Luento 5. Stereomittauksen tarkkuus Maa Fotogrammetrian perusteet 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luento 5. Stereomittauksen tarkkuus Maa Fotogrammetrian perusteet 1"

Transkriptio

1 Luento 5 Stereomittauksen tarkkuus 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 1

2 Sisältö Stereokuvauksen * tarkkuuteen vaikuttavat asiat tarkkuuden arviointi, kuvauksen suunnittelu ja simulointi stereomallin deformaatiot sterokuvan plastiikka * Huom! Stereokuvaus käsittää tässä merkityksessä sekä tiedonkeruun, sen käsittelyn ja esittämisen Maa Fotogrammetrian perusteet 2

3 Stereomittauksen tarkkuuteen vaikuttavia tekijöitä Kuvakoko Kuvakulma Kuvan terävyys Kuvanoton kuvakanta Stereotarkastelun suurennussuhde Stereotarkastelun kuvakanta Kuvaparin keskinäinen orientointi > Stereomallin deformaatio 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 3

4 Optimaalinen kuvausgeometria 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 4

5 Etäisyysmittauksen epätarkkuus I Etäisyysmittauksen tarkkuus stereokuvauksen normaalitapauksessa on suoraan verrannollinen kuvan mittakaavaan, ja parallaksieron mittaustarkkuuteen, ja kääntäen verrannollinen kantasuhteeseen Maa Fotogrammetrian perusteet 5

6 Etäisyysmittauksen epätarkkuus II 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 6

7 Kuvakannan suuruus Kannan suuruus riippuu kuvausetäisyydestä ja stereokuvien käyttötarkoituksesta. Pelkkään stereotarkasteluun tarkoitetuilla kuvilla kanta voi vaihdella lähes olemattomasta, siis muutamasta sentistä, ehkä enimmillään yhteen metriin. Mittaus- ja kartoituskuvauksissa kuvakanta on pidempi, koska syvyysmittauksen tarkkuutta halutaan korostaa. Ilmakuvilla kanta voi olla jopa puolet kuvausetäisyydestä Maa Fotogrammetrian perusteet 7

8 Stereomallin ulkoinen orientointi I Kuvapari voidaan aina orientoida stereomalliksi, jossa sitä tulkitaan ja mitataan omassa 3-D koordinaatistossaan. Käytännössä havainnot muunnetaan myös kohteen kartoituskoordinaatistoon. Malli- ja kohdekoordinaatiston välinen muunnos ratkaistaan ulkoisella orientoinnilla Maa Fotogrammetrian perusteet 8

9 Stereomallin ulkoinen orientointi II Muunnos on useimmiten kohtisuora yhdenmuotoismuunnos ja sisältää seitsemän muuttujaa eli mittakaavan korjauksen, kolme siirtoa, ja kolme kiertoa. Näitä ei voi havaita suoraan vaan ainoastaan välillisesti muunnospisteiden avulla. Muunnoksen edellytyksenä on, että stereomallilta on havaittu vähintään kolme sellaista pistettä, joiden koordinaatit tunnetaan myös kohdekoordinaatistossa Maa Fotogrammetrian perusteet 9

10 Stereomallin ulkoinen orientointi III Käytännössä muunnospisteitä eli n.s. tukipisteitä on enemmän. Joissakin erikoistapauksissa mallikoordinaatisto on vino. Tällöin muunnos tehdään projektiivisesti ja muunnoksessa on 15 muuttujaa, kolme mittakaavaa, kolme siirtoa ja 3x3 kiertoa Maa Fotogrammetrian perusteet 10

11 Stereomallin ulkoinen orientointi IV Stereomallin ulkoisessa orientoinnissa on aina tärkeää, että muunnokseen voidaan käyttää enemmän tukipisteitä kuin edellä mainitut kolme. Tukipisteitä saadaan sekä kohteella tehdyin mittauksin että fotogrammetrisesti kolmioimalla. Kolmioinnissa mallit ja kuvat orientoidaan ensin toisiinsa kuvablokiksi ja kuvablokki muunnetaan kohdekoordinaatistoon (blokkikolmiointi). Pelkät kohteella mitatut tukipisteet tulevat kysymykseen lähinnä silloin, kun on kyse yksittäisen stereomallin orientoimisesta Maa Fotogrammetrian perusteet 11

12 Muunnospisteet Muunnoksen edellytyksenä on, että stereomallilta on havaittu vähintään kolme sellaista pistettä, joiden koordinaatit tunnetaan myös kohdekoordinaatistossa. Käytännössä muunnospisteitä eli n.s. tukipisteitä on enemmän Maa Fotogrammetrian perusteet 12

13 Muunnospisteet 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 13

14 Mittakaava ja kierto 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 14

15 Kallistus vaakatasoon 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 15

16 Orientoinnin laskeminen Muunnospisteiden kohdekoordinaatit Mittakaava ja kierrot Origon siirto Stereomallilta havaitut koordinaatit 1. Virheyhtälöiden muodostaminen Origon siirto = muunnospisteiden painopisteiden koordinaattiero 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 16

17 Likiarvot Parannukset Mallin ulkoinen orientointiiv 2. Kiertomatriisin linearisointi Ratkaisua iteroidaan, kunnes likiarvoja ei käytännössä enään saada parannettua. Muunnospisteiden jäännösvirheistä arvioidaan se, miten hyvin orientointi näillä havainnoilla onnistui. Parannuksilla korjatut likiarvot 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 17

18 Stereomallin ulkoinen orientointi IV Stereomallin ulkoisessa orientoinnissa on aina tärkeää, että muunnokseen voidaan käyttää enemmän tukipisteitä kuin edellä mainitut kolme. Pelkät kohteella mitatut tukipisteet tulevat kysymykseen lähinnä silloin, kun on kyse yksittäisen stereomallin orientoimisesta Maa Fotogrammetrian perusteet 18

19 Kuvien ulkoinen orientointi Stereomallin keskinäinen ja ulkoinen orientointi voidaan korvata kummallekin kuvalle erikseen tehdyllä yhden kuvan ulkoisella orientoinnilla. Ulkoinen orientointi sisältyy blokkikolmiointiin. Kolmioinnissa mallit ja kuvat orientoidaan ensin toisiinsa kuvablokiksi ja kuvablokki muunnetaan kohdekoordinaatistoon Maa Fotogrammetrian perusteet 19

20 Tukipisteiden mittaus Tukipisteitä saadaan sekä kohteella tehdyin mittauksin että fotogrammetrisesti kolmioimalla Maa Fotogrammetrian perusteet 20

21 Stereomallin deformaatio I Koska kohteen yksityiskohtainen kartoitus perustuu viime kädessä stereomallin tulkintaan ja siitä tehtyihin mittauksiin, on tärkeää, että malli on oikean muotoinen. Vaikka sisäinen ja keskinäinen orientointi tehdään tarkasti, jokainen stereomalli deformoituu orientointien jäännösvirheistä. Ulkoisen orientoinnin toisena tehtävänä onkin - koordinaatistomuunnoksen lisäksi - antaa käsitys tämän deformaation suuruudesta Maa Fotogrammetrian perusteet 21

22 Stereomallin deformaatio II Mallideformaatioiden luonnetta tarkastellaan virheitä simuloimalla. Osa virheistä on lineaarisia, ja ne kompensoituvat ulkoisen orientoinnin aikana. Osa virheistä on epälineaarisia, ja niiden vaikutusta hallitaan sijoittamalla ylimääräisiä tukipisteitä virheiden kannalta kriittisille stereomallin alueille Maa Fotogrammetrian perusteet 22

23 Mallideformaatio korkeusmallin vaihevirheenä Deformaatio näkyy korkeusmallissa stereomallien rajoilla karttalehdittäin 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 23

24 Esimerkki Kuva 01131_ _0082 gon degrees gon degrees kappa 0, , , ,00100 fii 0, , , ,00158 omega 0, , ,0034 0,00306 Model deformation 01131_ c = 152 mm Blokkikolmioinnin jälkeen voidaan kuvien orientointisuureiden keskivirheistä arvioida niiden vaikutusta korkeusmallin mahdolliseen deformoitumiseen. m 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Maa Fotogrammetrian perusteet 24

25 Kulmavirheen vaikutus korkeuden virheeseen c 152 mm B 2850,789 m h 4710 m p 60 % px 92 mm m 30986,84 S/s' dφ B 0,00281 degrees h φ 0,00281 degrees 4710 m 0,049 mrad 231 mm dh φ +dφ 231 mm 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 25

26 Stereomallin deformaatio III Lineaarisia Epälineaarisia 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 26

27 Stereomallin deformaatio III Jäännösparallaksi dp x voidaan johtaa näistä havainnoista keskinäisen orientoinnin yhteydessä esitellyillä projektiokaavoilla. Jäännösparallaksi vääristää mallin Z-koordinaatin ja sen myötä myös X- ja Y-koordinaatit. Tätä ilmiötä kutsutaan stereomallin deformoitumiseksi. Käytännön tilanteissa vääristymää ei voi nähdä ja orientointi on tarkistettava mittauksin. Tarkistusmittaukset sisältyvät stereomallin ulkoiseen orientointiin Maa Fotogrammetrian perusteet 27

28 Stereomallin deformaatio IV 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 28

29 Stereomallin deformaatio V Deformaation luonnetta voi havainnollistaa tasomaisella kohteella. Tarkastellaan jäännösparallaksin vaikutusta projektiotasolla ja valitaan tasoksi z = -c Maa Fotogrammetrian perusteet 29

30 Stereomallin deformaatio VI Jäännösparallaksin vaikutus z-koordinaattiin lasketaan etäisyydenmittauksen epätarkkuutena dz Maa Fotogrammetrian perusteet 30

31 Keskinäisen orientoinnin jäännösvirheiden vaikutus mallilta havaittuihin korkeuslukuihin eli z-koordinaatteihin 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 31

32 Vertailutaso 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 32

33 Lineaarinen deformaatio - kuvakannan pituusvirhe 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 33

34 Lineaarinen deformaatio - kameran korkeusvirhe 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 34

35 Lineaarinen deformaatio - kameran kiertyminen 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 35

36 Epälineaarinen deformaatio - kameran pitkittäiskallistus 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 36

37 Epälineaarinen deformaatio - kameran poikittaiskallistus Lentosuunta 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 37

38 Stereokuvan plastiikka I Keinotekoinen stereoskooppisen näkemisen illuusio voidaan saada aikaan kuvilla, jotka esittävät samaa kohdetta, mutta on projisoitu mielivaltaisen stereoskooppisen kannan päätepisteiden kautta. Käytettävän kannan pituus voi olla eri kuin silmien luonnollinen etäisyys eli etäisyyshavainnon voimakkuutta voidaan säätää. Myös kuvia suurentamalla ja pienentämällä voidaan muuttaa mielikuvaa havaituista etäisyyseroista Maa Fotogrammetrian perusteet 38

39 Stereokuvan plastiikka II Jos stereokuvaparin kuvanottovälin eli kannan pituus on n-kertainen kuvien tarkastelukannan pituuteen nähden ja kuvien suurennus on v-kertainen, niin voidaan laskea tarkastelun tai kojeen kokonaisplastiikan arvo: P = n*v 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 39

40 Stereokuvan plastiikka III Kokonaisplastiikkaa muuttamalla voidaan vaikuttaa kohteen etäisyyserojen tuntuun ja muodon havaitsemisen tarkkuuteen. Jos kokonaisplastiikka saa arvon 1, kohteen muoto vastaa kohteen luonnollista muotoa eli ilmakuvilla rakennukset näyttävät oikean korkuisilta, kun korkeutta verrataan rakennuksen kokoon sen vaakasuunnassa. Jos kokonaisplastiikka on kasvaa, rakennukset venyvät Maa Fotogrammetrian perusteet 40

41 Stereokuvan plastiikka IV 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 41

42 Stereokuvan plastiikka V Etäisyyserot vaikuttavat sitä suuremmilta mitä enemmän vastinkuvioiden välillä on parallaksia. Tässä vasemmat neliöt muodostavat vertaustason ja alin neliöpari vertausetäisyyden Maa Fotogrammetrian perusteet 42

43 Stereokuvan plastiikka VI 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 43

44 Stereokuvan plastiikka VII Ylempää neliösarjaa on jatkettu oikealle lisäämällä parallaksieroa ensin kaksinkertaiseksi ja lopuksi kolminkertaiseksi. Kun tätä kuvaparia katsotaan stereoskooppisesti, ylempien neliöiden etäisyyserot näyttävät myös kasvavan lineaarisesti, ensin kaksinkertaiseksi ja lopuksi kolminkertaiseksi Maa Fotogrammetrian perusteet 44

45 Stereokuvan plastiikka VIII Kyse on stereokuvan plastiikasta. Jos kuvakanta eli kuvanottopaikkojen välinen etäisyys kasvaa kaksinkertaiseksi, parallaksi kasvaa kaksinkertaiseksi. Koska tarkastelukanta eli silmäväli pysyy tässä esimerkissä samana, etäisyyserot korostuvat kaksinkertaisina Maa Fotogrammetrian perusteet 45

46 Stereokuvan plastiikka IX 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 46

47 Stereokuvan plastiikka X Stereokuvan plastiikkaa voidaan muuttaa myös kuvaa suurentamalla ja pienentämällä. Tässä pienempi neliöpari muodostaa vertausetäisyyden. Isommat neliöt on piirretty suurentamalla pienempi neliöpari kummallakin kuvalla kaksinkertaisiksi Maa Fotogrammetrian perusteet 47

48 Stereokuvan plastiikka XI Kun kuvaparia katsotaan stereoskooppisesti, neliöparin välinen etäisyys näyttää suurennoksen myötä kasvaneen kaksinkertaiseksi. Kuvan suurentaminen vaikuttaa parallakseihin. Koska tarkastelukanta pysyy samana, etäisyyserot korostuvat tässäkin kaksinkertaisina Maa Fotogrammetrian perusteet 48

49 Esimerkki I Maanmittauslaitos kuvaa maastotietokannan kartoituskuvaukset mittakaavaan 1 : 31'000. Kuvauskorkeus on 6500 m ja yhden kuvan kattama alue maastossa 7130 m x 7130 m. Kuvaus tehdään stereokuvauksena siten, että kuvat peittävät toisensa 60 %, joten kuvanottoväli on 2850 m Maa Fotogrammetrian perusteet 49

50 Esimerkki II Jos kuvia tarkastellaan paljain silmin stereoskooppisesti, stereovaikutelman kokonaisplastiikan arvoksi saadaan 1.4. n = 2850 / = v = 1 / p = n * v = 1.4 Tarkasteltavassa mallissa korkeuserot korostuvat 1.4-kertaisina vaakasuoriin eroihin nähden Maa Fotogrammetrian perusteet 50

51 Esimerkki III Ilman kuvakannan suurentamista stereovaikutelman kokonaisplastiikan arvoksi saataisiin 1 / Tämä vastaa suurin piirtein sitä vaikutelmaa, joka kohteen topografiasta näkyy, kun matkustaja tarkastelee sitä paljain silmin lentokoneesta 6500 metrin korkeudelta Maa Fotogrammetrian perusteet 51

52 Tehtävä Tehtävä Piirrä kuutio ja sen stereokuva. Piirrä sama kuutio, mutta muuta kokonaisplastiikkaa siten, että kuution korkeus on kaksinkertainen kuution vaakasivuun nähden Maa Fotogrammetrian perusteet 52

53 Stereomallin plastiikka 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 53

54 Stereodrome 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 54

55 Syvyysterävyys 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 55

56 Linssin syvyysterävyysalue Kuvan terävyyttä arvioidaan suureella c, joka on kuvalle kuvautuvan pisteen halkaisija. pa on fokusointietäisyys, pn ja pf tätä vastaavat terävänä kuvautumisen etu- ja takarajat. D on kameran aukkoluku ja f linssin polttoväli. ph on hyperfokaalietäisyys, jolle etäisyydelle fokusoitaessa kuva on terävä välillä pn Maa Fotogrammetrian perusteet 56

57 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 57

58 Stereoskooppinen syvyysnäkö Stereoscopic depth Z dz dp dz = x B c p = = x 1 B c Z c p 2 x Z dp B x Angular disparity Stereoscopic illusion dpx dφ = c Z Z dz = B dφ 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 58

59 Stereoscopic disparity by scaling B = 65 mm Angular disparities, with 0,5 pixels: Olympus Camedia SpheroCam 0, rad 0, rad f = 1400 pel f = 16 mm 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 59

60 Example Olympus E10 - Image size 3137 x 2084 pel - f = 3200 pel - B = 30 cm - Angular disparity 0, rad 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 60

61 Example, zoomed in at a distance of 35 m B = 30 cm 2008 Maa Fotogrammetrian perusteet 61

Luento 11: Stereomallin ulkoinen orientointi

Luento 11: Stereomallin ulkoinen orientointi Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 17.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 23.2.2004 ) Luento 11: Stereomallin ulkoinen

Lisätiedot

Luento 4 Georeferointi

Luento 4 Georeferointi Luento 4 Georeferointi 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Georeferointi käsitteenä Orientoinnit Stereokuvaparin mittaus Stereomallin ulkoinen orientointi (= absoluuttinen orientointi)

Lisätiedot

Luento 4 Georeferointi Maa Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 4 Georeferointi Maa Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 4 Georeferointi 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Georeferointi käsitteenä Orientoinnit Stereokuvaparin mittaus Stereomallin ulkoinen orientointi (= absoluuttinen orientointi)

Lisätiedot

Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi

Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi 7Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 7.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 5.2.2004 ) Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi

Lisätiedot

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen AIHEITA Etäisyysmittaus stereokuvaparilla Esimerkki: "TKK" Esimerkki: "Ritarihuone"

Lisätiedot

Luento 9 3-D mittaus. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 9 3-D mittaus. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 9 3-D mittaus 1 Luennot 2008 JOHDANTO Koko joukko kuvia! Kuvien moniulotteisuus. LUENNOT I. Kuvien ottaminen Mitä kuvia ja miten? Mitä kuvista nähdään? II. III. IV. Kuvien esikäsittely Miten kartoituskuvat

Lisätiedot

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 2 Stereokuvan laskeminen 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Aiheet Stereokuvan laskeminen stereokuvan piirto synteettisen stereokuvaparin tuottaminen laskemalla stereoelokuva kollineaarisuusyhtälöt

Lisätiedot

Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat 1 Kuvan kolmiulotteisuus 2 Stereokuva 3 Aiheita Parallaksi. Stereoskopia. Stereoskooppinen näkeminen. Stereomallin kokonaisplastiikka. Stereokuvaus. Dokumentointi stereodiakuvin.

Lisätiedot

Luento 8: Kolmiointi AIHEITA. Kolmiointi. Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi. Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Luento 8: Kolmiointi AIHEITA. Kolmiointi. Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi. Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 12.10.2004) Luento 8: Kolmiointi AIHEITA Kolmiointi Nyrkkisääntöjä Kuvablokki Blokin pisteet Komparaattorit

Lisätiedot

Luento 6: Stereo- ja jonomallin muodostaminen

Luento 6: Stereo- ja jonomallin muodostaminen Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 5.10.2004) Luento 6: Stereo- ja jonomallin muodostaminen AIHEITA Keskinäinen orientointi Esimerkki

Lisätiedot

Luento 6: 3-D koordinaatit

Luento 6: 3-D koordinaatit Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004

Lisätiedot

Luento 5: Kuvakoordinaattien laskeminen ja eteenpäinleikkaus

Luento 5: Kuvakoordinaattien laskeminen ja eteenpäinleikkaus Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 27.9.2005) Luento 5: Kuvakoordinaattien laskeminen ja eteenpäinleikkaus Mitä pitäsi oppia? Nyt pitäisi viimeistään ymmärtää, miten kollineaarisuusyhtälöillä

Lisätiedot

Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat 1 Kuvan kolmiulotteisuus 2 Stereokuva 3 Aiheita Parallaksi. Stereoskopia. Stereoskooppinen näkeminen. Stereomallin kokonaisplastiikka. Stereokuvaus. Dokumentointi stereodiakuvin.

Lisätiedot

Luento 2: Stereoskopia

Luento 2: Stereoskopia Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 2: Stereoskopia AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 3.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 5.2.2004)

Lisätiedot

Luento 4: Kiertomatriisi

Luento 4: Kiertomatriisi Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 28.9.2004) Luento 4: Kiertomatriisi Mitä pitäisi oppia? ymmärtää, että kiertomatriisilla voidaan kiertää koordinaatistoa ymmärtää, että

Lisätiedot

Luento 7: Kuvan ulkoinen orientointi

Luento 7: Kuvan ulkoinen orientointi Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 6.10.2004) Luento 7: Kuvan ulkoinen orientointi AIHEITA Ulkoinen orientointi Suora ratkaisu Epäsuora

Lisätiedot

Luento 3: Kuvahavainnot

Luento 3: Kuvahavainnot Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 22.9.2004) Luento 3: Kuvahavainnot Mitä pitäsi oppia? Viimeistään nyt pitäisi ymmärtää kuva-, komparaattori- ja kamerakoordinaatistojen

Lisätiedot

Luento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 5 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen

Lisätiedot

Fotogrammetrian termistöä

Fotogrammetrian termistöä Fotogrammetrian termistöä Petri Rönnholm, Henrik Haggrén, 2015 Hei. Sain eilen valmiiksi mukavan mittausprojektin. Kiinnostaako kuulla yksityiskohtia? Totta kai! (Haluan tehdä vaikutuksen tähän kaveriin,

Lisätiedot

Luento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 5 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen

Lisätiedot

Luento 6 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 6 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 6 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen

Lisätiedot

Luento 7 Stereokartoituskojeet. 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 7 Stereokartoituskojeet. 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 7 Stereokartoituskojeet 1 Stereokartoitus (Hannu Hyyppä, Petri Rönnholm, TKK) 2 Fotogrammetrinen prosessi 3 Stereokartoituskoje Stereokartoituskojeessa kuvaparin stereoskooppinen tarkastelu ja tarkka

Lisätiedot

(Petri Rönnholm / Henrik Haggrén, ) Luento 1: Opintojakson järjestäytyminen. Motivointia. Kertausta. Kuvamittauksen vaihtoehdot.

(Petri Rönnholm / Henrik Haggrén, ) Luento 1: Opintojakson järjestäytyminen. Motivointia. Kertausta. Kuvamittauksen vaihtoehdot. Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (Petri Rönnholm / Henrik Haggrén, 12.9.2005) Luento 1: Opintojakson järjestäytyminen. Motivointia. Kertausta. Kuvamittauksen vaihtoehdot. Mitä pitäisi oppia? Palauttaa

Lisätiedot

Luento 2: Kuvakoordinaattien mittaus

Luento 2: Kuvakoordinaattien mittaus Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 14.9.2005) Luento 2: Kuvakoordinaattien mittaus Mitä pitäisi oppia? Muunnokset informaatiokanavassa (osin kertausta) Erotella kuvaan ja

Lisätiedot

Luento 7 Stereokartoituskojeet Maa Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 7 Stereokartoituskojeet Maa Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 7 Stereokartoituskojeet 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Stereokartoitus (Hannu Hyyppä, Petri Rönnholm, TKK) 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 2 Fotogrammetrinen prosessi 2008

Lisätiedot

Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet

Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet Luento 8 Kartoitussovellukset Petri Rönnholm/Henrik Haggrén Mitä fotogrammetrisella kartoituksella tuotetaan? 3D koordinaatteja kohteesta Maaston korkeusmalli Topograafiset

Lisätiedot

1. STEREOKUVAPARIN OTTAMINEN ANAGLYFIKUVIA VARTEN. Hyvien stereokuvien ottaminen edellyttää kahden perusasian ymmärtämistä.

1. STEREOKUVAPARIN OTTAMINEN ANAGLYFIKUVIA VARTEN. Hyvien stereokuvien ottaminen edellyttää kahden perusasian ymmärtämistä. 3-D ANAGLYFIKUVIEN TUOTTAMINEN Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Teknillinen korkeakoulu Petri Rönnholm Perustyövaiheet: A. Ota stereokuvapari B. Poista vasemmasta kuvasta vihreä ja sininen

Lisätiedot

Luento 10: Optinen 3-D mittaus ja laserkeilaus

Luento 10: Optinen 3-D mittaus ja laserkeilaus Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 19.10.2004) Luento 10: Optinen 3-D mittaus ja laserkeilaus AIHEITA Optinen 3-D digitointi Etäisyydenmittaus

Lisätiedot

Luento 9: Analyyttinen stereomittaus. Kuvien oikaisu. Ortokuvaus

Luento 9: Analyyttinen stereomittaus. Kuvien oikaisu. Ortokuvaus Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 13.10.2004) Luento 9: Analyyttinen stereomittaus. Kuvien oikaisu. Ortokuvaus AIHEITA Stereomittaus

Lisätiedot

Mittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä

Mittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä Tasoituslaskun periaate Kun mittauksia on tehty enemmän kuin on toisistaan teoreettisesti riippumattomia suureita, niin tasoituslaskun tehtävänä ja päätarkoituksena on johtaa tuntemattomille sellaiset

Lisätiedot

Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP

Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP Kameran kalibrointi Kameran kalibroinnilla tarkoitetaan sen kameravakion, pääpisteen paikan sekä optiikan aiheuttamien virheiden määrittämistä. Virheillä tarkoitetaan poikkeamaa ideaalisesta keskusprojektiokuvasta.

Lisätiedot

JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta

JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta JHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako Liite 6: EUREF-FIN:n ja KKJ:n välinen kolmiulotteinen yhdenmuotoisuusmuunnos ja sen tarkkuus Versio: 1.0 / 3.2.2016

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

EUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA

EUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA 1 (10) EUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA 5.3.2012 2 (10) Sisältö: 1 Johdanto... 3 1.1 Muunnosasetukset paikkatieto-ohjelmistoissa... 3 1.2 Lisätiedot... 3 2 Korkeusjärjestelmän muunnos NN

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Radiotekniikan sovelluksia

Radiotekniikan sovelluksia Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina

Lisätiedot

Raidegeometrian geodeettiset mittaukset osana radan elinkaarta

Raidegeometrian geodeettiset mittaukset osana radan elinkaarta Raidegeometrian geodeettiset mittaukset osana radan elinkaarta Suunnittelija (Maanmittaus DI) 24.1.2018 Raidegeometrian geodeettisen mittaukset osana radan elinkaarta Raidegeometrian geodeettisilla mittauksilla

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Luento 9. Stereokartoituskojeet

Luento 9. Stereokartoituskojeet Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 9. Stereokartoituskojeet AIHEITA Analogiset stereokartoituskojeet Analyyttiset stereokartoituskojeet Digitaalinen

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Luento Fotogrammetrian perusteet. Henrik Haggrén

Luento Fotogrammetrian perusteet. Henrik Haggrén Luento 8 6.5.2016 Fotogrammetrian perusteet Henrik Haggrén Sisältö Fotogrammetrinen kuvaaminen Avaruussuorat ja sädekimput Sisäinen ja ulkoinen orientointi Kollineaarisuusehto kohteen ja kuvan välillä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Luento 10 3-D maailma. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 10 3-D maailma. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 10 3-D maailma 1 Luennot 2007 JOHDANTO Koko joukko kuvia! Kuvien moniulotteisuus. LUENNOT I. Kuvien ottaminen Mitä kuvia ja miten? Mitä kuvista nähdään? II. III. IV. Kuvien esikäsittely Miten kartoituskuvat

Lisätiedot

Stereopaikannusjärjestelmän tarkkuus (3 op)

Stereopaikannusjärjestelmän tarkkuus (3 op) Teknillinen korkeakoulu AS 0.3200 Automaatio ja systeemitekniikan projektityöt Stereopaikannusjärjestelmän tarkkuus (3 op) 19.9.2008 14.01.2009 Työn ohjaaja: DI Matti Öhman Mikko Seppälä 1 Työn esittely

Lisätiedot

FOTOGRAMMETRINEN PISTETIHENNYS

FOTOGRAMMETRINEN PISTETIHENNYS FOTOGRAMMETRINEN PISTETIHENNYS 1. Yleistä 2. Ilmakuvaus SKM Gisair Oy Työssä määritettiin ulkoinen orientointi Sotkamon kunnan keskustan alueen ilmakuvaukselle. Ilmakuvauksen teki SKM Gisair Oy keväällä

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti TTY Mittausten koekenttä Käyttö Tampereen teknillisen yliopiston mittausten koekenttä sijaitsee Tampereen teknillisen yliopiston välittömässä läheisyydessä. Koekenttä koostuu kuudesta pilaripisteestä (

Lisätiedot

Grä sbö len tuulivöimähänke: Kuväsövitteet

Grä sbö len tuulivöimähänke: Kuväsövitteet Grä sbö len tuulivöimähänke: Kuväsövitteet 1. Yleistä: Kaikissa kuvasovitteissa on käytetty tuulivoimalatyyppiä Nordex N117 2.4 MW. Napakorkeus: 141 m Lavan pituus: 58,5 m Roottorin halkaisija: 117 m Menetelmä:

Lisätiedot

Luento 6 Mittausten suunnittelu II. erikoissovellukset

Luento 6 Mittausten suunnittelu II. erikoissovellukset Luento 6 Mittausten suunnittelu II 1 Aiheita Mittausongelman määrittely Tarkkuusluvut Suhteellinen tarkkuusluku Suhteellinen tarkkuus Tarkkuuden arvioiminen Kuvahavainnon keskivirhe Verkon rakennevakio

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

EUREF-FIN/N2000 käyttöönotto Helsingissä

EUREF-FIN/N2000 käyttöönotto Helsingissä EUREF-FIN/N2000 käyttöönotto Helsingissä http://www.hel.fi/hki/kv/fi/kaupunkimittausosasto/kartat+ja+paikkatiedot/koordinaatisto Muutokset Helsngissä: Korkeusjärjestelmä: Tasokoordinaatisto: Pohjoiskoordinaatti

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Luento 3: Keskusprojektiokuvaus

Luento 3: Keskusprojektiokuvaus Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 11.3.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 20.1.2004) Luento 3: Keskusprojektiokuvaus

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla 1(8) Kymmenjärjestelmä desimaalilukujen ja mittayksiköiden muunnosten pohjana A. Miten saadaan desimaalilukuihin ymmärrystä 10-järjestelmän avulla? B. Miten saadaan mittayksiköiden muunnoksiin ymmärrystä

Lisätiedot

Mittausten suunnittelu I

Mittausten suunnittelu I Mittausten suunnittelu I Eteenpäinleikkaukseen perustuvan mittauksen tarkkuus riippuu kahdesta asiasta (C.S. Fraser, 1996): 1) kuvaus-/tähtäyssäteen määritystarkkuudesta 2) kuvausgeometriasta Saavutettavaa

Lisätiedot

Autostereoskooppinen näyttö

Autostereoskooppinen näyttö Maa-57.270 Fotogrammetrian seminaarityö Autostereoskooppinen näyttö 2005 Jaakko Järvinen Sisällysluettelo 1. Johdanto...3 2. Komposiittikuvat autostereoskooppisten kuvien toteutuksessa... 3 2.1 Juovallisen

Lisätiedot

Ilmakolmioinnin laadunvalvonta fotogrammetristen pintamallien ja laserkeilausaineiston avulla

Ilmakolmioinnin laadunvalvonta fotogrammetristen pintamallien ja laserkeilausaineiston avulla Ilmakolmioinnin laadunvalvonta fotogrammetristen pintamallien ja laserkeilausaineiston avulla Aalto-yliopiston insinööritieteiden korkeakoulun maankäyttötieteiden laitoksella tehty diplomityö Espoo, toukokuu

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

RTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa

RTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa RTEK-2000 Statiikan perusteet 1. välikoe ke 27.2. LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op 1. välikoealue luennot 21.2. asti harjoitukset

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

Kokeile kuvasuunnistusta. 3D:nä

Kokeile kuvasuunnistusta. 3D:nä Kokeile kuvasuunnistusta 3D:nä Oheinen 3D-kuvasuunnistus on julkaistu Suunnistaja-lehdessä 1/13. Tämä kuvasuunnistus on toteutettu tarkkuussuunnistuksen aikarastitehtävän mukaisesti. Aikarastilla kartta

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Teknillinen Korkeakoulu Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Maa-57.270 Fotogrammetrian, kuvatulkinnan ja kaukokartoituksen seminaari

Teknillinen Korkeakoulu Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Maa-57.270 Fotogrammetrian, kuvatulkinnan ja kaukokartoituksen seminaari Teknillinen Korkeakoulu Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Maa-57.270 Fotogrammetrian, kuvatulkinnan ja kaukokartoituksen seminaari Phantogrammit Espoossa 22.4.2005 Laura Liikkanen 58271V

Lisätiedot

RAKENNUSTEN LÄMPÖKUVAUS uudet ohjeet 2015

RAKENNUSTEN LÄMPÖKUVAUS uudet ohjeet 2015 RAKENNUSTEN LÄMPÖKUVAUS uudet ohjeet 2015 Lämpökameravaatimuksien tarkentuminen Mittausolosuhdevaatimusten muuttuminen Rakennuksen vallitsevan paine-eron huomioiminen lämpötilaindeksin laskennassa 1.12.2015

Lisätiedot

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI 67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli

Lisätiedot

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN JA KORKEUDET Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN:n joitain pääominaisuuksia ITRF96-koordinaatiston kautta globaalin koordinaattijärjestelmän paikallinen/kansallinen realisaatio

Lisätiedot

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Parempaa tarkkuutta satelliittimittauksille EUREF/N2000 - järjestelmissä Ympäristösi parhaat tekijät 2 EUREF koordinaattijärjestelmän käyttöön otto on Suomessa sujunut

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

Luento 1 Fotogrammetria prosessina Maa Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 1 Fotogrammetria prosessina Maa Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 1 Fotogrammetria prosessina. 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet (3 op) Sisältyy geomatiikan koulutusohjelman perusmoduuliin A1. Kurssin kuvaus Stereofotogrammetria.

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Luento 4: Kuvien geometrinen tulkinta

Luento 4: Kuvien geometrinen tulkinta Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 4: Kuvien geometrinen tulkinta AIHEITA Muunnokset informaatiokanavassa Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot Mittakaava

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

KUITUPUUN PINO- MITTAUS

KUITUPUUN PINO- MITTAUS KUITUPUUN PINO- MITTAUS Ohje KUITUPUUN PINOMITTAUS Ohje perustuu maa- ja metsätalousministeriön 16.6.1997 vahvistamaan pinomittausmenetelmän mittausohjeeseen. Ohjeessa esitettyä menetelmää sovelletaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

PAINOVOIMAMITTAUKSET JA KALLIONPINNAN SYVYYSTULKINNAT

PAINOVOIMAMITTAUKSET JA KALLIONPINNAN SYVYYSTULKINNAT 1 (24) PAINOVOIMAMITTAUKSET JA KALLIONPINNAN SYVYYSTULKINNAT Tuire Valjus Menetelmän perusteista Painovoimamittausten avulla voidaan tutkia tiheydeltään ympäristöstä poikkeavien muodostumien paksuutta

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona

Lisätiedot