34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics)"

Transkriptio

1 90 34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics) Omat kasvot kylpyhuoneen peilissä, kuu kaukoputken läpi katsottuna, kaleidoskoopin kuviot. Kaikki nämä ovat esimerkkejä optisista kuvista (images). Kuva muodostuu, kun esinepisteestä lähtevät säteet heijastumisten ja/tai taittumisten seurauksena konvergoituvat kuvapisteeseen. Kuvien syntymisen ymmärtämiseksi tarvitsemme vain valon sädemallin, heijastumis- ja taittumislain sekä yksinkertaista geometriaa ja trigonometriaa. Kuvan syntyä tutkimme siis ns. geometrisen optiikan approksimaatiossa Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa (Reflection and Refraction at a Plane Surface) Kuva voi muodostua myös tasomaisessa taittavassa pinnassa, kuten viereinen kuva osoittaa. Kummassakaan edellä esitetyssä tapauksessa säteet itse eivät kulje kuvapisteen kautta, vaan kuvan paikka voidaan hahmotella säteiden jatkeiden avulla. Säteen jatkeiden muodostamat kuvat ovat ns. valekuvia eli virtuaalisia kuvia (virtual images). 91 Jos kuva muodostuu itse säteiden leikatessa toisensa, kysymyksessä on ns. todellinen kuva (real image). Tarkastellaan nyt tarkemmin kuvan muodostumista heijastumisessa. Oleelliset säteet on piirretty viereisessä kuvassa. Esine (object) voi olla joko itsevalaiseva tai valaistu. Äärellisen kokoinen (äärellinen, extended) esine koostuu lukemattomista pistemäisistä esineistä (esinepisteistä, point object). Viereisessä kuvassa esinepisteestä P lähtevät säteet heijastuvat tasomaisesta peilipinnasta. Heijastumislain perusteella jokaisen säteen heijastuskulma on sama kuin sen tulokulma peilipintaan. Heijastumisen jälkeen jokainen säde näyttää tulevan peilin takaa pisteestä P. Tässä siis piste P on esinepiste ja piste P on ns. kuvapiste (image of point P). Esineen etäisyys kuvaavasta pinnasta (pisteestä V) on s Kuvan etäisyys kuvaavasta pinnasta (pisteestä V) on ' s Heijastuslain perusteella voidaan helposti päätellä, että kolmiot PVB ja P VB ovat yhdenmuotoisia. Tästä seuraa, että kuvapiste P sijaitsee täsmälleen yhtä kaukana peilin takana kuin esinepiste P sijaitsee peilin edessä.

2 Merkkisäänöt 9 Kuvausten laskeminen matemaattisesti vaatii sopimuksia etäisyyksien merkeistä. Seuraavat merkkisäännöt pätevät sekä taso- että pallopinnoille, jotka joko heijastavat tai taittavat säteitä. 1. Sääntö esineen etäisyydelle : Kun esine on samalla puolella pintaa kuin pintaan tulevat säteet, niin esineen etäisyys s on positiivinen, muutoin se on negatiivinen.. Sääntö kuvan etäisyydelle : Kun kuva on samalla puolella pintaa kuin pinnasta lähtevät säteet, niin kuvan etäisyys s ' on positiivinen, muutoin se on negatiivinen. 3. Sääntö pallopinnan kaarevuussäteelle : Kun pallopinnan kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet, niin kaarevuussäde on positiivinen, muutoin se on negatiivinen. Edellisen sivun kuvassa tasopeilistä tapahtuvassa heijastuksessa esine on samalla puolella kuin tulevat säteet, joten esineen etäisyys s on positiivinen. Kuvapiste puolestaan on eri puolella kuin lähtevät säteet, joten kuvan etäisyys s ' on negatiivinen. Tasopeilin kuvausyhtälöksi voimme siis kirjoittaa s= s'. (34.1) Tarkastellaan seuraavaksi äärellisen esineen kuvautumista tasopeilissä (kuva vieressä). Esineen (nuoli) korkeus on y. Jokainen äärel- 93 lisen esineen piste kuvautuu kuvapisteeksi, joista muodostuu äärellinen kuva. Tutkitaan nuolen kärjen (pisteen Q) kuvautumista. Kuvaan on piirretty kaksi pisteestä Q lähtevää sädettä, jotka heijastuttuaan jatkavat matkaa vasemmalle. Säteiden jatkeet yhtyvät pisteessä Q, jonne kuva muodostuu. Taas heijastumislain ja yhtenevien kolmioiden avulla näemme, että kuvan korkeus y on sama kuin esineen korkeus y, ts. y = y'. Kuvan korkeuden y ' suhdetta esineen korkeuteen y sanotaan (poikittaiseksi) suurennukseksi m (lateral magnification), siis y ' m =. (34.) y Tasopeilille laskimme edellä tuloksen y= y', joten suurennukseksi tulee yksi. Kun katsot kasvojasi peilistä, kuva on saman kokoinen kuin kasvosi. Edellisessä kuvassa kuvanuoli osoittaa samaan suuntaan kuin esinenuoli. Sanotaan, että kuva on oikein päin (erect). Tasopeilin suurennus on aina siis m = + 1, jossa (+)-merkki tarkoittaa oikeinpäin olevaa kuvaa. Kääntyneelle (inverted) kuvalle y ja y ' ovat vastakkaismerkkisiä ja siitä seuraten suurennus on negatiivinen. Kannattaa huomata, että peilikuvauksessa kuvan kätisyys on vastakkainen esineen kätisyyteen verrattuna. Esimerkiksi vasemman käden kuva on oikea käsi, kuten on osoitettu viereisessä kuvassa.

3 94 Tärkeä seikka, joka liittyy kaikkiin kuvauksiin on se, että yhden pinnan muodostama kuva voi toimia esineenä seuraavalle pinnalle. Esimerkiksi viereisessä kuvassa alkuperäinen esinepiste P kuvautuu kuvapisteeksi P 1 ' peilillä 1 ja toisaalta kuvapisteeksi P ' peilillä. Näiden kahden kuvapisteen lisäksi näkyvissä on kolmaskin kuvapistep 3 ', joka nyt on kuvapisteen P 1 ' kuva kuvattuna peilillä. Piste P 1 ' toimii siis esineenä kuvauksessa peilillä. 34. Heijastuminen pallopinnassa (Reflection at a Spherical Surface) Tarkastellaan seuraavaksi kuvan muodostamista heijastavalla pallopinnalla. Viereisessä kuvassa on esitetty kovera (concave) pallopinta. Pinnan kaarevuussäde on R, niin että kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pintaan tulevat säteet. Peilin huippupiste eli vertex on pisteessä V. Jana joka yhdistää pisteet C ja V on ns. optinen akseli (optic axis). Esinepiste P on nyt aluksi optisella akselilla ja oletetaan, että etäisyys PV on suurempi kuin R. Merkkisääntöjen perusteella s > 0, s ' > 0 ja R > Kuvapisteen paikka P saadaan selville soveltamalla heijastuslakia ja seuraavaa tasogeometrian tulosta: Kolmion kulmien summa on 180. Kolmiosta PBC kirjoitamme siis α + θ + (180 φ) = 180 ja kolmiosta CBP saamme φ + θ + (180 β) = 180. Sieventämällä tulee θ = φ α ja θ = β φ ja saamme siis α + β = φ. (34.3) Kuvan perusteella kirjoitamme myös tulokset h h h tanα =, tan β = ja tanφ = s δ s' δ R δ. Seuraavaksi tehdään tärkeä approksimaatio. Oletetaan, että säteiden etenemiskulmat, ts. poikkeamakulmat optisen akselin suunnasta ovat pieniä. Trigonometriset tangentit voidaan korvata suoraan argumenteillaan, joten saadaan h h h α =, β = ja φ =, s s ' R missä myös δ on jätetty pois hyvin pienenä. Kun nämä tulokset sijoitetaan kulmayhtälöön (34.3), tulee =. (34.4) s s' R Tulos on ns. paraksiaalisen approksimaation (myös ns. ensimmäisen kertaluvun approksimaation) mukainen kuvausyhtälö koveralle peilille. On muistettava, että kuvausyhtälö pätee vain säteille, jotka eivät poikkea paljon optisesta akselista. Paljon akselista poikkeavat säteet muodostavat kuvan eri paikkaan kuin mihin yhtälömme sen sijoittaisi. Tällöin puhutaan kuvausvirheestä nimeltä palloaberraatio. Esimerkiksi Hubblen peili kärsi aluksi (ennen korjausta) palloaberraatiosta.

4 96 Kun esinepiste on hyvin kaukana pallopeilistä ( s = ), tulevat säteet ovat paralleeleja ja kuvausyhtälöstä (34.4) saadaan = s' R R s ' =. Tilanne on esitetty viereisessä kuvassa (a). Paralleelit säteet konvergoituvat (fokusoituvat) pisteeseen F, joka on etäisyydellä R / peilistä. Piste F on ns. polttopiste (focal point). Polttopisteen etäisyys f peilistä on ns. polttoväli (focal length). Se on R f =. (34.5) Kuvassa (b) on esitetty käänteinen tilanne. Esine on polttopisteessä, ts. s= f = R/, ja 1 R + s' = R s ' =, eli kuva on äärettömyydessä. 97 y y' tanθ = =, s s' missä (-)-merkki tarvitaan, koska kuva on kääntynyt. Poikittaiseksi suurennukseksi tulee y' s' m = =. (34.7) y s Esimerkki: Kovera peili muodostaa lampun hehkulangasta kuvan peilistä 3,00 m:n päässä olevalle seinälle (kuva alla). Kuvausyhtälö (34.4) esitetään usein muodossa s + s' = f. (34.6) Seuraavan sivun kuvassa tarkastellaan äärellisen kokoisen esineen kuvautumista. Esine on nuoli, jonka toinen pää (P) on optisella akselilla ja toinen (Q) korkeudella y. Kuvanuoli on paikassa P ja sen korkeus P Q on y '. Kuva on konstruoitu kahden säteen avulla ja se on tässä tapauksessa kääntynyt. Hehkulanka, jonka korkeus on 5,00 mm on 10,0 cm:n etäisyydellä peilistä. (a) Laske peilin polttoväli ja kaarevuussäde. (b) Laske kuvan koko. Millainen kuva on kysymyksessä? Kolmioiden PVQ ja P V Q avulla voimme kirjoittaa

5 98 Viereisessä kuvassa tarkastellaan kuvan muodostuminen kuperassa (convex) peilissä. 99 Nyt kaarevuussäde R on siis negatiivinen. Paralleelit optisen akselin suuntaiset säteet eivät tässä tapauksessa leikkaa polttopisteessä vaan näyttävät tulevan sieltä heijastumisen jälkeen. Myös tässä Kaarevuuskeskipiste C ja peilistä lähtevät säteet ovat peilin vastakkaisilla puolilla, joten kaarevuussäde R on nyt negatiivinen. Kuvassa (a) myös kuvan etäisyys s ' on negatiivinen, mutta esineen etäisyys s on positiivinen. tapauksessa f on polttoväli, mutta pistettä F sanotaan virtuaaliseksi polttopisteeksi. Myös nyt pätee f = R /. Esimerkki: Kuperan peilin kaarevuussäde on 3,60 cm. Esine on 0,750 m:n päässä peilin edessä. Minne kuva muodostuu? Laske myös suurennus. Millaisesta kuvasta on kysymys? Kuva (b) esittää äärellisen kokoisen esineen kuvautumisen. Samanlainen tarkastelu kuin koveran peilin tapauksessa johtaa yhtälöihin (kotitehtävä) 1 1 s + s' = R ja y' s' m = =. y s Yhtälöt ovat täsmälleen samoja kuin koveralla peilillä. Peilikuvauksen graafinen analyysi (Graphical Methods for Mirrors) Edellisessä kappaleessa johdimme peileille kuvausyhtälöt, joilla kuvan paikka voidaan laskea. Kuvan paikka saadaan selville myös graafisilla menetelmillä. Periaate on, että määritetään esinepisteestä lähtevien säteiden, tai niiden jatkeiden, leikkauspiste. Kuva muodostuu tähän leikkauspisteeseen. Seuraavassa kuvassa on esitetty neljä sellaista sädettä, jotka tavallisesti voidaan piirtää helposti. Kuvapisteen paikan määrittämiseksi vähintään kaksi näistä säteistä on piirrettävä.

6 Taittuminen pallopinnassa (Refraction at a Spherical Surface) Myös taittava pallopinta toimii kuvaavana elementtinä. Seuraavassa kuvassa tarkastellaan kuvan muodostumista tällaisessa pinnassa. Kuvataan pistettä, joka ei ole optisella akselilla: 1. Optisen akselin suuntainen säde (tai sen jatke) kulkee heijastuksen jälkeen polttopisteen (tai virtuaalisen polttopisteen) kautta.. Polttopistettä (tai virtuaalista polttopistettä) kohti kulkeva säde kulkee heijastuksen jälkeen optisen akselin suuntaisena. 3. Kaarevuuskeskipistettä kohti kulkeva säde palaa heijastuksen jälkeen samaa reittiä takaisin. 4. Peilin huippupisteestä V heijastuvan säteen tulokulma ja heijastuskulma optisen akselin suhteen ovat samoja. Kuvassa kahden aineen rajapinta on pallopinta, jonka kaarevuussäde on R. Kaarevuuskeskipiste on samalla puolella kuin rajapinnasta lähtevät säteet, joten R on positiivinen. Säde PV osuu rajapintaan kohtisuorasti, joten se etenee materiaaliin b suoraan. Säde PB, joka muodostaa kulman α optisen akselin kanssa osuu rajapintaan tulokulmalla θ a ja taipuu materiaaliin b kulmassa θ b. Säteet leikkaavat kuvapisteessä P. Kuva on piirretty olettamalla na < nb ja sekä esineen etäisyys s että kuvan etäisyys s ' ovat positiivisia. Kolmiosta PBC kirjoitamme α + φ + (180 θ a ) = 180 ja kolmiosta P BC vastaavasti β + θ + (180 φ) = 180. Näistä saadaan b θa = α + φ ja φ = β + θb. (34.8)

7 10 Taittumislaki antaa puolestaan nasinθa = nbsinθb, ja kuvasta saamme tangenteille h h h tanα =, tan β = ja tanφ = (34.9) s + δ s' δ R δ Paraksiaalisessa approksimaatiossa molemmat kulmat θ a ja θ b ovat pieniä, joten taittumislaki voidaan kirjoittaa muodossa naθ a = nbθ b. Kun tämä yhdistetään ensimmäisen yhtälön (34.8) kanssa, saadaan na θb = ( α + φ). nb Kun tämä sitten sijoitetaan toiseen (34.8):n yhtälöön, tulee naα + nbβ = ( nb na) φ. (34.10) Seuraavaksi käytämme pienten kulmien approksimaatiota tangentteihin (34.9) ja kirjoitamme h h h α =, β = ja φ =. s s ' R Lopulta sijoittamalla nämä yhtälöön (34.10) saadaan kuvausyhtälöksi na nb nb na + =. (34.11) s s' R 103 Kolmioista PQV ja P Q V tulee y y ' tanθ a = ja tanθb =, s s' ja taittumislaki on nasinθa = nbsinθb. Kun kulmat ovat pieniä, niin pätee tan x sin x, joten saamme ny a ny b ' =, s s' ja lopulta sitten y' nas' m = =. (34.1) y n s Yhtälöitä (34.11) ja (34.1) voidaan käyttää sekä koverille että kuperille taittaville pinnoille, kunhan merkkisääntöjä sovelletaan asianmukaisesti. Esimerkki: Ilmassa olevan sylinterinmuotoisen lasisauvan taitekerroin on 1.5. Sauvan toinen pää on hiottu puolipallon muotoiseksi niin, että kaarevuussäde on,00 cm. Esine on 8,00 cm:n päässä sauvan edessä. (a) Laske kuvan paikka ja suurennus. b Suurennus saadaan seuraavan kuvan avulla: (b) Lasisauva upotetaan veteen (taitekerroin 1.33). Miten tilanne muuttuu?

8 104 Tärkeä erikoistapaus taittavasta rajapinnasta on tasopinta. Yhtälössä (34.11) on tällöin sijoitettava R =, joten kuvausyhtälöksi saadaan na nb + = 0. (34.13) s s' Suurennuksen yhtälö (34.1) antaa m = 1, ts. tasopinnan muodostama kuva on aina esineen kokoinen ja se on oikein päin. Esimerkki: Uima-altaan syvyys on,00 m. Kuinka syvältä se näyttää? Samalla tavalla pisteestä F 1 lähtevät säteet ohjautuvat optisen akselin suuntaisiksi läpäistyään linssin. Piste F 1 on linssin ensimmäinen polttopiste (first focal point) ja piste F linssin toinen polttopiste (second focal point). Etäisyys f linssin keskipisteestä polttopisteisiin on linssin polttoväli (focal length). Kokoavan linssin polttoväli on määritelty positiiviseksi ja tämän vuoksi tällaisia linssejä sanotaan myös positiivisiksi linsseiksi (positive lenses) Ohuet linssit (Thin Lenses) Linssi on ylivoimaisesti yleisin optinen laite, tasopeilin jälkeen. Yksinkertainen ohut linssi (thin lens) muodostuu kahdesta taittavasta pallopinnasta, jotka ovat niin lähellä toisiaan, että niiden välimatka voidaan approksimoida nollaksi. Linssin kuvausyhtälö johdetaankin edellisen kappaleen tulosten avulla. Tarkastellaan kuitenkin ensin linssin ominaisuuksia. Seuraavassa kuvassa on esitetty ns. kokoavaa linssiä (converging lens). Linssi kokoaa optisen akselin suuntaiset säteet kulkemaan pisteen F kautta. Kuvassa alla kokoava linssi muodostaa kuvan äärellisestä esineestä. Myös nyt esineen etäisyys on s ja kuvan etäisyys s '. Esineen ja kuvan korkeudet ovat y ja y '. Esineen kärjestä lähtevä optisen akselin suuntainen säde taipuu linssissä kulkemaan toisen polttopisteen F kautta. Linssin keskipisteen O kautta kulkeva säde etenee puolestaan suoraan. Näiden kahden säteen leikkauspisteeseen muodostuu nuolen kärjen kuva. Suorakulmaisten kolmioiden PQO ja P Q O avulla kirjoitamme

9 106 ' tan α = y y s = s' y' s' =, (34.14) y s missä (-)-merkki tarkoittaa sitä, että kuva on kääntynyt. Pienemmistä kolmioista OAF ja P' QF ' kirjoitamme puolestaan y y' y' s' f tan β = = =. (34.15) f s' f y f Yhdistämällä (34.14) ja (34.15) saadaan ohuen linssin kuvausyhtälö s + s' = f (34.16) ja tuloksesta (34.14) kirjoitetaan suurennukseksi s ' m =. (34.17) s Yhtälöt (34.16) ja (34.17) ovat ohuen linssin perusyhtälöitä ja kuten havaitaan, ne ovat täsmälleen samat kuin peilien yhtälöt. Edellä todetut (sivu 9) merkkisäännöt pätevät myös linsseille. Kokoavan linssin polttoväli on positiivinen. Viereisessä kuvassa tarkastellaan ns. hajottavaa linssiä (diverging lens). Linssiin optisen akselin suuntaisesti tulevat säteet hajoavat linssin läpi mentyään niin, että ne näyttävät tulevan toisesta polttopisteestä F. Vastaavasti kohti ensimmäistä polttopistettä F 1 tulevat säteet kääntyvät kulkemaan optisen akselin suuntaisesti. Hajottavan linssin polttoväli f on negatiivinen ja linssiä sanotaan myös negatiiviseksi linssiksi. 107 Linssien perusyhtälöt (34.16) ja (34.17) pätevät myös hajottaville linsseille. Viereisessä kuvassa on esitetty erilaisia linssityyppejä. Kuvan (a) linssit ovat meniscuslinssi, tasokupera linssi ja kaksoiskupera linssi. Kaikki nämä ovat keskeltä paksumpia kuin reunoilta. Tällaiset kuperat linssit ovat aina kokoavia eli positiivisia linssejä. Kuvan (b) linssit ovat kaikki keskeltä ohuempia kuin reunoilta. Ne ovat tyypeiltään meniscuslinssi, tasokovera linssi ja kaksoiskovera linssi. Tällaiset koverat linssit ovat aina hajottavia eli negatiivisia linssejä. On huomattava, että jos edellisen kuvan linssit siirretään väliaineeseen, jonka taitekerroin on suurempi kuin linssien taitekertoimet, niin kuvan (a) linssit muuttuvat hajottaviksi ja kuvan (b) linssit kokoaviksi linsseiksi. Linssintekijän yhtälö Linssintekijän yhtälöllä lasketaan linssin polttoväli, kun linssin taitekerroin n ja linssin pintojen kaarevuussäteet R 1 ja R tunnetaan. Yhtälö johdetaan soveltamalla taittavan pinnan kuvausyhtälöä siten, että linssin ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii esineenä linssin toiselle pinnalle. Seuraavan sivun kuvassa kaksi pallopintaa (linssi) erottaa toisistaan kolme eri väliainetta, joiden taitekertoimet ovat n a, n b ja n c. Esineen etäisyys ensimmäisestä pinnasta on s 1 ja ensimmäinen pinta muodostaa kuvan etäisyydelle s 1 '. Esineen ja kuvan etäisyydet toiselle pinnalle ovat s ja s '. Linssi oletetaan niin ohueksi, että

10 Kun tätä verrataan linssiyhtälöön (34.16) havaitaan, että ( n 1) = f R1 R. (34.19) Tämä tulos on ns. linssintekijän yhtälö (lensmakers equation). Kaarevuussäteiden merkkisääntöjen selventämiseksi viereisessä kuvassa tarkastellaan vielä esimerkkinä kaksoiskuperaa linssiä. välimatka t voidaan olettaa nollaksi muiden etäisyyksien rinnalla. Tällöin etäisyydet s 1 ' ja s ovat yhtä suuria, mutta vastakkaismerkkisiä (nyt siis esine toiselle pinnalle on ns. vale-esine). Voidaan siis kirjoittaa s = s 1 '. Käytetään taittavan pinnan kuvausyhtälöä (34.11) kaksi kertaa peräkkäin: na nb nb na + =, s s ' R nb nc nc nb + =. s s ' R Tavallisesti linssiä ympäröi molemmilta puolilta ilma, ts. taitekertoimille pätee na = nc = 1. Merkitään lisäksi linssin taitekerrointa nb = n. Sijoittamalla nämä ja tulos s = s 1 ' edelliseen yhtälöpariin saadaan 1 n n 1 + =, s s ' R n 1 1 n + =. s ' s ' R 1 Lasketaan nämä yhteen, jolloin ( n 1) + = s1 s' R1 R. Ensimmäisen pinnan kaarevuussäde R 1 on positiivinen, koska sen kaarevuuskeskipiste C 1 on samalla puolella kuin linssistä lähtevät säteet. Toisen pinnan kaarevuussäde R on negatiivinen, koska sen kaarevuuskeskipiste C on eri puolella kuin linssistä lähtevät säteet. Esimerkki: Ohuen linssin molemmat kaarevuussäteet ovat 10 cm ja sen taitekerroin on 1,5. Laske polttoväli, kun linssi on (a) kaksoiskupera ja (b) kaksoiskovera. (c) Laske polttoväli, jos linssi on tasokupera, ts. toinen (ensimäinen) kaarevuussäteistä on ääretön.

11 110 Linssikuvauksen graafinen analyysi (Graphical Methods for Lenses) 111 Myös linssin muodostaman kuvan paikka voidaan määrittää graafisesti tarkastelemalla muutamia sopivasti valittuja säteitä. Kuva sijaitsee linssin läpäisseiden säteiden (tai niiden jatkeiden) leikkauspisteessä. Seuraavassa kuvassa on esitetty kolme helposti piirrettävää sädettä: Esimerkki: Käytettävissäsi on hajottava linssi, jonka polttoväli on 0,0 cm. Haluat muodostaa linssillä oikeinpäin olevan valekuvan, jonka korkeus on kolmasosa esineen korkeudesta. Mihin sijoitat esineen? Piirrä kuva. Kuvataan pistettä, joka ei ole optisella akselilla: 1. Optisen akselin suuntainen säde kulkee linssin jälkeen suuntaan, joka sisältää toisen polttopisteen F.. Linssin keskeltä kulkeva säde etenee suoraan. 3. Ensimmäisen polttopisteen F 1 suuntaan etenevä säde kulkee linssin jälkeen optisen akselin suuntaisesti. Seuraavissa kuvissa on esitettu muutamia esimerkkejä kokoavan linssin graafisesta analyysistä esineen ollessa eri etäisyyksillä: Esimerkki: Esine, jonka korkeus on 8,0 cm, sijoitetaan 1,0 cm:n päähän vasemmalle kokoavasta linssistä, jonka polttoväli on 8,0 cm. Toinen kokoava linssi (polttoväli 6,0 cm) sijoitetaan ensimmäisestä linssistä 1,0 cm oikealle samalle optiselle akselille. Laske systeemin muodostaman kuvan paikka, koko ja orientaatio Kamerat (Cameras and Projectors) Kameran (camera) peruselementit ovat kokoava linssi, pimeä laatikko (kamera on latinaa ja tarkoittaa suljettua huonetta), valoherkkä filmi ja sulkija, jonka avulla säädetään filmille pääsevän valon määrää.

12 11 Laadukkaat kameran linssit ovat useiden linssien muodostamia linssikombinaatiosta, joilla voidaan korjata erilaisia kuvausvirheitä ja väripoikkeamia. Yksittäisen linssin taitekerroinhan ja sitäkautta polttoväli riippuu aallonpituudesta. Klassinen kameran linssi on ns. Zeiss (tai Tessar) kombinaatio, joka on esitetty edellisessä kuvassa. Kun kamera on oikein säädetty, linssin muodostama kuva syntyy terävänä filmin pinnalle. Kokoavan linssin muodostama kuva on sitä lähempänä linssiä mitä kauempana kuvattava kohde on. Kamerassa on siis pystyttävä säätämään linssin etäisyyttä filmistä. Linssin polttovälin valinta riippuu filmin koosta ja siitä, millainen näkökulma (angle of view) halutaan. Viereisessä kuvassa kameralla otetaan kolme valokuvaa patsaasta käyttäen erilaisia polttovälejä. Filminä käytetään ns. 35-mm:n filmiä, jonka kuva-alue on 4 mm 36 mm. Näkökulmat vastaavat filmin diagonaalin kokoa. Pitkä polttoväli ( f = 300 mm) johtaa kapeaan näkökulmaan (8 ) mutta samalla suureen kuvakokoon. Patsas näyttää siis olevan lähellä. Pitkäpolttoväliset kameran linssit ovat ns. kaukoobjektiivejä (telephoto lens). Lyhyt polttoväli ( f = 8 mm) johtaa leveään näkökulmaan (75 ) mutta samalla pieneen kuvakokoon. Patsas näkyy kuvassa pienenä ja näyttää siis olevan kaukana. Lyhyen polttovälin linssejä sanotaan laajakulmalinsseiksi (wide-angle lens). 113 Esimerkki: Kameran linssin polttoväli on f. Osoita, että näkökulma on kääntäen verrannollinen polttoväliin ja laske näkökulma, kun f = 105 mm ja filminä käytetään 35-mm:n filmiä. Kuvan onnistumiseksi filmille tulevan valomäärän on oltava oikea. Valotusta (exposure) kontrolloidaan linssin aukon koolla (aperture) ja sulkijalla (shutter). Sulkija kontrolloi aikaa, jona valoa pääsee linssille. Tavallisesti nämä ns. valotusajat on säädettävissä yhdestä sekunnista aina yhteen tuhannesosasekuntiin. Filmille tuleva intensiteetti (kun sulkija on auki) on verrannollinen linssin näkemään pinta-alaan ja linssin aukon kokoon. Linssin näkemä pinta-ala on puolestaan verrannollinen näkökulman (ks. esimerk- ki edellä) neliöön, ts. 1/ f :een. Linssin aukon efektiivistä kokoa säädetään himmentimellä (diaphragm), jonka halkaisijaa D voidaan säätää (kuva). Linssin aukon pinta-ala on siten verrannollinen D :een. Yhdistämällä edelliset intensiteettiin vaikuttavat tekijät, havaitaan, että filmille tuleva intensiteetti on verrannollinen suhteeseen ( D / f ). Edellisen perusteella linssin valonkeräyskykyä kuvataan ns. f- luvulla (f-number), joka määritellään suhteena f f luku =. (34.0) D Esimerkiksi, jos linssin polttoväli on 50 mm ja aukon halkaisija 5 mm, niin linssin f-luku on. Linssi on ns. f / linssi.

13 114 Linssin efektiivisen halkaisijan kasvattaminen tekijällä muuttaa f lukua tekijällä 1/ ja kasvattaa filmille tulevaa intensiteettiä tekijällä. Kameran linssin f luku on tavallisesti säädettävissä seuraavin pykälin: f /, f /.8, f /4, f /5.6, f /8, f /11, ja niin edelleen. Seuraava f luku saadaan siis aina edellisestä tekijällä. Filmin kokonaisvalotus on tietysti riippuvainen f luvun lisäksi valotusajasta. Esimerkiksi kombinaatiot f /4 ja 1/500 s, f /5.6 ja 1/50 s sekä f /8 ja 1/15 s johtavat kaikki samaan valotukseen. Esimerkki: Kameran kauko-objektiivin polttoväli on 00 mm ja sen f luku on säädettävissä f /5.6:sta f /45: een. (a) Laske vastaavat efektiiviset halkaisijat. (b) Laske ääritapausten intensiteettien suhde Silmä (The Eye) Silmän toiminta muistuttaa kameran toimintaa. Se rakenne on esitetty seuraavassa kuvassa. Silmämuna on lähes pallo, jonka halkaisija on noin,5 cm. Etuosassa on kova läpinäkyvä kalvo, ns. sarveiskalvo (cornea). Sarveiskalvon takana on etukammio, joka sisältää ns. kammiovettä (aqueous humor) ja sen takana on silmän linssi eli mykiö (crystalline lens). Linssiä pitää paikoillaan lihaksisto, ns. sädelihakset (ciliary muscle), jotka voivat muuttaa linssin muotoa. Linssin jälkeen silmä on täynnä hyytelömäistä nestettä, ns. lasiaisnestettä (vitreous humor). 115 Kammionesteen ja lasiaisnesteen taitekertoimet ovat molemmat noin 1,336 eli lähellä veden taitekerrointa. Linssin keskimääräinen taitekerroin on noin 1,437, joten se ei poikkea kovin paljon sitä ympäröivien nesteiden taitekertoimista. Tästä seuraa, että tärkein silmään saapuvan säteen taittuminen tapahtuu ilmasarveiskalvo rajapinnassa, eikä suinkaan itse linssissä. Taittuminen ilma-sarveiskalvokalvo rajapinnassa sekä linssin rajapinnoissa muodostaa todellisen, väärinpäin olevan kuvan valoherkälle verkkokalvolle (retina). Verkkokalvo vastaa kameran filmiä. Verkkokalvon tappi- ja sauvasolut (rods and cones) toimivat valodetektoreina ja lähettävät kuvan sähköisessä muodossa näköhermoa (optic nerve) pitkin aivojen käsiteltäväksi. Linssin edessä on ns. värikalvo eli iiris, jonka keskellä olevasta pyöreästä aukosta eli pupillista valo pääsee silmään. Pupillin koko muuttuu valon kirkkauden mukaan ts. se säätää silmään pääsevän valon intensiteettiä. Jotta esine nähtäisiin tarkasti, kuvan on muodostuttava täsmälleen verkkokalvolle. Silmä mukautuu eri esineen etäisyyksille s muuttamalla linssin polttoväliä f. Linssi-verkkokalvo etäisyys ei muutu. Normaalissa silmässä äärettömyydessä olevan esineen kuva muodostuu verkkokalvolle, kun linssin sädelihakset (mukauttajalihakset) ovat levossa. Lähempänä olevien esineiden tarkkaa näkemistä varten mukauttajalihakset jännittyvät ja muuttavat linssin pintojen

14 116 kaarevuussäteitä niin, että linssin polttoväli lyhenee. Tätä sanotaan silmän mukautumiseksi (accommodation). Näkemisen etäisyyden äärirajat ovat ns. kaukopiste (far point) ja ns. lähipiste (near point). Normaalin silmän kaukopiste on äärettömyydessä, mutta lähipisteen etäisyys riippuu siitä, miten paljon mukauttajalihakset pystyvät muuttamaan linssin kaarevuussäteitä. Silmän mukautumiskyky heikkenee iän mukana, koska linssi kasvaa koko ajan (se on noin 50% suurempi 60 vuotiailla kuin 0 vuotiailla). Mukauttajalihakset eivät pysty käsittelemään suurta linssiä yhtä helposti kuin pientä. Mukautumiskyvyn heikkenemistä sanotaan vanhuusnäöksi (presbyopia). Lähipiste 10 vuotiailla on noin 7 cm:n etäisyydellä, 30 vuotiailla noin 15 cm:n etäisyydellä ja 50 vuotiailla noin 40 cm:n etäisyydellä. Viereisessä kuvassa on esitetty tavallisimmat näkövirheet. Kuvassa (a) on normaali silmä, jossa kuva muodostuu tarkasti verkkokalvolle. Kuvan (b) silmä on ns. likinäköinen (myopic) silmä. Silmämuna on polttoväliin nähden liian pitkä, joten kaukana olevan esineen terävä kuva muodostuu verkkokalvon eteen. 117 Näön korjaamiseen tarkoitettujen linssien taittovoimakkuutta kuvataan metreinä annetun polttovälin käänteisarvolla. Voimakkuuden yksikkö on diopteri (diopter). Esimerkiksi, jos linssin polttoväli on f = 0,50 m, niin sen voimakkuus on,0 diopteria. Jos f = 0,5 m, niin voimakkuus on 4,0 diopteria. Esimerkki: Pitkänäköisen silmän lähipiste on 100 cm:n päässä silmän edessä. Millaiset piilolinssit tarvitaan, jotta 5 cm:n etäisyydellä oleva esine näkyisi tarkasti? Esimerkki: Likinäköisen silmän kaukopiste on 50 cm:n päässä silmän edessä. Millaiset silmälasit tarvitaan, jotta äärettömyydessä oleva esine näkyisi tarkasti? Oletetaan, että silmälaseja pidetään cm:n etäisyydellä silmästä Suurennuslasi (The Magnifier) Esineen näennäinen koko määräytyy verkkokalvolle muodostuvan kuvan koosta. Paljaalla silmällä katsottuna tämä koko riippuu siitä, minkä kokoisessa kulmassa θ esine näkyy, kuva (a) alla. Pitkänäköisessä (hyperopic) silmässä (c) silmämuna on polttoväliin nähden liian lyhyt ja terävä kuva muodostuu verkkokalvon taakse. Näkövirheitä voidaan korjata silmän eteen asetettavalla linssillä. Likinäköisyyttä korjataan hajottavalla linssillä ja pitkänäköisyyttä kokoavalla linssillä (ks. esimerkit myöhemmin). Kun pientä esinettä katsotaan tarkasti se tavallisesti tuodaan lähelle silmää niin, että esineen kulmakoko (angular size) on suurempi. Sil-

15 118 mä pystyy kuitenkin mukautumaan vain lähipisteeseen saakka, joka jatkossa oletetaan olevan 5 cm:n etäisyydellä (standardi-ihmisen lähipiste). Paljaalla silmällä kulmakokoa ei siis saada kovin suureksi. Kokoavan linssin avulla esineestä voidaan muodostaa valekuva, joka on suurempi ja kauempana silmästä kuin esine itse. Tällöin esine voidaan tuoda lähemmäksi silmää ja kulmakoko saadaan huomattavasti suuremmaksi kuin ilman linssiä 5 cm:n päässä olevan esineen kulmakoko. Näin käytettävää linssiä sanotaan suurennuslasiksi (magnifier) Suurennuslasilla virtuaalinen kuva muodostetaan tavallisesti äärettömyyteen, jolloin mukauttajalihakset ovat levossa ja kuvaa on helppo katsoa. Kuvassa (a) edellisellä sivulla esine on lähipisteessä ja se muodostaa kulman θ. Kuvassa (b) silmän edessä oleva suurennuslasi muodostaa kuvan äärettymyyteen ( s ' = ) ja kulmakoko on θ '. Esine on linssistä polttovälin päässä, ts. s= f, koska kuva muodostuu äärettömyyteen. Suurennuslasin kulmasuurennus M (angular magnification) määritellään ' M = θ. (34.) θ Edellisten tarkastelujen (ja kuvan) perusteella kirjoitamme y y θ = ja θ ' =. 5 cm f Kulmasuurennukseksi saamme siis y/ f 5cm M = =. (34.) y /5cm f 119 Esimerkki: Käytettävissäsi on kaksi linssiä, kaksoiskupera ja kaksoiskovera, joiden molempien polttoväli on 10.0 cm. Kumpaa linssiä voit käyttää suurennuslasina ja mikä on kulmasuurennus Mikroskoopit ja kaukoputket (Microscopes and telescopes) Suurennuslasin kulmasuurennusta voidaan kasvattaa lyhentämällä polttoväliä. Tällöin kuitenkin linssin kuvausvirheet tulevat merkittäviksi. Suurin käytännössä saavutettava kulmasuurennus on luokkaa 3 tai 4. Suuremman suurennuksen aikaansaamiseksi tarvitaan mikroskooppia. Mikroskoopin oleelliset elementit on esitetty viereisessä kuvassa. Laite koostuu periaatteessa kahdesta linssistä, joista esineen lähellä oleva linssi on ns. objektiivi (objective) ja silmän lähellä oleva linssi on ns. okulaari (eyepiece). Esine O asetetaan objektiivista vähän kauemmaksi kuin missä polttopiste F 1 on, jolloin objektiivi muodostaa esineestä suurennetun todellisen kuvan I. Okulaari toimii suurennuslasina, jolla välikuvaa I katsotaan.

16 10 Okulaari muodostaa kuvan I, joka voi sijaita missä tahansa lähipisteen ja kaukopisteen välillä. Jos välikuva säädetään okulaarin polttopisteeseen F ' 1, niis kuva I muodostuu kaukopisteeseen (äärettömyyteen) ja sitä on helppo katsoa. 11 Kaukoputki eroaa mikroskoopista siinä, että sillä katsotaan kaukana (äärettömyydessä) olevia suuria esineitä. Toinen ero on se, että kaukoputkessa objektiivilinssi voidaan korvataan kuperalla peilillä. Mikroskoopin suurennus muodostuu kahdesta tekijästä, nimittäin objektiivin poikittaisesta suurennuksesta m 1 ja okulaarin kulmasuurennuksesta M. Ensimmäinen näistä lasketaan kuvan mukaisesti s1 ' m1 =, s1 missä s 1 on esineen O etäisyys ja s 1 ' kuvan I etäisyys objektiivista. Todellisuudessa esine on hyvin lähellä polttopistettä F 1, joten voidaan kirjoittaa m1 = s1'/ f1, missä f 1 on objektiivin polttoväli. Todellinen välikuva I on hyvin lähellä okulaarin polttopistettä F 1 ', joten (34.):n mukaan kulmasuurennukseksi saadaan (5cm) M =, f missä f on okulaarin polttoväli. Mikroskoopin kokonaiskulmasuurennukseksi lasketaan (5 cm) s1 ' M = m1 M =. (34.3) ff 1 Tulos (34.3) osoittaa, että lopullinen kuva on kääntynyt verrattuna esineeseen ja että mikroskoopin suurennusta voidaan kasvattaa lyhentämällä objektiivin ja okulaarin polttovälejä. Kaukoputket (Telescopes) Kuten mikroskoopissa, niin myös kaukoputkessa objektiivi muodostaa välikuvan, jota katsotaan okulaarilla kuten suurennuslasilla. Tähtitieteellisen kaukoputken (astronomical telescope) periaatekuva on esitetty yllä. Objektiivi muodostaa käytännössä äärettömyydessä olevasta esineestä todellisen välikuvan I hyvin lähelle omaa polttotasoaan, siis lähelle pistettä F. Tätä kuvaa katsotaan okulaarilla ja jos lopullinen kuva I halutaan äärettömyyteen (helppo katsoa), niin välikuva I on myös okulaarin polttopisteessä F 1 '. Objektiivin ja okulaarin polttopisteet yhtyvät ja linssien etäisyydeksi toisistaan tulee f1+ f. Kaukoputken kulmasuurennus M määritellään suhteena M = θ '/ θ, missä θ ' on se kulma, jossa lopullinen kuva nähdään ja θ se kulma, jossa esine nähtäisiin ilman kaukoputkea, ks. kuva yllä. Kuvan kolmioista saadaan y ' y ' θ = ja θ ' =, f f 1

17 1 ja kaukoputken kulmasuurennukseksi lasketaan y'/ f f1 M = =. (34.4) y'/ f f 1 Tähtitieteellisen kaukoputken kuva on siis kääntynyt ja suuren kulmasuurennuksen kaukoputkessa objektiivin polttoväli on pitkä ja okulaarin lyhyt. Tähtitieteellisessä kaukoputkessa kuvan kääntyminen ei ole ongelma. Maakaukoputkissa (kiikareissa yms.) kuva ei saa kääntyä. Asia hoidetaan esimerkiksi Porro-prismoilla viereisen kuvan mukaisesti. Peilikaukoputkessa objektiivilinssi korvataan koveralla peilillä. Peilikaukoputken yksi selkeä etu on siinä, että peilikuvauksessa ei synny värivirheitä (ei ole taitekerrointa, jonka arvo riippuisi aallonpituudesta). Myös peilin palloaberraatio on helpompi korjata kuin linssien palloaberraatio. Usein peilikaukoputken peili on parabolinen. Yllä erilaisia peilikaukoputkiratkaisuja. Jos kaukoputkella halutaan valokuvata (tai filmata) kohdetta, niin okulaari poistetaan ja filmi asetetaan objektiivin muodostaman todellisen kuvan kohdalle. Useimmissa nykyisin käytössä olevissa peilikaukoputkissa ei ole koskaan käytetty okulaaria.

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA 127 6 GEOMETISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan

Lisätiedot

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5 5. Optiikka Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, 16.2. 2012 Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman 1 5. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Peilit ja linssit 3. Perussuureita 4. Kuvausvirheet 5. Aalto-optiikka

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet. Kari Sormunen Syksy 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet. Kari Sormunen Syksy 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet Kari Sormunen Syksy 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen. Todellisuudessa

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 10 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Valon sironta Huygensin periaate Kenttien rajapintaehdot Rajapintaehdot Fresnelin

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

Esimerkki - Näkymätön kuu

Esimerkki - Näkymätön kuu Inversio-ongelmat Inversio = käänteinen, päinvastainen Inversio-ongelmilla tarkoitetaan (suoran) ongelman ratkaisua takaperin. Arkipäiväisiä inversio-ongelmia ovat mm. lääketieteellinen röntgentomografia

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma 1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Pyhäjoen kunta ja Raahen kaupunki Maanahkiaisen merituulivoimapuiston osayleiskaava

Pyhäjoen kunta ja Raahen kaupunki Maanahkiaisen merituulivoimapuiston osayleiskaava 82127096 Pyhäjoen kunta ja Raahen kaupunki Maanahkiaisen merituulivoimapuiston osayleiskaava Kaavaehdotus 20.11.2012 Tuulivoimalamuodostelmien esteettiset ominaisuudet Tuulivoimaloiden keskittäminen usean

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Interferenssi. Luku 35. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun

Interferenssi. Luku 35. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun Luku 35 Interferenssi PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Interferenssi-ilmiö tapahtuu, kun kaksi aaltoa yhdistyy

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu. Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 6..009 OSA Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 0 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Seuraa huolellisesti annettuja ohjeita. Tee taitokset tarkkaan,

Seuraa huolellisesti annettuja ohjeita. Tee taitokset tarkkaan, Origami on perinteinen japanilainen paperitaittelumuoto, joka kuuluu olennaisena osana japanilaiseen kulttuuriin. Länsimaissa origami on kuitenkin suhteellisen uusi asia. Se tuli yleiseen tietoisuuteen

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 11 Tavoitteet Geometrinen optiikka Kamerat Silmä Suurennuslasi Optisia kojeita (yleissivistystä) Interferenssi Interferenssi

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Osa 5. lukujonot ja sarjat.

Osa 5. lukujonot ja sarjat. Osa 5. lukujonot ja sarjat. Summamerkintä Kurssilla on jo tullut vastaan ns. summamerkintä (kreikkalainen iso sigma): n k=1 Indeksin loppuarvo Indeksi jonka suhteen summataan a k =a 1 +a +a 3 +...+a n

Lisätiedot