34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics)

Transkriptio

1 90 34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics) Omat kasvot kylpyhuoneen peilissä, kuu kaukoputken läpi katsottuna, kaleidoskoopin kuviot. Kaikki nämä ovat esimerkkejä optisista kuvista (images). Kuva muodostuu, kun esinepisteestä lähtevät säteet heijastumisten ja/tai taittumisten seurauksena konvergoituvat kuvapisteeseen. Kuvien syntymisen ymmärtämiseksi tarvitsemme vain valon sädemallin, heijastumis- ja taittumislain sekä yksinkertaista geometriaa ja trigonometriaa. Kuvan syntyä tutkimme siis ns. geometrisen optiikan approksimaatiossa Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa (Reflection and Refraction at a Plane Surface) Kuva voi muodostua myös tasomaisessa taittavassa pinnassa, kuten viereinen kuva osoittaa. Kummassakaan edellä esitetyssä tapauksessa säteet itse eivät kulje kuvapisteen kautta, vaan kuvan paikka voidaan hahmotella säteiden jatkeiden avulla. Säteen jatkeiden muodostamat kuvat ovat ns. valekuvia eli virtuaalisia kuvia (virtual images). 91 Jos kuva muodostuu itse säteiden leikatessa toisensa, kysymyksessä on ns. todellinen kuva (real image). Tarkastellaan nyt tarkemmin kuvan muodostumista heijastumisessa. Oleelliset säteet on piirretty viereisessä kuvassa. Esine (object) voi olla joko itsevalaiseva tai valaistu. Äärellisen kokoinen (äärellinen, extended) esine koostuu lukemattomista pistemäisistä esineistä (esinepisteistä, point object). Viereisessä kuvassa esinepisteestä P lähtevät säteet heijastuvat tasomaisesta peilipinnasta. Heijastumislain perusteella jokaisen säteen heijastuskulma on sama kuin sen tulokulma peilipintaan. Heijastumisen jälkeen jokainen säde näyttää tulevan peilin takaa pisteestä P. Tässä siis piste P on esinepiste ja piste P on ns. kuvapiste (image of point P). Esineen etäisyys kuvaavasta pinnasta (pisteestä V) on s Kuvan etäisyys kuvaavasta pinnasta (pisteestä V) on ' s Heijastuslain perusteella voidaan helposti päätellä, että kolmiot PVB ja P VB ovat yhdenmuotoisia. Tästä seuraa, että kuvapiste P sijaitsee täsmälleen yhtä kaukana peilin takana kuin esinepiste P sijaitsee peilin edessä.

2 Merkkisäänöt 9 Kuvausten laskeminen matemaattisesti vaatii sopimuksia etäisyyksien merkeistä. Seuraavat merkkisäännöt pätevät sekä taso- että pallopinnoille, jotka joko heijastavat tai taittavat säteitä. 1. Sääntö esineen etäisyydelle : Kun esine on samalla puolella pintaa kuin pintaan tulevat säteet, niin esineen etäisyys s on positiivinen, muutoin se on negatiivinen.. Sääntö kuvan etäisyydelle : Kun kuva on samalla puolella pintaa kuin pinnasta lähtevät säteet, niin kuvan etäisyys s ' on positiivinen, muutoin se on negatiivinen. 3. Sääntö pallopinnan kaarevuussäteelle : Kun pallopinnan kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet, niin kaarevuussäde on positiivinen, muutoin se on negatiivinen. Edellisen sivun kuvassa tasopeilistä tapahtuvassa heijastuksessa esine on samalla puolella kuin tulevat säteet, joten esineen etäisyys s on positiivinen. Kuvapiste puolestaan on eri puolella kuin lähtevät säteet, joten kuvan etäisyys s ' on negatiivinen. Tasopeilin kuvausyhtälöksi voimme siis kirjoittaa s= s'. (34.1) Tarkastellaan seuraavaksi äärellisen esineen kuvautumista tasopeilissä (kuva vieressä). Esineen (nuoli) korkeus on y. Jokainen äärel- 93 lisen esineen piste kuvautuu kuvapisteeksi, joista muodostuu äärellinen kuva. Tutkitaan nuolen kärjen (pisteen Q) kuvautumista. Kuvaan on piirretty kaksi pisteestä Q lähtevää sädettä, jotka heijastuttuaan jatkavat matkaa vasemmalle. Säteiden jatkeet yhtyvät pisteessä Q, jonne kuva muodostuu. Taas heijastumislain ja yhtenevien kolmioiden avulla näemme, että kuvan korkeus y on sama kuin esineen korkeus y, ts. y = y'. Kuvan korkeuden y ' suhdetta esineen korkeuteen y sanotaan (poikittaiseksi) suurennukseksi m (lateral magnification), siis y ' m =. (34.) y Tasopeilille laskimme edellä tuloksen y= y', joten suurennukseksi tulee yksi. Kun katsot kasvojasi peilistä, kuva on saman kokoinen kuin kasvosi. Edellisessä kuvassa kuvanuoli osoittaa samaan suuntaan kuin esinenuoli. Sanotaan, että kuva on oikein päin (erect). Tasopeilin suurennus on aina siis m = + 1, jossa (+)-merkki tarkoittaa oikeinpäin olevaa kuvaa. Kääntyneelle (inverted) kuvalle y ja y ' ovat vastakkaismerkkisiä ja siitä seuraten suurennus on negatiivinen. Kannattaa huomata, että peilikuvauksessa kuvan kätisyys on vastakkainen esineen kätisyyteen verrattuna. Esimerkiksi vasemman käden kuva on oikea käsi, kuten on osoitettu viereisessä kuvassa.

3 94 Tärkeä seikka, joka liittyy kaikkiin kuvauksiin on se, että yhden pinnan muodostama kuva voi toimia esineenä seuraavalle pinnalle. Esimerkiksi viereisessä kuvassa alkuperäinen esinepiste P kuvautuu kuvapisteeksi P 1 ' peilillä 1 ja toisaalta kuvapisteeksi P ' peilillä. Näiden kahden kuvapisteen lisäksi näkyvissä on kolmaskin kuvapistep 3 ', joka nyt on kuvapisteen P 1 ' kuva kuvattuna peilillä. Piste P 1 ' toimii siis esineenä kuvauksessa peilillä. 34. Heijastuminen pallopinnassa (Reflection at a Spherical Surface) Tarkastellaan seuraavaksi kuvan muodostamista heijastavalla pallopinnalla. Viereisessä kuvassa on esitetty kovera (concave) pallopinta. Pinnan kaarevuussäde on R, niin että kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pintaan tulevat säteet. Peilin huippupiste eli vertex on pisteessä V. Jana joka yhdistää pisteet C ja V on ns. optinen akseli (optic axis). Esinepiste P on nyt aluksi optisella akselilla ja oletetaan, että etäisyys PV on suurempi kuin R. Merkkisääntöjen perusteella s > 0, s ' > 0 ja R > Kuvapisteen paikka P saadaan selville soveltamalla heijastuslakia ja seuraavaa tasogeometrian tulosta: Kolmion kulmien summa on 180. Kolmiosta PBC kirjoitamme siis α + θ + (180 φ) = 180 ja kolmiosta CBP saamme φ + θ + (180 β) = 180. Sieventämällä tulee θ = φ α ja θ = β φ ja saamme siis α + β = φ. (34.3) Kuvan perusteella kirjoitamme myös tulokset h h h tanα =, tan β = ja tanφ = s δ s' δ R δ. Seuraavaksi tehdään tärkeä approksimaatio. Oletetaan, että säteiden etenemiskulmat, ts. poikkeamakulmat optisen akselin suunnasta ovat pieniä. Trigonometriset tangentit voidaan korvata suoraan argumenteillaan, joten saadaan h h h α =, β = ja φ =, s s ' R missä myös δ on jätetty pois hyvin pienenä. Kun nämä tulokset sijoitetaan kulmayhtälöön (34.3), tulee =. (34.4) s s' R Tulos on ns. paraksiaalisen approksimaation (myös ns. ensimmäisen kertaluvun approksimaation) mukainen kuvausyhtälö koveralle peilille. On muistettava, että kuvausyhtälö pätee vain säteille, jotka eivät poikkea paljon optisesta akselista. Paljon akselista poikkeavat säteet muodostavat kuvan eri paikkaan kuin mihin yhtälömme sen sijoittaisi. Tällöin puhutaan kuvausvirheestä nimeltä palloaberraatio. Esimerkiksi Hubblen peili kärsi aluksi (ennen korjausta) palloaberraatiosta.

4 96 Kun esinepiste on hyvin kaukana pallopeilistä ( s = ), tulevat säteet ovat paralleeleja ja kuvausyhtälöstä (34.4) saadaan = s' R R s ' =. Tilanne on esitetty viereisessä kuvassa (a). Paralleelit säteet konvergoituvat (fokusoituvat) pisteeseen F, joka on etäisyydellä R / peilistä. Piste F on ns. polttopiste (focal point). Polttopisteen etäisyys f peilistä on ns. polttoväli (focal length). Se on R f =. (34.5) Kuvassa (b) on esitetty käänteinen tilanne. Esine on polttopisteessä, ts. s= f = R/, ja 1 R + s' = R s ' =, eli kuva on äärettömyydessä. 97 y y' tanθ = =, s s' missä (-)-merkki tarvitaan, koska kuva on kääntynyt. Poikittaiseksi suurennukseksi tulee y' s' m = =. (34.7) y s Esimerkki: Kovera peili muodostaa lampun hehkulangasta kuvan peilistä 3,00 m:n päässä olevalle seinälle (kuva alla). Kuvausyhtälö (34.4) esitetään usein muodossa s + s' = f. (34.6) Seuraavan sivun kuvassa tarkastellaan äärellisen kokoisen esineen kuvautumista. Esine on nuoli, jonka toinen pää (P) on optisella akselilla ja toinen (Q) korkeudella y. Kuvanuoli on paikassa P ja sen korkeus P Q on y '. Kuva on konstruoitu kahden säteen avulla ja se on tässä tapauksessa kääntynyt. Hehkulanka, jonka korkeus on 5,00 mm on 10,0 cm:n etäisyydellä peilistä. (a) Laske peilin polttoväli ja kaarevuussäde. (b) Laske kuvan koko. Millainen kuva on kysymyksessä? Kolmioiden PVQ ja P V Q avulla voimme kirjoittaa

5 98 Viereisessä kuvassa tarkastellaan kuvan muodostuminen kuperassa (convex) peilissä. 99 Nyt kaarevuussäde R on siis negatiivinen. Paralleelit optisen akselin suuntaiset säteet eivät tässä tapauksessa leikkaa polttopisteessä vaan näyttävät tulevan sieltä heijastumisen jälkeen. Myös tässä Kaarevuuskeskipiste C ja peilistä lähtevät säteet ovat peilin vastakkaisilla puolilla, joten kaarevuussäde R on nyt negatiivinen. Kuvassa (a) myös kuvan etäisyys s ' on negatiivinen, mutta esineen etäisyys s on positiivinen. tapauksessa f on polttoväli, mutta pistettä F sanotaan virtuaaliseksi polttopisteeksi. Myös nyt pätee f = R /. Esimerkki: Kuperan peilin kaarevuussäde on 3,60 cm. Esine on 0,750 m:n päässä peilin edessä. Minne kuva muodostuu? Laske myös suurennus. Millaisesta kuvasta on kysymys? Kuva (b) esittää äärellisen kokoisen esineen kuvautumisen. Samanlainen tarkastelu kuin koveran peilin tapauksessa johtaa yhtälöihin (kotitehtävä) 1 1 s + s' = R ja y' s' m = =. y s Yhtälöt ovat täsmälleen samoja kuin koveralla peilillä. Peilikuvauksen graafinen analyysi (Graphical Methods for Mirrors) Edellisessä kappaleessa johdimme peileille kuvausyhtälöt, joilla kuvan paikka voidaan laskea. Kuvan paikka saadaan selville myös graafisilla menetelmillä. Periaate on, että määritetään esinepisteestä lähtevien säteiden, tai niiden jatkeiden, leikkauspiste. Kuva muodostuu tähän leikkauspisteeseen. Seuraavassa kuvassa on esitetty neljä sellaista sädettä, jotka tavallisesti voidaan piirtää helposti. Kuvapisteen paikan määrittämiseksi vähintään kaksi näistä säteistä on piirrettävä.

6 Taittuminen pallopinnassa (Refraction at a Spherical Surface) Myös taittava pallopinta toimii kuvaavana elementtinä. Seuraavassa kuvassa tarkastellaan kuvan muodostumista tällaisessa pinnassa. Kuvataan pistettä, joka ei ole optisella akselilla: 1. Optisen akselin suuntainen säde (tai sen jatke) kulkee heijastuksen jälkeen polttopisteen (tai virtuaalisen polttopisteen) kautta.. Polttopistettä (tai virtuaalista polttopistettä) kohti kulkeva säde kulkee heijastuksen jälkeen optisen akselin suuntaisena. 3. Kaarevuuskeskipistettä kohti kulkeva säde palaa heijastuksen jälkeen samaa reittiä takaisin. 4. Peilin huippupisteestä V heijastuvan säteen tulokulma ja heijastuskulma optisen akselin suhteen ovat samoja. Kuvassa kahden aineen rajapinta on pallopinta, jonka kaarevuussäde on R. Kaarevuuskeskipiste on samalla puolella kuin rajapinnasta lähtevät säteet, joten R on positiivinen. Säde PV osuu rajapintaan kohtisuorasti, joten se etenee materiaaliin b suoraan. Säde PB, joka muodostaa kulman α optisen akselin kanssa osuu rajapintaan tulokulmalla θ a ja taipuu materiaaliin b kulmassa θ b. Säteet leikkaavat kuvapisteessä P. Kuva on piirretty olettamalla na < nb ja sekä esineen etäisyys s että kuvan etäisyys s ' ovat positiivisia. Kolmiosta PBC kirjoitamme α + φ + (180 θ a ) = 180 ja kolmiosta P BC vastaavasti β + θ + (180 φ) = 180. Näistä saadaan b θa = α + φ ja φ = β + θb. (34.8)

7 10 Taittumislaki antaa puolestaan nasinθa = nbsinθb, ja kuvasta saamme tangenteille h h h tanα =, tan β = ja tanφ = (34.9) s + δ s' δ R δ Paraksiaalisessa approksimaatiossa molemmat kulmat θ a ja θ b ovat pieniä, joten taittumislaki voidaan kirjoittaa muodossa naθ a = nbθ b. Kun tämä yhdistetään ensimmäisen yhtälön (34.8) kanssa, saadaan na θb = ( α + φ). nb Kun tämä sitten sijoitetaan toiseen (34.8):n yhtälöön, tulee naα + nbβ = ( nb na) φ. (34.10) Seuraavaksi käytämme pienten kulmien approksimaatiota tangentteihin (34.9) ja kirjoitamme h h h α =, β = ja φ =. s s ' R Lopulta sijoittamalla nämä yhtälöön (34.10) saadaan kuvausyhtälöksi na nb nb na + =. (34.11) s s' R 103 Kolmioista PQV ja P Q V tulee y y ' tanθ a = ja tanθb =, s s' ja taittumislaki on nasinθa = nbsinθb. Kun kulmat ovat pieniä, niin pätee tan x sin x, joten saamme ny a ny b ' =, s s' ja lopulta sitten y' nas' m = =. (34.1) y n s Yhtälöitä (34.11) ja (34.1) voidaan käyttää sekä koverille että kuperille taittaville pinnoille, kunhan merkkisääntöjä sovelletaan asianmukaisesti. Esimerkki: Ilmassa olevan sylinterinmuotoisen lasisauvan taitekerroin on 1.5. Sauvan toinen pää on hiottu puolipallon muotoiseksi niin, että kaarevuussäde on,00 cm. Esine on 8,00 cm:n päässä sauvan edessä. (a) Laske kuvan paikka ja suurennus. b Suurennus saadaan seuraavan kuvan avulla: (b) Lasisauva upotetaan veteen (taitekerroin 1.33). Miten tilanne muuttuu?

8 104 Tärkeä erikoistapaus taittavasta rajapinnasta on tasopinta. Yhtälössä (34.11) on tällöin sijoitettava R =, joten kuvausyhtälöksi saadaan na nb + = 0. (34.13) s s' Suurennuksen yhtälö (34.1) antaa m = 1, ts. tasopinnan muodostama kuva on aina esineen kokoinen ja se on oikein päin. Esimerkki: Uima-altaan syvyys on,00 m. Kuinka syvältä se näyttää? Samalla tavalla pisteestä F 1 lähtevät säteet ohjautuvat optisen akselin suuntaisiksi läpäistyään linssin. Piste F 1 on linssin ensimmäinen polttopiste (first focal point) ja piste F linssin toinen polttopiste (second focal point). Etäisyys f linssin keskipisteestä polttopisteisiin on linssin polttoväli (focal length). Kokoavan linssin polttoväli on määritelty positiiviseksi ja tämän vuoksi tällaisia linssejä sanotaan myös positiivisiksi linsseiksi (positive lenses) Ohuet linssit (Thin Lenses) Linssi on ylivoimaisesti yleisin optinen laite, tasopeilin jälkeen. Yksinkertainen ohut linssi (thin lens) muodostuu kahdesta taittavasta pallopinnasta, jotka ovat niin lähellä toisiaan, että niiden välimatka voidaan approksimoida nollaksi. Linssin kuvausyhtälö johdetaankin edellisen kappaleen tulosten avulla. Tarkastellaan kuitenkin ensin linssin ominaisuuksia. Seuraavassa kuvassa on esitetty ns. kokoavaa linssiä (converging lens). Linssi kokoaa optisen akselin suuntaiset säteet kulkemaan pisteen F kautta. Kuvassa alla kokoava linssi muodostaa kuvan äärellisestä esineestä. Myös nyt esineen etäisyys on s ja kuvan etäisyys s '. Esineen ja kuvan korkeudet ovat y ja y '. Esineen kärjestä lähtevä optisen akselin suuntainen säde taipuu linssissä kulkemaan toisen polttopisteen F kautta. Linssin keskipisteen O kautta kulkeva säde etenee puolestaan suoraan. Näiden kahden säteen leikkauspisteeseen muodostuu nuolen kärjen kuva. Suorakulmaisten kolmioiden PQO ja P Q O avulla kirjoitamme

9 106 ' tan α = y y s = s' y' s' =, (34.14) y s missä (-)-merkki tarkoittaa sitä, että kuva on kääntynyt. Pienemmistä kolmioista OAF ja P' QF ' kirjoitamme puolestaan y y' y' s' f tan β = = =. (34.15) f s' f y f Yhdistämällä (34.14) ja (34.15) saadaan ohuen linssin kuvausyhtälö s + s' = f (34.16) ja tuloksesta (34.14) kirjoitetaan suurennukseksi s ' m =. (34.17) s Yhtälöt (34.16) ja (34.17) ovat ohuen linssin perusyhtälöitä ja kuten havaitaan, ne ovat täsmälleen samat kuin peilien yhtälöt. Edellä todetut (sivu 9) merkkisäännöt pätevät myös linsseille. Kokoavan linssin polttoväli on positiivinen. Viereisessä kuvassa tarkastellaan ns. hajottavaa linssiä (diverging lens). Linssiin optisen akselin suuntaisesti tulevat säteet hajoavat linssin läpi mentyään niin, että ne näyttävät tulevan toisesta polttopisteestä F. Vastaavasti kohti ensimmäistä polttopistettä F 1 tulevat säteet kääntyvät kulkemaan optisen akselin suuntaisesti. Hajottavan linssin polttoväli f on negatiivinen ja linssiä sanotaan myös negatiiviseksi linssiksi. 107 Linssien perusyhtälöt (34.16) ja (34.17) pätevät myös hajottaville linsseille. Viereisessä kuvassa on esitetty erilaisia linssityyppejä. Kuvan (a) linssit ovat meniscuslinssi, tasokupera linssi ja kaksoiskupera linssi. Kaikki nämä ovat keskeltä paksumpia kuin reunoilta. Tällaiset kuperat linssit ovat aina kokoavia eli positiivisia linssejä. Kuvan (b) linssit ovat kaikki keskeltä ohuempia kuin reunoilta. Ne ovat tyypeiltään meniscuslinssi, tasokovera linssi ja kaksoiskovera linssi. Tällaiset koverat linssit ovat aina hajottavia eli negatiivisia linssejä. On huomattava, että jos edellisen kuvan linssit siirretään väliaineeseen, jonka taitekerroin on suurempi kuin linssien taitekertoimet, niin kuvan (a) linssit muuttuvat hajottaviksi ja kuvan (b) linssit kokoaviksi linsseiksi. Linssintekijän yhtälö Linssintekijän yhtälöllä lasketaan linssin polttoväli, kun linssin taitekerroin n ja linssin pintojen kaarevuussäteet R 1 ja R tunnetaan. Yhtälö johdetaan soveltamalla taittavan pinnan kuvausyhtälöä siten, että linssin ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii esineenä linssin toiselle pinnalle. Seuraavan sivun kuvassa kaksi pallopintaa (linssi) erottaa toisistaan kolme eri väliainetta, joiden taitekertoimet ovat n a, n b ja n c. Esineen etäisyys ensimmäisestä pinnasta on s 1 ja ensimmäinen pinta muodostaa kuvan etäisyydelle s 1 '. Esineen ja kuvan etäisyydet toiselle pinnalle ovat s ja s '. Linssi oletetaan niin ohueksi, että

10 Kun tätä verrataan linssiyhtälöön (34.16) havaitaan, että ( n 1) = f R1 R. (34.19) Tämä tulos on ns. linssintekijän yhtälö (lensmakers equation). Kaarevuussäteiden merkkisääntöjen selventämiseksi viereisessä kuvassa tarkastellaan vielä esimerkkinä kaksoiskuperaa linssiä. välimatka t voidaan olettaa nollaksi muiden etäisyyksien rinnalla. Tällöin etäisyydet s 1 ' ja s ovat yhtä suuria, mutta vastakkaismerkkisiä (nyt siis esine toiselle pinnalle on ns. vale-esine). Voidaan siis kirjoittaa s = s 1 '. Käytetään taittavan pinnan kuvausyhtälöä (34.11) kaksi kertaa peräkkäin: na nb nb na + =, s s ' R nb nc nc nb + =. s s ' R Tavallisesti linssiä ympäröi molemmilta puolilta ilma, ts. taitekertoimille pätee na = nc = 1. Merkitään lisäksi linssin taitekerrointa nb = n. Sijoittamalla nämä ja tulos s = s 1 ' edelliseen yhtälöpariin saadaan 1 n n 1 + =, s s ' R n 1 1 n + =. s ' s ' R 1 Lasketaan nämä yhteen, jolloin ( n 1) + = s1 s' R1 R. Ensimmäisen pinnan kaarevuussäde R 1 on positiivinen, koska sen kaarevuuskeskipiste C 1 on samalla puolella kuin linssistä lähtevät säteet. Toisen pinnan kaarevuussäde R on negatiivinen, koska sen kaarevuuskeskipiste C on eri puolella kuin linssistä lähtevät säteet. Esimerkki: Ohuen linssin molemmat kaarevuussäteet ovat 10 cm ja sen taitekerroin on 1,5. Laske polttoväli, kun linssi on (a) kaksoiskupera ja (b) kaksoiskovera. (c) Laske polttoväli, jos linssi on tasokupera, ts. toinen (ensimäinen) kaarevuussäteistä on ääretön.

11 110 Linssikuvauksen graafinen analyysi (Graphical Methods for Lenses) 111 Myös linssin muodostaman kuvan paikka voidaan määrittää graafisesti tarkastelemalla muutamia sopivasti valittuja säteitä. Kuva sijaitsee linssin läpäisseiden säteiden (tai niiden jatkeiden) leikkauspisteessä. Seuraavassa kuvassa on esitetty kolme helposti piirrettävää sädettä: Esimerkki: Käytettävissäsi on hajottava linssi, jonka polttoväli on 0,0 cm. Haluat muodostaa linssillä oikeinpäin olevan valekuvan, jonka korkeus on kolmasosa esineen korkeudesta. Mihin sijoitat esineen? Piirrä kuva. Kuvataan pistettä, joka ei ole optisella akselilla: 1. Optisen akselin suuntainen säde kulkee linssin jälkeen suuntaan, joka sisältää toisen polttopisteen F.. Linssin keskeltä kulkeva säde etenee suoraan. 3. Ensimmäisen polttopisteen F 1 suuntaan etenevä säde kulkee linssin jälkeen optisen akselin suuntaisesti. Seuraavissa kuvissa on esitettu muutamia esimerkkejä kokoavan linssin graafisesta analyysistä esineen ollessa eri etäisyyksillä: Esimerkki: Esine, jonka korkeus on 8,0 cm, sijoitetaan 1,0 cm:n päähän vasemmalle kokoavasta linssistä, jonka polttoväli on 8,0 cm. Toinen kokoava linssi (polttoväli 6,0 cm) sijoitetaan ensimmäisestä linssistä 1,0 cm oikealle samalle optiselle akselille. Laske systeemin muodostaman kuvan paikka, koko ja orientaatio Kamerat (Cameras and Projectors) Kameran (camera) peruselementit ovat kokoava linssi, pimeä laatikko (kamera on latinaa ja tarkoittaa suljettua huonetta), valoherkkä filmi ja sulkija, jonka avulla säädetään filmille pääsevän valon määrää.

12 11 Laadukkaat kameran linssit ovat useiden linssien muodostamia linssikombinaatiosta, joilla voidaan korjata erilaisia kuvausvirheitä ja väripoikkeamia. Yksittäisen linssin taitekerroinhan ja sitäkautta polttoväli riippuu aallonpituudesta. Klassinen kameran linssi on ns. Zeiss (tai Tessar) kombinaatio, joka on esitetty edellisessä kuvassa. Kun kamera on oikein säädetty, linssin muodostama kuva syntyy terävänä filmin pinnalle. Kokoavan linssin muodostama kuva on sitä lähempänä linssiä mitä kauempana kuvattava kohde on. Kamerassa on siis pystyttävä säätämään linssin etäisyyttä filmistä. Linssin polttovälin valinta riippuu filmin koosta ja siitä, millainen näkökulma (angle of view) halutaan. Viereisessä kuvassa kameralla otetaan kolme valokuvaa patsaasta käyttäen erilaisia polttovälejä. Filminä käytetään ns. 35-mm:n filmiä, jonka kuva-alue on 4 mm 36 mm. Näkökulmat vastaavat filmin diagonaalin kokoa. Pitkä polttoväli ( f = 300 mm) johtaa kapeaan näkökulmaan (8 ) mutta samalla suureen kuvakokoon. Patsas näyttää siis olevan lähellä. Pitkäpolttoväliset kameran linssit ovat ns. kaukoobjektiivejä (telephoto lens). Lyhyt polttoväli ( f = 8 mm) johtaa leveään näkökulmaan (75 ) mutta samalla pieneen kuvakokoon. Patsas näkyy kuvassa pienenä ja näyttää siis olevan kaukana. Lyhyen polttovälin linssejä sanotaan laajakulmalinsseiksi (wide-angle lens). 113 Esimerkki: Kameran linssin polttoväli on f. Osoita, että näkökulma on kääntäen verrannollinen polttoväliin ja laske näkökulma, kun f = 105 mm ja filminä käytetään 35-mm:n filmiä. Kuvan onnistumiseksi filmille tulevan valomäärän on oltava oikea. Valotusta (exposure) kontrolloidaan linssin aukon koolla (aperture) ja sulkijalla (shutter). Sulkija kontrolloi aikaa, jona valoa pääsee linssille. Tavallisesti nämä ns. valotusajat on säädettävissä yhdestä sekunnista aina yhteen tuhannesosasekuntiin. Filmille tuleva intensiteetti (kun sulkija on auki) on verrannollinen linssin näkemään pinta-alaan ja linssin aukon kokoon. Linssin näkemä pinta-ala on puolestaan verrannollinen näkökulman (ks. esimerk- ki edellä) neliöön, ts. 1/ f :een. Linssin aukon efektiivistä kokoa säädetään himmentimellä (diaphragm), jonka halkaisijaa D voidaan säätää (kuva). Linssin aukon pinta-ala on siten verrannollinen D :een. Yhdistämällä edelliset intensiteettiin vaikuttavat tekijät, havaitaan, että filmille tuleva intensiteetti on verrannollinen suhteeseen ( D / f ). Edellisen perusteella linssin valonkeräyskykyä kuvataan ns. f- luvulla (f-number), joka määritellään suhteena f f luku =. (34.0) D Esimerkiksi, jos linssin polttoväli on 50 mm ja aukon halkaisija 5 mm, niin linssin f-luku on. Linssi on ns. f / linssi.

13 114 Linssin efektiivisen halkaisijan kasvattaminen tekijällä muuttaa f lukua tekijällä 1/ ja kasvattaa filmille tulevaa intensiteettiä tekijällä. Kameran linssin f luku on tavallisesti säädettävissä seuraavin pykälin: f /, f /.8, f /4, f /5.6, f /8, f /11, ja niin edelleen. Seuraava f luku saadaan siis aina edellisestä tekijällä. Filmin kokonaisvalotus on tietysti riippuvainen f luvun lisäksi valotusajasta. Esimerkiksi kombinaatiot f /4 ja 1/500 s, f /5.6 ja 1/50 s sekä f /8 ja 1/15 s johtavat kaikki samaan valotukseen. Esimerkki: Kameran kauko-objektiivin polttoväli on 00 mm ja sen f luku on säädettävissä f /5.6:sta f /45: een. (a) Laske vastaavat efektiiviset halkaisijat. (b) Laske ääritapausten intensiteettien suhde Silmä (The Eye) Silmän toiminta muistuttaa kameran toimintaa. Se rakenne on esitetty seuraavassa kuvassa. Silmämuna on lähes pallo, jonka halkaisija on noin,5 cm. Etuosassa on kova läpinäkyvä kalvo, ns. sarveiskalvo (cornea). Sarveiskalvon takana on etukammio, joka sisältää ns. kammiovettä (aqueous humor) ja sen takana on silmän linssi eli mykiö (crystalline lens). Linssiä pitää paikoillaan lihaksisto, ns. sädelihakset (ciliary muscle), jotka voivat muuttaa linssin muotoa. Linssin jälkeen silmä on täynnä hyytelömäistä nestettä, ns. lasiaisnestettä (vitreous humor). 115 Kammionesteen ja lasiaisnesteen taitekertoimet ovat molemmat noin 1,336 eli lähellä veden taitekerrointa. Linssin keskimääräinen taitekerroin on noin 1,437, joten se ei poikkea kovin paljon sitä ympäröivien nesteiden taitekertoimista. Tästä seuraa, että tärkein silmään saapuvan säteen taittuminen tapahtuu ilmasarveiskalvo rajapinnassa, eikä suinkaan itse linssissä. Taittuminen ilma-sarveiskalvokalvo rajapinnassa sekä linssin rajapinnoissa muodostaa todellisen, väärinpäin olevan kuvan valoherkälle verkkokalvolle (retina). Verkkokalvo vastaa kameran filmiä. Verkkokalvon tappi- ja sauvasolut (rods and cones) toimivat valodetektoreina ja lähettävät kuvan sähköisessä muodossa näköhermoa (optic nerve) pitkin aivojen käsiteltäväksi. Linssin edessä on ns. värikalvo eli iiris, jonka keskellä olevasta pyöreästä aukosta eli pupillista valo pääsee silmään. Pupillin koko muuttuu valon kirkkauden mukaan ts. se säätää silmään pääsevän valon intensiteettiä. Jotta esine nähtäisiin tarkasti, kuvan on muodostuttava täsmälleen verkkokalvolle. Silmä mukautuu eri esineen etäisyyksille s muuttamalla linssin polttoväliä f. Linssi-verkkokalvo etäisyys ei muutu. Normaalissa silmässä äärettömyydessä olevan esineen kuva muodostuu verkkokalvolle, kun linssin sädelihakset (mukauttajalihakset) ovat levossa. Lähempänä olevien esineiden tarkkaa näkemistä varten mukauttajalihakset jännittyvät ja muuttavat linssin pintojen

14 116 kaarevuussäteitä niin, että linssin polttoväli lyhenee. Tätä sanotaan silmän mukautumiseksi (accommodation). Näkemisen etäisyyden äärirajat ovat ns. kaukopiste (far point) ja ns. lähipiste (near point). Normaalin silmän kaukopiste on äärettömyydessä, mutta lähipisteen etäisyys riippuu siitä, miten paljon mukauttajalihakset pystyvät muuttamaan linssin kaarevuussäteitä. Silmän mukautumiskyky heikkenee iän mukana, koska linssi kasvaa koko ajan (se on noin 50% suurempi 60 vuotiailla kuin 0 vuotiailla). Mukauttajalihakset eivät pysty käsittelemään suurta linssiä yhtä helposti kuin pientä. Mukautumiskyvyn heikkenemistä sanotaan vanhuusnäöksi (presbyopia). Lähipiste 10 vuotiailla on noin 7 cm:n etäisyydellä, 30 vuotiailla noin 15 cm:n etäisyydellä ja 50 vuotiailla noin 40 cm:n etäisyydellä. Viereisessä kuvassa on esitetty tavallisimmat näkövirheet. Kuvassa (a) on normaali silmä, jossa kuva muodostuu tarkasti verkkokalvolle. Kuvan (b) silmä on ns. likinäköinen (myopic) silmä. Silmämuna on polttoväliin nähden liian pitkä, joten kaukana olevan esineen terävä kuva muodostuu verkkokalvon eteen. 117 Näön korjaamiseen tarkoitettujen linssien taittovoimakkuutta kuvataan metreinä annetun polttovälin käänteisarvolla. Voimakkuuden yksikkö on diopteri (diopter). Esimerkiksi, jos linssin polttoväli on f = 0,50 m, niin sen voimakkuus on,0 diopteria. Jos f = 0,5 m, niin voimakkuus on 4,0 diopteria. Esimerkki: Pitkänäköisen silmän lähipiste on 100 cm:n päässä silmän edessä. Millaiset piilolinssit tarvitaan, jotta 5 cm:n etäisyydellä oleva esine näkyisi tarkasti? Esimerkki: Likinäköisen silmän kaukopiste on 50 cm:n päässä silmän edessä. Millaiset silmälasit tarvitaan, jotta äärettömyydessä oleva esine näkyisi tarkasti? Oletetaan, että silmälaseja pidetään cm:n etäisyydellä silmästä Suurennuslasi (The Magnifier) Esineen näennäinen koko määräytyy verkkokalvolle muodostuvan kuvan koosta. Paljaalla silmällä katsottuna tämä koko riippuu siitä, minkä kokoisessa kulmassa θ esine näkyy, kuva (a) alla. Pitkänäköisessä (hyperopic) silmässä (c) silmämuna on polttoväliin nähden liian lyhyt ja terävä kuva muodostuu verkkokalvon taakse. Näkövirheitä voidaan korjata silmän eteen asetettavalla linssillä. Likinäköisyyttä korjataan hajottavalla linssillä ja pitkänäköisyyttä kokoavalla linssillä (ks. esimerkit myöhemmin). Kun pientä esinettä katsotaan tarkasti se tavallisesti tuodaan lähelle silmää niin, että esineen kulmakoko (angular size) on suurempi. Sil-

15 118 mä pystyy kuitenkin mukautumaan vain lähipisteeseen saakka, joka jatkossa oletetaan olevan 5 cm:n etäisyydellä (standardi-ihmisen lähipiste). Paljaalla silmällä kulmakokoa ei siis saada kovin suureksi. Kokoavan linssin avulla esineestä voidaan muodostaa valekuva, joka on suurempi ja kauempana silmästä kuin esine itse. Tällöin esine voidaan tuoda lähemmäksi silmää ja kulmakoko saadaan huomattavasti suuremmaksi kuin ilman linssiä 5 cm:n päässä olevan esineen kulmakoko. Näin käytettävää linssiä sanotaan suurennuslasiksi (magnifier) Suurennuslasilla virtuaalinen kuva muodostetaan tavallisesti äärettömyyteen, jolloin mukauttajalihakset ovat levossa ja kuvaa on helppo katsoa. Kuvassa (a) edellisellä sivulla esine on lähipisteessä ja se muodostaa kulman θ. Kuvassa (b) silmän edessä oleva suurennuslasi muodostaa kuvan äärettymyyteen ( s ' = ) ja kulmakoko on θ '. Esine on linssistä polttovälin päässä, ts. s= f, koska kuva muodostuu äärettömyyteen. Suurennuslasin kulmasuurennus M (angular magnification) määritellään ' M = θ. (34.) θ Edellisten tarkastelujen (ja kuvan) perusteella kirjoitamme y y θ = ja θ ' =. 5 cm f Kulmasuurennukseksi saamme siis y/ f 5cm M = =. (34.) y /5cm f 119 Esimerkki: Käytettävissäsi on kaksi linssiä, kaksoiskupera ja kaksoiskovera, joiden molempien polttoväli on 10.0 cm. Kumpaa linssiä voit käyttää suurennuslasina ja mikä on kulmasuurennus Mikroskoopit ja kaukoputket (Microscopes and telescopes) Suurennuslasin kulmasuurennusta voidaan kasvattaa lyhentämällä polttoväliä. Tällöin kuitenkin linssin kuvausvirheet tulevat merkittäviksi. Suurin käytännössä saavutettava kulmasuurennus on luokkaa 3 tai 4. Suuremman suurennuksen aikaansaamiseksi tarvitaan mikroskooppia. Mikroskoopin oleelliset elementit on esitetty viereisessä kuvassa. Laite koostuu periaatteessa kahdesta linssistä, joista esineen lähellä oleva linssi on ns. objektiivi (objective) ja silmän lähellä oleva linssi on ns. okulaari (eyepiece). Esine O asetetaan objektiivista vähän kauemmaksi kuin missä polttopiste F 1 on, jolloin objektiivi muodostaa esineestä suurennetun todellisen kuvan I. Okulaari toimii suurennuslasina, jolla välikuvaa I katsotaan.

16 10 Okulaari muodostaa kuvan I, joka voi sijaita missä tahansa lähipisteen ja kaukopisteen välillä. Jos välikuva säädetään okulaarin polttopisteeseen F ' 1, niis kuva I muodostuu kaukopisteeseen (äärettömyyteen) ja sitä on helppo katsoa. 11 Kaukoputki eroaa mikroskoopista siinä, että sillä katsotaan kaukana (äärettömyydessä) olevia suuria esineitä. Toinen ero on se, että kaukoputkessa objektiivilinssi voidaan korvataan kuperalla peilillä. Mikroskoopin suurennus muodostuu kahdesta tekijästä, nimittäin objektiivin poikittaisesta suurennuksesta m 1 ja okulaarin kulmasuurennuksesta M. Ensimmäinen näistä lasketaan kuvan mukaisesti s1 ' m1 =, s1 missä s 1 on esineen O etäisyys ja s 1 ' kuvan I etäisyys objektiivista. Todellisuudessa esine on hyvin lähellä polttopistettä F 1, joten voidaan kirjoittaa m1 = s1'/ f1, missä f 1 on objektiivin polttoväli. Todellinen välikuva I on hyvin lähellä okulaarin polttopistettä F 1 ', joten (34.):n mukaan kulmasuurennukseksi saadaan (5cm) M =, f missä f on okulaarin polttoväli. Mikroskoopin kokonaiskulmasuurennukseksi lasketaan (5 cm) s1 ' M = m1 M =. (34.3) ff 1 Tulos (34.3) osoittaa, että lopullinen kuva on kääntynyt verrattuna esineeseen ja että mikroskoopin suurennusta voidaan kasvattaa lyhentämällä objektiivin ja okulaarin polttovälejä. Kaukoputket (Telescopes) Kuten mikroskoopissa, niin myös kaukoputkessa objektiivi muodostaa välikuvan, jota katsotaan okulaarilla kuten suurennuslasilla. Tähtitieteellisen kaukoputken (astronomical telescope) periaatekuva on esitetty yllä. Objektiivi muodostaa käytännössä äärettömyydessä olevasta esineestä todellisen välikuvan I hyvin lähelle omaa polttotasoaan, siis lähelle pistettä F. Tätä kuvaa katsotaan okulaarilla ja jos lopullinen kuva I halutaan äärettömyyteen (helppo katsoa), niin välikuva I on myös okulaarin polttopisteessä F 1 '. Objektiivin ja okulaarin polttopisteet yhtyvät ja linssien etäisyydeksi toisistaan tulee f1+ f. Kaukoputken kulmasuurennus M määritellään suhteena M = θ '/ θ, missä θ ' on se kulma, jossa lopullinen kuva nähdään ja θ se kulma, jossa esine nähtäisiin ilman kaukoputkea, ks. kuva yllä. Kuvan kolmioista saadaan y ' y ' θ = ja θ ' =, f f 1

17 1 ja kaukoputken kulmasuurennukseksi lasketaan y'/ f f1 M = =. (34.4) y'/ f f 1 Tähtitieteellisen kaukoputken kuva on siis kääntynyt ja suuren kulmasuurennuksen kaukoputkessa objektiivin polttoväli on pitkä ja okulaarin lyhyt. Tähtitieteellisessä kaukoputkessa kuvan kääntyminen ei ole ongelma. Maakaukoputkissa (kiikareissa yms.) kuva ei saa kääntyä. Asia hoidetaan esimerkiksi Porro-prismoilla viereisen kuvan mukaisesti. Peilikaukoputkessa objektiivilinssi korvataan koveralla peilillä. Peilikaukoputken yksi selkeä etu on siinä, että peilikuvauksessa ei synny värivirheitä (ei ole taitekerrointa, jonka arvo riippuisi aallonpituudesta). Myös peilin palloaberraatio on helpompi korjata kuin linssien palloaberraatio. Usein peilikaukoputken peili on parabolinen. Yllä erilaisia peilikaukoputkiratkaisuja. Jos kaukoputkella halutaan valokuvata (tai filmata) kohdetta, niin okulaari poistetaan ja filmi asetetaan objektiivin muodostaman todellisen kuvan kohdalle. Useimmissa nykyisin käytössä olevissa peilikaukoputkissa ei ole koskaan käytetty okulaaria.