla rakojen takana olevalle varjostimelle syntyviä

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5 5. Optiikka Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, 16.2. 2012 Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman 1 5. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Peilit ja linssit 3. Perussuureita 4. Kuvausvirheet 5. Aalto-optiikka

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 21. marraskuuta 2016 Tasoaaltojen heijastus ja läpäisy (Ulaby 8.1 8.5) Kohtisuora heijastus ja läpäisy Tehon heijastus ja läpäisy Snellin laki

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa. Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

Aaltoliike ajan suhteen:

Aaltoliike ajan suhteen: Aaltoliike Aaltoliike on etenevää värähtelyä Värähdysliikkeen jaksonaika T on yhteen värähdykseen kuluva aika Värähtelyn taajuus on sekunnissa tapahtuvien värähdysten lukumäärä Taajuuden ƒ yksikkö Hz (hertsi,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium).

2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium). 2 Mekaaninen aalto Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium). 1 Mekaanisten aaltojen vastakohtana ovat sähkömagneettiset allot, jotka kulkevat

Lisätiedot

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!!

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! 1. Vastaa, ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin. Perustelua ei tarvitse kirjoittaa. a) Atomi ei voi lähettää

Lisätiedot

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta. 3 Ääni ja kuulo 1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta.

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Spektroskopia. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Spektroskopia. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos Spektroskopia Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 8. Spektroskopia Peruskäsitteet Spektroskoopin rakenne Spektrometrian käyttö Havainnot ja redusointi Spektropolarimetria 8. Yleistä spektroskopiasta

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Ilmakehän vaikutus havaintoihin Ilmakehän häiriöt (kuva: @www.en.wikipedia.org) Sää: pilvet, sumu, sade, turbulenssi,

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

KIDETUTKIMUS. 1. Työn tavoitteet. 2. Työn taustaa

KIDETUTKIMUS. 1. Työn tavoitteet. 2. Työn taustaa Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 1 KIDETUTKIMUS 1. Työn tavoitteet Tässä työssä havainnollistetaan kiteisten aineiden rakenteen tutkimista röntgendiffraktion

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Kondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan

Kondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan VAIHTOVIRTAPIIRI 1 Johdanto Vaihtovirtapiirien käsittely perustuu kolmen peruskomponentin, vastuksen (resistanssi R), kelan (induktanssi L) ja kondensaattorin (kapasitanssi C) toimintaan. Tarkastellaan

Lisätiedot

Fysiikan kotityöt. Fy 3.2 (24.03.2006) Heikki Juva, Aarne Niittyluoto, Heidi Kiiveri, Irina Pitkänen, (Risto Uusitalo)

Fysiikan kotityöt. Fy 3.2 (24.03.2006) Heikki Juva, Aarne Niittyluoto, Heidi Kiiveri, Irina Pitkänen, (Risto Uusitalo) Fysiikan kotityöt Fy 3. (4.03.006) Heikki Juva, Aarne Niittyluoto, Heidi Kiiveri, Irina Pitkänen, (Risto Uusitalo) Pieni kevennys tähän alkuun: Kuvalähteet: http://www.hotquanta.com/twinrgb.jpg http://www.visi.com/~reuteler/vinci/world.jpg

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) Täm ä olettaa, että D = 4π λ 2 S a E a ds 2. (2 40 ) S a E a 2 ds Pääkeila aukon tasoa koh tisuoraan suuntaan

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 11 Tavoitteet Geometrinen optiikka Kamerat Silmä Suurennuslasi Optisia kojeita (yleissivistystä) Interferenssi Interferenssi

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot