Luento 9: Analyyttinen stereomittaus. Kuvien oikaisu. Ortokuvaus
|
|
- Krista Anja Lahti
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Maa Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma (P. Rönnholm / H. Haggrén, ) Luento 9: Analyyttinen stereomittaus. Kuvien oikaisu. Ortokuvaus AIHEITA Stereomittaus Analyyttisen stereomittauskojeen toiminta Orientoinnit Analyyttisen stereomittauskojeen edut analogiakojeisiin nähden Digitaaliset stereofotogrammetrian työasemat Kuvien oikaisu Projektiivinen oikaisu Esimerkkejä projektiivisen oikaisun sovelluksista Ortokuvaus Analyyttinen ortokuvaus Ortokuva ja stereo-ortokuva Stereomittaus Stereomittaus on kohteen kartoitusta stereomallilta. Kartoitus tehdään stereokojeella. Stereomittauksen osatehtäviä ovat stereotulkinta ja 3-D kohdekoordinaattien mittaus. o Mittaus perustuu kuvaparin tulkintaan ja edellyttää kuvaparin orientointia stereomalliksi. o Mittaus tehdään kohdekoordinaatistossa, johon stereomalli on orientoitu. Kohdekoordinaatistona voi väliaikaisesti toimia myös kojeen mallikoordinaatisto. Mittausta ohjataan stereohavainnoin ja kohdekoordinaatein. o Stereohavaintoihin perustuvalla ohjauksella tarkoitetaan sitä visuaalista tulkintaa, jolla stereooperatööri osoittaa kartoitettavan kohdepiirteen. o Koordinaattiohjausta käytetään tehtävissä, joissa tulkinta edellyttää kohteesta johdettavaa säännönmukaisuutta. Esimerkkejä Korkeuskäyrät tulkitaan lukitsemalla mittamerkin Z-ohjaus käyrän korkeusasemaan. Ruutuverkkona havaittava korkeusmalli tulkitaan X- ja Y-suunnissa tasavälisenä solmupisteistönä. Mittamerkki ohjataan kuhunkin solmupisteeseen, jossa stereo-operatööri tulkitseen maapinnan korkeuden. Tielinjan profiilikäyrä tulkitaan ohjaamalla mittamerkin liike käyrän tasoprojektion f(x,y) suuntaan. Stereomittauskojeet jaetaan analyyttisiin ja analogisiin sen perusteella, miten kohde- ja kuvakoordinaattien välinen muunnos toteutetaan. Analyyttisissä kojeissa muunnos lasketaan numeerisesti, kun taas analogiakojeissa muunnokset toteutetaan mekaanisesti (mekaaninen avaruusohjaus) tai optisesti (optinen kaksoisprojektio). Analyyttisiä stereomittauslaitteita ja -järjestelmiä ovat
2 o analyyttiset stereomittauskojeet o digitaalisen stereofotogrammetrian työasemat. Analyyttisen stereomittauskojeen toiminta Analyyttisen stereomittauskojeen mittamerkkiä ohjataan mekaanisesti joko 3-D kursoria tai käsi- ja jalkapyöriä käyttäen. Mekaaniset liikkeet rekisteröidään (X, Y, Z) ja niistä lasketaan vastaavat kuvakannattimen liikkeet (dx', dy', dx'', dy''). Kuvakannattimien liikkeet toteutetaan servo-moottoreilla ns. suljettuna takaisinkytkentänä. Kun viive 3-D ohjauksen ja kuvaliikkeiden välillä on tarpeeksi lyhyt, alle 40 ms, ihmisen ja koneen väliset mekaaniset toiminnot mielletään visuaalisiksi liikkeiksi stereomallilla. Analyyttisen stereomittauskojeen mekaaninen tarkkuus perustuu kuvakannattimien liikkeiden tarkkaan ja jatkuvaan seuraamiseen. Toteutunut liike mitataan kuvakoordinaatteina (x', y', x'', y''). Liikeanturit on kytketty kuvakannattimiin ja ovat joko rotaatio- tai lineaariantureita. Analyyttinen stereomittauskoje toimii joko komparaattori- tai stereokojemoodissa. o Komparaattorimoodissa havaitaan yhtä kuvaa kerrallaan ja havaittavina suureina ovat kuvakoordinaatit (x', y') tai (x'', y''). Tätä käytetään, kun kuvaparia ei ole orientoitu stereomalliksi. Mittamerkkiä ohjataan kumallakin kuvalla kojeen X- ja Y-liikkeillä. o Stereokojemoodissa havaitaan mallikoordinaatteja. Tätä käytetään, kun kuvapari on keskinäisesti orientoitu. Mittamerkkiä ohjataan X-, Y- ja Z-liikkein, jotka muunnetaan mittamerkin liikkeiksi kuvakoordinaatistossa (x', y', x'', y''). X- ja Y-ohjausta käytetään stereomallilla liikkumiseen ja Z-ohjausta mittamerkin kohdistamiseen mallin pinnalle. Jos kuvien ulkoinen orientointi tunnetaan tai jos kuvat on orientoitu kojeella jo aiemmin, mallin uusi orientointi voidaan tehdä pelkästään sisäisin orientoinnein.
3 Orientoinnit Analyyttiseen stereomittaukseen liittyvät orientointitehtävät Orientointi Input Output Sisäinen orientointi 1. Kuvahavainnot o x_i, y_i 2. Kameravakio o c 3. Kameran reunamerkit o x_f, y_f 4. Kameran pääpiste o x_o,y_o 5. Optiikan kuvausvirheet o k_1, k_2 o p_1, p_2 1. Kamerakoordinaatit o x_i_p, y_i_p, z_i Huom. 1. Keskinäinen orientointi 1. Kuvakanta ja kuvakierrot o by'', bz'', kappa'', phi'', omega'' Orientointipisteiden o kappa', kuvakoordinaatit phi', o x_i_p,y_i_p,z_i omega', kappa'', phi'' 2. Pisteiden mallikoordinaatit o X_p, Y_p, Z_p Vaihtoehtoina o kuvaliitosorientointi o riippumattomien kuvaparien orientointi Absoluuttinen orientointi 1. Tukipisteiden mallikoordinaatit o X_p, Y_p, Z_p 2. Tukipisteiden kohdekoordinaatit o X_p, Y_p, Z_p 1. Mallien orientointitiedot o X_o, Y_o, Z_o o KAPPA, PHI, OMEGA o LAMBDA origon siirto koordinaatiston kierto mittakaava Analyyttisen stereomittauskojeen edut analogiakojeisiin nähden Koje on tarkka, koska analogiakojeen avaruusohjaimet ja muut hienomekaaniset, mutta kuluvat laskinosat on korvattu numeerisin laskuohjelmin. Kojeen tarkkuutta lisää se, että kaikki mittausjärjestelmän systemaattiset virheet, kuten optiikan piirtovirheet tai filmien muodonmuutokset, voidaan korjata kuvahavainnoista sisäisen orientoinnin yhteydessä.
4 Analogiakojeiden mekaniikasta aiheutuneita kuvaparin geometrisia rajoituksia, joilla määriteltiin hyvinkin tarkasti sallitut ääriarvot kuvakallistuksille, kantasuhteelle, kameravakiolle, kuvakoolle ja kuvakulmalle, ei analyyttisillä stereokmittauskojeilla ole. Analyyttiset stereomittauskojeet mahdollistavat rakenteensa puolesta kuvausgeometrialtaan hyvinkin erilaisten kuvien kartoituskäytön, mikäli kuvien sisäinen geometria tunnetaan. Esimerkkejä tällaisista kuva-aineistoista ovat olleet mm. satelliittikuvat ja pienkamerakuvat. Koska stereokojeeseen on kytketty tietokone, sitä on voitu käyttää ilmakolmioinnin 'on-line'-laskentaan. Havainnot on voitu tarkistaa välittömästi ja mahdolliset puuttuvat havainnot täydentää ja virheelliset identifioinnit korvata uusilla havainnoilla. Affiinisen muunnoksen kaava (yllä) ja piirtovirheiden korjeus (alla). Analyyttisen stereomittauksen erityisenä etuna on pidettävä sitä, että kartoitustyössä voidaan kuvausjärjestelmän systemaattiset virheet poistaa havainnoista laskennollisesti. Analogisissa stereokojeissa tämä ei ollut mahdollista. Kuvahavainnoista korjataan kamerakohtaisesti mm. pääpiste ja optiikan piirtovirheet, kuvakohtaisesti koordinaatiston mittakaavaerot ja vinous, sekä kohdekohtaisesti maankaarevuuden, karttaprojektion ja ilmakehän refraktion aiheuttamat poikkeamat suoraviivaisesta kuvauksesta. (../../../220/luennot/3/3.html#Kuvausvirheet) Digitaaliset stereofotogrammetrian työasemat Digitaalinen stereotyöaseman peruselemettejä: hardware: tavallinen ja stereonäyttö, 3D käyttöliittymä mittaamista varten, tehokas tietokone, paljon kovalevytilaa, paljon muistia ja tulostusmahdollisuus software: orientoinnit, kolmiointi, yhteys karttatietoon, korkeusmallin mittaus ja ortokuvien laskeminen Epipolaarioikaistu kuvapari../../../300/luennot/9/9.html#digitaalinen%20fotogrammetrinen%20stereoty%f6asema Kotimainen järjestelmä: Espa systems
5 Kuvien oikaisu Kuvan oikaisulla muunnetaan kuvan geometriaa. Oikaisu tehdään kuvan alkuperäistä projektiota muuttaen (perspektiivinen oikaisu) tai sitä muuttamatta (projektiivinen oikaisu). Perspektiivinen oikaisu edellyttää kuvan ulkoisen ja sisäisen orientoinnin sekä kohteen pintamallin tuntemista. Kuva oikaistaan paloittain joko kartan projektioon tai mallin pinnalle. Sovellusesimerkkinä on ortokuvaus. Projektiivinen oikaisu tehdään kuvittain tasolta tasolle. Tasot voivat olla alkuperäisiä kuvatasoja tai näiden kanssa samankeskisiksi kuviteltuja kuvatasoja. Yleinen sovellusesimerkki on ilmakuvan oikaisu nadirikuvaksi. o Horisonttikamera Projektiivinen oikaisu voidaan tehdä myös kuvaorientointeja tuntematta. Esimerkiksi samankeskiset kuvat oikaistaan toisiinsa ja liitetään yhdeksi laajakulmaiseksi mosaiikiksi. Jos kuvat ovat erikeskiset, ne oikaistaan toistensa suhteen normaaliasentoiseksi stereokuvapariksi. Tällöin keskinäinen orientointi sisältyy oikaisutehtävään. Oikaisua käytetään yleisesti ns. yksikuvakartoituksessa. Kun kohteen 3-D pintamalli tunnetaan, kyse on yksityiskohtien kartoittamisesta tällä pinnalla (ortokartoitus, texture mapping). Kun yksittäin oikaistuja kuvia käytetään 3-D pintamallin mittaamiseen, kartoitus tehdään 2-D poikkileikkauksina. Poikkileikkaukset valaistaan esimerkiksi tasolaserilla ja kuvataan vinosti sivulta päin. Kuvat oikaistaan kohtisuoriksi ja kolmas koordinaatti eli leikkaustasojen keskinäinen sijainti saadaan kuvauksen ohjaustiedoista. o Ks. myös: Maa Fotogrammetrian yleiskurssi, luento 1. Projektiivinen oikaisu Kahden samakeskisen kuvatason välillä vallitsee ns. projektiivinen vastaavuus. Kuvat oikaistaan tasolta toiselle 2-D projektiivisella muunnoksella. Muunnoksen ratkaiseminen edellyttää vähintäin neljän vastinpisteen havaitsemista kummallakin tasolla. Mitkään näistä pisteistä eivät saa olla kolmittain samalla suoralla. Projektiivinen kuvaus samakeskisille kuvatasoille. Koska jokainen kuvataso leikkaa saman sädekimpun, kuvien sisältö on kaikissa kuvissa täsmälleen sama. Projektiivinen kuvaus on suoraviivainen eli suorat säilyvät suorina.
6 Kaksiulotteinen projektiivinen muunnos. Muunnoksessa on kahdeksan muuttujaa a, b, c, d, e, f, g ja h, joilla kuvien koordinaatistot voidaan muuntaa toisiinsa. Käytännössä muunnoskertoimet sisältävät sekä sisäisen että ulkoisen orientoinnin muuttujat eli kameran sisäistä orientointia ei tarvitse erikseen määrittää. Tosin muunnos on luotettavampi, jos linssivirheet on poistettu kuvilta. Koska jokainen kuvilta havaittu vastinpistepari (xy, XY) tuottaa tällaisen yhtälöparin, muunnos voidaan ratkaista neljän pisteen avulla. Samankeskisten viistokuvan ja nadirikuvan välillä vallitsee projektiivinen vastaavuus. Oikaisukoje Zeiss SEG-V. Ennen stereokartoitusta ilmakuvauksen kartoitussovellukset perustuivat oikaistujen kuvien käyttöön. Kuvat oikaistaan nadirikuviksi joko tunnetuilla kallistuskulmilla tai neljällä tunnetulla pisteellä. Neljän pisteen menetelmässä kartan oikaisupisteet piirretään projektiotasolle ja kuva vedostetaan pöytää kallistamalla tähän projektioon.
7 Scheimpflug, Esimerkkejä projektiivisen oikaisun sovelluksista Julkisivumittaus. Esimerkki kuvan projektiivisesta oikaisusta kohteesta havaittuun tasoon, tässä tapauksessa julkisivun tasoon. Pisteiden 105, 125, 305 ja 325 koordinaatit tunnetaan kohteella ja niiden kuvakoordinaatit havaitaan. Oikaisun jälkeen lasketaan pisteen 120 kohdekoordinaatit seinätasossa. Kohdekoordinaatisto.
8 Havaitut kuvakoordinaatit ja tunnetut kohdekoordinaatit. Koska oikaisu tehdään seinätasoon, muunnoskertoimien laskemiseen käytetään vain X- ja Y-koordinaatteja. Oikaisukaavat. Havaintoyhtälöt. Havaintoyhtälöiden kertoimet. Muunnoskertoimien ratkaisu ja näiden mukaan kuvahavainnoista ratkaistut pisteen 120 koordinaatit. Jos tulosta vertaa mitattuihin pisten 120 arvoihin, huomataan pientä poikkeamaa. Virhettä aiheuttaa mm. kohdepisteiden poikkeamat tasosta. Oikaistu kuva.
9 Tasomaisen pinnan kartoitus. Tehtävänä on piirtää arkeologisen kaivauskohteen lattia ortogonaaliprojektiossa. Kohde on kuvattu ja siihen on merkitty ja mitattu sinisinä pisteinä näkyvä 2-D ruudukko. Kuvat oikaistaan ruudukon koordinaatistoon. Oikaisun tulos. Kuva on lattian osalta projektiivisesti oikaistu ja voidaan piirtää. Kartan geometria on likimääräinen, koska lattia oletetaan tasomaiseksi. Mikäli lattian topografia mitattaisiin, se tehtäisiin stereokartoituksena. Kuopan reunojen osalta "kartta" ei pidä lainkaan paikkaansa. Samakeskisen kuvasekvenssin mosaikointi sulkeutuvaksi horisonttikuvaksi. Kuvat sisältyvät kuvasekvenssiin, joka on kuvattu videokameralla siten, että kameraa on kierretty jalustalla horisontin suuntaan 360 astetta. Kuvat liitetään toisiinsa oikaisemalla. Oikaisun muuttujat ratkaistaan kuvien yhteiseltä peittoalueelta tehdyillä havainnoilla. (Petteri Pöntinen, 1997).
10 Samakeskiset kuvat oikaistaan ensin yhteiselle kuvatasolle. Tässä oikaisutasona on keskimmäinen kuva. Oikaisu voidaan tehdä neljän pisteen menetelmän sijaan myös kuvien orientointitiedoilla. Koska täyttä 360 asteen kuvasekvenssiä ei voi oikaista yhdelle tasolle, kuva projisioidaan lieriöpinnalle. Lieriö valitaan siten, että sen akseli kulkee kameran kuvanottopisteen kautta. Sulkeutuva kuvasekvenssi. Kuva muodostaa horisontin suunnassa sulkeutuvan yhtenäisen kuvan. Alkuperäisen kuvan xy-koordinaatisto on samalla muunnettu vaaka- ja pystykulmiksi. (Petteri Pöntinen, 1997).
11 Kuvaparin oikaisu normaaliasentoiseksi stereokuvapariksi. Kaksi kuvaa, joiden sisäistä orientointia ei tunneta, voidaan oikaista normaaliasentoiseksi stereokuvapariksi projektiivisia muunnoksia käyttäen. Kumpikin kuva oikaistaan stereokuvatasolle ehdolla, että uuden kuvaparin y-koordinaatit muuntuvat yhtäsuuriksi. Tällöin pystyparallaksi poistuu. Oikaisu vastaa kuvaparin keskinäistä orientointia. (Ilkka Niini, 1990). Kuvapari oikaistuna. Kuvapari on alunperin kuvattu konvergentisti. Oikaistu kuvapari vastaa normaaliasentoista stereokuvaparia, jossa 3-D mittaukset tehdään parallaksimittauksina. Koska keskinäinen orientointi on tehty tuntematta kuvien sisäistä orientointia, stereomalli on projektiivisesti vääristynyt ja mallin absoluuttinen orientointi suorakulmaiseen koordinaatistoon edellyttää 3-D projektiivisen muunnoksen käyttämistä. Muunnoksessa on 15 muuttujaa, jotka ovat 3 siirtoa, 3 x 3 kiertoa ja 3 mittakaavaa, joten siihen tarvitaan vähintäin viisi 3-D tukipistettä. Alkuperäiset kuvat: Laszlo Ladi. Oikaistut kuvat: Ilkka Niini, Ortokuvaus Ortokuvaus on valokuvan perspektiivin muuntamista keskusprojektiosta ortogonaaliprojektioon. Vaikka ortokuvat useimmiten mielletään oikaistuiksi ilmakuvakartoiksi, oikaistuja kuvia tuotetaan myös muista, yleensä tasomaisista pinnoista, esimerkkinä rakennusten julkisivut. Ortokuvan etuna karttaan verrattuna on sen tulkitsemattomuus ja alkuperäinen yksityiskohtaisuus. Ortokuvaus tehdään oikaisemalla joko ortoprojektorilla suoraan analogisilta kuvilta, siis filminegatiivilta, tai laskemalla digitoidulta kuvalta. Ortoprojektorien käyttö on syrjäytymässä digitaalisen oikaisun myötä. Muunnos tehdään mahdollisimman pienin kuva-alkioin (differentiaalioikaisu). Alkiot ovat ortokuvalla karttakoordinaatistossa ja ovat joko neliöitä (= pikseleitä) tai erittäin kapeita suorakaiteita (= ortoprojektorin kaistaleita), jotka sijaitsevat tasavälein kummankin koordinaatin suunnassa.
12 Alkioiden geometrinen vastaavuus lasketaan kartalta kohteen pinnalle ja siitä edelleen ilmakuvalle. Ortokuvan pisteiden karttakoordinaatteja vastaavat kuvan pikseleiden keskipisteet tai ortoprojektorin kaistaleiden päätepisteet. Digitoinnin pistekokona käytetään yleisesti mm, mikä vastaa ilmakuvan erotuskykyä. Ortokuvan pistekoko riippuu sen mittakaavasta ja on yleensä joko 10 cm, 20 cm, 50 tai 1 m. Ortokuvaus edellyttää ilmakuvan ulkoisen orientoinnin ja maaston korkeusuhteiden eli korkeusmallin tuntemista. Ulkoinen orientointi ratkaistaan useimmiten kolmioimalla, koska silloin kuvat liittyvät ortokuvamosaiikissa hyvin toisiinsa. Korkeusmallina käytetään joko alueelta aiemmin mitattua korkeusmallia tai se tuotetaan samasta kuvauksesta stereokartoituksena. Ilmakuva ja ortokuva. Digitaalisen ortokuvan näytteenotto. Ortokuva tuotetaan pisteittäin karttaprojektioon XY ja kunkin pisteen sävyarvot kerätään ilmakuvalta. Koska ilmakuva esittää maastoa keskusprojektiossa, pisteen korkeus Z on ensin laskettava maastomallilta. Tämän jälkeen lasketaan pisteen kuvakoordinaatit xy kuvan orientointitietojen mukaan.
13 Ilmakuva digitoidaan kuvakoordinaatistossa eivätkä digitointipisteet sellaisenaan vastaa ortokuvan pisteitä. Ortokuvan sävyarvoksi voidaan ottaa lähimmän pikselin sävyarvo, mutta yleensä se lasketaan interpoloimalla useammista lähipisteistä. Bilineaarisessa interpoloinnissa sävyarvo lasketaan neljän pisteen naapurustosta. Menetelmä hieman pehmentää kuvaa. Muitakin interpolointimenetelmiä on olemassa. Analyyttinen ortokuvaus Optinen oikaisu tehdään ortoprojektorilla, jossa kuva vedostetaan negatiivilta valottamalla. Analyyttisessä ortokuvauksessa ilmakuva projisioidaan ortokuvaksi samankokoisina, kapeina ja yhdensuuntaisina suorakaiteina eli kaistaleina. Kaistaleiden päätepisteiden kohdekoordinaatit X ja Y määritetään tuloskuvan kaistalekoon mukaan tasavälein, Z interpoloidaan maastomallilta. Koska kukin kaistale oikaistaan erikseen, on sen päätepisteiden sijainti alkuperäisellä kuvalla laskettava, samoin kaistaleen projisionnin suurennussuhde ja maanpinnan kaltevuudesta aiheutuva tarve kiertää kaistaletta tuloskuvan suhteen. Ohjaustiedot lasketaan kaistaleen päätepisteiden kohdekoordinaateista, kun kuvan ulkoinen ja sisäinen orientointi tunnetaan. Ortokuva ja stereo-ortokuva Ortokuva on yhdensuuntaisprojektio ilmakuvasta, ja stereo-ortokuva edellisen stereopuolisko. Tämä tehdään kuvaparin toisesta kuvasta siirtämällä kaikkia kuvapisteitä kannan suuntaisesti korkeuseroa vastaavan parallaksin verran. Kuvia voidaan käyttää yksityiskohtien kolmiulotteiseen tulkintaan ja kartoittamiseen ortokuvalta ilman stereokojetta, ja lopputulos on silti karttakoordinaatistossa. Stereo-ortokuva voidaan tehdä kuvaparista myös maaston topografiaa lisäämättä. Tällöin maanpinta näkyy tasona, mutta oikaisemattomat yksityiskohdat (puut, rakennukset, jne.) näkyvät kolmiulotteisina. Näin valmistettua ortokuvaparia voidaan käyttää myös korkeusmallin virheiden havaitsemiseen, koska ne paljastuvat maanpinnan epätasomaisuuksina. Mikäli stereo-ortokuvaparin valmistamiseen käytetään vain yhtä kuvaa, kolmiulotteinen stereovaikutelma on luonnoton, koska puut ja rakennukset eivät erotu maanpinnasta.
14 Ortokuva ja sen stereopari. Stereo-ortokuvan stereotulkinta. Maa Fotogrammetrian yleiskurssi
Luento 6: 3-D koordinaatit
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004
LisätiedotLuento 6 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen
Luento 6 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen
LisätiedotLuento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen
Luento 5 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen
LisätiedotLuento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen
Luento 5 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen
LisätiedotMaa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet
Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet Luento 8 Kartoitussovellukset Petri Rönnholm/Henrik Haggrén Mitä fotogrammetrisella kartoituksella tuotetaan? 3D koordinaatteja kohteesta Maaston korkeusmalli Topograafiset
LisätiedotLuento 4 Georeferointi Maa Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 4 Georeferointi 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Georeferointi käsitteenä Orientoinnit Stereokuvaparin mittaus Stereomallin ulkoinen orientointi (= absoluuttinen orientointi)
LisätiedotLuento 8: Kolmiointi AIHEITA. Kolmiointi. Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi. Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 12.10.2004) Luento 8: Kolmiointi AIHEITA Kolmiointi Nyrkkisääntöjä Kuvablokki Blokin pisteet Komparaattorit
LisätiedotLuento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi
7Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 7.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 5.2.2004 ) Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi
LisätiedotLuento 4 Georeferointi
Luento 4 Georeferointi 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Georeferointi käsitteenä Orientoinnit Stereokuvaparin mittaus Stereomallin ulkoinen orientointi (= absoluuttinen orientointi)
LisätiedotLuento 11: Stereomallin ulkoinen orientointi
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 17.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 23.2.2004 ) Luento 11: Stereomallin ulkoinen
LisätiedotLuento 7 Stereokartoituskojeet. 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 7 Stereokartoituskojeet 1 Stereokartoitus (Hannu Hyyppä, Petri Rönnholm, TKK) 2 Fotogrammetrinen prosessi 3 Stereokartoituskoje Stereokartoituskojeessa kuvaparin stereoskooppinen tarkastelu ja tarkka
LisätiedotLuento 3: Kuvahavainnot
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 22.9.2004) Luento 3: Kuvahavainnot Mitä pitäsi oppia? Viimeistään nyt pitäisi ymmärtää kuva-, komparaattori- ja kamerakoordinaatistojen
LisätiedotLuento 7 3-D mittaus. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen
Luento 7 3-D mittaus 1 Luennot 2006 JOHDANTO Koko joukko kuvia! Kuvien moniulotteisuus. LUENNOT I. Kuvien ottaminen Mitä kuvia ja miten? Mitä kuvista nähdään? II. III. IV. Kuvien esikäsittely Miten kartoituskuvat
LisätiedotLuento 2: Kuvakoordinaattien mittaus
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 14.9.2005) Luento 2: Kuvakoordinaattien mittaus Mitä pitäisi oppia? Muunnokset informaatiokanavassa (osin kertausta) Erotella kuvaan ja
LisätiedotLuento 9 3-D mittaus. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen
Luento 9 3-D mittaus 1 Luennot 2008 JOHDANTO Koko joukko kuvia! Kuvien moniulotteisuus. LUENNOT I. Kuvien ottaminen Mitä kuvia ja miten? Mitä kuvista nähdään? II. III. IV. Kuvien esikäsittely Miten kartoituskuvat
LisätiedotLuento 5: Kuvakoordinaattien laskeminen ja eteenpäinleikkaus
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 27.9.2005) Luento 5: Kuvakoordinaattien laskeminen ja eteenpäinleikkaus Mitä pitäsi oppia? Nyt pitäisi viimeistään ymmärtää, miten kollineaarisuusyhtälöillä
LisätiedotLuento 5: Stereoskooppinen mittaaminen
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen AIHEITA Etäisyysmittaus stereokuvaparilla Esimerkki: "TKK" Esimerkki: "Ritarihuone"
LisätiedotLuento 4: Kiertomatriisi
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 28.9.2004) Luento 4: Kiertomatriisi Mitä pitäisi oppia? ymmärtää, että kiertomatriisilla voidaan kiertää koordinaatistoa ymmärtää, että
LisätiedotLuento 7: Kuvan ulkoinen orientointi
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 6.10.2004) Luento 7: Kuvan ulkoinen orientointi AIHEITA Ulkoinen orientointi Suora ratkaisu Epäsuora
LisätiedotLuento 9. Stereokartoituskojeet
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 9. Stereokartoituskojeet AIHEITA Analogiset stereokartoituskojeet Analyyttiset stereokartoituskojeet Digitaalinen
LisätiedotLuento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 2 Stereokuvan laskeminen 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Aiheet Stereokuvan laskeminen stereokuvan piirto synteettisen stereokuvaparin tuottaminen laskemalla stereoelokuva kollineaarisuusyhtälöt
LisätiedotLuento 6: Stereo- ja jonomallin muodostaminen
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 5.10.2004) Luento 6: Stereo- ja jonomallin muodostaminen AIHEITA Keskinäinen orientointi Esimerkki
LisätiedotTeoreettisia perusteita II
Teoreettisia perusteita II Origon siirto projektiokeskukseen:? Origon siirto projektiokeskukseen: [ X X 0 Y Y 0 Z Z 0 ] [ Maa-57.260 Kiertyminen kameran koordinaatistoon:? X X 0 ] Y Y 0 Z Z 0 Kiertyminen
LisätiedotFotogrammetrian termistöä
Fotogrammetrian termistöä Petri Rönnholm, Henrik Haggrén, 2015 Hei. Sain eilen valmiiksi mukavan mittausprojektin. Kiinnostaako kuulla yksityiskohtia? Totta kai! (Haluan tehdä vaikutuksen tähän kaveriin,
LisätiedotLuento 5. Stereomittauksen tarkkuus Maa Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 5 Stereomittauksen tarkkuus 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Stereokuvauksen * tarkkuuteen vaikuttavat asiat tarkkuuden arviointi, kuvauksen suunnittelu ja simulointi stereomallin
Lisätiedot(Petri Rönnholm / Henrik Haggrén, ) Luento 1: Opintojakson järjestäytyminen. Motivointia. Kertausta. Kuvamittauksen vaihtoehdot.
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (Petri Rönnholm / Henrik Haggrén, 12.9.2005) Luento 1: Opintojakson järjestäytyminen. Motivointia. Kertausta. Kuvamittauksen vaihtoehdot. Mitä pitäisi oppia? Palauttaa
LisätiedotMaa-57.260 Fotogrammetrian erikoissovellutukset (Close-Range Photogrammetry)
Maa-57.260 Fotogrammetrian erikoissovellutukset (Close-Range Photogrammetry) -luennot: --ti 12-14 M5, to 12-14 M5 --Henrik Haggrén (HH), Petteri Pöntinen (PP) 1. Johdanto ja teoreettisia perusteita I,
LisätiedotLuento 10 3-D maailma. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen
Luento 10 3-D maailma 1 Luennot 2007 JOHDANTO Koko joukko kuvia! Kuvien moniulotteisuus. LUENNOT I. Kuvien ottaminen Mitä kuvia ja miten? Mitä kuvista nähdään? II. III. IV. Kuvien esikäsittely Miten kartoituskuvat
LisätiedotMalleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön
Malleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön Juho Kannala 7.5.2010 Johdanto Tietokonenäkö on ala, joka kehittää menetelmiä automaattiseen kuvien sisällön tulkintaan Tietokonenäkö on ajankohtainen
LisätiedotLuento Fotogrammetrian perusteet. Henrik Haggrén
Luento 8 6.5.2016 Fotogrammetrian perusteet Henrik Haggrén Sisältö Fotogrammetrinen kuvaaminen Avaruussuorat ja sädekimput Sisäinen ja ulkoinen orientointi Kollineaarisuusehto kohteen ja kuvan välillä
LisätiedotLuento 7 Stereokartoituskojeet Maa Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 7 Stereokartoituskojeet 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Stereokartoitus (Hannu Hyyppä, Petri Rönnholm, TKK) 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 2 Fotogrammetrinen prosessi 2008
LisätiedotMaa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP
Kameran kalibrointi Kameran kalibroinnilla tarkoitetaan sen kameravakion, pääpisteen paikan sekä optiikan aiheuttamien virheiden määrittämistä. Virheillä tarkoitetaan poikkeamaa ideaalisesta keskusprojektiokuvasta.
LisätiedotLuento 3: Keskusprojektiokuvaus
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 11.3.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 20.1.2004) Luento 3: Keskusprojektiokuvaus
LisätiedotLuento 4: Kuvien geometrinen tulkinta
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 4: Kuvien geometrinen tulkinta AIHEITA Muunnokset informaatiokanavassa Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot Mittakaava
LisätiedotLuento 10: Optinen 3-D mittaus ja laserkeilaus
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 19.10.2004) Luento 10: Optinen 3-D mittaus ja laserkeilaus AIHEITA Optinen 3-D digitointi Etäisyydenmittaus
LisätiedotLuento 9: Ortokuvien tuottaminen
Maa-57.220 Fotogrammetrinen kartoitus Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 9: Ortokuvien tuottaminen Luento 9: Ortokuvien tuottaminen Ortokuvaus Oikaisuvaihtoehdot Digitaalinen oikaisu Oikaisun
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotMAA-C2001 Ympäristötiedon keruu
MAA-C2001 Ympäristötiedon keruu Luento 1b Petri Rönnholm, Aalto-yliopisto 1 Laserkeilauksen, fotogrammetrian ja kaukokartoituksen harjoituksista Laserkeilausharjoitus Tarkempi aikataulu julkaistaan lähiaikoina
LisätiedotRiemannin pintojen visualisoinnista
Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
LisätiedotIlmakolmioinnin laadunvalvonta fotogrammetristen pintamallien ja laserkeilausaineiston avulla
Ilmakolmioinnin laadunvalvonta fotogrammetristen pintamallien ja laserkeilausaineiston avulla Aalto-yliopiston insinööritieteiden korkeakoulun maankäyttötieteiden laitoksella tehty diplomityö Espoo, toukokuu
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
LisätiedotLuento 4: Kolmiointihavainnot
Maa-57.220 Fotogrammetrinen kartoitus Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 4: Kolmiointihavainnot Luento 4: Kolmiointihavainnot Reconstruction procedure Kuvahavainnot Kollineaarisuusyhtälö
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotLuento 1 Fotogrammetria prosessina Maa Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 1 Fotogrammetria prosessina. 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet (3 op) Sisältyy geomatiikan koulutusohjelman perusmoduuliin A1. Kurssin kuvaus Stereofotogrammetria.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotLuento 13: Ympäristömallien tiedonkeruu
Maa-57.220 Fotogrammetrinen kartoitus Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 13: Ympäristömallien tiedonkeruu Luento 13: Ympäristömallien tiedonkeruu 3-D mallien tiedonkeruu Ilmakuvauksen
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotLIITE 1(5) TYÖOHJELMA NUMEERISEN KAAVAN POHJAKARTAN LAATIMINEN. 1. Tehtävän yleismäärittely
LIITE 1(5) TYÖOHJELMA NUMEERISEN KAAVAN POHJAKARTAN LAATIMINEN 1. Tehtävän yleismäärittely 2. Lähtötilanne Kartoituskohde Tuusulan kunta, Siippoon alue Karttatyyppi numeerinen kaavan pohjakartta Kartoitusalueen
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotTTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti
TTY Mittausten koekenttä Käyttö Tampereen teknillisen yliopiston mittausten koekenttä sijaitsee Tampereen teknillisen yliopiston välittömässä läheisyydessä. Koekenttä koostuu kuudesta pilaripisteestä (
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotErikoistekniikoita. Moiré - shadow-moiré - projection-moiré. Rasterifotogrammetria - yhden juovan menetelmä - monen juovan menetelmä
Erikoistekniikoita Moiré - shadow-moiré - projection-moiré Rasterifotogrammetria - yhden juovan menetelmä - monen juovan menetelmä Tomografia - periaate Hologrammetria - periaate Motografia Moiré-tekniikka
LisätiedotRadiotekniikan sovelluksia
Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina
LisätiedotGeoGebran 3D paketti
GeoGebran 3D paketti vielä kehittelyvaiheessa joitakin puutteita ja virheitä löytyy! suomennos kesken parhaimmillaan yhdistettynä 3D-lasien kanssa tilattavissa esim. netistä (hinta noin euron/lasit) 3D-version
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
Lisätiedot1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen
1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotTällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.
39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja
LisätiedotTämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.
MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan
LisätiedotFOTOGRAMMETRINEN PISTETIHENNYS
FOTOGRAMMETRINEN PISTETIHENNYS 1. Yleistä 2. Ilmakuvaus SKM Gisair Oy Työssä määritettiin ulkoinen orientointi Sotkamon kunnan keskustan alueen ilmakuvaukselle. Ilmakuvauksen teki SKM Gisair Oy keväällä
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
Lisätiedot5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot
5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotLuento 4 Kolmiulotteiset kuvat. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen
Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat 1 Kuvan kolmiulotteisuus 2 Stereokuva 3 Aiheita Parallaksi. Stereoskopia. Stereoskooppinen näkeminen. Stereomallin kokonaisplastiikka. Stereokuvaus. Dokumentointi stereodiakuvin.
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
Lisätiedot7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI
67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli
LisätiedotKäy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotStereopaikannusjärjestelmän tarkkuus (3 op)
Teknillinen korkeakoulu AS 0.3200 Automaatio ja systeemitekniikan projektityöt Stereopaikannusjärjestelmän tarkkuus (3 op) 19.9.2008 14.01.2009 Työn ohjaaja: DI Matti Öhman Mikko Seppälä 1 Työn esittely
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
LisätiedotLuento 6 Mittausten suunnittelu II. erikoissovellukset
Luento 6 Mittausten suunnittelu II 1 Aiheita Mittausongelman määrittely Tarkkuusluvut Suhteellinen tarkkuusluku Suhteellinen tarkkuus Tarkkuuden arvioiminen Kuvahavainnon keskivirhe Verkon rakennevakio
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotPinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedot