1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

Transkriptio

1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti, kun muuttuu vähän. Esimerkki.. Olkoon f : R R, f() Kun lähest lukua, niin nättää siltä, että f() lähest lukua.,,... -, -, - f() 6,3,3...,97,7 Kun on täsmälleen, niin f() on f(). Funktio kättät siten aivan odotetusti. Esimerkki.. Olkoon f : R \ {} R, f(). Funktiota ei ole määritelt, kun, mutta se on määritelt aina, kun on erittäin lähellä arvoa, mutta. Mitä tapahtuu, kun lähest,9,99...,, 3 :sta sen kummaltakin puolelta? f() 3 3,9 3,99...,, Nättää siltä, että f() lähest arvoa, kun lähest :sta. Mistä tämä johtuu? Selits on siinä, että f():n arvoa voidaan ksinkertaistaa: f() ( )( + ) +. Siten f on melkein sama funktio kuin g : R R, g() +, paitsi että g on määritelt kaikkialla, kun taas f ei ole määritelt pisteessä. Siksi kun lähest arvoa, f() seuraa funktiota g() ja lähest arvoa g() +.. Raja-arvon määritelmä Kun f() lähest arvoa A, kun lähest arvoa a (vaikkei ehkä ikinä saavuta sitä), merkitään a f() A

2 Lukiomatematiikan kertausta Kuva : esimerkin. funktion kuvaaja ja sanotaan, että A on funktion f raja-arvo pisteessä a. Voidaan mös merkitä f() a A, joka on kätevämpi pitkissä ketjuissa, kun -sanaa ei tarvitse toistaa. Vaikka edellisissä esimerkeissä raja-arvoa on etsitt laskimen avulla, siihen ei kannata sokeasti luottaa vaan kättää matemaattista järkeilä. Esimerkki.3. Olkoon f : R R, f() sin. Lasketaan joitakin funktion arvoja, kun lähest nollaa, tällä kertaa vain oikealta puolelta, vaikka hvin olisi voitu mös laskea arvot vasemmalta puolelta.,,... f(),998,9,... Nättää siltä, että arvot lähestvät nollaa. Kuitenkin, kun ajatellaan sinifunktion kuvaajaa, nähdään, että sin lähest nollaa, kun lähest nollaa, joten voidaan laskea f() ( sin Siten ei lähestkään nollaa, vaan lukua,. ).

3 Raja-arvo 3 Raja-arvo ei aina välttämättä ole olemassa. Voi kädä niin, että kun lähest lukua a eri puolilta, niin vasemmalta saadaan eri arvo kuin oikealta. Tällöin raja-arvoa ei ole olemassa. Olennaista on, että saa lähestä a:ta mitä reittiä tahansa, oikealta, vasemmalta, hppelehtien vuorotellen vasemmalta ja oikealta, tai miten tahansa, ja f():n on lähestttävä kaikissa tapauksissa samaa lukua A, jotta voidaan sanoa raja-arvon olevan olemassa. Esimerkki.. Olkoon f : R R, {, kun, f(), kun <. Kun lähest nollaa oikealta puolelta, f() on koko ajan. Sen sijaan kun lähest nollaa vasemmalta puolelta, f() on koko ajan. Ei ole siis olemassa htä arvoa, jota f() lähestisi. Siten raja-arvoa f() ei ole olemassa. Toinen s, miksi raja-arvoa ei ole, voi olla, että funktion arvo kasvaa liikaa, kun lähest lukua a. Silloin mitään lukua ei sanoa funktion rajaarvoksi. Esimerkki.. Olkoon f : R \ {} R funktio f(). Kun lähest nollaa, funktion f arvot kasvavat kohti ääretöntä. Funktion arvot f() eivät siten lähest mitään tiettä lukua ja raja-arvoa f() ei ole olemassa funktion f() / kuvaaja

4 Lukiomatematiikan kertausta Kolmas s raja-arvon puuttumiselle voi olla se, että funktion kuvaaja heilahtelee liikaa kohdan a lähellä. Esimerkki.6. Olkoon f : R \ {} R funktio f() sin. Kun lähest nollaa, niin lähest nollaa ja /( ) ääretöntä. Silloin /( ) kasvaa aina vain suuremmaksi, mutta sinin arvo jatkaa vaihtelemista :n ja :n välillä. Funktion kuvaaja heilahtelee aina vain rajummin näiden kahden arvon välillä, eikä vaimene lainkaan, kun lähest nollaa. Täten funktion arvo ei lähest mitään lukua ja funktiolla ei ole raja-arvoa nollassa. funktion f() sin / kuvaaja. Raja-arvojen hdistäminen Monimutkaisten funktioiden raja-arvot saadaan hdistämällä ksinkertaisemmista funktioista. Lause.7. Olkoon n positiivinen kokonaisluku, a ja c vakioita ja f ja g funktioita, joilla on raja-arvo olemassa pisteessä a. Silloin. a c c,. a a, 3. a cf() c a f(),. a (f() + g()) a f() + a g(),. a (f() g()) a f() a g(), 6. a (f() g()) a f() a g(),

5 Raja-arvo 7. a f() g() a f() a g(), kunhan vain a g(), 8. a f() n ( a f() ) n, 9. a n f() n a f(), kunhan vain a f() >, kun n on parillinen. Esimerkki.8. Yhtäsuuruusmerkkien päällä olevat numerot viittaavat edellisen lauseen kohtiin ( + ) ja + ja ( ) Kun alussa kätetään kohtaa 7 ja otetaan raja-arvot jakomerkin kummaltakin puolelta, ei vielä tiedetä, onko g():n raja-arvo eri kuin nolla. Mutta laskun kuluessa selviää, että nimittäjässä raja-arvo on -, siis se on nollasta eroava. Jos nimittäjän raja-arvo osoittautuisi nollaksi, lasku olisi tehtävä toisin..3 Äärettömteen kasvavan funktion raja-arvo Edellisessä esimerkissä. raja-arvoa A ei ollut olemassa äärellisenä. Siinä funktion / arvo kasvoi rajattomasti, kun lähesti nollaa. Tällöin merkitään tai Voidaan siis merkitä A äärettömäksi. Esimerkki ( ) Kätetään lausetta.7. Kun lähest :stä, niin lähest :stä ja nollaa ja samoin mös ( ). Koska nimittäjä lähest nollaa, niin koko lauseke lähest (positiivista tai negatiivista) ääretöntä. Nimittäjä

6 6 Lukiomatematiikan kertausta on koko ajan positiivinen ja osoittaja lähest :stä, joten murtolauseke lähest negatiivista ääretöntä. Voidaan siis kirjoittaa ( ). Edellisissä esimerkeissä nimittäjä on ollut koko ajan positiivinen. Näin ei ole funktion f : R\{} R, f() / tapauksesssa. Kun lähest nollaa, niin / pakenee aina vain kauemmaksi nollasta. Kuitenkin arvon / merkki riippuu siitä, millä puolella nollaa sillä hetkellä on. Koska saa lähestä nollaa miten tahansa, se voi olla positiivinen ja negatiivinen milloin tahansa. Siten arvo / voi olla positiivinen tai negatiivinen vaihtelevasti, mutta sen itseisarvo kasvaa kasvamistaan. Siten sen raja-arvo ei olla mikään luku, mutta se ei voi olla positiivinen tai negatiivinen ääretönkään. Siksi raja-arvoa ei ole olemassa, edes äärettömänä. Sen sijaan jos lähest nollaa positiiviselta puolelta, niin / on koko ajan positiivinen ja lähest positiivista ääretöntä, ja jos lähest nollaa negatiiviselta puolelta, niin / on mös negatiivinen koko ajan ja lähest negatiivista ääretöntä. Merkitään + + ja. Nämä ovat toispuoleisia raja-arvoja, joista ensimmäinen on oikeanpuoleinen (missä +) ja toinen on vasemmanpuoleinen (missä ). funktion f() / kuvaaja Esimerkki.. Raja-arvoa ( + 3)( )

7 Raja-arvo 7 ei ole olemassa, sillä kun lähest :stä, niin + lähest 6:sta, + 3 :sta ja nollaa, mutta sen merkkiä ei tiedetä. Sen sijaan toispuoliset raja-arvot ovat olemassa: kun lähest :stä oikealta (eli positiiviselta) puolelta, niin lähest nollaa positiiviselta puolelta ja murtolauseke lähest positiivista ääretöntä, kun lähest :stä vasemmalta (eli negatiiviselta) puolelta, niin lähest nollaa negatiiviselta puolelta ja koko murtolauseke negatiivista ääretöntä. Siis + + ( + 3)( ) + ja ( + 3)( ). 6 funktion f() ( + )/( + 3)( ) kuvaaja Kun lähest 3:sta, + lähest :sta, :sta ja + 3 nollaa. Taaskaan raja-arvoa pisteessä 3 ei ole olemassa. Nt toispuolisten rajaarvojen merkit ovat toisin päin kuin pisteessä, sillä kun lähest 3:sta tarpeeksi lähelle, on negatiivinen ( + 3)( ) + ja 3 ( + 3)( ) +.. Raja-arvo äärettömässä Tähän mennessä raja-arvoa on tarkasteltu jossakin pisteessä a. Kiinnostavaa on mös, miten funktio kättät, kun kasvaa rajattomasti kohti ääretöntä tai laskee kohti negatiivista ääretöntä.

8 8 Lukiomatematiikan kertausta Katsotaan ensin kaikkein perustavinta funktiota f : R \ {} R, f() /. Kun kasvaa kohti ääretöntä, funktion arvo / pienenee kohti nollaa. Kun laskee kohti negatiivista ääretöntä, arvo / on negatiivinen, mutta pienenee mös kohti nollaa. Siten ja. Samoin mös kättät funktio f : R \ {} R, f() / : ja, ja muutkin funktiot f : R \ {} R, f() / n, kun n. Esimerkki.. 3 Kun kasvaa kohti ääretöntä, sekä osoittaja että nimittäjä kasvaa mös kohti ääretöntä. Kasvava osoittaja kasvattaa murtolausekkeen arvoa, kun taas kasvava nimittäjä pienentää murtolausekkeen arvoa. Mikä on hteisvaikutus? Kasvaako jompi kumpi nopeammin ja kumoaa toisen vaikutuksen? Tämä saadaan selville supistamalla ensin termillä k kättäen sopivaa lukua k ja sitten muistamalla, kuinka lausekkeet / n kättätvät äärettömässä. Lopuksi sovelletaan lausetta.7. Tässä voidaan supistaa :llä, koska se on nimittäjän termeistä korkeinta astetta: kurssin nettisivu: