Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2003 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) Sisältö. Johdanto

Transkriptio

1 Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2003 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS Sisältö Johdanto ii Viikko37, Kompleksiluvut ja -funktiot 1 1. Kompleksiluvun määritelmä ja perusominaisuudet Kompleksiluvun määritelmä Luku i, esitys z = x + iy, kompleksitaso Aritmetiikkaa kompleksiluvuilla, liittoluku (complex conjugate), moduli 3 2. Polaarimuoto Kolmioepäyhtälö, liittolukuominaisuuksia 7 3. Kerto-ja jakolasku polaarimuodossa Potenssit, De Moivre'n kaava Kompleksiluvun juuret Ykkösen n:nnet juuret Kertolaskun geometrinen merkitys Eksponenttifunktio e z :n välittämä kuvaus Jaksollisuus,perusalue Logaritmi ja yleinen potenssi Logaritmi 18

2 ii HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS [Kre99, Luku 10], [Kiv, ] [Lop01, ] Tekstiin liittyvät laajemmat Matlab-osuudet kuvineen ja jotkut matemaattiset poiminnat ovat viitteessä: Muuta luentomateriaalia: Tiivistelmä: Johdanto Tarve reaalilukuja laajempaan lukujoukkoon syntyi tarpeesta ratkaista polynomiyhtälöitä. Yksinkertaisin tällainen yhtälö lienee x 2 = 1 Historian kirjoihin on jäänyt ensimmäisenä "kompleksilukuja"tarvinneena matemaatikkona Cardano( ), jonka sanotaan johtaneen kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan. Itse asiassa kunnia kuulunee toiselle italialaiselle miehelle nimeltään Niccolo Fontana alias Tartaglia ( ). Lue asiaan liittyvä kiehtova tarina tästä: Kompleksilukujen nimi ja systemaattinen käyttöönotto on peräisin Gauss:lta ( ), kts. Motivaatio "Perustason tehtävät". Tällaisia ovat esim. vaihtovirtapiirilaskut sähköopissa, mekaaniset värähtelevät systeemit, Näihin riittävät kompleksilukujen perusominaisuudet, polaarimuoto, De Moivre'n kaava ym. Vaativammat tehtävät, joissa tarvitaan analyyttisten ja harmonisten funktioiden ominaisuuksia. Monet virtausdynamiikan, lämpöopin ja sähköstatiikan tehtävät kuuluvat sovellutusten piirin. Vaikka alkuperäinen tehtävä olisikin reaalialueella muotoiltu, voidaan ratkaisussa joutua kompleksialueelle (esim. ominaisarvotehtävät). Monet käsitteet saadaan esitetyksi yhtenäisemmässä ja helpommassa muodossa (esim. Fourier-sarjat ja -muunnokset) ja moni puhtaasti reaalifunktioihin liittyvä ilmiö voidaan oikeasti "ymmärtää"vasta kompleksialueella tarkasteltuna.

3 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) 1 luku1.tex Viikko37, Kompleksiluvut ja -funktiot Kirjallisuutta: [Kre99] Luku... [Lop01] [Kiv] Simo Kivelä: Algebra ja geometria 1. Kompleksiluvun määritelmä ja perusominaisuudet 1.1. Kompleksiluvun määritelmä. Selkeintä on määritellä kompleksiluvut reaalilukupareina. Tällöin kaikki rakentuu vanhojen tuttujen käsitteiden varaan, eikä mitään mystistä, imaginaarista oliota tarvitse ulkoapäin tuoda mukaan (kuten joissain esityksissä tehdään). Noudatamme mm. kirjoissa [Kre99] ja [Kiv] esiintyvää tyyliä. Määritelmä 1.1. Kompleksiluku z = (x, y) on reaalilukupari. Kompleksilukujoukko on reaalilukuparien joukko R 2 varustettuna seuraavilla laskutoimituksilla: Yhteenlaskulla: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) Kertolaskulla: z 1 z 2 = (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Kompleksilukujoukolle käytetään merkintää C Huomautus 1.1. Joukkona C on sama kuin R 2. Merkintä C viittaa siihen, että käytössä on myös yllä määritelty kertolasku. Kompleksiluvun z = (x, y) x-koordinaattia sanotaan reaalioasaksi ja y-koordinaattia imaginaariosaksi. Merkitään: Reaaliosa, imaginaariosa z = (x, y), x = Rez, y = Imz Kompleksilukujen kertolasku voidaan muistaa näin: Tulon reaaliosa = ReRe ImIm Tulon imaginaariosa = ReIm + ImRe Luku i, esitys z = x + iy, kompleksitaso. Koska kompleksilukujoukko on vanha tuttu

4 2 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS plot(z,'o') plot([0 zv],'r') plot(zv,'o') axis([ ]) xlabel('re-akseli') ylabel('im-akseli') title('kompleksitaso ja luvut (1,1.5)=1+1.5i ja (1.-1.5)=1-1.5i') grid shg 2 Kompleksitaso ja luvut (1,1.5)=1+1.5i ja (1. 1.5)=1 1.5i Im akseli Re akseli Jokainen z = (x, y) C voidaan esittää R 2 :n kannan {(1, 0), (0, 1)} avulla muodossa z = x(1, 0) + y(0, 1). Suoritetaan samaistus (x, 0) x. Tämä merkitsee vain sitä, että laskiessamme "reaalisilla kompleksiluvuilla", tulos on sama, laskimmepa kummalla tavalla tahansa. Imaginaariyksikkö(vektori) i Merkitään erityisesti symbolilla i kompleksilukua (0, 1). Edellä oleva esitys voidaan siten kirjoittaa muotoon: z = x + yi. Tässä, kuten aina jatkossa, samaistamme: (1, 0) = 1, ja yleisesti (x, 0) = x. Nyt saamme kaipaamamme laskusäännön:

5 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) Aritmetiikkaa kompleksiluvuilla, liittoluku (complex conjugate), moduli. On helppo tarkistaa, että kompleksilukujen laskutoimitukset noudattavat samoja perussääntöjä (vaihdantaliitäntä- ja osittelulait) kuin reaalilukujen. Kun käytetään esitystä z = x + iy, voidaan laskea aivan, kuten reaaliluvuilla. Sievennyksissä käytetään luonnollisesti hyväksi yhtälöä i 2 = 1. Liittoluku z Jos z = x + iy, niin merkitään z = x iy ja sanotaan: z on z:n liittoluku ("complex conjugate"). Geometrisesti kyse on z:n symmetrisestä pisteestä reaaliakselin suhteen. Välittömästi nähdään (sekä algebrallisesti että geometrisesti), että (1.1) z + z = 2 Re z z z = 2i Im z. Itseisarvo eli moduli Kompleksiluvun z = x + iy moduli eli itsesisarvo on pisteen (x, y) euklidinen etäisyys origosta, eli vektorin x + iy pituus. Toisin sanoen Laskemalla: zz = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 = z 2, z = x 2 + y 2. saadaan monessa yhteydessä käyttökelpoinen kaava: (1.2) zz = z 2, (Huomaa, että kompleksiluvuilla z 2 ja z 2 ovat eri asioita.) Rationaalilausekkeen saattaminen muotoon x + iy nimittäjän liittoluvulla laventamalla Kun kerromme nimittäjän liittoluvullaan, saamme uuden nimittäjän, joka kaavan (1.2) mukaan on reaalinen, jolloin rationaaliluvun saattamiseksi muotoon x + iy tarvitsee vain kertoa kaksi kompleksilukua keskenään ja jakaa nimittäjässä olevalla reaaliluvulla. Esimerkki 1.1. Halutkaamme muodostaa lukujen z 1 = 8 + 3i ja z 2 = 9 2i osamäärä.

6 4 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS z1=8+3*i z1 = 8 + 3i z2=9-2*i z2 = 9-2i z1/z2 ans = 66/ /85i Matlab siis osaa tällaiset sievennykset automaattisesti. Samoin tekee Maple, jolle voi myös antaa lukuja symbolisessa muodossa. Tällöin komento evalc tekee yleensä hyvää työtä kompleksilukusieventäjänä.

7 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) 5 2. Polaarimuoto Tässä on Matlab-kuvaskripti, hieman keskeneräinen. kuvapolar.m % Kuva complex/luku1.tex:iin clf z=1+1.5*i zv=1-1.5*i % Liittoluku (z-viiva) plot([0 z 1+i*eps 0]) hold on plot(z,'o') %plot([0 zv],'r') %plot(zv,'o') axis([ ]) xlabel('re-akseli') ylabel('im-akseli') text(1.2,0.75,'y=im z') text(0.5,-0.1,'x=re z') text(0.25,0.2,'\phi') grid shg Im akseli 1 y=im z 0.5 φ 0 x=re z Re akseli

8 6 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS π < Arg z π. Tämä lienee yleisimmin käytössä oleva sopimus. Sitä käytetään niin [[Kre99]] kuin [[Lop01]]- kirjoissa. Muitakin esiintyy. Toinen tavallinen on väli (0, 2π] (tai [0, 2π)). Merkinnällä arg z tarkoitamme jotain argumentin "haaraa", siten Arg z = arg z + 2nπ jollain n Z. Esimerkki 2.1. Olkoon z = 1 + i. Laskettava moduli ja argumentti. No ei ole vaikeaa. z = 2, Arg z = π/4, arg z = π/4 + 2nπ (jokin n). kuvapolar.m kuva 2 clf z=1+i plot([0 z 1+i*eps 0]) hold on plot(z,'o') axis([ ]) xlabel('re-akseli') ylabel('im-akseli') text(0.9,0.5,'y=im z') text(0.5,-0.1,'x=re z') text(0.2,0.1,'\pi/4') text(0.4,0.8,'i') text(-0.5,0.8,'ii') text(-0.5,-0.8,'iii') text(0.4,-0.8,'iv') shg Saadaanko Arg z yleisesti kaavasta arctan y x, kuten tässä? No ei saada, sillä luvun 1 i argumentti = 3π/4 = arctan 1 1 π. Yleisesti: Argz = arctan Im z Re z ± kπ,

9 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) 7 format compact z1=1+i z2=-1+i z3=-1-i z4=conj(z1) angle([z1 z2 z3 z4]) atan([ ]) % Joka toinen menee vikaan. (Aja komennot Matlabilla, niin näet!) Käsin laskiessa on yksinkertaisinta toimia näin: 1. Katsotaan, mihin koordinaattineljännekseen annettu kompleksiluku kuuluu. 2. Määrätään tähän neljännekseen kuuluva kulma φ, jolle tan φ = y/x Kolmioepäyhtälö, liittolukuominaisuuksia. Liittoluvuilla operoiminen käyttäytyy kauniisti kaikkiin laskutoimituksiin nähden: liittoluku laskutoimituksesta = laskutoimitus liittoluvuista Lause 2.1. Näin on: 1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 2. z 1 z 2 = z 1 z 2 3. ( z 1 z 2 ) = z 1 z 2 4. zz = z z = z. Todistus. Kohta 1 nähdään välittömästi, kohdan 4 olemme jo laskeneet. Kohta 2. z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ). (Tässä on mukava käyttää kertolaskun alkuperäistä määritelmää (ReRe-ImIm,ReIm+ImRe).) z 1 z 2 = (x 1 iy 1 )(x 2 iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Niinpä nähdään, että jälkimmäinen on edellisen liittoluku, kuten väitettiin. Kohta 3 voidaan laskea aika lyhyesti samaan tapaan laventamalla nimittäjän liittoluvulla ja

10 8 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS Todistus. p(z) = a 0 + a 1 z +... a n z n = a 0 + a 1 z +... a n z n. Koska kertoimet a k ovat reaalisia, on a k = a k kaikilla k = 0... n, joten viimeksi saatu lauseke on todellakin p(z). Lause 2.3 (Seuraus). Reaalikertoimisen polyomin nollakohta on joko reaalinen tai kompleksisessa tapauksessa liittolukupari. Todistus. Olkoon reaalikertoimisella polynomilla p kompleksinen nollakohta c = a + ib, missä b 0. Tällöin p(c) = 0, joten 0 = 0 = p(c) = p(c). Niinpä c = a ib on myös p:n nollakohta. Tämä seurauslause on tärkeä mm. ominaisarvoteoriassa, palaamme siihen aika ajoin. Tehtävä 2.1. Osoita, että pariton-asteisella reaalisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. Kolmioepäyhtälö sanoo havainnollisesti, että kolmion sivun pituus on aina korkeintaan kahden muun sivun pituuksien summa. Tämä lausuttuna kompleksitasossa on: Lause 2.4 (Kolmioepäyhtälö). z 1 + z 2 z 1 + z 2. Tod. Ei muuta kuin lasketaan: z 1 + z 2 2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 1 + z 2 z 2. z 1 z 2 + z 2 z 1 = z 1 z 2 + z 1 z 2 = 2 Re(z 1 z 2 ) 2 z 1 z 2. Sitten vain tavallinen binomin neliökaava, niin jopa ollaan perillä.

11 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) 9 3. Kerto-ja jakolasku polaarimuodossa. Elämänohje: Kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku kannattaa tehdä (x, y) koordinaattimuodossa, kerto- ja jakolasku polaarimuodossa. Kohta näemme miksi. Palautamme mieleen trigonometrian perusasioita: sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat. (Nykyisin näiden käyttö lukion matematiikassa lienee jäänyt liian vähälle huomiolle.) (3.1) { sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β. Olkoon z j = r j (cos φ j + i sin φ j ), j = 1, 2. Muodostetaan tulo: (3.2) z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos φ 1 + i sin φ 1 )(cos φ 2 + i sin φ 2 ) = = r 1 r 2 ((cos φ 1 cos φ 2 sin φ 1 sin φ 2 ) + i(sin φ 1 cos φ 2 + cos φ 1 sin φ 2 )) = = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )). Siispä: (3.3) { z 1 z 2 = z 1 z 2 arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 Korostuksen vuoksi jälkimmäinen kirjoitetaan usein muotoon: arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 + 2nπ. Sopimuksemme mukaan arg viittaa johonkin argumentin haaraan. joten merkintä olisi oikein ilmankin 2π:n monikerran lisäystermiä, mutta on parempi yleensä tottua kirjoittamaan se. Päähaaran tapauksessa on kirjoitettava: Arg(z 1 z 2 ) = Argz 1 + Argz 2 + 2nπ,

12 10 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS On tietysti aivan selvää, että laskettaessa päähaaran kulmia yhteen, voidaan joutua pois päähaaralta. Laskettiin nyt varmuuden vuoksi konkreettinen esimerkki. Harjoituksen vuoksi voit tarkistaa, että saat saman tuloksen kertomalla koordinaattimuodossa ja siirtymällä sitten polaarimuotoon. Jakolasku palautuu edelliseen suoraan, sillä z = z 1 z 2 zz 2 = z 1. Tällöin edellisen mukaan z z 2 = zz 2 = z 1, joten z = z 1 z 2, ja arg z 1 = arg(zz 2 ) = arg z + arg z 2, joten arg z = arg z 1 arg z 2. Päähaaroille taas (mod 2π) Potenssit, De Moivre'n kaava. Huomautus 3.1. Olkoon ω kompleksiluku, jonka moduli (itsesiarvo)= 1, ω = cos α + i sin α. Kompleksiluvun z kertominen ω:lla merkitsee z:n kiertämistä kulman α verran. (koska itseisrvo kerrotaan 1:llä). Kertolaskukaavasta (3.3 sivulla 9 ) seuraa heti, että jos haluamme laskea kompleksiluvun z = r(cos φ + i sin φ) potenssin, saamme: z n = r n (cos n φ + i sin nφ). Erityisesti, jos luvun z itseisarvo (moduli) = 1, saadaan (3.4) (cos φ + i sin φ) n = (cos n φ + i sin nφ). Esimerkki 3.2 (De Moivre'n kaavan käyttö trigonometriassa). Käyttämällä binomikaavaa vasemmalla ja vertaamalla reaaliosia ja imaginaariosia, saadaan moninkertaisten kulmien lausekkeet cos nφ ja sin nφ lausutuksi cos φ:n ja sin φ potenssien avulla. Lasketaan esimerkin vuoksi tutut kaksinkertaisten kulmien kaavat. De Moivre = (cos φ + i sin φ) 2 }{{} cos 2 φ sin 2 φ + 2i cos φ sin φ = (cos 2 φ + i sin 2φ). Vertaamalla reaaliosia ja imaginaariosia, saadaan tutut kaavat:

13 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) 11 Tiedämme jo reaalilukujen laskennosta, että ratkaisu ei aina ole yksikäsitteinen. Jos vaikka z = 4, niin (reaaliset) ratkaisut ovat w = ±2. Toisin sanottuna: Reaalisella neliöjuurifunktiolla on kaksi haaraa, positiivinen ja negatiivinen. Mikä vielä pahempaa, negatiivisille luvuille z ei ratkaisuja reaalilukujoukosta löydy lainkaan. Tämähän oli lähtökohtana komplesilukuleikillemme. No mitä nyt tässä uudessa leikkikehässämme saamme aikaan? Kirjoitetaan annettu kompleksiluku z ja ratkaistava luku w polaarimuodossa (3.5) z = r(cos Θ + i sin Θ) w = R(cos φ + i sin φ). Nyt pätee w n = z R n (cos nφ + i sin nφ) = r(cos Θ + i sin Θ). Kompleksiluvut yhtyvät, jos ja vain jos modulit ovat samat ja argumentit yhtyvät mahdollisesti 2π:n monikertaa paitsi. Siis yhtälömme on yhtäpitävä tämän kanssa: eli { R n = r nφ = Θ + k2π, { R = n r φ = Θ n + k 2π n, k = 0,..., n 1. Tässä k:n arvot n:stä eteenpäin toistavat samoja φ:n arvoja. Sillä jos k = n + j, missä j = 0, 1, 2,..., niin k 2π n = (n + j) 2π n = 2π + j 2π n. Saadaan siis tasan n kappaletta annetun luvun z n:nsiä juuria. Geometrisesti juuret sijaitsevat n z -säteisen säännöllisen n-kulmion kärkipisteinä, jonka alkupiste on kulman Arg z määräämässä pisteessä, ts. pisteessä, jonka napakoordinaatit ovat

14 12 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS n=7; z=1+i; plot([eps*i, z]) hold on plot(z,'ob') axis square axis([ ]) text(real(z),imag(z+0.1*z),num2str(z)) r=sqrt(2) R=r^(1/n) Theta=pi/4 phi=theta/n+(0:n).*(2*pi/n) w=r*(cos(phi)+i*sin(phi)) plot(w,'or') plot(w,'r') for j=0:n-1 text(real(w(j+1)),imag(w(j+1)+0.1*z),['w_',num2str(j)]) end grid shg 1 w 2 w 1 1+1i 0.5 w 3 w w 4 w 6

15 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) 13 on yleinen polynomiyhtälöiden numeerinen ratkaisija, jolla numeeriset approksimaatiot saataisiin vielä vähemmällä vaivalla. Matlab käsittelee polynomia a n z n +...+a 1 z+a 0 kertoimien muodostamana vektorina [a n,..., a 1, a 0 ]. Matlab-funktio roots ratkaisee numeerisesti (kompleksitasossa) polynomiyhtälön a n z n a 1 z + a 0 = 0. Komennon syntaksi on roots(kerroinvektori), missä kerroinvektori annetaan korkeimman asteisesta alimpaan. Yllä olevan esimerkin olennainen laskenta (w-vektorin laskeminen) voitaisiin siten tiivistää muotoon: ww=roots([ i]) % Teethän itsellesi selväksi! Kyseessähän ovat polynomin z 7 (1 + i) nollakohdat. Tehtävä 3.2. Suorita tekstissä oleva Matlab-istunto ja yllä oleva Matlab-komento. Vertaa tuloksia piirtämällä samaan kuvaan päällekkäin. Piirrä ww- vektorin alkiot vaikka sinisellä tähdellä ('*b') Ykkösen n:nnet juuret. n 1 Erityisesti luvun 1 n:nnet juuret ovat reaaliakselin yksikköpisteestä (ykkösestä) alkavan säännöllisen n-kulmion kärkipisteet. Merkitään ω n = cos 2π n + i sin 2π n ω n,k = cos k 2π n + i sin k 2π n. Tällöin ω n,k = (ω n ) k. ja Nämä luvut tulevat siellä täällä vastaan matematiikan poluilla, mm. johdettaessa nopean Fouriermuunnoksen (FFT) algoritmia Kertolaskun geometrinen merkitys. Ajatellaan erityisesti kertomista luvulla w, joka on yksikköympyrän kehällä, eli w = 1. Tulo wz merkitsee annetun vektorin z kiertoa kulman argw verran. Jos w 1, kyseessä on kierto yhdistettynä venytykseen/kutistukseen.

16 14 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS harj.tex Harjoitustehtäviä kompleksilukuihin ja -funktioihin Laskettu Maunulan majalla [McQuarie s. 176, teht. 8] Sievennä ( 1 i 1+i )8 Vastaus: 1 Ratkaisu: 1 i = 2e iπ/4, 1 + i = 2e iπ/4. ( 1 i 1 + i )8 = ( e iπ/4 e iπ/4 )8 = (e iπ/2 ) 8 = e 4πi = 1. Vaihtoehtoisesti voitaisiin laventaa nimittäjän liittoluvulla, jolloin saataisiin: 2 8 (1 i) 16. Siitä jatkettaisiin polaarimuodolla. Tämä vaikuttaa ksummalta, mutta ei ole yhtään lyhyempi (kenties jopa päinvastoin) kuin edellinen. 2. [teht. 14] e z = e x cos y + ie x sin y = u(x, y) + iv(x, y). Osoita, että tasa-arvokäyrät u(x, y) = u 0, v(x, y) = v 0 leikkaavat toisensa kohtisuorasti. Ratkaisu u(x, y) = [e x cos y, e x sin y] v(x, y) = [e x sin y, e x cos y]. Olkoon z = x+iy = (x, y) piste, jossa korkeuskäyrät leikkaavat, ts. u(x, y) = u 0, v(x, y) = v 0. u(x, y), v(x, y) = e 2x cos y sin y e 2x sin y cos y = Osoita, että kuvaus z e πz a (a > 0) kuvaa vyön {z = x + iy x R, 0 < y < a} bijektiivisesti avoimelle yläpuolitasolle Im z > 0. Voidaan ottaa helpotettuja versioita ja kysyä myös suljettua tapausta Trigonometrisia ja hyperbolisia. 1. Katso harmaa vihko

17 e iφ = cos φ + i sin φ. [Kre99] s KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) Eksponenttifunktio Pidämme tunnettuna reaalisen eksponenttifunktion ominaisuuksineen. Käytämme sille tuttua merkintää e x, missä siis x R. Miten tulisi määritellä e z, kun z on kompleksiluku? Helpoimmalla pääsemme tällä määritelmällä: Määritelmä 5.1. Olkoon z = x + iy, asetetaan (5.1) e z = e x (cos y + i sin y). Tässä siis e x tarkoittaa entuudestaan tunnettua reaalista eksponenttifunktiota. 1 e z :n ominaisuuksia 1. Jos z R, niin e z yhtyy reaaliseen exp-funktioon. Sillä tällöinhän z = x + 0i = x, joten määritelmän mukaan e z = e x, missä edellinen tarkoittaa kompleksista ja jälkimmäinen reaalista exp-funktiota. 2. Jos z on puhtaasti imaginaarinen, ts. z = iy, y R, niin e z = e iy = cos y + i sin y. 3. e z 1+z 2 = e z 1 e z 2. Kohdan 3 perustelu. Olkoon z 1 = x 1 + iy 1 ja z 2 = x 2 + iy 2. (5.2) e z 1 e z 2 = e x 1 e x 2 (cos y 1 + i sin y 1 )(cos y 2 + i sin y 2 ) = e x 1+x 2 (cos(y 1 + y 2 ) + i sin(y 1 + y 2 )) Tässä käytimme reaalisen exp-funktion vastaavaa tunnettua ominaisuutta ja toisaalta edellä laskettua sääntöä: "Tulon argumentti = argumenttien summa", joka seuraa kosinin ja sinin yhteenlaskukaavoista, kuten muistanemme (3.3 sivulla 9 ). (Samaa laskua on turha tässä enää toistaa.) Eulerin kaava 2 Tällä nimellä tunnetaan kohdan 2 ominaisuus:

18 16 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS Erityisesti i = e iπ/2, 1 = e iπ, i = e iπ/2. z = r(cos φ + i sin φ) = re iφ. Muista ajatella kompleksilukuja geometrisesti! clf zz=[exp(i*eps),exp(i*pi/2),exp(i*(pi+eps)),exp(-i*pi/2)] plot(zz,'o') axis([ ]) axis square text(0.02,1.1,'i=e^{i \pi/2}') text(0.02,-1.1,'-i=e^{-i \pi/2}') text(-1,.1,'-1=e^{i \pi}') text(1,.1,'1=e^{i 0}') shg 5.1. e z :n välittämä kuvaus. Kuten olemme jo todenneet, ja kuten tulemme monesti vielä toteamaan, kompleksifunktio f : C C määrittelee kuvauksen (voidaan oikeammin sanoa: on kuvaus) kompleksitasosta tai sen osajoukosta kompleksitasoon. Tässä käsittelemme exp-funktiota ja katsomme, miten sen kuvaajaa voi luonnehtia. Voimme aloittaa valitsemalla joukon pisteitä kompleksitasosta ja katsomalla, minne exp-funktiomme nuo pisteet roiskii. No, olkoon nyt... Tästä nyt viimeistään herää ajatus tutkia, miten koordinaattiviivat kuvautuvat. No katsotaan. Matlab-skripti ja kuvat (värillisinä)...l/ca1.html. %complex/demoexpsubplot.m % addpath c:\usr\heikki\opemate\complex x=[-1 0 1]; y=linspace(-pi/6,3*pi/4,20); m=length(y); n=length(x);

19 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) 17 clf subplot(1,2,1) axis(ztaso) axis square hold on plot(z(:,1),'b') plot(z(:,2),'g') plot(z(:,3),'c') for k=1:m plot(z(k,:),'r') end title('z-taso') shg %%% z-taso valmis, w-taso alkaa %%%%%%%%%%%%%%%%%% subplot(1,2,2) axis square hold on plot(w(:,1),'b') plot(w(:,2),'g') plot(w(:,3),'c') for k=1:m plot(w(k,:),'r') end title('w-taso') shg z taso w taso

20 18 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS Katsokaamme taas exp-funktion määritelmää. Merk w = e z. Määrittelykaavasta näkyy heti: e z = e x (cos y + i sin y). Jos x = vakio = c ja y 1 y y 2, niin w kulkee pitkin e c -säteistä ympyräviivaa piirtäen sektorin, jota rajaavat kulmat y 1 ja y 2. Jos y = vakio = d ja x 1 x x 2, niin w kulkee pitkin puolisädettä, joka muodostaa x-akselin kanssa kulman d, piirtäen säteen osan, jota rajaavat e x 1 ja e x 2 säteiset ympyrät. Mitä kauempana vasemmalla pystyjanamme sijaitsee, sitä pienemmän O-keskisen ympyräviivan (osan) vastaava w käyrä piirtää. Pieni reikä origon ympärille aina jää, sillä w = e x, joka ei saa arvoa 0, olipa x kuinka negatiivinen tahansa. Vastaavasti positiivisella puolella saadaan miten suuria ymyröitä vain ikinä halutaan. Ympyröiden säteet kasvavat jopa eksponentiaalisesti x:n suhteen. Yllä piirretyssä kuvassa z-tason hilaviivat on valittu tämä huomioon ottaen älykkäästi. Turha haaskata laskentaruutia suorien piirtämiseen monen pisteen voimin. Lyhyesti sanottuna siis: Pystyjanat kuvautuvat ympyräsektoreiksi. Vaakajanat kuvautuvat puolisäteellä makaaviksi janoiksi Jaksollisuus,perusalue. Koska kosini ja sini ovat 2π jaksoisia, niin e i(y+2π) = e iy. Jos siis z = x + iy, niin e z+2iπ = e x e i(y+2π) = e x e iy = e z. Niinpä e z on 2πi jaksoinen. Kuvaa katsoessa tämä näkyy niin, että jos jokin pystyjana on 2π:n korkuinen, niin vastaava kuvakaari on koko ympyrä, joten aina 2πi:n lisäyksen jälkeen kuvapiste palaa siihen, mistä lähdettiin. Jos suoritat Matlab:ssa seuraavat komennot, näet keltaisella täytetyn suorakulmion, jonka korkeus on 2π, ja 20 x 20. clf v=([-20+i*pi, 20+i*pi,20-i*pi, -20-i*pi])

21 6.1. Logaritmi. [Kre99] KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) Logaritmi ja yleinen potenssi Olemme todenneet, että exp-funktio kuvaa 2π:n korkuisen vyön: V = {z = x + iy x R, y ( π, π]} bijektiivisesti kompleksitasolle, josta on origo poistettu. (Puhumme O:ssa punkteeratusta tasosta). Niinpä sillä on käänteiskuvaus, jonka määrittelyjoukko on W 0 = W \0. Saamme siten kuvauksen Log : W 0 V. Esimerkki 6.1. (KRE8 Exa 1 s. 681) Haluamme määrätä kompleksiluvun 3 + 4i logaritmin. Toisin sanoen on ratkaistava z yhtälöstä e z = 3 + 4i. Olkoon z = x + iy, tällöin e x e iy = 3 + 4i = 5e iφ, missä φ = arg(3 + 4i) = arctan (4/3), missä yläviiva viittaa arkustangentin päähaaraan. Siis on oltava (6.1) e x = 5, y = φ + 2nπ Jos käänteisfunktion arvo valitaan jaksovyöstä V, on y = φ, joten Log(3 + 4i) = ln 5 + i arctan 4 3. Jos merkitsemme log(3 + 4i):llä mitä tahansa yhtälön ratkaisua, saamme: Saimme laskusäänön logaritmeille: log(3 + 4i) = ln 5 + i(arctan nπ). Laske luvun (tässä 3 + 4i) itseisarvo (moduli) ja ota sen logaritmi (ln). Näin saat logaritmin reaaliosan.

22 20 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS w = i modw = 5 ans = ans = Lasketaan suoraan soveltamalla Matlab:n log-funktiota kompleksilukuun: log(w) ans = i log(5) ans = Siis kaikki toimii, kuten pitää. Näemme, että Matlab:n log-funktio laskee kompleksisen logaritmin päähaaran, kuten luonnollista on. Huomautus päähaarasta (uudestaan). Käyttämämme (argumentin ja logaritmin) päähaara [ π, π) on varsin yleisesti käytetty, mutta tämä on sopimuskysymys. Joissakin oppikirjoissa käytetään päähaarana väliä (0, 2π] (tai [0, 2π)). Tehdään vielä sama lasku uudestaan yleisesti Haluamme laskea Logz:n mielivaltaiselle z C\{0}. Kyseessä on siis yhtälön e w = z ratkaiseminen w:n suhteen, kun z C\{0} on annettu. Olkoon z = re iφ, ja merkitään w = u + iv. Tällöin siis: Aivan kuten äsken, näemme, että: e u e iv = re iφ. u = ln r, v = φ = Arg z. Muut logaritmin haarat saadaan lisäämällä imaginaariosaan v 2π:n monikertoja.

23 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) 21 Jos c on kokonaisluku tai yleisemmin rationaaliluku, kyseessä on sama potenssifunktio, jota edellä olemme käsitelleet (kokonaislukupotenssi, juuri tai niiden yhdistelmä). Tehtävä 6.1. Laske 1 i, i i, i e, e i Ratkaisu: Lasketaan i i, eli tehtävänä on laskea e i ln i Lasketaan ensin ln i = ln i + iargi = 0 + i(π/2 + 2nπ) (n Z). i ln i = π/2 + 2nπ, joten i i = e π 2 e 2nπ. Päähaara on logaritmin päähaara, joka saadaan n :n arvolla 0, joten i i :n päähaara-arvo on e π 2.

24 22 HEIKKI APIOLA, TKK/MATEMATIIKAN LAITOS 7. Trigonometriset ja hyperboliset funktiot Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x Jos nämä lasketaan yhteen ja vähennetään, saadaan heti ratkaistuksi: cos x = 1 2 (eix + e ix ), sin x = 1 2i (eix e ix ). Nämä kaavat ovat sinänsä hyödyllisiä monessa kohdassa matematiikan kentillä. Aktivoi niiden käyttö! Tässä käytämme niitä antamaan johtolangan siihen, miten kompleksiaargumentin sin ja cos funktiot tulisi määritellä. Olemme palauttaneet reaalisen sinin ja kosinin kompleksimuuttujan exp-funktioon. Helppo tapa on määritellä kompleksiset sini ja kosini yksinkertaiseti samoilla kaavoilla, siis antamalla x:n tarkoittaa mielivaltaista kompleksilukua (jolloin merkitsemme sitä mieluummin z:lla). Tällöin ainakin saamme vastaavien reaalialueen funktioiden laajennuksen, koskapa tuo kaava siellä pätee. Toivottavaa tietysti on, että mahdollisimman paljon sinin ja kosinin tunnetuista ominaisuuksista säilyisi. Määritelmä 7.1. Olkoon z C Asetamme: { cos z = (7.1) 1 2 (eiz + e iz ) sin z = 1 2i (eiz e iz ). Voimme nyt tutkia sinin ja kosinin ominaisuuksia, saamme yleisen Eulerin kaavan: e iz = cos z + i sin z. Kiintoisaa on nähdä trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välinen yhteys. Funktioiden kuvausominaisuuksia voidaan selvitellä.... [Kre99][12.7 ss ]

25 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT (VIIKKO 37) 23 Viitteet [Ben77] J. J. Benedetto. Harmonic Analysis and Applications. CRC Press, [Bet97] [D]avid Betounes. Partial Dierential Equations for Computational Science. Springer, [BN01] Albert Boggess and Narcowich. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. Prentice Hall, [BWC97] E. Boyce W[illiam] and DiPrima R[ichard] C. Elementary Dierential Equations and Boundary Value Problems. Wiley, 6 edition, [C + 01] A. Croft et al. Engineering Mathematics. Prentice Hall, [J + 99] Glyn James et al. Advanced Engineering Mathematics. Addison Wesley, [Kiv] Simo K. Kivelä. Algebra ja geometria. Otakustantamo, eighth edition. [Kre99] E[rwin] Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. Wiley, eighth edition, [Lop01] R[obert] J. Lopez. Advanced Engineering Mathematics. Addison Wesley, [M.D88] Greenberg M.D. Advanced Engineering Mathematics. Prentice Hall, 1 edition, 1988.