Luento 9: Analyyttinen stereomittaus. Kuvien oikaisu. Ortokuvaus

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luento 9: Analyyttinen stereomittaus. Kuvien oikaisu. Ortokuvaus"

Transkriptio

1 Maa Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma (P. Rönnholm / H. Haggrén, ) Luento 9: Analyyttinen stereomittaus. Kuvien oikaisu. Ortokuvaus AIHEITA Stereomittaus Analyyttisen stereomittauskojeen toiminta Orientoinnit Analyyttisen stereomittauskojeen edut analogiakojeisiin nähden Digitaaliset stereofotogrammetrian työasemat Kuvien oikaisu Projektiivinen oikaisu Esimerkkejä projektiivisen oikaisun sovelluksista Ortokuvaus Analyyttinen ortokuvaus Ortokuva ja stereo-ortokuva Stereomittaus Stereomittaus on kohteen kartoitusta stereomallilta. Kartoitus tehdään stereokojeella. Stereomittauksen osatehtäviä ovat stereotulkinta ja 3-D kohdekoordinaattien mittaus. o Mittaus perustuu kuvaparin tulkintaan ja edellyttää kuvaparin orientointia stereomalliksi. o Mittaus tehdään kohdekoordinaatistossa, johon stereomalli on orientoitu. Kohdekoordinaatistona voi väliaikaisesti toimia myös kojeen mallikoordinaatisto. Mittausta ohjataan stereohavainnoin ja kohdekoordinaatein. o Stereohavaintoihin perustuvalla ohjauksella tarkoitetaan sitä visuaalista tulkintaa, jolla stereooperatööri osoittaa kartoitettavan kohdepiirteen. o Koordinaattiohjausta käytetään tehtävissä, joissa tulkinta edellyttää kohteesta johdettavaa säännönmukaisuutta. Esimerkkejä Korkeuskäyrät tulkitaan lukitsemalla mittamerkin Z-ohjaus käyrän korkeusasemaan. Ruutuverkkona havaittava korkeusmalli tulkitaan X- ja Y-suunnissa tasavälisenä solmupisteistönä. Mittamerkki ohjataan kuhunkin solmupisteeseen, jossa stereo-operatööri tulkitseen maapinnan korkeuden. Tielinjan profiilikäyrä tulkitaan ohjaamalla mittamerkin liike käyrän tasoprojektion f(x,y) suuntaan. Stereomittauskojeet jaetaan analyyttisiin ja analogisiin sen perusteella, miten kohde- ja kuvakoordinaattien välinen muunnos toteutetaan. Analyyttisissä kojeissa muunnos lasketaan numeerisesti, kun taas analogiakojeissa muunnokset toteutetaan mekaanisesti (mekaaninen avaruusohjaus) tai optisesti (optinen kaksoisprojektio). Analyyttisiä stereomittauslaitteita ja -järjestelmiä ovat

2 o analyyttiset stereomittauskojeet o digitaalisen stereofotogrammetrian työasemat. Analyyttisen stereomittauskojeen toiminta Analyyttisen stereomittauskojeen mittamerkkiä ohjataan mekaanisesti joko 3-D kursoria tai käsi- ja jalkapyöriä käyttäen. Mekaaniset liikkeet rekisteröidään (X, Y, Z) ja niistä lasketaan vastaavat kuvakannattimen liikkeet (dx', dy', dx'', dy''). Kuvakannattimien liikkeet toteutetaan servo-moottoreilla ns. suljettuna takaisinkytkentänä. Kun viive 3-D ohjauksen ja kuvaliikkeiden välillä on tarpeeksi lyhyt, alle 40 ms, ihmisen ja koneen väliset mekaaniset toiminnot mielletään visuaalisiksi liikkeiksi stereomallilla. Analyyttisen stereomittauskojeen mekaaninen tarkkuus perustuu kuvakannattimien liikkeiden tarkkaan ja jatkuvaan seuraamiseen. Toteutunut liike mitataan kuvakoordinaatteina (x', y', x'', y''). Liikeanturit on kytketty kuvakannattimiin ja ovat joko rotaatio- tai lineaariantureita. Analyyttinen stereomittauskoje toimii joko komparaattori- tai stereokojemoodissa. o Komparaattorimoodissa havaitaan yhtä kuvaa kerrallaan ja havaittavina suureina ovat kuvakoordinaatit (x', y') tai (x'', y''). Tätä käytetään, kun kuvaparia ei ole orientoitu stereomalliksi. Mittamerkkiä ohjataan kumallakin kuvalla kojeen X- ja Y-liikkeillä. o Stereokojemoodissa havaitaan mallikoordinaatteja. Tätä käytetään, kun kuvapari on keskinäisesti orientoitu. Mittamerkkiä ohjataan X-, Y- ja Z-liikkein, jotka muunnetaan mittamerkin liikkeiksi kuvakoordinaatistossa (x', y', x'', y''). X- ja Y-ohjausta käytetään stereomallilla liikkumiseen ja Z-ohjausta mittamerkin kohdistamiseen mallin pinnalle. Jos kuvien ulkoinen orientointi tunnetaan tai jos kuvat on orientoitu kojeella jo aiemmin, mallin uusi orientointi voidaan tehdä pelkästään sisäisin orientoinnein.

3 Orientoinnit Analyyttiseen stereomittaukseen liittyvät orientointitehtävät Orientointi Input Output Sisäinen orientointi 1. Kuvahavainnot o x_i, y_i 2. Kameravakio o c 3. Kameran reunamerkit o x_f, y_f 4. Kameran pääpiste o x_o,y_o 5. Optiikan kuvausvirheet o k_1, k_2 o p_1, p_2 1. Kamerakoordinaatit o x_i_p, y_i_p, z_i Huom. 1. Keskinäinen orientointi 1. Kuvakanta ja kuvakierrot o by'', bz'', kappa'', phi'', omega'' Orientointipisteiden o kappa', kuvakoordinaatit phi', o x_i_p,y_i_p,z_i omega', kappa'', phi'' 2. Pisteiden mallikoordinaatit o X_p, Y_p, Z_p Vaihtoehtoina o kuvaliitosorientointi o riippumattomien kuvaparien orientointi Absoluuttinen orientointi 1. Tukipisteiden mallikoordinaatit o X_p, Y_p, Z_p 2. Tukipisteiden kohdekoordinaatit o X_p, Y_p, Z_p 1. Mallien orientointitiedot o X_o, Y_o, Z_o o KAPPA, PHI, OMEGA o LAMBDA origon siirto koordinaatiston kierto mittakaava Analyyttisen stereomittauskojeen edut analogiakojeisiin nähden Koje on tarkka, koska analogiakojeen avaruusohjaimet ja muut hienomekaaniset, mutta kuluvat laskinosat on korvattu numeerisin laskuohjelmin. Kojeen tarkkuutta lisää se, että kaikki mittausjärjestelmän systemaattiset virheet, kuten optiikan piirtovirheet tai filmien muodonmuutokset, voidaan korjata kuvahavainnoista sisäisen orientoinnin yhteydessä.

4 Analogiakojeiden mekaniikasta aiheutuneita kuvaparin geometrisia rajoituksia, joilla määriteltiin hyvinkin tarkasti sallitut ääriarvot kuvakallistuksille, kantasuhteelle, kameravakiolle, kuvakoolle ja kuvakulmalle, ei analyyttisillä stereokmittauskojeilla ole. Analyyttiset stereomittauskojeet mahdollistavat rakenteensa puolesta kuvausgeometrialtaan hyvinkin erilaisten kuvien kartoituskäytön, mikäli kuvien sisäinen geometria tunnetaan. Esimerkkejä tällaisista kuva-aineistoista ovat olleet mm. satelliittikuvat ja pienkamerakuvat. Koska stereokojeeseen on kytketty tietokone, sitä on voitu käyttää ilmakolmioinnin 'on-line'-laskentaan. Havainnot on voitu tarkistaa välittömästi ja mahdolliset puuttuvat havainnot täydentää ja virheelliset identifioinnit korvata uusilla havainnoilla. Affiinisen muunnoksen kaava (yllä) ja piirtovirheiden korjeus (alla). Analyyttisen stereomittauksen erityisenä etuna on pidettävä sitä, että kartoitustyössä voidaan kuvausjärjestelmän systemaattiset virheet poistaa havainnoista laskennollisesti. Analogisissa stereokojeissa tämä ei ollut mahdollista. Kuvahavainnoista korjataan kamerakohtaisesti mm. pääpiste ja optiikan piirtovirheet, kuvakohtaisesti koordinaatiston mittakaavaerot ja vinous, sekä kohdekohtaisesti maankaarevuuden, karttaprojektion ja ilmakehän refraktion aiheuttamat poikkeamat suoraviivaisesta kuvauksesta. (../../../220/luennot/3/3.html#Kuvausvirheet) Digitaaliset stereofotogrammetrian työasemat Digitaalinen stereotyöaseman peruselemettejä: hardware: tavallinen ja stereonäyttö, 3D käyttöliittymä mittaamista varten, tehokas tietokone, paljon kovalevytilaa, paljon muistia ja tulostusmahdollisuus software: orientoinnit, kolmiointi, yhteys karttatietoon, korkeusmallin mittaus ja ortokuvien laskeminen Epipolaarioikaistu kuvapari../../../300/luennot/9/9.html#digitaalinen%20fotogrammetrinen%20stereoty%f6asema Kotimainen järjestelmä: Espa systems

5 Kuvien oikaisu Kuvan oikaisulla muunnetaan kuvan geometriaa. Oikaisu tehdään kuvan alkuperäistä projektiota muuttaen (perspektiivinen oikaisu) tai sitä muuttamatta (projektiivinen oikaisu). Perspektiivinen oikaisu edellyttää kuvan ulkoisen ja sisäisen orientoinnin sekä kohteen pintamallin tuntemista. Kuva oikaistaan paloittain joko kartan projektioon tai mallin pinnalle. Sovellusesimerkkinä on ortokuvaus. Projektiivinen oikaisu tehdään kuvittain tasolta tasolle. Tasot voivat olla alkuperäisiä kuvatasoja tai näiden kanssa samankeskisiksi kuviteltuja kuvatasoja. Yleinen sovellusesimerkki on ilmakuvan oikaisu nadirikuvaksi. o Horisonttikamera Projektiivinen oikaisu voidaan tehdä myös kuvaorientointeja tuntematta. Esimerkiksi samankeskiset kuvat oikaistaan toisiinsa ja liitetään yhdeksi laajakulmaiseksi mosaiikiksi. Jos kuvat ovat erikeskiset, ne oikaistaan toistensa suhteen normaaliasentoiseksi stereokuvapariksi. Tällöin keskinäinen orientointi sisältyy oikaisutehtävään. Oikaisua käytetään yleisesti ns. yksikuvakartoituksessa. Kun kohteen 3-D pintamalli tunnetaan, kyse on yksityiskohtien kartoittamisesta tällä pinnalla (ortokartoitus, texture mapping). Kun yksittäin oikaistuja kuvia käytetään 3-D pintamallin mittaamiseen, kartoitus tehdään 2-D poikkileikkauksina. Poikkileikkaukset valaistaan esimerkiksi tasolaserilla ja kuvataan vinosti sivulta päin. Kuvat oikaistaan kohtisuoriksi ja kolmas koordinaatti eli leikkaustasojen keskinäinen sijainti saadaan kuvauksen ohjaustiedoista. o Ks. myös: Maa Fotogrammetrian yleiskurssi, luento 1. Projektiivinen oikaisu Kahden samakeskisen kuvatason välillä vallitsee ns. projektiivinen vastaavuus. Kuvat oikaistaan tasolta toiselle 2-D projektiivisella muunnoksella. Muunnoksen ratkaiseminen edellyttää vähintäin neljän vastinpisteen havaitsemista kummallakin tasolla. Mitkään näistä pisteistä eivät saa olla kolmittain samalla suoralla. Projektiivinen kuvaus samakeskisille kuvatasoille. Koska jokainen kuvataso leikkaa saman sädekimpun, kuvien sisältö on kaikissa kuvissa täsmälleen sama. Projektiivinen kuvaus on suoraviivainen eli suorat säilyvät suorina.

6 Kaksiulotteinen projektiivinen muunnos. Muunnoksessa on kahdeksan muuttujaa a, b, c, d, e, f, g ja h, joilla kuvien koordinaatistot voidaan muuntaa toisiinsa. Käytännössä muunnoskertoimet sisältävät sekä sisäisen että ulkoisen orientoinnin muuttujat eli kameran sisäistä orientointia ei tarvitse erikseen määrittää. Tosin muunnos on luotettavampi, jos linssivirheet on poistettu kuvilta. Koska jokainen kuvilta havaittu vastinpistepari (xy, XY) tuottaa tällaisen yhtälöparin, muunnos voidaan ratkaista neljän pisteen avulla. Samankeskisten viistokuvan ja nadirikuvan välillä vallitsee projektiivinen vastaavuus. Oikaisukoje Zeiss SEG-V. Ennen stereokartoitusta ilmakuvauksen kartoitussovellukset perustuivat oikaistujen kuvien käyttöön. Kuvat oikaistaan nadirikuviksi joko tunnetuilla kallistuskulmilla tai neljällä tunnetulla pisteellä. Neljän pisteen menetelmässä kartan oikaisupisteet piirretään projektiotasolle ja kuva vedostetaan pöytää kallistamalla tähän projektioon.

7 Scheimpflug, Esimerkkejä projektiivisen oikaisun sovelluksista Julkisivumittaus. Esimerkki kuvan projektiivisesta oikaisusta kohteesta havaittuun tasoon, tässä tapauksessa julkisivun tasoon. Pisteiden 105, 125, 305 ja 325 koordinaatit tunnetaan kohteella ja niiden kuvakoordinaatit havaitaan. Oikaisun jälkeen lasketaan pisteen 120 kohdekoordinaatit seinätasossa. Kohdekoordinaatisto.

8 Havaitut kuvakoordinaatit ja tunnetut kohdekoordinaatit. Koska oikaisu tehdään seinätasoon, muunnoskertoimien laskemiseen käytetään vain X- ja Y-koordinaatteja. Oikaisukaavat. Havaintoyhtälöt. Havaintoyhtälöiden kertoimet. Muunnoskertoimien ratkaisu ja näiden mukaan kuvahavainnoista ratkaistut pisteen 120 koordinaatit. Jos tulosta vertaa mitattuihin pisten 120 arvoihin, huomataan pientä poikkeamaa. Virhettä aiheuttaa mm. kohdepisteiden poikkeamat tasosta. Oikaistu kuva.

9 Tasomaisen pinnan kartoitus. Tehtävänä on piirtää arkeologisen kaivauskohteen lattia ortogonaaliprojektiossa. Kohde on kuvattu ja siihen on merkitty ja mitattu sinisinä pisteinä näkyvä 2-D ruudukko. Kuvat oikaistaan ruudukon koordinaatistoon. Oikaisun tulos. Kuva on lattian osalta projektiivisesti oikaistu ja voidaan piirtää. Kartan geometria on likimääräinen, koska lattia oletetaan tasomaiseksi. Mikäli lattian topografia mitattaisiin, se tehtäisiin stereokartoituksena. Kuopan reunojen osalta "kartta" ei pidä lainkaan paikkaansa. Samakeskisen kuvasekvenssin mosaikointi sulkeutuvaksi horisonttikuvaksi. Kuvat sisältyvät kuvasekvenssiin, joka on kuvattu videokameralla siten, että kameraa on kierretty jalustalla horisontin suuntaan 360 astetta. Kuvat liitetään toisiinsa oikaisemalla. Oikaisun muuttujat ratkaistaan kuvien yhteiseltä peittoalueelta tehdyillä havainnoilla. (Petteri Pöntinen, 1997).

10 Samakeskiset kuvat oikaistaan ensin yhteiselle kuvatasolle. Tässä oikaisutasona on keskimmäinen kuva. Oikaisu voidaan tehdä neljän pisteen menetelmän sijaan myös kuvien orientointitiedoilla. Koska täyttä 360 asteen kuvasekvenssiä ei voi oikaista yhdelle tasolle, kuva projisioidaan lieriöpinnalle. Lieriö valitaan siten, että sen akseli kulkee kameran kuvanottopisteen kautta. Sulkeutuva kuvasekvenssi. Kuva muodostaa horisontin suunnassa sulkeutuvan yhtenäisen kuvan. Alkuperäisen kuvan xy-koordinaatisto on samalla muunnettu vaaka- ja pystykulmiksi. (Petteri Pöntinen, 1997).

11 Kuvaparin oikaisu normaaliasentoiseksi stereokuvapariksi. Kaksi kuvaa, joiden sisäistä orientointia ei tunneta, voidaan oikaista normaaliasentoiseksi stereokuvapariksi projektiivisia muunnoksia käyttäen. Kumpikin kuva oikaistaan stereokuvatasolle ehdolla, että uuden kuvaparin y-koordinaatit muuntuvat yhtäsuuriksi. Tällöin pystyparallaksi poistuu. Oikaisu vastaa kuvaparin keskinäistä orientointia. (Ilkka Niini, 1990). Kuvapari oikaistuna. Kuvapari on alunperin kuvattu konvergentisti. Oikaistu kuvapari vastaa normaaliasentoista stereokuvaparia, jossa 3-D mittaukset tehdään parallaksimittauksina. Koska keskinäinen orientointi on tehty tuntematta kuvien sisäistä orientointia, stereomalli on projektiivisesti vääristynyt ja mallin absoluuttinen orientointi suorakulmaiseen koordinaatistoon edellyttää 3-D projektiivisen muunnoksen käyttämistä. Muunnoksessa on 15 muuttujaa, jotka ovat 3 siirtoa, 3 x 3 kiertoa ja 3 mittakaavaa, joten siihen tarvitaan vähintäin viisi 3-D tukipistettä. Alkuperäiset kuvat: Laszlo Ladi. Oikaistut kuvat: Ilkka Niini, Ortokuvaus Ortokuvaus on valokuvan perspektiivin muuntamista keskusprojektiosta ortogonaaliprojektioon. Vaikka ortokuvat useimmiten mielletään oikaistuiksi ilmakuvakartoiksi, oikaistuja kuvia tuotetaan myös muista, yleensä tasomaisista pinnoista, esimerkkinä rakennusten julkisivut. Ortokuvan etuna karttaan verrattuna on sen tulkitsemattomuus ja alkuperäinen yksityiskohtaisuus. Ortokuvaus tehdään oikaisemalla joko ortoprojektorilla suoraan analogisilta kuvilta, siis filminegatiivilta, tai laskemalla digitoidulta kuvalta. Ortoprojektorien käyttö on syrjäytymässä digitaalisen oikaisun myötä. Muunnos tehdään mahdollisimman pienin kuva-alkioin (differentiaalioikaisu). Alkiot ovat ortokuvalla karttakoordinaatistossa ja ovat joko neliöitä (= pikseleitä) tai erittäin kapeita suorakaiteita (= ortoprojektorin kaistaleita), jotka sijaitsevat tasavälein kummankin koordinaatin suunnassa.

12 Alkioiden geometrinen vastaavuus lasketaan kartalta kohteen pinnalle ja siitä edelleen ilmakuvalle. Ortokuvan pisteiden karttakoordinaatteja vastaavat kuvan pikseleiden keskipisteet tai ortoprojektorin kaistaleiden päätepisteet. Digitoinnin pistekokona käytetään yleisesti mm, mikä vastaa ilmakuvan erotuskykyä. Ortokuvan pistekoko riippuu sen mittakaavasta ja on yleensä joko 10 cm, 20 cm, 50 tai 1 m. Ortokuvaus edellyttää ilmakuvan ulkoisen orientoinnin ja maaston korkeusuhteiden eli korkeusmallin tuntemista. Ulkoinen orientointi ratkaistaan useimmiten kolmioimalla, koska silloin kuvat liittyvät ortokuvamosaiikissa hyvin toisiinsa. Korkeusmallina käytetään joko alueelta aiemmin mitattua korkeusmallia tai se tuotetaan samasta kuvauksesta stereokartoituksena. Ilmakuva ja ortokuva. Digitaalisen ortokuvan näytteenotto. Ortokuva tuotetaan pisteittäin karttaprojektioon XY ja kunkin pisteen sävyarvot kerätään ilmakuvalta. Koska ilmakuva esittää maastoa keskusprojektiossa, pisteen korkeus Z on ensin laskettava maastomallilta. Tämän jälkeen lasketaan pisteen kuvakoordinaatit xy kuvan orientointitietojen mukaan.

13 Ilmakuva digitoidaan kuvakoordinaatistossa eivätkä digitointipisteet sellaisenaan vastaa ortokuvan pisteitä. Ortokuvan sävyarvoksi voidaan ottaa lähimmän pikselin sävyarvo, mutta yleensä se lasketaan interpoloimalla useammista lähipisteistä. Bilineaarisessa interpoloinnissa sävyarvo lasketaan neljän pisteen naapurustosta. Menetelmä hieman pehmentää kuvaa. Muitakin interpolointimenetelmiä on olemassa. Analyyttinen ortokuvaus Optinen oikaisu tehdään ortoprojektorilla, jossa kuva vedostetaan negatiivilta valottamalla. Analyyttisessä ortokuvauksessa ilmakuva projisioidaan ortokuvaksi samankokoisina, kapeina ja yhdensuuntaisina suorakaiteina eli kaistaleina. Kaistaleiden päätepisteiden kohdekoordinaatit X ja Y määritetään tuloskuvan kaistalekoon mukaan tasavälein, Z interpoloidaan maastomallilta. Koska kukin kaistale oikaistaan erikseen, on sen päätepisteiden sijainti alkuperäisellä kuvalla laskettava, samoin kaistaleen projisionnin suurennussuhde ja maanpinnan kaltevuudesta aiheutuva tarve kiertää kaistaletta tuloskuvan suhteen. Ohjaustiedot lasketaan kaistaleen päätepisteiden kohdekoordinaateista, kun kuvan ulkoinen ja sisäinen orientointi tunnetaan. Ortokuva ja stereo-ortokuva Ortokuva on yhdensuuntaisprojektio ilmakuvasta, ja stereo-ortokuva edellisen stereopuolisko. Tämä tehdään kuvaparin toisesta kuvasta siirtämällä kaikkia kuvapisteitä kannan suuntaisesti korkeuseroa vastaavan parallaksin verran. Kuvia voidaan käyttää yksityiskohtien kolmiulotteiseen tulkintaan ja kartoittamiseen ortokuvalta ilman stereokojetta, ja lopputulos on silti karttakoordinaatistossa. Stereo-ortokuva voidaan tehdä kuvaparista myös maaston topografiaa lisäämättä. Tällöin maanpinta näkyy tasona, mutta oikaisemattomat yksityiskohdat (puut, rakennukset, jne.) näkyvät kolmiulotteisina. Näin valmistettua ortokuvaparia voidaan käyttää myös korkeusmallin virheiden havaitsemiseen, koska ne paljastuvat maanpinnan epätasomaisuuksina. Mikäli stereo-ortokuvaparin valmistamiseen käytetään vain yhtä kuvaa, kolmiulotteinen stereovaikutelma on luonnoton, koska puut ja rakennukset eivät erotu maanpinnasta.

14 Ortokuva ja sen stereopari. Stereo-ortokuvan stereotulkinta. Maa Fotogrammetrian yleiskurssi

Luento 6: 3-D koordinaatit

Luento 6: 3-D koordinaatit Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004

Lisätiedot

Luento 6 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 6 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 6 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen

Lisätiedot

Luento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 5 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen

Lisätiedot

Luento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 5 Mittakuva. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 5 Mittakuva 1 Aiheita Mittakuva Muunnokset informaatiokanavassa. Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot. Stereokuva, konvergentti kuva. Koordinaatistot. Kuvien orientoinnit. Sisäinen orientointi. Ulkoinen

Lisätiedot

Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet

Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet Luento 8 Kartoitussovellukset Petri Rönnholm/Henrik Haggrén Mitä fotogrammetrisella kartoituksella tuotetaan? 3D koordinaatteja kohteesta Maaston korkeusmalli Topograafiset

Lisätiedot

Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi

Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi 7Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 7.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 5.2.2004 ) Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi

Lisätiedot

Luento 8: Kolmiointi AIHEITA. Kolmiointi. Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi. Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Luento 8: Kolmiointi AIHEITA. Kolmiointi. Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi. Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 12.10.2004) Luento 8: Kolmiointi AIHEITA Kolmiointi Nyrkkisääntöjä Kuvablokki Blokin pisteet Komparaattorit

Lisätiedot

Luento 4 Georeferointi Maa Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 4 Georeferointi Maa Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 4 Georeferointi 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Georeferointi käsitteenä Orientoinnit Stereokuvaparin mittaus Stereomallin ulkoinen orientointi (= absoluuttinen orientointi)

Lisätiedot

Luento 4 Georeferointi

Luento 4 Georeferointi Luento 4 Georeferointi 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Georeferointi käsitteenä Orientoinnit Stereokuvaparin mittaus Stereomallin ulkoinen orientointi (= absoluuttinen orientointi)

Lisätiedot

Luento 11: Stereomallin ulkoinen orientointi

Luento 11: Stereomallin ulkoinen orientointi Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 17.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 23.2.2004 ) Luento 11: Stereomallin ulkoinen

Lisätiedot

Luento 7 Stereokartoituskojeet. 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 7 Stereokartoituskojeet. 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 7 Stereokartoituskojeet 1 Stereokartoitus (Hannu Hyyppä, Petri Rönnholm, TKK) 2 Fotogrammetrinen prosessi 3 Stereokartoituskoje Stereokartoituskojeessa kuvaparin stereoskooppinen tarkastelu ja tarkka

Lisätiedot

Luento 3: Kuvahavainnot

Luento 3: Kuvahavainnot Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 22.9.2004) Luento 3: Kuvahavainnot Mitä pitäsi oppia? Viimeistään nyt pitäisi ymmärtää kuva-, komparaattori- ja kamerakoordinaatistojen

Lisätiedot

Luento 2: Kuvakoordinaattien mittaus

Luento 2: Kuvakoordinaattien mittaus Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 14.9.2005) Luento 2: Kuvakoordinaattien mittaus Mitä pitäisi oppia? Muunnokset informaatiokanavassa (osin kertausta) Erotella kuvaan ja

Lisätiedot

Luento 9 3-D mittaus. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 9 3-D mittaus. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 9 3-D mittaus 1 Luennot 2008 JOHDANTO Koko joukko kuvia! Kuvien moniulotteisuus. LUENNOT I. Kuvien ottaminen Mitä kuvia ja miten? Mitä kuvista nähdään? II. III. IV. Kuvien esikäsittely Miten kartoituskuvat

Lisätiedot

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen AIHEITA Etäisyysmittaus stereokuvaparilla Esimerkki: "TKK" Esimerkki: "Ritarihuone"

Lisätiedot

Luento 5: Kuvakoordinaattien laskeminen ja eteenpäinleikkaus

Luento 5: Kuvakoordinaattien laskeminen ja eteenpäinleikkaus Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 27.9.2005) Luento 5: Kuvakoordinaattien laskeminen ja eteenpäinleikkaus Mitä pitäsi oppia? Nyt pitäisi viimeistään ymmärtää, miten kollineaarisuusyhtälöillä

Lisätiedot

Luento 7: Kuvan ulkoinen orientointi

Luento 7: Kuvan ulkoinen orientointi Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 6.10.2004) Luento 7: Kuvan ulkoinen orientointi AIHEITA Ulkoinen orientointi Suora ratkaisu Epäsuora

Lisätiedot

Luento 4: Kiertomatriisi

Luento 4: Kiertomatriisi Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 28.9.2004) Luento 4: Kiertomatriisi Mitä pitäisi oppia? ymmärtää, että kiertomatriisilla voidaan kiertää koordinaatistoa ymmärtää, että

Lisätiedot

Luento 9. Stereokartoituskojeet

Luento 9. Stereokartoituskojeet Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 9. Stereokartoituskojeet AIHEITA Analogiset stereokartoituskojeet Analyyttiset stereokartoituskojeet Digitaalinen

Lisätiedot

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 2 Stereokuvan laskeminen 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Aiheet Stereokuvan laskeminen stereokuvan piirto synteettisen stereokuvaparin tuottaminen laskemalla stereoelokuva kollineaarisuusyhtälöt

Lisätiedot

Luento 6: Stereo- ja jonomallin muodostaminen

Luento 6: Stereo- ja jonomallin muodostaminen Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 5.10.2004) Luento 6: Stereo- ja jonomallin muodostaminen AIHEITA Keskinäinen orientointi Esimerkki

Lisätiedot

Luento 5. Stereomittauksen tarkkuus Maa Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 5. Stereomittauksen tarkkuus Maa Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 5 Stereomittauksen tarkkuus 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Stereokuvauksen * tarkkuuteen vaikuttavat asiat tarkkuuden arviointi, kuvauksen suunnittelu ja simulointi stereomallin

Lisätiedot

Fotogrammetrian termistöä

Fotogrammetrian termistöä Fotogrammetrian termistöä Petri Rönnholm, Henrik Haggrén, 2015 Hei. Sain eilen valmiiksi mukavan mittausprojektin. Kiinnostaako kuulla yksityiskohtia? Totta kai! (Haluan tehdä vaikutuksen tähän kaveriin,

Lisätiedot

(Petri Rönnholm / Henrik Haggrén, ) Luento 1: Opintojakson järjestäytyminen. Motivointia. Kertausta. Kuvamittauksen vaihtoehdot.

(Petri Rönnholm / Henrik Haggrén, ) Luento 1: Opintojakson järjestäytyminen. Motivointia. Kertausta. Kuvamittauksen vaihtoehdot. Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (Petri Rönnholm / Henrik Haggrén, 12.9.2005) Luento 1: Opintojakson järjestäytyminen. Motivointia. Kertausta. Kuvamittauksen vaihtoehdot. Mitä pitäisi oppia? Palauttaa

Lisätiedot

Luento 10 3-D maailma. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 10 3-D maailma. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 10 3-D maailma 1 Luennot 2007 JOHDANTO Koko joukko kuvia! Kuvien moniulotteisuus. LUENNOT I. Kuvien ottaminen Mitä kuvia ja miten? Mitä kuvista nähdään? II. III. IV. Kuvien esikäsittely Miten kartoituskuvat

Lisätiedot

Maa-57.260 Fotogrammetrian erikoissovellutukset (Close-Range Photogrammetry)

Maa-57.260 Fotogrammetrian erikoissovellutukset (Close-Range Photogrammetry) Maa-57.260 Fotogrammetrian erikoissovellutukset (Close-Range Photogrammetry) -luennot: --ti 12-14 M5, to 12-14 M5 --Henrik Haggrén (HH), Petteri Pöntinen (PP) 1. Johdanto ja teoreettisia perusteita I,

Lisätiedot

Luento Fotogrammetrian perusteet. Henrik Haggrén

Luento Fotogrammetrian perusteet. Henrik Haggrén Luento 8 6.5.2016 Fotogrammetrian perusteet Henrik Haggrén Sisältö Fotogrammetrinen kuvaaminen Avaruussuorat ja sädekimput Sisäinen ja ulkoinen orientointi Kollineaarisuusehto kohteen ja kuvan välillä

Lisätiedot

Malleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön

Malleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön Malleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön Juho Kannala 7.5.2010 Johdanto Tietokonenäkö on ala, joka kehittää menetelmiä automaattiseen kuvien sisällön tulkintaan Tietokonenäkö on ajankohtainen

Lisätiedot

Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP

Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP Kameran kalibrointi Kameran kalibroinnilla tarkoitetaan sen kameravakion, pääpisteen paikan sekä optiikan aiheuttamien virheiden määrittämistä. Virheillä tarkoitetaan poikkeamaa ideaalisesta keskusprojektiokuvasta.

Lisätiedot

Luento 7 Stereokartoituskojeet Maa Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 7 Stereokartoituskojeet Maa Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 7 Stereokartoituskojeet 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Stereokartoitus (Hannu Hyyppä, Petri Rönnholm, TKK) 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 2 Fotogrammetrinen prosessi 2008

Lisätiedot

Luento 4: Kuvien geometrinen tulkinta

Luento 4: Kuvien geometrinen tulkinta Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 4: Kuvien geometrinen tulkinta AIHEITA Muunnokset informaatiokanavassa Geometrisen tulkinnan vaihtoehdot Mittakaava

Lisätiedot

Luento 10: Optinen 3-D mittaus ja laserkeilaus

Luento 10: Optinen 3-D mittaus ja laserkeilaus Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (P. Rönnholm / H. Haggrén, 19.10.2004) Luento 10: Optinen 3-D mittaus ja laserkeilaus AIHEITA Optinen 3-D digitointi Etäisyydenmittaus

Lisätiedot

Luento 3: Keskusprojektiokuvaus

Luento 3: Keskusprojektiokuvaus Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 11.3.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 20.1.2004) Luento 3: Keskusprojektiokuvaus

Lisätiedot

Luento 9: Ortokuvien tuottaminen

Luento 9: Ortokuvien tuottaminen Maa-57.220 Fotogrammetrinen kartoitus Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 9: Ortokuvien tuottaminen Luento 9: Ortokuvien tuottaminen Ortokuvaus Oikaisuvaihtoehdot Digitaalinen oikaisu Oikaisun

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

MAA-C2001 Ympäristötiedon keruu

MAA-C2001 Ympäristötiedon keruu MAA-C2001 Ympäristötiedon keruu Luento 1b Petri Rönnholm, Aalto-yliopisto 1 Laserkeilauksen, fotogrammetrian ja kaukokartoituksen harjoituksista Laserkeilausharjoitus Tarkempi aikataulu julkaistaan lähiaikoina

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

Ilmakolmioinnin laadunvalvonta fotogrammetristen pintamallien ja laserkeilausaineiston avulla

Ilmakolmioinnin laadunvalvonta fotogrammetristen pintamallien ja laserkeilausaineiston avulla Ilmakolmioinnin laadunvalvonta fotogrammetristen pintamallien ja laserkeilausaineiston avulla Aalto-yliopiston insinööritieteiden korkeakoulun maankäyttötieteiden laitoksella tehty diplomityö Espoo, toukokuu

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Luento 4: Kolmiointihavainnot

Luento 4: Kolmiointihavainnot Maa-57.220 Fotogrammetrinen kartoitus Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 4: Kolmiointihavainnot Luento 4: Kolmiointihavainnot Reconstruction procedure Kuvahavainnot Kollineaarisuusyhtälö

Lisätiedot

Luento 1 Fotogrammetria prosessina Maa Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 1 Fotogrammetria prosessina Maa Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 1 Fotogrammetria prosessina. 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet (3 op) Sisältyy geomatiikan koulutusohjelman perusmoduuliin A1. Kurssin kuvaus Stereofotogrammetria.

Lisätiedot

Luento 13: Ympäristömallien tiedonkeruu

Luento 13: Ympäristömallien tiedonkeruu Maa-57.220 Fotogrammetrinen kartoitus Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 13: Ympäristömallien tiedonkeruu Luento 13: Ympäristömallien tiedonkeruu 3-D mallien tiedonkeruu Ilmakuvauksen

Lisätiedot

LIITE 1(5) TYÖOHJELMA NUMEERISEN KAAVAN POHJAKARTAN LAATIMINEN. 1. Tehtävän yleismäärittely

LIITE 1(5) TYÖOHJELMA NUMEERISEN KAAVAN POHJAKARTAN LAATIMINEN. 1. Tehtävän yleismäärittely LIITE 1(5) TYÖOHJELMA NUMEERISEN KAAVAN POHJAKARTAN LAATIMINEN 1. Tehtävän yleismäärittely 2. Lähtötilanne Kartoituskohde Tuusulan kunta, Siippoon alue Karttatyyppi numeerinen kaavan pohjakartta Kartoitusalueen

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Erikoistekniikoita. Moiré - shadow-moiré - projection-moiré. Rasterifotogrammetria - yhden juovan menetelmä - monen juovan menetelmä

Erikoistekniikoita. Moiré - shadow-moiré - projection-moiré. Rasterifotogrammetria - yhden juovan menetelmä - monen juovan menetelmä Erikoistekniikoita Moiré - shadow-moiré - projection-moiré Rasterifotogrammetria - yhden juovan menetelmä - monen juovan menetelmä Tomografia - periaate Hologrammetria - periaate Motografia Moiré-tekniikka

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

GeoGebran 3D paketti

GeoGebran 3D paketti GeoGebran 3D paketti vielä kehittelyvaiheessa joitakin puutteita ja virheitä löytyy! suomennos kesken parhaimmillaan yhdistettynä 3D-lasien kanssa tilattavissa esim. netistä (hinta noin euron/lasit) 3D-version

Lisätiedot

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen 1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki

Lisätiedot

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti TTY Mittausten koekenttä Käyttö Tampereen teknillisen yliopiston mittausten koekenttä sijaitsee Tampereen teknillisen yliopiston välittömässä läheisyydessä. Koekenttä koostuu kuudesta pilaripisteestä (

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Radiotekniikan sovelluksia

Radiotekniikan sovelluksia Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat 1 Kuvan kolmiulotteisuus 2 Stereokuva 3 Aiheita Parallaksi. Stereoskopia. Stereoskooppinen näkeminen. Stereomallin kokonaisplastiikka. Stereokuvaus. Dokumentointi stereodiakuvin.

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI 67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

FOTOGRAMMETRINEN PISTETIHENNYS

FOTOGRAMMETRINEN PISTETIHENNYS FOTOGRAMMETRINEN PISTETIHENNYS 1. Yleistä 2. Ilmakuvaus SKM Gisair Oy Työssä määritettiin ulkoinen orientointi Sotkamon kunnan keskustan alueen ilmakuvaukselle. Ilmakuvauksen teki SKM Gisair Oy keväällä

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot

5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot 5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin

Lisätiedot

Luento 6 Mittausten suunnittelu II. erikoissovellukset

Luento 6 Mittausten suunnittelu II. erikoissovellukset Luento 6 Mittausten suunnittelu II 1 Aiheita Mittausongelman määrittely Tarkkuusluvut Suhteellinen tarkkuusluku Suhteellinen tarkkuus Tarkkuuden arvioiminen Kuvahavainnon keskivirhe Verkon rakennevakio

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Stereopaikannusjärjestelmän tarkkuus (3 op)

Stereopaikannusjärjestelmän tarkkuus (3 op) Teknillinen korkeakoulu AS 0.3200 Automaatio ja systeemitekniikan projektityöt Stereopaikannusjärjestelmän tarkkuus (3 op) 19.9.2008 14.01.2009 Työn ohjaaja: DI Matti Öhman Mikko Seppälä 1 Työn esittely

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Luento 13: Mittausovellukset

Luento 13: Mittausovellukset Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 13: Mittausovellukset AIHEITA Off-line sovelluksia On-line sovelluksia (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 11.3.2003,

Lisätiedot

Luento 7: 3D katselu. Sisältö

Luento 7: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikka / perusteet Tik-.3/3 4 ov / 2 ov Luento 7: 3D katselu Lauri Savioja /4 3D katselu / Sisältö Koorinaattimuunnokset Kameran ja maailmankoorinaatiston yhteys Perspektiivi 3D katselu / 2

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot