Malliprediktiivinen säädin konttinosturille. Väliraportti
|
|
- Minna Keskinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Malliprediktiivinen säädin konttinosturille Väliraportti Olli Sjöberg Eero Vesaoja 67167C 67330B
2 1 Johdanto Järjestelmästä luodun mallin avulla voidaan simuloida ja ennustaa järjestelmän toimintaa eri tilanteissa. Säädön kannalta mallin tärkeä ominaisuus on sen ennustuskyky. Mallin avulla voidaan ennustaa järjestelmän toimintaa erilaisten syötteiden funktiona ja tämän avulla syötteet voidaan valita siten, että järjestelmän toiminta saadaan halutuksi. Tässä voidaan käyttää esimerkiksi jotakin matemaattista kriteeriä, jonka suhteen mallin toimintaa halutaan optimoida. Juuri tähän perustuu malliprediktiivinen säädin (MPC), jossa järjestelmästä tehtyä mallia käytetään tulevien ulostulojen ennustamiseen. Ulostulot sitten optimoidaan herätteiden suhteen siten, että järjestelmä saadaan toimimaan halutulla tavalla. Tässä projektissa toteutettiin malliprediktiivinen säädin konttinosturille ja säädin optimoitiin käyttäen neliöllistä kustannusfunktiota. 2 Malli Pohjana toimi alkuperäinen konttinosturin malli ja siihen toteutettu PID säädin, jotka oli toteutettu Simulinkin avulla. Alkuperäinen malli on kuvassa 1. Referenssit lasketaan kuvan vasemmassa laidassa, säätimet on toteutettu kuvan keskiosassa ja Konttinosturi1 on nosturia kuvaava malli. Tehtävämme oli korvata PID-säätimet malliprediktiivisellä säätimellä. Figure 1: PID-säätimillä toteutettu järjestelmän ohjaus. Kuvassa 2 näkyy muokattu malli, jossa PID-säätimet on korvattu malliprediktiivisellä säätimellä. Säädin on toteutettu erillisellä Matlab-funktiolla, jonka toteutuksen voi nähdä liitteistä. Alkuperäinen konttinosturin malli pysyy täten samana kuin aikaisemminkin, vain säädin toteutetaan uudestaan. Malli toteuttaa epälineaarisen ja rajoitetun dynamiikan prosessille. Se on validoitu ja sellaisenaan hyvin käyttökelpoinen vaikkei sisälläkään kitkoja eri 1
3 liikkuville osille. Figure 2: Malliprediktiivisellä säätimellä toteutettu järjestelmän ohjaus. Ensimmäiseksi mallipohjaista säädinta varten on muodostettava malli ohjattavasta järjestelmästä. Mallina käytettiin konttinosturin Simulink-mallin pohjalta linearisoitua mallia. Tilaesitykseen valittiin kuitenkin samat tilat kuin alkuperäisessä mallissa oli valittu, jotta esityksestä tulisi mahdollisimman samankaltainen ja epälineaarisen tilaesityksen derivaatat olisi helppo laskea. Dynamiikan yhtälöt voidaan helposti lukea mallista ja linearisoida näistä tarvittava lineaarinen malli. Linerisoidut järjestelmämatriisit näkee liitteenä olevasta Matlab-koodista. Koska kunkin tilan toinen derivaatta on tietenkin ensimmäisen derivaatan derivaatta, voidaan linearisointi kullekin tilaesityksen matriisille (dynamiikka, ohjaus ja ulostulo) tehdä suoraan Jacobin matriisin avulla: Tämän jälkeen meillä on kullekin toimintapistelle laskettavissa jatkuvaaikainen dynamiikka yhtälö. Koska säädin on kuitenkin diskreettiaikainen tulee koko prosessi säätimen sisällä toteuttaa diskreettinä approksimaationa todellisesta jatkuvasta prosessista. Diskretointiaikamme on tässä vaiheessa 0.1 sekuntia, mutta luultavasti muuttuu vielä, jos säädin joskus toteutetaan oikeaan järjestelmään. Järjestelmä saadaan helposti diskretoitua Matlabissa c2d-funktion avulla. Muunnosten jälkeen voidaan jatkuvaa epälineaarista prosessia mallintaa lineaarisella, vaihtuvassa pisteessä toimivalla diskretoidulla tilaesityksellä. Tutkimme mallimme toimintaa kokeilemalla miten se toimii verrattuna todelliseen malliin, jos molemmille laitetaan sama heräte. Se vastasi epälineaarista mallia hyvin ja pysyi melkotarkasti samoissa arvoissa, kun ohjaus oli riittävän rauhallinen ja toimittiin suunnilleen lineaarisella alueella. 2
4 3 Säätimen toiminta Kuten edellä on jo todettu, MPC on mallipohjainen säädin. Järjestelmästä luodun mallin avulla pyritään ennustamaan prosessin toimintaa pidemmälle tulevaisuuteen ja optimoimaan ohjaus tämän ennusteen mukaisesti. Säätimen toteuttamisessa voidaan soveltaa neliöllistä kustannusfunktiota samalla tavoin kuin LQ-säätimessä, mutta tässä ohjaus optimoidaan ennustettujen ohjausten ja vasteiden perusteella. Säätimen toimintaperiaate tulee hyvin esille kuvasta 3. Säätimelle on määritetty erikseen ohjaushorisontti ja ennustushorisontti. Mallia käyttämällä ennustetaan mallin toimintaa ja pyritään saamaan aikaan sellaiset ohjaukset, että järjestelmä käyttäytyisi halutulla tavalla. Tässä tapauksessa halutaan minimoida neliöllinen kustannusfunktio. Kuvasta näkee, kuinka ohjaushorisontti voidaan asettaa huomattavasti lyhyemmäksi kuin ennustehorisontti. Ajalle, jossa ei ole ohjausta, käytetään yleensä viimeisintä ennustettua ohjausta. Figure 3: MPC:n toiminta. Malli ei kuitenkaan koskaan ole täydellinen, vaan ennusteessa on jonkin verran virhettä verrattuna todelliseen järjestelmään. Virheet kasautuu sitä suuremmiksi, mita kauemmaksi järjestelmän toimintaa ennustetaan. Lisäksi ulkoiset häiriöt voivat vaikuttaa ohjattavan prosessin toimintaan. Tämän vuoksi jokaisella iteraatiokierroksella lasketaan järjestelmän ennuste uudestaan ja näistä ennusteista käytetään vain ensimmäistä ohjausta varsinaisen prosessin ohjaukseen. Toisin sanoen mallin avulla ennustetaan jokaisella it- 3
5 eraatiokierroksella optimaalinen ohjaussarja, mutta näistä ohjauksista vain ensimmäinen toteutetaan. Sama logiikka toteutetaan myös seuraavalla kierroksella. Minivoitavana kustannuksena käytetään tässä projektissa neliöllistä kustannusfunktiota, joka on käytännössäkin hyvin yleinen kriteeri: V (k) = H p i=h w ẑ(k + i k) ˆr(k + i k) 2 Q(i) + = Z(k) T (k) 2 Q + U(k) 2 R H u 1 i=0 û(k + i k) 2 R(i), (1) missä vektori Z(k) sisältää ennustetut vasteet, T (k) halutun trajektorin ja U(k) ohjaukset, jotka toteuttavat halutun vasteen. Kaavan perusteella nähdään, että tarkoituksena on saada ohjaus mahdollisimman lähelle referenssisignaalia, mutta samanaikaisesti halutaan varmistaa, että ohjaukset eivät kasva liian suuriksi. Kustannuksen painoa ohjauksen ja vasteen välillä voidaan muuttaa säätämällä Q ja R matriiseja. Säätimen kaavoista ei suoraan näe, että niiden avulla minimoidaan kyseinen kustannusfunktio, sillä kustannuksen toteuttava ohjaus voidaan laskea analyyttisesti, jolloin ohjauksesta tulee tavallinen tilatakaisinkytkentä. Toiminta ja käytetyt muuttujat tulevat luultavasti parhaiten selville, jos niitä käy järjestyksessä läpi. Säätimen toiminta lähtee liikkeelle mallin ennustaman trajektorin laskemisesta: Z(k) = Ψˆx(k k) + Γu(k 1) + Θ U(k), (2) missä matriisi Ψ kuvaa sitä, miten ulostulot muodostuvat tiloista eri tuleville hetkille, Γ kuvaa miten edellinen ohjaus vaikuttaa tuleviin ulostuloihin ja Θ kuvaa sitä, miten tulevat ohjauksen vaihtelut vaikuttavat tuleviin ulostulohoin. Ψ on kahden lohkomatriisin tulo. Ensimmäisessä on diagonaalilla C matriiseja ja muuten nollia. Tämä kuvaa siis kunkin tilavektorin ulostuloksi. Toisessa on nousevia potensseja A matriisista. Se kuvaa miten tila autoregressiivisesti muuttuu alussa olevasta eteenpäin. Tämän matriisin alkiot saattavat helposti divergoida, mikäli tilansiirtomatriisin ominaisarvot ovat liian suuria. C z 0 0. Ψ = 0 C.. A z A Hp 0 0 C z ˆx(k k) (3) Matriisissa Γ myöskin on edessä vastaava C matriisien lohkodiagonaali. Sen toinen osa on B matriisi kerrottuna nousevilla potensseilla A matriisista. 4
6 C z 0 0. Γ = 0 C.. z C z Lopuksi vielä tulee laskea Θ matriisi: B. Hp 1 i=0 A i B u(k) (4) C z 0 0. Γ = 0 C.. B 0 û(k k) z u(k). 0 Hp 1 i=0 A i Hp H B u i=0 A i B û(k + H u 1 k) 0 0 C z (5) Näiden matriisien avulla säädin osaa estimoida tulevia aika-askelia. Matriisien dimensiot määrittyvät horisonttien ja järjestelmän dimensioiden mukaan. Seuraavaksi alkaa optimaalisen ohjauksen laskeminen. Se saadaan tutkimalla tulevia erosuureita. Erosuureen laskeminen voidaan esittää käyttämällä yllä olevia merkintöjä seuraavasti: ε(k) = T (k) Ψˆx(k k) Γu(k 1). (6) Tämän jälkeen voidaan optimaalinen ohjauksen muutos laskea käyttämällä seuraavia kaavoja: U (k) = 1 2 H 1 G G = 2Θ T Qε. (7) H = Θ T QΘ + R Konttinosturin säädin toteutettiin käyttäen apuna saamaamme esimerkkiä malliprediktiivisestä säätimestä. Esimerkissä näytetään miten säätimeen kuljetetaan signaalit prosessin edellisestä ohjauksesta, kellonajasta, sekä vanhoista tiloista. Esimerkissä prosessi oli kohinainen, viiveellinen ja sen tilat eivät olleet suoraan mitattavissa, mutta säädin toimi silti kiitettävästi. Dynamiikka tosin oli lineaarinen ja yksinkertainen verrattuna konttinosturiin. Alkuperäinen MPC esimerkki käytti vakiokertoimista approksimaatiota prosessista. Koska meidän prosessimme dynamiikka muuttuu toimintapisteen mukaan, joudumme laskemaan säätimen käyttämää mallia jatkuvasti uudelleen. Päätimme kuitenkin rajottaa mallin linearisoinnin yhdeksi kerraksi per askel, emmekä siis esimerkiksi prediktiossa kutsu aina uudelleen mallin linearisointia koko horisointin ajalle,sillä tämä olisi aivan liian raskasta. Voidaan kuitenkin olettaa, että prediktiohorisontti on suhteellisen lyhyt, jolloin järjestelmä ei ole prediktion aikanakaan kovin kaukana linearisoidusta toimintapisteestä. 5
7 4 Käyttöliittymä Käyttöliittymän toteuttamista ei vielä varsinaisesti ole aloitettu, sillä tavoitteena on saada varsinainen malli toimimaan ennen tätä. Toteuttamiseen ajattelimme käyttää Matlabin tarjoamaa graasten käyttöliittymien kehitysympäristöä GUIDE:a. Tällä onnistuu helposti yksinkertaisen käyttöliittymän teko, jossa voidaan asettaa säätimen parametreja sekä tarkkailla, miten ne vaikuttavat säätimen toimintaan. 5 Testiajoja 6 Ajankäyttö ja suunnitelman toteutuminen Projekti jatkui suunnitelman jälkeen järjestelmään ja toteuttettavaan säätimeen tutustumisella. Järjestelmään tutustuimme saatujen materiaalien ja mallien avulla. Säätimestä luimme tietoja ja hahmottelimme toimintaa saamiemme dokumenttien, esimerkkien ja aihetta käsittelevien kirjojen avulla. Tämän jälkeen aloitimme mallin muodostamisen. Ensimmäiseksi päädyimme linearisoimaan käytetyn mallin, jotta voisimme käyttää laskennallisesti selvästi nopeampaa versiota MPCstä. Sen jälkeen yhdistimme säätimen ja epälineaarisen fysikaalisen mallin toisiinsa alustavasti. Tässä vaiheessa lähinnä ohjelma rakenne oli päätetty, yksittäisiä funktioita ei vielä ollut määritetty. Tämän jälkeen aloitimme mallin muokkaamisen ja laskentaan vaadittavien algoritmien toteuttamisen. Hyvänä pohjana toimivat saamamme m-tiedostot, joilla muun muassa pystyi laskemaan säätimessä tarvittavia matriiseja. Projektin päämäärät ja tämän myötä myös aikataulu ovat muuttuneet suunnitelman laatimisen jälkeen. Tavoitteena ei enää ole säätimen implementoiminen todelliselle laitteelle vaan toimivan simulaattorin tekeminen, sekä harjoitustyömateriaalin tuottaminen. Säätimen toteuttaminen todelliseen laitteeseen jätettiin pois konttinosturin toimilaiteuudistuksen takia. Tällä hetkellä vaikuttaa siltä, että olemme ihan hyvin aikataulussa ja aikaa on käytetty suunnilleen odotetty määrä. Säätimen toimintaan saattamisessa kului odotetusti reilusti aikaa, mutta saatiin kuitenkin toimimaan ja testiajoja päästiin suorittamaan simulaattorilla. Alkuperäinen projektisuunnitelma, jossa työtunnit ilmoitettu henkilöä kohden. 6
8 VKO 3 VKO 4-5 VKO 6-9 VKO 10 VKO VKO VKO VKO 19 Työn aloittaminen ja alustava tutustuminen (8h) Suunnitelman tekeminen ja tarkempi materiaaleihin tutustuminen (12h) Mallin käyttö, säätimen suunnittelu ja toteutus alustavasti (15h) Tenttiviikko (0h) Säätimen vienti järjestelmään, xpc:hen tutustuminen, väliraportti (15h) Säätimen toiminnan optimointi ja vikojen korjaus (20h) Viilausta, lopullisen raportin tekoa ja materiaalien tekoa labratyöhön (20h) Dokumentaation ja labratyön ohjeiden viimeitely (10h) Yhteensä 100 tuntia henkilöä kohden. Uudessa suunnitelmassa on panostettu enemmän simulaattorin toteuttamiseen ja laboratoriotyön materiaalin luomiseen. VKO 3 VKO 4-5 VKO 6-9 VKO 10 VKO VKO VKO VKO 19 Työn aloittaminen ja alustava tutustuminen (8h) Suunnitelman tekeminen ja tarkempi materiaaleihin tutustuminen (12h) Mallin käyttö, säätimen suunnittelu ja toteutus alustavasti (15h) Tenttiviikko (0h) Säätimen toteutus ja toiminnan tutkiminen, väliraportti (15h) Säätimen toiminnan optimointi ja mahdollisten vikojen korjaus, käyttöliittymän teko (20h) Viilausta, lopullisen raportin tekoa ja materiaalien tekoa labratyöhön (20h) Dokumentaation ja labratyön ohjeiden viimeitely (10h) Ajankäyttö suunniteltiin vastaavaksi kuin aikaisemmassa suunnitelmassa, mutta prioriteetteinä loppuaikana on hieman eri asiat kuin alkuperäisessä suunnitelmassa. Tähän mennessä suunniteltu ja todellinen ajankäyttö ovat toteutuneet kuvaajan 4 mukaisesti. Aikaa tällä hetkellä on käytetty hieman vähemmän kuin oli suunniteltu, mutta kulutettua aikaa on melko hyvin onnistuttu ennustamaan. 7
9 Figure 4: Suuniteltu ja toteutunut ajankäyttö. 8
10 7 Liitteet %%%%%%%%%%%% % runmpc.m % %%%%%%%%%%%% clear all; close all; clc; h = 0.1; % sample time tsim = 10; % simulation time init2; y1 = M/(m+J1/r1^2); y2 = M/(M+J2/r2^2); c1 = 1/(m+J1/r1^2+M); c2 = 1/(M+J2/r2^2); % Horisonttiparametrit Hw = 1; Hp = 10; Hu = 7; k = log(10)/hp; Q = 100*diag(ones(2*Hp,1))*diag(exp(k*linspace(0,Hp,2*Hp)),0); R = 0.1*diag(ones(2*Hu, 1)); sim('simulate_reference', tsim + Hp*h); yr(:,2) = yr(:,2); x = [0.2 ;0.6; 0; 0;0;0]; u = [0;0]; sim('konttinosturi_control2.mdl', tsim); figure; subplot(2, 2, 1); plot(tout,x(1:length(tout))); title('x'); subplot(2, 2, 2); plot(tout,th(1:length(tout))); title('th'); subplot(2, 2, 3); plot(tout,l(1:length(tout))); title('l'); subplot(2, 2, 4); plot(tout,yr(1:length(tout))); title('yr') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % calculatecontrol.m % 9
11 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function U = calculatecontrol(in) % calculate the optimal control signal U % psii, gamma, theta = estimation matrices calculated with % calculatematrices(a,b,c,hp,hu)-function % Q = weighting matrix of tracking error % R = weighting matrix of control increments % Hw = prediction horizon start point % Hp = prediction horizon end point % yr = reference signals yr(k+1):yr(k+hp) each input in separate columns Q = evalin('base','q'); R = evalin('base','r'); yr = evalin('base','yr'); h = evalin('base','h'); y1 = evalin('base', 'y1'); y2 = evalin('base', 'y2'); c1 = evalin('base', 'c1'); c2 = evalin('base', 'c2'); M = evalin('base', 'M'); m = evalin('base', 'm'); g = evalin('base', 'g'); Hu = evalin('base', 'Hu'); Hw = evalin('base', 'Hw'); Hp = evalin('base', 'Hp'); [n, ms] = size(yr); %mg = number of input variables mg = 2; %in: [F1(t-1) F2(t-1) t x L Th dx dl dth] % x = system current states x_hat(k k) % t = simulation time % u = previous control signal u(k-1) u = in(1:mg); t = in(mg+1); x = in(mg+2:end); u = u(:); x = x(:); ct = 2 * round(t/h); F1 = u(1); 10
12 F2 = u(2); L = x(2); theta = x(3); dl = x(5); dtheta = x(6); thetadotdot = -(c1*f1-(y1*(c2*(m*g-f2)))*theta + g*(theta*(1+y1))+2*dl*dtheta)/l; A = [ ; ; ; (-y1*(m*g-f2)*c2+g*y1) 0 0 0; c1*f1*y ; (thetadotdot)/l -(-y1*(c2*(m*g-f2))+g*(1+y1))/l 0-2*dtheta/L -2*dL/L... ] ; B = [0 0; 0 0; 0 0; c1 y1*c2*theta ; -theta*c1*y2 -c2; -c1/l -c2*y1*theta/l]; % x L Th dx dl dth C = [1 sin(theta) L*cos(theta) 0 0 0; 0 cos(theta) -L*sin(theta) 0 0 0]; %Discretation sysc = ss(a, B, C, zeros(2,2)); sysd = c2d(sysc, h, 'zoh'); A = sysd.a; B = sysd.b; C = sysd.c; [psii,gam,eta] = calculatematrices(a,b,c,hw,hp,hu); %Stack yr yr_new = zeros(n*ms, 1); yr_new(1:ms:end) = yr(:,1); yr_new(2:ms:end) = yr(:,2); e = yr_new(ct+hw:ct+ms*hp,1) - psii*x-gam*u; G = 2*eta'*Q*e; H = eta'*q*eta+r; du = 0.5*H^(-1)*G; U = du(1:ms,:)+u; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % calculatematrices.m % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 11
13 function [psii,gamma,theta] = calculatematrices(a,b,c,hw,hp,hu) [na, ma] = size(a); % size of A matrix [nb, mb] = size(b); % size of B matrix [nc, mc] = size(c); % size of C matrix nouts = nc; % number of outputs nstates = na; % number of states psii = zeros(nouts*hp,nstates*hp); Apsii = zeros(nstates*hp,nstates); gamma = zeros(nb*hp,mb); theta = zeros(nb*hp,mb*hu); for i = 1:Hp psii((i-1)*nouts+1:i*nouts,(i-1)*nstates+1:i*nstates) = C; Apsii((i-1)*nStates+1:i*nStates,:) = A^i; summa = zeros(nb,mb); for j = 0:i-1 summa = summa + A^j*B; end gamma((i-1)*nb+1:nb*i,:) = summa; end for j = 1:Hu summa = zeros(nb,mb); for k = 0:i-j if (k >= 0) summa = summa + A^k*B; end end theta((i-1)*nb+1:nb*i,(j-1)*mb+1:j*mb) = summa; end gamma = psii*gamma; theta = psii*theta; psii = psii*apsii; gamma = gamma((hw-1)*nouts+1:hp*nouts,:); theta = theta((hw-1)*nouts+1:hp*nouts,:); psii = psii((hw-1)*nouts+1:hp*nouts,:); 12
Malliprediktiivinen säädin konttinosturille. Laboratoriotyön ohje. Olli Sjöberg Eero Vesaoja
Malliprediktiivinen säädin konttinosturille Laboratoriotyön ohje Olli Sjöberg Eero Vesaoja Contents 1 Johdanto 2 2 MPC säädin 4 21 MPC:n yleinen toimintaperiaate 4 22 LQ-säätimen perusteet 5 23 MPC optimoituna
LisätiedotMalliprediktiivinen säädin konttinosturille
AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt, 3 op Malliprediktiivinen säädin konttinosturille Olli Sjöberg Eero Vesaoja 1. Suunnitelma 1.1. Tavoite, MPC:n käyttö Projektin päätavoitteena oli
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotHarjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1
Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän
LisätiedotSäätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla
Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,
LisätiedotSIMULINK S-funktiot. SIMULINK S-funktiot
S-funktio on ohjelmointikielellä (Matlab, C, Fortran) laadittu oma algoritmi tai dynaamisen järjestelmän kuvaus, jota voidaan käyttää Simulink-malleissa kuin mitä tahansa valmista lohkoa. S-funktion rakenne
LisätiedotSäätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla
Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotMATLAB harjoituksia RST-säädöstä (5h)
Digitaalinen säätöteoria MATLAB harjoituksia RST-säädöstä (5h) Enso Ikonen Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio November 25, 2008 Harjoituskerran sisältö kertausta (15 min) Napojensijoittelu
LisätiedotMatriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.
Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.
Lisätiedot1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
Lisätiedot(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
LisätiedotY (s) = G(s)(W (s) W 0 (s)). Tarkastellaan nyt tilannetta v(t) = 0, kun t < 3 ja v(t) = 1, kun t > 3. u(t) = K p y(t) K I
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat-2.429 Systeemien Identifiointi 6. harjoituksen ratkaisut. Laplace-tasossa saadaan annetulle venttiilille W (s) W (s)
LisätiedotSäätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002
Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 10 / vko 48
MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 Ratkaisuehdotukset LH 10 / vko 48 Tehtävä 1: Olkoot A R n n symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi. Näytä, että (i T A n (λ iα i (ii A n (λ i α i jossa α i on siten,
LisätiedotLuento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä
Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Matriisit voivat olla kooltaan niin suuria, että LU-hajotelman laskeminen ei ole järkevä tapa ratkaista lineaarista
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
LisätiedotZeon PDF Driver Trial
Matlab-harjoitus 2: Kuvaajien piirto, skriptit ja funktiot. Matlabohjelmoinnin perusteita Numeerinen integrointi trapezoidaalimenetelmällä voidaan tehdä komennolla trapz. Esimerkki: Vaimenevan eksponentiaalin
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotNumeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 17.3. Tehtävä 1: Tarkastellaan funktion f(x) = x evaluoimista välillä x [2.0, 2.3]. Muodosta interpoloiva polynomi p 3 (x),
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
LisätiedotNumeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 3.3. Tehtävä 1: Oheinen MATLAB-funktio toteuttaa eksponenttifunktion evaluoinnin. 1 function y = seriesexp ( x ) 2 oldsum =
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
Lisätiedot2. kierros. 2. Lähipäivä
2. kierros 2. Lähipäivä Viikon aihe Vahvistimet, kohina, lineaarisuus Siirtofunktiot, tilaesitys Tavoitteet: tietää Yhden navan vasteen ekvivalentti kohinakaistaleveys Vastuksen terminen kohina Termit
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5
Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotDynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotS-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotMatriisilaskenta (TFM) MS-A0001 Hakula/Vuojamo Ratkaisut, Viikko 47, 2017
Matriisilaskenta (TFM) MS-A1 Hakula/Vuojamo Ratkaisut, Viikko 47, 17 R Alkuviikko TEHTÄVÄ J1 Mitkä matriisit E 1 ja E 31 nollaavat sijainnit (, 1) ja (3, 1) matriiseissa E 1 A ja E 31 A kun 1 A = 1. 8
LisätiedotS-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede Laskuharjoitus 2 4.12.2006 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1 Tehtävässä 1 piti tehdä lineaarista suodatusta kuvalle. Lähtötietoina käytettiin kuvassa 1 näkyvää harmaasävyistä
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää
LisätiedotPID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla
PID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla Kriittisen värähtelyn menetelmä Tehtiin kuvan 1 mukainen tasavirtamoottorin piiri PID-säätimellä. Virittämistä varten PID-säätimen ja asetettiin
LisätiedotHarjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006
Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotKokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettaminen - gradienttimenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla
Lisätiedot1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI
1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1 1.1 Funktion optimointiin perustuvat klusterointialgoritmit Klusteroinnin onnistumista mittaavan funktion J optimointiin perustuvissa klusterointialgoritmeissä
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b
LisätiedotOsakesalkun optimointi
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Epäsileä optimointi Turun yliopisto Huhtikuu 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Taustatietoja 2 3 Laskumetodit 3 3.1 Optimointiongelmat........................ 4 4 Epäsileän
LisätiedotTilayhtälötekniikasta
Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälöesityksessä it ä useamman kertaluvun differentiaaliyhtälö esitetään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Jokainen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotS09 04 Kohteiden tunnistaminen 3D datasta
AS 0.3200 Automaatio ja systeemitekniikan projektityöt S09 04 Kohteiden tunnistaminen 3D datasta Loppuraportti 22.5.2009 Akseli Korhonen 1. Projektin esittely Projektin tavoitteena oli algoritmin kehittäminen
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 8 / vko 47
Ratkaisuehdotukset LH 8 / vko 47 Tehtävä 1: Olkoot A R n n matriisi, jonka singulaariarvohajotelma on A [ ] [ ] Σ U 1 U r 0 [V1 ] T 2 V 0 0 2 Jossa Σ r on kääntyvä matriisi, [ U 1 U 2 ] ja [ V1 V 2 ] ovat
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Mat Systeemien Identifiointi. 4. harjoitus
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 4. harjoitus 1. a) Laske valkoisen kohinan spektraalitiheys. b) Tarkastellaan ARMA-prosessia C(q 1 )y = D(q 1 )e,
Lisätiedotẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Lisätiedot1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI
1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1 1.1 Funktion optimointiin perustuvat klusterointialgoritmit Klusteroinnin onnistumista mittaavan funktion J optimointiin perustuvissa klusterointialgoritmeissä
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotY (z) = z-muunnos on lineaarinen kuten Laplace-muunnoskin
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.429 Systeemien Identifiointi 3. harjoituksen ratkaisut. Vapaan vasteen löytämiseksi asetetaan ohjaukseksi u(t)
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotAki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotEnnustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin
Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017
LisätiedotMissä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot
Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi
LisätiedotS11-09 Control System for an. Autonomous Household Robot Platform
S11-09 Control System for an Autonomous Household Robot Platform Projektisuunnitelma AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Quang Doan Lauri T. Mäkelä 1 Kuvaus Projektin tavoitteena on
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotAki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN
Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 1 AIKASARJA ILMAN SYSTEMAATTISTA VAIHTELUA... 2 1.1 Liukuvan keskiarvon menetelmä... 2 1.2 Eksponentiaalinen tasoitus... 3 2 AIKASARJASSA
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
Lisätiedotf(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))
Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia
LisätiedotACKERMANNIN ALGORITMI. Olkoon järjestelmä. x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
ACKERMANNIN ALGORITMI Olkoon järjestelmä x(k+1) = Ax( + Bu( jossa x( = tilavektori (n x 1) u( = ohjaus (skalaari) A (n x n matriisi) B (n x 1 matriisi) Oletetaan, että ohjaus u( = Kx( on rajoittamaton.
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedotx = x x 2 + 2y + 3 y = x + 2y f 2 (x, y) = 0. f 2 f 1
Matematiikan K/P syksy Laskharjoits 9 Mallivastakset Tehtävän differentiaaliyhtälösysteemi: x = x x + y + y = x + y Merkitään f (x, y) = x x + y + ja f (x, y) = x + y Kriittisessä pisteessä f (x, y) =
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
Lisätiedot6. Tietokoneharjoitukset
6. Tietokoneharjoitukset 6.1 Tiedostossa Const.txt on eräällä Yhdysvaltalaisella asuinalueella aloitettujen rakennusurakoiden määrä kuukausittain, aikavälillä 1966-1974. Urakoiden määrä on skaalattu asuinalueen
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotHarjoitustyö 3. Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Harjoitustyö 3 Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi Yleistä Systeemianalyysin laboratoriossa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt
LisätiedotTilaesityksen hallinta ja tilasäätö. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 6: Tilasäätö, tilaestimointi, saavutettavuus ja tarkkailtavuus
Tilaesityksen hallinta ja tilasäätö ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 6: Tilasäätö, tilaestimointi, saavutettavuus ja tarkkailtavuus Edellisessä luvussa tarkasteltiin napoja ja nollia sekä niiden vaikutuksia
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
Lisätiedotmlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä osittaisderivaatoista: y 1... J F =.
Lisätiedots = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4
BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb
LisätiedotTietokoneavusteinen säätösuunnittelu (TASSU)
Ohjeita ja esimerkkejä kurssin 470463A näyttökoetta varten Tietokoneavusteinen säätösuunnittelu (TASSU) Enso Ikonen 9/2006 Oulun yliopisto, Prosessi- ja ympäristötekniikan osasto, systeemitekniikan laboratorio
Lisätiedot