Albedot ja magnitudit
|
|
- Ville-Veikko Hiltunen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Albedot ja magnitudit Tähtien kirkkauden ilmoitetaan magnitudiasteikolla. Koska tähdet säteilevät (lähes) isotrooppisesti kaikkiin suuntiin, tähden näennäiseen kirkkautaan vaikuttavat vain: 1) Tähden todellinen säteilyteho, joka puolestaan riippuu tähden koosta ja efektiivisestä lämpötilasta. 2) Tähden etäisyys. 3) Mahdollinen väliaineen absorptio. Planeettojen tapauksessa tilanne on mutkikkaampi. Ne näkyvät vain, koska ne heijastavat auringonvaloa. Kohteen näennäiseen kirkkauteen vaikuttavat: 1) etäisyys Auringosta 2) etäisyys Maasta 3) vaihekulma 4) pinnan heijastuskyky Oman aurinkokuntamme tapauksessa etäisyydet ovat niin pieniä, että planeettainvälisellä absorptiolla ei ole merkitystä.
2 Albedot Pinnan heijastuskykyä mittaava suure on albedo. Jos Auringon luminositeetti on L, säteilyvuon tiheys etäisyydellä r olevalla pallonpinnalla on F = L 4πr 2. Olkoon kappaleen säde R, jolloin sen poikkipinta-ala säteilyä vastaan kohtisuorassa suunnassa on πr 2. Kappaleeseen osuva säteilymäärä on siten L in = πr 2 L 4πr 2 = L R 2 4r 2. (1)
3 Kappale heijastaa tästä säteilystä vain osan. Loppuosa absorboituu ja muuttuu lämmöksi. Tämän osan se säteilee aikanaan lämpösäteilynä. Heijastuneen ja kappaleeseen osuneen säteilyn suhde A on aina välillä 0 A 1. Tämä suhde on Bondin albedo. Aurinko kohde r α R R r Maa Bondin albedon avulla ilmoitettuna kappaleen heijastaman säteilyn teho on L out = AL in = AL R 2 4r 2. Jos heijastunut säteily leviäisi isotrooppisesti kaikkiin suuntiin, olisi vuontiheys etäisyydellä F = L out 4π 2.
4 Heijastuneen säteilyn määrä riippuu kuitenkin suunnasta. Jos heijastava kappale on pallo, säteilyn jakauma riippuu vain vaihekulmasta α. Etäisyydellä havaittava vuontiheys on siten F = CΦ(α) L out 4π 2, (2) missä vaihefunktio Φ normitetaan siten, että Φ(0) = 1. Normitusvakio C saadaan ehdosta, että kaikki heijastunut säteily lähtee johonkin suuntaan: C = 4π 2 S Φ(α)dS = 2 (3) Φ(α) sin αdα. π 0 Suure q = 2 π 0 Φ(α) sin αdα (4) on nimeltään vaiheintegraali. Sen avulla lausuttuna on C = 4 q. (5)
5 Kun muistetaan, että L out = AL in, kaava (2) voidaan kirjoittaa muotoon F = CA 4π Φ(α) 1 2 L in. (6) Ensimmäinen tekijä on kullekin kohteelle ominainen vakio, toinen sisältää vaihekulmariippuvuuden, kolmas etäisyysriippuvuuden ja neljäs saapuvan säteilytehon. Ensimmäiselle tekijälle käytetään usein omaa merkintää Γ = CA 4π. (7) Kun tähän sijoitetaan C:n lauseke (5) ja ratkaistaan Bondin albedo A, saadaan A = 4πΓ C = πγ 4 C = πγq = pq, (8) missä tekijä p = πγ on nimeltään geometrinen albedo ja q on edellä esiintynyt vaiheintegraali. Näiden suureiden välillä on siis yhtälö A = pq. (9)
6 Geometrinen albedo ilmoittaa kappaleen heijastaman säteilyn vuontiheyden suhteen samankokoisen Lambertin levyn heijastamaan vuontiheyteen, kun molempia havaitaan vaihekulmalla α = 0. Geometrinen albedo riippuu pinnan heijastuskyvyn lisäksi siitä, mihin suuntaan pinta heijastaa valoa. Jos pinnan heijastuskyky on hyvä ja se suuntaa heijastuneen valon pääasiassa valon tulosuuntaan, geometrinen albedo voi olla ykköstä suurempi, ääritapauksena peili, jolle p on ääretön. Aurinkokunnan kappaleiden geometrinen albedo on tyypillisesti välillä Esimerkiksi Kuulle p = 0.12; suurin albedo on Saturnuksen kuulla Enceladuksella, p = 1.0. Syy geometrisen albedon käytölle on yksinkertainen: se saadaan suoraan havainnoista, mikäli myös kohteen koko tunnetaan. Bondin albedon laskeminen sen sijaan vaatisi havaintoja kaikilla vaihekulmilla, ts. vaiheintegraalin q ratkaisemista, mikä yleensä ei ole mahdollista.
7 Magnitudit Vaihefunktion ja albedon määrittelyjen jälkeen voimme johtaa kaavan planeetan magnitudille. Lähdetään havaitusta heijastuneen vuontiheyden arvosta F = CA 4π Φ(α) 1 2 L in. Sijoitetaan tähän planeettaan osuva vuontiheys L in = L R 2 4r 2 ja vakiotekijä geometrisen albedon avulla lausuttuna: CA 4π = Γ = p π. Näin saadaan F = p π Φ(α) 1 2 L R 2 4r 2. (10) Toisaalta havaittu Auringon säteilyvuon tiheys etäisyydellä a = 1 AU Auringosta on F = L 4πa 2, (11)
8 Näiden suhde on F = pφ(α)r2 a 2 F 2 r 2. (12) Jos Auringon näennäinen magnitudi 1 AU:n etäisyydellä on m ja planeetan näennäinen magnitudi m, on m m = 2.5lg F F = 2.5lg pφ(α)r2 a 2 2 r 2 = 2.5lg pr2 a 2 a 4 2 r 2 Φ(α) = 2.5lg p R2 a4 2.5lg a lg Φ(α) r2 = 2.5lg p R2 r + 5lg 2.5lg Φ(α). a2 a2 (13) Kun vielä merkitään V (1,0) m 2.5lg p R2 a 2, (14) magnitudikaava saadaan muotoon m = V (1,0) + 5lg r 2.5lg Φ(α). (15) a2
9 Ensimmäinen termi, V (1,0), riippuu vain planeetan koosta ja heijastusominaisuuksista. Se on siis planeetan ominaisuuksia kuvaava suure, ja sitä kutsutaankin absoluuttiseksi magnitudiksi. Toinen termi sisältää etäisyysriippuvuuden ja kolmas vaihekulmariippuvuuden. Jos vaihekulma on nolla ja asetetaan r = = a, yhtälöstä (15) jää jäljelle vain m = V (1,0). Tästä nähdään, että absoluuttinen magnitudi tarkoittaa planeetan magnitudia, jos sitä havaitaan vaihekulmalla nolla yhden AU:n etäisyydeltä ja jos myös Aurinko on yhden AU:n päässä planeetasta. Tämä tarkoittaa, että planeetta siirretään maapallon paikalle ja havaintoja tehdään Auringon keskipisteessä, siis varsin tukalassa paikassa.
10 Kun vaihekulma on nolla, kaavoista (14) ja (15) voidaan ratkaista geometrinen albedo: p = ( ) 2 r (m 0 m ), (16) ar missä m 0 = m(α = 0 ). Yhtälön (16) oikealla puolella on vain tunnettuja ja havainnoista saatavia suureita. Magnitudien laskemisen suurin ongelma sisältyy magnitudikaavan (15) viimeiseen termiin, jonka sisältämää vaihekulmariippuvuutta ei tunneta kunnolla kaikille kappaleille. Havainnoista saadaan kuitenkin absoluuttinen magnitudi vaihekulmalla α: V (1,α) V (1,0) 2.5lg Φ(α) = m 5lg r a 2. (17) Kun havaintoja tehdään eri vaihekulmilla, saadaan planeetan vaihekäyrä V (1,α). Sen muoto on hyvin erilainen ilmakehällisillä ja ilmakehättömillä kappaleilla.
11 Esimerkki: Marsin näennäinen magnitudi vuoden 1975 oppositiossa oli m 1 = 1.6 ja etäisyys Auringosta r 1 = 1.55 AU. Vuoden 1982 oppositiossa etäisyys Auringosta oli r 2 = 1.64 AU. Mikä oli tällöin Marsin magnitudi? Oppositiossa Marsin etäisyys Maasta on = r 1. Havaittu vuontiheys riippuu sekä Marsin etäisyydestä Maasta että Auringosta: F 1 r 2 2, joten magnitudille saadaan kaavan (4.9) perusteella m 1 m 2 = 2.5lg r2 2(r 2 1) 2 r 2 1 (r 1 1) 2 m 2 = m 1 + 5lg r 2(r 2 1) r 1 (r 1 1) = lg
12 Esimerkki: Milloin Venus näkyy kirkkaimmillaan Maasta katsottuna, jos vuontiheys F riippuu vain Venuksen valaistun pinta-alan suuruudesta ja Maasta mitatusta etäisyydestä? Oletetaan planeettojen radat ympyröiksi. Valaistu pinta-ala on puoliympyrän ACE pinta-ala + puolet ellipsin ABCD pinta-alasta. Ellipsin puoliakselit ovat R ja R cos α. Jos planeetan säde on R, on valaistu ala siis π R πr R cos α = π 2 R2 (1 + cos α), missä α on vaihekulma. Toisaalta vuontiheys on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, joten F 1 + cos α 2. (1) A R E B D α R α C havaitsijan näkemä valaistu pinta R cos α
13 Aurinko r r α ε Venus Kosinilauseesta saadaan Maa r 2 = r r cos α. (2) Ratkaistaan cos α ja sijoitetaan se kaavaan (1): F 2 r + r2 + 2 r 2 2r 3 (3) Lausekkeen (3) maksimi antaa etäisyyden, jolta Venus näkyy kirkkaimmillaan: df d = 4r + 3r2 3r r 4 = 0 = 2r ± r 2 + 3r. 2
14 Kun r = AU ja r = 1 AU, saadaan etäisyydeksi = 0.43 AU ja tätä vastaavaksi vaihekulmaksi kaavasta (2) α = 118. Venus on siis kirkkaimmillaan hieman suurimman itäisen elongaation jälkeen tai ennen suurinta läntistä elongaatiota. Sinilauseesta saadaan sinε r = sin α r, josta elongaatio ε = 40. Pinnasta on tällöin valaistuna 1 + cos α % = 27 %.
15 Oppositioilmiö Jos kappaleella on ilmakehä, valo heijastuu suhteellisen tasaisesti kaikkiin suuntiin. Heijastuvan säteilyvuon tiheys on silloin karkeasti ottaen verrannollinen valaistuna näkyvän osan alaan (tarkemmin sen projektioon näkösädettä vastaan kohtisuoralla tasolla). Ilmakehättömillä kappaleilla, kuten Kuulla, heijastuminen on voimakkaampaa valon tulosuuntaan. Sen seurauksena kohde kirkastuu voimakkaasti opposition lähellä. Tämä oppositioilmiö näkyy vaihekäyrän kääntymisenä nousuun vaihekulman laskiessa muutaman asteen alapuolelle. Osa oppositioilmiöstä voidaan kvalitatiivisesti ymmärtää niin, että pienillä vaihekulmilla kaikki varjot katoavat ja näemme vain valaistun pinnan. Kun vaihekulma kasvaa, varjot tulevat näkyviin ja kirkkaus pienenee nopeasti. Suurin osa johtuu kuitenkin ns. koherentista takaisinsironnasta, joka on seurausta valon aaltoluonteesta. täysikuu vaihekulma puolikuu
16 Ilmakehättömien kappaleiden magnitudit Kun esimerkiksi asteroidin vaihekulma on muutamaa astetta suurempi, magnitudi kasvaa lähes lineaarisesti vaihekulman mukana. Aikaisemmin käytetyssä magnitudijärjestelmässä tähän vaihekäyrän suoraan osaan sovitettiin suora, jota sitten jatkettiin vaihekulmalle 0. Näin saatiin arvio oppositiomagnitudille. Oppositioilmiön vuoksi asteroidi on oppositiossa kuitenkin huomattavasti tällaista ennustetta kirkkaampi. Vuonna 1985 IAU otti käyttöön HG-järjestelmän. Järjestelmää tullaan todennäköisesti muuttamaan seuraavassa IAU:n yleiskokouksessa 2012, mutta toistaiseksi ei ole tiedossa, millä tavoin. Nykyiset asteroidiluettelot kuvaavat vaihekäyriä vakioilla H ja G, joista magnitudit voidaan laskea seuraavasti: Lasketaan ensin vakiot a 1 ja a 2 : a 1 = (1 G)10 0.4H, a 2 = G10 0.4H. (1.18)
17 Näiden avulla saadaan vaihekäyrä: [ ( V (1,α) = 2.5lg a 1 exp a 2 exp ( tan α ) ) ( ( 1.87 tan α ) )] (1.19) Kun vaihekulma on nolla, on V (1,0) = 2.5lg(a 1 + a 2 ) = 2.5lg H = H, (1.20) joten H on juuri absoluuttinen magnitudi oppositiossa. Vakio G puolestaan liittyy vaihekäyrän muotoon. Kun G on suuri, on myös kerroin a 2 suuri, ja V (1,α):n lausekkeesta nähdään, että tämä painottaa enemmän hakasulkulausekkeen jälkimmäistä termiä. Suuremman eksponentin vuoksi tämä termi edustaa jyrkemmin laskevaa vaihekäyrää. Suuri G tarkoittaa siis voimakasta himmenemistä opposition ulkopuolella. Hyvin loivilla vaihekäyrillä G saattaa saada myös negatiivisia arvoja.
18 Planeettojen polarimetria Aurinkokuntamme kappaleista heijastunut valo on yleensä aina jossakin määrin polarisoitunutta. Polarisaatioaste riippuu paitsi pinnan ominaisuuksista myös vaihekulmasta. Polarisaatioaste P on P = F F F + F (21) missä F on valittua perustasoa eli sirontatasoa vastaan kohtisuoraan suuntaan ja F tämän tason suuntaisesti polarisoituneen valon vuontiheys. Määritelmästä seuraa, että P voi olla myös negatiivinen. Yleensä sirontatasoksi valitaan Maan, Auringon ja planeetan määräämä taso. Atmosfäärittömän kappaleen polarisaatio on yleensä aina positiivinen (P > 0); ainoastaan vaihekulmilla α < 20 esiintyy negatiivista polarisaatiota. Atmosfäärittömillä kappaleilla on huomattu polarisaation ja geometrisen albedon välinen yhteys. Tämä tarjoaa riippumattoman menetelmän albedon ja sitä kautta läpimitan määrittämiseksi. Atmosfääri mutkistaa tilannetta ja joillakin vaihekulmilla P voi olla huomattavan negatiivinen. Yleisen säteilynsiirtymisen teorian avulla voidaan laskea, kuinka valo käyttäytyy planeetan atmosfäärissä ja tätä kautta saadaan selville myös polarisaatio. Näin on saatu ensimmäiset tiedot mm. Venuksen pilvien koostumuksesta jo ennen luotainlentoja.
19 Magnitude (mag) E: (44) Nysa V: (4) Vesta S: (6) Hebe, (20) Massalia Degree of Polarization (%) E V S M C: (24) Themis M: (22) Kalliope, (69) Hesperia C a) Phase Angle ( ) b) Phase Angle ( ) Eri tyyppisten asteroidien vaihe- ja polarisaatiokäyriä.
20 Planeettojen lämpötilat Auringon säteilemä vuo on L = 4πR 2 σt 4. Jos planeetan Bondin albedo on A, säteilystä absorboituu osa 1 A, joka poistuu lämpösäteilynä. Planeetta absorboi vuon L abs = R2 σt 4 πr 2 r 2 (1 A). Termisessä tasapainossa planeetta säteilee saman määrän.
21 (1) Planeetta pyörii suhteellisen hitaasti. Silloin planeetan pimeä puoli ehtii jäähtyä ja lämpösäteily emittoituu pääasiassa valaistulta pinnalta. Planeetan säteilemä vuo on L em = 2πR 2 σt 4, Termisessä tasapainossa L abs = L em : R 2 T 4 r 2 (1 A) = 2T 4, josta ( ) 1/4 ( ) 1/2 1 A R T = T. 2 r (2) Planeetta pyörii nopeasti. Säteilyä emittoituu likimain yhtä paljon koko planeetan pinta-alalta: L em = 4πR 2 σt 4 ( ) 1/4 ( ) 1/2 1 A R T = T. 4 r
22 planeetta albedo etäisyys teoreettinen havaittu Auringosta lämpötila [K] maksimi- [AU] (1) (2) lämpötila Merkurius Venus Maa Mars Jupiter Erityisesti Venuksen teoreettinen ja havaittu lämpötila ovat hyvin erilaisia. Syynä on ilmakehän aiheuttama kasvihuoneilmiö.
23 Kasvihuoneilmiö Maanpinta absorboi Auringon säteilyä ja säteilee saamansa energian takaisin lähinnä pitkäaaltoisena lämpösäteilynä. Lämpö absorboituu ilmakehään ja lämmittää planeettaa edelleen. Ilman kasvihuoneilmiötä nykyisenlainen elämä Maassa ei olisi mahdollista. Voimistuvan kasvihuoneilmiön aiheuttama ilmaston lämpeneminen ihmisen toiminnan vuoksi on ihan toinen juttu. Kasvihuoneilmiötä vahvistavia kasvihuonekaasuja ovat erityisesti hiilidioksidi ja metaani. Kasvihuoneilmiö ei ole aivan onnistunut nimitys: kasvihuoneessa suuri vaikutus on myös sillä, että rakenteet estävät lämmön karkaamisen tuuletuksen (konvektion ja advektion) vaikutuksesta.
24 Elinkelpoinen vyöhyke Maapallon elämä käyttää liuottimena vettä. Elämä on mahdollista alueella, jossa lämpötila on ainakin osan aikaa veden sulamis- ja kiehumispisteen välillä. Elinkelpoisen vyöhykkeen sijaintiin vaikuttaa kasvihuoneilmiö, joten täsmällistä paikkaa ei voi kunnolla määritellä. Kuumilla tähdillä (esim. spektriluokat O, B) vyöhyke on leveä ja kaukana tähdestä. Leveä vyöhyke iso todennäköisyys, että siellä on planeettoja. Tähden kehitys on kuitenkin niin nopeaa, ettei elämällä ole aikaa kehittyä. Viileillä tähdillä (K, M) vyöhyke kapea ja lähellä tähteä. Tähden pääsarjavaihe hyvin pitkä, joten elämän kehittymiselle olisi runsaasti aikaa, mutta osuuko kapealle vyöhykkeelle yhtään planeettaa? Pääsarjavaiheen aikana tähdet kirkastuvat hitaasti, jolloin elinkelpoinen vyöhyke siirtyy kauemmas. Jatkuvasti elinkelpoinen vyöhyke on alue, joka pysyy elinkelpoisena huomattavan osan tähden pääsarjavaiheesta.
7.10 Planeettojen magnitudit
7.10 Planeettojen magnitudit Edellä vuontiheyden kaava (*) F(α) = CA 4π Φ(α) L i 2 Sijoitetaan C = 4/q, A = pq, F = p π Φ(α) 1 2 L R 2 4r 2 L i = L R2 4r 2 Planeetasta heijastunut vuontiheys etäisyydellä
LisätiedotTähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi
Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein
Lisätiedot7.6 Planeettojen sisärakenne
7.6 Planeettojen sisärakenne Luotaimien ratoihin kohdistuvat häiriöt planeetan gravitaatiokenttä Gravitaatiokenttä riippuu kappaleen muodosto ja sisäisestä massakajaumasta 1000 km ja suuremmat kappaleet:
Lisätiedot1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.
1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on
LisätiedotKäyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on
766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua
LisätiedotWien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:
1.2 T=12000 K 10 2 T=12000 K 1.0 Wien R-J 10 0 Wien R-J B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 0.8 0.6 0.4 B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 10-2 10-4 10-6 10-8 0.2 10-10 0.0 0 200 400 600 800 1000 nm 10-12 10 0 10 1 10 2
Lisätiedot4 Fotometriset käsitteet ja magnitudit
4 Fotometriset käsitteet ja magnitudit 4.1 Intensiteetti, vuontiheys ja luminositeetti Pinta-alkion da läpi kulkee säteilyä Avaruuskulma dω muodostaa kulman θ pinnan normaalin kanssa. Tähän avaruuskulmaan
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
LisätiedotMustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
LisätiedotHydrologia. Säteilyn jako aallonpituuden avulla
Hydrologia L3 Hydrometeorologia Säteilyn jako aallonpituuden avulla Ultravioletti 0.004 0.39 m Näkyvä 0.30 0.70 m Infrapuna 0.70 m. 1000 m Auringon lyhytaaltoinen säteily = ultavioletti+näkyvä+infrapuna
LisätiedotValon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen
Valon luonne ja eteneminen Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen 1 Valonlähteitä Perimmiltään valon lähteenä toimii kiihtyvässä liikkeessä olevat sähkövaraukset Kaikki
LisätiedotAurinkokunta, yleisiä ominaisuuksia
Aurinkokunta, yleisiä ominaisuuksia Antiikin aikaan Auringon ja Kuun lisäksi tunnettiin viisi kappaletta, jotka liikkuivat tähtitaivaan suhteen: Merkurius, Venus, Mars, Jupiter ja Saturnus. Näitä kutsuttiin
LisätiedotRATKAISUT: 16. Peilit ja linssit
Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedot3. Optiikka. 1. Geometrinen optiikka. 2. Aalto-optiikka. 3. Stokesin parametrit. 4. Perussuureita. 5. Kuvausvirheet. 6. Optiikan suunnittelu
3. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Aalto-optiikka 3. Stokesin parametrit 4. Perussuureita 5. Kuvausvirheet 6. Optiikan suunnittelu 3.1 Geometrinen optiikka! klassinen optiikka! Valoa kuvaa suoraan
LisätiedotMikä määrää maapallon sääilmiöt ja ilmaston?
Mikä määrää maapallon sääilmiöt ja ilmaston? Ilmakehä Aurinko lämmittää epätasaisesti maapalloa, joka pyörii kallellaan. Ilmakehä ja sen ominaisuudet vaikuttavat siihen, miten paljon lämpöä poistuu avaruuteen.
LisätiedotMistä tiedämme ihmisen muuttavan ilmastoa? Jouni Räisänen, Helsingin yliopiston fysiikan laitos
Mistä tiedämme ihmisen muuttavan ilmastoa? Jouni Räisänen, Helsingin yliopiston fysiikan laitos 19.4.2010 Huono lähestymistapa Poikkeama v. 1961-1990 keskiarvosta +0.5 0-0.5 1850 1900 1950 2000 +14.5 +14.0
Lisätiedot23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen
3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista
LisätiedotEtäisyyden yksiköt tähtitieteessä:
Tähtitiedettä Etäisyyden yksiköt tähtitieteessä: Astronominen yksikkö AU = 149 597 870 kilometriä. Tämä vastaa sellaisen Aurinkoa kiertävän kuvitellun kappaleen etäisyyttä, jonka kiertoaika on sama kuin
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I
2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Ilmakehän vaikutus havaintoihin Ilmakehän häiriöt (kuva: @www.en.wikipedia.org) Sää: pilvet, sumu, sade, turbulenssi,
Lisätiedot1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä
1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä 1.1 Vuontiheys ja pintakirkkaus Vuontiheys ( flux density ) kertoo, kuinka paljon säteilyenergiaa taajuskaistassa [ν,ν+1hz] virtaa 1 m 2 pinta-alan läpi sekunnissa.
LisätiedotMerkintöjä planeettojen liikkeistä jo muinaisissa nuolenpääkirjoituksissa. Geometriset mallit vielä alkeellisia.
Johdanto Historiaa Antiikin aikaan Auringon ja Kuun lisäksi tunnettiin viisi kappaletta, jotka liikkuivat tähtitaivaan suhteen: Merkurius, Venus, Mars, Jupiter ja Saturnus. Näitä kutsuttiin planeetoiksi
Lisätiedot7.4 Fotometria CCD kameralla
7.4 Fotometria CCD kameralla Yleisin CCDn käyttötapa Yleensä CCDn edessä käytetään aina jotain suodatinta, jolloin kuvasta saadaan siistimpi valosaaste UV:n ja IR:n interferenssikuviot ilmakehän dispersion
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Ilmakehän vaikutus havaintoihin. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos
Ilmakehän vaikutus havaintoihin Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Ilmakehän transmissio (läpäisevyys) sähkömagneettisen säteilyn eri aallonpituuksilla 2.
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedot2. MITÄ FOTOMETRIA ON?
Fotometria Tekijät: Hänninen Essi, Loponen Lasse, Rasinmäki Tommi, Silvonen Timka ja Suuronen Anne Koulut: Mikkelin Lyseon lukio ja Mikkelin Yhteiskoulun lukio Päiväys: 21.11.2008 Lukion oppiaine: Fysiikka
LisätiedotTähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta. Kuva NASA
Tähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta Kuva NASA Aurinkokunnan rakenne Keskustähti, Aurinko Aurinkoa kiertävät planeetat Planeettoja kiertävät kuut Planeettoja pienemmät kääpiöplaneetat,
LisätiedotLuvun 12 laskuesimerkit
Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotVIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ
56 VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ Hyvällä havaitsijalla keskimääräinen virhe tähdenlennon kirkkauden arvioimisessa on noin 0.4 magnitudia silloin, kun meteori näkyy havaitsijan näkökentän keskellä.
Lisätiedot7. AURINKOKUNTA. Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä
7. AURINKOKUNTA Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä Jupiter n. 4"päässä) = Keskustähti + jäännöksiä tähden syntyprosessista (debris) = jättiläisplaneetat,
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI
ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI 622. Kun katsot tähtiä, niin niiden valo ei ole tasaista, vaan tähdet vilkkuvat. Miksi? Jos astronautti katsoo tähtiä Kuun pinnalla seisten, niin vilkkuvatko tähdet tällöinkin?
LisätiedotMAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006
MAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006 I. Mitä kuvasta voi nähdä? II. Henrik Haggrén Kuvan ottaminen/synty, mitä kuvista nähdään ja miksi Anita Laiho-Heikkinen:
LisätiedotAURINKOKUNNAN RAKENNE
AURINKOKUNNAN RAKENNE 1) Aurinko (99,9% massasta) 2) Planeetat (8 kpl): Merkurius, Venus, Maa, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus - Maankaltaiset planeetat eli kiviplaneetat: Merkurius, Venus, Maa
LisätiedotKitka ja Newtonin lakien sovellukset
Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
LisätiedotMustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
LisätiedotPolarisaatio. Timo Lehtola. 26. tammikuuta 2009
Polarisaatio Timo Lehtola 26. tammikuuta 2009 1 Johdanto Lineaarinen, ympyrä, elliptinen Kahtaistaittuvuus Nicol, metalliverkko Aaltolevyt 2 45 Polarisaatio 3 Lineaarinen polarisaatio y Sähkökentän vaihtelu
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedotellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.
KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotAURINKOENERGIA. Auringon kierto ja korkeus taivaalla
AURINKOENERGIA Auringon kierto ja korkeus taivaalla Maapallo kiertää aurinkoa hieman ellipsin muotoista rataa pitkin, jonka toisessa polttopisteessä maapallo sijaitsee. Maapallo on lähinnä aurinkoa tammikuussa
Lisätiedot10. Polarimetria. 1. Polarisaatio tähtitieteessä. 2. Stokesin parametrit. 3. Polarisaattorit. 4. CCD polarimetria
10. Polarimetria 1. Polarisaatio tähtitieteessä 2. Stokesin parametrit 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria 10.1 Polarisaatio tähtitieteessä Polarisaatiota mittaamalla päästään käsiksi moniin fysikaalisiin
Lisätiedot9. Polarimetria. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, Syksy 2017 Thomas Hackman (Kalvot JN, TH, MG & VMP)
9. Polarimetria Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, Syksy 2017 Thomas Hackman (Kalvot JN, TH, MG & VMP) 1 9. Polarimetria 1. Stokesin parametrit 2. Polarisaatio tähtitieteessä 3. Polarisaattorit 4.
Lisätiedot9. Polarimetria. 1. Stokesin parametrit 2. Polarisaatio tähtitieteessä. 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria
9. Polarimetria 1. Stokesin parametrit 2. Polarisaatio tähtitieteessä 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria 10.1 Stokesin parametrit 10.1
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotT F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15
LisätiedotHiiltä varastoituu ekosysteemeihin
Hiiltä varastoituu ekosysteemeihin BIOS 3 jakso 3 Hiili esiintyy ilmakehässä epäorgaanisena hiilidioksidina ja eliöissä orgaanisena hiiliyhdisteinä. Hiili siirtyy ilmakehästä eliöihin ja eliöistä ilmakehään:
LisätiedotIlmastonmuutokset skenaariot
Ilmastonmuutokset skenaariot Mistä meneillään oleva lämpeneminen johtuu? Maapallon keskilämpötila on kohonnut ihmiskunnan ilmakehään päästäneiden kasvihuonekaasujen johdosta Kasvihuoneilmiö on elämän kannalta
LisätiedotSähkömagneettinen säteily ja sen vuorovaikutusmekanismit
Astrofysiikkaa Sähkömagneettinen säteily ja sen vuorovaikutusmekanismit Sähkömagneettista säteilyä kuvataan joko aallonpituuden l tai taajuuden f avulla, tai vaihtoehtoisesti fotonin energian E avulla.
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotMaan ja avaruuden välillä ei ole selkeää rajaa
Avaruus Mikä avaruus on? Pääosin tyhjiön muodostama osa maailmankaikkeutta Maan ilmakehän ulkopuolella. Avaruuden massa on pääosin pimeässä aineessa, tähdissä ja planeetoissa. Avaruus alkaa Kármánin rajasta
Lisätiedothttp://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html
http://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html Mars-planeetan olosuhteiden kehitys Heikki Sipilä 17.02.2015 /LFS Mitä mallit kertovat asiasta Mitä voimme päätellä havainnoista Mikä mahtaa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotKosmos = maailmankaikkeus
Kosmos = maailmankaikkeus Synty: Big Bang, alkuräjähdys 13 820 000 000 v sitten Koostumus: - Pimeä energia 3/4 - Pimeä aine ¼ - Näkyvä aine 1/20: - vetyä ¾, heliumia ¼, pari prosenttia muita alkuaineita
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen pk I, 2012
Havaitsevan tähtitieteen pk I, 2012 Kuva: J.Näränen 2004 Luento 2, 26.1.2012: Ilmakehän vaikutus havaintoihin Luennoitsija: Thomas Hackman HTTPK I, kevät 2012, luento2 1 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin
Lisätiedot9. Polarimetria. tähtitieteessä. 1. Polarisaatio. 2. Stokesin parametrit. 3. Polarisaattorit. 4. CCD polarimetria
9. Polarimetria 1. Polarisaatio tähtitieteessä 2. Stokesin parametrit 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria 9.1 Polarisaatio tähtitieteessä! Polarisaatiota mittaamalla päästään käsiksi moniin fysikaalisiin
LisätiedotXFYS4336 Havaitseva tähtitiede II
XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy XFYS4336 Havaitseva
Lisätiedot8. Fotometria (jatkuu)
8. Fotometria (jatkuu) 1. Magnitudijärjestelmät 2. Fotometria CCD kameralla 3. Instrumentaalimagnitudit 4. Havaintojen redusointi standardijärjestelmään 5. Kalibrointi käytännössä 6. Absoluuttinen kalibrointi
LisätiedotKysymykset ovat sanallisia ja kuvallisia. Joukossa on myös kompia, pysy tarkkana!
Tietokilpailun finaali Kysymykset ovat sanallisia ja kuvallisia. Joukossa on myös kompia, pysy tarkkana! Mikä on kolmas kosminen nopeus? Pakonopeus luotaimelle, joka lähetetään Maan pinnalta ulos aurinkokunnasta.
LisätiedotTarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN
Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Oppilaiden ennakkokäsityksiä avaruuteen liittyen Aurinko kiertää Maata Vuodenaikojen vaihtelu johtuu siitä,
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotJohtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun
Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008
Lisätiedotkartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi
5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot2.7.4 Numeerinen esimerkki
2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun
LisätiedotFysiikka 8. Aine ja säteily
Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotValitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit
LisätiedotIlmastonmuutos pähkinänkuoressa
Ilmastonmuutos pähkinänkuoressa Sami Romakkaniemi Sami.Romakkaniemi@fmi.fi Itä-Suomen ilmatieteellinen tutkimuskeskus Ilmatieteen laitos Ilmasto kuvaa säämuuttujien tilastollisia ominaisuuksia Sää kuvaa
LisätiedotToisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö
Toisen asteen kärät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Toisen asteen kärä Toisen asteen käräksi kutsutaan kärää, jonka htälö -ssa on muuttujien
LisätiedotAVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla
AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,
LisätiedotAKAAN AURINKOKUNTAMALLI
AKAAN AURINKOKUNTAMALLI Millainen on avaruus ympärillämme? Kuinka kaukana Aurinko on meistä? Minkä kokoisia planeetat ovat? Tämä Aurinkokunnan pienoismalli on rakennettu vastaamaan näihin ja moneen muuhun
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotLuku 3. Ilmakehä suojaa ja suodattaa. Manner 2
Luku 3 Ilmakehä suojaa ja suodattaa Sisällys Ilmakehä eli atmosfääri Ilmakehän kerrokset Ilmakehä kaasukoostumuksen mukaan Ilmakehä lämpötilan mukaan Säteilytase ja säteilyn absorboituminen Kasvihuoneilmiö
LisätiedotKeskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!
Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi
LisätiedotAloitetaan kyselemällä, mitä kerholaiset tietävät aurinkokunnasta ja avaruudesta ylipäänsä.
LUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: AURINKOKUNTA Huom! Valmistele maitopurkit valmiiksi. Varmista, että sinulla on riittävästi soraa jupiteria varten. 1. Alkupohdintaa Aloitetaan kyselemällä, mitä
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, kevät Luento 2, : Ilmakehän vaikutus havaintoihin Luennoitsija: Jyri Näränen
Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, kevät 2008 Luento 2, 24.1.2007: Ilmakehän vaikutus havaintoihin Luennoitsija: Jyri Näränen 1 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Optinen ikkuna Radioikkuna Ilmakehän
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011
1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan
LisätiedotS-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö
S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2
Lisätiedot