STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 115

Transkriptio

1 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Stokastiset differentiaaliyhtälöt Kävimme läpi edellisessä kappaleessa kaksi reuna-arvotehtävää, jotka voidaan ratkaista stokastisen integroinnin avulla käyttäen hyväksi Brownin liikettä. Havaitsimme myös, että Brownin liike tuntui vastaavan jollakin tavalla differentiaalioperaattoria 1. 2 Yritämme hieman yleistää tätä, jotta saamme paremman kuvan stokastisista differentiaaliyhtälöistä. Merkitsemme seuraavassa kirjaimella L operaattoria, joka liittää funktioon f sen ensimmäisen ja toisen kertaluvun derivaatoista rakennetun funktion. Formaalisti merkitsemme siis L: f ( x 1 A jk (xf 2 jk (x+ b j (xf j (x. j,k j Asiaa selventää hieman, jos valitsemme A jk (x =[j = k ] ja b j (x =, jolloin L = 1. Tarkastelemme seuraavassa edellisen kappaleen esimerkkejä hieman 2 muistuttavaa parabolista tehtävää t u = Lu, joukossa (, R d (7.1 u(,x=f(x jokaisella x R d ja oletamme, että u on jatkuva koko joukossa [, R d. Funktion u ensimmäinen koordinaatti on aikakoordinaatti ja loput ovat paikkakoordinaatteja. Derivaatta t derivoi siis ajan suhteen ja operaattori L derivoi paikkakoordinaattien suhteen. Tilanne on hieman toisenlainen kuin edellisissä esimerkeissä, sillä jos L = 1, niin tehtävä on 2 t u = 1 (7.2 u, joukossa (, Rd 2 u(,x=f(x jokaisella x R d. Tämä on kuitenkin oleellisesti yksinkertaisempi tehtävä, kuten huomaamme pian. Jos vasen puoli olisi, niin tietäisimme, että kannattaisi lähteä tarkastelemaan stokastista prosessia X t = u(b t. Mutta nyt dimensiot eivät täsmää, joten koitammekin tarkastella prosessia X t = u(f(t,b t. Jos u olisi hyvin sileä ja funktio f : R R olisi myös sileä, niin voisimme käyttää Itōn kaavaa ja siis dx t = t u(f(t,b t df(t + dm t u(f(t,b tdt. Jos siis df(t = dt eli f(t =s t, niin jos t u 1 2 u =, niin X t olisi lokaali martingaali välillä [,s ja voisimme jatkaa lähes samaan tyyliin kuin ennenkin.

2 116 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Käyttämällä optionaalisen pysäyttämisen lausetta, voisimme päätellä, että E x X = u(s, x =E x X s = E x u(,b s =E x f(b s Siispä havaitsemme, että tehtävä (7.2 liittyy läheisesti prosessiin Z t := u(s t, B t ja sitä kautta suoraan Brownin liikkeeseen B. Yleisemmin voimme kysyä, liittykö alkuarvotehtävään (7.1 jokin vastaava stokastinen prosessi X, joka tekisi prosessista Z t := u(s t, B t lokaalin martingaalin. Teemmekin yritteen, (7.3 dx t := σ(x t db t + c(x t dt, X = x joillakin matriisilla σ : z (σ ij (z ja vektorilla c: R d R d ja oletamme, että u on alkuarvotehtävän (7.1 ratkaisu. Voimme siten soveltaa Itōn kaavaa prosessiin Z t = u(s t, X t ja saamme, että dz t = t u(s t, X t dt+ j u j (s t, X t dx j t + 1 u 2 jk (s t, X t d X j,x k t. j,k Jos d X j,x k t = A jk (X t dt ja jos c(x t =b(x t, niin ( dz t = t u(s t, X t + u j (s t, X t b j (X t j A jk (X t u jk (s t, X t dt +dm t j,k = Lu(s t, X t dt +dm t =dm t Olemme siten jo löytäneet yritteemme vektorifunktion c. Matriisi σ on vielä kateissa, mutta voimme laskea suoraan, mitä on d X j,x k t? Koska X t = N t + A t, niin X j,x k t = N j,n k t, kun siis dn j t = k σ jk (X t db j t ja siten d X j,x k t = l,m σ jm (X t σ kl (X t d B m,b l t. Tiedämme jo, että d B m,b l t =[m = l ]dt, joten d X j,x k t = l σ jl (X t (σ lk (X t dt =(σσ jk (X t dt, missä matriisifunktio σ vastaa matriisifunktion σ transpoosia. Haluamme siten löytää matriisifunktion σ, jolle σσ = A, koska tällöin Z t on lokaali martingaali välillä [,s. Olemmekin jo lähes päätelleet, että

3 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Lemma. Oletetaan, että X on stokastisen differentiaaliyhtälön (7.3 ratkaisu. Oletetaan edelleen, että u on alkuarvotehtävän (7.1 rajoitettu ja kahdesti derivoituva ratkaisu sekä oletetaan, että kaavan (7.3 funktio c = b ja σσ = A. Tällöin u(x, t =E x f(x t. Todistus. Tiedämme oletusten ja edeltävän avulla, että Z t = u(s t, X t on jatkuva lokaali martingaali välillä [,s. Koska u on rajoitettu, on Z tasaisesti integroituva, ja siten sillä on raja-arvo Z s = lim t s Z t = u(,x s =f(x s. Koska E x Z s = E x Z = u(s, x, niin väite seuraa. Tämä tulos on sekä yksikäsitteisyystulos alkuarvotehtävälle (7.1 mutta myös stokastiselle differentiaaliyhtälölle ( Lemma. Oletetaan, että alkuarvotehtävällä (7.1 on rajoitettu ratkaisu u jokaisella jatkuvalla f. Jos X x ja X x ovat kaksi stokastisen differentiaaliyhtälön (7.3 ratkaisua, niin tällöin X x t X x t jokaisella t ja jokaisella x. Todistus. Edellisen lemman avulla tiedämme, että u(t, x =E f(x x t =E f( X x t jokaisella x ja jokaisella t sekä jokaisella f. Merkitään ξ := X x t ja ξ := X x t. Voimme nyt approksimoida kuutiota (,a 1 ] (,a d ] R d jatkuvilla funktioilla ja päättelemme siten, että P ( ξ j a j kun j =1,..., d = P ( ξ j a j kun j =1,..., d 7.6. Huomautus. Funktion u(t, x =E f(x x t =E x f(x t avulla voimme määritellä kuvauksen P t, joka liittää funktion f kullakin ajahetkellä t funktion x u(t, x. Jos prosessi X on aikastationaarinen Markovin prosessi, niin P t f(x =E x E (f(x t F s = E x E X(s f(x t s = E x P t s f(x s = P s P t s f(x s

4 118 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tämän ominaisuuden takia kuvauksia (P t t nimitetään Markovin prosessin X siirtymäpuoliryhmäksi. Tämän puoliryhmän analyyttinen tarkastelu mahdollistaa aikastationaaristen Markovin prosessien tutkimisen funktionaalianalyyttisin keinoin. Itse asiassa, voisimme osoittaa, että puoliryhmän tunteminen määrää prosessin tietyssä mielessä yksikäsitteisesti eli voisimme parantaa edellisen lemman tulosta huomattavasti (jos vain tietäisimme, että prosessi on Markovin prosessi. Edelleen voimme todeta käsitteistöstä sen, että kuvausta L sanotaan yleensä Markovin prosessin X infinitesimaaliseksi virittäjäksi, sillä se kertoo oleelliseseti sen, kuinka prosessi X käyttäytyy infinitesimaalisten lyhyellä ajalla Martingaaliongelma ja heikot ratkaisut. Olemme jo varsin lähellä stokastisten differentiaaliyhtälöiden yleisen teorian alkeita. Lähtökohtamme oli stokastinen differentiaaliyhtälö (7.7 X t = X + σ(x s db s + b(x s ds ja totesimme, että jos alkuarvotehtävä (7.1 on rajoitettu ja mukavasti ratkeava, niin jos X t on yhtälön (7.7 ratkaisu, niin E x f(x t =u(t, x on alkuarvotehtävän (7.1 ratkaisu. Vielä emme tiedä, onko stokastista prosessia X oikeasti edes olemassa! Voimme myös kysyä, että mitä tarkoitamme olemassololla. Joka tapauksessa ainakin σ ja b on annettava etukäteen, jotta voimme puhua olemassaolosta. Eräs tapa ajatella on se, että jos myös alkujakauma X sekä Brownin liike B on annettu, niin haluamme rakentaa prosessin X siten, että se on adaptoitu filtraation F X t = Ĥt { {X A} : A B(R d } suhteen. Jotta Brownin liike B olisi Brownin liike tämänkin filtraation suhteen on syytä olettaa, että X on riippumaton Brownin liikkeestä. Yleensä lähtöjakauma on yksittäinen piste, jolloin vakiosatunnaismuuttuja ei lisää mitään tietoa Brownin liikkeen historiaan eikä siten muuta Brownin liikettä. Toinen hieman oudommalta kuullostava ajatus on se, että voimme samanaikaisesti konstruoida myös Brownin liikkeen B eli konstruoimme parin (X, B ja vaadimme, että näin määritellyt prosessit toteuttavat yhdessä yhtälön ( Määritelmä. Jos X ja Brownin liike B on annettu, niin jos löydämme stokastisen prosessin X, joka on adaptoitu filtraation (F X t suhteen ja joka toteuttaa yhdessä annetun X sekä annetun Brownin liikkeen B kanssa yhtälön (7.7, niin sanomme, että X on stokastisen differentiaaliyhtälön (7.7 vahva ratkaisu.

5 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 119 Muotoilemme tämän avulla Itōn olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen stokastisten differentiaaliyhtälöiden vahvojen ratkaisujen olemassaololle. Tämä on hyvin lähellä tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian perusolemassaolo- ja yksikäsitteisyystuloksen kanssa ja se vaatii siten tietynlaista sileyttä kertoimilta b ja σ Lause. Oletaan, että funktiot b ja σ toteuttavat jollakin aikavälillä [,s] ehdot: hitaan kasvun oletuksen sekä paikan suhteen Lipschitzin ehdot b(t, x + σ(t, x C(1 + x b(t, x b(t, y + σ(t, x σ(t, y D x y. Jos X on riippumaton Brownin liikkeestä B ja sillä on äärellinen toinen momentti, niin tällöin yhtälöllä (7.7 on poluttain yksikäsitteinen vahva ratkaisu X. Todistus. Todistus perustuu samaan ajatukseen kuin tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian vastaava tulos. Määrittelemme induktiivisesti jonon X (n+1 t = X + σ(x n s db s + b(x n s ds kun n N ja asetamme X t = X. Näytämme sitten, että i kun n kasvaa äärettömiin, niin X n X. ii tämä nähdään asettamalla n (t := E X n t X n 1 t 2 niin voimme kasvu- sekä Lipschitzin ehtojen avulla arvioida, että n+1 (t C n (udu iii koska suoraan laskemalla 1 (t C(1 + tt, niin voimme päätellä, että sup n (s s t rn+1 n + 1! jollakin r>ja tästä voimmekin päätellä, että raja-arvo X on olemassa. iv Määrittelemällä X t := X + σ( X s db s + löydämme ainakin yhden ratkaisun. b( X s ds

6 12 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT v Jos Y on jokin toinen ratkaisu, niin voimme päätellä, että jos asetamme niin (t CE sup s t (t := E sup X s Y s 2, s t M s (X, Y 2 + CE sup s t ˆ s A u (X, Y du 2 vi martingaaliosaa M(X, Y voimme aluksi arvioida Doobin maksimaaliepäyhtälöllä, sen jälkeen Cauchyn Schwarzin epäyhtälöllä ja havaitsemme, että E sup M s (X, Y 2 4t s t E σ(s, X s σ(s, Y s 2 ds 4tD 2 E X s Y s 2 ds 4tD 2 (sds vii vastaavasti lokaalisti rajoitetusti heilahteleva osa voidaan arvioida Cauchyn Schwarzin epäyhtälöllä ja sitten Lipschitzin ehdolla ja saamme vastaavasti E sup s t viii kaiken kaikkiaan ˆ s A u (X, Y du 2 td 2 (sds (t C (sds ja Gromwallin epäyhtälön nojalla (t =. Siispä X s = Y s kaikilla s t. Jos oletamme vähemmän kertoimilta b ja σ tai paremminkin suoraan kertoimilta b ja a, niin vahvaa ratkaisua ei yleensä aina löydy. Tyydymmekin yleensä heikompaan ratkaisuun Määritelmä. Oletetaan, että jokin filtraatio (F t on annettu. Oletamme, myös että on annettu jokin F -mitallinen satunnaismuuttuja X. Jos löydämme stokastisen prosessin X sekä jonkin Brownin liikkeen B, jotka ovat adaptoituja filtraation (F t suhteen ja jotka toteuttavat yhdessä annetun X kanssa yhtälön (7.7, niin sanomme, että X tai tarkemmin pari (X, B on stokastisen differentiaaliyhtälön (7.7 heikko ratkaisu Huomautus. Heikon ja vahvan ratkaisun määritelmien ero se, että vahvassa ratkaisussa Brownin liike on etukäteen annettu mutta heikossa ratkaisussa

7 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 121 rakennamme (F t -adaptoidun Brownin liikkeen saman aikaisesti. Huomaammekin siis, että jos ratkaisu on vahva, niin se on myös heikko, sillä voimme pitää annettua Brownin liikettä myös jälkikäteen konstruoituna Huomautus. Se, mitä Brownin liikkeen rakentaminen edellisessä tarkoittaa, niin haluamme siis löytää jonkin Gaussisen prosessin B, joka on (F t - adaptoitu, jonka lisäykset B(t + h B(t ovat samoin jakautuneita kuin tavallisella Brownin liikkeellä ja mikä tärkeintä riippumattomia σ-algebrasta F t jokaisella t, h >. Tässä mielessä filtraatio (F t on eräänlainen historia tälle Brownin liikkeelle, mutta pientä ennustamista voidaan mahdollisesti siis sallia. Mitä etua tällaisista heikoista ratkaisuista oikein on? Eräs etu on se, että on paljon tilanteita, milloin ainoastaan heikko ratkaisu on olemassa. Ja lisäksi alkuarvo- sekä reuna-arvotehtävätarkasteluihin heikot ratkaisut riittävät varsin mainiosti, sillä niissä emme tarvinneet Brownin liikkeen olevan jokin tietty vaan mikä tahansa Brownin liike kävi. Jotta nämä erot tulisivat hieman selvemmiksi, niin määrittelemme kaksi ratkaisun yksikäsitteisyysominaisuutta Määritelmä. Oletetaan, että on annettu jokin (F t filtraatio todennäköisyyavaruudella (Ω, F, P. Oletetaan, että (X, B ja (X,B on kaksi yhtälön (7.7 heikkoa ratkaisua tämän filtraation suhteen. Sanomme, että yhtälön (7.7 ratkaisu on poluttain yksikäsitteinen, jos ehdoista X = X sekä B = B seuraa, että X = X Huomautus. Määritelmän merkinnällä B = B (ja vastaavasti X = X tarkoitimme että melkein varmasti polut t B(t, ω sekä t B (t, ω ovat samat Huomautus. Olemassaolo- ja Yksikäsitteisyyslauseessa saatu yksikäsitteisyys oli poluttaista yksikäsitteisyyttä, sillä saadut ratkaisut olivat vahvoja, joten B = B ja X = X toteutuivat automaattisesti. Koska näimme, että jos X ja Y ovat kaksi vahvaa ratkaisua, niin X = Y. Seuraava yksikäsitteisyysominaisuus kuvailee ratkaisujen jakaumia Määritelmä. Olkoon (X, B ja (X,B kaksi yhtälön (7.7 heikkoa ratkaisua. Sanomme, että yhtälön (7.7 ratkaisu on jakaumaltaan yksikäsitteinen, jos ehdosta X X, seuraa, että X X eli jos jokaisella t 1 < <t n on voimassa (X(t 1,... X(t n (X (t 1,..., X (t n. Osoittautuu, että poluttainen yksikäsitteisyys on vahvempi kuin jakaumayksikäsitteisyys ja poluttain yksikäsitteisyys takaa ratkaisujen olevan vahvoja.

8 122 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Lause. Jos yhtälöllä (7.7 on poluttain yksikäsitteiset ratkaisut, niin i yhtälön ratkaisut ovat myös jakaumiltaan yksikäsitteisiä ii sekä yhtälön ratkaisut (jos olemassa ovat aina vahvoja. Poluttainen yksikäsitteisyys on lisäksi aidosti vahvempi kuin jakaumayksikäsitteisyys. Esittelemme sitä varten Levyn lauseen Lause. Jos X on jatkuva lokaali (F t -martingaali, X =ja X t = t jokaisella t, niin X on Brownin liike. Todistus. HT Esimerkki. Olkoon B tavallinen 1-ulotteinen Brownin liike ja asetetaan W t := sgn (B t db t. Tässä sgn x =[x ] [ x<]. Tiedämme, että W t on jatkuva lokaali martingaali ja W t = sgn (B s 2 ds = ds = t. Levyn lauseen nojalla tiedämme, että W on Brownin liike filtraation Ĥt suhteen. Nyt tarkastelemme hyvin läheistä stokastista differentiaaliyhtälöä ( dx t = sgn (X t dw t Teemme yritteen X 1 t = sgn (B s dw s. Koska W on martingaali filtraation (Ĥt suhteen, niin integraali on hyvin määritelty. Tämä siksi, että B on luonnollisesti ennustettava historiansa suhteen, mistä voimme päätellä, että sgn (B t on optionaalinen prosessi. Vaikka määrittelimmekin integraalit ennustettaville prosesseille, olisimme pienellä lisätyöllä voineet käsitellä optionaalisetkin integrandit. Siispä liitännäisyyslain avulla dxt 1 = sgn (B t dw t = sgn (B t 2 db t, joten Xt 1 = B t ja siis X 1 t = sgn (B s dw s = sgn (X 1 t dw s. Olemme siten päätelleet, että pari (X 1,W on stokastisen differentiaaliyhtälön ( heikko ratkaisu. Toisaalta voimme päätellä, että myös prosessi Xt 2 = B t toteuttaa stokastisen differentiaaliyhtälön (, sillä X 2 t = sgn (B s dw s = sgn ( B s dw s = sgn (X 2 s dw s.

9 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 123 Tässä toinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että sgn ( x = sgn (x, kunhan x ja todennäköisyys sille, että Brownin liike viettäisi pisteessä aidosti positiivisen ajan on nolla. Olemme siten löytäneet toisenkin heikon ratkaisun (X 2,W. Molemmat ratkaisuista (X 1,W ja (X 2,W ovat adaptoitu saman filtraation (Ĥt suhteen. Koska Brownin liikeet ovat samat, niin jos yhtälöllä ( olisi poluttain yksikäsitteinen ratkaisu, niin silloin X 1 = X 2 eli B = B, mikä on mahdotonta. Valitettavasti meillä ei ollut aikaa osoittaa riittävää koneistoa, jonka avulla olisimme voineet osoittaa, että X 1 (eikä X 2 eikä mikään muukaan ratkaisu ole mitallinen prosessin W historian suhteen eli yhtälöllä ei ole vahvoja ratkaisuja. Olemme siten päätelleet, että yhtälöllä ( ei ole poluttain yksikäsitteisiä ratkaisuja. Mutta jakaumaltaan ratkaisut ovat samat, sillä X 2 X 1. Tämä pitää paikkaansa yleisestikin, sillä jos (X, B on yhtälön dx t = sgn (X t db t heikko ratkaisu, niin tiedämme, että X t on lokaali martingaali sekä X t = t. Siispä Levyn lauseella kaikki ratkaisut ovat Brownin liikkeitä eli jakaumat ovat yksikäsitteisesti määrättyjä. Heikkoja ratkaisuja on siten hieman enemmän, joten olisi mukava tietää, kuinka paljon niitä on Lause. Jos stokastisen differentiaaliyhtälön (7.7 kertoimet σ ja b ovat jatkuvia ja rajoitettuja, niin yhtälöllä on ainakin yksi heikko ratkaisu. Jos lisäksi löytyy c >, että σ(xy c y jokaisella y R d, niin ratkaisu on jakaumaltaan yksikäsitteinen. Todistus. Sivuutetaan sillä tämä ei ole ihan selviö. Eräs tapa osoittaa edellinen lause on käyttää Markovin puoliryhmämenetelmiä ja funktionaalianalyysin keinoja. Toinen tapa on käyttää martingaalitekniikkaa, jota hienosti sovelsivat tähän Daniel W. Stroock ja S. R. Srinivasa Varadhan. Selvitämme näin lopuksi hieman tätä lähestymistapaa, sillä olemme soveltaneet sitä edellisissä esimerkeissä varsin läheisesti. Jos tietäisimme, että yhtälöllä (7.7 on ratkaisu, voisimme päätellä seuraavaa. Jos ϕ C 2 (R d on kompaktisti kannattettu kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio, niin Z t = ϕ(x t on jatkuva semimartingaali filtraation (F t suhteen. Siispä Itōn kaavan avulla ϕ(x t =ϕ(x + j ϕ j (X s dx j s j,k ϕ jk (X s d X j,x k t.

10 124 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Siispä voimme laskea, että ( E (ϕ(x t F s = ϕ(x s +E Martingaaliominaisuuden avulla ( E ϕ j (X u σ jk (X u dbu k F s = s k s kullakin j, joten ensimmäisestä intergraalista jää jäljelle (ˆ t E ϕ j (X u b j (X u du F s j s s... F s ja toimimalla vastaavasti kovarianssiprosessitermin kanssa havaitsemme lopulta, että ( (7.21 E (ϕ(x t F s = ϕ(x s +E Lϕ(X u du F s. Siispä E (M ϕ t F s := E ( ϕ(x t s Lϕ(X u du F s (ˆ s = ϕ(x s E Lϕ(X u du F s = Ms ϕ on (F s -martingaali jokaisella ϕ C 2 (R d. Jos prosessi X on lisäksi Markovin prosessi (mutta ei yleensä aikastationaarinen, niin voisimme laskea hieman pidemmälle, sillä jos v s < t, niin voimme ehdollistaa identiteetin (7.21 ajanhetkeen v s<t, joten (7.22 E v,x(v E (M ϕ (t F s = E v,x(v M ϕ (s missä käytimme Markovin ominaisuutta siten, että E (Z F v = E (Z X v =: E v,x(v Z kun Z on T v -mitallinen ja integroituva satunnaismuuttuja. Olemme siten nähneet, että M ϕ t on todennäköisyysmitan P v,x suhteen (F t -martingaali välillä [v, jokaisella v ja jokaisella x R d. Daniel W. Stroock ja S. R. Srinivasa Varadhan käänsivät tilanteen päälaelleen ja ottivat tämän ominaisuuden (7.22 koko stokastisten differentiaaliyhtälöiden tutkimuksen pohjaksi ja esittivät martingaaliongelman Määritelmä (Martingaaliongelma. Oletetaan, että A ja b ovat rajoitettuja ja mitallisia funktioita ja määrävät operaattorin L. Jos (v, x R + R d on annettu piste, niin todennäköisyysmitta P v,x on martingaaliongelman ratkaisu, jos.

11 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 125 i P v,x ( X s = x jokaisella s v =1 ii stokastinen prosessi (M ϕ t on (F t -martingaali todennäköisyysmitan P v,x suhteen jokaisella ϕ C (R d Määritelmä. Jos edellinen martingaaliongelma on ratkeava jokaisella (v, x R + R d ja ratkaisu on yksikäsitteinen, niin silloin sanomme, että martingaaliongelma MP(A, b on hyvin asetettu. Tämä martingaaliongelma yleistää tavallaan sen, mitä olemme pyrkineet koko ajan tekemään. Jos ulottuvuuksia on 1 ja funktiot a(x =1ja b(x =, niin martingaaliongelma on polynomiapproksimoinnin kanssa lähellä sitä, että tietäisimme prosessin M ϕ olevan martingaali, kun ϕ 1 (x =x tai ϕ 2 (x =x 2. Siispä tällöin martingaaliongelma vastaisi tietoa siitä, että X t on martingaali (sillä Lϕ 1 (x = 1 2 D2 x = sekä tietoa, että Xt 2 t on martingaali (sillä Lϕ 2 (x = 1 2 D2 x 2 =1. Siispä Levyn lause sanoisikin jo, että X on Brownin liike, eli martingaaliongelma MP(1, vaikuttaisi hyvin asetellulta. Emme valitettavasti voi käydä läpi martingaaliongelmien hyvin aseteltavuutta tarkasti, mutta voimme hieman käydä läpi, mitä voidaan päätellä Lause. Oletetaan, että σσ = A. Martingaaliongelma MP(A, b on hyvin asetettu jos ja vain jos stokastisella differentiaaliyhtälöllä (7.7 on heikko ratkaisu, joka on jakaumaltaan yksikäsitteinen. Todistus. Martingaaliongelman ratkaisuksi kelpaa heikon ratkaisun (X, B prosessin X jakauma (eli jos X v = x, niin prosessin Y t = X t v jakauma antaa yksikäsitteisen todennäköisyysmitan P v,x. Toiseen suuntaan meno vaatisi hieman lisää päättelyitä, joten kiinnostunut voi katsoa tätä vaikka Stroockin Varadhanin kirjasta Multidimensional Diffusion Processes katsomalla Lukua 4. Lause antaa itse asiassa lopulta tämän käänteisen suunnan. Siis martingaaliongelma on käytännössä sama asia kuin stokastisen differentiaaliyhtälön heikko ratkeavuus. Puuttuvat Markovin ominaisuudetkin saadaan nyt helposti Lause (Markovin ominaisuus. Jos martingaaliongelma MP(σσ,b on hyvin asetettu ja jos (X x,b on stokastisen differentiaaliyhtälön (7.7 jakaumaltaan yksikäsitteinen heikko ratkaisu kun X = x, niin E (f(x x t F s = E s,x x (s f (X x t =v(t s, X x s kun v(t, z =E f(x z t ja kun f on rajoitettu. Todistus. Tuloksen todistus vaatisi hieman enemmän työkaluja todennäköisyysteoriasta, mitä meillä on, joten hahmotellaan vain ajatus. Markovin (myös

12 126 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT vahva ominaisuus tarkoittaa kutakuinkin sitä, että jos olemme ajanhetkellä s<ttilassa X(s =z, niin tapahtuman todennäköisyys, että myöhemmällä ajanhetkellä t olemme tilassa X(t =w ei riipu siitä, että millaista polkua pitkin kuljimme ajanhetkestä ajanhetkeen s. Jos aika on diskreetti, tämä oli itse asiassa alkuperäinen määritelmämme, mutta jatkuvassa tilanteessa tämä vaatii hieman lisää käsitteitä (säännölliset ehdolliset jakaumat ja muut kaverit joten tyydymme hieman heuristiseen käsittelyyn. Koska tarvitsemme kuitenkin σ-algebra-merkintää, niin poikkeukselliseti kirjoitamme funktion σ muodossa σ. Tiedämme, että (X x,b on yhtälön ( X t = X + σ(x u db u b(x u du ratkaisu, kun X = x. Voimme kirjoittaa tämän myös muodossa X x t = X x s + σ(x u db u jokaisella s<t, joten voimme päätellä, että X x t suhteen. Siispä voimme päätellä, että s b(x u du F s,t := σ(x x s { B u : u [s, t] } on mitallinen σ-algebran E (f(x x t F s = E (f(x x t X x s = E s,x x (s f(x x t jokaisella mitallisella ja rajoitetulla funktiolla f. Siispä X x on Markovin prosessi. Haluamme vielä osoittaa, että v(t s, Xs x =E (f(xt x Xs x. Ajatusta hieman helpottaen oletamme, että Xs x = z. Tällöin tiedämme, että Y t := Xt+s x ja Z t := Xt z ovat molemmat yhtälön ( ratkaisuja, kun X = z. Koska martingaaliongelma on hyvin asetettu, on ratkaisun jakauma yksikäsitteinen. Siispä Y t s Z t s, joten E (f(y t s Y = z = E (f(z t s Z = z Koska E z f(y t s =E(f(Xt x X s ja E z f(z t s =E z f(xt s z =v(t s, z, niin väite lähestulkoon tuli osoitettua Huomautus. Odotusarvo E v,x Z tulisi lukea satunnaismuuttujan Z odotusarvona, kun ajanhetkellä v prosessi X on tilassa x. Tämä eroaa aiemmin jatkuvasti käyttämästämme aikastationaarisesta tapauksesta siten, että jos esimerkiksi Z =[X(t A ], niin nyt siis P ( X t A F v = P v,x(v ( X t A

13 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 127 kun aikastationaarisessa tapauksessa olisimme kirjoittaneet P ( X t A F v = P X(v ( X t v A = P,X(v ( X t v A missä X t := X t+v. missä viimeinen on tämän yleisen tapauksen merkintä, mutta olemme siis pudottaneet aina nollan turhana pois. Tärkein ero on siis se, että aikastationaarisessa tapauksessa X X, mutta yleisessä tapauksessa tätä samaistusta ei voi siis tehdä.