ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.

Transkriptio

1 0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä, muodonmuutostilakenttä ja jännitstilakenttä, kun rakenteen tuenta tunnetaan. Näiden kenttien ratkaisemisessa tarvittavat htälöt on johdettu lujuusopin teoriassa. Esimerkiksi lineaarisen kimmoteorian perushtälöjärjestelmä sisältää htälöt, joista saadaan periaatteessa kaikkien lineaarisen lujuusopin tehtävien ratkaisut. Kätännössä leisen htälöjärjestelmän tarkka analttinen ratkaisu onnistuu vain ksinkertaisen geometrian omaavien rakenteiden peruskuormitustapauksissa. Mutkikkaammissa tilanteissa ratkaisua ei löd suljetussa muodossa tavanomaisten matemaattisten funktioiden avulla, vaan joudutaan ttmään likiratkaisuun jollakin numeerisella menetelmällä. Lujuuslaskentaan on aikojen kuluessa kehitett monia numeerisia ratkaisumenetelmiä. Ehdottomasti tehokkaimmaksi niistä on osoittautunut elementtimenetelmä ja nkään sitä kätetäänkin lähes ksinomaan. Elementtimenetelmän kättö alkoi Yhdsvalloissa lentokoneteollisuudessa 0-luvulla ja levisi sieltä nopeasti kone- ja rakennustekniikan alueille kantavien rakenteiden statiikan ja dnamiikan käsitteln. Elementtimenetelmän englanninkielinen nimi on Finite Element Method, josta tulevaa lhennettä FEM kätetään mös muissa kielissä. Usein kätetään mös lhennettä FEA, joka tulee sanoista Finite Element Analsis, ja tarkoittaa elementtimenetelmällä suoritettavaa laskentaa. Elementtimenetelmän menests perustuu tietokoneisiin, jotka tekevät mahdolliseksi suurten numerolaskumäärien käsitteln kohtuullisessa ajassa. Menetelmä kehitti tietokoneiden mukana nopeasti 0- ja 0-luvuilla, jolloin snti suuri määrä eri rakennetppien käsitteln sopivia lineaarisen statiikan ja dnamiikan ohjelmistoja. Nämä toimivat keskustietokoneissa ja olivat hankalakättöisiä, sillä söttötiedot piti antaa kokonaan manuaalisesti numeerisessa muodossa. 0-luvulta lähtien on ohjelmistoihin kehitett esi- ja jälkikäsittelohjelmistoja, joiden ansiosta niistä on tullut kättäjästävällisiä. FEM-ohjelmistojen kättö tuli mahdolliseksi mös mikrotietokoneissa, kun niiden laskentakapasiteetti kehitti riittävälle tasolle. Laskentamahdollisuuksia on lisäksi laajennettu lineaarisen lujuusopin alueelta niin, että nkisin on mahdollista tutkia niin geometrian kuin materiaalin epälineaarista kättätmistä. Jo elementtimenetelmän kehitksen alkuvaiheessa sen havaittiin soveltuvan lujuuslaskennan lisäksi muillekin teknillisen laskennan alueille. Elementtimenetelmää voidaan kättää minkä tahansa osittaisdifferentiaalihtälörhmän alku- ja reuna-arvotehtävän likimääräiseen ratkaisemiseen. Elementtimenetelmä on levinnt teknillisen mekaniikan piiristä laajasti muille tekniikan aloille. Sitä kätetään esimerkiksi lämmönsiirron, virtausopin, maamekaniikan, sähkötekniikan ja akustiikan tehtävien ratkaisemisessa. Elementtimenetelmän sovellusarvon selvittä mös sen matemaattisten perusteiden tutkiminen kännisti ja nkisin elementtimenetelmän teorian matemaattinen tausta on tarkoin selvitett.

2 0/ Lujuusopin elementtimenetelmän perushtälöt voidaan johtaa kaikille rakennetpeille lähtemällä liikkeelle lujuusopin perussuureita hallitsevista osittaisdifferentiaalihtälöistä tai vaihtoehtoisesti näiden kanssa ekvivalenteista tö- ja energiaperiaatteista. Perushtälöt muodostetaan elementtien alueissa toteutettavan interpoloinnin avulla ja niistä saadaan tarkasteltavalle tehtävälle likimääräinen ratkaisu. Kolmiulotteisille solidirakenteille ja kaksiulotteisille pintarakenteille (levt, laatat ja kuoret) interpolointiin perustuva elementtimenetelmä on ainoa mahdollinen. Ristikko- ja kehärakenteille eli viivarakenteille on mahdollista kättää mös ksinkertaisempaa suoraa elementtimenetelmää, jolloin elementtimenetelmän perushtälöt muodostetaan suoraan lujuusopin sauva- ja palkkiteoriaa kättäen. Koska interpolointia ei suorassa elementtimenetelmässä kätetä, johtaa se lisäksi sovellettavan lujuusopin teorian puitteissa tarkkaan ratkaisuun. ELEMENTTIVERKKO Lujuusopin perusdifferentiaalihtälöiden analttinen ratkaiseminen onnistuu vain ksinkertaisen geometrian, kuormituksen ja tuennan omaavissa perustapauksissa. Elementtimenetelmässä geometrisesti mutkikas kappale jaetaan äärellisiin osiin, jotka ovat geometrialtaan ksinkertaisia. Näitä jako-osia sanotaan elementeiksi. Kolmiulotteisen kappaleen elementteinä kätetään neli-, viisi- ja kuusitahokkaita, joiden reunapinnat voivat olla tasoja tai ksinkertaisia kaarevia pintoja. Näitä elementtejä kutsutaan tetraedri-, kiila- ja tiilikivielementeiksi. Pintarakenteiden htedessä kätetään neli- ja kolmisivuisia tasoelementtejä, joiden reunaviivat voivat olla suoria tai ksinkertaisia käriä viivoja. Edellä mainittuja tasoelementtejä sanotaan nelikulmio- ja kolmioelementeiksi. Viivarakenteissa kätetään janaelementtejä tai joskus ksinkertaisia kaarielementtejä. Tpillisiä janaelementtejä ovat sauva- ja palkkielementti. Lisäksi tiettihin eritistarkoituksiin on kätössä suuri joukko harvinaisempia elementtejä, kuten esimerkiksi kontaktielementit, liitoselementit, särön kärjen elementit ja puoliäärettömät elementit. Kappaleiden jako-osina kätettävien elementtien koko voi vaihdella hvin paljon tarkasteltavan ongelman luonteesta riippuen, mös tietn kappaleen eri osissa voi esiintä suuria kokovaihteluja. Kappaleen elementtijaossa voidaan kättää samanaikaisesti eritppisiä ja muotoisia sekä erilaiset geometriset ja materiaaliominaisuudet sisältäviä elementtejä, mikä tekee elementtimenetelmästä erittäin joustavan hdistettjen rakenteiden käsittelssä. Kappaletta kuvataan elementtijoukolla, jota sanotaan elementtiverkoksi tai laskentamalliksi. Elementtiverkko kuvaa usein todellista kappaletta vain likimääräisesti varsinkin pinta- ja solidirakenteilla, mikä aiheuttaa saataviin tuloksiin virhettä. Mallinnusvirhe ei lujuuslaskennassa ole kovin merkittävä, mikäli kätetään kaarevareunaisia ja riittävän pienikokoisia elementtejä. Vierekkäiset elementit liittvät toisiinsa vain tietissä pisteissä, joita sanotaan elementtiverkon ja elementtien solmuksi. Elementtiverkko koostuu siis joukosta elementtejä, jotka liittvät toisiinsa solmuissa. Kuvassa on esitett esimerkkinä elementtiverkosta tasokehä (a), sen eräs mahdollinen elementtiverkko (b), kaikki elementit (c) ja ksittäinen elementti. Elementtiverkon kuvaan (b) on merkitt oma elementtinumero kullekin elementille. Se on tummemmalla taustalla erotukseksi solmunumeroista. Kuvassa (c) on kullakin elementillä kaksi solmua, toiselle

3 0/ niistä (alkusolmu) on annettu solmunumero ja toiselle (loppusolmu) solmunumero. Solmuille otetaan kättöön kaksi numerointijärjestelmää, paikallinen eli lokaalinumerointi ja verkko- eli globaalinumerointi. Kuvassa (d) on esitett elementin molemmat numeroinnit. Tässä tapauksessa rakenteen elementtiverkossa on kätett -solmuista tasokehän palkkielementtiä ja koko rakenne on mallinnettu vain tätä htä elementtitppiä kättäen. kn/m Y 0 kn 0 kn knm (a) (b) X Lokaalinumerot Globaalinumerot (c) (d) Kuva. Tasokehän elementtiverkko. Kuvassa (a) on esimerkki levrakenteen elementtiverkosta, jossa lev on jaettu kolmioja nelikulmioelementteihin. Verkossa on kolmioelementtiä ja nelikulmioelementtiä, jotka ovat kaikki lineaarisia elementtejä, jolloin niiden sivut ovat suorat ja solmut sijaitsevat vain elementin kärkipisteissä. Levelementit ovat leensä kolmi- tai nelisivuisia tasapaksuja levn paloja. Tämän esimerkin verkossa on pääosin kätett -solmuisia nelikulmioelementtejä, mutta tiheämmän elementtiverkon saamiseksi kuormitetulle alueelle on tarvittu vöhke -solmuisia kolmioelementtejä. Kuvassa (b) on tpillinen nelikulmioelementti se-

4 0/ kä sen lokaali- ja globaalinumerointi. Vastaavasti kuvassa (c) on esitett tpillinen kolmioelementti numerointeineen. Y kn kn kn kn kn (b) 0 0 (a) X (c) 0 Kuva. Levrakenteen elementtiverkko. Kuten edellä olevista esimerkeistä kä ilmi, on elementtimenetelmässä kätettävä elementtien ja solmujen numerointia, jotta sstemaattinen käsittel ja ohjelmointi tietokoneelle olisivat mahdollisia. Solmuille tarvitaan vieläpä kaksi eri numerointia, lokaalinumerointia tarvitaan puhuttaessa ksittäisen elementin asioista ja globaalinumerointia käsiteltäessä verkkoa kokonaisuutena. SOLMUSUUREET Elementtiverkon jokaiseen solmuun liittvät tiett, lujuuslaskennan kannalta kiinnostavat suureet, jotka vielä jakaantuvat siirtmä- ja voimasuureisiin. Siirtmäsuureita ovat translaatiosiirtmät ja rotaatiosiirtmät eli kiertmät. Vastaavasti voimasuureisiin kuuluvat jännitskomponentit, kannattimen poikkileikkauksen rasitukset ja pintarakenteen leikkauksen rasitustihedet. Kulloinkin kätettävät solmusuureet riippuvat näin ollen suuresti siitä, minkä tppisiä elementtejä solmussa liitt toisiinsa. Koska elementtiverkossa on suuri määrä solmuja ja elementtejä, joita teoriassa ja tietokonelaskennassa lisäksi joudutaan käsittelemään ksittäisinä ja kokonaisuutena, tarvitaan solmusuureille looginen ja mahdollisimman ksinkertainen merkintätekniikka. Elementtimenetelmässä on hödllistä kättää matriisilaskentaa, joten solmusuureet järjestetään aina pstvektoreiksi. Koska elementtimenetelmän pstvektorit auki kirjoitettuina voivat olla hvinkin tilaa vieviä, kirjoitetaan ne usein rivinsuuntaisesti tilan säästämiseksi. Tällöin

5 0/ ne merkitään aina aaltosulkeisiin erotukseksi todellisista vaakavektoreista, jotka taas ovat hakasulkeissa. Lisäksi puhuttaessa solmusta tai elementistä lokaalisti kätetään solmusuureiden smboleina pieniä kirjaimia ja vastaavasti verkkotason solmusuureiden smboleina ovat isot kirjaimet (jännitksille kätetään aina pieniä kirjaimia). Mikäli solmun tai elementin numero on ilmaistava solmusuurevektorissa, se merkitään läindeksiksi. Vielä on otettava huomioon suunta, johon solmusuureen mittaus tapahtuu. Solmusuureiden mittaus voi tapahtua elementtiverkkoon liittvässä globaalikoordinaatistossa tai tiettn elementtiin kiinnitetssä lokaalikoordinaatistossa. Mikäli mittaussuunta on ilmaistava solmusuureessa, se merkitään suureelle alaindeksiksi isolla kirjaimella globaalimittauksessa ja pienellä kirjaimella lokaalimittauksessa. Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, jätetään solmusuureista kuitenkin aina indeksit pois. Kirjoitetaan joitakin solmusuurevektoreita edellä olevien sopimusten mukaisesti. Tarkastellaan ensin kuvan (d) palkkielementtiä sen samaan kuvaan merkitssä -lokaalikoordinaatistossa. Elementin solmulla ja on kolme siirtmäsuuretta eli vapausastetta, translaatiosiirtmät - ja -suunnissa sekä rotaatio -suunnan mpäri. Vastaavasti solmuihin ja liitt kolme voimasuuretta, nimittäin voimakomponentit - ja -suunnissa ja momenttikomponentti -suunnan mpäri. Elementin lokaali solmusiirtmä- ja solmuvoimavektori saadaan listaamalla sen molempien solmujen suureet lokaalin solmunumeroinnin mukaisessa järjestksessä, jolloin seuraa { u } = { u u ϕ u u ϕ } { f } = { f f m f f m } Huomattakoon, että elementin solmuvoimavektori listaa solmuista elementtiin vaikuttavat rakenteen sisäiset voimat. Jatketaan tarkastelemalla kuvan (b) elementtiverkkoa sen globaalissa XY-koordinaatistossa. Verkon solmusiirtmä- ja solmukuormitusvektori saadaan listaamalla jokaisen solmun vastaavat vektorit verkon solmunumeroinnin mukaisessa järjestksessä. Kuvan esimerkin tapauksessa nämä vektorit ovat { } { F F F F F F F F } { U } = { U } { U} { U} { U } { U} { U} { U } { U} { F } = { } { } { } { } { } { } { } { } On selvää, että edellä olevissa vektoreissa on komponenttia, mikä ei ole kovin paljon. Vaativimmissa elementtimenetelmällä tehtävissä analseissä on erittäin paljon solmusuureita, jolloin elementtiverkon solmusiirtmä- ja solmukuormitusvektori ovat hvin pitkiä listoja. Ääritapauksissa komponentteja voi olla jopa miljoonia. Huomattakoon vielä, että vektori { U } sisältää elementtiverkon kaikkien solmujen siirtmät, joten siitä on mahdollista poimia kunkin elementin e solmusiirtmävektori { u } e. Vektori { F } sen sijaan sisältää solmuihin kohdistuvat ulkoiset kuormitukset ja tukireaktiot, joten siitä ei saada elementin e solmuvoimavektoria { f } e.