Luku 4 Hyöty. Kuluttajan teorialla & hyötyteorialla on kiinnostava historia:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luku 4 Hyöty. Kuluttajan teorialla & hyötyteorialla on kiinnostava historia:"

Transkriptio

1 Kl Luku 4 Hyöty Preferenssirelaatioien käsittely oniutkaisissa analyysissa on hankalaa. Siksi ne käännetään hyötyfunktion uotoon, joka konstruoiaan niin, että kuvaa referenssejä. Kuluttajan teorialla & hyötyteorialla on kiinnostava historia: 800 luvulla klassiset utilitaristit Bentha & o. ostuloivat ajatuksen hyöystä onnellisuuen ittana nautinto tuska ja esittivät, että yhteiskuntien tuli tarjota the greatest hainess to the greatest nuber Taloustieteen ns. arginalistisen vallankuouksen eustajat, Jevons, Menger ja Walras, hyväksyivät tään tulkinnan 870 luvulla ja kuvasivat kuluttajan äätöksentekoa hyötyfunktion ja ns. vähenevän rajahyöyn avulla. Jevonsin, Mengerin ja Walrasin hyötyteoria oli luonteeltaan karinaalinen hyötyteoria, eli uskottiin voitavan laskea kuinka aljon hyöty oli suurei/ienei eri tilanteissa. Kun havaittiin, ettei hyöyn sykologiselle tulkinnalle löyy eiiristä ohjaa käyttäytyistieteistä, tuli tarve uhistaa kuluttajan teoria sykologisista aineksista. Tään aloittivat Pareto jolta käsite inifferenssikäyrät ja Slutsky, ja se vietiin louun 930 luvulla, John Hiksin, Marus Allenin ja Paul Sauelsonin töissä. Nykyinen hyötyteoria ei siis erustu enää sykologiselle tulkinnalle eikä ahollista hyötytasojen äärällistä vertaaista, koska eillä on nyt ns. orinaalinen hyötyteoria, joka sanoaan vain onko jokin tila arei vai huonoi kuin jokin toinen. 4. Mistä hyötyfunktiossa on kyse Määritelä: Hyötyfunktio liittää jokaiseen kulutuskoriin nueerisen arvon siten, että eneän referoituun kulutuskoriin liittyy suurei arvo kuin väheän referoituun. Foraalisti saa u : y,, y, Hyötyfunktio { }{ } R s.e. { } f { y, y } u, > u y,, y

2 Kl 009 Saalla taaa kuin referenssirelaatio järjestää kulutuskorit areuusjärjestykseen sanoatta kuitenkaan kuinka aljon toinen kori on toista arei, yös hyötyfunktio järjestää korit järjestykseen sanoatta aljonko arei toinen. Tähän oinaisuuteen viittaae sanoalla, että hyöty on luonteeltaan on ns. orinaalinen, eli järjestyksen säilyttävä: Monotoninen transforaatio Koska hyötyfunktio u on orinaalinen, ikä tahansa sen kasvava uunnos fu, eli ositiivinen onotoninen transforaatio kuvaa saoja referenssejä kuin alkueräinen hyötyfunktio. Monotoninen transforaatio on ikä tahansa hyötyfunktion kasvava uunnos. Toisin sanoen jos U,y on hyötyfunktio ja f on aiosti kasvava funktio sitten fu,y on onotoninen transforaatio alkueräisestä hyötyfunktiosta U,y Esierkki Olkoon hyötyfunktio sitten f U, y y U, y y ja f U U on onotoninen transforaatio koska funktio f U U on aiosti kasvava U:n suhteen. Se voiaan toistaa ottaalla funktion erivaatta, joka on aina ositiivinen aiosti kasvavilla funktioilla: f U > 0. Aktivoiva tehtävä 4. Mitkä seuraavista ovat ositiivisia onotonisia transforaatioita, kun u on alkueräinen hyötyfunktio fu u; fu lnu; fu u, fu u 5?

3 Kl Esierkkejä hyötyfunktioista ja inifferenssikäyristä Hyötyfunktiot ovat inifferenssikäyrien kuvaajia. Kun tieäe hyötyfunktion, voie helosti ratkaista sitä vastaavan inifferenssikäyrästön. Sen sijaan, jos eille on annettu inifferenssikäyrästö, on sitä vastaavan hyötyfunktion äärittäinen hankalaaa jotkut taaukset tosin onnistuvat Varian esittelee joukon tyyillisiä tai usein käytettyjä hyötyfunktioita ja niien inifferenssikäyriä. Käye tässä lyhyesti lävitse ja seuraavassa luvussa hyöynnäe niitä ekstensiivisesti a Yleinen ilaisu hyötyfunktiolle u u,, ja tätä kuvaa esi. yllä olevat inifferenssikäyrät Kuva 4. Yleinen inifferenssikäyrä b Täyelliset substituutit Hyötyfunktio on lineaarinen ja voiaan ilaista seuraavasti u a b, issä a, b >0 kertovat issä suhteissa hyöykkeitä korvataan toisillaan Inifferenssikäyrästö on vanhastaan tieossa

4 Kl Kuva 4. Täyelliset substituutit Täyelliset koleentit Hyötyfunktion täytyy nyt kuvata sitä, että hyöykkeitä käytetään areittain, tietyissä vakiosuhteitta Hyötyfunktio voiaan kirjoittaa seuraavasti { a } u, in, b, 3 issä a, b > 0 Huoaa: a ja b äärittävät L uotoisten inifferenssikäyrien kärkiisteet Kuva 4.3 Täyelliset koleentit

5 Kl Kvasilineaariset referenssit Nii antaa arvata, illaisesta hyötyfunktiosta on kyse: se on toisen hyöykkeen suhteen lineaarinen, toisen suhteen yleinen ja hyvin käyttäytyvä u 4, u Tätä hyötyfunktiota käytetään aljon julkistalouen ongelien tarkastelussa, koska se soivasti yksinkertaistaa analyysia Inifferenssikäyrät näyttävät tällaisilta: lähtevät ystyakselilta, uutoin ovat alasäin laskevat, kuten hyvin käyttäytyvällä hyötyfunktiolla Kuva 4.4 Kvasilineaariset referenssit e Cobb Douglas hyötyfunktio Tää on erittäin aljon käytetty hyötyfunktio taloustieteessä u,, 5 jossa > 0 ja > 0 ovat vakioita.

6 Kl Kuva 4.5 Cobb Douglas inifferenssikäyrät Cobb Douglas hyötyfunktiolle estetään usein kaksi ositiivista onotonista transforaatiota, jotka ovat hyvin käyttökeloisia. i logaritinen transforaatio f [ u ], ln ln ln 6 f u, ln ln ln ln ln Muistutus: Logariteille ovat voiassa seuraavat laskusäännöt: Jos > 0 ja y > 0, niin log y log log y tulon logariti tulon logariti on logaritien sua [ ] a loga y erotus a a log log y osaäärän logariti osaäärän logariti on logaritien a r log r log otenssin logariti a a a

7 Kl ii eksonentiaalinen transforaatio f a a [ u, ], 7 issä a ja a kuvaavat hyöykkeien kulutusosuuksia. 4.3 Rajahyöyn käsite Usein kuluttajan valintaa analysoitaessa tullaan viittaaaan teriin rajahyöty, engaliksi arginal utility, Määritelä.: Rajahyöty kertoo kuinka kuluttaja hyöty uuttuu, kun hänelle annetaan vähän lisää hyöykettä tai. Mateaattisesti saa: u, ja u,, 8 jossa elta kuvaa ientä uutosta, eli voie yhtälailla erivoia hyötyfunktiota ja toeta, että u, ja u,, 8 Esierkki: Olkoon hyötyfunktio u a b. Tällöin rajahyöty on, u, a ja u, b ja rajasubstituutiosuhe on U U a b a b

8 Kl Siis rajahyöyllä ja rajasubstituutiosuhteella MRS on läheinen yhteys. MRS 9 HUOM. Oikirjojen eri tavat ääritellä rajasubstituutiosuhteen eli MRS:n erkin aiheuttavat sekaannusta. Monessa kirjassa, kun uhutaan MRS:sta esi. MRS kasvaa, viittaa MRS:n absoluuttiseen arvoon ilan etuerkkiä!! Varian välillä käyttää absoluuttista arvoa ja välillä sen luonnollista erkkiä, joka on negatiivinen, koska inifferenssikäyrät ovat aiosti laskevia välillä. MRS eli rajasubstituutiosuhe & inifferenssikäyrät hyöyke MRS 5 Jos referenssit ovat konvekseja MRS laskee absoluttisenä arvona kun kasvaa MRS 0.5 hyöyke Toistetaan, että MRS Olkoon hyötyfunktion yhtälö U, k, jossa k vakio, kuvaa inifferenssikäyrää, eli kaikkia niitä kulutuskoreja, jotka ovat yhtä hyviä kuin kori,. Otetaan hyötyfunktiosta kokonaisifferentiaali kun hyöty on k U U k

9 Kl Oletetaan, että k 0 eli että liikutaan aina saaa inifferenssikäyrää itkin. Täten U U 0 Järjestetään kokonaisifferentiaali eri tavoin U U jaetaan :llä U U ja U :llä U U U, MRS inifferenssikäyrän kulakerroin. U, Eli rajasubstituutiosuhteen itseisarvo on yhtä suuri kuin rajahyötyjen suhe Aktivoiva tehtävä 4. Marin ja Laurin hyöykekoriin kuuluu riisiä ja erunaa R, P. Mari itää eneän riisistä ja Laurin eneän erunoista. Olkoon ystyakselilla erunoien äärä ja vaaka akselilla riisi. Merkitään Marin inifferenssikäyrien joukko M:lla ja Laurin L:lla.

10 Kl Piirrä Laurin ja Marin inifferenssikäyrien joukot. Hyöyntäällä MRS käsitettä selitä, iksi Marin inifferenssikäyrän joukko eroaa Laurin inifferenssikäyrän joukosta. uokattu Frank 007, 69 kuva 3.4 Perustelu: Aktivoiva tehtävä 4.3 Ratkaise MRS, kun u, a b

11 Kl Luku 5 Kuluttajan valinta Yhistetään nyt bujettirajoituksen ja referenssien kuvaus saaan analyysiin tutkie ensiksi otiaalisen kulutuskorin valintaa tää luku sen jälkeen analysoie, kuinka tää valinta riiuu eksogeenisista tekijöistä 5. Kuluttajan otiivalinta: graafinen analyysi Yhistetään nyt saaan kuvioon bujettisuora, joka äärittää ne korit, joihin kuluttajalla on varaa inifferenssikäyrästö, joka äärittää keskenään yhtä hyvät kulutuskorit Annettuna onotonisuus aksiooa, kuluttaja valitsee korkeian inifferenssikäyrän, joka toteuttaa bujettirajoitteen, eli sivuaa bujettisuoraa., Tää äärittää valinnaksi kulutuskorin { } Kuva 5. Otiaalinen valinta Otiaalista valintaa { }, luonnehtivat seuraavat iirteet. Valinta on aina bujettisuoralla. Inifferenssikäyrän ja bujettisuoran kulakertoiet ovat yhtä suuret, eli MRS. 3. Valinta on yksikäsitteinen.

12 Kl Huo. oinaisuuet ja 3 ätevät hyvin käyttäytyville referensseille. jos aksiooat 4 & 5 eivät ole voiassa voie saaa ns. nurkkaratkaisun tai useita ratkaisuja Nurkkaratkaisu On kyse nurkkaratkaisusta, silloin kun kuluttaja ostaa vain yhen hyöykkeen. Olkoon hyöykkeet ja, nurkkaratkaisu on esierkiksi seuraava: * * I, 0, jossa I tulot Nurkkaratkaisu 3 Kuva 5. Nurkkaratkaisu Nurkkaratkaisun taauksessa ehto MRS ei äe eli inifferenssikäyrän ja bujettirajoitteen kulakertoiet eivät ole saoja.

13 Kl Täyelliset substituutit ja nurkkaratkaisu 34 Kuva 5.3 Täyelliset substituutit ja nurkkaratkaisu Ei konveksi referenssit ja aksiiehto 9 Kuva 5.4 Ei konveksi referenssit ja aksiiehto

14 Kl Kuluttajan otiivalinta: ateaattinen analyysi Annettuna onotonisuus oletus, kuluttaja yrkii korkeialle aholliselle inifferenssikäyrälle. Tää on yhtä itävää sen kanssa, että hän yrkii valitseaan hyöykkeien ja äärät niin, että hyötyfunktio saa suurian ahollisen lukuarvon. Tällaisen ongelan ratkaisutaa on eille tuttu jo kouluateatiikasta, jossa etsittiin erivoinnin avulla funktion aksiiarvoja ja iniiarvoja Kuluttajan valinta ei kuitenkaan ole vaaa, vaan sitä rajoittaa hänen eksogeenisen tulonsa äärä. Täten kuluttajan otiaalisen kulutuskorin valintaongela on ateaattiselta luonteeltaan ns. rajoitettu aksiointiongela, jossa hyötyfunktio on aksioitava tavoitefunktio ja bujettirajoitus on aksiointiongelan rajoite. Mateaattisesti: a u, {, } eholla Voie ratkaista kuluttajan valintaongelan kolella vaihtoehtoisella tavalla: i sijoitusenettelyllä, ii Lagrangen tekniikalla, iii soveltaalla suoraan ehto MRS on yhtä kuin hintasuhe. Käyään ne kaikki lävitse. i Sijoitusenettely Ieana on selviytyä rajoituksesta tavalla, jolla äästään tavoitefunktion vaaaseen aksiointiin Rajoitettu aksiointiongela ratkaistaan neljässä vaiheessa seuraavasti. Vaihe. Ratkaistaan tai bujettirajoituksesta, esi... Vaihe. Sijoitetaan :n lauseke hyötyfunktioon :n aikalle, jolloin hyötyfunktio tulee ilaistuksi vain :n avulla, utta ja riiuvat eelleen toisistaan bujettirajoituksen kautta. { } a u,

15 Kl Vaihe 3. Derivoiaan nyt :n suhteen ja asetetaan saatu erivaatta nollaksi. Kutsue tällaista ehtoa otiin välttäättöäksi ehoksi, tai ensiäisen kertaluvun ehoksi: u u u 0, yhtälöstä näee, että u u u 0. Sijoitetaan se yo. erivaattaan: 3 Vaihe 4. Järjestellään u. 4 0 u u 0 MRS Ts. olee saaneet yleisen otioinnin kautta juuri saan tuloksen kuin graafisessa analyysissa. Koska käytie yleistä hyötyfunktiota, ee saaneet ekslisiittistä ratkaisua :lle ja :lle. Jos hyötyfunktio olisi ollut esi. Cobb Douglas, olisi se tuottanut ekslisiittiratkaisun niitä katsoe hiean yöhein. Huo. Periaatteessa eiän tulee tarkistaa yös ns. otiin riittävät, eli toisen kertaluvun ehot, jotka eellyttävät, että tavoitefunktion toinen erivaatta äätösuuttujan suhteen on negatiivinen, eli täytyy äteä, että u u u < 0. 5 Vähenevä MRS takaa, että toiset erivaatat ovat negatiiviset, eli yhtälö 4 äärittää toella aksiin eikä iniin. Aineointotasolla toisen kertaluvun ehoista ei tarvitse välittää, koska yritäe valita tehtävät niin, että ne ovat voiassa.

16 Kl ii Lagrangen tekniikka Ranskalainen ateaatikko kehitti 800 luvulla tavan ratkaista rajoitettu aksiointiongela uoostaalla tavoitefunktiosta ja rajoitteesta lisäaraetrin avulla uusi, yhistetty funktio, joka voiaan ratkaista kuin vaaa aksiointiongela, kunhan se aksioiaan yös tään uuen araetrin suhteen Myöhein tätä funktiota ryhyttiin kutsuaan Lagrangen funktioksi keksijänsä ukaan Muoostetaan Lagrangen funktio otiointiongelasta : { }, a,, u L 6 on ns. Lagrangen kerroin, jonka suuruus/ienuus heijastaa sitä, kuinka tiukasta bujettirajoite rajoittaa hyöyn aksiointia Differentioiaan nyt 6:ta äätösuuttujien suhteen, jolloin saaaan. kertaluvun ehot otiille: i 0 u L ii 0 u L iii 0 L Kirjoitetaan nyt ehot i ja ii seuraavasti: 0 u L ja 0 u L Jaetaan yhtälöt uolittain: MRS u u, eli saa ehto kuin eellä ja graafisesti.

17 Kl iii Hyöynnetään teoriaa Voie veota yös suoraan teoriaan, eli juuri ehtoon MRS. Ratkaistaan hyötyfunktiosta rajahyöyt, jotta saaaan MRS Ratkaistaan bujettirajoituksesta hintasuhe Asetetaan nää yhtä suuriksi. Louhuoautus Kuluttajan valintaongelasta voie ratkaista kaksi seikkaa: Kysytyt äärät hyöykettä ja lukuäärä Näien hyöykkeien kysyntäfunktiot kuvaa kysynnän riiuvuutta eksogeenisista araetreista Kysyntäfunktiot saaaan, kun ja ratkaistaan :n, :n ja :n terein; kysytyt äärät saaaan, kun näille on annettu tarkat lukuarvot Kysyntäfunktioita erkitään yleisesti,,,, Aktivoiva tehtävä 5. Cobb Douglas referenssit: kysytty äärä Olkoon kuluttajan referenssejä äärittävä Cobb Douglasin hyötyfunktio uotoa u, ja bujettirajoite 0. Laske otiikori *, * 4 Esierkki Cobb Douglas hyötyfunktio Olkoon hyötyfunktio uotoau,, laske kysyntäfunktiot oleille hyöykkeille. a eholla u {, } Otetaan logaritinen transforaatio Cobb Douglasin hyötyfunktiosta u. ln u ln ln ln ln ln Maksiointiongela on siis

18 Kl }, { ln ln a u eholla Lagrangen funktion on ln ln L Ensiäiset kertaluvun ehot L L L Ratkaistaan yhtälöjärjestelä Yksinkertaistetaan Olee saaneet kuluttajan kysyntäfunktion hyöykkeelle. Voitte huoata, että kysyntä kasvaa kun tulot kasvaa ja laskee kun hyöykkeen hinta kasvaa. Lasketaan nyt kysyntäfunktio toiselle hyöykkeelle

19 Kl Esierkki Täyelliset koleentit ja kysytty äärä Merkinnän käytöstä lähe Niholson 004, 84 Miroeonoi Theory Olkoon kahvi ja kera Markolle täyellisiä koleentteja. Marko kuluttaa aina keraa ja kahvia suhteessa /8 esi. 0, l keraa ja 0,8 l kahvia. Olkoon kulutettu äärä keraa y ja kahvia, sitten Markon hyöty voiaan kirjoittaa seuraavalla tavalla u, y in{ a, by} in{,8y} eli 8 y y 8 Tehtävä: Lasketaan kysytyt äärät olettaen, että kuluttajan referenssejä äärittävä hyötyfunktio on u in{,4}. Olkoon, 4 ja tulot 68 au in{,4} eholla {, } Nyt ee voi erivoia hyötyfunktiota, utta hyötyfunktiosta seuraa, että jokainen inifferenssikäyrä äärittyy ehosta 4 Toisaalta eillä on bujettirajoite 4 68 joten eillä on kaksi yhtälöä ja kaksi tunteatonta. Ratkaistaan yhtälöjärjestelä

20 Kl * 4 4 * Tarkistetaan * 68 4 * * in{,4} in{56,44} in{56,56} * * Esierkki 3 Täyelliset koleentit: kysyntäfunktio au in{, } eholla {, }. Hyötyfunktiosta tieetään, että * *, sijoitetaan bujettirajoitteeseen * * * * *

Kuluttajan valinta ja kysyntä. Viime kerralta. Onko helppoa ja selvää? Mitä tänään opitaan?

Kuluttajan valinta ja kysyntä. Viime kerralta. Onko helppoa ja selvää? Mitä tänään opitaan? 6..00 Viime kerralta Kuluttajan valinta ja kysyntä Y56 Luento 3 5..00 Preferenssit valintojen arvostus, järjestäminen Indifferenssikäyrät Rajakorvattavuussuhde Hyöty Hyötyfunktiot Rajahyöty Onko heloa

Lisätiedot

Viime kerralta. Y56 Luento2. Kuinka valita piste budjettisuoralta? Mitä tänään opitaan?

Viime kerralta. Y56 Luento2. Kuinka valita piste budjettisuoralta? Mitä tänään opitaan? ..00 Viime kerralta Taloustiede mallintaa yhteiskunnan toimintaa Y56 Luento Preferenssit ja Hyöty Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa Vaihtoehtoiskustannus ja trade-off Valinnoista aiheutuvien hyötyjen

Lisätiedot

Luku 6 Kysyntä. > 0, eli kysyntä kasvaa, niin x 1. < 0, eli kysyntä laskee, niin x 1

Luku 6 Kysyntä. > 0, eli kysyntä kasvaa, niin x 1. < 0, eli kysyntä laskee, niin x 1 40 Luku 6 Kysyntä Edellisessä luvussa näie, että ratkaisealla kuluttajan valintaongelan pitäällä paraetrit (p, p, ) yleisinä, saae eksplisiittisen kysyntäfunktion kuallekin hyödykkeelle. Ilaisie kysyntäfunktiot

Lisätiedot

Y56 Mikrotaloustieteen jatkokurssi kl 2010: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaus

Y56 Mikrotaloustieteen jatkokurssi kl 2010: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaus Y56 Mikrotaloustieteen jatkokurssi kl 00: HRJOITUSTEHTÄVÄT Mallivastaus. Olkoon Kallen ravintolassa söntiä ( ja muuta vaaa-ajan kulutusta ( kuvaava budjettirajoite muotoa. Kalle on valmis vaihtamaan hden

Lisätiedot

Y56 Mikrotalousteorian jatkokurssi Laskutehtävät 1 - Mallivastaukset

Y56 Mikrotalousteorian jatkokurssi Laskutehtävät 1 - Mallivastaukset Y56 Mikrotalousteorian jatkokurssi Laskutehtävät - Mallivastaukset..00. Bujettirajoite Kuluttajalla on 50 euroa kulutettavana kahteen hyöykkeeseen ja. Hyöyke maksaa euroa er yksikkö ja hyöyke maksaa 5

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Luku 10 Intertemporaalinen valinta

Luku 10 Intertemporaalinen valinta Y56 Mikotalousteoian jatkokussi Kl 9 5 uku Intetepoaalinen valinta Huo. ee käsittele Vaianin lukua 9. Monet kulutukseen liittyvät päätökset koskevat tulevaisuutta esi. pitkän aikavälin hankinnat ja kulutussuunnitelat.

Lisätiedot

Varian luku 12. Lähde: muistiinpanot on muokattu Varianin (2006, instructor s materials) muistiinpanoista

Varian luku 12. Lähde: muistiinpanot on muokattu Varianin (2006, instructor s materials) muistiinpanoista Epävaruus Varian luku 12 Lähde: uistiinpanot on uokattu Varianin (2006, instructor s aterials) uistiinpanoista Epävaruus Tähän asti ollaan tarkasteltu kuluttajan optiaalista valintaa sivuuttaen kokonaan

Lisätiedot

Viime kerralta Epävarmuus ja riski Optimaalinen kulutus-säästämispäätös: Tulo- ja substituutiovaikutus analyyttinen tarkastelu Epävarmuus Epävarmuus

Viime kerralta Epävarmuus ja riski Optimaalinen kulutus-säästämispäätös: Tulo- ja substituutiovaikutus analyyttinen tarkastelu Epävarmuus Epävarmuus Viie kerralta Epävaruus ja riski Luento 5 4..010 Tulo- ja substituutiovaikutus hinnan uutoksessa Substituutiovaikutus budjettisuora kiertyi alkuperäisen valinnan ypärillä Tulovaikutus uusi budjettisuora

Lisätiedot

Luku 14 Kuluttajan ylijäämä

Luku 14 Kuluttajan ylijäämä 56 Luku 4 Kuluttajan ylijäämä Kuluttajan ylijäämän käsite on erittäin aljon käytetty hyvinvointitaloustieteessä. Käsite erustuu hyödyn maksimoinnin ja kysyntäkäyrän väliseen yhteyteen, eli siihen, että

Lisätiedot

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2009: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2009: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 1 Y56 Mikron jatkokurssi kl 2009: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Palautus to 5.2. klo 16 mennessä Chiaran lokerolle Koetilantie 5, 3. krs. Tehtävät voidaan palauttaa myös to 5.2. luennon alussa. En ota vastaan myöhään

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40 Diskreetin ateatiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40 Tuntitehtävät 31-32 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 35-36 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 33-34 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Luku 1 Toimijat, käyttäytyminen, instituutiot, tasapaino

Luku 1 Toimijat, käyttäytyminen, instituutiot, tasapaino Y56 Mikrotalousteorian jatkokurssi, kl 009 Luku Toimijat, käyttäytyminen, instituutiot, tasaaino Mikrotalousteoria käsittelee yksittäisten talousyksiköiden taloudellista käyttäytymistä ja talousyksiköiden

Lisätiedot

ill 'l' L r- i-ir il_i_ lr-+ 1r l

ill 'l' L r- i-ir il_i_ lr-+ 1r l ir a I - --+,.---+-,- i-ir il_i_ lr-+ 1r l rl ill 'l' L r- T- 'l rl *r- I s. ;l -' --S"[nJ+&L rlr D Ur-r^^;lA_e^ 3. Piirrä indi erenssikäyrät korille ( ; x 2 ); kun on tavallinen hyödyke, ja x 2 on tavallinen

Lisätiedot

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla

Lisätiedot

Kuva 1: Etäisestä myrskystä tulee 100 metrisiä sekä 20 metrisiä aaltoja kohti rantaa.

Kuva 1: Etäisestä myrskystä tulee 100 metrisiä sekä 20 metrisiä aaltoja kohti rantaa. Kuva : Etäisestä yrskystä tulee 00 etrisiä sekä 20 etrisiä aaltoja kohti rantaa. Myrskyn etäisyys Kuvan ukaisesti yrskystä tulee ensin pitkiä sataetrisiä aaltoja, joiden nopeus on v 00. 0 tuntia yöhein

Lisätiedot

Luku 16 Markkinatasapaino

Luku 16 Markkinatasapaino 76 Luku 16 Markkinatasaaino 16.1 Markkinatasaainon määritys Tarkastelemme kilailullisia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaisunsa suhteessa maksimihintoihin talouenitäjien

Lisätiedot

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n.

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n. Harjoitukset 2, vastauksia. Ilmoittakaa virheistä ja epäselvyyksistä! 1. b (kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle) 2. c (kysyntäkäyrä siirtyy oikealle) 3. ei mikään edellisistä; oikea vastaus olisi p 2

Lisätiedot

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että: Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,

Lisätiedot

1 Rajoitettu optimointi I

1 Rajoitettu optimointi I Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause

Lisätiedot

πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,

πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m, Lisäyksiä Muutamia lisäyksiä laskuharjoitusten 9 tehtävien ratkaisuihin. Sarjan n n cos4 n π termeittäin erivoituvuus Sarjan n n cos4 n πtermeittäinerivoitavuusonhiukkasenhankalaasia tutkia. Olkoon a n

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

η = = = 1, S , Fysiikka III (Sf) 2. välikoe

η = = = 1, S , Fysiikka III (Sf) 2. välikoe S-11445 Fysiikka III (Sf) välikoe 710003 1 Läpövoiakoneen kiertoprosessin vaiheet ovat: a) Isokorinen paineen kasvu arvosta p 1 arvoon p b) adiabaattinen laajeneinen jolloin paine laskee takaisin arvoon

Lisätiedot

f (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain

f (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos()

Lisätiedot

lim Jännitystila Jännitysvektorin määrittely (1)

lim Jännitystila Jännitysvektorin määrittely (1) Jännitstila Tarkastellaan kuvan ukaista ielivaltaista koliulotteista kaaletta, jota kuoritetaan ja tuetaan siten, että se on tasaainossa. Kaaleen kuoritus uodostuu sen intaan kohdistuvista voiajakautuista,

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 5 / vko 12

Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 5 / vko 12 Diskreetin ateatiikan perusteet Esierkkiratkaisut 5 / vko 1 Tuntitehtävät 51-5 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 55-56 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 53-54 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ 53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka

Lisätiedot

, 3.7, 3.9. S ysteemianalyysin. Laboratorio Aalto-yliopiston teknillinen korkeakoulu

, 3.7, 3.9. S ysteemianalyysin. Laboratorio Aalto-yliopiston teknillinen korkeakoulu Lineaarikobinaatioenetelät 3.5-3.7, 3.7, 3.9 Sisältö Pääkoponenttianalyysi (PCR) Osittaisneliösua (PLS) Useiden vasteiden tarkastelu Laskennallisia näkökulia Havaintouuttujien uunnokset Lähtökohtana useat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Luku 1 Toimijat, käyttäytyminen, instituutiot, tasapaino

Luku 1 Toimijat, käyttäytyminen, instituutiot, tasapaino Y56 Mikrotalousteorian jatkokurssi Kevät 00 Luku Toimijat, käyttäytyminen, instituutiot, tasaaino Mikrotaloustieteessä kuvataan sitä, miten ihmiset (ml. yritykset) käyttävät rajallisia resurssejaan tyydyttääkseen

Lisätiedot

Derivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b

Derivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b , interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b Funktioita Potenssifunktio: x (axn ) = nax n 1 Eksponentin n ei tarvitse olla kokonaisluku, vaan se voi olla murtoluku tai esimaaliluku! Neliöjuuri: ax = x x (

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

Y56 Mikrotaloustieteen jatkokurssi kl 2010: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2

Y56 Mikrotaloustieteen jatkokurssi kl 2010: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Y56 Mikrotaloustieteen jatkokurssi kl 2010: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Palautus ke 10.2. klo 16 mennessä Piian lokeroon Koetilantie 5, 3. krs tai B-talon vahtimestarien kopin luona olevaan kurssikansioon. En

Lisätiedot

Luku 14 Kuluttajan ylijäämä

Luku 14 Kuluttajan ylijäämä Luku 4 Kuluttajan ylijäämä Tähän asti johdettu kysyntä hyötyfunktioista ja preferensseistä, nyt päinvastainen ongelma: eli kuinka estimoida hyöty havaitusta kysynnästä. Mitattavat ja estimoitavat kysyntäkäyrät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa

Lisätiedot

Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys

Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys 5A Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tutkia niien muutoksia ajassa.

Lisätiedot

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä Kuluttajan teoriaa tähän asti Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa - Tavoitteen optimointia rajoitteella Luento 6 Kuluttajan ylijäämä 8.2.2010 Budjettirajoite (, ) hyödykeavaruudessa - Kulutus =

Lisätiedot

Kuluttaja valitsee erilaisten hyödykekorien välillä. Kuluttajan preferenssijärjestyksen perusoletukset ovat

Kuluttaja valitsee erilaisten hyödykekorien välillä. Kuluttajan preferenssijärjestyksen perusoletukset ovat Kuluttajan valinta KTT Olli Kauppi Kuluttaja valitsee erilaisten hyödykekorien välillä. Kuluttajan preferenssijärjestyksen perusoletukset ovat 1. Täydellisyys: kuluttaja pystyy asettamaan mitkä tahansa

Lisätiedot

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ******************************************************** .. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää

Lisätiedot

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b) TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}

Lisätiedot

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2 Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä

Lisätiedot

3. Differen-aalilaskenta

3. Differen-aalilaskenta //. Differen-aalilaskenta Differen-aali "yvin pieni uutos" Derivaa

Lisätiedot

Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle

Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä malleissa on usein pieniä/suuria parametreja miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle jatkuvuus ja rajayhtälöt säännölliset ja epäsäännölliset häiriöt

Lisätiedot

LHSf5-1* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden lämpötilakerroin on 2 γ = ( ) RV V b T 2 RTV 2 a V b. m m ( ) m m. = 1.

LHSf5-1* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden lämpötilakerroin on 2 γ = ( ) RV V b T 2 RTV 2 a V b. m m ( ) m m. = 1. S-445 FSIIKK III (ES) Syksy 004, LH 5 Ratkaisut LHSf5-* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden läötilakerroin on R ( b ) R a b Huoaa, että läötilakerroin on annettu oolisen tilavuuden = / ν avulla

Lisätiedot

a) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n =

a) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n = S-, ysiikka III (S) välikoe 7000 Laske nopeuden itseisarvon keskiarvo v ja nopeuden neliöllinen keskiarvo v rs seuraaville 6 olekyylien nopeusjakauille: a) kaikkien vauhti 0 / s, b) kolen vauhti / s ja

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Perustiedot. Mikrotalousteorian jatkokurssi. Aikataulu. Mitä kansantaloustiede tutkii?

Perustiedot. Mikrotalousteorian jatkokurssi. Aikataulu. Mitä kansantaloustiede tutkii? Perustiedot Mikrotalousteorian jatkokurssi 18.1.010 Oettajina Piia Aatola (eriodi III) sekä Katja Moliis (eriodi IV) 11 o kurssi, joka sisältää luentoja 4 h sekä harjoituksia 1 h. Harjoitukset vetää Karoliina

Lisätiedot

Lien ryhmät D 380 klo Ratkaisut 6+6=12

Lien ryhmät D 380 klo Ratkaisut 6+6=12 JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lien ryhmät 22.5.2012 D 380 klo. 10-12 Ratkaisut 6+6=12 1. Käytä ehtoa g = {X M n n exp(tx) kaikille t R} ja tarvittaessa tietoa et exp A = exp r A toistaksesi

Lisätiedot

k N. Sillä asia on selvä. Jos taas alkuperäinen

k N. Sillä asia on selvä. Jos taas alkuperäinen Harjoitukset 4 / 2011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Osoita, että a) inkään kokonaisluvun neliö ei ole uotoa 4n + 2 eikä 4n + 3. b) neljän eräkkäisen kokonaisluvun tulo on jaollinen luvulla 24. c) k eräkkäisen

Lisätiedot

Mapusta. Viikon aiheet

Mapusta. Viikon aiheet Infoa Mapusta Tiistaina: Ongelmanratkaisu ryhmässä luento klo 8-10 D101. Tähän liittyviä tehtäviä tehään myöhemmin perusopintojen laboratoriotöihin integroituna. Mikäli luento menee ex-temporen päälle,

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

ELEC-C1230 Säätötekniikka 10. laskuharjoitus Taajuustason tekniikat: Boden ja Nyquistin diagrammit, kompensaattorien suunnittelu

ELEC-C1230 Säätötekniikka 10. laskuharjoitus Taajuustason tekniikat: Boden ja Nyquistin diagrammit, kompensaattorien suunnittelu ELEC-C23 Säätötekniikka. laskuharjoitus Taajuustason tekniikat: Boden ja Nyquistin diagrait, kopensaattorien suunnittelu Quiz: Alla olevassa kuvassa on esitetty vaiheenjohtokopensaattorin siirtofunktio,

Lisätiedot

MIKROTEORIA, HARJOITUS 8

MIKROTEORIA, HARJOITUS 8 MIKROTEORI, HRJOITUS 8 PNOSMRKKINT, KILPILU, OLIGOPOLI, PELITEORI J VIHTOTLOUS. Jatkoa tehtävään 4 (ja 5) harjoituksessa 7. a. Laske kolluusioratkaisu. Kahden samaa tuotetta tuottavan yrityksen kustannusfunktiot

Lisätiedot

Kulutus. Kulutus. Antti Ripatti. Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki Antti Ripatti (HECER) Kulutus

Kulutus. Kulutus. Antti Ripatti. Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki Antti Ripatti (HECER) Kulutus Kulutus Antti Ripatti Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki 13.11.2013 Antti Ripatti (HECER) Kulutus 13.11.2013 1 / 11 Indifferenssikäyrät ja kuluttajan teoria Tarkastellaan edustavaa kotitaloutta.

Lisätiedot

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1

Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1 Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1 1 Taloustiede tutkii niukkojen resurssien kohdentamista kilpaileviin tarkoituksiin mikä on hyvä tapa kohdentaa? miten arvioida tuloksia? mitä niukkuus tarkoittaa?

Lisätiedot

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää.

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. .. Markkinakysyntä ja joustot a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. Markkinoiden kysyntäkäyrä saadaan laskemalla

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Luku 16 Markkinatasapaino

Luku 16 Markkinatasapaino 68 Luku 16 Markkinataaaino 16.1 Markkinataaainon määrity Tarkatelemme kilailulliia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaiuna uhteea makimihintoihin talouenitäjien

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2

Lisätiedot

Korkeamman asteen kongruensseista

Korkeamman asteen kongruensseista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Piia Mäkilä Korkeamman asteen kongruensseista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 010 Tamereen ylioisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Alkulukujen harmoninen sarja

Alkulukujen harmoninen sarja Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Eristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä

Eristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on

Lisätiedot

Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 2016

Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 2016 tudent: ate: Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 016 Assignment: 016 www 1. Millä seuraavista tuotteista on itseisarvoltaan pienin kysynnän hintajousto? A. Viini B. Elokuvat

Lisätiedot

0, mol 8,3145 (273,15 37)K mol K. Heliumkaasun paine saadaan kaasujen tilanyhtälöstä pv = nrt. K mol kpa

0, mol 8,3145 (273,15 37)K mol K. Heliumkaasun paine saadaan kaasujen tilanyhtälöstä pv = nrt. K mol kpa 4. Kaasut 9. Palauta ieleen Reaktio 1 s. 19 olouodoista ja niiden eroista. a) Kaasussa rakenneosat ovat kaukana toisistaan, joten kaasu on aljon harveaa kuin neste. Ts. kaasun tiheys on ienei kuin nesteen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0. HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän

Lisätiedot

Kuluttajan valinta. Tulovaikutukset. Hyvinvointiteoreemat. Samahyötykäyrät. Variaatiot (kompensoiva ja ekvivalentti) Hintatason mittaamisesta

Kuluttajan valinta. Tulovaikutukset. Hyvinvointiteoreemat. Samahyötykäyrät. Variaatiot (kompensoiva ja ekvivalentti) Hintatason mittaamisesta Kuluttajan valinta Tulovaikutukset Hyvinvointiteoreemat Samahyötykäyrät Variaatiot (kompensoiva ja ekvivalentti) Hintatason mittaamisesta 1 Mikrotaloustiede (31C00100) Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

2.7. Intertemporaalinen valinta

2.7. Intertemporaalinen valinta 9.7. Interteporaalinen valinta Aikaisein tarkasteltiin intrateporaalista valintaa: kuinka paljon ja issä suhteessa kuluttaja haluaa hyödykkeitä X ja X juuri nyt. Seuraavaksi tarkasteluun otetaan ukaan

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Maatalous metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe

Maatalous metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Maatalous metsätieteellisen tieekunnan valintakoe.6.009 Ympäristöekonomia mallivastaukset matematiikan valintakoekysymyksiin: 1. Markkinat ovat tasapainossa, kun hyöykkeen kysyntä ja tarjonta ovat yhtä

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä

Lisätiedot

Demo 1: Simplex-menetelmä

Demo 1: Simplex-menetelmä MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x

Lisätiedot

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa. S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä

Lisätiedot

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi 1 Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi TYÖMARKKINOIDEN toiminta on keskeisessä asemassa tulonjaon ja työllisyyden suhteen. Myös muut tuotannontekijämarkkinat

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot