Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Transkriptio

1 Geometrinen optiikka 3. Optiikka Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto

2 Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka Ei huomioi, että valo on aaltoliikettä Ei selitä difraktiota ja interferenssiä Oletus: kaikki havaintolaitteen mitat >> λ Oletus: valo koostuu hiukkasista Hiukkaset etenevät säteinä Homogeeninen väliaine Säteet suoria Väliaineiden pinnalla Suunnan muutos Väliaineen taitekerroin n 1 v = c/n, c = nopeus tyhjiössä, jolle n = n 0 = 1 λ 1 > λ 2 n(λ 1 ) < n(λ 2 ) dispersio Pierre de Fermat (Ranska, ): Valo noudattaa aina reittiä, jota pitkin matkaan kuluva aika on lyhin mahdollinen. Heijastuslaki: Tulokulma = Heijastuskulma = Θ 1, Snellin laki: n 1 sin Θ 1 = n 2 sin Θ 2 n 1 > n 2 Kokonaisheijastuksen (Θ 2 = 90 o ) rajakulma Θ 1 = Θ r = asin (n 2 /n 1 ) Θ 1 >Θ r Täydellinen heijastus Pätee heijastuslaki (mm. optiset kuidut) www

3 Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka Peilit Paraboloidi: www z/c = x 2 /a 2 + y 2 /b 2 Paraboloidinen peili: a = b z = Ax 2, missä A = vakio Paraabelin määritelmä: Etäisyys johtosuorasta ja polttopisteestä sama Polttopiste=F = (0, z=p) z = x 2 /(4p) Esimerkki 3.1: Kaikki optisen akselin suuntaiset säteet päätyvät polttopisteeseen. Kuvan geometrinen ratkaisu x = p = johtosuora x = y 2 /(4p) = paraabeli QD = (x + p) 2 = x 2 + 2xp + p 2 QF = (x p) 2 + y 2 = x 2 + 2px + p 2 y 2 = 4px 2yy = 4p y = 2p/y = m 1 DF m 2 = y/(2p) m 1 m 2 = 1 Tasakylkinen! Kolme kulmaa samat joka optisen akselin suuntaiselle säteelle

4 Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka Linssit Valo taittuu kahdesti: ilma lasi ilma Kupera linssi 1 a + 1 b = 1 f a = kohteen etäisyys linssistä b = kuvan etäisyys linssistä f = linssin polttoväli Tähtitieteessä a b = f Väriaberraatio Kovera linssi: ei kuvaa

5 Aalto-optiikka Aalto-optiikka Valon esteiden koko lähellä λ Geometrinen optiikka ei päde Aalto-optiikka Sähkömagneettinen säteily: E = Sähkökenttä B = Magneettikenttä E B ja värähtelevät toisiaan vastaan kotisuorissa tasoissa Paikassa r sähkökenttä on E = E 0 exp[i(k r ωt)] k = etenemissuuntaan osoittava yksikkövektori ω = 2πf värähtelyn kulmanopeus f = frekvenssi Kaksi kuvaa liikkuvan aallon E ja B värähtelystä www

6 Aalto-optiikka Aalto-optiikka Aalto-optiikka Havaitseva tähtitiede) Yksinkertaistus: säteily kohti havaitsijaa pitkin z-akselia k z E z E z = 0 Sähkökentällä seuraavat komponentit xy-tasossa: E x = E 1 cos (ωt) E y = E 2 cos (ωt + δ) a) Elliptinen polarisaatio b) Ympyrä polarisaatio c) Lineaarinen polarisaatio Graafinen video esitys vaihtoehdoista a, b ja c www

7 Stokesin parametrit Stokesin parametrit Stokesin parametrit Havaitseva tähtitiede ) I = valon kokonaisintenstiteetti I(1 P E ) = polarisoitumaton valon komponentti IP E = täysin elliptisesti polarisoitunut komponentti 0 P E 1 = polarisaatioaste E kiertää taivaalla ellipsiä: a = iso- ja b = pikkuakseli θ = positiokulma = isoakselin ja pohjoisen välinen kulma Polarisoitunutta valoa kuvataan Stokesin parametreillä: I = intensiteetti Q = IP E cos 2β cos 2θ = IP cos 2θ U = IP E cos 2β sin 2θ = IP sin 2θ V = IP E sin 2β = IP V P=P E cos 2β =lineaarinen polarisaatioaste, P V =P E sin β =ympyräpolarisaatioaste P V > 0 = oikeakätinen ja P V < 0 = vasenkätinen ympyräpolarisaatio β = 45 Täysin ympyräpolarisoitunut: P = 0, Q = U = 0 (Video: 3 ja 4 tapaus) β = 0 Täysin lineaarisesti polarisoitunut: P V = 0, V = 0 (Video: 5 tapaus)

8 Stokesin parametrit Stokesin parametrit Stokesin parametrit Havaitseva tähtitiede ) Stokesin parametrit kuvaavat osittain polarisoituneen kohteen säteilyä Stokesin parametrien määritelmä IP E = (Q 2 + U 2 + V 2 ) 1/2 P = P E cos 2β = [(Q 2 + U 2 ) 1/2 ]/I = lineaarinen polarisaatioaste θ = [atan(u/q)]/2 = positiokulma P V = V/I = ympyräpolariasaatioaste Täysin lineaarisesti polarisoituneelle kohteelle käytetään P x = Q/I = P cos 2θ P y = U/I = P sin 2θ Stokesin vektori on S = [I, Q, U, V] Kahden kohteen S 1 ja S 2 voidaan summata (kaksoistähti) Stokesin vektorit eivät huomioi säteilyn vaihetta Säteilyn vaiheet satunnaisia Stokesin formalismi toimii Säteilyn vaiheet koherentteja Stokesin formalismi ei toimi Optisen elementin aiheuttama S muutos (Mullerin matriisit yms.)

9 Stokesin parametrit Fresnelin kaavat Fresnelin kaavat Havaitseva tähtitiede ) Aalto-optiikka Intensiteetin I jakautuminen väliaineen pinnalla Θ 1 ja Θ 2 = Saapuvan ja taittuvan säteilyn kulmat n 1 ja n 2 = Väliaineiden taitekertoimet E = [E, E ] = saapuvan säteilyn sähkökenttä E = sen pinnan suuntainen komponentti E = sen pintaa vastaan kohtisuora komponentti E = [E, E ] = heijastuvan säteilyn sähkökenttä E = sen pinnan suuntainen komponentti E = sen pintaa vastaan kohtisuora komponentti E = [E, E ] = taittuvan säteilyn sähkökenttä E = sen pinnan suuntainen komponentti E = sen pintaa vastaan kohtisuora komponentti Saapuvan säteilyn E tunnettu Ratkaisu E ja E arvoille Fresnelin kertoimilla

10 Stokesin parametrit Fresnelin kaavat Fresnelin kaavat Havaitseva tähtitiede ) Fresnelin heijastuskertoimet (Reflection: R ja R ) E =E R, missä R = n 2 cos θ 1 n 1 cos θ 2 n 1 cos θ 2 +n 2 cos θ 1 ja E =E R, missä R = n 1 cos θ 1 n 2 cos θ 2 n 1 cos θ 1 +n 2 cos θ 2 Fresnelin transmissiokertoimet (Transmission: T ja T ) E =E T, missä T = 2n 1 cos θ 1 ja E n 1 cos θ 2 +n 2 cos θ =E T, missä T = 2n 1 cos θ 1 1 n 1 cos θ 1 +n 2 cos θ 2 Intensiteetit: I =(E ) 2 +(E ) 2 saapuu, I =(E )2 +(E )2 heijastuu, I =(E ) 2 +(E ) 2 taittuu Tapauksessa E = E saapuva säteily polarisoitumatonta I = 2(E ) 2 ja I = (E )2 +(E )2 = (E R ) 2 +(E R ) 2 = (E ) 2 (R 2 +R2 ) I /I = (R 2 +R2 )/2 Snellin lain: sin θ 1 = n sin θ 2, missä n = n 2 /n 1, avulla voidaan kaikissa tapauksissa eliminoida taittumissuunnan, termin cos(θ 2 ), vaikutus cos θ 2 = [1 (sin θ 2 ) 2 ] 1/2 = [1 (sin θ 1 /n) 2 ] 1/2 = (1/n)[n 2 (sin θ 1 ) 2 ] 1/2

11 Stokesin parametrit Fresnelin kaavat Fresnelin kaavat ) Brewsterin kulma (θ B ): heijastunut säteily täysin polarisoitunut eli R = 0 R :n osoittaja on nolla n 2 cos θ 1 = n 1 cos θ 2 cos 2 θ 2 = ( n 2 n 1 ) 2 cos 2 θ 1 Snellin lain toteuduttava n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 sin 2 θ 2 = ( n 1 n 2 ) 2 sin 2 θ 1 sin 2 θ 2 + cos 2 θ 2 = 1 = sin 2 θ 1 + cos 2 θ 1 = ( n 1 n 2 ) 2 sin 2 θ 1 + ( n 2 n 1 ) 2 cos 2 θ 1 sin 2 θ 1 [ n2 2 n2 1 n 2 ] = cos 2 θ 1 [ n2 2 n2 1 2 n 2 ] tan 2 θ 1 = ( n 2 ) n 2 θ B = θ 1 = atan n 1 1 Oppikirja: Heijastunut säteily on aina polarisoitunutta Edellinen sivu: Jos E = E Heijastuneen säteilyn intensiteetti on I /I = (R 2 + R2 )/2 Kuva: R 2 (katkoviiva) suurempi kuin R2 (jatkuva viiva) kaikilla θ 1. Brewsterin kulma θ B on merkitty pystysuoralla katkoviivalla Kuva: θ 1 90 o kaikki säteily heijastuu taittuva säteily I =0 Vastaavanlaisia tapauksia laskettavissa www

12 Interferenssi Interferenssi ) Sähkövektori E kuvaa valoa Kahden valosäteen vuorovaikutus E = E 1 + E 2 Vaihe-ero muuttuu hitaasti Interferenssi havaittavissa Useita atomeja Vaiheet satunnaisia Ei havaittavissa Saman kohteen valo jaetaan osiin Annetaan vuorovaikuttaa Vaihe-ero vakio Interferenssi havaitaan Interferenssi Animaatio www Interferometria: kurssin lopussa

13 Diffraktio Diffraktio Diffraktio Valo kaukoputken kautta detektoriin Ääretön määrä reittejä Valosäteillä eri vaiheet Vahvistavat tai heikentävät toisiaan Lopputulos missä tahansa detektorin pisteessä = Eri reittejä saapuneen säteilyn amplitudien summa Yleinen tapaus: Fresnelin diffraktio Ratkaisut monimutkaisia ja työläitä Erikoistapaus: Fraunhoferin diffraktio Kohde kaukana Eri reittien pituudet lähes samat Ratkaisut edelleen työläitä Fourier muunnoksia www kompleksi-avaruudessa Lisäksi tarvitaan numeerisia ratkaisuja Kuvat: Kapean raon ja pyöreän aukon diffraktio

14 Diffraktio Diffraktio Pyöreän aukon diffraktio Intensiteetti I(θ) [(π 2 R 4 )/m][j 1 (2m)] 2 = C [J 1 (2m)] 2 C = [(π 2 R 4 )/m] = Vakio aallonpituudella λ R = Pyöreän aukon säde m = (πr sin θ)/λ J 1 (x) = J 1 (2m) on Besselin funktio www Sarjakehitelmän numeerinen ratkaisu J 1 (x) = 0 Tulos on x 3.83, 7.02, www Ensimmäinen minimi x = 2m = (2πR sin θ)/λ 3.83 sin θ = (3.83 λ)/(2πr) 1.22λ/D Kulma θ on pieni θ sin θ 1.22λ/D Toinen minimi: x = 7.02 θ 2.23λ/D Kolmas minimi: x = θ 3.24λ/D

15 Kaukoputken optiikan perussuureet Kaukoputken optiikan perussuureet Käsitteitä tähtitiede) Objektiivi (Peili tai Linssi) kerää valon D = Halkaisija, f = Polttoväli Usean linssin/peilin yhdistelmä f = Koko yhdistelmän polttoväli f /D = Aukkosuhde Konventio f /n tarkoittaa n = f /D u = Kulma jossa kohde näkyy s = f tan u = Kohteen kuvan korkeus, Pieni kulma: tan u u, f kasvaa Kuva kasvaa Visuaalihavainnot: f = okularaarin polttoväli ω = u /u = f /f = Suurennos = Kohteen kulmaläpimitan suhteellinen kasvu L = (f /f )D = D/ω = Lähtöpupilli = Okulaarin muodostama kuva objektiivista = Kaikki koottu valo kulkee lähtöpupillin läpi Minimisuurennos: Lähtöpupilli L pienempi kuin silmän pupillin läpimitta d 6 mm ω min D/d Kaikki koottu valo silmään

16 Kaukoputken optiikan perussuureet Kaukoputken optiikan perussuureet Erotuskyky = Miten läheisiä kohteita voidaan erottaa erillisinä. Määritelmä: Toisen kohteen keskipiste on toisen kohteen ensimmäisen pimeän diffraktio vyöhykkeen kohdalla θ sin θ = 1.22λ/D Käytännössä θ λ/d, missä [θ] = rad Keltaiselle valolle λ = m saadaan metrin, D = 1m, teleskoopilla erotuskyky θ = λ/d = rad = 0.11 Suuremmilla putkilla θ pienempi Seeing parhaimmissakin observatorioissa määrää todellisen erotuskyvyn rajan Visuaalihavainnot: Silmän erotuskyky e = 2 = rad sopiva Maksimisuurennos = ω max = u /u = e/θ = ed/λ Keltaiselle valolle λ = m saadaan metrin, D = 1m, teleskoopilla saadaan ω max = ed/λ 1000

17 Kuvausvirheet Kuvausvirheet Ideaalimailma: pistemäisten kohteiden kuvat pisteitä kaikkialla polttotasossa Aaltoliikettä Diffraktio raja θ λ/d Aberraatio: Mainittu aiemmin: Linssin polttoväli riippuu aallonpituudesta Palloaberraatio: Peilin tai linssin polttoväli muuttuu eri etäisyyksillä optisesta akselista Ei ongelma paraboloidi peileissä. Ongelma kaikissa linsseissä Täydellistä linssiä etsimässä www

18 Kuvausvirheet Kuvausvirheet @www.umich.edu) Koma: Ei optisen akselin suuntaiset säteet heijastuvat (peilit) tai taittuvat (linssit) eri alueille K = 3/16(D/f ) 2 β (Ross 1935, ApJ 81,156) Koman voimakkuus (D/f ) 2 Vähentyy: f kasvaa tai D pienenee (ei järkevää) Koman voimakkuus β, Missä β etäisyys optiselta akselilta Paras kuva lähellä optista akselia Laaja kuvakenttä Käytetään korjauslinssejä

19 Kuvausvirheet Kuvausvirheet @en.wikipedia.org) Astigmaattisuus: Linssi tai peili epäsymmetrinen optisen akselin suhteen Pystysuoran ja vaakasuoran tason säteilyn komponenttien polttopisteet poikkeavat Kuvan muoto erilainen eri etäisyyksillä (Objektiivin huono tuenta, sylinterin muotoinen) Kuvakentän kaarevuus: Petzvalin pinta www Alla Kepler satelliitin sensorien pinta Muita kuvausvirheitä kuvattu oppikirjassa

20 Kuvausvirheet Optiikan suunnittelu Optiikan suunnittelu Linssit: eri materiaalien yhdistelmät Peilit: pallo, paraboloidi hyperpoloidi,... jokin muu valittu mielivaltainen muoto Valittu D/f : Kuvavirheiden minimointi Esimerkiksi: K (D/f ) 2 D/f pienenee K pienenee Optisten elementtien määrä ja yhdistelmät Kaukoputket: osa virhelähteistä redusoitavissa jälkikäteen & rajattu kaista (pieni värivirhe) Suuret peilit: hinta, paino, valmistettavuus, kestävyys, lämpölaajeneminen,... Tietokoneet: Ennen valmistuksen aloittamista Säteen jäljitys (engl. Ray-tracing) Esimerkiksi: Hunajakenno (engl. honeycomb) rakenteen optiikka? www Esimerkiksi: Mitä maassa (D suurempi)? Mitä satelliitissa (D pienempi)?