a ' ExW:n halkaisija/2 5/ 2 3

Transkriptio

1 Esimerkki: Sama systeemi kuin edellä. a) Määritä kenttäkaihdin sekä tulo- ja lähtöikkunat. b) Piirrä äärimmäisten pääsäteiden kartio systeemin läpi. c) Laske systeemin näkökulma. Ratkaisu: a) Kiertämällä pääsädettä AS:n keskipisteen ympäri havaitaan (ks. edellisen tehtävän kuva), että linssi rajoittaa sitä ensin, siis: - kenttäkaihdin (FS) on linssi - tuloikkuna (E n W) on linssi (ei kuvaavaa optiikkaa edellä) - lähtöikkuna (E x W) on linssi (ei kuvaavaa optiikkaa takana) b) Mittakaava : sekä z- että y-suunnassa Valokartio (tai sen jatke) kulkee FS:n ja myös E n W:n ja E x W:n reunojen kautta ja AS:n sekä E n P:n ja E x P:n keskipisteiden kautta. (Tässä kuvassa on "sattuma" että kartio kulkee läheltä AS:n sekä E n P:n ja E x P:n reunoja) c) Näkökulmat (merkitty kuvaan): a EnW:n halkaisija/ 5/ 5 tan( ) = = = Þ a = 03 EnW:n ja E np:n väli 4 a ' ExW:n halkaisija/ 5/ 3 tan( ) = = = Þ a ' = 74 E xw:n ja E xp:n väli 0 /

2 80 8. PRISMAT Taittava prisma muodostuu kahdesta tasosta, jotka ovat kulmassa A toistensa suhteen (katso kuvaa). Taittava kulma A ja tasojen välisen materiaalin taitekerroin n määräävät prisman läpi kulkevan säteen poikkeaman (deviaation) d suuruuden. Tarkastellaan prisman taittokykyä alla olevan kuvan mukaisesti. Valonsäde etenee ns. pääleikkauksessa eli taittavan särmän normaalitasossa. Kuvasta saadaan: ìd = d+ d = ( q- q') + ( q -q') í îa = 80 - (90 - q' ) - (90 - q' ) = q' + q' josta seuraa suoraan d = q+ q - A. Snelliuksen lain mukaan on ìsinq = nsin q' í îsinq = nsin q'. Deviaatiokulma d saadaan kulmien A ja q avulla, kun ensin kirjoitetaan sinq = nsin( A- q' ) ja sovelletaan sitten identiteettiä sin( a - b) = sinacos b - cosasin b. Lopulta tulee (kotilasku) d = q+ arcsin é n -sin qsin A-sinqcos Aù- A. (8..) ë û

3 8 Tulos on tarkka, mutta sitä on hankala käyttää. Tilanne yksinkertaistuu huomattavasti, jos säde kulkee prisman läpi symmetrisesti. Tällöin myös poikkeamalla on minimi. Miksi symmetrisesti kulkevan säteen deviaatio on minimissä? Tulos voidaan laskea minimoimalla deviaation lauseketta (8..). Lasku on pitkähkö, joten perustellaan tulos nyt toisin. Seuraava selitys perustuu kokeelliseen havaintoon, jonka mukaan minimideviaatio havaitaan vain yhdellä tulokulman q arvolla: Kuvassa alla säde kulkee prisman läpi symmetrisesti, ts. niin, että q = q = q. Oletetaan nyt, että minimideviaatio tapahtuisi jollakin epäsymmetrisellä ( q ¹ q ) säteen kululla, tulokulmalla q. Säteen kulku on käänteistä, joten vastakkaisesta suunnasta tuleville säteille minimideviaatio tapahtuisi tulokulmalla q. Prismalla olisi siis kaksi eri tulokulmaa, joilla minimideviaatio tapahtuisi. Tämä on vastoin havaintoa, joten oletuksen on oltava väärin. Siispä jos säde kulkee prisman läpi symmetrisesti, deviaatio on minimissään.

4 8 Minimideviaatiossa sivun 80 yhtälöistä saadaan A + d A d = q - A Þ q = ja A= q ' Þ q ' =. Kun nämä sijoitetaan Snelliuksen lakiin sinq = nsin q', saadaan sin ( d + A) n =. (8..) sin A Tämä tulos on tarkka. Mittaamalla minimideviaatio prismalle, jonka taittava kulma on A, saadaan prismamateriaalin taitekerroin laskettua yo. tuloksesta. Kun taittava kulma A on pieni, sinit voidaan korvata kulmillaan ja saadaan approksimaatio ( d + A) n», A josta edelleen d»( n- ) A. (8..3) Kun A = 5, kaavan virhe on noin %. Kulmalle A = 30 virhe on noin 5%. Dispersio Lasin (optisen materiaalin yleensä) taitekerroin riippuu aallonpituudesta, n= n( l). Säteen suunnan muutos eli deviaatio prismassa on siten myös valon väristä riippuvainen. Tästä seuraa, että prisma hajottaa valkoisen valon väreihin. Materian taitekerroin voidaan ilmaista ns. Cauchy'n kaavalla B C n( l) = A l + l +, (8..4)

5 83 jossa A, B, C, jne., ovat kullekin materiaalille ominaisia, kokeellisesti määritettäviä, vakioita. Tavallisesti riittää kaksi ensimmäistä termiä. Normaalissa tapauksessa kaava (8..4) antaa taitekertoimelle viereisen kuvan mukaisen käyttäytymisen. Dispersio on taitekertoimen aallonpituusriippuvuus, ts. dn B»-. 3 dl l Dispersio ei siis riipu taitekertoimen absoluuttisesta arvosta (A) vaan etupäässä kertoimesta B. Jos B > 0, niin dndl< 0 ja tilanne on edellisen kuvan mukainen. Puhutaan normaalista dispersiosta. Jos tilanne on päinvastainen tai dndl on epäjatkuva, kysymyksessä on anomaalinen dispersio. Kaikilla aineilla on myös anomaalista dispersiota, mutta tavallisesti anomaalisuus esiintyy näkyvän alueen ulkopuolella. Fraunhoferin viivat Optiikassa aallonpituuksien identifioiminen värien perusteella (punainen, keltainen,...) on aivan liian epätarkkaa. Käytännössä tarvitaan joukko hyvin tarkasti tunnettuja referenssiaallonpituuksia. Optisella alueella aallonpituusstandardeina käytetään erilaisista purkauslampuista saatavia ns. Fraunhoferin viivoja.

6 84 Fraunhoferin viivoja on hyvin paljon läpi koko optisen alueen. Edellisessä taulukossa on annettu vain kolme näkyvän alueen tärkeintä viivaa. Ne ovat vedyn F- ja C-viivat (sininen ja punainen) sekä natriumin D-viiva (keltainen). F- ja C- viivat edustavat näkyvän alueen reunoja ja D-viiva on keskellä. Optisten lasien valmistajat ilmoittavat lasiensa dispersio-ominaisuudet taitekertoimen n D ja ns. Abben luvun V avulla nd - V =. nf - nc Mitä pienempi on V, sitä suurempi dispersio lasilla on. Tavallisilla optisilla laseilla taitekerroin n D on välillä n D = ja Abben luku välillä V = Suuri dispersio ei välttämättä edellytä suurta taitekerrointa. Prisman dispersiolla D tarkoitetaan prisman kykyä hajottaa valkoinen valo väreihin. On tärkeää erottaa toisistaan prisman deviaatio d ja dispersio D. Asiaa valaisee seuraava kuva: Näkyvän valon keskialueella keltaisen D-viivan deviaatiolle tulee d = d»( n - ) A. Reuna-alueilla punaisen C-viivan deviaatio on ja sinisen F-viivan D D d»( n - ) A, C C d»( n - ) A. F F

7 85 Näissä kaavoissa A on taittava kulma, joka nyt oletetaan pieneksi, katso (8..3). Punaisen ja sinisen viivan deviaatioiden erotus kuvaa nyt dispersiota, ts. D = d - d = ( n -n ) A. F C F C Prismalasin dispersiokyky (dispersive power) määritellään nyt: D nf - nc D = =. d nd - (8..5) - Huomaa että D = V Esimerkki: Prismalla, jonka taittava kulma on 60 on määritetty seuraavat minimideviaatiokulmat: C-viiva 38 0' punainen D-viiva 38 33' keltainen F-viiva 39 ' sininen Laske prisman dispersiokyky. Ratkaisu: Minimideviaatiokulmat ( aste on 60 minuuttia, ts. ' = (/ 60) ) : C-viiva 38,333 D-viiva F-viiva Tässä taittava kulma A = 60 on suuri, joten on käytettävä tarkkaa tulosta (8..) sin ( d + A) sin ( d + 60 ) n = = = sin ( d + 60) sin A sin 30 Approksimaatiolla (8..3) laskettaessa kaava olisi n= + d / A= + d /60 Tulee: tarkasta approksimaatiosta n C = n D = n F = ja dispersiokyvyksi saamme

8 86 nf -nc D= = 0.09 tarkasta (0.05 approksimaatiosta). nd Eri lasilaaduista valmistettuja prismoja voidaan yhdistää (kitata toisiinsa) eri tavoilla. Muutamia esimerkkejä:. Akromaattinen prisma taittaa valoa hajottamatta sitä väreihin: D+ D = 0, Þ( n - n ) A + ( n - n ) A = 0. Þ A =- F C F C n -n A F C nf -nc. Huom! Koska A < 0, prisma on ylösalaisin. Suoraanhajottava prisma ei poikkeuta D-viivaa lainkaan: d D + d D = 0 Þ( n - ) A + ( n - ) A = 0 Þ A =- D D n - A. D nd Esimerkki: Käytettävissä on kruunulasia ja piilasia, joiden taitekertoimet ovat seuraavat: Kruunu: n C =,57, n D =,530, n F =,536 Pii: n C =,630, n D =,635, n F =,648 Näistä on muodostettava suoraanhajottava prisma. Piilasisen prisman taittava kulma on 5. Laske kruunulasiprisman taittava kulma

9 87 sekä C - ja F -säteiden välinen kulma prisman jälkeen. Oleta prismat ohuiksi ja minimideviaatioehdon toteutuvan kaikille säteille. Ratkaisu: Suoraan hajottava prisma. Kruunulasin taittava kulma: nd A =- A =- 5 = »- 6 nd F-säteen deviaatio: df = df+ df = ( nf- ) A+ ( nf -) A = ( ) = C-säteen deviaatio: dc = dc+ dc = ( nc- ) A+ ( nc -) A = ( ) = Erotus df - dc = » 0.63 mrad Prismaspektrometrit Optinen spektrometri on laite, jolla analysoidaan suoraan valolähteestä tulevan tai jonkin näyteaineen läpi menneen säteilyn aallonpituusjakaumaa. Tutkitaan siis mitä aallonpituuksia valossa on ja mitä ei. Spektrometrissä tarvitaan komponentti, joka hajottaa valon väreihin. Prismaspektrometrissä tällaisena ns. dispersiivisenä elementtinä käytetään prismaa, joka antaa eri aallonpituuksille eri deviaatiokulmat. Prismaspektrometrin oleelliset osat on esitetty seuraavassa kuvassa:

10 88 Analysoitava valo tulee vasemmalta. Se fokusoidaan kapeaan rakoon S (tulorako), josta se kollimoidaan linssillä L yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Rako S on siis linssin polttovälin päässä linssistä. Yhdensuuntainen sädekimppu kulkee prisman läpi, jonka jälkeen kukin aallonpituus etenee omaan suuntaansa, kuitenkin edelleen kollimoituna sädekimppuna. Näitä sädekimppuja katsotaan kaukoputkella T, jota voidaan kiertää prisman ympäri eri aallonpituuksien valitsemiseksi. Kaukoputki on fokusoitu äärettömyyteen, joten sillä nähdään tulorako S (siis sen kuva). Tuloraon väristä voidaan päätellä mitä aallonpituuksia tulee milläkin kulmalla ja spektri voidaan muodostaa. 8.3 KAMERAT 8.3. Neulanreikäkamera (Camera Obscura = pimeä huone) Rakenne: Kuvan muodostuminen: Kuva

11 89 Reikä on pieni, joten kuvapisteeseen pääsee säteitä vain pieneltä alueelta esineestä. Muodostuu kuva, joka on hieman epätarkka. Mitä pienempi reikä sitä tarkempi kuva, kunnes diffraktio alkaa levittää säteitä. Kokeellinen havainto on, että jos filmi on 5 cm:n etäisyydellä reiästä, niin paras reiän halkaisija on 0.5 mm. Laitteen etuja: - yksinkertainen - ei fokusoivaa optiikkaa, joten esineet kuvautuvat tarkasti filmille kaikilta etäisyyksiltä. Haittoja: - reikä-filmi-välimatka vaikuttaa kuvan tarkkuuteen, joten näkökulmaa on vaikea säätää. - reiän pienuudesta johtuen filmille tulee vain vähän valoa ja valotusajat ovat pakostakin pitkiä. Laite ei sovellu liikkuvien kohteiden kuvaamiseen Linssikamera Parannettu versio neulanreikäkamerasta saadaan, kun reikää suurennetaan ja siihen asennetaan linssi fokusoivaksi elementiksi. Rakenne: Linssin (objektiivi) ja filmin välimatkaa voidaan säätää ja näin kuva saadaan aina teräväksi.

12 90 Myös linssin polttoväli voidaan vaihtaa: Pitkä polttoväli (kauko-objektiivi) Näkökulma on kapea, joten esineen kuva filmillä on suuri. valokuvassa esine näyttää olevan lähellä. Lyhyt polttoväli (laajakulmaobjektiivi) Näkökulma on leveä, joten esineen kuva filmillä on pieni. Valokuvassa esine vaikuttaa olevan kaukana. Näkökulma on kääntäen verrannollinen polttoväliin, sillä (kuvista) h a», f missä h on filmin koko (esim. korkeus). Filmille tuleva valoteho (irradianssi E e, W/m ) riippuu näkökulman "avaamasta" avaruuskulmasta w w µ f ja tulopupillin pinta-alasta A A µ D, missä D on halkaisija. On siis E e æd ö µ ç f è ø.

13 9 Määritellään f - luku: f f - luku =. D Esimerkiksi, jos linssin polttoväli f = 50mm ja aukon halkaisija D = 5mm, niin 50 f - luku = = 5 ja linssi toimii ns. f /-linssinä (f kautta ) Kun "efektiivistä" halkaisijaa (ts. tulopupillia) kasvatetaan tekijällä, f - luku pienenee tekijällä / ja irradianssi kasvaa tekijällä. Filmin valotus riippuu f -luvusta ja valotusajasta (sulkijan avulla). Esimerkiksi kombinaatiot f /4 ja 500 s ( E e ja t) f /5.6 ja 50 s ( E / e ja t) (5.6= 4) johtavat samaan valotukseen. Kameroissa objektiivin f -lukua säädetään "pykälittäin" aina kertoimella : f /, f /.8, f /4, f /5.6, f /8, f / Esimerkki: Kameran kauko-objektiivin polttoväli on 00 mm ja sen f -luku on säädettävissä välillä f /5.6:sta aina f / 45:een. Laske a) vastaavat efektiiviset halkaisijat ja b) ääritapausten irradianssien suhde

14 Ratkaisu: a) Halkaisija f /5.6: f / 45: 9 f 00 mm D = = f -luku f -luku 00 mm D= = 36 mm mm D = = 4.4 mm 45 b) Koska E ( D/ f ) e µ ja tässä f = 00mm säilyy vakiona, niin irradianssien suhde on halkaisijoiden neliöiden suhde æ00/5.6 ö æ 45 ö 6 ç = ç» 8 = = 64 è 00/ 45 ø è5.6 ø Huom! Kameroissa luvut 45 ja 5.6 ovat itse asiassa lukuja 5 ( ) ja ( ) ja näistä laskemalla æ ö 6 ç ( ) 6 5 = = ç è ø SILMÄ Silmän toiminta muistuttaa kameran toimintaa. Se rakenne on esitetty kuvassa seuraavalla sivulla. Silmämuna on lähes pallo, jonka halkaisija on noin,5 cm. Etuosassa on kova läpinäkyvä kalvo, ns. sarveiskalvo (cornea). Sarveiskalvon takana on etukammio, joka sisältää ns. kammiovettä (aqueous humor) ja sen takana on silmän linssi eli mykiö (crystalline lens). Linssiä pitää paikoillaan lihaksisto, ns. sädelihakset (ciliary muscle), jotka voivat muuttaa linssin muotoa. Linssin jälkeen silmä on täynnä hyytelömäistä nestettä, ns. lasiaisnestettä (vitreous humor).

15 93 Kammionesteen ja lasiaisnesteen taitekertoimet ovat molemmat noin,336 eli lähellä veden taitekerrointa. Linssin keskimääräinen taitekerroin on noin,437, joten se ei poikkea kovin paljon sitä ympäröivien nesteiden taitekertoimista. Tästä seuraa, että tärkein silmään saapuvan säteen taittuminen tapahtuu ilmasarveiskalvo rajapinnassa (noin 75%), eikä suinkaan itse linssissä (loput 5%). Taittuminen ilma-sarveiskalvokalvo rajapinnassa sekä linssin rajapinnoissa muodostaa todellisen, väärinpäin olevan kuvan valoherkälle verkkokalvolle (retina). Verkkokalvo vastaa kameran filmiä. Verkkokalvon tappi- ja sauvasolut (rods and cones) toimivat valodetektoreina ja lähettävät kuvan sähköisessä muodossa näköhermoa (optic nerve) pitkin aivojen käsiteltäväksi. Linssin edessä on ns. värikalvo eli iiris, jonka keskellä olevasta pyöreästä aukosta eli pupillista valo pääsee silmään. Pupillin koko muuttuu valon kirkkauden mukaan ts. se säätää silmään pääsevän valon intensiteettiä. Jotta esine nähtäisiin tarkasti, kuvan on muodostuttava täsmälleen verkkokalvolle. Silmä mukautuu eri esineen etäisyyksille s muuttamalla linssin polttoväliä f. Linssi-verkkokalvo etäisyys ei muutu. Normaalissa silmässä äärettömyydessä olevan esineen kuva muodostuu verkkokalvolle, kun linssin sädelihakset (mukauttajalihakset) ovat levossa. Lähempänä olevien esineiden tarkkaa näkemistä varten mukauttajalihakset jännittyvät ja muuttavat linssin pintojen

16 94 kaarevuussäteitä niin, että linssin polttoväli lyhenee. Tätä sanotaan silmän mukautumiseksi (accommodation). Näkemisen etäisyyden äärirajat ovat ns. kaukopiste (far point) ja ns. lähipiste (near point). Normaalin silmän kaukopiste on äärettömyydessä, mutta lähipisteen etäisyys riippuu siitä, miten paljon mukauttajalihakset pystyvät muuttamaan linssin kaarevuussäteitä. Silmän mukautumiskyky heikkenee iän mukana, koska linssi kasvaa koko ajan (se on noin 50% suurempi 60 vuotiailla kuin 0 vuotiailla). Mukauttajalihakset eivät pysty käsittelemään suurta linssiä yhtä helposti kuin pientä. Mukautumiskyvyn heikkenemistä sanotaan vanhuusnäöksi (presbyopia). Lähipiste 0 vuotiailla on noin 7 cm:n etäisyydellä, 30 vuotiailla noin 5 cm:n etäisyydellä ja 50 vuotiailla noin 40 cm:n etäisyydellä. Standardi-ihmisen lähipisteen etäisyydeksi on valittu 5 cm. Viereisessä kuvassa on esitetty tavallisimmat näkövirheet. Kuvassa (a) on normaali silmä, jossa kuva muodostuu tarkasti verkkokalvolle. Kuvan (b) silmä on ns. likinäköinen (myopic) silmä. Silmämuna on polttoväliin nähden liian pitkä, joten kaukana olevan esineen terävä kuva muodostuu verkkokalvon eteen. Pitkänäköisessä (hyperopic) silmässä (c) silmämuna on polttoväliin nähden liian lyhyt ja terävä kuva muodostuu verkkokalvon taakse. Näkövirheitä voidaan korjata silmän eteen asetettavalla linssillä. Likinäköisyyttä korjataan hajottavalla linssillä ja pitkänäköisyyttä kokoavalla linssillä.