34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics)"

Transkriptio

1 90 34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics) Omat kasvot kylpyhuoneen peilissä, kuu kaukoputken läpi katsottuna, kaleidoskoopin kuviot. Kaikki nämä ovat esimerkkejä optisista kuvista (images). Kuva muodostuu, kun esinepisteestä lähtevät säteet heijastumisten ja/tai taittumisten seurauksena konvergoituvat kuvapisteeseen. Kuvien syntymisen ymmärtämiseksi tarvitsemme vain valon sädemallin, heijastumis- ja taittumislain sekä yksinkertaista geometriaa ja trigonometriaa. Kuvan syntyä tutkimme siis ns. geometrisen optiikan approksimaatiossa Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa (Reflection and Refraction at a Plane Surface) Kuva voi muodostua myös tasomaisessa taittavassa pinnassa, kuten viereinen kuva osoittaa. Kummassakaan edellä esitetyssä tapauksessa säteet itse eivät kulje kuvapisteen kautta, vaan kuvan paikka voidaan hahmotella säteiden jatkeiden avulla. Säteen jatkeiden muodostamat kuvat ovat ns. valekuvia eli virtuaalisia kuvia (virtual images). 91 Jos kuva muodostuu itse säteiden leikatessa toisensa, kysymyksessä on ns. todellinen kuva (real image). Tarkastellaan nyt tarkemmin kuvan muodostumista heijastumisessa. Oleelliset säteet on piirretty viereisessä kuvassa. Esine (object) voi olla joko itsevalaiseva tai valaistu. Äärellisen kokoinen (äärellinen, extended) esine koostuu lukemattomista pistemäisistä esineistä (esinepisteistä, point object). Viereisessä kuvassa esinepisteestä P lähtevät säteet heijastuvat tasomaisesta peilipinnasta. Heijastumislain perusteella jokaisen säteen heijastuskulma on sama kuin sen tulokulma peilipintaan. Heijastumisen jälkeen jokainen säde näyttää tulevan peilin takaa pisteestä P. Tässä siis piste P on esinepiste ja piste P on ns. kuvapiste (image of point P). Esineen etäisyys kuvaavasta pinnasta (pisteestä V) on s Kuvan etäisyys kuvaavasta pinnasta (pisteestä V) on ' s Heijastuslain perusteella voidaan helposti päätellä, että kolmiot PVB ja P VB ovat yhdenmuotoisia. Tästä seuraa, että kuvapiste P sijaitsee täsmälleen yhtä kaukana peilin takana kuin esinepiste P sijaitsee peilin edessä.

2 Merkkisäänöt 9 Kuvausten laskeminen matemaattisesti vaatii sopimuksia etäisyyksien merkeistä. Seuraavat merkkisäännöt pätevät sekä taso- että pallopinnoille, jotka joko heijastavat tai taittavat säteitä. 1. Sääntö esineen etäisyydelle : Kun esine on samalla puolella pintaa kuin pintaan tulevat säteet, niin esineen etäisyys s on positiivinen, muutoin se on negatiivinen.. Sääntö kuvan etäisyydelle : Kun kuva on samalla puolella pintaa kuin pinnasta lähtevät säteet, niin kuvan etäisyys s ' on positiivinen, muutoin se on negatiivinen. 3. Sääntö pallopinnan kaarevuussäteelle : Kun pallopinnan kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet, niin kaarevuussäde on positiivinen, muutoin se on negatiivinen. Edellisen sivun kuvassa tasopeilistä tapahtuvassa heijastuksessa esine on samalla puolella kuin tulevat säteet, joten esineen etäisyys s on positiivinen. Kuvapiste puolestaan on eri puolella kuin lähtevät säteet, joten kuvan etäisyys s ' on negatiivinen. Tasopeilin kuvausyhtälöksi voimme siis kirjoittaa s= s'. (34.1) Tarkastellaan seuraavaksi äärellisen esineen kuvautumista tasopeilissä (kuva vieressä). Esineen (nuoli) korkeus on y. Jokainen äärel- 93 lisen esineen piste kuvautuu kuvapisteeksi, joista muodostuu äärellinen kuva. Tutkitaan nuolen kärjen (pisteen Q) kuvautumista. Kuvaan on piirretty kaksi pisteestä Q lähtevää sädettä, jotka heijastuttuaan jatkavat matkaa vasemmalle. Säteiden jatkeet yhtyvät pisteessä Q, jonne kuva muodostuu. Taas heijastumislain ja yhtenevien kolmioiden avulla näemme, että kuvan korkeus y on sama kuin esineen korkeus y, ts. y = y'. Kuvan korkeuden y ' suhdetta esineen korkeuteen y sanotaan (poikittaiseksi) suurennukseksi m (lateral magnification), siis y ' m =. (34.) y Tasopeilille laskimme edellä tuloksen y= y', joten suurennukseksi tulee yksi. Kun katsot kasvojasi peilistä, kuva on saman kokoinen kuin kasvosi. Edellisessä kuvassa kuvanuoli osoittaa samaan suuntaan kuin esinenuoli. Sanotaan, että kuva on oikein päin (erect). Tasopeilin suurennus on aina siis m = + 1, jossa (+)-merkki tarkoittaa oikeinpäin olevaa kuvaa. Kääntyneelle (inverted) kuvalle y ja y ' ovat vastakkaismerkkisiä ja siitä seuraten suurennus on negatiivinen. Kannattaa huomata, että peilikuvauksessa kuvan kätisyys on vastakkainen esineen kätisyyteen verrattuna. Esimerkiksi vasemman käden kuva on oikea käsi, kuten on osoitettu viereisessä kuvassa.

3 94 Tärkeä seikka, joka liittyy kaikkiin kuvauksiin on se, että yhden pinnan muodostama kuva voi toimia esineenä seuraavalle pinnalle. Esimerkiksi viereisessä kuvassa alkuperäinen esinepiste P kuvautuu kuvapisteeksi P 1 ' peilillä 1 ja toisaalta kuvapisteeksi P ' peilillä. Näiden kahden kuvapisteen lisäksi näkyvissä on kolmaskin kuvapistep 3 ', joka nyt on kuvapisteen P 1 ' kuva kuvattuna peilillä. Piste P 1 ' toimii siis esineenä kuvauksessa peilillä. 34. Heijastuminen pallopinnassa (Reflection at a Spherical Surface) Tarkastellaan seuraavaksi kuvan muodostamista heijastavalla pallopinnalla. Viereisessä kuvassa on esitetty kovera (concave) pallopinta. Pinnan kaarevuussäde on R, niin että kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pintaan tulevat säteet. Peilin huippupiste eli vertex on pisteessä V. Jana joka yhdistää pisteet C ja V on ns. optinen akseli (optic axis). Esinepiste P on nyt aluksi optisella akselilla ja oletetaan, että etäisyys PV on suurempi kuin R. Merkkisääntöjen perusteella s > 0, s ' > 0 ja R > Kuvapisteen paikka P saadaan selville soveltamalla heijastuslakia ja seuraavaa tasogeometrian tulosta: Kolmion kulmien summa on 180. Kolmiosta PBC kirjoitamme siis α + θ + (180 φ) = 180 ja kolmiosta CBP saamme φ + θ + (180 β) = 180. Sieventämällä tulee θ = φ α ja θ = β φ ja saamme siis α + β = φ. (34.3) Kuvan perusteella kirjoitamme myös tulokset h h h tanα =, tan β = ja tanφ = s δ s' δ R δ. Seuraavaksi tehdään tärkeä approksimaatio. Oletetaan, että säteiden etenemiskulmat, ts. poikkeamakulmat optisen akselin suunnasta ovat pieniä. Trigonometriset tangentit voidaan korvata suoraan argumenteillaan, joten saadaan h h h α =, β = ja φ =, s s ' R missä myös δ on jätetty pois hyvin pienenä. Kun nämä tulokset sijoitetaan kulmayhtälöön (34.3), tulee =. (34.4) s s' R Tulos on ns. paraksiaalisen approksimaation (myös ns. ensimmäisen kertaluvun approksimaation) mukainen kuvausyhtälö koveralle peilille. On muistettava, että kuvausyhtälö pätee vain säteille, jotka eivät poikkea paljon optisesta akselista. Paljon akselista poikkeavat säteet muodostavat kuvan eri paikkaan kuin mihin yhtälömme sen sijoittaisi. Tällöin puhutaan kuvausvirheestä nimeltä palloaberraatio. Esimerkiksi Hubblen peili kärsi aluksi (ennen korjausta) palloaberraatiosta.

4 96 Kun esinepiste on hyvin kaukana pallopeilistä ( s = ), tulevat säteet ovat paralleeleja ja kuvausyhtälöstä (34.4) saadaan = s' R R s ' =. Tilanne on esitetty viereisessä kuvassa (a). Paralleelit säteet konvergoituvat (fokusoituvat) pisteeseen F, joka on etäisyydellä R / peilistä. Piste F on ns. polttopiste (focal point). Polttopisteen etäisyys f peilistä on ns. polttoväli (focal length). Se on R f =. (34.5) Kuvassa (b) on esitetty käänteinen tilanne. Esine on polttopisteessä, ts. s= f = R/, ja 1 R + s' = R s ' =, eli kuva on äärettömyydessä. 97 y y' tanθ = =, s s' missä (-)-merkki tarvitaan, koska kuva on kääntynyt. Poikittaiseksi suurennukseksi tulee y' s' m = =. (34.7) y s Esimerkki: Kovera peili muodostaa lampun hehkulangasta kuvan peilistä 3,00 m:n päässä olevalle seinälle (kuva alla). Kuvausyhtälö (34.4) esitetään usein muodossa s + s' = f. (34.6) Seuraavan sivun kuvassa tarkastellaan äärellisen kokoisen esineen kuvautumista. Esine on nuoli, jonka toinen pää (P) on optisella akselilla ja toinen (Q) korkeudella y. Kuvanuoli on paikassa P ja sen korkeus P Q on y '. Kuva on konstruoitu kahden säteen avulla ja se on tässä tapauksessa kääntynyt. Hehkulanka, jonka korkeus on 5,00 mm on 10,0 cm:n etäisyydellä peilistä. (a) Laske peilin polttoväli ja kaarevuussäde. (b) Laske kuvan koko. Millainen kuva on kysymyksessä? Kolmioiden PVQ ja P V Q avulla voimme kirjoittaa

5 98 Viereisessä kuvassa tarkastellaan kuvan muodostuminen kuperassa (convex) peilissä. 99 Nyt kaarevuussäde R on siis negatiivinen. Paralleelit optisen akselin suuntaiset säteet eivät tässä tapauksessa leikkaa polttopisteessä vaan näyttävät tulevan sieltä heijastumisen jälkeen. Myös tässä Kaarevuuskeskipiste C ja peilistä lähtevät säteet ovat peilin vastakkaisilla puolilla, joten kaarevuussäde R on nyt negatiivinen. Kuvassa (a) myös kuvan etäisyys s ' on negatiivinen, mutta esineen etäisyys s on positiivinen. tapauksessa f on polttoväli, mutta pistettä F sanotaan virtuaaliseksi polttopisteeksi. Myös nyt pätee f = R /. Esimerkki: Kuperan peilin kaarevuussäde on 3,60 cm. Esine on 0,750 m:n päässä peilin edessä. Minne kuva muodostuu? Laske myös suurennus. Millaisesta kuvasta on kysymys? Kuva (b) esittää äärellisen kokoisen esineen kuvautumisen. Samanlainen tarkastelu kuin koveran peilin tapauksessa johtaa yhtälöihin (kotitehtävä) 1 1 s + s' = R ja y' s' m = =. y s Yhtälöt ovat täsmälleen samoja kuin koveralla peilillä. Peilikuvauksen graafinen analyysi (Graphical Methods for Mirrors) Edellisessä kappaleessa johdimme peileille kuvausyhtälöt, joilla kuvan paikka voidaan laskea. Kuvan paikka saadaan selville myös graafisilla menetelmillä. Periaate on, että määritetään esinepisteestä lähtevien säteiden, tai niiden jatkeiden, leikkauspiste. Kuva muodostuu tähän leikkauspisteeseen. Seuraavassa kuvassa on esitetty neljä sellaista sädettä, jotka tavallisesti voidaan piirtää helposti. Kuvapisteen paikan määrittämiseksi vähintään kaksi näistä säteistä on piirrettävä.

6 Taittuminen pallopinnassa (Refraction at a Spherical Surface) Myös taittava pallopinta toimii kuvaavana elementtinä. Seuraavassa kuvassa tarkastellaan kuvan muodostumista tällaisessa pinnassa. Kuvataan pistettä, joka ei ole optisella akselilla: 1. Optisen akselin suuntainen säde (tai sen jatke) kulkee heijastuksen jälkeen polttopisteen (tai virtuaalisen polttopisteen) kautta.. Polttopistettä (tai virtuaalista polttopistettä) kohti kulkeva säde kulkee heijastuksen jälkeen optisen akselin suuntaisena. 3. Kaarevuuskeskipistettä kohti kulkeva säde palaa heijastuksen jälkeen samaa reittiä takaisin. 4. Peilin huippupisteestä V heijastuvan säteen tulokulma ja heijastuskulma optisen akselin suhteen ovat samoja. Kuvassa kahden aineen rajapinta on pallopinta, jonka kaarevuussäde on R. Kaarevuuskeskipiste on samalla puolella kuin rajapinnasta lähtevät säteet, joten R on positiivinen. Säde PV osuu rajapintaan kohtisuorasti, joten se etenee materiaaliin b suoraan. Säde PB, joka muodostaa kulman α optisen akselin kanssa osuu rajapintaan tulokulmalla θ a ja taipuu materiaaliin b kulmassa θ b. Säteet leikkaavat kuvapisteessä P. Kuva on piirretty olettamalla na < nb ja sekä esineen etäisyys s että kuvan etäisyys s ' ovat positiivisia. Kolmiosta PBC kirjoitamme α + φ + (180 θ a ) = 180 ja kolmiosta P BC vastaavasti β + θ + (180 φ) = 180. Näistä saadaan b θa = α + φ ja φ = β + θb. (34.8)

7 10 Taittumislaki antaa puolestaan nasinθa = nbsinθb, ja kuvasta saamme tangenteille h h h tanα =, tan β = ja tanφ = (34.9) s + δ s' δ R δ Paraksiaalisessa approksimaatiossa molemmat kulmat θ a ja θ b ovat pieniä, joten taittumislaki voidaan kirjoittaa muodossa naθ a = nbθ b. Kun tämä yhdistetään ensimmäisen yhtälön (34.8) kanssa, saadaan na θb = ( α + φ). nb Kun tämä sitten sijoitetaan toiseen (34.8):n yhtälöön, tulee naα + nbβ = ( nb na) φ. (34.10) Seuraavaksi käytämme pienten kulmien approksimaatiota tangentteihin (34.9) ja kirjoitamme h h h α =, β = ja φ =. s s ' R Lopulta sijoittamalla nämä yhtälöön (34.10) saadaan kuvausyhtälöksi na nb nb na + =. (34.11) s s' R 103 Kolmioista PQV ja P Q V tulee y y ' tanθ a = ja tanθb =, s s' ja taittumislaki on nasinθa = nbsinθb. Kun kulmat ovat pieniä, niin pätee tan x sin x, joten saamme ny a ny b ' =, s s' ja lopulta sitten y' nas' m = =. (34.1) y n s Yhtälöitä (34.11) ja (34.1) voidaan käyttää sekä koverille että kuperille taittaville pinnoille, kunhan merkkisääntöjä sovelletaan asianmukaisesti. Esimerkki: Ilmassa olevan sylinterinmuotoisen lasisauvan taitekerroin on 1.5. Sauvan toinen pää on hiottu puolipallon muotoiseksi niin, että kaarevuussäde on,00 cm. Esine on 8,00 cm:n päässä sauvan edessä. (a) Laske kuvan paikka ja suurennus. b Suurennus saadaan seuraavan kuvan avulla: (b) Lasisauva upotetaan veteen (taitekerroin 1.33). Miten tilanne muuttuu?

8 104 Tärkeä erikoistapaus taittavasta rajapinnasta on tasopinta. Yhtälössä (34.11) on tällöin sijoitettava R =, joten kuvausyhtälöksi saadaan na nb + = 0. (34.13) s s' Suurennuksen yhtälö (34.1) antaa m = 1, ts. tasopinnan muodostama kuva on aina esineen kokoinen ja se on oikein päin. Esimerkki: Uima-altaan syvyys on,00 m. Kuinka syvältä se näyttää? Samalla tavalla pisteestä F 1 lähtevät säteet ohjautuvat optisen akselin suuntaisiksi läpäistyään linssin. Piste F 1 on linssin ensimmäinen polttopiste (first focal point) ja piste F linssin toinen polttopiste (second focal point). Etäisyys f linssin keskipisteestä polttopisteisiin on linssin polttoväli (focal length). Kokoavan linssin polttoväli on määritelty positiiviseksi ja tämän vuoksi tällaisia linssejä sanotaan myös positiivisiksi linsseiksi (positive lenses) Ohuet linssit (Thin Lenses) Linssi on ylivoimaisesti yleisin optinen laite, tasopeilin jälkeen. Yksinkertainen ohut linssi (thin lens) muodostuu kahdesta taittavasta pallopinnasta, jotka ovat niin lähellä toisiaan, että niiden välimatka voidaan approksimoida nollaksi. Linssin kuvausyhtälö johdetaankin edellisen kappaleen tulosten avulla. Tarkastellaan kuitenkin ensin linssin ominaisuuksia. Seuraavassa kuvassa on esitetty ns. kokoavaa linssiä (converging lens). Linssi kokoaa optisen akselin suuntaiset säteet kulkemaan pisteen F kautta. Kuvassa alla kokoava linssi muodostaa kuvan äärellisestä esineestä. Myös nyt esineen etäisyys on s ja kuvan etäisyys s '. Esineen ja kuvan korkeudet ovat y ja y '. Esineen kärjestä lähtevä optisen akselin suuntainen säde taipuu linssissä kulkemaan toisen polttopisteen F kautta. Linssin keskipisteen O kautta kulkeva säde etenee puolestaan suoraan. Näiden kahden säteen leikkauspisteeseen muodostuu nuolen kärjen kuva. Suorakulmaisten kolmioiden PQO ja P Q O avulla kirjoitamme

9 106 ' tan α = y y s = s' y' s' =, (34.14) y s missä (-)-merkki tarkoittaa sitä, että kuva on kääntynyt. Pienemmistä kolmioista OAF ja P' QF ' kirjoitamme puolestaan y y' y' s' f tan β = = =. (34.15) f s' f y f Yhdistämällä (34.14) ja (34.15) saadaan ohuen linssin kuvausyhtälö s + s' = f (34.16) ja tuloksesta (34.14) kirjoitetaan suurennukseksi s ' m =. (34.17) s Yhtälöt (34.16) ja (34.17) ovat ohuen linssin perusyhtälöitä ja kuten havaitaan, ne ovat täsmälleen samat kuin peilien yhtälöt. Edellä todetut (sivu 9) merkkisäännöt pätevät myös linsseille. Kokoavan linssin polttoväli on positiivinen. Viereisessä kuvassa tarkastellaan ns. hajottavaa linssiä (diverging lens). Linssiin optisen akselin suuntaisesti tulevat säteet hajoavat linssin läpi mentyään niin, että ne näyttävät tulevan toisesta polttopisteestä F. Vastaavasti kohti ensimmäistä polttopistettä F 1 tulevat säteet kääntyvät kulkemaan optisen akselin suuntaisesti. Hajottavan linssin polttoväli f on negatiivinen ja linssiä sanotaan myös negatiiviseksi linssiksi. 107 Linssien perusyhtälöt (34.16) ja (34.17) pätevät myös hajottaville linsseille. Viereisessä kuvassa on esitetty erilaisia linssityyppejä. Kuvan (a) linssit ovat meniscuslinssi, tasokupera linssi ja kaksoiskupera linssi. Kaikki nämä ovat keskeltä paksumpia kuin reunoilta. Tällaiset kuperat linssit ovat aina kokoavia eli positiivisia linssejä. Kuvan (b) linssit ovat kaikki keskeltä ohuempia kuin reunoilta. Ne ovat tyypeiltään meniscuslinssi, tasokovera linssi ja kaksoiskovera linssi. Tällaiset koverat linssit ovat aina hajottavia eli negatiivisia linssejä. On huomattava, että jos edellisen kuvan linssit siirretään väliaineeseen, jonka taitekerroin on suurempi kuin linssien taitekertoimet, niin kuvan (a) linssit muuttuvat hajottaviksi ja kuvan (b) linssit kokoaviksi linsseiksi. Linssintekijän yhtälö Linssintekijän yhtälöllä lasketaan linssin polttoväli, kun linssin taitekerroin n ja linssin pintojen kaarevuussäteet R 1 ja R tunnetaan. Yhtälö johdetaan soveltamalla taittavan pinnan kuvausyhtälöä siten, että linssin ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii esineenä linssin toiselle pinnalle. Seuraavan sivun kuvassa kaksi pallopintaa (linssi) erottaa toisistaan kolme eri väliainetta, joiden taitekertoimet ovat n a, n b ja n c. Esineen etäisyys ensimmäisestä pinnasta on s 1 ja ensimmäinen pinta muodostaa kuvan etäisyydelle s 1 '. Esineen ja kuvan etäisyydet toiselle pinnalle ovat s ja s '. Linssi oletetaan niin ohueksi, että

10 Kun tätä verrataan linssiyhtälöön (34.16) havaitaan, että ( n 1) = f R1 R. (34.19) Tämä tulos on ns. linssintekijän yhtälö (lensmakers equation). Kaarevuussäteiden merkkisääntöjen selventämiseksi viereisessä kuvassa tarkastellaan vielä esimerkkinä kaksoiskuperaa linssiä. välimatka t voidaan olettaa nollaksi muiden etäisyyksien rinnalla. Tällöin etäisyydet s 1 ' ja s ovat yhtä suuria, mutta vastakkaismerkkisiä (nyt siis esine toiselle pinnalle on ns. vale-esine). Voidaan siis kirjoittaa s = s 1 '. Käytetään taittavan pinnan kuvausyhtälöä (34.11) kaksi kertaa peräkkäin: na nb nb na + =, s s ' R nb nc nc nb + =. s s ' R Tavallisesti linssiä ympäröi molemmilta puolilta ilma, ts. taitekertoimille pätee na = nc = 1. Merkitään lisäksi linssin taitekerrointa nb = n. Sijoittamalla nämä ja tulos s = s 1 ' edelliseen yhtälöpariin saadaan 1 n n 1 + =, s s ' R n 1 1 n + =. s ' s ' R 1 Lasketaan nämä yhteen, jolloin ( n 1) + = s1 s' R1 R. Ensimmäisen pinnan kaarevuussäde R 1 on positiivinen, koska sen kaarevuuskeskipiste C 1 on samalla puolella kuin linssistä lähtevät säteet. Toisen pinnan kaarevuussäde R on negatiivinen, koska sen kaarevuuskeskipiste C on eri puolella kuin linssistä lähtevät säteet. Esimerkki: Ohuen linssin molemmat kaarevuussäteet ovat 10 cm ja sen taitekerroin on 1,5. Laske polttoväli, kun linssi on (a) kaksoiskupera ja (b) kaksoiskovera. (c) Laske polttoväli, jos linssi on tasokupera, ts. toinen (ensimäinen) kaarevuussäteistä on ääretön.

11 110 Linssikuvauksen graafinen analyysi (Graphical Methods for Lenses) 111 Myös linssin muodostaman kuvan paikka voidaan määrittää graafisesti tarkastelemalla muutamia sopivasti valittuja säteitä. Kuva sijaitsee linssin läpäisseiden säteiden (tai niiden jatkeiden) leikkauspisteessä. Seuraavassa kuvassa on esitetty kolme helposti piirrettävää sädettä: Esimerkki: Käytettävissäsi on hajottava linssi, jonka polttoväli on 0,0 cm. Haluat muodostaa linssillä oikeinpäin olevan valekuvan, jonka korkeus on kolmasosa esineen korkeudesta. Mihin sijoitat esineen? Piirrä kuva. Kuvataan pistettä, joka ei ole optisella akselilla: 1. Optisen akselin suuntainen säde kulkee linssin jälkeen suuntaan, joka sisältää toisen polttopisteen F.. Linssin keskeltä kulkeva säde etenee suoraan. 3. Ensimmäisen polttopisteen F 1 suuntaan etenevä säde kulkee linssin jälkeen optisen akselin suuntaisesti. Seuraavissa kuvissa on esitettu muutamia esimerkkejä kokoavan linssin graafisesta analyysistä esineen ollessa eri etäisyyksillä: Esimerkki: Esine, jonka korkeus on 8,0 cm, sijoitetaan 1,0 cm:n päähän vasemmalle kokoavasta linssistä, jonka polttoväli on 8,0 cm. Toinen kokoava linssi (polttoväli 6,0 cm) sijoitetaan ensimmäisestä linssistä 1,0 cm oikealle samalle optiselle akselille. Laske systeemin muodostaman kuvan paikka, koko ja orientaatio Kamerat (Cameras and Projectors) Kameran (camera) peruselementit ovat kokoava linssi, pimeä laatikko (kamera on latinaa ja tarkoittaa suljettua huonetta), valoherkkä filmi ja sulkija, jonka avulla säädetään filmille pääsevän valon määrää.

12 11 Laadukkaat kameran linssit ovat useiden linssien muodostamia linssikombinaatiosta, joilla voidaan korjata erilaisia kuvausvirheitä ja väripoikkeamia. Yksittäisen linssin taitekerroinhan ja sitäkautta polttoväli riippuu aallonpituudesta. Klassinen kameran linssi on ns. Zeiss (tai Tessar) kombinaatio, joka on esitetty edellisessä kuvassa. Kun kamera on oikein säädetty, linssin muodostama kuva syntyy terävänä filmin pinnalle. Kokoavan linssin muodostama kuva on sitä lähempänä linssiä mitä kauempana kuvattava kohde on. Kamerassa on siis pystyttävä säätämään linssin etäisyyttä filmistä. Linssin polttovälin valinta riippuu filmin koosta ja siitä, millainen näkökulma (angle of view) halutaan. Viereisessä kuvassa kameralla otetaan kolme valokuvaa patsaasta käyttäen erilaisia polttovälejä. Filminä käytetään ns. 35-mm:n filmiä, jonka kuva-alue on 4 mm 36 mm. Näkökulmat vastaavat filmin diagonaalin kokoa. Pitkä polttoväli ( f = 300 mm) johtaa kapeaan näkökulmaan (8 ) mutta samalla suureen kuvakokoon. Patsas näyttää siis olevan lähellä. Pitkäpolttoväliset kameran linssit ovat ns. kaukoobjektiivejä (telephoto lens). Lyhyt polttoväli ( f = 8 mm) johtaa leveään näkökulmaan (75 ) mutta samalla pieneen kuvakokoon. Patsas näkyy kuvassa pienenä ja näyttää siis olevan kaukana. Lyhyen polttovälin linssejä sanotaan laajakulmalinsseiksi (wide-angle lens). 113 Esimerkki: Kameran linssin polttoväli on f. Osoita, että näkökulma on kääntäen verrannollinen polttoväliin ja laske näkökulma, kun f = 105 mm ja filminä käytetään 35-mm:n filmiä. Kuvan onnistumiseksi filmille tulevan valomäärän on oltava oikea. Valotusta (exposure) kontrolloidaan linssin aukon koolla (aperture) ja sulkijalla (shutter). Sulkija kontrolloi aikaa, jona valoa pääsee linssille. Tavallisesti nämä ns. valotusajat on säädettävissä yhdestä sekunnista aina yhteen tuhannesosasekuntiin. Filmille tuleva intensiteetti (kun sulkija on auki) on verrannollinen linssin näkemään pinta-alaan ja linssin aukon kokoon. Linssin näkemä pinta-ala on puolestaan verrannollinen näkökulman (ks. esimerk- ki edellä) neliöön, ts. 1/ f :een. Linssin aukon efektiivistä kokoa säädetään himmentimellä (diaphragm), jonka halkaisijaa D voidaan säätää (kuva). Linssin aukon pinta-ala on siten verrannollinen D :een. Yhdistämällä edelliset intensiteettiin vaikuttavat tekijät, havaitaan, että filmille tuleva intensiteetti on verrannollinen suhteeseen ( D / f ). Edellisen perusteella linssin valonkeräyskykyä kuvataan ns. f- luvulla (f-number), joka määritellään suhteena f f luku =. (34.0) D Esimerkiksi, jos linssin polttoväli on 50 mm ja aukon halkaisija 5 mm, niin linssin f-luku on. Linssi on ns. f / linssi.

13 114 Linssin efektiivisen halkaisijan kasvattaminen tekijällä muuttaa f lukua tekijällä 1/ ja kasvattaa filmille tulevaa intensiteettiä tekijällä. Kameran linssin f luku on tavallisesti säädettävissä seuraavin pykälin: f /, f /.8, f /4, f /5.6, f /8, f /11, ja niin edelleen. Seuraava f luku saadaan siis aina edellisestä tekijällä. Filmin kokonaisvalotus on tietysti riippuvainen f luvun lisäksi valotusajasta. Esimerkiksi kombinaatiot f /4 ja 1/500 s, f /5.6 ja 1/50 s sekä f /8 ja 1/15 s johtavat kaikki samaan valotukseen. Esimerkki: Kameran kauko-objektiivin polttoväli on 00 mm ja sen f luku on säädettävissä f /5.6:sta f /45: een. (a) Laske vastaavat efektiiviset halkaisijat. (b) Laske ääritapausten intensiteettien suhde Silmä (The Eye) Silmän toiminta muistuttaa kameran toimintaa. Se rakenne on esitetty seuraavassa kuvassa. Silmämuna on lähes pallo, jonka halkaisija on noin,5 cm. Etuosassa on kova läpinäkyvä kalvo, ns. sarveiskalvo (cornea). Sarveiskalvon takana on etukammio, joka sisältää ns. kammiovettä (aqueous humor) ja sen takana on silmän linssi eli mykiö (crystalline lens). Linssiä pitää paikoillaan lihaksisto, ns. sädelihakset (ciliary muscle), jotka voivat muuttaa linssin muotoa. Linssin jälkeen silmä on täynnä hyytelömäistä nestettä, ns. lasiaisnestettä (vitreous humor). 115 Kammionesteen ja lasiaisnesteen taitekertoimet ovat molemmat noin 1,336 eli lähellä veden taitekerrointa. Linssin keskimääräinen taitekerroin on noin 1,437, joten se ei poikkea kovin paljon sitä ympäröivien nesteiden taitekertoimista. Tästä seuraa, että tärkein silmään saapuvan säteen taittuminen tapahtuu ilmasarveiskalvo rajapinnassa, eikä suinkaan itse linssissä. Taittuminen ilma-sarveiskalvokalvo rajapinnassa sekä linssin rajapinnoissa muodostaa todellisen, väärinpäin olevan kuvan valoherkälle verkkokalvolle (retina). Verkkokalvo vastaa kameran filmiä. Verkkokalvon tappi- ja sauvasolut (rods and cones) toimivat valodetektoreina ja lähettävät kuvan sähköisessä muodossa näköhermoa (optic nerve) pitkin aivojen käsiteltäväksi. Linssin edessä on ns. värikalvo eli iiris, jonka keskellä olevasta pyöreästä aukosta eli pupillista valo pääsee silmään. Pupillin koko muuttuu valon kirkkauden mukaan ts. se säätää silmään pääsevän valon intensiteettiä. Jotta esine nähtäisiin tarkasti, kuvan on muodostuttava täsmälleen verkkokalvolle. Silmä mukautuu eri esineen etäisyyksille s muuttamalla linssin polttoväliä f. Linssi-verkkokalvo etäisyys ei muutu. Normaalissa silmässä äärettömyydessä olevan esineen kuva muodostuu verkkokalvolle, kun linssin sädelihakset (mukauttajalihakset) ovat levossa. Lähempänä olevien esineiden tarkkaa näkemistä varten mukauttajalihakset jännittyvät ja muuttavat linssin pintojen

14 116 kaarevuussäteitä niin, että linssin polttoväli lyhenee. Tätä sanotaan silmän mukautumiseksi (accommodation). Näkemisen etäisyyden äärirajat ovat ns. kaukopiste (far point) ja ns. lähipiste (near point). Normaalin silmän kaukopiste on äärettömyydessä, mutta lähipisteen etäisyys riippuu siitä, miten paljon mukauttajalihakset pystyvät muuttamaan linssin kaarevuussäteitä. Silmän mukautumiskyky heikkenee iän mukana, koska linssi kasvaa koko ajan (se on noin 50% suurempi 60 vuotiailla kuin 0 vuotiailla). Mukauttajalihakset eivät pysty käsittelemään suurta linssiä yhtä helposti kuin pientä. Mukautumiskyvyn heikkenemistä sanotaan vanhuusnäöksi (presbyopia). Lähipiste 10 vuotiailla on noin 7 cm:n etäisyydellä, 30 vuotiailla noin 15 cm:n etäisyydellä ja 50 vuotiailla noin 40 cm:n etäisyydellä. Viereisessä kuvassa on esitetty tavallisimmat näkövirheet. Kuvassa (a) on normaali silmä, jossa kuva muodostuu tarkasti verkkokalvolle. Kuvan (b) silmä on ns. likinäköinen (myopic) silmä. Silmämuna on polttoväliin nähden liian pitkä, joten kaukana olevan esineen terävä kuva muodostuu verkkokalvon eteen. 117 Näön korjaamiseen tarkoitettujen linssien taittovoimakkuutta kuvataan metreinä annetun polttovälin käänteisarvolla. Voimakkuuden yksikkö on diopteri (diopter). Esimerkiksi, jos linssin polttoväli on f = 0,50 m, niin sen voimakkuus on,0 diopteria. Jos f = 0,5 m, niin voimakkuus on 4,0 diopteria. Esimerkki: Pitkänäköisen silmän lähipiste on 100 cm:n päässä silmän edessä. Millaiset piilolinssit tarvitaan, jotta 5 cm:n etäisyydellä oleva esine näkyisi tarkasti? Esimerkki: Likinäköisen silmän kaukopiste on 50 cm:n päässä silmän edessä. Millaiset silmälasit tarvitaan, jotta äärettömyydessä oleva esine näkyisi tarkasti? Oletetaan, että silmälaseja pidetään cm:n etäisyydellä silmästä Suurennuslasi (The Magnifier) Esineen näennäinen koko määräytyy verkkokalvolle muodostuvan kuvan koosta. Paljaalla silmällä katsottuna tämä koko riippuu siitä, minkä kokoisessa kulmassa θ esine näkyy, kuva (a) alla. Pitkänäköisessä (hyperopic) silmässä (c) silmämuna on polttoväliin nähden liian lyhyt ja terävä kuva muodostuu verkkokalvon taakse. Näkövirheitä voidaan korjata silmän eteen asetettavalla linssillä. Likinäköisyyttä korjataan hajottavalla linssillä ja pitkänäköisyyttä kokoavalla linssillä (ks. esimerkit myöhemmin). Kun pientä esinettä katsotaan tarkasti se tavallisesti tuodaan lähelle silmää niin, että esineen kulmakoko (angular size) on suurempi. Sil-

15 118 mä pystyy kuitenkin mukautumaan vain lähipisteeseen saakka, joka jatkossa oletetaan olevan 5 cm:n etäisyydellä (standardi-ihmisen lähipiste). Paljaalla silmällä kulmakokoa ei siis saada kovin suureksi. Kokoavan linssin avulla esineestä voidaan muodostaa valekuva, joka on suurempi ja kauempana silmästä kuin esine itse. Tällöin esine voidaan tuoda lähemmäksi silmää ja kulmakoko saadaan huomattavasti suuremmaksi kuin ilman linssiä 5 cm:n päässä olevan esineen kulmakoko. Näin käytettävää linssiä sanotaan suurennuslasiksi (magnifier) Suurennuslasilla virtuaalinen kuva muodostetaan tavallisesti äärettömyyteen, jolloin mukauttajalihakset ovat levossa ja kuvaa on helppo katsoa. Kuvassa (a) edellisellä sivulla esine on lähipisteessä ja se muodostaa kulman θ. Kuvassa (b) silmän edessä oleva suurennuslasi muodostaa kuvan äärettymyyteen ( s ' = ) ja kulmakoko on θ '. Esine on linssistä polttovälin päässä, ts. s= f, koska kuva muodostuu äärettömyyteen. Suurennuslasin kulmasuurennus M (angular magnification) määritellään ' M = θ. (34.) θ Edellisten tarkastelujen (ja kuvan) perusteella kirjoitamme y y θ = ja θ ' =. 5 cm f Kulmasuurennukseksi saamme siis y/ f 5cm M = =. (34.) y /5cm f 119 Esimerkki: Käytettävissäsi on kaksi linssiä, kaksoiskupera ja kaksoiskovera, joiden molempien polttoväli on 10.0 cm. Kumpaa linssiä voit käyttää suurennuslasina ja mikä on kulmasuurennus Mikroskoopit ja kaukoputket (Microscopes and telescopes) Suurennuslasin kulmasuurennusta voidaan kasvattaa lyhentämällä polttoväliä. Tällöin kuitenkin linssin kuvausvirheet tulevat merkittäviksi. Suurin käytännössä saavutettava kulmasuurennus on luokkaa 3 tai 4. Suuremman suurennuksen aikaansaamiseksi tarvitaan mikroskooppia. Mikroskoopin oleelliset elementit on esitetty viereisessä kuvassa. Laite koostuu periaatteessa kahdesta linssistä, joista esineen lähellä oleva linssi on ns. objektiivi (objective) ja silmän lähellä oleva linssi on ns. okulaari (eyepiece). Esine O asetetaan objektiivista vähän kauemmaksi kuin missä polttopiste F 1 on, jolloin objektiivi muodostaa esineestä suurennetun todellisen kuvan I. Okulaari toimii suurennuslasina, jolla välikuvaa I katsotaan.

16 10 Okulaari muodostaa kuvan I, joka voi sijaita missä tahansa lähipisteen ja kaukopisteen välillä. Jos välikuva säädetään okulaarin polttopisteeseen F ' 1, niis kuva I muodostuu kaukopisteeseen (äärettömyyteen) ja sitä on helppo katsoa. 11 Kaukoputki eroaa mikroskoopista siinä, että sillä katsotaan kaukana (äärettömyydessä) olevia suuria esineitä. Toinen ero on se, että kaukoputkessa objektiivilinssi voidaan korvataan kuperalla peilillä. Mikroskoopin suurennus muodostuu kahdesta tekijästä, nimittäin objektiivin poikittaisesta suurennuksesta m 1 ja okulaarin kulmasuurennuksesta M. Ensimmäinen näistä lasketaan kuvan mukaisesti s1 ' m1 =, s1 missä s 1 on esineen O etäisyys ja s 1 ' kuvan I etäisyys objektiivista. Todellisuudessa esine on hyvin lähellä polttopistettä F 1, joten voidaan kirjoittaa m1 = s1'/ f1, missä f 1 on objektiivin polttoväli. Todellinen välikuva I on hyvin lähellä okulaarin polttopistettä F 1 ', joten (34.):n mukaan kulmasuurennukseksi saadaan (5cm) M =, f missä f on okulaarin polttoväli. Mikroskoopin kokonaiskulmasuurennukseksi lasketaan (5 cm) s1 ' M = m1 M =. (34.3) ff 1 Tulos (34.3) osoittaa, että lopullinen kuva on kääntynyt verrattuna esineeseen ja että mikroskoopin suurennusta voidaan kasvattaa lyhentämällä objektiivin ja okulaarin polttovälejä. Kaukoputket (Telescopes) Kuten mikroskoopissa, niin myös kaukoputkessa objektiivi muodostaa välikuvan, jota katsotaan okulaarilla kuten suurennuslasilla. Tähtitieteellisen kaukoputken (astronomical telescope) periaatekuva on esitetty yllä. Objektiivi muodostaa käytännössä äärettömyydessä olevasta esineestä todellisen välikuvan I hyvin lähelle omaa polttotasoaan, siis lähelle pistettä F. Tätä kuvaa katsotaan okulaarilla ja jos lopullinen kuva I halutaan äärettömyyteen (helppo katsoa), niin välikuva I on myös okulaarin polttopisteessä F 1 '. Objektiivin ja okulaarin polttopisteet yhtyvät ja linssien etäisyydeksi toisistaan tulee f1+ f. Kaukoputken kulmasuurennus M määritellään suhteena M = θ '/ θ, missä θ ' on se kulma, jossa lopullinen kuva nähdään ja θ se kulma, jossa esine nähtäisiin ilman kaukoputkea, ks. kuva yllä. Kuvan kolmioista saadaan y ' y ' θ = ja θ ' =, f f 1

17 1 ja kaukoputken kulmasuurennukseksi lasketaan y'/ f f1 M = =. (34.4) y'/ f f 1 Tähtitieteellisen kaukoputken kuva on siis kääntynyt ja suuren kulmasuurennuksen kaukoputkessa objektiivin polttoväli on pitkä ja okulaarin lyhyt. Tähtitieteellisessä kaukoputkessa kuvan kääntyminen ei ole ongelma. Maakaukoputkissa (kiikareissa yms.) kuva ei saa kääntyä. Asia hoidetaan esimerkiksi Porro-prismoilla viereisen kuvan mukaisesti. Peilikaukoputkessa objektiivilinssi korvataan koveralla peilillä. Peilikaukoputken yksi selkeä etu on siinä, että peilikuvauksessa ei synny värivirheitä (ei ole taitekerrointa, jonka arvo riippuisi aallonpituudesta). Myös peilin palloaberraatio on helpompi korjata kuin linssien palloaberraatio. Usein peilikaukoputken peili on parabolinen. Yllä erilaisia peilikaukoputkiratkaisuja. Jos kaukoputkella halutaan valokuvata (tai filmata) kohdetta, niin okulaari poistetaan ja filmi asetetaan objektiivin muodostaman todellisen kuvan kohdalle. Useimmissa nykyisin käytössä olevissa peilikaukoputkissa ei ole koskaan käytetty okulaaria.

Geometrinen optiikka. Tasopeili. P = esinepiste P = kuvapiste

Geometrinen optiikka. Tasopeili. P = esinepiste P = kuvapiste Geometrinen optiikka Tasopeili P = esinepiste P = kuvapiste Valekuva eli virtuaalinen kuva koska säteiden jatkeet leikkaavat (vs. todellinen kuva, joka muodostuu itse säteiden leikkauspisteeseen) Tasomainen

Lisätiedot

8.3 KAMERAT Neulanreikäkamera

8.3 KAMERAT Neulanreikäkamera 88 Analysoitava valo tulee vasemmalta. Se okusoidaan kapeaan rakoon S (tulorako), josta se kollimoidaan linssillä L yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Rako S on siis linssin polttovälin päässä linssistä.

Lisätiedot

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA 127 6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan

Lisätiedot

Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon + =. (6.3.

Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon + =. (6.3. 135 Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): R ì f > 0, kovera peili f = í (6.3.3) î f < 0, kupera peili ja kuvausyhtälö (6.3.) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon 1 1 1 + =.

Lisätiedot

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA 127 6 GEOMETISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan

Lisätiedot

Ratkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n

Ratkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n 141 ------------------------------------------------Esimerkki: Paksu linssi. Edellisessä esimerkissä materiaali 2 ulottuu niin pitkälle, että kuva muodostuu sen sisälle. Miten tilanne muuttuu, jos jälkimmäinen

Lisätiedot

34. Geometrista optiikkaa

34. Geometrista optiikkaa 34. Geometrista optiikkaa 34. Kuvan muodostuminen 2 Lähtökohta: Pistemäisestä esineestä valonsäteet lähtevät kaikkiin suuntiin. P P 3 s s Arkihavainto: Tasopeili muodostaa kuvan heijastamalla esineen pisteistä

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0 PEILIT KOVERA PEILI JA KUPERA PEILI: r = PEILIN KAAREVUUSSÄDE F = POLTTOPISTE eli focus f = POLTTOVÄLI eli polttopisteen F etäisyys pelin keskipisteestä; a = esineen etäisyys peilistä b = kuvan etäisyys

Lisätiedot

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI 67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli

Lisätiedot

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6 FYSI040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus / 6 Laskuharjoitus 2. Halogeenilampun käyttöhyötysuhde on noin 6 lm/w. Laske sähköiseltä ottoteholtaan 60 watin halogenilampun tuottama: (a) Valovirta. (b) Valovoima

Lisätiedot

5.3 FERMAT'N PERIAATE

5.3 FERMAT'N PERIAATE 119 5.3 FERMAT'N PERIAATE Fermat'n periaatteen mukaan valo kulkee kahden pisteen välisen matkan siten, että aikaa kuluu mahdollisimman vähän, ts. ajalla on ääriarvo (minimi). Myös Fermat'n periaatteesta

Lisätiedot

a ' ExW:n halkaisija/2 5/ 2 3

a ' ExW:n halkaisija/2 5/ 2 3 79 ------------------------------------------------- Esimerkki: Sama systeemi kuin edellä. a) Määritä kenttäkaihdin sekä tulo- ja lähtöikkunat. b) Piirrä äärimmäisten pääsäteiden kartio systeemin läpi.

Lisätiedot

Teoreettisia perusteita I

Teoreettisia perusteita I Teoreettisia perusteita I - fotogrammetrinen mittaaminen perustuu pitkälti kollineaarisuusehtoon, jossa pisteestä heijastuva valonsäde kulkee suoraan projektiokeskuksen kautta kuvatasolle - toisaalta kameran

Lisätiedot

Valo, valonsäde, väri

Valo, valonsäde, väri Kokeellista fysiikkaa luokanopettajille Ari Hämäläinen kevät 2005 Valo, valonsäde, väri Näkeminen, valonlähteet Pimeässä ei ole valoa, eikä pimeässä näe. Näkeminen perustuu esineiden lähettämään valoon,

Lisätiedot

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?

Lisätiedot

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5 5. Optiikka Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, 16.2. 2012 Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman 1 5. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Peilit ja linssit 3. Perussuureita 4. Kuvausvirheet 5. Aalto-optiikka

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 10 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Valon sironta

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50:

Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50: 173 ------------------------------------------------Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50: Kaarevuussäteet R1 3 cm ja R. Systeemimatriisi on M R T R1,

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet. Kari Sormunen Syksy 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet. Kari Sormunen Syksy 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet Kari Sormunen Syksy 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen. Todellisuudessa

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 10 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Valon sironta Huygensin periaate Kenttien rajapintaehdot Rajapintaehdot Fresnelin

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

YOUNGIN KOE. varmistaa, että tuottaa vaihe-eron

YOUNGIN KOE. varmistaa, että tuottaa vaihe-eron 9 10. YOUNGIN KOE Interferenssin perusteella voidaan todeta, onko jollakin ilmiöllä aaltoluonne. Historiallisesti ajatellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokeet 1800-luvun alussa olivat hyvin merkittäviä.

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Valon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen

Valon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen Valon luonne ja eteneminen Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen 1 Valonlähteitä Perimmiltään valon lähteenä toimii kiihtyvässä liikkeessä olevat sähkövaraukset Kaikki

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 11 Tavoitteet Geometrinen optiikka Kamerat Silmä

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto 5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Geometrinen optiikka 3. Optiikka Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka (kuva: @www.goldastro.com) Ei huomioi, että valo on aaltoliikettä

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

VALONTAITTOMITTARIN KÄYTTÖ

VALONTAITTOMITTARIN KÄYTTÖ VALONTAITTOMITTARIN KÄYTTÖ MERKITSE KUVAAN VALONTAITTOMITTARIN OSAT. 1. Okulaarin säätörengas 2. Asteikkorengas 3. Käyttökatkaisin 4. Linssipitimen vapautin 5. Linssialusta 6. Linssipidin 7. Linssipöytä

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 8.5.014, malliratkaisut Kalle ja Anne tekivät fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla jäällä.

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 11 Tavoitteet Geometrinen optiikka Kamerat Silmä Suurennuslasi Optisia kojeita (yleissivistystä) Interferenssi Interferenssi

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Optiikkaa. () 10. syyskuuta 2008 1 / 66

Optiikkaa. () 10. syyskuuta 2008 1 / 66 Optiikkaa Kaukoputki on oikeastaan varsin yksinkertainen optinen laite. Siihen liitettävissä mittalaitteissa on myös optiikkaa, joskus varsin mutkikastakin. Vaikka havaitsijan ei tarvitsekaan tietää, miten

Lisätiedot