Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.
|
|
|
- Aune Saarinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15
2 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15
3 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. Päättelysääntö Modus ponens: "JosAon tosi jaa B on tosi, niinb on tosi" 1 / 15
4 Tautologia((A B) (B C)) (A C) antaa päättelysäännön: 2 / 15
5 Tautologia((A B) (B C)) (A C) antaa päättelysäännön: (=KS): JosA B on tosi jab C on tosi, niina C on tosi. 2 / 15
6 : Lähdetään annetuista oletuksistaa 1,A 2,...,A n. Päätellään uusia tosia lauseita käyttäen päättelysääntöjä. Lauseita joita voidaan olettaa tosiksi tulee näin koko ajan lisää. Jatketaan kunnes haluttu johtopäätösb on saatu osoitettua todeksi/epätodeksi. 3 / 15
7 {A 1,A 2...,A n } B Olettamalla lauseeta i tosiksi voidaan päätellä että lauseb on tosi. Merkinnän{A} B sijasta merkitääna B. 4 / 15
8 {A 1,A 2...,A n } B Olettamalla lauseeta i tosiksi voidaan päätellä että lauseb on tosi. Merkinnän{A} B sijasta merkitääna B. : : {A,A B} B ((A B) (B C)) A C. 4 / 15
9 {A 1,A 2...,A n } B Olettamalla lauseeta i tosiksi voidaan päätellä että lauseb on tosi. Merkinnän{A} B sijasta merkitääna B. : : {A,A B} B ((A B) (B C)) A C Osoita, että{a (B C),(B C) B,A} B. Ratk / 15
10 Jos lauseaon tautologia, niin se on aina tosi se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista. Merkitään: A. 5 / 15
11 Jos lauseaon tautologia, niin se on aina tosi se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista. Merkitään: A. Minkä tahansa päättelyketjun missä tahansa vaiheessa voi siis ottaa käyttöönsä tautologian. 5 / 15
12 Jos lauseaon tautologia, niin se on aina tosi se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista. Merkitään: A. Minkä tahansa päättelyketjun missä tahansa vaiheessa voi siis ottaa käyttöönsä tautologian. Tautologian jokin alkeislause korvataan kaikkialla samalla lauseella. Tulos on edelleen tautologia. 5 / 15
13 Jos lauseaon tautologia, niin se on aina tosi se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista. Merkitään: A. Minkä tahansa päättelyketjun missä tahansa vaiheessa voi siis ottaa käyttöönsä tautologian. Tautologian jokin alkeislause korvataan kaikkialla samalla lauseella. Tulos on edelleen tautologia.. Lause(A B) (A B) on tautologia. [(C D) B] [((C D) ) B] on tautologia. 5 / 15
14 Lause 2.1. A B täsmälleen silloin kun A B on tautologia. 6 / 15
15 Lause 2.1. A B täsmälleen silloin kun A B on tautologia. Toisin: 6 / 15
16 Lause 2.1. A B täsmälleen silloin kun A B on tautologia. Toisin: A B täsmälleen silloin kun A B. Tod / 15
17 Lause 2.1. A B täsmälleen silloin kun A B on tautologia. Toisin: A B täsmälleen silloin kun A B. Tod.... Seuraus. {A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun (A 1 A 2 A n ) B. Tod / 15
18 : LauseessaA 1 esiintyy osana lauseb. LauseA 2 saadaan lauseestaa 1 sijoittamalla lauseenb paikalle lausec (ei välttämättä joka paikkaan) 7 / 15
19 : LauseessaA 1 esiintyy osana lauseb. LauseA 2 saadaan lauseestaa 1 sijoittamalla lauseenb paikalle lausec (ei välttämättä joka paikkaan) Silloin {A 1,B C} A 2. 7 / 15
20 : LauseessaA 1 esiintyy osana lauseb. LauseA 2 saadaan lauseestaa 1 sijoittamalla lauseenb paikalle lausec (ei välttämättä joka paikkaan) Silloin {A 1,B C} A 2. Loogisesti yhtäpitäviä lauseita voidaan päättelyn aikana mielivaltaisesti korvata toisillaan. Erityisesti, jos lauseb C on tautologia, niin silloina 1 A 2. Sijoituksen oikeellisuus seuraa silloin suoraan totuustaulujen perusteella, sillä josb C on aina tosi, niinb:n jac:n totuusarvot ovat aina samat. 7 / 15
21 : LauseessaA 1 esiintyy osana lauseb. LauseA 2 saadaan lauseestaa 1 sijoittamalla lauseenb paikalle lausec (ei välttämättä joka paikkaan) Silloin {A 1,B C} A 2. Loogisesti yhtäpitäviä lauseita voidaan päättelyn aikana mielivaltaisesti korvata toisillaan. Erityisesti, jos lauseb C on tautologia, niin silloina 1 A 2. Sijoituksen oikeellisuus seuraa silloin suoraan totuustaulujen perusteella, sillä josb C on aina tosi, niinb:n jac:n totuusarvot ovat aina samat Osoita, että{a,b C,(A B) (D C ),B} D. Ratk / 15
22 Luonnolliset päättelysäännöt: ja Kumpikin riittää yksinäänkin. in korvaaminen Ketjusäännöllä: {A,A B} B voidaan muuntaa tautologioilla A [(A A ) A] ja[(a A ) B] B ä käyttäväksi päättelyksi {(A A ) A,A B} (A A ) B. 8 / 15
23 illa illa: otetaan käyttöön tautologiana [(A B) (B C)] (A C). Tällöin päättely{a B,B C} A C voidaan muuntaa Modus Ponens päättelyksi: {(A B) (B C),[(A B) (B C)] (A C)} A C. 9 / 15
24 2.14. Osoita, että{a B,A C,C D} B D käyttäen päättelysääntönä ä. Ratk / 15
25 Nimi Sääntö Vastaava tautologia Modus Tollens {P Q,Q } P [(P Q) Q ] P Konjunktio {P,Q} P Q (P Q) (P Q) Yksinkertaistus P Q P,Q [(P Q) P] [(P Q) Q] Additio P P Q P (P Q) Disjunktiivinen {P Q,P } Q [(P Q) P ] Q syllogismi 11 / 15
26 Nimi Sääntö Vastaava tautologia Modus Tollens {P Q,Q } P [(P Q) Q ] P Konjunktio {P,Q} P Q (P Q) (P Q) Yksinkertaistus P Q P,Q [(P Q) P] [(P Q) Q] Additio P P Q P (P Q) Disjunktiivinen {P Q,P } Q [(P Q) P ] Q syllogismi Modus Tollens opitaan jo lapsena tyyliin: P : Tein jotain väärää. Q: Minua rangaistaan. 11 / 15
27 Nimi Sääntö Vastaava tautologia Modus Tollens {P Q,Q } P [(P Q) Q ] P Konjunktio {P,Q} P Q (P Q) (P Q) Yksinkertaistus P Q P,Q [(P Q) P] [(P Q) Q] Additio P P Q P (P Q) Disjunktiivinen {P Q,P } Q [(P Q) P ] Q syllogismi Modus Tollens opitaan jo lapsena tyyliin: P : Tein jotain väärää. Q: Minua rangaistaan. P Q: Jos tein jotain väärää, niin minua rangaistaan Q : Minua ei rangaista Tosi Tosi 11 / 15
28 Nimi Sääntö Vastaava tautologia Modus Tollens {P Q,Q } P [(P Q) Q ] P Konjunktio {P,Q} P Q (P Q) (P Q) Yksinkertaistus P Q P,Q [(P Q) P] [(P Q) Q] Additio P P Q P (P Q) Disjunktiivinen {P Q,P } Q [(P Q) P ] Q syllogismi Modus Tollens opitaan jo lapsena tyyliin: P : Tein jotain väärää. Q: Minua rangaistaan. P Q: Jos tein jotain väärää, niin minua rangaistaan Q : Minua ei rangaista Tosi Tosi SiisP : En tehnyt mitään väärää on tosi. 11 / 15
29 Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 12 / 15
30 Johdanto Usein päättelyn{a 1,A 2,...,A n } B oikeeellisuuden sijasta mielenkiinnon kohteena on päättelyn tehokkuus ja nopeus. Tekoälypohjaisset asiantuntijajärjestelmät: Päättelyn tehokkuus on ratkaiseva tekijä järjestelmän käytettävyydelle. Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 13 / 15
31 Oletukseksi siirto Lause 2.2.{A 1,A 2,...,A n } B C täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b} C Tod.... Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 14 / 15
32 Oletukseksi siirto Lause 2.2.{A 1,A 2,...,A n } B C täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b} C Tod Osoita, että{a B,A C} A (B C). Ratk.... Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 14 / 15
33 Epäsuoran todistuksen sääntö Todistetaan: "Jos oletuksista ja lauseistab jac voidaan päätellä looginen ristiriita (aina epätosi lause), niin oletuksista voidaan päätelläb C." Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 15 / 15
34 Epäsuoran todistuksen sääntö Todistetaan: "Jos oletuksista ja lauseistab jac voidaan päätellä looginen ristiriita (aina epätosi lause), niin oletuksista voidaan päätelläb C." Tarvitaan seuraava tulos: Lause 2.3.{A 1,A 2,...,A n } B C jos ja vain jos {A 1,A 2,...,A n,c } B. Tod.... Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 15 / 15
35 Epäsuoran todistuksen sääntö Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö Todistetaan: "Jos oletuksista ja lauseistab jac voidaan päätellä looginen ristiriita (aina epätosi lause), niin oletuksista voidaan päätelläb C." Tarvitaan seuraava tulos: Lause 2.3.{A 1,A 2,...,A n } B C jos ja vain jos {A 1,A 2,...,A n,c } B. Tod.... Seurauksena saadaan edellä kuvattu sääntö: Lause 2.4.{A 1,A 2,...,A n } B C täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b,c } 0, (0 on aina epätosi lause eli looginen ristiriita). Tod / 15
Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13
2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
Lauselogiikka Tautologia
Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden
1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
Loogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.
Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:
1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Ratkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1
811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan
Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet
Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa
Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
Johdatus logiikkaan 1
Johdatus logiikkaan 1 28. elokuuta 2014 Tämän tekstin lähtökohtana on ollut moniste Veikko Rantala - Ari Virtanen: Logiikan peruskurssi, joka on saatavilla netistä http://www.sis.uta.fi/matematiikka/ modaalilogiikka/logpk2003.pdf.
Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Insinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat 16. 6 Predikaattilogiikkaa 31. 8 Relaatiot 42.
Diskreetit rakenteet, syksy 2015 Itä-Suomen yliopisto, Tietojenkäsittelytieteen laitos Ville Heikkinen 14.12.2015 15:18 Sisältö 1 Johdanto, Tavoitteet 2 2 Lähteitä 2 3 Propositiologiikkaa 2 4 Karnaugh'n
b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.
Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden
FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:
LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Induktio kaavan pituuden suhteen
Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan objektikieli määritellään kurssilla Logiikka 1B seuraavasti: 1. Lausemuuttujat p 1, p 2, p 3,... ovat kaavoja. 2. Jos A on kaava, niin A on kaava. 3. Jos
ALGORITMI- MATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen
ALGORITMI- MATEMATIIKKA Keijo Ruohonen 1993 Kirjallisuutta ANDERSON, I.: A First Course in Combinatorial Mathematics. Oxford University Press (1979) GRAHAM, R.L. & KNUTH, D.E. & PATASHNIK, O.: Concrete
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
Johdatus logiikkaan 1
Johdatus logiikkaan 1 Åsa Hirvonen Kevät 2016 Sisältö 1 ropositiolauseet 3 2 Rekursiiviset määritelmät ja induktio rakenteen suhteen 7 3 Totuusjakaumat ja totuustaulut 12 3.0.1 Negaatio..........................
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Logiikka. Kurt Gödel ( )
Logiikka Tutustumme seuraavaksi propositio- eli lauselogiikkaan, jossa tarkastellaan formaalien lauseiden ominaisuuksia, ennenkaikkea niiden totuusarvoja. Formalisoimalla luonnollisen kielen lauseet propositiologiikan
T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):
Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje
(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia
T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Todistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.
Todistusteoriaa Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriassa annetaan joukko aksioomia ja päättely- sääntöjä,
Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010
Ensimmäisen viikon luennot Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Perustuu osittain kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix A ja Appendix B ja Trench in verkkokirjaan,
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin
Ongelma 1: Miten luonnollisen kielen ilmaisut muutetaan määrämuotoisiksi eli formalisoidaan?
Ongelma 1: Miten luonnollisen kielen ilmaisut muutetaan määämuotoisiksi eli fomalisoidaan? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Mitä ovat oositiologiikka, lauselogiikka ja nollannen ketaluvun logiikka? 2012-2013
1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset
Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa
Johdatus logiikkaan (Fte170)
Johdatus logiikkaan (Fte170) Teoreettinen filosofia, 5 op, periodit I ja II, 2010 Markus Pantsar 1. Johdanto 1.1 Filosofinen logiikka Logiikkaa tutkitaan pääasiallisesti kolmen tieteen piirissä: filosofian,
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
13. Loogiset operaatiot 13.1
13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.
Johdanto Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tarkastelemme aluksi klassisen
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
3. Predikaattilogiikka
3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole
Luonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
Ratkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Matematiikan peruskäsitteitä
2 Matematiikan peruskäsitteitä Nimensä mukaisesti kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
13. Loogiset operaatiot 13.1
13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.
Matematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?
T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.
T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.
Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät.
Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Tehtäviä on osittain muokattu, jotta ne vastaisivat paremmin kokeilumonistetta Rantala & Virtanen, Logiikan peruskurssi.
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3
Φ Logiikka I Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mitä logiikka on?.............................. 3 2 ropositiologiikka 4 2.1 Lauseet...................................
Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
Matematiikan peruskäsitteitä
2 Matematiikan peruskäsitteitä Kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin peruskäsitteitä
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
Tietotekniikka ja diskreetti matematiikka
Tietotekniikka ja diskreetti matematiikka Tietotekniikassa Epäjatkuvan matematiikan (diskreetin matematiikan) välineitä. Ongelmien ja ratkaisujen kuvaus. Tavoite: Perehdytään tavanomaisimpiin käytetyistä
Ensimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
![[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko](/thumbs/59/42897527.jpg "[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko")
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Pikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Lammi Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2018 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Insinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,