Albedot ja magnitudit

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Albedot ja magnitudit"

Transkriptio

1 Albedot ja magnitudit Tähtien kirkkauden ilmoitetaan magnitudiasteikolla. Koska tähdet säteilevät (lähes) isotrooppisesti kaikkiin suuntiin, tähden näennäiseen kirkkautaan vaikuttavat vain: 1) Tähden todellinen säteilyteho, joka puolestaan riippuu tähden koosta ja efektiivisestä lämpötilasta. 2) Tähden etäisyys. 3) Mahdollinen väliaineen absorptio. Planeettojen tapauksessa tilanne on mutkikkaampi. Ne näkyvät vain, koska ne heijastavat auringonvaloa. Kohteen näennäiseen kirkkauteen vaikuttavat: 1) etäisyys Auringosta 2) etäisyys Maasta 3) vaihekulma 4) pinnan heijastuskyky Oman aurinkokuntamme tapauksessa etäisyydet ovat niin pieniä, että planeettainvälisellä absorptiolla ei ole merkitystä.

2 Albedot Pinnan heijastuskykyä mittaava suure on albedo. Jos Auringon luminositeetti on L, säteilyvuon tiheys etäisyydellä r olevalla pallonpinnalla on F = L 4πr 2. Olkoon kappaleen säde R, jolloin sen poikkipinta-ala säteilyä vastaan kohtisuorassa suunnassa on πr 2. Kappaleeseen osuva säteilymäärä on siten L in = πr 2 L 4πr 2 = L R 2 4r 2. (1)

3 Kappale heijastaa tästä säteilystä vain osan. Loppuosa absorboituu ja muuttuu lämmöksi. Tämän osan se säteilee aikanaan lämpösäteilynä. Heijastuneen ja kappaleeseen osuneen säteilyn suhde A on aina välillä 0 A 1. Tämä suhde on Bondin albedo. Aurinko kohde r α R R r Maa Bondin albedon avulla ilmoitettuna kappaleen heijastaman säteilyn teho on L out = AL in = AL R 2 4r 2. Jos heijastunut säteily leviäisi isotrooppisesti kaikkiin suuntiin, olisi vuontiheys etäisyydellä F = L out 4π 2.

4 Heijastuneen säteilyn määrä riippuu kuitenkin suunnasta. Jos heijastava kappale on pallo, säteilyn jakauma riippuu vain vaihekulmasta α. Etäisyydellä havaittava vuontiheys on siten F = CΦ(α) L out 4π 2, (2) missä vaihefunktio Φ normitetaan siten, että Φ(0) = 1. Normitusvakio C saadaan ehdosta, että kaikki heijastunut säteily lähtee johonkin suuntaan: C = 4π 2 S Φ(α)dS = 2 (3) Φ(α) sin αdα. π 0 Suure q = 2 π 0 Φ(α) sin αdα (4) on nimeltään vaiheintegraali. Sen avulla lausuttuna on C = 4 q. (5)

5 Kun muistetaan, että L out = AL in, kaava (2) voidaan kirjoittaa muotoon F = CA 4π Φ(α) 1 2 L in. (6) Ensimmäinen tekijä on kullekin kohteelle ominainen vakio, toinen sisältää vaihekulmariippuvuuden, kolmas etäisyysriippuvuuden ja neljäs saapuvan säteilytehon. Ensimmäiselle tekijälle käytetään usein omaa merkintää Γ = CA 4π. (7) Kun tähän sijoitetaan C:n lauseke (5) ja ratkaistaan Bondin albedo A, saadaan A = 4πΓ C = πγ 4 C = πγq = pq, (8) missä tekijä p = πγ on nimeltään geometrinen albedo ja q on edellä esiintynyt vaiheintegraali. Näiden suureiden välillä on siis yhtälö A = pq. (9)

6 Geometrinen albedo ilmoittaa kappaleen heijastaman säteilyn vuontiheyden suhteen samankokoisen Lambertin levyn heijastamaan vuontiheyteen, kun molempia havaitaan vaihekulmalla α = 0. Geometrinen albedo riippuu pinnan heijastuskyvyn lisäksi siitä, mihin suuntaan pinta heijastaa valoa. Jos pinnan heijastuskyky on hyvä ja se suuntaa heijastuneen valon pääasiassa valon tulosuuntaan, geometrinen albedo voi olla ykköstä suurempi, ääritapauksena peili, jolle p on ääretön. Aurinkokunnan kappaleiden geometrinen albedo on tyypillisesti välillä Esimerkiksi Kuulle p = 0.12; suurin albedo on Saturnuksen kuulla Enceladuksella, p = 1.0. Syy geometrisen albedon käytölle on yksinkertainen: se saadaan suoraan havainnoista, mikäli myös kohteen koko tunnetaan. Bondin albedon laskeminen sen sijaan vaatisi havaintoja kaikilla vaihekulmilla, ts. vaiheintegraalin q ratkaisemista, mikä yleensä ei ole mahdollista.

7 Magnitudit Vaihefunktion ja albedon määrittelyjen jälkeen voimme johtaa kaavan planeetan magnitudille. Lähdetään havaitusta heijastuneen vuontiheyden arvosta F = CA 4π Φ(α) 1 2 L in. Sijoitetaan tähän planeettaan osuva vuontiheys L in = L R 2 4r 2 ja vakiotekijä geometrisen albedon avulla lausuttuna: CA 4π = Γ = p π. Näin saadaan F = p π Φ(α) 1 2 L R 2 4r 2. (10) Toisaalta havaittu Auringon säteilyvuon tiheys etäisyydellä a = 1 AU Auringosta on F = L 4πa 2, (11)

8 Näiden suhde on F = pφ(α)r2 a 2 F 2 r 2. (12) Jos Auringon näennäinen magnitudi 1 AU:n etäisyydellä on m ja planeetan näennäinen magnitudi m, on m m = 2.5lg F F = 2.5lg pφ(α)r2 a 2 2 r 2 = 2.5lg pr2 a 2 a 4 2 r 2 Φ(α) = 2.5lg p R2 a4 2.5lg a lg Φ(α) r2 = 2.5lg p R2 r + 5lg 2.5lg Φ(α). a2 a2 (13) Kun vielä merkitään V (1,0) m 2.5lg p R2 a 2, (14) magnitudikaava saadaan muotoon m = V (1,0) + 5lg r 2.5lg Φ(α). (15) a2

9 Ensimmäinen termi, V (1,0), riippuu vain planeetan koosta ja heijastusominaisuuksista. Se on siis planeetan ominaisuuksia kuvaava suure, ja sitä kutsutaankin absoluuttiseksi magnitudiksi. Toinen termi sisältää etäisyysriippuvuuden ja kolmas vaihekulmariippuvuuden. Jos vaihekulma on nolla ja asetetaan r = = a, yhtälöstä (15) jää jäljelle vain m = V (1,0). Tästä nähdään, että absoluuttinen magnitudi tarkoittaa planeetan magnitudia, jos sitä havaitaan vaihekulmalla nolla yhden AU:n etäisyydeltä ja jos myös Aurinko on yhden AU:n päässä planeetasta. Tämä tarkoittaa, että planeetta siirretään maapallon paikalle ja havaintoja tehdään Auringon keskipisteessä, siis varsin tukalassa paikassa.

10 Kun vaihekulma on nolla, kaavoista (14) ja (15) voidaan ratkaista geometrinen albedo: p = ( ) 2 r (m 0 m ), (16) ar missä m 0 = m(α = 0 ). Yhtälön (16) oikealla puolella on vain tunnettuja ja havainnoista saatavia suureita. Magnitudien laskemisen suurin ongelma sisältyy magnitudikaavan (15) viimeiseen termiin, jonka sisältämää vaihekulmariippuvuutta ei tunneta kunnolla kaikille kappaleille. Havainnoista saadaan kuitenkin absoluuttinen magnitudi vaihekulmalla α: V (1,α) V (1,0) 2.5lg Φ(α) = m 5lg r a 2. (17) Kun havaintoja tehdään eri vaihekulmilla, saadaan planeetan vaihekäyrä V (1,α). Sen muoto on hyvin erilainen ilmakehällisillä ja ilmakehättömillä kappaleilla.

11 Esimerkki: Marsin näennäinen magnitudi vuoden 1975 oppositiossa oli m 1 = 1.6 ja etäisyys Auringosta r 1 = 1.55 AU. Vuoden 1982 oppositiossa etäisyys Auringosta oli r 2 = 1.64 AU. Mikä oli tällöin Marsin magnitudi? Oppositiossa Marsin etäisyys Maasta on = r 1. Havaittu vuontiheys riippuu sekä Marsin etäisyydestä Maasta että Auringosta: F 1 r 2 2, joten magnitudille saadaan kaavan (4.9) perusteella m 1 m 2 = 2.5lg r2 2(r 2 1) 2 r 2 1 (r 1 1) 2 m 2 = m 1 + 5lg r 2(r 2 1) r 1 (r 1 1) = lg

12 Esimerkki: Milloin Venus näkyy kirkkaimmillaan Maasta katsottuna, jos vuontiheys F riippuu vain Venuksen valaistun pinta-alan suuruudesta ja Maasta mitatusta etäisyydestä? Oletetaan planeettojen radat ympyröiksi. Valaistu pinta-ala on puoliympyrän ACE pinta-ala + puolet ellipsin ABCD pinta-alasta. Ellipsin puoliakselit ovat R ja R cos α. Jos planeetan säde on R, on valaistu ala siis π R πr R cos α = π 2 R2 (1 + cos α), missä α on vaihekulma. Toisaalta vuontiheys on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, joten F 1 + cos α 2. (1) A R E B D α R α C havaitsijan näkemä valaistu pinta R cos α

13 Aurinko r r α ε Venus Kosinilauseesta saadaan Maa r 2 = r r cos α. (2) Ratkaistaan cos α ja sijoitetaan se kaavaan (1): F 2 r + r2 + 2 r 2 2r 3 (3) Lausekkeen (3) maksimi antaa etäisyyden, jolta Venus näkyy kirkkaimmillaan: df d = 4r + 3r2 3r r 4 = 0 = 2r ± r 2 + 3r. 2

14 Kun r = AU ja r = 1 AU, saadaan etäisyydeksi = 0.43 AU ja tätä vastaavaksi vaihekulmaksi kaavasta (2) α = 118. Venus on siis kirkkaimmillaan hieman suurimman itäisen elongaation jälkeen tai ennen suurinta läntistä elongaatiota. Sinilauseesta saadaan sinε r = sin α r, josta elongaatio ε = 40. Pinnasta on tällöin valaistuna 1 + cos α % = 27 %.

15 Oppositioilmiö Jos kappaleella on ilmakehä, valo heijastuu suhteellisen tasaisesti kaikkiin suuntiin. Heijastuvan säteilyvuon tiheys on silloin karkeasti ottaen verrannollinen valaistuna näkyvän osan alaan (tarkemmin sen projektioon näkösädettä vastaan kohtisuoralla tasolla). Ilmakehättömillä kappaleilla, kuten Kuulla, heijastuminen on voimakkaampaa valon tulosuuntaan. Sen seurauksena kohde kirkastuu voimakkaasti opposition lähellä. Tämä oppositioilmiö näkyy vaihekäyrän kääntymisenä nousuun vaihekulman laskiessa muutaman asteen alapuolelle. Osa oppositioilmiöstä voidaan kvalitatiivisesti ymmärtää niin, että pienillä vaihekulmilla kaikki varjot katoavat ja näemme vain valaistun pinnan. Kun vaihekulma kasvaa, varjot tulevat näkyviin ja kirkkaus pienenee nopeasti. Suurin osa johtuu kuitenkin ns. koherentista takaisinsironnasta, joka on seurausta valon aaltoluonteesta. täysikuu vaihekulma puolikuu

16 Ilmakehättömien kappaleiden magnitudit Kun esimerkiksi asteroidin vaihekulma on muutamaa astetta suurempi, magnitudi kasvaa lähes lineaarisesti vaihekulman mukana. Aikaisemmin käytetyssä magnitudijärjestelmässä tähän vaihekäyrän suoraan osaan sovitettiin suora, jota sitten jatkettiin vaihekulmalle 0. Näin saatiin arvio oppositiomagnitudille. Oppositioilmiön vuoksi asteroidi on oppositiossa kuitenkin huomattavasti tällaista ennustetta kirkkaampi. Vuonna 1985 IAU otti käyttöön HG-järjestelmän. Järjestelmää tullaan todennäköisesti muuttamaan seuraavassa IAU:n yleiskokouksessa 2012, mutta toistaiseksi ei ole tiedossa, millä tavoin. Nykyiset asteroidiluettelot kuvaavat vaihekäyriä vakioilla H ja G, joista magnitudit voidaan laskea seuraavasti: Lasketaan ensin vakiot a 1 ja a 2 : a 1 = (1 G)10 0.4H, a 2 = G10 0.4H. (1.18)

17 Näiden avulla saadaan vaihekäyrä: [ ( V (1,α) = 2.5lg a 1 exp a 2 exp ( tan α ) ) ( ( 1.87 tan α ) )] (1.19) Kun vaihekulma on nolla, on V (1,0) = 2.5lg(a 1 + a 2 ) = 2.5lg H = H, (1.20) joten H on juuri absoluuttinen magnitudi oppositiossa. Vakio G puolestaan liittyy vaihekäyrän muotoon. Kun G on suuri, on myös kerroin a 2 suuri, ja V (1,α):n lausekkeesta nähdään, että tämä painottaa enemmän hakasulkulausekkeen jälkimmäistä termiä. Suuremman eksponentin vuoksi tämä termi edustaa jyrkemmin laskevaa vaihekäyrää. Suuri G tarkoittaa siis voimakasta himmenemistä opposition ulkopuolella. Hyvin loivilla vaihekäyrillä G saattaa saada myös negatiivisia arvoja.

18 Planeettojen polarimetria Aurinkokuntamme kappaleista heijastunut valo on yleensä aina jossakin määrin polarisoitunutta. Polarisaatioaste riippuu paitsi pinnan ominaisuuksista myös vaihekulmasta. Polarisaatioaste P on P = F F F + F (21) missä F on valittua perustasoa eli sirontatasoa vastaan kohtisuoraan suuntaan ja F tämän tason suuntaisesti polarisoituneen valon vuontiheys. Määritelmästä seuraa, että P voi olla myös negatiivinen. Yleensä sirontatasoksi valitaan Maan, Auringon ja planeetan määräämä taso. Atmosfäärittömän kappaleen polarisaatio on yleensä aina positiivinen (P > 0); ainoastaan vaihekulmilla α < 20 esiintyy negatiivista polarisaatiota. Atmosfäärittömillä kappaleilla on huomattu polarisaation ja geometrisen albedon välinen yhteys. Tämä tarjoaa riippumattoman menetelmän albedon ja sitä kautta läpimitan määrittämiseksi. Atmosfääri mutkistaa tilannetta ja joillakin vaihekulmilla P voi olla huomattavan negatiivinen. Yleisen säteilynsiirtymisen teorian avulla voidaan laskea, kuinka valo käyttäytyy planeetan atmosfäärissä ja tätä kautta saadaan selville myös polarisaatio. Näin on saatu ensimmäiset tiedot mm. Venuksen pilvien koostumuksesta jo ennen luotainlentoja.

19 Magnitude (mag) E: (44) Nysa V: (4) Vesta S: (6) Hebe, (20) Massalia Degree of Polarization (%) E V S M C: (24) Themis M: (22) Kalliope, (69) Hesperia C a) Phase Angle ( ) b) Phase Angle ( ) Eri tyyppisten asteroidien vaihe- ja polarisaatiokäyriä.

20 Planeettojen lämpötilat Auringon säteilemä vuo on L = 4πR 2 σt 4. Jos planeetan Bondin albedo on A, säteilystä absorboituu osa 1 A, joka poistuu lämpösäteilynä. Planeetta absorboi vuon L abs = R2 σt 4 πr 2 r 2 (1 A). Termisessä tasapainossa planeetta säteilee saman määrän.

21 (1) Planeetta pyörii suhteellisen hitaasti. Silloin planeetan pimeä puoli ehtii jäähtyä ja lämpösäteily emittoituu pääasiassa valaistulta pinnalta. Planeetan säteilemä vuo on L em = 2πR 2 σt 4, Termisessä tasapainossa L abs = L em : R 2 T 4 r 2 (1 A) = 2T 4, josta ( ) 1/4 ( ) 1/2 1 A R T = T. 2 r (2) Planeetta pyörii nopeasti. Säteilyä emittoituu likimain yhtä paljon koko planeetan pinta-alalta: L em = 4πR 2 σt 4 ( ) 1/4 ( ) 1/2 1 A R T = T. 4 r

22 planeetta albedo etäisyys teoreettinen havaittu Auringosta lämpötila [K] maksimi- [AU] (1) (2) lämpötila Merkurius Venus Maa Mars Jupiter Erityisesti Venuksen teoreettinen ja havaittu lämpötila ovat hyvin erilaisia. Syynä on ilmakehän aiheuttama kasvihuoneilmiö.

23 Kasvihuoneilmiö Maanpinta absorboi Auringon säteilyä ja säteilee saamansa energian takaisin lähinnä pitkäaaltoisena lämpösäteilynä. Lämpö absorboituu ilmakehään ja lämmittää planeettaa edelleen. Ilman kasvihuoneilmiötä nykyisenlainen elämä Maassa ei olisi mahdollista. Voimistuvan kasvihuoneilmiön aiheuttama ilmaston lämpeneminen ihmisen toiminnan vuoksi on ihan toinen juttu. Kasvihuoneilmiötä vahvistavia kasvihuonekaasuja ovat erityisesti hiilidioksidi ja metaani. Kasvihuoneilmiö ei ole aivan onnistunut nimitys: kasvihuoneessa suuri vaikutus on myös sillä, että rakenteet estävät lämmön karkaamisen tuuletuksen (konvektion ja advektion) vaikutuksesta.

24 Elinkelpoinen vyöhyke Maapallon elämä käyttää liuottimena vettä. Elämä on mahdollista alueella, jossa lämpötila on ainakin osan aikaa veden sulamis- ja kiehumispisteen välillä. Elinkelpoisen vyöhykkeen sijaintiin vaikuttaa kasvihuoneilmiö, joten täsmällistä paikkaa ei voi kunnolla määritellä. Kuumilla tähdillä (esim. spektriluokat O, B) vyöhyke on leveä ja kaukana tähdestä. Leveä vyöhyke iso todennäköisyys, että siellä on planeettoja. Tähden kehitys on kuitenkin niin nopeaa, ettei elämällä ole aikaa kehittyä. Viileillä tähdillä (K, M) vyöhyke kapea ja lähellä tähteä. Tähden pääsarjavaihe hyvin pitkä, joten elämän kehittymiselle olisi runsaasti aikaa, mutta osuuko kapealle vyöhykkeelle yhtään planeettaa? Pääsarjavaiheen aikana tähdet kirkastuvat hitaasti, jolloin elinkelpoinen vyöhyke siirtyy kauemmas. Jatkuvasti elinkelpoinen vyöhyke on alue, joka pysyy elinkelpoisena huomattavan osan tähden pääsarjavaiheesta.

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

7.6 Planeettojen sisärakenne

7.6 Planeettojen sisärakenne 7.6 Planeettojen sisärakenne Luotaimien ratoihin kohdistuvat häiriöt planeetan gravitaatiokenttä Gravitaatiokenttä riippuu kappaleen muodosto ja sisäisestä massakajaumasta 1000 km ja suuremmat kappaleet:

Lisätiedot

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on

Lisätiedot

Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on

Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on 766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua

Lisätiedot

4 Fotometriset käsitteet ja magnitudit

4 Fotometriset käsitteet ja magnitudit 4 Fotometriset käsitteet ja magnitudit 4.1 Intensiteetti, vuontiheys ja luminositeetti Pinta-alkion da läpi kulkee säteilyä Avaruuskulma dω muodostaa kulman θ pinnan normaalin kanssa. Tähän avaruuskulmaan

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

Aurinkokunta, yleisiä ominaisuuksia

Aurinkokunta, yleisiä ominaisuuksia Aurinkokunta, yleisiä ominaisuuksia Antiikin aikaan Auringon ja Kuun lisäksi tunnettiin viisi kappaletta, jotka liikkuivat tähtitaivaan suhteen: Merkurius, Venus, Mars, Jupiter ja Saturnus. Näitä kutsuttiin

Lisätiedot

Valon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen

Valon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen Valon luonne ja eteneminen Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen 1 Valonlähteitä Perimmiltään valon lähteenä toimii kiihtyvässä liikkeessä olevat sähkövaraukset Kaikki

Lisätiedot

Hydrologia. Säteilyn jako aallonpituuden avulla

Hydrologia. Säteilyn jako aallonpituuden avulla Hydrologia L3 Hydrometeorologia Säteilyn jako aallonpituuden avulla Ultravioletti 0.004 0.39 m Näkyvä 0.30 0.70 m Infrapuna 0.70 m. 1000 m Auringon lyhytaaltoinen säteily = ultavioletti+näkyvä+infrapuna

Lisätiedot

Mistä tiedämme ihmisen muuttavan ilmastoa? Jouni Räisänen, Helsingin yliopiston fysiikan laitos

Mistä tiedämme ihmisen muuttavan ilmastoa? Jouni Räisänen, Helsingin yliopiston fysiikan laitos Mistä tiedämme ihmisen muuttavan ilmastoa? Jouni Räisänen, Helsingin yliopiston fysiikan laitos 19.4.2010 Huono lähestymistapa Poikkeama v. 1961-1990 keskiarvosta +0.5 0-0.5 1850 1900 1950 2000 +14.5 +14.0

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä

1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä 1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä 1.1 Vuontiheys ja pintakirkkaus Vuontiheys ( flux density ) kertoo, kuinka paljon säteilyenergiaa taajuskaistassa [ν,ν+1hz] virtaa 1 m 2 pinta-alan läpi sekunnissa.

Lisätiedot

Merkintöjä planeettojen liikkeistä jo muinaisissa nuolenpääkirjoituksissa. Geometriset mallit vielä alkeellisia.

Merkintöjä planeettojen liikkeistä jo muinaisissa nuolenpääkirjoituksissa. Geometriset mallit vielä alkeellisia. Johdanto Historiaa Antiikin aikaan Auringon ja Kuun lisäksi tunnettiin viisi kappaletta, jotka liikkuivat tähtitaivaan suhteen: Merkurius, Venus, Mars, Jupiter ja Saturnus. Näitä kutsuttiin planeetoiksi

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Ilmakehän vaikutus havaintoihin Ilmakehän häiriöt (kuva: @www.en.wikipedia.org) Sää: pilvet, sumu, sade, turbulenssi,

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Ilmakehän vaikutus havaintoihin. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Ilmakehän vaikutus havaintoihin. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos Ilmakehän vaikutus havaintoihin Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Ilmakehän transmissio (läpäisevyys) sähkömagneettisen säteilyn eri aallonpituuksilla 2.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Tähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta. Kuva NASA

Tähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta. Kuva NASA Tähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta Kuva NASA Aurinkokunnan rakenne Keskustähti, Aurinko Aurinkoa kiertävät planeetat Planeettoja kiertävät kuut Planeettoja pienemmät kääpiöplaneetat,

Lisätiedot

MAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006

MAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006 MAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006 I. Mitä kuvasta voi nähdä? II. Henrik Haggrén Kuvan ottaminen/synty, mitä kuvista nähdään ja miksi Anita Laiho-Heikkinen:

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ

VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ 56 VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ Hyvällä havaitsijalla keskimääräinen virhe tähdenlennon kirkkauden arvioimisessa on noin 0.4 magnitudia silloin, kun meteori näkyy havaitsijan näkökentän keskellä.

Lisätiedot

7. AURINKOKUNTA. Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä

7. AURINKOKUNTA. Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä 7. AURINKOKUNTA Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä Jupiter n. 4"päässä) = Keskustähti + jäännöksiä tähden syntyprosessista (debris) = jättiläisplaneetat,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI 622. Kun katsot tähtiä, niin niiden valo ei ole tasaista, vaan tähdet vilkkuvat. Miksi? Jos astronautti katsoo tähtiä Kuun pinnalla seisten, niin vilkkuvatko tähdet tällöinkin?

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

2. MITÄ FOTOMETRIA ON?

2. MITÄ FOTOMETRIA ON? Fotometria Tekijät: Hänninen Essi, Loponen Lasse, Rasinmäki Tommi, Silvonen Timka ja Suuronen Anne Koulut: Mikkelin Lyseon lukio ja Mikkelin Yhteiskoulun lukio Päiväys: 21.11.2008 Lukion oppiaine: Fysiikka

Lisätiedot

AURINKOKUNNAN RAKENNE

AURINKOKUNNAN RAKENNE AURINKOKUNNAN RAKENNE 1) Aurinko (99,9% massasta) 2) Planeetat (8 kpl): Merkurius, Venus, Maa, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus - Maankaltaiset planeetat eli kiviplaneetat: Merkurius, Venus, Maa

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

AURINKOENERGIA. Auringon kierto ja korkeus taivaalla

AURINKOENERGIA. Auringon kierto ja korkeus taivaalla AURINKOENERGIA Auringon kierto ja korkeus taivaalla Maapallo kiertää aurinkoa hieman ellipsin muotoista rataa pitkin, jonka toisessa polttopisteessä maapallo sijaitsee. Maapallo on lähinnä aurinkoa tammikuussa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

10. Polarimetria. 1. Polarisaatio tähtitieteessä. 2. Stokesin parametrit. 3. Polarisaattorit. 4. CCD polarimetria

10. Polarimetria. 1. Polarisaatio tähtitieteessä. 2. Stokesin parametrit. 3. Polarisaattorit. 4. CCD polarimetria 10. Polarimetria 1. Polarisaatio tähtitieteessä 2. Stokesin parametrit 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria 10.1 Polarisaatio tähtitieteessä Polarisaatiota mittaamalla päästään käsiksi moniin fysikaalisiin

Lisätiedot

9. Polarimetria. 1. Stokesin parametrit 2. Polarisaatio tähtitieteessä. 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria

9. Polarimetria. 1. Stokesin parametrit 2. Polarisaatio tähtitieteessä. 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria 9. Polarimetria 1. Stokesin parametrit 2. Polarisaatio tähtitieteessä 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria 10.1 Stokesin parametrit 10.1

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Maan ja avaruuden välillä ei ole selkeää rajaa

Maan ja avaruuden välillä ei ole selkeää rajaa Avaruus Mikä avaruus on? Pääosin tyhjiön muodostama osa maailmankaikkeutta Maan ilmakehän ulkopuolella. Avaruuden massa on pääosin pimeässä aineessa, tähdissä ja planeetoissa. Avaruus alkaa Kármánin rajasta

Lisätiedot

http://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html

http://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html http://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html Mars-planeetan olosuhteiden kehitys Heikki Sipilä 17.02.2015 /LFS Mitä mallit kertovat asiasta Mitä voimme päätellä havainnoista Mikä mahtaa

Lisätiedot

Kosmos = maailmankaikkeus

Kosmos = maailmankaikkeus Kosmos = maailmankaikkeus Synty: Big Bang, alkuräjähdys 13 820 000 000 v sitten Koostumus: - Pimeä energia 3/4 - Pimeä aine ¼ - Näkyvä aine 1/20: - vetyä ¾, heliumia ¼, pari prosenttia muita alkuaineita

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

9. Polarimetria. tähtitieteessä. 1. Polarisaatio. 2. Stokesin parametrit. 3. Polarisaattorit. 4. CCD polarimetria

9. Polarimetria. tähtitieteessä. 1. Polarisaatio. 2. Stokesin parametrit. 3. Polarisaattorit. 4. CCD polarimetria 9. Polarimetria 1. Polarisaatio tähtitieteessä 2. Stokesin parametrit 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria 9.1 Polarisaatio tähtitieteessä! Polarisaatiota mittaamalla päästään käsiksi moniin fysikaalisiin

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen pk I, 2012

Havaitsevan tähtitieteen pk I, 2012 Havaitsevan tähtitieteen pk I, 2012 Kuva: J.Näränen 2004 Luento 2, 26.1.2012: Ilmakehän vaikutus havaintoihin Luennoitsija: Thomas Hackman HTTPK I, kevät 2012, luento2 1 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin

Lisätiedot

XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II

XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy XFYS4336 Havaitseva

Lisätiedot

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008

Lisätiedot

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15

Lisätiedot

8. Fotometria (jatkuu)

8. Fotometria (jatkuu) 8. Fotometria (jatkuu) 1. Magnitudijärjestelmät 2. Fotometria CCD kameralla 3. Instrumentaalimagnitudit 4. Havaintojen redusointi standardijärjestelmään 5. Kalibrointi käytännössä 6. Absoluuttinen kalibrointi

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Oppilaiden ennakkokäsityksiä avaruuteen liittyen Aurinko kiertää Maata Vuodenaikojen vaihtelu johtuu siitä,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys 10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen

Lisätiedot

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman

Lisätiedot

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.

Lisätiedot

Aloitetaan kyselemällä, mitä kerholaiset tietävät aurinkokunnasta ja avaruudesta ylipäänsä.

Aloitetaan kyselemällä, mitä kerholaiset tietävät aurinkokunnasta ja avaruudesta ylipäänsä. LUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: AURINKOKUNTA Huom! Valmistele maitopurkit valmiiksi. Varmista, että sinulla on riittävästi soraa jupiteria varten. 1. Alkupohdintaa Aloitetaan kyselemällä, mitä

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Keskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!

Keskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, kevät Luento 2, : Ilmakehän vaikutus havaintoihin Luennoitsija: Jyri Näränen

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, kevät Luento 2, : Ilmakehän vaikutus havaintoihin Luennoitsija: Jyri Näränen Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, kevät 2008 Luento 2, 24.1.2007: Ilmakehän vaikutus havaintoihin Luennoitsija: Jyri Näränen 1 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Optinen ikkuna Radioikkuna Ilmakehän

Lisätiedot

2.7.4 Numeerinen esimerkki

2.7.4 Numeerinen esimerkki 2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun

Lisätiedot

Planeetan määritelmä

Planeetan määritelmä Planeetta on suurimassainen tähteä kiertävä kappale, joka on painovoimansa vaikutuksen vuoksi lähes pallon muotoinen ja on tyhjentänyt ympäristönsä planetesimaalista. Sana planeetta tulee muinaiskreikan

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Radioastronomian käsitteitä

Radioastronomian käsitteitä Radioastronomian käsitteitä allonpituusalue ~ 100 m - 1 mm MHz 300 GHz Leveä aallonpituusalue: erilaisia antenneja, monenlaista tekniikkaa Ei (suoraan) kuvia Signaali yleensä

Lisätiedot

Luento Kyösti Ryynänen

Luento Kyösti Ryynänen 1. Kasvihuoneilmiö Luento 30.1.2013 Kyösti Ryynänen 2. Kasvihuonekaasut 3. Kasvihuonekaasujen lähteet 4. Eri kasvihuonekaasujen merkitys 5. Pitoisuuksien muutokset Menneisyydessä Nykyiset trendit Tulevaisuudessa

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi. Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,

Lisätiedot

Toisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö

Toisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö Toisen asteen kärät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Toisen asteen kärä Toisen asteen käräksi kutsutaan kärää, jonka htälö -ssa on muuttujien

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6 FYSI040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus / 6 Laskuharjoitus 2. Halogeenilampun käyttöhyötysuhde on noin 6 lm/w. Laske sähköiseltä ottoteholtaan 60 watin halogenilampun tuottama: (a) Valovirta. (b) Valovoima

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Termiikin ennustaminen radioluotauksista. Heikki Pohjola ja Kristian Roine

Termiikin ennustaminen radioluotauksista. Heikki Pohjola ja Kristian Roine Termiikin ennustaminen radioluotauksista Heikki Pohjola ja Kristian Roine Maanpintahavainnot havaintokojusta: lämpötila, kostea lämpötila (kosteus), vrk minimi ja maksimi. Lisäksi tuulen nopeus ja suunta,

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

HAIHDUNTA. Haihdunnan määrällä on suuri merkitys biologisten prosessien lisäksi mm. vesistöjen kunnostustöissä sekä turvetuotannossa

HAIHDUNTA. Haihdunnan määrällä on suuri merkitys biologisten prosessien lisäksi mm. vesistöjen kunnostustöissä sekä turvetuotannossa HAIHDUNTA Haihtuminen on tapahtuma, missä nestemäinen tai kiinteä vesi muuttuu kaasumaiseen olotilaan vesihöyryksi. Haihtumisen määrä ilmaistaan suureen haihdunta (mm/aika) avulla Haihtumista voi luonnossa

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi Physica 9. painos (0) RATKAST. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi RATKAST:. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi. a) Vaihtovirran tehollinen arvo on yhtä suuri kuin sellaisen tasavirran arvo, joka tuottaa vastuksessa

Lisätiedot

Mikroskooppisten kohteiden

Mikroskooppisten kohteiden Mikroskooppisten kohteiden lämpötilamittaukset itt t Maksim Shpak Planckin laki I BB ( λ T ) = 2hc λ, 5 2 1 hc λ e λkt 11 I ( λ, T ) = ε ( λ, T ) I ( λ T ) m BB, 0 < ε

Lisätiedot

PYP I / TEEMA 4 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS

PYP I / TEEMA 4 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS 1 PYP I / TEEMA 4 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS Aki Sorsa 2 SISÄLTÖ YLEISTÄ Mitattavuus ja mittaus käsitteinä Mittauksen vaiheet Mittaustarkkuudesta SUUREIDEN MITTAUSMENETELMIÄ Mittalaitteen osat Lämpötilan

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot