35 VALON INTERFERENSSI (Interference)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "35 VALON INTERFERENSSI (Interference)"

Transkriptio

1 13 35 VALON INTERFERENSSI (Interference) Edellisissä kappaleissa tutkimme valon heijastumista ja taittumista peileissä ja linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla. Approksimaatiossa aallonpituutta ei oteta huomioon ja valon eteneminen ymmärretään sädemallin avulla. Olemme aikaisemmin kuitenkin todenneet, että valo on aaltoliikettä. Tässä ja seuraavassa kappaleessa tutkimme millaisia ilmiöitä (interferenssi, diffraktio) valon aaltoluonteesta seuraa. Aaltoluonteesta johtuvat optiset ilmiöt kuuluvat ns. fysikaalisen optiikan (physical optics) aihepiiriin Interferenssi ja koherentit lähteet (Interference and Coherent Sources) Moniväriset heijastukset esimerkiksi öljyisestä veden pinnasta, saippuakuplasta, cd-levystä, perhosen siivistä ja värikkäiden lintujen sulista ovat seurausta valon interferenssistä. 14 piirretty aaltorintamat, jotka edustavat aaltojen vakiovaiheen pintoja. Aaltorintamat leviävät lähteestä ulospäin nopeudella λ f. Tavallisten valolähteiden valo ei ole monokromaattista (yksitaajuista). Melkein monokromaattista valoa on kuitenkin helppo tuottaa. On olemassa esimerkiksi suotimia (filttereitä) jotka läpäisevät valoa vain hyvin kapealla aallopituuskaistalla. Kaasupurkauslamppu (esimerkiksi elohopealamppu) emittoi valoa vain tietyillä, kyseiselle kaasulle karakteristisilla aallonpituuksilla. Esimerkiksi elohopealampun kirkkaanvihreän valon aallonpituus on 546,1 nm ja kaistanleveys on luokkaa ± nm. Tärkein monokromaattisen valon lähde on laser. Esimerkiksi HeNe-laser emittoi valoa aallonpituudella 63.8 nm ja kaista saadaan niinkin kapeaksi kuin ± nm. Konstruktiivinen ja destruktiivinen interferenssi Seuraavaksi tutkimme mitä tapahtuu, kun kahden identtisen monokromaattisen lähteen S 1 ja S aallot, jotka leviävät kaikkiin suuntiin, yhdistetään. Tilanne on esitetty kuvassa alla. Lähteiden tuottamilla aalloilla on sama amplitudi ja sama aallonpituus λ. Lisäksi lähteet ovat pysyvästi samassa vaiheessa. Interferenssi syntyy aina, kun kaksi (tai useampia) aaltoa esiintyy samanaikaisesti samassa tilassa. Aaltojen yhteisvaikutuksen määrää superpositioperiaate. Periaatteen mukaan resultanttipoikkeama saadaan osapoikkeamien summana. Valon tapauksessa poikkeamalla tarkoitetaan joko sähkö- tai magneettikentän sopivasti valittua komponenttia. Optiikassa monokromaattista valoaaltoa (yksivärinen valo, monochromatic light) edustaa siniaalto. Viereisessä kuvassa lähde S 1 lähettää monokromaattista aaltoa, jonka aallonpituus on λ ja taajuus f. Kuvaan on Määritelmä: Kaksi monokromaattista lähdettä, joilla on sama taajuus ja joiden vaihe-ero on ajan suhteen vakio, ovat keskenään koherentteja (coherent) lähteitä.

2 15 On huomattava, että lähteiden ei tarvitse olla samassa vaiheessa ollakseen koherentteja. Riittää, kun vaihe-ero säilyy vakiona. Koherenttien lähteiden emittoivat aallot ovat koherentteja aaltoja. Jos lähteiden emittoimat aallot ovat poikittaisia aaltoja (esimerkiksi valo), niin oletamme lisäksi, että lähteistä emittoituvilla aalloilla on sama polarisaatio (Miksi? Kotitehtävä). Tarkastellaan ensin kuvan (a) pistettä a, joka sijaitsee x-akselilla. Symmetrian perusteella on selvää, että etäisyydet lähteistä S 1 ja S pisteeseen a ovat yhtä pitkät. Siten lähteistä emittoituvat samavaiheiset aallot saapuvat pisteeseen a samassa vaiheessa ja summautuvat muodostaen kaksinkertaisen kokonaisamplitudin pisteen a kohdalle. Näin käy kaikissa x-akselin pisteissä. Etäisyys lähteestä S pisteeseen b (kuva b) on tarkalleen kaksi aallonpituutta pitempi kuin lähteen S 1 etäisyys b:stä. Molemmat aallot saapuvat pisteeseen b samassa vaiheessa ja myös tässä amplitudi pisteessä b on S 1 :n ja S :en (pisteeseen b) aiheuttamien amplitudin summa. Yleistys: Kun aallot kahdesta (tai useammasta) lähteestä saapuvat tarkastelupisteeseen samassa vaiheessa, niin resultanttiamplitudi on osa-amplitudien summa. Osa-aallot siis vahvistavat toisiaan ja kysymyksessä on ns. konstruktiivinen interferenssi. Olkoot r 1 ja r lähteiden S 1 ja S etäisyydet tarkastelupisteeseen P. Jotta pisteessä P havaittaisiin konstruktiivinen interferenssi, niin on oltava r r1 = mλ, m = 0, ± 1, ±, ± 3, (35.1) Edellisessä kuvassa pisteet a ja b toteuttavat ehdon (35.1) arvoilla m = 0 ja m =+. 16 Kuvan pisteessä c tapahtuu jotakin muuta. Säteiden matkaero on nyt r r 1 =,5λ. Kahden lähteen aallot ovat puoli aaltoa eri vaiheessa, ts. ne ovat vastakkaisissa vaiheissa. Toisen aallon harja saapuu pisteeseen c samanaikaisesti kuin toisen aallon pohja. Resultanttiamplitudi on osa-amplitudien erotus ja jos osa-amplitudit ovat saman suuruisia, ne kumoavat toisensa täysin. Tätä kumoutumista (täydellistä tai osittaista) sanotaan destruktiiviseksi interferenssiksi. Ehto on 1 r r1 = m+ λ, m = 0, ± 1, ±, ± 3, (35.). Matkaero edellisessä kuvassa (c) toteuttaa ehdon (35.) kokonaislukuarvolla m = 3. Viereisessä kuvassa pisteet, jotka toteuttavat konstruktiivisen interferenssin ehdot, on yhdistetty käyriksi. Kullakin käyrällä erotus r r1 on aallonpituuden kokonainen monikerta. Esimerkki: Radioaseman taajuus on 1500 khz ja sen lähetin koostuu kahdesta, toisistaan 400 m:n päässä olevasta identtisestä antennista, jotka lähettävät aaltoja samassa vaiheessa. Mihin suuntiin lähettimen intensiteetti keskittyy kaukana asemasta? Edellisissä tarkasteluissa on erittäin tärkeää, että lähteet S 1 ja S ovat tarkasti koherentteja (samassa vaiheessa). Esimerkiksi radioaalloilla tämä ehto on helposti toteutettavissa (esimerkki). Optisen alueen valolla ehto on kuitenkin hyvin vaikeasti toteutettavissa (lähes mahdoton), jos lähteet S 1 ja S ovat täysin toisistaan riippumattomia. Tämä johtuu siitä, että tavallisen valolähteen valon

3 17 vaihe vaihtelee satunnaisesti ja hyvin nopeasti (aika-skaala on luokkaa 10-8 s). Käytännössä ongelma ratkaistaan ottamalla valo alunperin vain yhdestä lähteestä ja jakamalla se (jollakin keinolla) kahdeksi ns. sekundääriseksi lähteeksi. Sekundääristenkin lähteiden vaihe vaihtelee nopeasti, mutta nyt ne vaihtelevat samalla tavalla, koska valo alunperin on lähtöisin yhdestä lähteestä. Sekundääristen lähteiden vaihe-ero säilyy vakiona ja lähteet ovat siten koherentteja ja sopivia käytettäväksi interferenssikokeessa. 35. Kahden valolähteen interferenssi (Two-Source Interference of Light) Ensimmäisen interferenssikokeen, joka kvantitatiivisesti osoitti valon aaltoluonteen, teki englantilainen tiedemies Thomas Young 1800-luvun alussa. Tämä ns. Youngin kahden raon interferenssikoe on siis historiallisesti hyvin tärkeä. Lisäksi koe on yksinkertaisuudessaan malliesimerkki interferenssikokeesta. Youngin koejärjestely on esitetty viereisessä kuvassa. Young itse käytti kokeessa neulalla tehtyjä pieniä reikiä, mutta yhtä hyvin voidaan käyttää kapeita rakoja. Vasemmalta rakoon S 0 saapuu monokromaattista valoa. Rako toimii sylinterimäisten aaltojen lähteenä ja valaisee raot 18 S 1 ja S yhtä voimakkaasti. Siis S 1 ja S ovat yhtä kaukana raosta S 0. Ne ovat myös keskenään yhtä leveitä. Raot S 1 ja S ovat kokeen varsinaiset (sekundääriset) lähteet. Molemmat saavat valonsa yhdestä ja samasta lähteestä (raosta S 0 ) ja näin ne ovat keskenään koherentteja. Jotta interferenssiä voitaisiin tutkia, tarvitaan varjostin (screen), johon lähteistä S 1 ja S tulevat aallot osuvat. Varjostimella konstruktiivisen interferenssin kohdat näkyvät kirkkaina ja destruktiivisen interferenssin kohdat vähemmän kirkkaina (tummina) alueina. Kuvassa (b) varjostimen etäisyys lähdetasosta on R ja lähteiden etäisyys toisistaan d. Oletetaan nyt, että R d, jolloin varjostimen pisteeseen P tulevat säteet lähteistä S 1 ja S ovat lähes paralleeleja, kuva (c). Tällöin säteiden matkaeroksi lasketaan r r1 = dsinθ, (35.3) missä θ on säteiden ja systeemin symmetria-akselin (ks. kuva) muodostama kulma. Tuloksen (35.1) mukaan konstruktiivinen interferenssi saadaan, kun dsinθ = mλ, m = 0, ± 1, ±, ± 3, (35.4) Varjostimella nähdään siis kirkkaat alueet (max) edellisen kaavan mukaisissa suunnissa θ. Tuloksen (35.) mukaan destruktiivinen interferenssi tapahtuu, kun 1 dsinθ = m+ λ, m = 0, ± 1, ±, ± 3, (35.5) Varjostimen tummat alueet (min) nähdään siis tämän kaavan suunnissa θ.

4 19 Kuvio varjostimella muodostuu vuorottelevista kirkkaista ja tummista interferenssijuovista (interference fringes). Kuvion keskellä on kirkas juova vastaten arvoa m = 0. Tässä kohdassa etäisyydet lähteisiin ovat yhtä pitkät. Lasketaan seuraavaksi kirkkaiden juovien etäisyydet (y-arvot sivun 17 kuvassa b) kuvion keskeltä. Olkoon y m m:nnen kirkkaan juovan etäisyys. Kuvasta kirjoitamme ym = Rtanθm. Kulmat ovat pieniä, joten tan sin, ja saamme ym = Rsinθm. Kun tämä yhdistetään (35.4):n kanssa tulee (pienille kulmille) mλ y = R. (35.6) d m Tätä tulosta voidaan käyttää valon aallonpituuden määrittämiseen, kun mitataan R, d, m ja y m. Youngin koe oli aikoinaan ensimmäinen suora menetelmä mitata valon aallonpituus. Esimerkki: Kahden raon interferenssikokeessa rakojen välimatka on 0,0 mm ja varjostin on 1,0 m:n etäisyydellä. Kolmas kirkas juova (keskimmäistä ei lasketa) nähdään etäisyydellä 7,5 mm keskijuovasta. Laske valon aallonpituus. (Huom! Sivun 16 esimerkki on myös esimerkki kahden lähteen interferenssikuvion muodostumisesta) Interferenssikuvion intensiteetti Edellinen tarkastelu antoi keinot laskea kirkkaiden ja tummien juovien paikat interferenssikuviossa. Nyt selvitämme miten intensiteetti voidaan laskea missä tahansa kuvion pisteessä. Tämä tehdään ensin yhdistämällä kahden lähteen siniaallot pisteessä P, laskemalla summa-aallon amplitudi ja kirjoittamalla sitten intensiteetti tämän amplitudin neliönä. Oletetaan, että lähteistä S 1 ja S tulevilla siniaalloilla (pisteessä P) on sama amplitudi E ja sama polarisaatio, ts. aaltojen E-vektorit osoittavat samaan (tai vastakkaiseen) suuntaan. Lähteet ovat siis identtiset ja jätetään huomiotta hyvin pieni amplitudiero, joka aalloille syntyy pienen matkaeron takia niiden edetessä lähteistä pisteeseen P. Pisteeseen P saapuvilla aalloilla on vaihe-ero φ, joka syntyy niiden matkaerosta r r1. Siihen miten vaihe-ero φ riippuu matkaerosta palaamme myöhemmin. Aaltojen sähkökentät avaruuteen kiinnitetyssä pisteessä P kirjoitetaan muodossa E1( t) = Ecos( ω t+ φ) E () t = E cos( ω t ). Kokonaisaalloksi Etot () t pisteessä P tulee Etot () t = E1() t + E() t = E[cos( ω t + φ) + cos( ω t)]. Sovelletaan trigonometristä identiteettiä α + β α β cosα + cos β = cos cos, joka johtaa tulokseen φ φ φ Etot ( t) = Ecos cos ωt+ = EP cos ωt+,

5 131 missä summa-aallon amplitudia on merkitty EP : llä. Summa-aallon amplitudiksi pisteessä P kirjoitamme siis φ EP = Ecos. (35.7) Jos esimerkiksi kaksi aaltoa ovat samassa vaiheessa, niin vaihe-ero φ = 0, josta seuraa cos( φ / ) = 1 ja EP = E. Aallot siis vahvistavat toisiaan. Intensiteetti pisteessä P voidaan nyt laskea yhtälöstä (3.9) sivulta 6, missä E max korvataan EP : llä. Saadaan 1 I = Sav = ε0ce P. (35.8) Oleellista tässä tuloksessa on se, että intensiteetti on verrannollinen sähkökentän (amplitudin) neliöön E P. Kun tulos (35.7) sijoitetaan tähän, saadaan φ I = ε 0cE cos. (35.9) Maksimi-intensiteetti I 0 saavutetaan kohdissa, joissa vaihe-ero φ on nolla, ts. I0 = ε 0cE. Tässä kannattaa huomata, että maksimi-intensiteetti on nelinkertainen (siis ei kaksinkertainen) verrattuna yhden lähteen intensiteettiin 1 ε 0cE. Kun käytetään edellä esitettyä maksimi-intensiteettiä, tulos (35.9) saa hyvin yksinkertaisen muodon I I cos φ = 0. (35.10) Jos tuloksen (35.10) mukaisesta intensiteetistä otetaan keskiarvo yli kaikkien mahdollisten vaihe-erojen, tulos on I 0 /, koska cos :n keskiarvo on 1/. Tämä on täsmälleen osa-aaltojen intensiteettien summa, kuten on odotettavissakin. Kokonaisenergiahan ei voi muuttua interferenssin seurauksena. Energia kylläkin jakautuu 13 uudelleen niin, että osassa varjostinta intensiteetti on nelinkertainen osaintensiteettien summaan verrattuna, mutta osassa taas se on nolla. Keskiarvo tasoittaa tilanteen. Tulosta (35.10) on helppo käyttää, kunhan vaihe-ero φ osataan laskea. Säteiden matkaeron r r 1 laskeminen on helppoa (ks. esimerkiksi kappale 35.), joten tarvitsemme "kaavan", jolla matkaero muutetaan vaihe-eroksi. Tiedetään, että yhden aallonpituuden matkaero vastaa yhden syklin vaihe-eroa, eli vaihe-eroa φ = π (rad) = 360. Kun matkaero on λ /, niin vaihe-ero on φ = π (rad) = 180. On siis selvää, että vaihe-eron φ suhde π : hin on sama kuin matkaeron suhde aallonpituuteen, ts. φ r r1 =. π λ Jos siis matkaero tunnetaan, vaihe-ero saadaan kaavasta π φ = ( r r 1 ) = k( r r 1 ), (35.11) λ missä k on aaltoluku. Jos materiaali lähteen ja pisteen P välissä ei ole tyhjiö (tai ilma), niin aallonpituus ja aaltoluku ovat λ0 λ = ja k = nk0, ( 35.1) n missä alaindeksi nolla viittaa tyhjiöarvoihin ja n on taitekerroin. Youngin kaksoisrakokokeessa piste P on kaukana suhteessa lähteiden etäisyyteen d ja matkaeroksi kirjoitettiin r r1 = dsinθ. Kun tämä sijoitetaan tulokseen (35.11), vaihe-eroksi saadaan

6 133 π d φ = kr ( r1) = kdsinθ = sinθ. (35.13) λ Edelleen sijoittamalla tämä intensiteettiin (35.10) tulee 1 π d I = I0cos kdsinθ = I0cos sinθ λ. (35.14) Maksimi-intensiteettien suunnat ovat siellä missä kosini saa arvot ± 1, eli π d sinθ = mπ, m = 0, ± 1, ±, ± 3, λ siis dsinθ = mλ. Maksimeille saatiin sama tulos kuin (35.4), niinkuin pitääkin. Etäisyydellä R olevalle varjostimelle ( R d) muodostuvalle intensiteettikuviolle, kun y R, voidaan kirjoittaa sin θ y/ R ja intensiteetti etäisyydellä y keskikohdasta saa muodon π = λr I I cos yd 0 Intensiteetin vaihtelu on esitetty seuraavassa kuvassa. (35.15) 134 Esimerkki: Viereisen kuvan koherentit radiolähettimet (vrt. esimerkki sivulla 16) siirretään 10 m:n päähän toisistaan. Lähteiden taajuus on nyt 60 MHz. Intensiteetti 700 m:n etäisyydellä vaaka-akselilla (x-akselilla, vastaa kulmaa θ = 0) on I 0 = 0,00 W/m. (a) Laske intensiteetti suunnassa θ = 4,0. (b) Missä suunnassa, lähellä θ 0, intensiteetti on I 0 /? (c) Missä suunnissa intensiteetti on nolla? 35.4 Interferenssi ohuessa kalvossa (Interference in Thin Films) Värit saippuakuplassa tai öljyisen veden pinnalla ovat seurausta interferenssistä ohuessa kalvossa. Valoaallot heijastuvat kalvon vastakkaisista pinnoista ja yhdistyessään interferoivat konstruktiivisesti tai destruktiivisesti riippuen kalvon paksuudesta ja valon aallonpituudesta. Tilannetta tarkastellaan viereisessä kuvassa. Kuvassa osa kalvoon tulevasta valosta heijastuu yläpinnasta ja kulkeutuu verkkokalvolle pisteeseen P reittiä abcp. Osa puolestaan taittuu yläpinnassa, mutta osittain heijastuu takaisin alapinnasta. Tämän säteen reitti pisteeseen P on abdefp. Pisteessä P havaittava interferenssin tyyppi riippuu säteiden matkaerosta (vaihe-erosta).

7 135 Tässä kannattaa huomata, että myös nyt valo tulee vain yhdestä lähteestä ja se jakautuu kahteen osaan kalvon yläpinnassa. Myöhemmin yhdistyvät säteet ovat siis keskenään koherentteja ja voivat interferoida. Viereisessä kuvassa on esitetty lähes suoraan ylhäältä tulevan säteen kulku ohuessa kiilamaisessa ilmakalvossa, joka muodostuu kahden lasilevyn väliin. Valo tietysti heijastuu myös päällimmäisen levyn yläpinnasta ja alimmaisen levyn alapinnasta, mutta tarkastelun yksinkertaistamiseksi emme ota näitä säteitä huomioon. Silmään tulevien säteiden matkaero on (hyvin lähelle) suoraan t, missä t on ilmakalvon paksuus tarkastelukohdassa. Niissä kohdissa, joissa t on aallonpituuden monikerta (mλ ), odotamme näkevämme konstruktiivisen interferenssin eli kirkkaan juovan. Kohdissa, joissa t = ( m+ 1/ ) λ odotamme destruktiivista interferenssiä eli tummaa juovaa. Ylhäältä katsottaessa juovia todellakin näkyy, mutta odotetun tumman juovan kohdalla onkin kirkas juova ja päinvastoin. Mistä on kysymys? Miksi edellisten kappaleiden teoriat näyttävät toimivan väärin päin? Vihjeen antaa lasilevyjen kosketuskohta ( x = 0). Siinä t = 0 ja pitäisi näkyä kirkas juova. Juova on kuitenkin tumma. Näin voi olla vain, jos jompi kumpi heijastuvista säteistä kokee yllättävän π : n (siis puolen aallonpituuden) vaihesiirron jossakin kohdassa edetessään. Tällaisen vaihesiirron ennustaa myös Maxwellin yhtälöt. Asian teoreettinen johto ei kuulu tämän kurssin alueeseen, mutta tässä tulos: 136 Olkoon materiaalissa n a etenevän valoaallon sähkökentän amplitudi E i. Aalto osuu kahden aineen rajapintaan ( n a n b ) kohtisuorasti, jolloin osa siitä heijastuu takaisin materiaaliin n a. Heijastuneen valon amplitudi E r on na nb Er = Ei. (35.16) na + nb Tätä tulosta tulkitaan seuraavan kuvan avulla: Kuva (a): na > nb, ts. valo heijastuu optisesti harvemmasta aineesta. Tulos (35.16) kertoo, että E r on saman merkkinen kuin E i, ts. aallon vaihe ei muutu heijastuksessa. Kuva (b): n a = n b ja tuloksen (35.16) mukaan E r = 0. Aalto ei siis näe rajapintaa. Kuva (c): n a < n b, ts. valo heijastuu optisesti tiheämmästä aineesta. Nyt tulos (35.16) kertoo, että heijastuneen aallon amplitudi on eri merkkinen tulevaan nähden. On siis tapahtunut puolen aallon vaihesiirto. Siis: Kun valo heijastuu optisesti tiheämmästä väliaineesta, niin se kokee π : n vaihesiirron.

8 137 Matemaattisesti edellinen tulos, kalvojen tapauksessa, voidaan esittää seuraavasti: Oletetaan, että valo, jonka aallonpituus (kalvossa) on λ, tulee kohtisuorasti kalvon pintaan. Kalvon paksuus olkoon t. Jos kumpikaan heijastuneista säteistä ei koe π : n vaihesiirtoa (tai molemmat kokevat), niin konstruktiivinen interferenssi heijastuneessa valossa havaitaan, kun t = mλ, m = 0,1,, (35.17) Jos vain toinen säteistä kokee vaihesiirron, niin (35.17) päteekin destruktiiviselle interferenssille. Samalla tavoin, jos kumpikaan heijastuneista säteistä ei koe π : n vaihesiirtoa (tai molemmat kokevat), niin destruktiivinen interferenssi heijastuneessa valossa havaitaan, kun t = ( m+ 1/) λ, m = 0,1,, (35.18) Jos vain toinen säteistä kokee vaihesiirron, niin (35.18) päteekin konstruktiiviselle interferenssille. Esimerkki: Kuinka suuri osa kohtisuorasti lasilevyn ( n = 1,5) pintaan saapuvasta valosta heijastuu? (Vihje: Intensiteetti on verrannollinen sähkökentän amplitudin neliöön) Esimerkki: Kaksi 10 cm:n pituista mikroskoopin preparaattilevyä on asetettu päällekkäin siten, että levyt toisessa päässä koskettavat toisiaan ja toisessa päässä niiden välissä on 0,00 mm:n paksuinen paperin pala. Levyjä valaistaan suoraan ylhäältäpäin monokromaattisella valolla, jonka aallonpituus ilmassa on 500 nm. Mikä on heijastuneessa valossa havaittavien interferenssijuovien välimatka? Onko levyjen kontaktikohdassa oleva juova tumma vai kirkas? Miten tulokset muuttuvat, kun lasilevyjen välinen tila täytetään vedellä? Oletetaan, että lasin taitekerroin on 1,5 ja veden 1,33. Newtonin renkaat 138 Viereisessä kuvassa linssi on asetettu lasilevylle kupera puoli alaspäin. Linssin ja lasilevyn väliin jää ohut ilmakalvo, jonka paksuus t kasvaa siirryttäessä linssin keskeltä ulommaksi. Kun systeemiä valaistaan ylhäältä monokromaattisella valolla havaitaan heijastuneessa valossa rengaskuvio. Tätä kuviota tutki ensimmäisenä Newton ja renkaita sanotaan Newtonin renkaiksi (Newton s rings). Kannattaa huomata, että linssin ja lasilevyn kosketuskohdassa nähdään tumma täplä, joka on seurausta toisen säteen vaihesiirrosta. Newtonin renkaita voidaan käyttää optisten pintojen laaduntarkkailuun. Viereisessä kuvassa kaukoputken objektiivilinssi on testattavana. Alla oleva lasilevy on erityisen huolellisesti hiottu täsmälleen tasomaiseksi. Linssin pinnan muodon säännöllisyys nähdään Newtonin renkaiden säännöllisyytenä. Renkaat muodostavat korkeuskäyrästön, missä siirtyminen käyrästä toiseen vastaa paksuuden t muuttumista puolella aallonpituudella (selvitä miksi). Newtonin renkailla voidaan testata myös peilipintojen muotoja. Hubblen pääpeilin tarkkuusvaatimuksena oli pinnan oikea muoto 1/50 aallonpituuden tarkkuudella. Valitettavasti itse muoto oli määritelty väärin. Kysymyksessä oli siis yksi optisen historian tarkimmista virheistä.

9 139 Heijastamattomat ja heijastavat pinnoitteet Linssien heijastamattomat pinnoitteet perustuvat interferenssiin ohuessa kalvossa. Periaate on esitetty viereisessä kuvassa. Linssin (Glass) pintaan kiinnitetään ohut kerros kovaa läpinäkyvää materiaalia, jonka taitekerroin on pienempi kuin linssin taitekerroin. Vaihesiirto tapahtuu molemmissa heijastuksissa, joten destruktiivinen interferenssi heijastuneessa valossa syntyy, kun kerroksen paksuudeksi valitaan t = λ / Michelsonin interferometri (The Michelson Interferometer) Michelsonin interferometri, jonka kehitti amerikkalainen Albert Michelson vuonna 1881, on vaikuttanut hyvin paljon modernin fysiikan kehitykseen. Michelson (ja Morley) osoittivat sen avulla, että eetteriä ei voi olla olemassa ja vaikuttivat siten suhteellisuusteorian syntyyn. Instrumenttia käytetään nykyisin esimerkiksi tarkkoihin aallonpituusmäärityksiin ja lyhyiden välimatkojen mittaamiseen. Esimerkkinä mainittakoon hermoaksonin paksuuden seuranta hermoimpulssin edetessä siinä. Pinnoite on tietenkin täysin heijastamaton vain yhdelle aallonpituudelle ( λ = 4t ). Tavallisesti täksi aallonpituudeksi valitaan 550 nm keskeltä näkyvää aluetta. Näkyvän alueen reuna-aallonpituudet (violetti ja punainen) heijastuvat jonkin verran ja heijastamattomaksi suunniteltu pinta näyttää usein hieman purppuramaiselta. Paljas lasipinta heijastaa valosta noin 4% (esimerkki edellä). λ /4- pinnoitteen avulla heijastuvuus voidaan vähentää alle yhteen prosenttiin. Jos λ /4-pinnoite valmistetaan materiaalista, jonka taitekerroin on suurempi kuin substraatin (lasin), niin pinnasta tulee hyvin heijastava. Käyttämällä useita vastaavia kerroksia heijastuskerroin saadaan hyvin lähelle sataa prosenttia. Puhutaan interferenssi- tai monikerrospeileistä. Niitä käytetään esimerkiksi lasereissa, joissa hyvä heijastuskerroin tarvitaan vain yhdelle aallonpituudelle. Esimerkki: Paljon käytetty pinnoitemateriaali on magnesium fluoridi (MgF ), jonka taitekerroin on 1,38. Laske lasilevylle ( n = 1,5) muodostetun heijastamattoman kerroksen paksuus aallonpituudelle (ilmassa) 550 nm. Michelsonin interferometrin peruskomponentit on esitetty viereisessä kuvassa. Valon säde monokromaattisesta valolähteestä A ohjataan ensin säteenjakajaan C (beamsplitter). Säteenjakaja on ohut lasilevy, jonka toinen pinta on päällystetty ohuella hopeakerroksella. Osa valosta (1) läpäisee säteenjakajan ja kompensaatiolevyn D ja heijastuu takaisin peilistä M 1. Palatessaan se läpäisee D:n uudelleen ja heijastuu sitten säteenjakajan hopeapinnasta kohti ha-

10 141 vaitsijaa. Toinen osa () heijastuu säteenjakajan pisteestä P kohti peiliä M. Peilistä palatessaan se läpäisee säteenjakajan ja etenee kohti havaitsijaa yhdessä säteen (1) kanssa. Kompensaatiolevyn ansiosta molemmat säteet kulkevat yhtä pitkät matkat lasimateriaalissa. Kompensaatiolevy on identtinen säteenjakajan kanssa, vain hopeakerros puuttuu. Peili M 1 on kiinteä mutta peiliä M voidaan siirtää lähemmäksi tai kauemmaksi säteenjakajasta hyvin tarkasti esimerkiksi mikrometriruuvin avulla. Jos välimatkat L 1 ja L ovat täsmälleen yhtä pitkät ja peilit M 1 ja M ovat tarkalleen kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin säteenjakajan muodostama kuva peilistä M 1 (havaitsijan mielestä) on täsmälleen peilin M kohdalla. Jos nyt L 1 ja L eivät olekaan yhtä pitkiä, niin M 1 :n kuva ja peili M ovat etäisyydellä L L 1 toisistaan. Interferenssin kannalta tilanne vastaa ohutta ilmakalvoa, jonka paksuus on t = L L1. Interferenssimaksimit saadaan, kun ehto L L1 = mλ toteutuu. Jos toinen peili on hyvin vähän vinossa, tilanne vastaa kiilamaista ilmarakoa (sivu 135) ja havaitsija näkee maksimit interferenssijuovina. 14 Esimerkki: Michelsonin interferometrissä käytetään aallonpituutta 605,78 nm. Interferenssikuviota seurataan hiusristikon avulla. Kuinka monta interferenssijuovaa ohittaa ristikon, kun toista peiliä siirretään 1 cm. Michelsonin interferometriä voidaan käyttää myös ohuiden kalvojen paksuuden määrittämiseen esimerkiksi seuraavan esimerkin mukaisesti. Esimerkki: Michelsonin interferometrin molempia peilejä pidetään paikoillaan, mutta toisen säteen tielle asetetaan ohut ylimääräinen kalvo, jonka taitekerroin on 1,51. Kalvoa asetettaessa havaitaan, että hiusristikon ohi vaeltaa 10,5 interferenssijuovaa. Laske kalvon paksuus. Laitetta käytetään aallonpituudella 487 nm. Lisäkommentti: Kuvassa alla toisen säteen tielle on asetettu kynttilän liekki. Lämpö muuttaa ilman taitekerrointa jolloin interferenssijuovat vääristyvät muuttuvan optisen matkan seurauksena. Siis: Jos peiliä M siirretään eteen tai taaksepäin matka λ /, niin säteiden (1) ja () välinen matkaero muuttuu määrällä λ ja havaitsija näkee interferenssijuovien siirtyvän juovien välimatkan verran jompaan kumpaan suuntaan. Yleisemmin: Jos juovakuviota katsotaan hiusristikolla varustetun teleskoopin läpi ja havaitaan m : n juovan kulkevan ristikon ohi, niin toinen peili on liikkunut matkan y, jolle pätee y= m λ. (35.19)

Interferenssi. Luku 35. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun

Interferenssi. Luku 35. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun Luku 35 Interferenssi PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Interferenssi-ilmiö tapahtuu, kun kaksi aaltoa yhdistyy

Lisätiedot

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto 5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan

Lisätiedot

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia

Lisätiedot

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne 4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee

Lisätiedot

35. Kahden aallon interferenssi

35. Kahden aallon interferenssi 35. Kahden aallon interferenssi 35.1 Interferenssi ja koherentit lähteet Superpositioperiaate: Aaltojen resultanttisiirtymä (missä tahansa pisteessä millä tahansa hetkellä) on yksittäisiin aaltoliikkeisiin

Lisätiedot

Linssin kuvausyhtälö (ns. ohuen linssin approksimaatio):

Linssin kuvausyhtälö (ns. ohuen linssin approksimaatio): Fysiikan laboratorio Työohje 1 / 5 Optiikan perusteet 1. Työn tavoite Työssä tutkitaan valon kulkua linssisysteemeissä ja perehdytään interferenssi-ilmiöön. Tavoitteena on saada perustietämys optiikasta

Lisätiedot

VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA

VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA 1 VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA MOTIVOINTI Tutustutaan laservalon käyttöön aaltooptiikan mittauksissa. Tutkitaan laservalon käyttäytymistä yhden ja kahden kapean raon takana. Määritetään

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 8.5.014, malliratkaisut Kalle ja Anne tekivät fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla jäällä.

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

1 Johdanto (1) missä 0 on. interferenssi. mittauksen tarkkuudeksi Δ

1 Johdanto (1) missä 0 on. interferenssi. mittauksen tarkkuudeksi Δ 25B INTERFEROMETRI 1 Johdanto 1.1 Michelsonin interferometri Kuva 1. Michelsonin interferometrin periaate. Michelsoninn interferometrin periaate on esitetty kuvassa 1. Laitteisto koostuu laserista, puoliläpäisevästää

Lisätiedot

Teoreettisia perusteita I

Teoreettisia perusteita I Teoreettisia perusteita I - fotogrammetrinen mittaaminen perustuu pitkälti kollineaarisuusehtoon, jossa pisteestä heijastuva valonsäde kulkee suoraan projektiokeskuksen kautta kuvatasolle - toisaalta kameran

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto

Työn tavoitteita. 1 Johdanto FYSP103 / K2 FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO Työn tavoitteita havainnollistaa valon taipumiseen (diffraktio) ja interferenssiin liittyviä ilmiöitä erilaisissa rakosysteemeissä sekä syventää kyseisten ilmiöiden

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

INTERFERENSSI OHUISSA KALVOISSA OPETTAJANOHJE

INTERFERENSSI OHUISSA KALVOISSA OPETTAJANOHJE INTERFERENSSI OHUISSA KALVOISSA OPETTAJANOHJE Johdanto Työ hahmottaa fysiikan ominaisuutta ennustaa ja selittää ihmisen arkiympäristössä tapahtuvia havaintoja neste- ja kaasufaasien välissä olevia ohuita

Lisätiedot

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA 1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus

Lisätiedot

FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA

FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 JOHDANTO Työssä tutustutaan hila- ja prismaspektrometreihin, joiden avulla tutkitaan valon taipumista hilassa ja taittumista prismassa. Samalla tutustutaan eräiden

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

OPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti:

OPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: OPTIIKAN TYÖ Vastaa ensin seuraaviin ennakkotietoja mittaaviin kysymyksiin. 1. Mitä tarkoittavat

Lisätiedot

SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA

SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA FYSA234/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 Johdanto Kvanttimekaniikan mukaan atomi voi olla vain tietyissä, määrätyissä energiatiloissa. Perustilassa, jossa atomi normaalisti on, energia on pienimmillään.

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen.

Lisätiedot

2.1 Ääni aaltoliikkeenä

2.1 Ääni aaltoliikkeenä 2. Ääni Äänen tutkimusta kutsutaan akustiikaksi. Akustiikassa tutkitaan äänen tuottamista, äänen ominaisuuksia, soittimia, musiikkia, puhetta, äänen etenemistä ja kuulemisen fysiologiaa. Ääni kuljettaa

Lisätiedot

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta. 3 Ääni ja kuulo 1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta.

Lisätiedot

Essee Laserista. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE

Essee Laserista. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE Jyväskylän Ammattikorkeakoulu, IT-instituutti IIZF3010 Sovellettu fysiikka, Syksy 2005, 5 ECTS Opettaja Pasi Repo Essee Laserista Laatija - Pasi Vähämartti Vuosikurssi - IST4SE Sisällysluettelo: 1. Laser

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

34. Geometrista optiikkaa

34. Geometrista optiikkaa 34. Geometrista optiikkaa 34. Kuvan muodostuminen 2 Lähtökohta: Pistemäisestä esineestä valonsäteet lähtevät kaikkiin suuntiin. P P 3 s s Arkihavainto: Tasopeili muodostaa kuvan heijastamalla esineen pisteistä

Lisätiedot

Maxwellin yhtälöt sähkämagneettiselle kentälle tyhjiössä differentiaalimuodossa: E =0, B =0, E = B/ t, B = ɛ o μ o E/ t.

Maxwellin yhtälöt sähkämagneettiselle kentälle tyhjiössä differentiaalimuodossa: E =0, B =0, E = B/ t, B = ɛ o μ o E/ t. Osa 2: OPTIIKKAA 33. Valo ja sen eteneminen 33.1 Aallot ja säteet Kirjan luvussa 32 (kurssi fysp105) opitaan, että sähkömagneettista kenttää kuvaavilla Maxwellin yhtälöillä on aaltoratkaisuja. sim. tyhjiössä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Teoriaa

Työn tavoitteita. 1 Teoriaa FYSP103 / K3 BRAGGIN DIFFRAKTIO Työn tavoitteita havainnollistaa röntgendiffraktion periaatetta konkreettisen laitteiston avulla ja kerrata luennoilla läpikäytyä teoriatietoa Röntgendiffraktio on tärkeä

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

Valo, valonsäde, väri

Valo, valonsäde, väri Kokeellista fysiikkaa luokanopettajille Ari Hämäläinen kevät 2005 Valo, valonsäde, väri Näkeminen, valonlähteet Pimeässä ei ole valoa, eikä pimeässä näe. Näkeminen perustuu esineiden lähettämään valoon,

Lisätiedot

TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 TIETOTEKNIIKKA / SALO FYSIIKAN LABORATORIO V1.5 12.2007

TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 TIETOTEKNIIKKA / SALO FYSIIKAN LABORATORIO V1.5 12.2007 TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 Työ 24AB S4h. LASERTYÖ JA VALON SPEKTRIN ANALYSOINTI TYÖN TARKOITUS LASERTYÖ Lasereita käytetään esimerkiksi tiedonsiirrossa, analysoinnissa ja terapiassa ja työstämisessä.

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

24AB. Lasertutkimus ja spektrianalyysi

24AB. Lasertutkimus ja spektrianalyysi TURUN AMMATTIKORKAKOULU TYÖOHJ 1/7 24AB. Lasertutkimus ja spektrianalyysi 1. Työn tarkoitus Lasereilla on runsaasti käytännön sovelluksia esimerkiksi tiedonsiirrossa, aineiden analysoinnissa ja työstämisessä

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6 FYSI040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus / 6 Laskuharjoitus 2. Halogeenilampun käyttöhyötysuhde on noin 6 lm/w. Laske sähköiseltä ottoteholtaan 60 watin halogenilampun tuottama: (a) Valovirta. (b) Valovoima

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Aaltoliike ajan suhteen:

Aaltoliike ajan suhteen: Aaltoliike Aaltoliike on etenevää värähtelyä Värähdysliikkeen jaksonaika T on yhteen värähdykseen kuluva aika Värähtelyn taajuus on sekunnissa tapahtuvien värähdysten lukumäärä Taajuuden ƒ yksikkö Hz (hertsi,

Lisätiedot

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?

Lisätiedot

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) Täm ä olettaa, että D = 4π λ 2 S a E a ds 2. (2 40 ) S a E a 2 ds Pääkeila aukon tasoa koh tisuoraan suuntaan

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 12 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tarkastelemme tässä luvussa sähkömagneettisten aaltojen heijastumis- ja taittumisominaisuuksia erilaisten väliaineiden rajapinnalla, ja lopuksi tutustutaan

Lisätiedot

RG-58U 4,5 db/30m. Spektrianalysaattori. 0,5m. 60m

RG-58U 4,5 db/30m. Spektrianalysaattori. 0,5m. 60m 1. Johtuvia häiiöitä mitataan LISN:n avulla EN55022-standadin mukaisessa johtuvan häiiön mittauksessa. a. 20 MHz taajuudella laite tuottaa 1.5 mv suuuista häiiösignaalia. Läpäiseekö laite standadin B-luokan

Lisätiedot

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys 10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen

Lisätiedot

13 LASERIN PERUSTEET. Laser on todennäköisesti tärkein optinen laite, joka on kehitetty viimeisten 50 vuoden aikana.

13 LASERIN PERUSTEET. Laser on todennäköisesti tärkein optinen laite, joka on kehitetty viimeisten 50 vuoden aikana. 07 1 LASERIN PERUSTEET 08 Laser on todennäköisesti tärkein optinen laite, joka on kehitetty viimeisten 50 vuoden aikana. Sana LASER on tunnuslyhenne (akronyymi) sanoista Light Amplification by Stimulated

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi Physica 9. painos (0) RATKAST. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi RATKAST:. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi. a) Vaihtovirran tehollinen arvo on yhtä suuri kuin sellaisen tasavirran arvo, joka tuottaa vastuksessa

Lisätiedot

Valo aaltoliikkeenä DFCL3 Fysiikan hahmottava kokeellisuus kokonaisuus 12

Valo aaltoliikkeenä DFCL3 Fysiikan hahmottava kokeellisuus kokonaisuus 12 Valo aaltoliikkeenä DFCL3 Fysiikan hahmottava kokeellisuus kokonaisuus 12 Sirpa Pöyhönen ja Taisto Herlevi Ryhmä E4 Ohj. Ari Hämäläinen HY 30.11.2001 1 Sisällysluettelo 1. PERUSHAHMOTUS JA ESIKVANTIFIOINTI...3

Lisätiedot

FYS03: Aaltoliike. kurssin muistiinpanot. Rami Nuotio

FYS03: Aaltoliike. kurssin muistiinpanot. Rami Nuotio FYS03: Aaltoliike kurssin muistiinpanot Rami Nuotio päivitetty 24.1.2010 Sisältö 1. Mekaaninen aaltoliike 2 1.1. Harmoninen voima 2 1.2. Harmoninen värähdysliike 2 1.3. Mekaaninen aalto 3 1.4. Mekaanisen

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

FY3: Aallot. Kurssin arviointi. Ryhmätyöt ja Vertaisarviointi. Itsearviointi. Laskennalliset ja käsitteelliset tehtävät

FY3: Aallot. Kurssin arviointi. Ryhmätyöt ja Vertaisarviointi. Itsearviointi. Laskennalliset ja käsitteelliset tehtävät FY3: Aallot Laskennalliset ja käsitteelliset tehtävät Ryhmätyöt ja Vertaisarviointi Itsearviointi Kurssin arviointi Kurssin arviointi koostuu seuraavista asioista 1) Palautettavat tehtävät (20 %) 3) Itsearviointi

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!!

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! 1. Vastaa, ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin. Perustelua ei tarvitse kirjoittaa. a) Atomi ei voi lähettää

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Geometrinen optiikka 3. Optiikka Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka (kuva: @www.goldastro.com) Ei huomioi, että valo on aaltoliikettä

Lisätiedot

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0 PEILIT KOVERA PEILI JA KUPERA PEILI: r = PEILIN KAAREVUUSSÄDE F = POLTTOPISTE eli focus f = POLTTOVÄLI eli polttopisteen F etäisyys pelin keskipisteestä; a = esineen etäisyys peilistä b = kuvan etäisyys

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Ilmakehän vaikutus havaintoihin Ilmakehän häiriöt (kuva: @www.en.wikipedia.org) Sää: pilvet, sumu, sade, turbulenssi,

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen

Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen EMC - Kaapelointi ja kytkeytyminen Kaapelointi merkittävä EMC-ominaisuuksien kannalta yleensä pituudeltaan suurin elektroniikan osa > toimii helposti antennina

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden

+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden 5 3 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valo on luonteeltaan kaksijakoinen eli dualistinen. Valoa

Lisätiedot

FY9 Fysiikan kokonaiskuva

FY9 Fysiikan kokonaiskuva FY9 Sivu 1 FY9 Fysiikan kokonaiskuva 6. tammikuuta 2014 14:34 Kurssin tavoitteet Kerrata lukion fysiikan oppimäärä Yhdistellä kurssien asioita toisiinsa muodostaen kokonaiskuvan Valmistaa ylioppilaskirjoituksiin

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Optiikkaa. () 10. syyskuuta 2008 1 / 66

Optiikkaa. () 10. syyskuuta 2008 1 / 66 Optiikkaa Kaukoputki on oikeastaan varsin yksinkertainen optinen laite. Siihen liitettävissä mittalaitteissa on myös optiikkaa, joskus varsin mutkikastakin. Vaikka havaitsijan ei tarvitsekaan tietää, miten

Lisätiedot

Toisessa fysiikan jaksossa käsitellään Aalto-oppia. Oppikirja s. 13 82.

Toisessa fysiikan jaksossa käsitellään Aalto-oppia. Oppikirja s. 13 82. Fysiikka 2, 7. lk RUOKOLAHDEN KIRKONKYLÄN KOULU Toisessa fysiikan jaksossa käsitellään Aalto-oppia. Oppikirja s. 13 82. Tämä dokumentin versio on päivätty 6. syyskuuta 2013. Uusin löytyy osoitteesta http://rikun.net/mat

Lisätiedot

Fysiikan perusteet 3 Optiikka

Fysiikan perusteet 3 Optiikka Fysiikan perusteet 3 Optiikka Petri Välisuo petri.valisuo@uva.fi 27. tammikuuta 2014 1 FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 2 / 37 Sisältö 1 Heijastuminen ja taittuminen 4 1.1 Joitain hyödyllisiä

Lisätiedot

10. Globaali valaistus

10. Globaali valaistus 10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen

Lisätiedot

Työ 31A VAIHTOVIRTAPIIRI. Pari 1. Jonas Alam Antti Tenhiälä

Työ 31A VAIHTOVIRTAPIIRI. Pari 1. Jonas Alam Antti Tenhiälä Työ 3A VAIHTOVIRTAPIIRI Pari Jonas Alam Antti Tenhiälä Selostuksen laati: Jonas Alam Mittaukset tehty: 0.3.000 Selostus jätetty: 7.3.000 . Johdanto Tasavirtapiirissä sähkövirta ja jännite käyttäytyvät

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

Valo-oppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Valo-oppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Valo-oia Haarto & Karhue Valo sähkömageettisia aaltoia Sähkömageettiste aaltoje teoria erustuu Maxwelli yhtälöihi S S E da 0 B da Q (Gaussi laki) 0 (Gaussi laki magetismissa) dφb E ds dt (Faraday laki)

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Huygensin periaate Jos kuvan 7-3a mukaisessa tilanteessa tehtävää muutetaan siten, että alueen V pinnalla S reunaehdot pysyvät samoina, ja lähteet V

Huygensin periaate Jos kuvan 7-3a mukaisessa tilanteessa tehtävää muutetaan siten, että alueen V pinnalla S reunaehdot pysyvät samoina, ja lähteet V Aukko-antennit Neljästä an ten n ien p ääry h m ästä o n en ää k äsittelem ättä y k si, au k k o an ten n it. A u k k o an ten n ien rak en teessa o n jo k in au k k o, jo n k a k au tta säh k ö m ag n

Lisätiedot

AALTOLIIKEOPPIA FYSIIKASSA

AALTOLIIKEOPPIA FYSIIKASSA 1 AALTOLIIKEOPPIA FYSIIKASSA Miten aallot käyttäytyvät väliaineissa & esteissä? Mitä ovat Maxwellin yhtälöt? HUYGENSIN PERIAATE 2 Aaltoa voidaan pitää jokaisesta aallon jo läpäisemästä väliaineen pisteestä

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Harjoitustehtävien vastaukset

Harjoitustehtävien vastaukset Harjoitustehtävien vastaukset Esimerkiksi kaiutinelementti, rumpukalvo (niin rummussa kuin korvassa), jännitetty kuminauha tai kielisoittimien (esimerkiksi viulu, kitara) kielet, kellon koneisto, heiluri,

Lisätiedot

Mikroskooppisten kohteiden

Mikroskooppisten kohteiden Mikroskooppisten kohteiden lämpötilamittaukset itt t Maksim Shpak Planckin laki I BB ( λ T ) = 2hc λ, 5 2 1 hc λ e λkt 11 I ( λ, T ) = ε ( λ, T ) I ( λ T ) m BB, 0 < ε

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

1. Kokeellisen leirin tehtävä 1

1. Kokeellisen leirin tehtävä 1 Tämä on ensimmäinen valmennuskirje jonka tehtävät tulee palauttaa postitse minulle viimeistään ma 21.2.2011 mennessä. Ensimmäiset kolme tehtävää liittyvät maaliskuun kokeellisen leirin työskentelyyn joten

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 8 Tavoitteet Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Seisovat sähkömagneettiset aallot

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot