Ohjelmistotekniikan matemaattiset menetelmät tentin kysymykset, vastaukset ja arvosteluperiaatteita

Transkriptio

1 Ohjelmistotekniikn mtemttiset menetelmät tentin kysymykset, vstukset j rvosteluperitteit Antti Vlmri TT / Ohj 1. helmikuut 200 Tässä tekstissä käyn läpi opintojkson Ohjelmistotekniikn mtemttiset menetelmät pidetyn tentin vstukset. Pyrin esittämään vstukset ymmärrettävästi j lisäksi perustelen joitkin vstuksi. Tämän vuoksi os vstuksistni on pitempiä kuin nnettu til sllisi. Täysiin pisteisiin on yleensä riittänyt vtimttommpi vstus. Arvosteluperitteet koskevt vin kyseistä tenttiä. Täysin moitteettomt vstukset tuottvt tietysti in täydet pisteet, mutt hiemn virheellisten vstusten pisteytys voi vihdell tenttikerrst toiseen, smoin vstusten, jotk ovt selkeästi väärin mutt joiss on silti jotkin oikensuuntist. Vjit mutt noll suurempi pistemääriä join vin niissä tpuksiss, joiss vstus jkntuu luonnostn osiin jotk voi pisteyttää erikseen, ti joiss vstus oli selvästi peritteeltn oikein mutt sisälsi olennisen huolimttomuusvirheen. Tästä syystä vjt noll suuremmt pistemäärät ovt melko hrvinisi. Kirjoit lukukelpoist! Vstukselt ei vdit enempää kuin mihin til riittää. Sivuj on kksi. Opiskelijnro Sähköposti Nimi 1 { n 1 i ; 1 i n : A i A i 1 } 2 := 1; y := n 3 while y A A y mli do { i ; 1 i : j ; 1 j n : A i A j 5 i ; y i n : j ; 1 j n : A i A j if A A y mli then 7 : 1 else y : y 1 1. (3p) Suomenn oheisen ohjelmn rivin väite (älä välitä rivistä 5). mli mli } 1

2 Ohj. mt. men. tentin vstukset j rvosteluperitteet 2 Mikään tulukon lkuosn 1 1 lkio yhteenlskettun tulukon minkään lkion knss ei tuot mli. Jos kvntifiointi oli ilmistu epäselvästi, vähensin pisteen. Jos vstus oli tyyppiä... yhteenlskettun tulukon minkään muun lkion knss..., vähensin 2 pistettä. 2. (3p) Miksi rivin väite pätee, kun riville tulln ensimmäisen kerrn? Silloin 1, joten väli 1 i on tyhjä. Hiemn epämääräisistä vstuksist nnoin 2 p. Vstuksist, joiss oli oikekin sisältö mutt sen lisäksi täysin sinkuulumtont nnoin 1 p. 3. (3p) Kirjoit mhdollisimmn vhv, in rivin 3 luss voimss olev :n j y:n rvoj koskev väite. 1 y n Että 1 nähdään siitä, että loitt rvost 1 j vin ksv. Vstvsti nähdään y n. Väite y pätee ensimmäistä kert riville 3 tultess, kosk luss luvttiin 1 n, joten silloin 1 n y. Jos riville 3 tulln myöhemmin, on kuljettu silmukn läpi. Silmukn sisään mentäessä oli y j silmukss vin toinen muuttujist j y voi viht rvon j vin yhdellä, joten silmukn kierroksen lopuss j siis myös riville 3 plttess pätee y. Kukin epäyhtälö oli yhden pisteen rvoinen. Jos vstus oli kokonisuuten pätemätön väite, nnoin 0 p, pitsi että virheellisestä väitteestä y skotin vin yhden pisteen. Väitteen muotoiluss esiintyneistä kummllisuuksist skotin yhdestä kolmeen pisteeseen.. (3p) Miten rivin 7 luss voi päätellä, että j ; y j n : A A j mli? Kosk 1 y n, näemme, että 1 n. Niinpä rivin 5 kvss voidn vlit j. Sdn i ; y i n : A i A mli. Jos vstuksess ei oltu vedottu rivin 5 kvn vn oli yritetty päätellä väite muuten, vdin, että päätelmässä oli jollkin tvll snottu Silloin kun y pieneni rvost j, päti A A j mli. Kosk ei ole sen jälkeen pienentynyt, sm pätee nykyiselläkin :n rvoll. 5. (3p) Miten rivin 7 luss voi päätellä, että j ; 1 j y : A A j mli? if-testin vuoksi tiedetään, että A A y mli. Rivillä 1 luvtn, että tulukko on nousevss suuruusjärjestyksessä. Niinpä kun 1 j y, pätee A j A y j siten A A j mli. Jos väitettiin että A j A y, niin yksi piste ktosi.. (3p) Miten rivin luss voi päätellä, että A A y mli?

3 Ohj. mt. men. tentin vstukset j rvosteluperitteet 3 Rivillä 3 suljettiin pois mhdollisuus A A y mli. mli, j rivillä mhdollisuus A A y 7. (3p) Kirjoit rivin kvn kltinen mutt vhvempi, rivin 7 luss voimss olev kv. i ; 1 i : j ; 1 j n : A i A j mli Rivin jälkeen ei mitään ole vielä muutettu, joten sen kv pätee yhä. Tehtävissä 5, j huomttiin, että A A j mli, jos 1 j y, j y ti y j n. Siis j ; 1 j n : A A j mli. Tämä yhdistettynä rivin kvn tuott vstuksen. Tähän trjottiin vstuksi, joiss väitettiin A i A j! mli joillekin i j j. Tässä on sikäli järkeä, että A i A j " mli on idosti vhvempi väite kuin A i A j # mli. Tämä väite ei kuitenkn välttämättä päde kikill niillä i j j, joist rivin kv puhuu. Esimerkiksi kun mli j A , on khden kierroksen jälkeen 2, y 3 j A 1 $ A mli. Pätemättömästä kvst nnoin noll pistettä. Jos i j j oli rjttu niin kpelle lueelle, että kv päti, nnoin osn pisteistä. Täysiä en ntnut, kosk rjus heikentää väitettä riviin verrttun. Kotitehtävä: myös rivin luss pätee jokin kv, jok on suku iemmin nnetuille j perusteltviss edellä olevn kltisell päättelyllä. Kirjoit kyseinen kv perusteluineen.. (3p) Ann mli j A 1 [,,, ] siten, että lopuksi 1 y n. Vikk mli 5 j A ,. (3p) Ann mli j A 1 [,,, ] siten, että lopuksi 1 y n. Vikk mli j A , 10. (3p) Jos lopuss y, niin mitä tiedetään tulukon A sisällöstä? Joko A A mli, ti mli ei ole muodostettviss tulukon A khden lkion summn. Hyväksyin täysin pistein myös hiemn heikommn väitteen: mli ei ole muodostettviss tulukon A khden eri lkion summn. Sen sijn jos väitettiin että mli ei ole muodostettviss tulukon A khden lkion summn, niin skotin 2 p. Tämä väitehän ei päde esimerkiksi silloin, kun mli j A Jos väitettiin että ei löytynyt, niin nnoin 0 p. Vikk mtemtiikss sn löytyy käytetään usein ilmuksen on olemss synonyymin, on niillä tietokoneohjelmien tpuksess olennisesti erilinen merkitys: jotkin voi oll olemss, vikk ohjelm ei sitä löytäisikään. Ohjelmist päättelyssä vinkysymys usein on, löytääkö ohjelm vrmsti sen mitä on olemss. 11. (3p) Perustele edellinen vstuksesi.

4 Ohj. mt. men. tentin vstukset j rvosteluperitteet Rivin nsiost tiedetään, että inkn mikään pikk ennen sijitsev lkio ei voi oll osllisen khden lkion summss, jonk tulos on mli. Rivin 5 vuoksi sm voidn sno lkioist, jotk sijitsevt pikn y jälkeen. Näin ollen, jos mli voidn muodost A:n lkioiden summn, on molempien yhteenlskettvien sijittv lueell y. Jos y, niin silloin molempien yhteenlskettvien on oltv kohdst. * * * Tentin ohjelm voidn siis käyttää löytämään tp muodost mli tulukon A khden lkion summn, jos sellinen on olemss. Jos vditn, että lkiot ovt erit, riittää j ohjelm j ktso lopuksi, onko y. Jos sllitn lkioiden olevn smt, pitää ohjelmn jälkeen vielä trkst, että jos y, niin onko 2 % A mli. Ohjelmn nerokkuus on siinä, että se selviää tehtävästään ilmn, että kokeilln kikki prej. Eri lkioiden prej on 1 2 n2 1 2 n, mutt ohjelm kokeilee enintään vin n 1 pri. Isoill n tämä tekee ohjelmst huomttvsti nopemmn kuin mikään kikkien prien kokeilemiseen perustuv ohjelm. Ohjelm edellyttää, että A on nousevss suuruusjärjestyksessä, mutt hyvällä järjestämislgoritmill A sdn järjestykseen niin nopesti, että ohjelmn nopeusetu säilyy suurimmlt osltn. Ohjelmn juju on snottu rivien j 5 kvoiss. Ne ilmisevt, että :n edellä j y:n jäljessä olevt lkiot eivät tule kysymykseen. Tehtävässä 2 selvitettiin, miksi rivin kv pätee kun silmukkn tulln ensimmäisen kerrn. Jos silmukn suoritus menee rivin kutt, ei mikään rivin kvss minittu si muutu, joten kv on voimss kun silmukn lkuun tulln uudelleen. Jos silmukn suoritus menee rivin 7 kutt, sdn tehtävässä 7 löydetty kv, jok rivin 7 vikutuksest muuttuu rivin kvksi. Iden on, että riville 7 tultess on stu uuten tieton, että myöskään senhetkisen :n kohdll olev lkio ei tule kysymykseen, joten rivillä 7 liitetään se hylättyjen joukkoon. Rivin kv siis säilyy voimss, kun silmukn läpi kuljetn kump thns reittiä. Vstv päättely voidn tehdä rivin 5 kvlle. Niinpä molemmt kvt ovt voimss in kun tulln silmukn lkuun. Ne ovt voimss myös ohjelmn lopuss, kosk sinne joudutn, kun silmukn lkuun tulln viimeisen kerrn j todetn, että silmukn ehto ei (enää) pädekään. Tehtävissä 10 j 11 niitä käytettiin ohjelmn lopuss sen päättelemiseksi, että ohjelm nt oiken tuloksen. 12. (p) Olkoon Σ '& c(. Piirrä mhdollisimmn pienet deterministiset äärelliset utomtit siten, että niiden hyväksymät kielet ovt kuvusten mukiset. ( ) x* = x pyöristettynä ls.) B +& 1 %%% n, Σ-.0/ i ; 1 i n : i 1 j ; i j n : j ( A +& 1 %%% n, Σ-. n 3( B C +& n. n 1 2) n3 3* 1( A: Automtin tulee hyväksyä kikki merkkijonot, joiden pituus on enintään 2, eikä muut.

5 = Ohj. mt. men. tentin vstukset j rvosteluperitteet : c 7 : c B: Kielen määritelmä poimii ne merkkijonot, joiss on josskin kohti (/ i ; 1 i n : i ) siten, että missään myöhemmässä kohdss ei ole :tä ( j ; i j n : j ). Knntt huomt, että tämä ei kiellä sellisi, joiden jälkeen tulee vielä, kunhn viimeisenkin :n jälkeen tulee joskus. Kun merkkijono luetn, :n pitää viedä lopputiln kosk sen jälkeen ehto on voimss. Myöhemmin tulevn :n pitää peru lopputilss olo, j sitä myöhempi plutt sen ts voimn. Vstus knntt siis rkent khdest tilst, joist toinen trkoitt sitä, että viimeisin on olemss eikä sen jälkeen ole tullut :tä, j toinen tämän vstkoht. Tiloist pitää lisätä vielä kret niille kkosille, joille ei vielä ole kri. Nämä kkoset eivät vikut ehdon voimssoloon, joten niitä vrten tehdyt kret plvt sinne mistä lähtivät. Stiin oheinen kuv. Vstuksen epädeterministisyydestä skotin pisteen verrn, smoin pluu--kren puuttumisest. 7 ; c ; c C: Kv vlitsee ne pelkästään :st koostuvt jonot, joiden pituus on 1 j välillä 3 5. Oheinen kuv näyttää ne. (Minull sttui lipshdus: trkoitukseni oli kirjoitt n 1 n mod 3 1, jolloin oike vstus olisi päättynyt kolmen :n silmukkn joss on yksi hyväksymistil.) = 7 ; = 13. (3p) Määrittele tehtävän 12 kieli B säännöllisellä lusekkeell. Helpoimmll pääsee, kun ilmisee sen :n jok on kohdss i, j snoo, että sitä ennen s oll mitä vin (.. c>- ) j sen jälkeen mitä thns muut kuin (. c- ):.. c -. c - 1. (3p) Merkkijono 1 2 %%% n on plindromi, jos j vin jos se on tkperin sm kuin etuperin. Kirjoit logiikn kv, jok snoo, että 1 2 %%% n on plindromi.

6 ; Ohj. mt. men. tentin vstukset j rvosteluperitteet i ; 1 i n : i n? i@ 1 n Vstukseksi kelp myös i ; 1 i A) 2 * : i n? n i@ 1, sillä kun i A) 2 *, on n i 1 i, joten testi i n? i@ 1 joko on trpeeton kosk siinä testtn lkiot itseään vstn, ti se on jo tehty muodoss n? i@ 1 i. 15. (3p) Osoit, että jos kkosto on & 1(, niin kieli plindromit on säännöllinen. Kikki pelkästään ykkösistä koostuvt merkkijonot ovt plindromej. Kieli on siis 1- eli & 1(B-. Tämän kielen voi osoitt säännölliseksi esimerkiksi totemll, että 1- on säännöllinen luseke, jonk kieli se on; ti piirtämällä oheisen DFA:n. Oike perite mutt väärä kieli (esimerkiksi 11 - ) tuotti 2 p. 7 1 = 1. (p) Osoit, että jos kkosto on & 1 2(, niin kieli plindromit ei ole säännöllinen. Vstukseksi ei riitä sn pumppuslemm, pitää myös kerto mihin merkkijonoon sitä sovellt j miten epäsäännöllisyys seur soveltmisen tuloksest. Tästä tehtävätyypistä oli perusteellinen selitys edellisessä tentin plutetekstissä. 17. (p) Kirjoit BNF-määritelmä kielelle P = plindromit, kun kkosto on & 1 2(. P ::= ε P 1. 2 P 2 Jos vstus tuotti vin pituudeltn prittomt plindromit, se tuotti 3 pistettä. Smoin kävi, jos se tuotti vin pituudeltn prilliset plindromit. Jos se tuotti kikki muut plindromit pitsi ε, nnoin 5 p. 1. (p) Piirrä deterministinen äärellinen utomtti, jok hyväksyy smn kielen kuin kuvn utomtti. Näytä, miten utomttisi tilt vstvt nnetun utomtin tiloj. 7 ; Tyhjän merkkijonon luettun utomtti voi oll vin tilss numero 1. Lopputuloksen lkutilksi tulee siis til, jok edust joukko & 1(. Se on hylkäystil, kosk til 1 on hylkäystil.

7 = R ; Q Ohj. mt. men. tentin vstukset j rvosteluperitteet 7 Tilst 1 käsin lkuperäinen utomtti voi luke :n ti :n. Lukemll :n se voi päästä tiln 1 ti 2. Tästä sdn lopputulokseen -kri lkutilst tiln & 1 2(. Tämäkin til on hylkäystil, kosk sekä 1 että 2 ovt hylkäystiloj. Lukemll :n tilst 1 utomtti pääsee vin tiln 1. Niinpä lopputuloksen tilst & 1( vedetään -kri itseensä. Tiloist 1 j 2 päästään :ll tiloihin 1, 2 j 3; j :llä vin tiln 1. Sdn -kri tilst & 1 2( uuteen tiln & 1 2 3( j -kri jo tunnettuun tiln & 1(. Til & 1 2 3( on lopputil, kosk til 3 on lkuperäisen utomtin lopputil. Tilst & 1 2 3( tulee -kri itseensä j -kri uuteen lopputiln & 1 3(. Siitä tulee -kri itseensä j -kri tiln & 1 2 3(. Nyt vstus on vlmis. Kosk tilojen numerot ovt yksinumeroisi, ei iheudu seknnuksen vr, jos jätämme tilojen esityksestä pois joukkosulkeet j pilkut CD GHIJEF = ; CDEF GHIJ 13 = Oikess vstuksess on siis kksi lopputil & 1 2 3( j & 1 3(. Tämä johtuu siitä, että lkuperäisessä utomtiss -kret eivät vie tiln 2. Jos lopputulos minimoidn, tilt & 1 2 3( j & 1 3( sulutuvt yhdeksi tilksi (j mitään muut ei tphdu). Kosk minimoidun lopputuloksen tiloill ei ole enää selkeää vstvuutt lkuperäisen utomtin tiloihin, skotin kksi pistettä, jos oli nnettu minimoitu lopputulos niin että lopputiln numeron oli 123. Minimoitu lopputulos muunlisell tilojen numeroinnill tuotti 3 pistettä, j muu oiken kielen hyväksyvä DFA yhden pisteen. /0, F L P. Joukon P lkiot piirretään ympyröinä, T suorkitein j F nuolin. Joukon ˆM lkioiden sisään piirretään täplä. Petriverkko on tässä tentissä rkenne P T F ˆM, missä P K T P M T NO T M P j ˆM L P A B C D E 1. (5p) Ilmoit kuvn Petriverkon P, T, F j ˆM. P +& A C(, T +& B D E(, F S& A B B C A D D A E A C E( j ˆM S& A(. 20. (3p) Piirrä Petriverkko siten, että. P. 2,. T. 1 j F on mhdollisimmn suuri. Pitää siis piirtää kksi ympyrää, yksi suorkide j mhdollisimmn pljon nuoli. Kosk F L P M T TNU T M P, s nuoli kulke ympyrästä suorkiteeseen j toisinpäin, mutt ei ympyrästä ympyrään eikä suorkiteest suorkiteeseen. Kosk F on joukko, s smll välillä oll

8 Z Z Z = = Z Z Z Ohj. mt. men. tentin vstukset j rvosteluperitteet smn suuntn enintään yksi nuoli. Kosk ˆM:stä ei ole snottu mitään, s ympyröiden sisään piirtää täplät ti jättää piirtämättä. 21. (3p) Olkoon x, P N T. Määrittele V x niiden olentojen joukkon, joist on nuoli x:ään. Siis V x on oltv muoto & olento. ehto (. Kosk nimi x on käytössä tehtävässä, on luontev nt olennoille nimeksi y, siis V x W& y. y:stä on nuoli x:ään (. Kosk nuolten joukko on F, sdn y:stä on nuoli x:ään ilmistuksi kirjoittmll y x, F. Stiin V x & y.! y x, F ( Myös kelp V x & y, P N T. y x, F (. Siinä on minittu, että y:n pitää oll P:n ti T :n lkio. Tämä vtimus kyllä seur jo siitä, että y x, F LW P M T NO T M P, mutt sen snomisest selvästi ei ole hitt. Ohjelmointikielen C++ operttoreiden presedensseille pätee pr(&) > pr(ˆ) > pr( ) > pr(&&) > pr( ). Jos & x y(xl & 0 1(, niin x & y x && y j x y x y. 22. (3p) Vlitse x, y j z siten, että x && y z x && y z. x 0 j z 1. y s oll kumpi vin. x && y z. Kosk && sitoo vhvemmin x && y z. Tästä vstus on helppo päätellä. Vikkei osisikn Kosk && sitoo heikommin kuin, on x && y z kuin, on x && y z päätellä, sen löytää kokeilemll kikki khdeksn x:n, y:n j z:n rvoyhdistelmää. 23. (p) Piirrä lusekepuut lusekkeille () x && y z j () x && y z. Lusekkeiden oike ryhmittely näytettiin edellisen tehtävän selityksessä. Niistä on helppo piirtää puut: x () && y z x && () y z loppu