Trigonometriset funk4ot
|
|
- Seppo Aho
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Trigonometriset funk4ot Suorakulmainen kolmio sin() = a c cos() = b c hypotenuusa c tan() = sin() cos() = a b kulma b katee= a katee= a = c sin() b = c cos() cot() = cos() sin() = b a Trigonometriset funk4ot Suorakulmainen kolmio hypotenuusa c kulma b katee= Pythagoraan lause: a + b = c (c sin()) + (c cos()) = c c sin () + c cos () = c sin () + cos () = a katee= Huomaa merkintä: sin () = (sin())
2 Miten sin, cos, tan määritellään muilla kulmilla? Yksikköympyrä (ympyrä jonka säde on ) (0,) (cos, sin ) (-,0) cos sin (,0) (0,- ) Radiaanit ja asteet Kehän pituus on πr Yksikköympyrä, R = Kehän pituus π Kulman suuruus radiaaneina vastaa kulman sisään jäävän yksikköympyrän kaaren pituuua Koko ympyrä = 360 = π radiaania
3 Nega4iviset kulmat cos(- ) = cos() sin(- ) = - sin() (0,) (cos, sin ) (-,0) - sin (,0) (0,- ) (cos, - sin ) Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot 3
4 0 Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = sin(0) = 0 4
5 π/ Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 sin(0) = 0 sin(π/) = 5
6 π Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 cos(π)=- sin(0) = 0 sin(π/) = sin(π)=0 6
7 3π/ Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 cos(π)=- sin(0) = 0 sin(π/) = sin(π)=0 cos(3π/) = 0 sin(3π/) = - 7
8 π Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 cos(π)=- sin(0) = 0 sin(π/) = sin(π)=0 cos(3π/) = 0 sin(3π/) = - cos(π) = sin(π) = 0 8
9 Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 cos(π)=- sin(0) = 0 sin(π/) = sin(π)=0 cos(3π/) = 0 cos(π) = sin(3π/) = - sin(π) = 0. Trigonometristen funk4oiden jaksollisuus π 9
10 Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 cos(π)=- sin(0) = 0 sin(π/) = sin(π)=0 cos(3π/) = 0 cos(π) = sin(3π/) = - sin(π) = 0. Trigonometristen funk4oiden jaksollisuus Sinin ja kosinin arvot toistuvat π välein. Sanotaan euä sinin ja kosinin jakso on π. sin(x+π) = sin(x) cos(x+π) = cos(x) yleisemmin: sin(x ± N π) = sin(x) cos(x ± N π) = cos(x) Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 3. π radiaanin (80 asteen) siirron vaikutus 0
11 + π
12 + π Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 3. π radiaanin (80 asteen) siirron vaikutus cos(x + π) = - cos x sin(x + π) = - sin x 4. Tangen4n jaksollisuus Tangen4n arvot toistuu π:n välein eli tangen4n jakso on π. tan(x+π) = sin(x + π)/cos(x + π) = - sin x /- cos x = sin x/cos x = tan x huom! tan(x) määri0elemätön kun cos(x) = 0, eli x = π/ + nπ 5. Trigonometristen funk4oiden etumerkit Välillä [0, π/]? Välillä [π/, π]? Välillä [π, 3π/]? Välillä [3π/, π]?
13 Mitkä funk4ot (sin, cos, tan) ovat posi4ivisia? [0, π/] kaikki Mitkä funk4ot (sin, cos, tan) ovat posi4ivisia? [π/, π] sin 3
14 Mitkä funk4ot (sin, cos, tan) ovat posi4ivisia? tan [π, 3π/] Mitkä funk4ot (sin, cos, tan) ovat posi4ivisia? cos [3π/, π] 4
15 Trigonometriset käänteisfunk4ot Sinin käänteisfunk4o on arkus- sini, merkitään arcsin, laskimissa usein sin - (x) Määritelmä: jos sin(x) = a, x = arcsin(a) Vastaavas4 arkus- kosini, arkus- tange= Jos cos(x) = a, x =arccos(a) Jos tan(x) = a, x = arctan(a) Geometrinen tulkinta suorakulmaisesta kolmiosta tai yksikköympyrästä: sin, cos, tan - funk4ot ouavat kulman ja antavat kolmion tahkojen suhteita tai yksikköympyrän koordinaaueja, arkus- funk4ot taas ouavat tahkojen suhteita tai yks. ympyrän koordinaaueja ja antavat kulman. Trigonometriset käänteisfunk4ot Arkusfunk4ot voi a) päätellä (ainakin helpoille kulmille kuten π/, π jne) b) löytää taulukkokirjasta c) laskea laskimella (opetelkaa tämä, ja opetelkaa myös vaihtamaan asteiden & radiaanien välillä!) Arkusfunk4ot yhdessä yksikköympyrän kansssa hyödyllisiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Esim: sin x = 0.5, mikä on x? Vastaus: x = arcsin (0.5) = rad = π/6 rad = 30 asteua. Mu5a: myös π - arcsin (0.5) =.68 rad eli 50 asteua toteuuaa yhtälön! (tarkemmin o0aen x = π/6 + N π rad tai 5π/6 + N π rad, eli 30 + N 360 tai 50 + N 360 aste0a, missä N on mikä tahansa kokonaisluku) 5
16 Sin(x) = 0.5 Sin(x) = 0.5 Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Sini ja kosini on määritelty kaikilla kulman x arvoilla π sin(x) 6
17 Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Sini ja kosini on määritelty kaikilla kulman x arvoilla π cos(x) Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Tangen= määritelty kun cos(x) 0 π tan(x) 7
18 Vielä trigonometrisistä yhtälöistä Yleisen ratkaisun etsiminen trigonometrisissä yhtälöissä edellyuää sekä jaksollisuuden euä ylimääräisten ratkaisujen huomioimista. Jos sin(x)=y, niin myös sin(π- x) = y Jos cos(x) = y, niin myös cos(- x) = cos (π- x) = y Tämä jäi toissavuonna sin(x) = 0.5 esimerkistä luennoitsijaltakin huomaama0a, kiitos Joonas Mäkiselle virheen löytämisestä! Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Usein fysikaalisia reunaehtoja voidaan käyuää rajoiuamaan kulma jollekin välille, esim [0,π], tai ollaan kiinnostuneita pienimmästä yhtälön toteuuavasta kulmasta. Jollei näin ole, arkusfunk4ot tuouavat ääreuömän määrän mahdollisia ratkaisuja: sin (x) = a x = arcsin(a) ± N π (N Z) tai x = π arcsin(a) ± N π cos (x) = a x = arccos(a) ± N π tai x = arccos(a) ± N π tan (x) = a x = arctan(a) ± N π (N Z) (N Z) (N Z) (N Z) 8
19 Trigonometrisia kaavoja Näitä löytyy taulukkokirjoista kymmeniä ellei satoja... Joidenkin johto varsin helppo läh4en Pythagoraan lauseesta tai yksikköympyrästä, usein myös Eulerin kaava: e i = cos() + isin() EriUäin hyödyllinen ja "voimakas" kaava joka kytkee yhteen eksponen=funk4ot ja trigonometrian. Eulerin kaavalla voi helpos4 johtaa esim. tupla- ja puolikulmien lausekkeet. Tästä lisää kompleksilukujen yhteydessä. Kaavoja tarvitaan trigonometristen yhtälöjen ratkaisemisessa ja etenkin trigonometristen funk4oiden differen4aalilaskennan yhteydessä. Ei tarvitse opetella kaavojen johtoja tai muistaa niitä ulkoa, muua kaavojen käyuö on osauava! Etenkin trigonometriassa (ja myös fysiikassa) esiintyy paljon kreikkalaisia kirjaimia. Näitä ei toki tarvitse osata tai opetella, muua ohessa lista joua pysyue kärryillä mistä koukerosta milloinkin puhutaan! 9
20 The six trigonometric functions: opp y hyp r sin = = csc = = = hyp r opp y sin IGONOMETRIC IDENTITIES hyp r = = opp y sin hyp r = = adj x cos adj opp x = = y tan tan = tan = cos = cos sin + cos = + = csc = ( cos ) + = ± + cos adj cos = = hyp x r hyp r sec = = = adj x cos opp y sin adj x Sum Trigonometrisia tan and = product = = kaavoja: formulas: summa cot = & erotus = = adj x cos opp y tan sin acos b = [sin( a + b ) + sin ( a b )] Sum or difference cos a sin b = [sin of ( two a + bangles: ) sin ( a b )] sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b cos( aa± cos b) b= = cos[cos a cos ( ab+ bsin ) + acos sin( ab b )] sin a sin b = tan[cos a ± ( tana b ) cos ( a + b )] tan( a ± b) = tan a tana + b a b sin a + sin b = sin( ) cos( ) tan Double angle formulas: a+ b a tan b sin a sin b = cos( = ) sin( ) tan sin The cos six a= trigonometric a b a b + sin cos bcos = functions: + cos cos cos = cos opp y sin = = TRIGONOMETRIC IDENTITIES ( ) ( ) hyp r csc ( ) ( ) = = = hyp r cos = sin a+ b cos a b cosa hyp cosbr = sin sin opp y sin = cos sin adj x Sum and sin aco 9/5/3 cos a s Sum and product formulas: sin acos b = [sin( a + b ) + sin ( cos a sin b = [sin ( a + b ) sin ( Pythagorean Identities: sin cos cos = = sec + = Law of cosines: a = = b = c cos a cos b [cos ( a b ) co hyp r = adj x+ cos bc cos A tan + = sec cot + = csc sin a sin b = [cos ( a b ) cos where opp A is ythe sinangle of a adj scalene x tan = = = cot = = = triangle opposite a+ b adj x cos opp y tan sin a + sin b = Reductio sin( ) cos( Half angle side a. formulas: sin( Radian sin = measure: ( cos ) 8. p40 = π a+ b Sum or difference of two angles: sin a sin b = cos( cos radians = ) ( sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b ( cos ) + a+ b cos a + cosb = cos( sin( ) cos ) cos( a ± b) = cos a cosb sin a sin b 80 a+ b cosa cosb = sin Trigonometrisia kaavoja: tupla- ja puolikulmat 80 tan( ( ) sin tan a ± tan b tan( a ± b) = cos tan atan b radian = + cos sin = ± cos = ± π Law of cosines: sin a = x tan Double angle formulas: tan = where A is the angle of a Reduction formulas: tan side a. = sin cos sin cos cos tan = ± = = = cos Complex sin( ) = sin cos( ) = cos Radian measure: 8. p40 = cos = sin + cos + cos = cos sin cos sin cos sin( ) = sin( π) cos( ) cos( π) Pythagorean Identities: sin + cos = r tan( + ) = sectan cot tan( + = csc ) = tan( π) TRIGONOMETRIC Reduction VALUES formulas: FOR COMM Half π π sin angle x = formulas: cos( x ± ) ± cos x = sin( x ± ) sin( ) = sin co Degrees Radians sin cos tan cos sin a c a s sin a sin a cos a cosa Law of c where side a Radian m sin os Complex = ( cos ) Numbers: cos = ( cos ) ± e + = cos sin( ) = sin( π) co j ± j sin tan( ) = tan ta 30 cosπ/6 / + cos 3 / 3 / 3 cos j ( j 45 e + e ) sin ( π sin = ± cos = ± j j sin x = cos( x ± ) ± = π/4 / j e e ) / cos sin cos tan 60 = ± π/3 = = Complex Numbers: 3 / / 3 GONOMETRIC VALUES FOR COMMON + 90 ANGLES cos + cos sin cos j ( j = e + e ) π/ 0 Undefined cos 0 π/3 3 / -/ - tan cot TRIGONOMETRIC sec VALUES csc FOR COMMON ANGLES Degrees Undefined Radians 3π/4 sin / cos Undefined - tan / cot - se Undefined 3 / 3 / π/6 3 / 3 / 3-3 / - 3 / 3 30 π/6 / 3 / 3 / 3 3 / π/4 π / 0 / π/6 -/ - 3 / 0 3 / π/3 / 3 3 / / 3 3 / 3 3 / 90 π/ 0 Undefined 5 05π/4 Undefined - 0 Undefined 0 Und / - / 0 π/3 3 / -/ / 3 -/ π/43 4π/3 / 3 / - 3 -/ - / -/ 3 / π/6 / - - / π/ / / 3 - Undefined 3-80 π 0-0 Undefined = + +
21 sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b cos( a ± b) = cos a cosb sin a sin b tan a ± tan b tan( a ± b) = tan a tan b tan Double angle formulas: tan = tan sin = sincos cos = cos cos = sin cos = cos sin Pythagorean Identities: sin + cos = tan + = sec cot + = csc Half angle formulas: sin = ( cos ) cos = ( cos ) + cos + cos sin = ± cos = ± tan = ± Trigonometristen funk4oiden Complex Numbers: arvoja e ± j = cos sin cos = = + cos + cos sin a+ b ( ) a b ( ) a+ b ( ) a b ( ) cos a + cosb = cos cos cosa cosb = sin sin Law of cosines: a = b + c bc cos A where A is the angle of a scalene triangle opposite side a. Radian measure: 8. p40 = π radians radian = π Reduction formulas: sin( ) = sin cos( ) = cos sin( ) = sin( π) cos( ) = cos( π) tan( ) = tan tan( ) = tan( π) π π sin x = cos( x ± ) ± cos x = sin( x ± ) cos ± j sin cos j ( j = + j e e ) sin ( j = j e e ) 9/5/3 TRIGONOMETRIC VALUES FOR COMMON ANGLES Degrees Radians sin cos tan cot sec csc Undefined Undefined 30 π/6 / 3 / 3 / / 3 45 π/4 / / 60 π/3 3 / / 3 3 / 3 3 / 3 90 π/ 0 Undefined 0 Undefined 0 π/3 3 / -/ / 3-3 / π/4 / - / π/6 / - 3 / - 3 / / 3 80 π 0-0 Undefined - Undefined 0 7π/6 -/ - 3 / 3 / / 3-5 5π/4 - / - / π/3-3 / -/ 3 3 / / π/ - 0 Undefined 0 Undefined π/3-3 / / / π/4 - / / π/6 -/ 3 / - 3 / / π 0 0 Undefined Undefined Tom Penick tomzap@eden.com /0/000 Trigonometriset funk4ot kemiassa Ehkä vähän harvinaisempia kuin logaritmi- ja eksponen=funk4ot, muua kuitenkin hyödyllisiä Tarvitaan minkä tahansa jaksollisen (säännöllises4 toistuvan) ilmiön kuvaamiseen Oskilloivat reak4ot Kaikenlaiset värähtelyt ja aaltoliikkeet Tarvitaan kuvaamaan sähkömagnee=sen säteilyn kulkua ja vuorovaikutusta Lähes kaikki eri spektroskopian muodot... Kvan=kemiassa he4 alusta alkaen, esim. vetyatomin aaltofunk4ossa on myös trigonometrisia funk4oita
22 Esimerkki: klassinen harmoninen värähtelijä toteuuaa liikeyhtälön F = ma kx = m d x dt jonka ratkaisu on x(t) = Acos(ωt) missä A = maksimipoikkeama tasapainoasemasta ω = (k/m) = kulmataajuus x(t) on jaksollinen funk4o ja sen jakso on τ = π/ω, sillä x(t +τ) = x(t + π ω ) = Acos(ω(t + π )) = Acos(ωt + π) ω = Acos(ωt) = x(t) Esimerkki: sähkömagnee=nen säteily on sähkö- ja magnee=kentän poikiuaista aaltoliikeuä, jota voidaan kuvata sini- tai kosinifunk4oilla. Esim. sähkökentän suuruuua paikan funk4ona kuvaa aalto ψ (x) = E cos( πx λ ) Tehtävä: tämän aallon edellä kulkee toinen aalto ψ (x) = E cos( πx λ + ϕ) Tutki vahvistavatko vai kumoavatko aallot toisensa, kun a)φ = 0 b)φ = π
23 Ratkaisu a)φ = 0 ψ (x) +ψ (x) = E cos( πx λ ) + E cos(πx λ + 0) = E cos( πx λ ) b) φ = π aallot vahvistavat toisiaan ψ (x) +ψ (x) = E cos( πx λ ) + E cos(πx λ + π) = E cos( πx λ ) E cos(πx λ ) = 0 aallot kumoavat toisensa Esimerkki: Vetyatomin (protoni + elektroni) aaltofunk4o: ψ n,l,m (r,,ϕ) = N n,l,m e r na 0 ( r )L l+ n l ( r )Y m l (,ϕ) na 0 na 0 missä n, m, l ovat kvan=lukuja, N on normitusvakio, a 0 on Bohrin säde, L on Laguerren polynomi ja Y on palloharmoninen funk4o: 3
24 palloharmonisia funk4oita 4
Trigonometriset funk/ot
Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a Trigonometriset
LisätiedotTrigonometriset funk/ot
Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a Trigonometriset
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotTrigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot
Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotTrigonometriset funktiot
Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia
LisätiedotTestaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
LisätiedotTRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotRautaisannos. Simo K. Kivelä 30.8.2011
Yhteenlasku Rautaisannos 30.8.011 Yhteenlasku sin x + cos x Yhteenlasku sin x + cos x = 1 sin x + cos x = 1 x R Yhteenlasku sin x + cos x = 1 x C Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotTrigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Lisätiedot1.5. Trigonometriset perusyhtälöt
Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia
LisätiedotRadiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.
Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
Lisätiedot15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
LisätiedotVinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio
Vinokulmainen kolmio Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8 Yksikköympyrä ja suunnattu
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
Lisätiedot* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
Lisätiedot6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia
6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotKolmiot, L1. Radiaani. Kolmiolauseet. Aiheet. Kulmayksiköt, aste. Radiaani. Suorakulmainen kolmio. Kolmiolauseet
Kolmiot, L1 Kulmayksiköt 1 Aste, 1 (engl. degree) Kun kellon viisari kiertyy yhden kierroksen, sanomme, että se kääntyy 360 (360 astetta). Ajatus täyden kierroksen jakamisesta 360 asteeseen, juontaa kaldealaiseen
Lisätiedot2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?
2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotSini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
Lisätiedot1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat
Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
LisätiedotMatemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
Lisätiedot3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A > B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
LisätiedotOsi+aisintegroin3. Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö:
9//3 Osi+aisintegroin3 Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) = df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x)
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!
MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotKappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.
Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
LisätiedotOpiskelijan pikaopas STACK-tehtäviin. Lassi Korhonen, Oulun yliopisto
Opiskelijan pikaopas STACK-tehtäviin Lassi Korhonen, Oulun yliopisto 21.3.2016 SISÄLLYSLUETTELO Oppaan käyttäminen... 2 Vastauksen syöttämisen perusteet... 2 Operaatiot... 2 Luvut ja vakiot... 3 Funktiot...
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi Johdatusta funktiosääntöihin ja piirtelyyn. Harjoitusta 9, tehtävien käsittelyä Maplella
Matematiikan johdantokurssi 2018 Harjoitusta 9, tehtävien käsittelyä Maplella Aikaisemmin tutustuimme alustavasti Mapleen, lausekkeiden käsittelyyn, jono- ja listarakenteisiin ja alkeisjoukko-oppiin. Nyt
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotOSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI
OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa
Lisätiedotl s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0
1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotTrigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
LisätiedotTrigonometriaa: kolmioita ja kaavoja
Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
Lisätiedot3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
LisätiedotTRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
LisätiedotSanna Hassinen. Katariina Hemmo. Timo Taskinen SIGMA. Matemaattisia malleja III. Opettajan opas. Kustannusosakeyhtiö TAMMI
L u k i o n l y h y t m a t e m a t i i k k a Sanna Hassinen Katariina Hemmo Timo Taskinen SIGMA 8 Matemaattisia malleja III Opettajan opas Kustannusosakeyhtiö TAMMI Helsinki 1. 2. painos Tekijät ja Kustannusosakeyhtiö
LisätiedotGeometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
LisätiedotTodista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ...
4 Alkeisfunktiot 41 Potenssifunktio 42 Polynomit ja rationaalifunktiot 102 Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta 103 Olkoon p()
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotAntti Majaniemi GEOMETRIA. geometriaa, trigonometriaa ja vektorilaskentaa ISBN 978-952-93-7040-5
Antti Majaniemi GEOMETRIA geometriaa, trigonometriaa ja vektorilaskentaa 06 ISBN 978-95-9-7040-5 Tämä teos on lisensoitu Creative Commons Nimeä-EiKaupallinen 40 Kansainvälinen -lisenssillä Tarkastele lisenssiä
LisätiedotKompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48
Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotLäpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
LisätiedotFysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotOsi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)
/9/ Osi*aisintegroin Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x)
LisätiedotMb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1
Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit
Lisätiedoty + z. z + xyz
2. 11. 2010 Kuusi ensimmäistä tehtävää ovat monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Monivalintatehtävien vastauksia varten on erillinen lomakkeensa. Tehtävät 7 ja 8 ovat perinteisiä tehtäviä,
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vaihtosähkön teho kompleksinen teho S pätöteho P loisteho Q näennäisteho S Käydään läpi sinimuotoisiin sähkösuureisiin liittyviä tehotermejä. Määritellään kompleksinen teho, jonka
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6 Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation
LisätiedotOsi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
LisätiedotOsi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Lisätiedot3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali
50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Lisätiedot2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 1 Pekka Salmi 18. syyskuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta 2015 1 / 65 Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, M229 (kahden viikon
Lisätiedota) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 01 Arkkitehtimatematiikan koe, 1..01, Ratkaisut (Sarja A) 1. Anna kohdissa a), b) ja c) vastaukset tarkkoina arvoina. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
Lisätiedot1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.
1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa
Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedot6 Funktioita ja yhtälöitä
6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a
Lisätiedot