35 VALON INTERFERENSSI (Interference)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "35 VALON INTERFERENSSI (Interference)"

Transkriptio

1 13 35 VALON INTERFERENSSI (Interference) Edellisissä kappaleissa tutkimme valon heijastumista ja taittumista peileissä ja linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla. Approksimaatiossa aallonpituutta ei oteta huomioon ja valon eteneminen ymmärretään sädemallin avulla. Olemme aikaisemmin kuitenkin todenneet, että valo on aaltoliikettä. Tässä ja seuraavassa kappaleessa tutkimme millaisia ilmiöitä (interferenssi, diffraktio) valon aaltoluonteesta seuraa. Aaltoluonteesta johtuvat optiset ilmiöt kuuluvat ns. fysikaalisen optiikan (physical optics) aihepiiriin Interferenssi ja koherentit lähteet (Interference and Coherent Sources) Moniväriset heijastukset esimerkiksi öljyisestä veden pinnasta, saippuakuplasta, cd-levystä, perhosen siivistä ja värikkäiden lintujen sulista ovat seurausta valon interferenssistä. 14 piirretty aaltorintamat, jotka edustavat aaltojen vakiovaiheen pintoja. Aaltorintamat leviävät lähteestä ulospäin nopeudella λ f. Tavallisten valolähteiden valo ei ole monokromaattista (yksitaajuista). Melkein monokromaattista valoa on kuitenkin helppo tuottaa. On olemassa esimerkiksi suotimia (filttereitä) jotka läpäisevät valoa vain hyvin kapealla aallopituuskaistalla. Kaasupurkauslamppu (esimerkiksi elohopealamppu) emittoi valoa vain tietyillä, kyseiselle kaasulle karakteristisilla aallonpituuksilla. Esimerkiksi elohopealampun kirkkaanvihreän valon aallonpituus on 546,1 nm ja kaistanleveys on luokkaa ± nm. Tärkein monokromaattisen valon lähde on laser. Esimerkiksi HeNe-laser emittoi valoa aallonpituudella 63.8 nm ja kaista saadaan niinkin kapeaksi kuin ± nm. Konstruktiivinen ja destruktiivinen interferenssi Seuraavaksi tutkimme mitä tapahtuu, kun kahden identtisen monokromaattisen lähteen S 1 ja S aallot, jotka leviävät kaikkiin suuntiin, yhdistetään. Tilanne on esitetty kuvassa alla. Lähteiden tuottamilla aalloilla on sama amplitudi ja sama aallonpituus λ. Lisäksi lähteet ovat pysyvästi samassa vaiheessa. Interferenssi syntyy aina, kun kaksi (tai useampia) aaltoa esiintyy samanaikaisesti samassa tilassa. Aaltojen yhteisvaikutuksen määrää superpositioperiaate. Periaatteen mukaan resultanttipoikkeama saadaan osapoikkeamien summana. Valon tapauksessa poikkeamalla tarkoitetaan joko sähkö- tai magneettikentän sopivasti valittua komponenttia. Optiikassa monokromaattista valoaaltoa (yksivärinen valo, monochromatic light) edustaa siniaalto. Viereisessä kuvassa lähde S 1 lähettää monokromaattista aaltoa, jonka aallonpituus on λ ja taajuus f. Kuvaan on Määritelmä: Kaksi monokromaattista lähdettä, joilla on sama taajuus ja joiden vaihe-ero on ajan suhteen vakio, ovat keskenään koherentteja (coherent) lähteitä.

2 15 On huomattava, että lähteiden ei tarvitse olla samassa vaiheessa ollakseen koherentteja. Riittää, kun vaihe-ero säilyy vakiona. Koherenttien lähteiden emittoivat aallot ovat koherentteja aaltoja. Jos lähteiden emittoimat aallot ovat poikittaisia aaltoja (esimerkiksi valo), niin oletamme lisäksi, että lähteistä emittoituvilla aalloilla on sama polarisaatio (Miksi? Kotitehtävä). Tarkastellaan ensin kuvan (a) pistettä a, joka sijaitsee x-akselilla. Symmetrian perusteella on selvää, että etäisyydet lähteistä S 1 ja S pisteeseen a ovat yhtä pitkät. Siten lähteistä emittoituvat samavaiheiset aallot saapuvat pisteeseen a samassa vaiheessa ja summautuvat muodostaen kaksinkertaisen kokonaisamplitudin pisteen a kohdalle. Näin käy kaikissa x-akselin pisteissä. Etäisyys lähteestä S pisteeseen b (kuva b) on tarkalleen kaksi aallonpituutta pitempi kuin lähteen S 1 etäisyys b:stä. Molemmat aallot saapuvat pisteeseen b samassa vaiheessa ja myös tässä amplitudi pisteessä b on S 1 :n ja S :en (pisteeseen b) aiheuttamien amplitudin summa. Yleistys: Kun aallot kahdesta (tai useammasta) lähteestä saapuvat tarkastelupisteeseen samassa vaiheessa, niin resultanttiamplitudi on osa-amplitudien summa. Osa-aallot siis vahvistavat toisiaan ja kysymyksessä on ns. konstruktiivinen interferenssi. Olkoot r 1 ja r lähteiden S 1 ja S etäisyydet tarkastelupisteeseen P. Jotta pisteessä P havaittaisiin konstruktiivinen interferenssi, niin on oltava r r1 = mλ, m = 0, ± 1, ±, ± 3, (35.1) Edellisessä kuvassa pisteet a ja b toteuttavat ehdon (35.1) arvoilla m = 0 ja m =+. 16 Kuvan pisteessä c tapahtuu jotakin muuta. Säteiden matkaero on nyt r r 1 =,5λ. Kahden lähteen aallot ovat puoli aaltoa eri vaiheessa, ts. ne ovat vastakkaisissa vaiheissa. Toisen aallon harja saapuu pisteeseen c samanaikaisesti kuin toisen aallon pohja. Resultanttiamplitudi on osa-amplitudien erotus ja jos osa-amplitudit ovat saman suuruisia, ne kumoavat toisensa täysin. Tätä kumoutumista (täydellistä tai osittaista) sanotaan destruktiiviseksi interferenssiksi. Ehto on 1 r r1 = m+ λ, m = 0, ± 1, ±, ± 3, (35.). Matkaero edellisessä kuvassa (c) toteuttaa ehdon (35.) kokonaislukuarvolla m = 3. Viereisessä kuvassa pisteet, jotka toteuttavat konstruktiivisen interferenssin ehdot, on yhdistetty käyriksi. Kullakin käyrällä erotus r r1 on aallonpituuden kokonainen monikerta. Esimerkki: Radioaseman taajuus on 1500 khz ja sen lähetin koostuu kahdesta, toisistaan 400 m:n päässä olevasta identtisestä antennista, jotka lähettävät aaltoja samassa vaiheessa. Mihin suuntiin lähettimen intensiteetti keskittyy kaukana asemasta? Edellisissä tarkasteluissa on erittäin tärkeää, että lähteet S 1 ja S ovat tarkasti koherentteja (samassa vaiheessa). Esimerkiksi radioaalloilla tämä ehto on helposti toteutettavissa (esimerkki). Optisen alueen valolla ehto on kuitenkin hyvin vaikeasti toteutettavissa (lähes mahdoton), jos lähteet S 1 ja S ovat täysin toisistaan riippumattomia. Tämä johtuu siitä, että tavallisen valolähteen valon

3 17 vaihe vaihtelee satunnaisesti ja hyvin nopeasti (aika-skaala on luokkaa 10-8 s). Käytännössä ongelma ratkaistaan ottamalla valo alunperin vain yhdestä lähteestä ja jakamalla se (jollakin keinolla) kahdeksi ns. sekundääriseksi lähteeksi. Sekundääristenkin lähteiden vaihe vaihtelee nopeasti, mutta nyt ne vaihtelevat samalla tavalla, koska valo alunperin on lähtöisin yhdestä lähteestä. Sekundääristen lähteiden vaihe-ero säilyy vakiona ja lähteet ovat siten koherentteja ja sopivia käytettäväksi interferenssikokeessa. 35. Kahden valolähteen interferenssi (Two-Source Interference of Light) Ensimmäisen interferenssikokeen, joka kvantitatiivisesti osoitti valon aaltoluonteen, teki englantilainen tiedemies Thomas Young 1800-luvun alussa. Tämä ns. Youngin kahden raon interferenssikoe on siis historiallisesti hyvin tärkeä. Lisäksi koe on yksinkertaisuudessaan malliesimerkki interferenssikokeesta. Youngin koejärjestely on esitetty viereisessä kuvassa. Young itse käytti kokeessa neulalla tehtyjä pieniä reikiä, mutta yhtä hyvin voidaan käyttää kapeita rakoja. Vasemmalta rakoon S 0 saapuu monokromaattista valoa. Rako toimii sylinterimäisten aaltojen lähteenä ja valaisee raot 18 S 1 ja S yhtä voimakkaasti. Siis S 1 ja S ovat yhtä kaukana raosta S 0. Ne ovat myös keskenään yhtä leveitä. Raot S 1 ja S ovat kokeen varsinaiset (sekundääriset) lähteet. Molemmat saavat valonsa yhdestä ja samasta lähteestä (raosta S 0 ) ja näin ne ovat keskenään koherentteja. Jotta interferenssiä voitaisiin tutkia, tarvitaan varjostin (screen), johon lähteistä S 1 ja S tulevat aallot osuvat. Varjostimella konstruktiivisen interferenssin kohdat näkyvät kirkkaina ja destruktiivisen interferenssin kohdat vähemmän kirkkaina (tummina) alueina. Kuvassa (b) varjostimen etäisyys lähdetasosta on R ja lähteiden etäisyys toisistaan d. Oletetaan nyt, että R d, jolloin varjostimen pisteeseen P tulevat säteet lähteistä S 1 ja S ovat lähes paralleeleja, kuva (c). Tällöin säteiden matkaeroksi lasketaan r r1 = dsinθ, (35.3) missä θ on säteiden ja systeemin symmetria-akselin (ks. kuva) muodostama kulma. Tuloksen (35.1) mukaan konstruktiivinen interferenssi saadaan, kun dsinθ = mλ, m = 0, ± 1, ±, ± 3, (35.4) Varjostimella nähdään siis kirkkaat alueet (max) edellisen kaavan mukaisissa suunnissa θ. Tuloksen (35.) mukaan destruktiivinen interferenssi tapahtuu, kun 1 dsinθ = m+ λ, m = 0, ± 1, ±, ± 3, (35.5) Varjostimen tummat alueet (min) nähdään siis tämän kaavan suunnissa θ.

4 19 Kuvio varjostimella muodostuu vuorottelevista kirkkaista ja tummista interferenssijuovista (interference fringes). Kuvion keskellä on kirkas juova vastaten arvoa m = 0. Tässä kohdassa etäisyydet lähteisiin ovat yhtä pitkät. Lasketaan seuraavaksi kirkkaiden juovien etäisyydet (y-arvot sivun 17 kuvassa b) kuvion keskeltä. Olkoon y m m:nnen kirkkaan juovan etäisyys. Kuvasta kirjoitamme ym = Rtanθm. Kulmat ovat pieniä, joten tan sin, ja saamme ym = Rsinθm. Kun tämä yhdistetään (35.4):n kanssa tulee (pienille kulmille) mλ y = R. (35.6) d m Tätä tulosta voidaan käyttää valon aallonpituuden määrittämiseen, kun mitataan R, d, m ja y m. Youngin koe oli aikoinaan ensimmäinen suora menetelmä mitata valon aallonpituus. Esimerkki: Kahden raon interferenssikokeessa rakojen välimatka on 0,0 mm ja varjostin on 1,0 m:n etäisyydellä. Kolmas kirkas juova (keskimmäistä ei lasketa) nähdään etäisyydellä 7,5 mm keskijuovasta. Laske valon aallonpituus. (Huom! Sivun 16 esimerkki on myös esimerkki kahden lähteen interferenssikuvion muodostumisesta) Interferenssikuvion intensiteetti Edellinen tarkastelu antoi keinot laskea kirkkaiden ja tummien juovien paikat interferenssikuviossa. Nyt selvitämme miten intensiteetti voidaan laskea missä tahansa kuvion pisteessä. Tämä tehdään ensin yhdistämällä kahden lähteen siniaallot pisteessä P, laskemalla summa-aallon amplitudi ja kirjoittamalla sitten intensiteetti tämän amplitudin neliönä. Oletetaan, että lähteistä S 1 ja S tulevilla siniaalloilla (pisteessä P) on sama amplitudi E ja sama polarisaatio, ts. aaltojen E-vektorit osoittavat samaan (tai vastakkaiseen) suuntaan. Lähteet ovat siis identtiset ja jätetään huomiotta hyvin pieni amplitudiero, joka aalloille syntyy pienen matkaeron takia niiden edetessä lähteistä pisteeseen P. Pisteeseen P saapuvilla aalloilla on vaihe-ero φ, joka syntyy niiden matkaerosta r r1. Siihen miten vaihe-ero φ riippuu matkaerosta palaamme myöhemmin. Aaltojen sähkökentät avaruuteen kiinnitetyssä pisteessä P kirjoitetaan muodossa E1( t) = Ecos( ω t+ φ) E () t = E cos( ω t ). Kokonaisaalloksi Etot () t pisteessä P tulee Etot () t = E1() t + E() t = E[cos( ω t + φ) + cos( ω t)]. Sovelletaan trigonometristä identiteettiä α + β α β cosα + cos β = cos cos, joka johtaa tulokseen φ φ φ Etot ( t) = Ecos cos ωt+ = EP cos ωt+,

5 131 missä summa-aallon amplitudia on merkitty EP : llä. Summa-aallon amplitudiksi pisteessä P kirjoitamme siis φ EP = Ecos. (35.7) Jos esimerkiksi kaksi aaltoa ovat samassa vaiheessa, niin vaihe-ero φ = 0, josta seuraa cos( φ / ) = 1 ja EP = E. Aallot siis vahvistavat toisiaan. Intensiteetti pisteessä P voidaan nyt laskea yhtälöstä (3.9) sivulta 6, missä E max korvataan EP : llä. Saadaan 1 I = Sav = ε0ce P. (35.8) Oleellista tässä tuloksessa on se, että intensiteetti on verrannollinen sähkökentän (amplitudin) neliöön E P. Kun tulos (35.7) sijoitetaan tähän, saadaan φ I = ε 0cE cos. (35.9) Maksimi-intensiteetti I 0 saavutetaan kohdissa, joissa vaihe-ero φ on nolla, ts. I0 = ε 0cE. Tässä kannattaa huomata, että maksimi-intensiteetti on nelinkertainen (siis ei kaksinkertainen) verrattuna yhden lähteen intensiteettiin 1 ε 0cE. Kun käytetään edellä esitettyä maksimi-intensiteettiä, tulos (35.9) saa hyvin yksinkertaisen muodon I I cos φ = 0. (35.10) Jos tuloksen (35.10) mukaisesta intensiteetistä otetaan keskiarvo yli kaikkien mahdollisten vaihe-erojen, tulos on I 0 /, koska cos :n keskiarvo on 1/. Tämä on täsmälleen osa-aaltojen intensiteettien summa, kuten on odotettavissakin. Kokonaisenergiahan ei voi muuttua interferenssin seurauksena. Energia kylläkin jakautuu 13 uudelleen niin, että osassa varjostinta intensiteetti on nelinkertainen osaintensiteettien summaan verrattuna, mutta osassa taas se on nolla. Keskiarvo tasoittaa tilanteen. Tulosta (35.10) on helppo käyttää, kunhan vaihe-ero φ osataan laskea. Säteiden matkaeron r r 1 laskeminen on helppoa (ks. esimerkiksi kappale 35.), joten tarvitsemme "kaavan", jolla matkaero muutetaan vaihe-eroksi. Tiedetään, että yhden aallonpituuden matkaero vastaa yhden syklin vaihe-eroa, eli vaihe-eroa φ = π (rad) = 360. Kun matkaero on λ /, niin vaihe-ero on φ = π (rad) = 180. On siis selvää, että vaihe-eron φ suhde π : hin on sama kuin matkaeron suhde aallonpituuteen, ts. φ r r1 =. π λ Jos siis matkaero tunnetaan, vaihe-ero saadaan kaavasta π φ = ( r r 1 ) = k( r r 1 ), (35.11) λ missä k on aaltoluku. Jos materiaali lähteen ja pisteen P välissä ei ole tyhjiö (tai ilma), niin aallonpituus ja aaltoluku ovat λ0 λ = ja k = nk0, ( 35.1) n missä alaindeksi nolla viittaa tyhjiöarvoihin ja n on taitekerroin. Youngin kaksoisrakokokeessa piste P on kaukana suhteessa lähteiden etäisyyteen d ja matkaeroksi kirjoitettiin r r1 = dsinθ. Kun tämä sijoitetaan tulokseen (35.11), vaihe-eroksi saadaan

6 133 π d φ = kr ( r1) = kdsinθ = sinθ. (35.13) λ Edelleen sijoittamalla tämä intensiteettiin (35.10) tulee 1 π d I = I0cos kdsinθ = I0cos sinθ λ. (35.14) Maksimi-intensiteettien suunnat ovat siellä missä kosini saa arvot ± 1, eli π d sinθ = mπ, m = 0, ± 1, ±, ± 3, λ siis dsinθ = mλ. Maksimeille saatiin sama tulos kuin (35.4), niinkuin pitääkin. Etäisyydellä R olevalle varjostimelle ( R d) muodostuvalle intensiteettikuviolle, kun y R, voidaan kirjoittaa sin θ y/ R ja intensiteetti etäisyydellä y keskikohdasta saa muodon π = λr I I cos yd 0 Intensiteetin vaihtelu on esitetty seuraavassa kuvassa. (35.15) 134 Esimerkki: Viereisen kuvan koherentit radiolähettimet (vrt. esimerkki sivulla 16) siirretään 10 m:n päähän toisistaan. Lähteiden taajuus on nyt 60 MHz. Intensiteetti 700 m:n etäisyydellä vaaka-akselilla (x-akselilla, vastaa kulmaa θ = 0) on I 0 = 0,00 W/m. (a) Laske intensiteetti suunnassa θ = 4,0. (b) Missä suunnassa, lähellä θ 0, intensiteetti on I 0 /? (c) Missä suunnissa intensiteetti on nolla? 35.4 Interferenssi ohuessa kalvossa (Interference in Thin Films) Värit saippuakuplassa tai öljyisen veden pinnalla ovat seurausta interferenssistä ohuessa kalvossa. Valoaallot heijastuvat kalvon vastakkaisista pinnoista ja yhdistyessään interferoivat konstruktiivisesti tai destruktiivisesti riippuen kalvon paksuudesta ja valon aallonpituudesta. Tilannetta tarkastellaan viereisessä kuvassa. Kuvassa osa kalvoon tulevasta valosta heijastuu yläpinnasta ja kulkeutuu verkkokalvolle pisteeseen P reittiä abcp. Osa puolestaan taittuu yläpinnassa, mutta osittain heijastuu takaisin alapinnasta. Tämän säteen reitti pisteeseen P on abdefp. Pisteessä P havaittava interferenssin tyyppi riippuu säteiden matkaerosta (vaihe-erosta).

7 135 Tässä kannattaa huomata, että myös nyt valo tulee vain yhdestä lähteestä ja se jakautuu kahteen osaan kalvon yläpinnassa. Myöhemmin yhdistyvät säteet ovat siis keskenään koherentteja ja voivat interferoida. Viereisessä kuvassa on esitetty lähes suoraan ylhäältä tulevan säteen kulku ohuessa kiilamaisessa ilmakalvossa, joka muodostuu kahden lasilevyn väliin. Valo tietysti heijastuu myös päällimmäisen levyn yläpinnasta ja alimmaisen levyn alapinnasta, mutta tarkastelun yksinkertaistamiseksi emme ota näitä säteitä huomioon. Silmään tulevien säteiden matkaero on (hyvin lähelle) suoraan t, missä t on ilmakalvon paksuus tarkastelukohdassa. Niissä kohdissa, joissa t on aallonpituuden monikerta (mλ ), odotamme näkevämme konstruktiivisen interferenssin eli kirkkaan juovan. Kohdissa, joissa t = ( m+ 1/ ) λ odotamme destruktiivista interferenssiä eli tummaa juovaa. Ylhäältä katsottaessa juovia todellakin näkyy, mutta odotetun tumman juovan kohdalla onkin kirkas juova ja päinvastoin. Mistä on kysymys? Miksi edellisten kappaleiden teoriat näyttävät toimivan väärin päin? Vihjeen antaa lasilevyjen kosketuskohta ( x = 0). Siinä t = 0 ja pitäisi näkyä kirkas juova. Juova on kuitenkin tumma. Näin voi olla vain, jos jompi kumpi heijastuvista säteistä kokee yllättävän π : n (siis puolen aallonpituuden) vaihesiirron jossakin kohdassa edetessään. Tällaisen vaihesiirron ennustaa myös Maxwellin yhtälöt. Asian teoreettinen johto ei kuulu tämän kurssin alueeseen, mutta tässä tulos: 136 Olkoon materiaalissa n a etenevän valoaallon sähkökentän amplitudi E i. Aalto osuu kahden aineen rajapintaan ( n a n b ) kohtisuorasti, jolloin osa siitä heijastuu takaisin materiaaliin n a. Heijastuneen valon amplitudi E r on na nb Er = Ei. (35.16) na + nb Tätä tulosta tulkitaan seuraavan kuvan avulla: Kuva (a): na > nb, ts. valo heijastuu optisesti harvemmasta aineesta. Tulos (35.16) kertoo, että E r on saman merkkinen kuin E i, ts. aallon vaihe ei muutu heijastuksessa. Kuva (b): n a = n b ja tuloksen (35.16) mukaan E r = 0. Aalto ei siis näe rajapintaa. Kuva (c): n a < n b, ts. valo heijastuu optisesti tiheämmästä aineesta. Nyt tulos (35.16) kertoo, että heijastuneen aallon amplitudi on eri merkkinen tulevaan nähden. On siis tapahtunut puolen aallon vaihesiirto. Siis: Kun valo heijastuu optisesti tiheämmästä väliaineesta, niin se kokee π : n vaihesiirron.

8 137 Matemaattisesti edellinen tulos, kalvojen tapauksessa, voidaan esittää seuraavasti: Oletetaan, että valo, jonka aallonpituus (kalvossa) on λ, tulee kohtisuorasti kalvon pintaan. Kalvon paksuus olkoon t. Jos kumpikaan heijastuneista säteistä ei koe π : n vaihesiirtoa (tai molemmat kokevat), niin konstruktiivinen interferenssi heijastuneessa valossa havaitaan, kun t = mλ, m = 0,1,, (35.17) Jos vain toinen säteistä kokee vaihesiirron, niin (35.17) päteekin destruktiiviselle interferenssille. Samalla tavoin, jos kumpikaan heijastuneista säteistä ei koe π : n vaihesiirtoa (tai molemmat kokevat), niin destruktiivinen interferenssi heijastuneessa valossa havaitaan, kun t = ( m+ 1/) λ, m = 0,1,, (35.18) Jos vain toinen säteistä kokee vaihesiirron, niin (35.18) päteekin konstruktiiviselle interferenssille. Esimerkki: Kuinka suuri osa kohtisuorasti lasilevyn ( n = 1,5) pintaan saapuvasta valosta heijastuu? (Vihje: Intensiteetti on verrannollinen sähkökentän amplitudin neliöön) Esimerkki: Kaksi 10 cm:n pituista mikroskoopin preparaattilevyä on asetettu päällekkäin siten, että levyt toisessa päässä koskettavat toisiaan ja toisessa päässä niiden välissä on 0,00 mm:n paksuinen paperin pala. Levyjä valaistaan suoraan ylhäältäpäin monokromaattisella valolla, jonka aallonpituus ilmassa on 500 nm. Mikä on heijastuneessa valossa havaittavien interferenssijuovien välimatka? Onko levyjen kontaktikohdassa oleva juova tumma vai kirkas? Miten tulokset muuttuvat, kun lasilevyjen välinen tila täytetään vedellä? Oletetaan, että lasin taitekerroin on 1,5 ja veden 1,33. Newtonin renkaat 138 Viereisessä kuvassa linssi on asetettu lasilevylle kupera puoli alaspäin. Linssin ja lasilevyn väliin jää ohut ilmakalvo, jonka paksuus t kasvaa siirryttäessä linssin keskeltä ulommaksi. Kun systeemiä valaistaan ylhäältä monokromaattisella valolla havaitaan heijastuneessa valossa rengaskuvio. Tätä kuviota tutki ensimmäisenä Newton ja renkaita sanotaan Newtonin renkaiksi (Newton s rings). Kannattaa huomata, että linssin ja lasilevyn kosketuskohdassa nähdään tumma täplä, joka on seurausta toisen säteen vaihesiirrosta. Newtonin renkaita voidaan käyttää optisten pintojen laaduntarkkailuun. Viereisessä kuvassa kaukoputken objektiivilinssi on testattavana. Alla oleva lasilevy on erityisen huolellisesti hiottu täsmälleen tasomaiseksi. Linssin pinnan muodon säännöllisyys nähdään Newtonin renkaiden säännöllisyytenä. Renkaat muodostavat korkeuskäyrästön, missä siirtyminen käyrästä toiseen vastaa paksuuden t muuttumista puolella aallonpituudella (selvitä miksi). Newtonin renkailla voidaan testata myös peilipintojen muotoja. Hubblen pääpeilin tarkkuusvaatimuksena oli pinnan oikea muoto 1/50 aallonpituuden tarkkuudella. Valitettavasti itse muoto oli määritelty väärin. Kysymyksessä oli siis yksi optisen historian tarkimmista virheistä.

9 139 Heijastamattomat ja heijastavat pinnoitteet Linssien heijastamattomat pinnoitteet perustuvat interferenssiin ohuessa kalvossa. Periaate on esitetty viereisessä kuvassa. Linssin (Glass) pintaan kiinnitetään ohut kerros kovaa läpinäkyvää materiaalia, jonka taitekerroin on pienempi kuin linssin taitekerroin. Vaihesiirto tapahtuu molemmissa heijastuksissa, joten destruktiivinen interferenssi heijastuneessa valossa syntyy, kun kerroksen paksuudeksi valitaan t = λ / Michelsonin interferometri (The Michelson Interferometer) Michelsonin interferometri, jonka kehitti amerikkalainen Albert Michelson vuonna 1881, on vaikuttanut hyvin paljon modernin fysiikan kehitykseen. Michelson (ja Morley) osoittivat sen avulla, että eetteriä ei voi olla olemassa ja vaikuttivat siten suhteellisuusteorian syntyyn. Instrumenttia käytetään nykyisin esimerkiksi tarkkoihin aallonpituusmäärityksiin ja lyhyiden välimatkojen mittaamiseen. Esimerkkinä mainittakoon hermoaksonin paksuuden seuranta hermoimpulssin edetessä siinä. Pinnoite on tietenkin täysin heijastamaton vain yhdelle aallonpituudelle ( λ = 4t ). Tavallisesti täksi aallonpituudeksi valitaan 550 nm keskeltä näkyvää aluetta. Näkyvän alueen reuna-aallonpituudet (violetti ja punainen) heijastuvat jonkin verran ja heijastamattomaksi suunniteltu pinta näyttää usein hieman purppuramaiselta. Paljas lasipinta heijastaa valosta noin 4% (esimerkki edellä). λ /4- pinnoitteen avulla heijastuvuus voidaan vähentää alle yhteen prosenttiin. Jos λ /4-pinnoite valmistetaan materiaalista, jonka taitekerroin on suurempi kuin substraatin (lasin), niin pinnasta tulee hyvin heijastava. Käyttämällä useita vastaavia kerroksia heijastuskerroin saadaan hyvin lähelle sataa prosenttia. Puhutaan interferenssi- tai monikerrospeileistä. Niitä käytetään esimerkiksi lasereissa, joissa hyvä heijastuskerroin tarvitaan vain yhdelle aallonpituudelle. Esimerkki: Paljon käytetty pinnoitemateriaali on magnesium fluoridi (MgF ), jonka taitekerroin on 1,38. Laske lasilevylle ( n = 1,5) muodostetun heijastamattoman kerroksen paksuus aallonpituudelle (ilmassa) 550 nm. Michelsonin interferometrin peruskomponentit on esitetty viereisessä kuvassa. Valon säde monokromaattisesta valolähteestä A ohjataan ensin säteenjakajaan C (beamsplitter). Säteenjakaja on ohut lasilevy, jonka toinen pinta on päällystetty ohuella hopeakerroksella. Osa valosta (1) läpäisee säteenjakajan ja kompensaatiolevyn D ja heijastuu takaisin peilistä M 1. Palatessaan se läpäisee D:n uudelleen ja heijastuu sitten säteenjakajan hopeapinnasta kohti ha-

10 141 vaitsijaa. Toinen osa () heijastuu säteenjakajan pisteestä P kohti peiliä M. Peilistä palatessaan se läpäisee säteenjakajan ja etenee kohti havaitsijaa yhdessä säteen (1) kanssa. Kompensaatiolevyn ansiosta molemmat säteet kulkevat yhtä pitkät matkat lasimateriaalissa. Kompensaatiolevy on identtinen säteenjakajan kanssa, vain hopeakerros puuttuu. Peili M 1 on kiinteä mutta peiliä M voidaan siirtää lähemmäksi tai kauemmaksi säteenjakajasta hyvin tarkasti esimerkiksi mikrometriruuvin avulla. Jos välimatkat L 1 ja L ovat täsmälleen yhtä pitkät ja peilit M 1 ja M ovat tarkalleen kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin säteenjakajan muodostama kuva peilistä M 1 (havaitsijan mielestä) on täsmälleen peilin M kohdalla. Jos nyt L 1 ja L eivät olekaan yhtä pitkiä, niin M 1 :n kuva ja peili M ovat etäisyydellä L L 1 toisistaan. Interferenssin kannalta tilanne vastaa ohutta ilmakalvoa, jonka paksuus on t = L L1. Interferenssimaksimit saadaan, kun ehto L L1 = mλ toteutuu. Jos toinen peili on hyvin vähän vinossa, tilanne vastaa kiilamaista ilmarakoa (sivu 135) ja havaitsija näkee maksimit interferenssijuovina. 14 Esimerkki: Michelsonin interferometrissä käytetään aallonpituutta 605,78 nm. Interferenssikuviota seurataan hiusristikon avulla. Kuinka monta interferenssijuovaa ohittaa ristikon, kun toista peiliä siirretään 1 cm. Michelsonin interferometriä voidaan käyttää myös ohuiden kalvojen paksuuden määrittämiseen esimerkiksi seuraavan esimerkin mukaisesti. Esimerkki: Michelsonin interferometrin molempia peilejä pidetään paikoillaan, mutta toisen säteen tielle asetetaan ohut ylimääräinen kalvo, jonka taitekerroin on 1,51. Kalvoa asetettaessa havaitaan, että hiusristikon ohi vaeltaa 10,5 interferenssijuovaa. Laske kalvon paksuus. Laitetta käytetään aallonpituudella 487 nm. Lisäkommentti: Kuvassa alla toisen säteen tielle on asetettu kynttilän liekki. Lämpö muuttaa ilman taitekerrointa jolloin interferenssijuovat vääristyvät muuttuvan optisen matkan seurauksena. Siis: Jos peiliä M siirretään eteen tai taaksepäin matka λ /, niin säteiden (1) ja () välinen matkaero muuttuu määrällä λ ja havaitsija näkee interferenssijuovien siirtyvän juovien välimatkan verran jompaan kumpaan suuntaan. Yleisemmin: Jos juovakuviota katsotaan hiusristikolla varustetun teleskoopin läpi ja havaitaan m : n juovan kulkevan ristikon ohi, niin toinen peili on liikkunut matkan y, jolle pätee y= m λ. (35.19)

Interferenssi. Luku 35. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun

Interferenssi. Luku 35. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun Luku 35 Interferenssi PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Interferenssi-ilmiö tapahtuu, kun kaksi aaltoa yhdistyy

Lisätiedot

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne 4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

Diffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun

Diffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun Luku 36 Diffraktio PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Ääni kuuluu helposti nurkan taakse Myös valo voi taipua

Lisätiedot

Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA

VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA 1 VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA MOTIVOINTI Tutustutaan laservalon käyttöön aaltooptiikan mittauksissa. Tutkitaan laservalon käyttäytymistä yhden ja kahden kapean raon takana. Määritetään

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5 5. Optiikka Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, 16.2. 2012 Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman 1 5. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Peilit ja linssit 3. Perussuureita 4. Kuvausvirheet 5. Aalto-optiikka

Lisätiedot

2.1 Ääni aaltoliikkeenä

2.1 Ääni aaltoliikkeenä 2. Ääni Äänen tutkimusta kutsutaan akustiikaksi. Akustiikassa tutkitaan äänen tuottamista, äänen ominaisuuksia, soittimia, musiikkia, puhetta, äänen etenemistä ja kuulemisen fysiologiaa. Ääni kuljettaa

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet. Kari Sormunen Syksy 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet. Kari Sormunen Syksy 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet Kari Sormunen Syksy 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen. Todellisuudessa

Lisätiedot

OPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti:

OPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: OPTIIKAN TYÖ Vastaa ensin seuraaviin ennakkotietoja mittaaviin kysymyksiin. 1. Mitä tarkoittavat

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1 TEKNIIKKA FYSIIKAN LABORATORIO V

TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1 TEKNIIKKA FYSIIKAN LABORATORIO V TURUN AMMATTIKORKAKOUU TYÖOHJ 1 3A. asertyö 1. Työn tarkoitus Työssä perehdytään interferenssi-ilmiöön tutkimalla sitä erilaisissa tilanteissa laservalon avulla. 2. Teoriaa aser on lyhennys sanoista ight

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 12 Tavoitteet Diffraktio Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio Diffraktio yhdestä raosta Yhden raon kuvion intensiteetti Monen

Lisätiedot

FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA

FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 JOHDANTO Työssä tutustutaan hila- ja prismaspektrometreihin, joiden avulla tutkitaan valon taipumista hilassa ja taittumista prismassa. Samalla tutustutaan eräiden

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 21. marraskuuta 2016 Tasoaaltojen heijastus ja läpäisy (Ulaby 8.1 8.5) Kohtisuora heijastus ja läpäisy Tehon heijastus ja läpäisy Snellin laki

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA

SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA FYSA234/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 Johdanto Kvanttimekaniikan mukaan atomi voi olla vain tietyissä, määrätyissä energiatiloissa. Perustilassa, jossa atomi normaalisti on, energia on pienimmillään.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta. 3 Ääni ja kuulo 1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta.

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Kuva 1. Michelsonin interferometrin periaate.

Kuva 1. Michelsonin interferometrin periaate. INTERFEROMETRI 1 Johdanto 1.1 Michelsonin interferometri Michelsonin interferometrin periaate on esitetty kuvassa 1. Laitteisto koostuu laserista, puoliläpäisevästä peilistä, kahdesta tasopeilistä ja varjostimesta.

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!!

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! 1. Vastaa, ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin. Perustelua ei tarvitse kirjoittaa. a) Atomi ei voi lähettää

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) Täm ä olettaa, että D = 4π λ 2 S a E a ds 2. (2 40 ) S a E a 2 ds Pääkeila aukon tasoa koh tisuoraan suuntaan

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Aaltoliike ajan suhteen:

Aaltoliike ajan suhteen: Aaltoliike Aaltoliike on etenevää värähtelyä Värähdysliikkeen jaksonaika T on yhteen värähdykseen kuluva aika Värähtelyn taajuus on sekunnissa tapahtuvien värähdysten lukumäärä Taajuuden ƒ yksikkö Hz (hertsi,

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Työ 31A VAIHTOVIRTAPIIRI. Pari 1. Jonas Alam Antti Tenhiälä

Työ 31A VAIHTOVIRTAPIIRI. Pari 1. Jonas Alam Antti Tenhiälä Työ 3A VAIHTOVIRTAPIIRI Pari Jonas Alam Antti Tenhiälä Selostuksen laati: Jonas Alam Mittaukset tehty: 0.3.000 Selostus jätetty: 7.3.000 . Johdanto Tasavirtapiirissä sähkövirta ja jännite käyttäytyvät

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

Kuva 1. Kaaviokuva mittausjärjestelystä. Laserista L tuleva valonsäde kulkee rakojärjestelmän R läpi ja muodostaa diffraktiokuvion varjostimelle V.

Kuva 1. Kaaviokuva mittausjärjestelystä. Laserista L tuleva valonsäde kulkee rakojärjestelmän R läpi ja muodostaa diffraktiokuvion varjostimelle V. VALON DIFFRAKTIO 1 Johdanto Tässä laboratoriotyössä havainnollistetaan diffraktiota ja interferenssiä valaisemalla kapeita rakoja laservalolla ja tarkastelemalla rakojen takana olevalle varjostimelle syntyviä

Lisätiedot

Esimerkki - Näkymätön kuu

Esimerkki - Näkymätön kuu Inversio-ongelmat Inversio = käänteinen, päinvastainen Inversio-ongelmilla tarkoitetaan (suoran) ongelman ratkaisua takaperin. Arkipäiväisiä inversio-ongelmia ovat mm. lääketieteellinen röntgentomografia

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Ilmakehän vaikutus havaintoihin Ilmakehän häiriöt (kuva: @www.en.wikipedia.org) Sää: pilvet, sumu, sade, turbulenssi,

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

12 DIFFRAKTIO 12.1 FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO KAPEASSA RAOSSA

12 DIFFRAKTIO 12.1 FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO KAPEASSA RAOSSA 73 DFFAKTO Optisella alueella valon aallonpituus on hyvin lyhyt ( 5 cm). Valoa voidaan hyvin kuvata geometrisen optiikan approksimaatiolla ( ), jossa siis valoenergia etenee säteinä tai aaltorintamina.

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

Kenguru 2015 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) RATKAISUT

Kenguru 2015 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) RATKAISUT sivu 1 / 10 3 pistettä 1. Kuinka monta pilkkua kuvan leppäkertuilla on yhteensä? (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20 (E) 21 Ratkaisu: Pilkkuja on 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 2 + 3 + 3 = 19. 2. Miltä kuvan pyöreä

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 11 Tavoitteet Geometrinen optiikka Kamerat Silmä Suurennuslasi Optisia kojeita (yleissivistystä) Interferenssi Interferenssi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium).

2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium). 2 Mekaaninen aalto Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium). 1 Mekaanisten aaltojen vastakohtana ovat sähkömagneettiset allot, jotka kulkevat

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Fysiikka 1. Kondensaattorit ja kapasitanssi. Antti Haarto

Fysiikka 1. Kondensaattorit ja kapasitanssi. Antti Haarto Fysiikka Konensaattorit ja kapasitanssi ntti Haarto 4..3 Yleistä Konensaattori toimii virtapiirissä sähköisen potentiaalin varastona Kapasitanssi on konensaattorin varauksen Q ja jännitteen suhe Yksikkö

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

10. Globaali valaistus

10. Globaali valaistus 10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

RADIOTIETOLIIKENNEKANAVAT

RADIOTIETOLIIKENNEKANAVAT 1 RADIOTIETOLIIKENNEKANAVAT Millaisia stokastisia ilmiöitä kanavassa tapahtuu? ONGELMAT: MONITIE-ETENEMINEN & KOHINA 2 Monitie-eteneminen aiheuttaa destruktiivista interferenssia eri reittejä edenneiden

Lisätiedot

Theory Finnish (Finland)

Theory Finnish (Finland) Q1-1 Kaksi tehtävää mekaniikasta (10 pistettä) Lue yleisohjeet ennen tehtävien aloittamista. Osa A: Piilotettu kiekko (3,5 pistettä) Tässä tehtävässä käsitellään umpinaista puista sylinteriä, jonka säde

Lisätiedot