Luku 4 Hyöty. Kuluttajan teorialla & hyötyteorialla on kiinnostava historia:

Transkriptio

1 Kl Luku 4 Hyöty Preferenssirelaatioien käsittely oniutkaisissa analyysissa on hankalaa. Siksi ne käännetään hyötyfunktion uotoon, joka konstruoiaan niin, että kuvaa referenssejä. Kuluttajan teorialla & hyötyteorialla on kiinnostava historia: 800 luvulla klassiset utilitaristit Bentha & o. ostuloivat ajatuksen hyöystä onnellisuuen ittana nautinto tuska ja esittivät, että yhteiskuntien tuli tarjota the greatest hainess to the greatest nuber Taloustieteen ns. arginalistisen vallankuouksen eustajat, Jevons, Menger ja Walras, hyväksyivät tään tulkinnan 870 luvulla ja kuvasivat kuluttajan äätöksentekoa hyötyfunktion ja ns. vähenevän rajahyöyn avulla. Jevonsin, Mengerin ja Walrasin hyötyteoria oli luonteeltaan karinaalinen hyötyteoria, eli uskottiin voitavan laskea kuinka aljon hyöty oli suurei/ienei eri tilanteissa. Kun havaittiin, ettei hyöyn sykologiselle tulkinnalle löyy eiiristä ohjaa käyttäytyistieteistä, tuli tarve uhistaa kuluttajan teoria sykologisista aineksista. Tään aloittivat Pareto jolta käsite inifferenssikäyrät ja Slutsky, ja se vietiin louun 930 luvulla, John Hiksin, Marus Allenin ja Paul Sauelsonin töissä. Nykyinen hyötyteoria ei siis erustu enää sykologiselle tulkinnalle eikä ahollista hyötytasojen äärällistä vertaaista, koska eillä on nyt ns. orinaalinen hyötyteoria, joka sanoaan vain onko jokin tila arei vai huonoi kuin jokin toinen. 4. Mistä hyötyfunktiossa on kyse Määritelä: Hyötyfunktio liittää jokaiseen kulutuskoriin nueerisen arvon siten, että eneän referoituun kulutuskoriin liittyy suurei arvo kuin väheän referoituun. Foraalisti saa u : y,, y, Hyötyfunktio { }{ } R s.e. { } f { y, y } u, > u y,, y

2 Kl 009 Saalla taaa kuin referenssirelaatio järjestää kulutuskorit areuusjärjestykseen sanoatta kuitenkaan kuinka aljon toinen kori on toista arei, yös hyötyfunktio järjestää korit järjestykseen sanoatta aljonko arei toinen. Tähän oinaisuuteen viittaae sanoalla, että hyöty on luonteeltaan on ns. orinaalinen, eli järjestyksen säilyttävä: Monotoninen transforaatio Koska hyötyfunktio u on orinaalinen, ikä tahansa sen kasvava uunnos fu, eli ositiivinen onotoninen transforaatio kuvaa saoja referenssejä kuin alkueräinen hyötyfunktio. Monotoninen transforaatio on ikä tahansa hyötyfunktion kasvava uunnos. Toisin sanoen jos U,y on hyötyfunktio ja f on aiosti kasvava funktio sitten fu,y on onotoninen transforaatio alkueräisestä hyötyfunktiosta U,y Esierkki Olkoon hyötyfunktio sitten f U, y y U, y y ja f U U on onotoninen transforaatio koska funktio f U U on aiosti kasvava U:n suhteen. Se voiaan toistaa ottaalla funktion erivaatta, joka on aina ositiivinen aiosti kasvavilla funktioilla: f U > 0. Aktivoiva tehtävä 4. Mitkä seuraavista ovat ositiivisia onotonisia transforaatioita, kun u on alkueräinen hyötyfunktio fu u; fu lnu; fu u, fu u 5?

3 Kl Esierkkejä hyötyfunktioista ja inifferenssikäyristä Hyötyfunktiot ovat inifferenssikäyrien kuvaajia. Kun tieäe hyötyfunktion, voie helosti ratkaista sitä vastaavan inifferenssikäyrästön. Sen sijaan, jos eille on annettu inifferenssikäyrästö, on sitä vastaavan hyötyfunktion äärittäinen hankalaaa jotkut taaukset tosin onnistuvat Varian esittelee joukon tyyillisiä tai usein käytettyjä hyötyfunktioita ja niien inifferenssikäyriä. Käye tässä lyhyesti lävitse ja seuraavassa luvussa hyöynnäe niitä ekstensiivisesti a Yleinen ilaisu hyötyfunktiolle u u,, ja tätä kuvaa esi. yllä olevat inifferenssikäyrät Kuva 4. Yleinen inifferenssikäyrä b Täyelliset substituutit Hyötyfunktio on lineaarinen ja voiaan ilaista seuraavasti u a b, issä a, b >0 kertovat issä suhteissa hyöykkeitä korvataan toisillaan Inifferenssikäyrästö on vanhastaan tieossa

4 Kl Kuva 4. Täyelliset substituutit Täyelliset koleentit Hyötyfunktion täytyy nyt kuvata sitä, että hyöykkeitä käytetään areittain, tietyissä vakiosuhteitta Hyötyfunktio voiaan kirjoittaa seuraavasti { a } u, in, b, 3 issä a, b > 0 Huoaa: a ja b äärittävät L uotoisten inifferenssikäyrien kärkiisteet Kuva 4.3 Täyelliset koleentit

5 Kl Kvasilineaariset referenssit Nii antaa arvata, illaisesta hyötyfunktiosta on kyse: se on toisen hyöykkeen suhteen lineaarinen, toisen suhteen yleinen ja hyvin käyttäytyvä u 4, u Tätä hyötyfunktiota käytetään aljon julkistalouen ongelien tarkastelussa, koska se soivasti yksinkertaistaa analyysia Inifferenssikäyrät näyttävät tällaisilta: lähtevät ystyakselilta, uutoin ovat alasäin laskevat, kuten hyvin käyttäytyvällä hyötyfunktiolla Kuva 4.4 Kvasilineaariset referenssit e Cobb Douglas hyötyfunktio Tää on erittäin aljon käytetty hyötyfunktio taloustieteessä u,, 5 jossa > 0 ja > 0 ovat vakioita.

6 Kl Kuva 4.5 Cobb Douglas inifferenssikäyrät Cobb Douglas hyötyfunktiolle estetään usein kaksi ositiivista onotonista transforaatiota, jotka ovat hyvin käyttökeloisia. i logaritinen transforaatio f [ u ], ln ln ln 6 f u, ln ln ln ln ln Muistutus: Logariteille ovat voiassa seuraavat laskusäännöt: Jos > 0 ja y > 0, niin log y log log y tulon logariti tulon logariti on logaritien sua [ ] a loga y erotus a a log log y osaäärän logariti osaäärän logariti on logaritien a r log r log otenssin logariti a a a

7 Kl ii eksonentiaalinen transforaatio f a a [ u, ], 7 issä a ja a kuvaavat hyöykkeien kulutusosuuksia. 4.3 Rajahyöyn käsite Usein kuluttajan valintaa analysoitaessa tullaan viittaaaan teriin rajahyöty, engaliksi arginal utility, Määritelä.: Rajahyöty kertoo kuinka kuluttaja hyöty uuttuu, kun hänelle annetaan vähän lisää hyöykettä tai. Mateaattisesti saa: u, ja u,, 8 jossa elta kuvaa ientä uutosta, eli voie yhtälailla erivoia hyötyfunktiota ja toeta, että u, ja u,, 8 Esierkki: Olkoon hyötyfunktio u a b. Tällöin rajahyöty on, u, a ja u, b ja rajasubstituutiosuhe on U U a b a b

8 Kl Siis rajahyöyllä ja rajasubstituutiosuhteella MRS on läheinen yhteys. MRS 9 HUOM. Oikirjojen eri tavat ääritellä rajasubstituutiosuhteen eli MRS:n erkin aiheuttavat sekaannusta. Monessa kirjassa, kun uhutaan MRS:sta esi. MRS kasvaa, viittaa MRS:n absoluuttiseen arvoon ilan etuerkkiä!! Varian välillä käyttää absoluuttista arvoa ja välillä sen luonnollista erkkiä, joka on negatiivinen, koska inifferenssikäyrät ovat aiosti laskevia välillä. MRS eli rajasubstituutiosuhe & inifferenssikäyrät hyöyke MRS 5 Jos referenssit ovat konvekseja MRS laskee absoluttisenä arvona kun kasvaa MRS 0.5 hyöyke Toistetaan, että MRS Olkoon hyötyfunktion yhtälö U, k, jossa k vakio, kuvaa inifferenssikäyrää, eli kaikkia niitä kulutuskoreja, jotka ovat yhtä hyviä kuin kori,. Otetaan hyötyfunktiosta kokonaisifferentiaali kun hyöty on k U U k

9 Kl Oletetaan, että k 0 eli että liikutaan aina saaa inifferenssikäyrää itkin. Täten U U 0 Järjestetään kokonaisifferentiaali eri tavoin U U jaetaan :llä U U ja U :llä U U U, MRS inifferenssikäyrän kulakerroin. U, Eli rajasubstituutiosuhteen itseisarvo on yhtä suuri kuin rajahyötyjen suhe Aktivoiva tehtävä 4. Marin ja Laurin hyöykekoriin kuuluu riisiä ja erunaa R, P. Mari itää eneän riisistä ja Laurin eneän erunoista. Olkoon ystyakselilla erunoien äärä ja vaaka akselilla riisi. Merkitään Marin inifferenssikäyrien joukko M:lla ja Laurin L:lla.

10 Kl Piirrä Laurin ja Marin inifferenssikäyrien joukot. Hyöyntäällä MRS käsitettä selitä, iksi Marin inifferenssikäyrän joukko eroaa Laurin inifferenssikäyrän joukosta. uokattu Frank 007, 69 kuva 3.4 Perustelu: Aktivoiva tehtävä 4.3 Ratkaise MRS, kun u, a b

11 Kl Luku 5 Kuluttajan valinta Yhistetään nyt bujettirajoituksen ja referenssien kuvaus saaan analyysiin tutkie ensiksi otiaalisen kulutuskorin valintaa tää luku sen jälkeen analysoie, kuinka tää valinta riiuu eksogeenisista tekijöistä 5. Kuluttajan otiivalinta: graafinen analyysi Yhistetään nyt saaan kuvioon bujettisuora, joka äärittää ne korit, joihin kuluttajalla on varaa inifferenssikäyrästö, joka äärittää keskenään yhtä hyvät kulutuskorit Annettuna onotonisuus aksiooa, kuluttaja valitsee korkeian inifferenssikäyrän, joka toteuttaa bujettirajoitteen, eli sivuaa bujettisuoraa., Tää äärittää valinnaksi kulutuskorin { } Kuva 5. Otiaalinen valinta Otiaalista valintaa { }, luonnehtivat seuraavat iirteet. Valinta on aina bujettisuoralla. Inifferenssikäyrän ja bujettisuoran kulakertoiet ovat yhtä suuret, eli MRS. 3. Valinta on yksikäsitteinen.

12 Kl Huo. oinaisuuet ja 3 ätevät hyvin käyttäytyville referensseille. jos aksiooat 4 & 5 eivät ole voiassa voie saaa ns. nurkkaratkaisun tai useita ratkaisuja Nurkkaratkaisu On kyse nurkkaratkaisusta, silloin kun kuluttaja ostaa vain yhen hyöykkeen. Olkoon hyöykkeet ja, nurkkaratkaisu on esierkiksi seuraava: * * I, 0, jossa I tulot Nurkkaratkaisu 3 Kuva 5. Nurkkaratkaisu Nurkkaratkaisun taauksessa ehto MRS ei äe eli inifferenssikäyrän ja bujettirajoitteen kulakertoiet eivät ole saoja.

13 Kl Täyelliset substituutit ja nurkkaratkaisu 34 Kuva 5.3 Täyelliset substituutit ja nurkkaratkaisu Ei konveksi referenssit ja aksiiehto 9 Kuva 5.4 Ei konveksi referenssit ja aksiiehto

14 Kl Kuluttajan otiivalinta: ateaattinen analyysi Annettuna onotonisuus oletus, kuluttaja yrkii korkeialle aholliselle inifferenssikäyrälle. Tää on yhtä itävää sen kanssa, että hän yrkii valitseaan hyöykkeien ja äärät niin, että hyötyfunktio saa suurian ahollisen lukuarvon. Tällaisen ongelan ratkaisutaa on eille tuttu jo kouluateatiikasta, jossa etsittiin erivoinnin avulla funktion aksiiarvoja ja iniiarvoja Kuluttajan valinta ei kuitenkaan ole vaaa, vaan sitä rajoittaa hänen eksogeenisen tulonsa äärä. Täten kuluttajan otiaalisen kulutuskorin valintaongela on ateaattiselta luonteeltaan ns. rajoitettu aksiointiongela, jossa hyötyfunktio on aksioitava tavoitefunktio ja bujettirajoitus on aksiointiongelan rajoite. Mateaattisesti: a u, {, } eholla Voie ratkaista kuluttajan valintaongelan kolella vaihtoehtoisella tavalla: i sijoitusenettelyllä, ii Lagrangen tekniikalla, iii soveltaalla suoraan ehto MRS on yhtä kuin hintasuhe. Käyään ne kaikki lävitse. i Sijoitusenettely Ieana on selviytyä rajoituksesta tavalla, jolla äästään tavoitefunktion vaaaseen aksiointiin Rajoitettu aksiointiongela ratkaistaan neljässä vaiheessa seuraavasti. Vaihe. Ratkaistaan tai bujettirajoituksesta, esi... Vaihe. Sijoitetaan :n lauseke hyötyfunktioon :n aikalle, jolloin hyötyfunktio tulee ilaistuksi vain :n avulla, utta ja riiuvat eelleen toisistaan bujettirajoituksen kautta. { } a u,

15 Kl Vaihe 3. Derivoiaan nyt :n suhteen ja asetetaan saatu erivaatta nollaksi. Kutsue tällaista ehtoa otiin välttäättöäksi ehoksi, tai ensiäisen kertaluvun ehoksi: u u u 0, yhtälöstä näee, että u u u 0. Sijoitetaan se yo. erivaattaan: 3 Vaihe 4. Järjestellään u. 4 0 u u 0 MRS Ts. olee saaneet yleisen otioinnin kautta juuri saan tuloksen kuin graafisessa analyysissa. Koska käytie yleistä hyötyfunktiota, ee saaneet ekslisiittistä ratkaisua :lle ja :lle. Jos hyötyfunktio olisi ollut esi. Cobb Douglas, olisi se tuottanut ekslisiittiratkaisun niitä katsoe hiean yöhein. Huo. Periaatteessa eiän tulee tarkistaa yös ns. otiin riittävät, eli toisen kertaluvun ehot, jotka eellyttävät, että tavoitefunktion toinen erivaatta äätösuuttujan suhteen on negatiivinen, eli täytyy äteä, että u u u < 0. 5 Vähenevä MRS takaa, että toiset erivaatat ovat negatiiviset, eli yhtälö 4 äärittää toella aksiin eikä iniin. Aineointotasolla toisen kertaluvun ehoista ei tarvitse välittää, koska yritäe valita tehtävät niin, että ne ovat voiassa.

16 Kl ii Lagrangen tekniikka Ranskalainen ateaatikko kehitti 800 luvulla tavan ratkaista rajoitettu aksiointiongela uoostaalla tavoitefunktiosta ja rajoitteesta lisäaraetrin avulla uusi, yhistetty funktio, joka voiaan ratkaista kuin vaaa aksiointiongela, kunhan se aksioiaan yös tään uuen araetrin suhteen Myöhein tätä funktiota ryhyttiin kutsuaan Lagrangen funktioksi keksijänsä ukaan Muoostetaan Lagrangen funktio otiointiongelasta : { }, a,, u L 6 on ns. Lagrangen kerroin, jonka suuruus/ienuus heijastaa sitä, kuinka tiukasta bujettirajoite rajoittaa hyöyn aksiointia Differentioiaan nyt 6:ta äätösuuttujien suhteen, jolloin saaaan. kertaluvun ehot otiille: i 0 u L ii 0 u L iii 0 L Kirjoitetaan nyt ehot i ja ii seuraavasti: 0 u L ja 0 u L Jaetaan yhtälöt uolittain: MRS u u, eli saa ehto kuin eellä ja graafisesti.

17 Kl iii Hyöynnetään teoriaa Voie veota yös suoraan teoriaan, eli juuri ehtoon MRS. Ratkaistaan hyötyfunktiosta rajahyöyt, jotta saaaan MRS Ratkaistaan bujettirajoituksesta hintasuhe Asetetaan nää yhtä suuriksi. Louhuoautus Kuluttajan valintaongelasta voie ratkaista kaksi seikkaa: Kysytyt äärät hyöykettä ja lukuäärä Näien hyöykkeien kysyntäfunktiot kuvaa kysynnän riiuvuutta eksogeenisista araetreista Kysyntäfunktiot saaaan, kun ja ratkaistaan :n, :n ja :n terein; kysytyt äärät saaaan, kun näille on annettu tarkat lukuarvot Kysyntäfunktioita erkitään yleisesti,,,, Aktivoiva tehtävä 5. Cobb Douglas referenssit: kysytty äärä Olkoon kuluttajan referenssejä äärittävä Cobb Douglasin hyötyfunktio uotoa u, ja bujettirajoite 0. Laske otiikori *, * 4 Esierkki Cobb Douglas hyötyfunktio Olkoon hyötyfunktio uotoau,, laske kysyntäfunktiot oleille hyöykkeille. a eholla u {, } Otetaan logaritinen transforaatio Cobb Douglasin hyötyfunktiosta u. ln u ln ln ln ln ln Maksiointiongela on siis

18 Kl }, { ln ln a u eholla Lagrangen funktion on ln ln L Ensiäiset kertaluvun ehot L L L Ratkaistaan yhtälöjärjestelä Yksinkertaistetaan Olee saaneet kuluttajan kysyntäfunktion hyöykkeelle. Voitte huoata, että kysyntä kasvaa kun tulot kasvaa ja laskee kun hyöykkeen hinta kasvaa. Lasketaan nyt kysyntäfunktio toiselle hyöykkeelle

19 Kl Esierkki Täyelliset koleentit ja kysytty äärä Merkinnän käytöstä lähe Niholson 004, 84 Miroeonoi Theory Olkoon kahvi ja kera Markolle täyellisiä koleentteja. Marko kuluttaa aina keraa ja kahvia suhteessa /8 esi. 0, l keraa ja 0,8 l kahvia. Olkoon kulutettu äärä keraa y ja kahvia, sitten Markon hyöty voiaan kirjoittaa seuraavalla tavalla u, y in{ a, by} in{,8y} eli 8 y y 8 Tehtävä: Lasketaan kysytyt äärät olettaen, että kuluttajan referenssejä äärittävä hyötyfunktio on u in{,4}. Olkoon, 4 ja tulot 68 au in{,4} eholla {, } Nyt ee voi erivoia hyötyfunktiota, utta hyötyfunktiosta seuraa, että jokainen inifferenssikäyrä äärittyy ehosta 4 Toisaalta eillä on bujettirajoite 4 68 joten eillä on kaksi yhtälöä ja kaksi tunteatonta. Ratkaistaan yhtälöjärjestelä

20 Kl * 4 4 * Tarkistetaan * 68 4 * * in{,4} in{56,44} in{56,56} * * Esierkki 3 Täyelliset koleentit: kysyntäfunktio au in{, } eholla {, }. Hyötyfunktiosta tieetään, että * *, sijoitetaan bujettirajoitteeseen * * * * *