34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics)"

Transkriptio

1 90 34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics) Omat kasvot kylpyhuoneen peilissä, kuu kaukoputken läpi katsottuna, kaleidoskoopin kuviot. Kaikki nämä ovat esimerkkejä optisista kuvista (images). Kuva muodostuu, kun esinepisteestä lähtevät säteet heijastumisten ja/tai taittumisten seurauksena konvergoituvat kuvapisteeseen. Kuvien syntymisen ymmärtämiseksi tarvitsemme vain valon sädemallin, heijastumis- ja taittumislain sekä yksinkertaista geometriaa ja trigonometriaa. Kuvan syntyä tutkimme siis ns. geometrisen optiikan approksimaatiossa Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa (Reflection and Refraction at a Plane Surface) Kuva voi muodostua myös tasomaisessa taittavassa pinnassa, kuten viereinen kuva osoittaa. Kummassakaan edellä esitetyssä tapauksessa säteet itse eivät kulje kuvapisteen kautta, vaan kuvan paikka voidaan hahmotella säteiden jatkeiden avulla. Säteen jatkeiden muodostamat kuvat ovat ns. valekuvia eli virtuaalisia kuvia (virtual images). 91 Jos kuva muodostuu itse säteiden leikatessa toisensa, kysymyksessä on ns. todellinen kuva (real image). Tarkastellaan nyt tarkemmin kuvan muodostumista heijastumisessa. Oleelliset säteet on piirretty viereisessä kuvassa. Esine (object) voi olla joko itsevalaiseva tai valaistu. Äärellisen kokoinen (äärellinen, extended) esine koostuu lukemattomista pistemäisistä esineistä (esinepisteistä, point object). Viereisessä kuvassa esinepisteestä P lähtevät säteet heijastuvat tasomaisesta peilipinnasta. Heijastumislain perusteella jokaisen säteen heijastuskulma on sama kuin sen tulokulma peilipintaan. Heijastumisen jälkeen jokainen säde näyttää tulevan peilin takaa pisteestä P. Tässä siis piste P on esinepiste ja piste P on ns. kuvapiste (image of point P). Esineen etäisyys kuvaavasta pinnasta (pisteestä V) on s Kuvan etäisyys kuvaavasta pinnasta (pisteestä V) on ' s Heijastuslain perusteella voidaan helposti päätellä, että kolmiot PVB ja P VB ovat yhdenmuotoisia. Tästä seuraa, että kuvapiste P sijaitsee täsmälleen yhtä kaukana peilin takana kuin esinepiste P sijaitsee peilin edessä.

2 Merkkisäänöt 9 Kuvausten laskeminen matemaattisesti vaatii sopimuksia etäisyyksien merkeistä. Seuraavat merkkisäännöt pätevät sekä taso- että pallopinnoille, jotka joko heijastavat tai taittavat säteitä. 1. Sääntö esineen etäisyydelle : Kun esine on samalla puolella pintaa kuin pintaan tulevat säteet, niin esineen etäisyys s on positiivinen, muutoin se on negatiivinen.. Sääntö kuvan etäisyydelle : Kun kuva on samalla puolella pintaa kuin pinnasta lähtevät säteet, niin kuvan etäisyys s ' on positiivinen, muutoin se on negatiivinen. 3. Sääntö pallopinnan kaarevuussäteelle : Kun pallopinnan kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet, niin kaarevuussäde on positiivinen, muutoin se on negatiivinen. Edellisen sivun kuvassa tasopeilistä tapahtuvassa heijastuksessa esine on samalla puolella kuin tulevat säteet, joten esineen etäisyys s on positiivinen. Kuvapiste puolestaan on eri puolella kuin lähtevät säteet, joten kuvan etäisyys s ' on negatiivinen. Tasopeilin kuvausyhtälöksi voimme siis kirjoittaa s= s'. (34.1) Tarkastellaan seuraavaksi äärellisen esineen kuvautumista tasopeilissä (kuva vieressä). Esineen (nuoli) korkeus on y. Jokainen äärel- 93 lisen esineen piste kuvautuu kuvapisteeksi, joista muodostuu äärellinen kuva. Tutkitaan nuolen kärjen (pisteen Q) kuvautumista. Kuvaan on piirretty kaksi pisteestä Q lähtevää sädettä, jotka heijastuttuaan jatkavat matkaa vasemmalle. Säteiden jatkeet yhtyvät pisteessä Q, jonne kuva muodostuu. Taas heijastumislain ja yhtenevien kolmioiden avulla näemme, että kuvan korkeus y on sama kuin esineen korkeus y, ts. y = y'. Kuvan korkeuden y ' suhdetta esineen korkeuteen y sanotaan (poikittaiseksi) suurennukseksi m (lateral magnification), siis y ' m =. (34.) y Tasopeilille laskimme edellä tuloksen y= y', joten suurennukseksi tulee yksi. Kun katsot kasvojasi peilistä, kuva on saman kokoinen kuin kasvosi. Edellisessä kuvassa kuvanuoli osoittaa samaan suuntaan kuin esinenuoli. Sanotaan, että kuva on oikein päin (erect). Tasopeilin suurennus on aina siis m = + 1, jossa (+)-merkki tarkoittaa oikeinpäin olevaa kuvaa. Kääntyneelle (inverted) kuvalle y ja y ' ovat vastakkaismerkkisiä ja siitä seuraten suurennus on negatiivinen. Kannattaa huomata, että peilikuvauksessa kuvan kätisyys on vastakkainen esineen kätisyyteen verrattuna. Esimerkiksi vasemman käden kuva on oikea käsi, kuten on osoitettu viereisessä kuvassa.

3 94 Tärkeä seikka, joka liittyy kaikkiin kuvauksiin on se, että yhden pinnan muodostama kuva voi toimia esineenä seuraavalle pinnalle. Esimerkiksi viereisessä kuvassa alkuperäinen esinepiste P kuvautuu kuvapisteeksi P 1 ' peilillä 1 ja toisaalta kuvapisteeksi P ' peilillä. Näiden kahden kuvapisteen lisäksi näkyvissä on kolmaskin kuvapistep 3 ', joka nyt on kuvapisteen P 1 ' kuva kuvattuna peilillä. Piste P 1 ' toimii siis esineenä kuvauksessa peilillä. 34. Heijastuminen pallopinnassa (Reflection at a Spherical Surface) Tarkastellaan seuraavaksi kuvan muodostamista heijastavalla pallopinnalla. Viereisessä kuvassa on esitetty kovera (concave) pallopinta. Pinnan kaarevuussäde on R, niin että kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pintaan tulevat säteet. Peilin huippupiste eli vertex on pisteessä V. Jana joka yhdistää pisteet C ja V on ns. optinen akseli (optic axis). Esinepiste P on nyt aluksi optisella akselilla ja oletetaan, että etäisyys PV on suurempi kuin R. Merkkisääntöjen perusteella s > 0, s ' > 0 ja R > Kuvapisteen paikka P saadaan selville soveltamalla heijastuslakia ja seuraavaa tasogeometrian tulosta: Kolmion kulmien summa on 180. Kolmiosta PBC kirjoitamme siis α + θ + (180 φ) = 180 ja kolmiosta CBP saamme φ + θ + (180 β) = 180. Sieventämällä tulee θ = φ α ja θ = β φ ja saamme siis α + β = φ. (34.3) Kuvan perusteella kirjoitamme myös tulokset h h h tanα =, tan β = ja tanφ = s δ s' δ R δ. Seuraavaksi tehdään tärkeä approksimaatio. Oletetaan, että säteiden etenemiskulmat, ts. poikkeamakulmat optisen akselin suunnasta ovat pieniä. Trigonometriset tangentit voidaan korvata suoraan argumenteillaan, joten saadaan h h h α =, β = ja φ =, s s ' R missä myös δ on jätetty pois hyvin pienenä. Kun nämä tulokset sijoitetaan kulmayhtälöön (34.3), tulee =. (34.4) s s' R Tulos on ns. paraksiaalisen approksimaation (myös ns. ensimmäisen kertaluvun approksimaation) mukainen kuvausyhtälö koveralle peilille. On muistettava, että kuvausyhtälö pätee vain säteille, jotka eivät poikkea paljon optisesta akselista. Paljon akselista poikkeavat säteet muodostavat kuvan eri paikkaan kuin mihin yhtälömme sen sijoittaisi. Tällöin puhutaan kuvausvirheestä nimeltä palloaberraatio. Esimerkiksi Hubblen peili kärsi aluksi (ennen korjausta) palloaberraatiosta.

4 96 Kun esinepiste on hyvin kaukana pallopeilistä ( s = ), tulevat säteet ovat paralleeleja ja kuvausyhtälöstä (34.4) saadaan = s' R R s ' =. Tilanne on esitetty viereisessä kuvassa (a). Paralleelit säteet konvergoituvat (fokusoituvat) pisteeseen F, joka on etäisyydellä R / peilistä. Piste F on ns. polttopiste (focal point). Polttopisteen etäisyys f peilistä on ns. polttoväli (focal length). Se on R f =. (34.5) Kuvassa (b) on esitetty käänteinen tilanne. Esine on polttopisteessä, ts. s= f = R/, ja 1 R + s' = R s ' =, eli kuva on äärettömyydessä. 97 y y' tanθ = =, s s' missä (-)-merkki tarvitaan, koska kuva on kääntynyt. Poikittaiseksi suurennukseksi tulee y' s' m = =. (34.7) y s Esimerkki: Kovera peili muodostaa lampun hehkulangasta kuvan peilistä 3,00 m:n päässä olevalle seinälle (kuva alla). Kuvausyhtälö (34.4) esitetään usein muodossa s + s' = f. (34.6) Seuraavan sivun kuvassa tarkastellaan äärellisen kokoisen esineen kuvautumista. Esine on nuoli, jonka toinen pää (P) on optisella akselilla ja toinen (Q) korkeudella y. Kuvanuoli on paikassa P ja sen korkeus P Q on y '. Kuva on konstruoitu kahden säteen avulla ja se on tässä tapauksessa kääntynyt. Hehkulanka, jonka korkeus on 5,00 mm on 10,0 cm:n etäisyydellä peilistä. (a) Laske peilin polttoväli ja kaarevuussäde. (b) Laske kuvan koko. Millainen kuva on kysymyksessä? Kolmioiden PVQ ja P V Q avulla voimme kirjoittaa

5 98 Viereisessä kuvassa tarkastellaan kuvan muodostuminen kuperassa (convex) peilissä. 99 Nyt kaarevuussäde R on siis negatiivinen. Paralleelit optisen akselin suuntaiset säteet eivät tässä tapauksessa leikkaa polttopisteessä vaan näyttävät tulevan sieltä heijastumisen jälkeen. Myös tässä Kaarevuuskeskipiste C ja peilistä lähtevät säteet ovat peilin vastakkaisilla puolilla, joten kaarevuussäde R on nyt negatiivinen. Kuvassa (a) myös kuvan etäisyys s ' on negatiivinen, mutta esineen etäisyys s on positiivinen. tapauksessa f on polttoväli, mutta pistettä F sanotaan virtuaaliseksi polttopisteeksi. Myös nyt pätee f = R /. Esimerkki: Kuperan peilin kaarevuussäde on 3,60 cm. Esine on 0,750 m:n päässä peilin edessä. Minne kuva muodostuu? Laske myös suurennus. Millaisesta kuvasta on kysymys? Kuva (b) esittää äärellisen kokoisen esineen kuvautumisen. Samanlainen tarkastelu kuin koveran peilin tapauksessa johtaa yhtälöihin (kotitehtävä) 1 1 s + s' = R ja y' s' m = =. y s Yhtälöt ovat täsmälleen samoja kuin koveralla peilillä. Peilikuvauksen graafinen analyysi (Graphical Methods for Mirrors) Edellisessä kappaleessa johdimme peileille kuvausyhtälöt, joilla kuvan paikka voidaan laskea. Kuvan paikka saadaan selville myös graafisilla menetelmillä. Periaate on, että määritetään esinepisteestä lähtevien säteiden, tai niiden jatkeiden, leikkauspiste. Kuva muodostuu tähän leikkauspisteeseen. Seuraavassa kuvassa on esitetty neljä sellaista sädettä, jotka tavallisesti voidaan piirtää helposti. Kuvapisteen paikan määrittämiseksi vähintään kaksi näistä säteistä on piirrettävä.

6 Taittuminen pallopinnassa (Refraction at a Spherical Surface) Myös taittava pallopinta toimii kuvaavana elementtinä. Seuraavassa kuvassa tarkastellaan kuvan muodostumista tällaisessa pinnassa. Kuvataan pistettä, joka ei ole optisella akselilla: 1. Optisen akselin suuntainen säde (tai sen jatke) kulkee heijastuksen jälkeen polttopisteen (tai virtuaalisen polttopisteen) kautta.. Polttopistettä (tai virtuaalista polttopistettä) kohti kulkeva säde kulkee heijastuksen jälkeen optisen akselin suuntaisena. 3. Kaarevuuskeskipistettä kohti kulkeva säde palaa heijastuksen jälkeen samaa reittiä takaisin. 4. Peilin huippupisteestä V heijastuvan säteen tulokulma ja heijastuskulma optisen akselin suhteen ovat samoja. Kuvassa kahden aineen rajapinta on pallopinta, jonka kaarevuussäde on R. Kaarevuuskeskipiste on samalla puolella kuin rajapinnasta lähtevät säteet, joten R on positiivinen. Säde PV osuu rajapintaan kohtisuorasti, joten se etenee materiaaliin b suoraan. Säde PB, joka muodostaa kulman α optisen akselin kanssa osuu rajapintaan tulokulmalla θ a ja taipuu materiaaliin b kulmassa θ b. Säteet leikkaavat kuvapisteessä P. Kuva on piirretty olettamalla na < nb ja sekä esineen etäisyys s että kuvan etäisyys s ' ovat positiivisia. Kolmiosta PBC kirjoitamme α + φ + (180 θ a ) = 180 ja kolmiosta P BC vastaavasti β + θ + (180 φ) = 180. Näistä saadaan b θa = α + φ ja φ = β + θb. (34.8)

7 10 Taittumislaki antaa puolestaan nasinθa = nbsinθb, ja kuvasta saamme tangenteille h h h tanα =, tan β = ja tanφ = (34.9) s + δ s' δ R δ Paraksiaalisessa approksimaatiossa molemmat kulmat θ a ja θ b ovat pieniä, joten taittumislaki voidaan kirjoittaa muodossa naθ a = nbθ b. Kun tämä yhdistetään ensimmäisen yhtälön (34.8) kanssa, saadaan na θb = ( α + φ). nb Kun tämä sitten sijoitetaan toiseen (34.8):n yhtälöön, tulee naα + nbβ = ( nb na) φ. (34.10) Seuraavaksi käytämme pienten kulmien approksimaatiota tangentteihin (34.9) ja kirjoitamme h h h α =, β = ja φ =. s s ' R Lopulta sijoittamalla nämä yhtälöön (34.10) saadaan kuvausyhtälöksi na nb nb na + =. (34.11) s s' R 103 Kolmioista PQV ja P Q V tulee y y ' tanθ a = ja tanθb =, s s' ja taittumislaki on nasinθa = nbsinθb. Kun kulmat ovat pieniä, niin pätee tan x sin x, joten saamme ny a ny b ' =, s s' ja lopulta sitten y' nas' m = =. (34.1) y n s Yhtälöitä (34.11) ja (34.1) voidaan käyttää sekä koverille että kuperille taittaville pinnoille, kunhan merkkisääntöjä sovelletaan asianmukaisesti. Esimerkki: Ilmassa olevan sylinterinmuotoisen lasisauvan taitekerroin on 1.5. Sauvan toinen pää on hiottu puolipallon muotoiseksi niin, että kaarevuussäde on,00 cm. Esine on 8,00 cm:n päässä sauvan edessä. (a) Laske kuvan paikka ja suurennus. b Suurennus saadaan seuraavan kuvan avulla: (b) Lasisauva upotetaan veteen (taitekerroin 1.33). Miten tilanne muuttuu?

8 104 Tärkeä erikoistapaus taittavasta rajapinnasta on tasopinta. Yhtälössä (34.11) on tällöin sijoitettava R =, joten kuvausyhtälöksi saadaan na nb + = 0. (34.13) s s' Suurennuksen yhtälö (34.1) antaa m = 1, ts. tasopinnan muodostama kuva on aina esineen kokoinen ja se on oikein päin. Esimerkki: Uima-altaan syvyys on,00 m. Kuinka syvältä se näyttää? Samalla tavalla pisteestä F 1 lähtevät säteet ohjautuvat optisen akselin suuntaisiksi läpäistyään linssin. Piste F 1 on linssin ensimmäinen polttopiste (first focal point) ja piste F linssin toinen polttopiste (second focal point). Etäisyys f linssin keskipisteestä polttopisteisiin on linssin polttoväli (focal length). Kokoavan linssin polttoväli on määritelty positiiviseksi ja tämän vuoksi tällaisia linssejä sanotaan myös positiivisiksi linsseiksi (positive lenses) Ohuet linssit (Thin Lenses) Linssi on ylivoimaisesti yleisin optinen laite, tasopeilin jälkeen. Yksinkertainen ohut linssi (thin lens) muodostuu kahdesta taittavasta pallopinnasta, jotka ovat niin lähellä toisiaan, että niiden välimatka voidaan approksimoida nollaksi. Linssin kuvausyhtälö johdetaankin edellisen kappaleen tulosten avulla. Tarkastellaan kuitenkin ensin linssin ominaisuuksia. Seuraavassa kuvassa on esitetty ns. kokoavaa linssiä (converging lens). Linssi kokoaa optisen akselin suuntaiset säteet kulkemaan pisteen F kautta. Kuvassa alla kokoava linssi muodostaa kuvan äärellisestä esineestä. Myös nyt esineen etäisyys on s ja kuvan etäisyys s '. Esineen ja kuvan korkeudet ovat y ja y '. Esineen kärjestä lähtevä optisen akselin suuntainen säde taipuu linssissä kulkemaan toisen polttopisteen F kautta. Linssin keskipisteen O kautta kulkeva säde etenee puolestaan suoraan. Näiden kahden säteen leikkauspisteeseen muodostuu nuolen kärjen kuva. Suorakulmaisten kolmioiden PQO ja P Q O avulla kirjoitamme

9 106 ' tan α = y y s = s' y' s' =, (34.14) y s missä (-)-merkki tarkoittaa sitä, että kuva on kääntynyt. Pienemmistä kolmioista OAF ja P' QF ' kirjoitamme puolestaan y y' y' s' f tan β = = =. (34.15) f s' f y f Yhdistämällä (34.14) ja (34.15) saadaan ohuen linssin kuvausyhtälö s + s' = f (34.16) ja tuloksesta (34.14) kirjoitetaan suurennukseksi s ' m =. (34.17) s Yhtälöt (34.16) ja (34.17) ovat ohuen linssin perusyhtälöitä ja kuten havaitaan, ne ovat täsmälleen samat kuin peilien yhtälöt. Edellä todetut (sivu 9) merkkisäännöt pätevät myös linsseille. Kokoavan linssin polttoväli on positiivinen. Viereisessä kuvassa tarkastellaan ns. hajottavaa linssiä (diverging lens). Linssiin optisen akselin suuntaisesti tulevat säteet hajoavat linssin läpi mentyään niin, että ne näyttävät tulevan toisesta polttopisteestä F. Vastaavasti kohti ensimmäistä polttopistettä F 1 tulevat säteet kääntyvät kulkemaan optisen akselin suuntaisesti. Hajottavan linssin polttoväli f on negatiivinen ja linssiä sanotaan myös negatiiviseksi linssiksi. 107 Linssien perusyhtälöt (34.16) ja (34.17) pätevät myös hajottaville linsseille. Viereisessä kuvassa on esitetty erilaisia linssityyppejä. Kuvan (a) linssit ovat meniscuslinssi, tasokupera linssi ja kaksoiskupera linssi. Kaikki nämä ovat keskeltä paksumpia kuin reunoilta. Tällaiset kuperat linssit ovat aina kokoavia eli positiivisia linssejä. Kuvan (b) linssit ovat kaikki keskeltä ohuempia kuin reunoilta. Ne ovat tyypeiltään meniscuslinssi, tasokovera linssi ja kaksoiskovera linssi. Tällaiset koverat linssit ovat aina hajottavia eli negatiivisia linssejä. On huomattava, että jos edellisen kuvan linssit siirretään väliaineeseen, jonka taitekerroin on suurempi kuin linssien taitekertoimet, niin kuvan (a) linssit muuttuvat hajottaviksi ja kuvan (b) linssit kokoaviksi linsseiksi. Linssintekijän yhtälö Linssintekijän yhtälöllä lasketaan linssin polttoväli, kun linssin taitekerroin n ja linssin pintojen kaarevuussäteet R 1 ja R tunnetaan. Yhtälö johdetaan soveltamalla taittavan pinnan kuvausyhtälöä siten, että linssin ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii esineenä linssin toiselle pinnalle. Seuraavan sivun kuvassa kaksi pallopintaa (linssi) erottaa toisistaan kolme eri väliainetta, joiden taitekertoimet ovat n a, n b ja n c. Esineen etäisyys ensimmäisestä pinnasta on s 1 ja ensimmäinen pinta muodostaa kuvan etäisyydelle s 1 '. Esineen ja kuvan etäisyydet toiselle pinnalle ovat s ja s '. Linssi oletetaan niin ohueksi, että

10 Kun tätä verrataan linssiyhtälöön (34.16) havaitaan, että ( n 1) = f R1 R. (34.19) Tämä tulos on ns. linssintekijän yhtälö (lensmakers equation). Kaarevuussäteiden merkkisääntöjen selventämiseksi viereisessä kuvassa tarkastellaan vielä esimerkkinä kaksoiskuperaa linssiä. välimatka t voidaan olettaa nollaksi muiden etäisyyksien rinnalla. Tällöin etäisyydet s 1 ' ja s ovat yhtä suuria, mutta vastakkaismerkkisiä (nyt siis esine toiselle pinnalle on ns. vale-esine). Voidaan siis kirjoittaa s = s 1 '. Käytetään taittavan pinnan kuvausyhtälöä (34.11) kaksi kertaa peräkkäin: na nb nb na + =, s s ' R nb nc nc nb + =. s s ' R Tavallisesti linssiä ympäröi molemmilta puolilta ilma, ts. taitekertoimille pätee na = nc = 1. Merkitään lisäksi linssin taitekerrointa nb = n. Sijoittamalla nämä ja tulos s = s 1 ' edelliseen yhtälöpariin saadaan 1 n n 1 + =, s s ' R n 1 1 n + =. s ' s ' R 1 Lasketaan nämä yhteen, jolloin ( n 1) + = s1 s' R1 R. Ensimmäisen pinnan kaarevuussäde R 1 on positiivinen, koska sen kaarevuuskeskipiste C 1 on samalla puolella kuin linssistä lähtevät säteet. Toisen pinnan kaarevuussäde R on negatiivinen, koska sen kaarevuuskeskipiste C on eri puolella kuin linssistä lähtevät säteet. Esimerkki: Ohuen linssin molemmat kaarevuussäteet ovat 10 cm ja sen taitekerroin on 1,5. Laske polttoväli, kun linssi on (a) kaksoiskupera ja (b) kaksoiskovera. (c) Laske polttoväli, jos linssi on tasokupera, ts. toinen (ensimäinen) kaarevuussäteistä on ääretön.

11 110 Linssikuvauksen graafinen analyysi (Graphical Methods for Lenses) 111 Myös linssin muodostaman kuvan paikka voidaan määrittää graafisesti tarkastelemalla muutamia sopivasti valittuja säteitä. Kuva sijaitsee linssin läpäisseiden säteiden (tai niiden jatkeiden) leikkauspisteessä. Seuraavassa kuvassa on esitetty kolme helposti piirrettävää sädettä: Esimerkki: Käytettävissäsi on hajottava linssi, jonka polttoväli on 0,0 cm. Haluat muodostaa linssillä oikeinpäin olevan valekuvan, jonka korkeus on kolmasosa esineen korkeudesta. Mihin sijoitat esineen? Piirrä kuva. Kuvataan pistettä, joka ei ole optisella akselilla: 1. Optisen akselin suuntainen säde kulkee linssin jälkeen suuntaan, joka sisältää toisen polttopisteen F.. Linssin keskeltä kulkeva säde etenee suoraan. 3. Ensimmäisen polttopisteen F 1 suuntaan etenevä säde kulkee linssin jälkeen optisen akselin suuntaisesti. Seuraavissa kuvissa on esitettu muutamia esimerkkejä kokoavan linssin graafisesta analyysistä esineen ollessa eri etäisyyksillä: Esimerkki: Esine, jonka korkeus on 8,0 cm, sijoitetaan 1,0 cm:n päähän vasemmalle kokoavasta linssistä, jonka polttoväli on 8,0 cm. Toinen kokoava linssi (polttoväli 6,0 cm) sijoitetaan ensimmäisestä linssistä 1,0 cm oikealle samalle optiselle akselille. Laske systeemin muodostaman kuvan paikka, koko ja orientaatio Kamerat (Cameras and Projectors) Kameran (camera) peruselementit ovat kokoava linssi, pimeä laatikko (kamera on latinaa ja tarkoittaa suljettua huonetta), valoherkkä filmi ja sulkija, jonka avulla säädetään filmille pääsevän valon määrää.

12 11 Laadukkaat kameran linssit ovat useiden linssien muodostamia linssikombinaatiosta, joilla voidaan korjata erilaisia kuvausvirheitä ja väripoikkeamia. Yksittäisen linssin taitekerroinhan ja sitäkautta polttoväli riippuu aallonpituudesta. Klassinen kameran linssi on ns. Zeiss (tai Tessar) kombinaatio, joka on esitetty edellisessä kuvassa. Kun kamera on oikein säädetty, linssin muodostama kuva syntyy terävänä filmin pinnalle. Kokoavan linssin muodostama kuva on sitä lähempänä linssiä mitä kauempana kuvattava kohde on. Kamerassa on siis pystyttävä säätämään linssin etäisyyttä filmistä. Linssin polttovälin valinta riippuu filmin koosta ja siitä, millainen näkökulma (angle of view) halutaan. Viereisessä kuvassa kameralla otetaan kolme valokuvaa patsaasta käyttäen erilaisia polttovälejä. Filminä käytetään ns. 35-mm:n filmiä, jonka kuva-alue on 4 mm 36 mm. Näkökulmat vastaavat filmin diagonaalin kokoa. Pitkä polttoväli ( f = 300 mm) johtaa kapeaan näkökulmaan (8 ) mutta samalla suureen kuvakokoon. Patsas näyttää siis olevan lähellä. Pitkäpolttoväliset kameran linssit ovat ns. kaukoobjektiivejä (telephoto lens). Lyhyt polttoväli ( f = 8 mm) johtaa leveään näkökulmaan (75 ) mutta samalla pieneen kuvakokoon. Patsas näkyy kuvassa pienenä ja näyttää siis olevan kaukana. Lyhyen polttovälin linssejä sanotaan laajakulmalinsseiksi (wide-angle lens). 113 Esimerkki: Kameran linssin polttoväli on f. Osoita, että näkökulma on kääntäen verrannollinen polttoväliin ja laske näkökulma, kun f = 105 mm ja filminä käytetään 35-mm:n filmiä. Kuvan onnistumiseksi filmille tulevan valomäärän on oltava oikea. Valotusta (exposure) kontrolloidaan linssin aukon koolla (aperture) ja sulkijalla (shutter). Sulkija kontrolloi aikaa, jona valoa pääsee linssille. Tavallisesti nämä ns. valotusajat on säädettävissä yhdestä sekunnista aina yhteen tuhannesosasekuntiin. Filmille tuleva intensiteetti (kun sulkija on auki) on verrannollinen linssin näkemään pinta-alaan ja linssin aukon kokoon. Linssin näkemä pinta-ala on puolestaan verrannollinen näkökulman (ks. esimerk- ki edellä) neliöön, ts. 1/ f :een. Linssin aukon efektiivistä kokoa säädetään himmentimellä (diaphragm), jonka halkaisijaa D voidaan säätää (kuva). Linssin aukon pinta-ala on siten verrannollinen D :een. Yhdistämällä edelliset intensiteettiin vaikuttavat tekijät, havaitaan, että filmille tuleva intensiteetti on verrannollinen suhteeseen ( D / f ). Edellisen perusteella linssin valonkeräyskykyä kuvataan ns. f- luvulla (f-number), joka määritellään suhteena f f luku =. (34.0) D Esimerkiksi, jos linssin polttoväli on 50 mm ja aukon halkaisija 5 mm, niin linssin f-luku on. Linssi on ns. f / linssi.

13 114 Linssin efektiivisen halkaisijan kasvattaminen tekijällä muuttaa f lukua tekijällä 1/ ja kasvattaa filmille tulevaa intensiteettiä tekijällä. Kameran linssin f luku on tavallisesti säädettävissä seuraavin pykälin: f /, f /.8, f /4, f /5.6, f /8, f /11, ja niin edelleen. Seuraava f luku saadaan siis aina edellisestä tekijällä. Filmin kokonaisvalotus on tietysti riippuvainen f luvun lisäksi valotusajasta. Esimerkiksi kombinaatiot f /4 ja 1/500 s, f /5.6 ja 1/50 s sekä f /8 ja 1/15 s johtavat kaikki samaan valotukseen. Esimerkki: Kameran kauko-objektiivin polttoväli on 00 mm ja sen f luku on säädettävissä f /5.6:sta f /45: een. (a) Laske vastaavat efektiiviset halkaisijat. (b) Laske ääritapausten intensiteettien suhde Silmä (The Eye) Silmän toiminta muistuttaa kameran toimintaa. Se rakenne on esitetty seuraavassa kuvassa. Silmämuna on lähes pallo, jonka halkaisija on noin,5 cm. Etuosassa on kova läpinäkyvä kalvo, ns. sarveiskalvo (cornea). Sarveiskalvon takana on etukammio, joka sisältää ns. kammiovettä (aqueous humor) ja sen takana on silmän linssi eli mykiö (crystalline lens). Linssiä pitää paikoillaan lihaksisto, ns. sädelihakset (ciliary muscle), jotka voivat muuttaa linssin muotoa. Linssin jälkeen silmä on täynnä hyytelömäistä nestettä, ns. lasiaisnestettä (vitreous humor). 115 Kammionesteen ja lasiaisnesteen taitekertoimet ovat molemmat noin 1,336 eli lähellä veden taitekerrointa. Linssin keskimääräinen taitekerroin on noin 1,437, joten se ei poikkea kovin paljon sitä ympäröivien nesteiden taitekertoimista. Tästä seuraa, että tärkein silmään saapuvan säteen taittuminen tapahtuu ilmasarveiskalvo rajapinnassa, eikä suinkaan itse linssissä. Taittuminen ilma-sarveiskalvokalvo rajapinnassa sekä linssin rajapinnoissa muodostaa todellisen, väärinpäin olevan kuvan valoherkälle verkkokalvolle (retina). Verkkokalvo vastaa kameran filmiä. Verkkokalvon tappi- ja sauvasolut (rods and cones) toimivat valodetektoreina ja lähettävät kuvan sähköisessä muodossa näköhermoa (optic nerve) pitkin aivojen käsiteltäväksi. Linssin edessä on ns. värikalvo eli iiris, jonka keskellä olevasta pyöreästä aukosta eli pupillista valo pääsee silmään. Pupillin koko muuttuu valon kirkkauden mukaan ts. se säätää silmään pääsevän valon intensiteettiä. Jotta esine nähtäisiin tarkasti, kuvan on muodostuttava täsmälleen verkkokalvolle. Silmä mukautuu eri esineen etäisyyksille s muuttamalla linssin polttoväliä f. Linssi-verkkokalvo etäisyys ei muutu. Normaalissa silmässä äärettömyydessä olevan esineen kuva muodostuu verkkokalvolle, kun linssin sädelihakset (mukauttajalihakset) ovat levossa. Lähempänä olevien esineiden tarkkaa näkemistä varten mukauttajalihakset jännittyvät ja muuttavat linssin pintojen

14 116 kaarevuussäteitä niin, että linssin polttoväli lyhenee. Tätä sanotaan silmän mukautumiseksi (accommodation). Näkemisen etäisyyden äärirajat ovat ns. kaukopiste (far point) ja ns. lähipiste (near point). Normaalin silmän kaukopiste on äärettömyydessä, mutta lähipisteen etäisyys riippuu siitä, miten paljon mukauttajalihakset pystyvät muuttamaan linssin kaarevuussäteitä. Silmän mukautumiskyky heikkenee iän mukana, koska linssi kasvaa koko ajan (se on noin 50% suurempi 60 vuotiailla kuin 0 vuotiailla). Mukauttajalihakset eivät pysty käsittelemään suurta linssiä yhtä helposti kuin pientä. Mukautumiskyvyn heikkenemistä sanotaan vanhuusnäöksi (presbyopia). Lähipiste 10 vuotiailla on noin 7 cm:n etäisyydellä, 30 vuotiailla noin 15 cm:n etäisyydellä ja 50 vuotiailla noin 40 cm:n etäisyydellä. Viereisessä kuvassa on esitetty tavallisimmat näkövirheet. Kuvassa (a) on normaali silmä, jossa kuva muodostuu tarkasti verkkokalvolle. Kuvan (b) silmä on ns. likinäköinen (myopic) silmä. Silmämuna on polttoväliin nähden liian pitkä, joten kaukana olevan esineen terävä kuva muodostuu verkkokalvon eteen. 117 Näön korjaamiseen tarkoitettujen linssien taittovoimakkuutta kuvataan metreinä annetun polttovälin käänteisarvolla. Voimakkuuden yksikkö on diopteri (diopter). Esimerkiksi, jos linssin polttoväli on f = 0,50 m, niin sen voimakkuus on,0 diopteria. Jos f = 0,5 m, niin voimakkuus on 4,0 diopteria. Esimerkki: Pitkänäköisen silmän lähipiste on 100 cm:n päässä silmän edessä. Millaiset piilolinssit tarvitaan, jotta 5 cm:n etäisyydellä oleva esine näkyisi tarkasti? Esimerkki: Likinäköisen silmän kaukopiste on 50 cm:n päässä silmän edessä. Millaiset silmälasit tarvitaan, jotta äärettömyydessä oleva esine näkyisi tarkasti? Oletetaan, että silmälaseja pidetään cm:n etäisyydellä silmästä Suurennuslasi (The Magnifier) Esineen näennäinen koko määräytyy verkkokalvolle muodostuvan kuvan koosta. Paljaalla silmällä katsottuna tämä koko riippuu siitä, minkä kokoisessa kulmassa θ esine näkyy, kuva (a) alla. Pitkänäköisessä (hyperopic) silmässä (c) silmämuna on polttoväliin nähden liian lyhyt ja terävä kuva muodostuu verkkokalvon taakse. Näkövirheitä voidaan korjata silmän eteen asetettavalla linssillä. Likinäköisyyttä korjataan hajottavalla linssillä ja pitkänäköisyyttä kokoavalla linssillä (ks. esimerkit myöhemmin). Kun pientä esinettä katsotaan tarkasti se tavallisesti tuodaan lähelle silmää niin, että esineen kulmakoko (angular size) on suurempi. Sil-

15 118 mä pystyy kuitenkin mukautumaan vain lähipisteeseen saakka, joka jatkossa oletetaan olevan 5 cm:n etäisyydellä (standardi-ihmisen lähipiste). Paljaalla silmällä kulmakokoa ei siis saada kovin suureksi. Kokoavan linssin avulla esineestä voidaan muodostaa valekuva, joka on suurempi ja kauempana silmästä kuin esine itse. Tällöin esine voidaan tuoda lähemmäksi silmää ja kulmakoko saadaan huomattavasti suuremmaksi kuin ilman linssiä 5 cm:n päässä olevan esineen kulmakoko. Näin käytettävää linssiä sanotaan suurennuslasiksi (magnifier) Suurennuslasilla virtuaalinen kuva muodostetaan tavallisesti äärettömyyteen, jolloin mukauttajalihakset ovat levossa ja kuvaa on helppo katsoa. Kuvassa (a) edellisellä sivulla esine on lähipisteessä ja se muodostaa kulman θ. Kuvassa (b) silmän edessä oleva suurennuslasi muodostaa kuvan äärettymyyteen ( s ' = ) ja kulmakoko on θ '. Esine on linssistä polttovälin päässä, ts. s= f, koska kuva muodostuu äärettömyyteen. Suurennuslasin kulmasuurennus M (angular magnification) määritellään ' M = θ. (34.) θ Edellisten tarkastelujen (ja kuvan) perusteella kirjoitamme y y θ = ja θ ' =. 5 cm f Kulmasuurennukseksi saamme siis y/ f 5cm M = =. (34.) y /5cm f 119 Esimerkki: Käytettävissäsi on kaksi linssiä, kaksoiskupera ja kaksoiskovera, joiden molempien polttoväli on 10.0 cm. Kumpaa linssiä voit käyttää suurennuslasina ja mikä on kulmasuurennus Mikroskoopit ja kaukoputket (Microscopes and telescopes) Suurennuslasin kulmasuurennusta voidaan kasvattaa lyhentämällä polttoväliä. Tällöin kuitenkin linssin kuvausvirheet tulevat merkittäviksi. Suurin käytännössä saavutettava kulmasuurennus on luokkaa 3 tai 4. Suuremman suurennuksen aikaansaamiseksi tarvitaan mikroskooppia. Mikroskoopin oleelliset elementit on esitetty viereisessä kuvassa. Laite koostuu periaatteessa kahdesta linssistä, joista esineen lähellä oleva linssi on ns. objektiivi (objective) ja silmän lähellä oleva linssi on ns. okulaari (eyepiece). Esine O asetetaan objektiivista vähän kauemmaksi kuin missä polttopiste F 1 on, jolloin objektiivi muodostaa esineestä suurennetun todellisen kuvan I. Okulaari toimii suurennuslasina, jolla välikuvaa I katsotaan.

16 10 Okulaari muodostaa kuvan I, joka voi sijaita missä tahansa lähipisteen ja kaukopisteen välillä. Jos välikuva säädetään okulaarin polttopisteeseen F ' 1, niis kuva I muodostuu kaukopisteeseen (äärettömyyteen) ja sitä on helppo katsoa. 11 Kaukoputki eroaa mikroskoopista siinä, että sillä katsotaan kaukana (äärettömyydessä) olevia suuria esineitä. Toinen ero on se, että kaukoputkessa objektiivilinssi voidaan korvataan kuperalla peilillä. Mikroskoopin suurennus muodostuu kahdesta tekijästä, nimittäin objektiivin poikittaisesta suurennuksesta m 1 ja okulaarin kulmasuurennuksesta M. Ensimmäinen näistä lasketaan kuvan mukaisesti s1 ' m1 =, s1 missä s 1 on esineen O etäisyys ja s 1 ' kuvan I etäisyys objektiivista. Todellisuudessa esine on hyvin lähellä polttopistettä F 1, joten voidaan kirjoittaa m1 = s1'/ f1, missä f 1 on objektiivin polttoväli. Todellinen välikuva I on hyvin lähellä okulaarin polttopistettä F 1 ', joten (34.):n mukaan kulmasuurennukseksi saadaan (5cm) M =, f missä f on okulaarin polttoväli. Mikroskoopin kokonaiskulmasuurennukseksi lasketaan (5 cm) s1 ' M = m1 M =. (34.3) ff 1 Tulos (34.3) osoittaa, että lopullinen kuva on kääntynyt verrattuna esineeseen ja että mikroskoopin suurennusta voidaan kasvattaa lyhentämällä objektiivin ja okulaarin polttovälejä. Kaukoputket (Telescopes) Kuten mikroskoopissa, niin myös kaukoputkessa objektiivi muodostaa välikuvan, jota katsotaan okulaarilla kuten suurennuslasilla. Tähtitieteellisen kaukoputken (astronomical telescope) periaatekuva on esitetty yllä. Objektiivi muodostaa käytännössä äärettömyydessä olevasta esineestä todellisen välikuvan I hyvin lähelle omaa polttotasoaan, siis lähelle pistettä F. Tätä kuvaa katsotaan okulaarilla ja jos lopullinen kuva I halutaan äärettömyyteen (helppo katsoa), niin välikuva I on myös okulaarin polttopisteessä F 1 '. Objektiivin ja okulaarin polttopisteet yhtyvät ja linssien etäisyydeksi toisistaan tulee f1+ f. Kaukoputken kulmasuurennus M määritellään suhteena M = θ '/ θ, missä θ ' on se kulma, jossa lopullinen kuva nähdään ja θ se kulma, jossa esine nähtäisiin ilman kaukoputkea, ks. kuva yllä. Kuvan kolmioista saadaan y ' y ' θ = ja θ ' =, f f 1

17 1 ja kaukoputken kulmasuurennukseksi lasketaan y'/ f f1 M = =. (34.4) y'/ f f 1 Tähtitieteellisen kaukoputken kuva on siis kääntynyt ja suuren kulmasuurennuksen kaukoputkessa objektiivin polttoväli on pitkä ja okulaarin lyhyt. Tähtitieteellisessä kaukoputkessa kuvan kääntyminen ei ole ongelma. Maakaukoputkissa (kiikareissa yms.) kuva ei saa kääntyä. Asia hoidetaan esimerkiksi Porro-prismoilla viereisen kuvan mukaisesti. Peilikaukoputkessa objektiivilinssi korvataan koveralla peilillä. Peilikaukoputken yksi selkeä etu on siinä, että peilikuvauksessa ei synny värivirheitä (ei ole taitekerrointa, jonka arvo riippuisi aallonpituudesta). Myös peilin palloaberraatio on helpompi korjata kuin linssien palloaberraatio. Usein peilikaukoputken peili on parabolinen. Yllä erilaisia peilikaukoputkiratkaisuja. Jos kaukoputkella halutaan valokuvata (tai filmata) kohdetta, niin okulaari poistetaan ja filmi asetetaan objektiivin muodostaman todellisen kuvan kohdalle. Useimmissa nykyisin käytössä olevissa peilikaukoputkissa ei ole koskaan käytetty okulaaria.

34. Geometrista optiikkaa

34. Geometrista optiikkaa 34. Geometrista optiikkaa 34. Kuvan muodostuminen 2 Lähtökohta: Pistemäisestä esineestä valonsäteet lähtevät kaikkiin suuntiin. P P 3 s s Arkihavainto: Tasopeili muodostaa kuvan heijastamalla esineen pisteistä

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0 PEILIT KOVERA PEILI JA KUPERA PEILI: r = PEILIN KAAREVUUSSÄDE F = POLTTOPISTE eli focus f = POLTTOVÄLI eli polttopisteen F etäisyys pelin keskipisteestä; a = esineen etäisyys peilistä b = kuvan etäisyys

Lisätiedot

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6 FYSI040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus / 6 Laskuharjoitus 2. Halogeenilampun käyttöhyötysuhde on noin 6 lm/w. Laske sähköiseltä ottoteholtaan 60 watin halogenilampun tuottama: (a) Valovirta. (b) Valovoima

Lisätiedot

Teoreettisia perusteita I

Teoreettisia perusteita I Teoreettisia perusteita I - fotogrammetrinen mittaaminen perustuu pitkälti kollineaarisuusehtoon, jossa pisteestä heijastuva valonsäde kulkee suoraan projektiokeskuksen kautta kuvatasolle - toisaalta kameran

Lisätiedot

Valo, valonsäde, väri

Valo, valonsäde, väri Kokeellista fysiikkaa luokanopettajille Ari Hämäläinen kevät 2005 Valo, valonsäde, väri Näkeminen, valonlähteet Pimeässä ei ole valoa, eikä pimeässä näe. Näkeminen perustuu esineiden lähettämään valoon,

Lisätiedot

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen.

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Geometrinen optiikka 3. Optiikka Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka (kuva: @www.goldastro.com) Ei huomioi, että valo on aaltoliikettä

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto 5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 8.5.014, malliratkaisut Kalle ja Anne tekivät fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla jäällä.

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Interferenssi. Luku 35. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun

Interferenssi. Luku 35. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun Luku 35 Interferenssi PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Interferenssi-ilmiö tapahtuu, kun kaksi aaltoa yhdistyy

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

VALONTAITTOMITTARIN KÄYTTÖ

VALONTAITTOMITTARIN KÄYTTÖ VALONTAITTOMITTARIN KÄYTTÖ MERKITSE KUVAAN VALONTAITTOMITTARIN OSAT. 1. Okulaarin säätörengas 2. Asteikkorengas 3. Käyttökatkaisin 4. Linssipitimen vapautin 5. Linssialusta 6. Linssipidin 7. Linssipöytä

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Optiikkaa. () 10. syyskuuta 2008 1 / 66

Optiikkaa. () 10. syyskuuta 2008 1 / 66 Optiikkaa Kaukoputki on oikeastaan varsin yksinkertainen optinen laite. Siihen liitettävissä mittalaitteissa on myös optiikkaa, joskus varsin mutkikastakin. Vaikka havaitsijan ei tarvitsekaan tietää, miten

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Fysiikan perusteet 3 Optiikka

Fysiikan perusteet 3 Optiikka Fysiikan perusteet 3 Optiikka Petri Välisuo petri.valisuo@uva.fi 27. tammikuuta 2014 1 FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 2 / 37 Sisältö 1 Heijastuminen ja taittuminen 4 1.1 Joitain hyödyllisiä

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen AIHEITA Etäisyysmittaus stereokuvaparilla Esimerkki: "TKK" Esimerkki: "Ritarihuone"

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

FY3: Aallot. Kurssin arviointi. Ryhmätyöt ja Vertaisarviointi. Itsearviointi. Laskennalliset ja käsitteelliset tehtävät

FY3: Aallot. Kurssin arviointi. Ryhmätyöt ja Vertaisarviointi. Itsearviointi. Laskennalliset ja käsitteelliset tehtävät FY3: Aallot Laskennalliset ja käsitteelliset tehtävät Ryhmätyöt ja Vertaisarviointi Itsearviointi Kurssin arviointi Kurssin arviointi koostuu seuraavista asioista 1) Palautettavat tehtävät (20 %) 3) Itsearviointi

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne 4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee

Lisätiedot

Sädeoptiikka Taittuminen ja kuvanmuodostus

Sädeoptiikka Taittuminen ja kuvanmuodostus Sädeoptiikka Taittuminen ja kuvanmuodostus Oiva Utriainen Raportti 5 Didaktisen fysiikan opintokokonaisuus DFCL3 26.11.2001 Ohjaaja Ari Hämäläinen Fysikaalisten tieteiden laitos Helsingin yliopisto 2 1

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA

FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 JOHDANTO Työssä tutustutaan hila- ja prismaspektrometreihin, joiden avulla tutkitaan valon taipumista hilassa ja taittumista prismassa. Samalla tutustutaan eräiden

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Linssin kuvausyhtälö (ns. ohuen linssin approksimaatio):

Linssin kuvausyhtälö (ns. ohuen linssin approksimaatio): Fysiikan laboratorio Työohje 1 / 5 Optiikan perusteet 1. Työn tavoite Työssä tutkitaan valon kulkua linssisysteemeissä ja perehdytään interferenssi-ilmiöön. Tavoitteena on saada perustietämys optiikasta

Lisätiedot

SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA

SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA FYSA234/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 Johdanto Kvanttimekaniikan mukaan atomi voi olla vain tietyissä, määrätyissä energiatiloissa. Perustilassa, jossa atomi normaalisti on, energia on pienimmillään.

Lisätiedot

LÄPINÄKYVYYS JA HEIJASTUMINEN MALLINNUKSESSA

LÄPINÄKYVYYS JA HEIJASTUMINEN MALLINNUKSESSA LÄPINÄKYVYYS JA HEIJASTUMINEN MALLINNUKSESSA LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU Mediatekniikan koulutusohjelma Teknisen visualisoinnin suuntautumisvaihtoehto Opinnäytetyö 9.5.2006 Ville Helppi Lahden ammattikorkeakoulu

Lisätiedot