F = AB AC AB C C Tarkistus:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "F = AB AC AB C C Tarkistus:"

Transkriptio

1 Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen I c) esitä seuraava funktio kanonisten summien tulona f(,,) = + Sovelletaan DeMorganin teoreemaa (työläs). Teoriaminimointia ei ole käytetty! Lopuksi laajennetaan kanoniseksi lisäämällä termeihin puuttuvat muuttujat sellaisenaan ja invertoituina. = = ( + ) = + = = ( + ) ( + ) = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) = ( + + ) ( + + ) ( + + ) TI HELPOMMIN: Totuustaulukko ykkösten mukaan, yhtälö luetaan nollien mukaan: TI Karnaugh n kartta ykkösten mukaan, yhtälö luetaan nollien mukaan: Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen I a) Esitä funktion f komplementti f tulojen summana. (Voit tarkastaa vastauksesi muodostamalla tulon f f. Mitä huomaat tapahtuvan?) = + Sääntö: vaihdetaan J-operaatiot TI-operaatioiksi ja komplementoidaan kaikki muuttujat. = ( + ) = + Tai sovelletaan DeMorganin teoreemaa, jos sääntö ei muistu mieleen. = + = = ( + ) = + Tai käytetään totuustaulua tai Karnaugh n karttaa = + Tarkistus: ( + ) ( + ) = =

2 Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen II a) Onko looginen funktio = + + loogisen funktion G = ( + + )( + ) komplementti? Perustele. Piirretään molemmista Karnaugh n kartta ja todetaan, että funktion kartta komplementoituna ei ole funktion G kartta tai päinvastoin. : G: ykkösten mukaan nollien mukaan.b) b) Todista DeMorganin teoreema kahdella muuttujalla totuustaulun avulla. DeMorgan: : = + 2: + = 3: = + 4: + = : 4: : 3: 3: : 4: 2:.c) Montako kiikkua vähintään tarvitaan tilakoneessa, jossa on 37 tilaa? Perustele. 2 n 37 n log 2 log 37 n log log2 n 5.2 n = 6 Tarvitaan siis 6 kiikkua. Intuitiivisesti voidaan myös päätellä, että 5 kiikulla saadaan aikaan 32 tilaa (ei riitä) ja 6 kiikulla 64 tilaa. Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen II a) Esitä seuraava looginen funktio kanonisena summien tulona. f(,,) = + Sovelletaan DeMorganin teoreemaa (työläs). Teoriaminimointia ei ole käytetty! Lopuksi laajennetaan kanoniseksi lisäämällä termeihin puuttuvat muuttujat sellaisenaan ja invertoituina. = = ( + ) = + = = ( + ) ( + ) = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) = ( + + ) ( + + ) ( + + ) TI Totuustaulukko ykkösten mukaan, yhtälö luetaan nollien mukaan: TI Karnaugh n kartta ykkösten mukaan, yhtälö luetaan nollien mukaan:

3 Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen II Pitävätkö seuraavat loogisten lausekkeiden yhtäsuuruudet paikkansa. Perustele johtopäätöksesi. a) + D + D + D = ( + ) ( + D) Karnaugh n kartalla todetaan, että vasen puoli luettuna ykkösten mukaan ja oikea puoli luettuna nollien mukaan ovat identtiset. D D = b) + = ( + ) ( + ) Karnaugh n kartalla todetaan, että vasen puoli luettuna ykkösten mukaan ja oikea puoli luettuna nollien mukaan eivät ole identtiset. Samaan tulokseen päästään myös oolen algebralla minimoimalla esim. oikea puoli tulojen summa -muotoon +. Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen II c) Etsi oheisen funktion komplementti. nna vastaus summien tulo -muodossa. f = ( + ) ( + ) ( + ) Sääntö: vaihdetaan J-operaatiot TI-operaatioiksi ja komplementoidaan kaikki muuttujat. f = + + Vielä pitäisi DeMorganin teoreemalla manipuloida summien tuloksi... työläs! TI: Voidaan myös ensin kertoa tulojen summa -muotoon, joka sitten komplementoidaan f = f = f = ( + + ) ( + ) ( + ) ( + ),minimoituu f = ( + )( + )( + ) TI: Piirretään Karnaugh n kartta, joka komplementoidaan. Luetaan komplementoitu kartta nollien mukaan. f: f:

4 Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen I c) esitä seuraava funktio kanonisten summien tulona (,,) = + + Sovelletaan DeMorganin teoreemaa (työläs). Teoriaminimointia ei ole käytetty! Lopuksi laajennetaan kanoniseksi lisäämällä termeihin puuttuvat muuttujat sellaisenaan ja invertoituina. = = ( + ) ( + ) ( + + ) = ( ) ( + + ) = = = = ( + + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + + ) = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) TI Totuustaulukko ykkösten mukaan, yhtälö luetaan nollien mukaan: TI Karnaugh n kartta ykkösten mukaan, yhtälö luetaan nollien mukaan: Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen I Esitä seuraavat loogiset funktiot totuustauluina. a) f = (++)(++D)(++D)(+++D) Luetaan nollien mukaan suoraan totuustaulukkoon. b) f = W + Y Z + Z Luetaan ykkösten mukaan suoraan totuustaulukkoon. c) f = D Siivotaan ensin yksinkertaisempaan muotoon vaikkapa tulojen summaksi. f = + + D TI f = ( + ) + D f = + D f = + + D f = ( + ) + D f = D f = ( + ) D f = ( + ) ( + ) D f = ( + + ) D f = ( ) D f = ( + ) D f = D + D + D + D f = D + D Minimoituu! Sijoitetaan ykkösten mukaan Karnaugh n karttaan. a) b) c) D W Y Z D

5 Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen III b) Pitääkö seuraava yhtäsuuruus paikkansa? Perustele. D + D + D + D = ( + + D) ( + +D) ( + + D) ( + + D) Karnaugh n kartalla todetaan, että vasen puoli luettuna ykkösten mukaan ja oikea puoli luettuna nollien mukaan ovat identtiset. YKKÖSET NOLLT D D = c) Toteuta EI-operaatio käyttäen 2-tuloista OR-porttia? Esitä vastaus totuustauluna ja logiikkakaaviona. Mikäli OR-portin toisen muuttujan sitoo kiinteästi ykköseksi, lähtö on toisen muuttujan inversio. = +5V = Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen III a) Esitä seuraava looginen funktio kanonisena summien tulona. f(,,) = ( + ) Kerrotaan auki ja sovelletaan DeMorganin teoreemaa (työläs). Teoriaminimointia ei ole käytetty! Lopuksi laajennetaan kanoniseksi lisäämällä termeihin puuttuvat muuttujat sellaisenaan ja invertoituina. = + = = ( + ) ( + ) = = = ( + ) ( + ) ( + ) = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) Totuustaulukko ykkösten mukaan, yhtälö luetaan nollien mukaan: Karnaugh n kartta ykkösten mukaan, yhtälö luetaan nollien mukaan:

6 Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen III b) Pitääkö seuraava yhtäsuuruus paikkansa? Perustele. D + D + D + D = ( + + D) ( + + D) ( + + D) ( + + D) Karnaugh n kartalla todetaan, että vasen puoli luettuna ykkösten mukaan ja oikea puoli luettuna nollien mukaan ovat identtiset. YKKÖSET NOLLT D D = c) Toteuta EI-operaatio käyttäen 2-tuloista ERI-EI-porttia. Esitä vastaus totuustauluna ja logiikkakaaviona. Mikäli ERI-EI-portin toisen muuttujan sitoo kiinteästi nollaksi, lähtö on toisen muuttujan inversio = M =

7 Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen IV a) minimoi seuraava funktio käyttäen oolen algebran laskusääntöjä. f = ( + + )( + + )( + + ) f = ( )( + + ) f = ( )( + + ) f = [ ( ) + ( )] ( + + ) f = ( + )( + + ) f = f = ( ) + f = + 2.b) minimoi seuraava funktio käyttäen De Morganin teoreemoja. f = f = + f = ( + ) + ( + ) f = f = + f = Minimoi seuraavat funktiot Karnaugh'n karttaa käyttäen. nna vastaus tulojen summana. 2. d) f(,,,d) = Σm(,2,7,8,,5) D f = D + D Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen IV e) f(,,,d,e) = ΠM(,5,6,7,9,,,3,7,8,9,2,22,23,25,26,27,29) Luetaan nollat karttaan ja minimoidaan ykkösten mukaan. DE DE = f = D E + D + D = 2. f) f(,,,d) = D + D + D + D Sijoitetaan ykköset karttaan ja minimoidaan ykkösten mukaan. D f = D + D

8 Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen IV nalysoi alla esitetyn kuvan kytkentä ja anna vastaus oheisessa totuustaulukossa. Piirretään uudelleen siten, että logiikkatasot erottuvat. Merkitään tasot näkyviin. Parittomille tasoille tulevat muuttujat invertoidaan. Luetaan logiikkafunktioksi taso kerrallaan. D D 4.J 3.TI 2.J.TI = + ( + D) ( + ) = + ( + D) ( + ) = D + D) Sijoitetaan totuustauluun. D Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen IV b) minimoi seuraava funktio käyttäen De Morganin teoreemoja. f, ( ) = + f (, ) = f (, ) = f, ( ) = ( + ) f (, ) = + f (, ) = Minimoi seuraavat funktiot Karnaugh'n karttaa käyttäen. nna vastaus tulojen summana..d) f(,,,d) = Σm(,,2,3,6,8,9,,,4) Sijoitellaan min-termit karttaan ykkösiksi ja minimoidaan sitten ykkösillä. D f = + D.e) f(,,,d,e)=πm(,,4,5,8,,,2,4,5,6,7,2,2,24,25,26,27,3,3) Sijoitellaan max-termit karttaan nolliksi ja minimoidaan ykkösillä. DE DE = = f = D+DE+D+DE

9 Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen V f) Minimoi seuraavat funktiot Karnaugh'n karttaa käyttäen. nna vastaus tulojen summana. f(,,,d) = D + D + D + D + D Sijoitetaan ykköset karttaan ja minimoidaan ykkösten mukaan. D f = D + D + D a) Minimoi seuraava looginen funktio käyttäen oolen algebraa., ( ) = (, ) = ( + ) ( + ) (, ) = (, ) = + (, ) =.b) (,, ) = ( + ) (,, ) = + TI (,, ) = + + (,, ) = (,, ) = + ( ) (,, ) = + (,, ) = + ( + ) (,, ) = + + (,, ) = + + (,, ) = + ( + ) (,, ) = + Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen V c) Ilmoita seuraavan funktion komplementti minimoituna tulojen summana oolen algebraa käyttäen. (,,,D) = + D Sääntö: vaihdetaan J-operaatiot TI-operaatioiksi ja komplementoidaan kaikki muuttujat. (,,,D) = ( + ) ( + D) Kerrotaan sitten auki tulojen summaksi. (,,,D) = + D + + D Tai DeMorganin teoreemalla: = + D = D = ( + ) ( + D ) = + D + + D

10 Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen V 3 3. nalysoi seuraava kytkentä ja anna vastaus K-karttana ja minimoituna logiikkafunktiona tulojen summana. Piirretään uudelleen siten, että logiikkatasot erottuvat. Merkitään tasot näkyviin. Parittomille tasoille tulevat muuttujat invertoidaan. Luetaan logiikkafunktioksi taso kerrallaan. D D 3.J 2.TI.J = ( + D) ( + D) = + D + D + D D = D + D D Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen V Todista käyttäen oolen algebraa, että Karnaugh n karttaa voi käyttää logiikkafunktioiden minimointiin. K-kartta perustuu perussääntöön + = ( + ) = Jos pysty- tai vaakasuorassa on vierekkäisiä ykkösiä (tai nollia), lausekkeen arvo ei muutu, vaikka joku muuttujista saa molemmat arvonsa. Näin ollen ko. muuttuja on tarpeeton lausekkeessa Minimoi seuraavat funktiot Karnaugh n kartan avulla. nna vastaus tulojen summana. a) (,,,D) = Σm(,2,5,6,3) D = D + D + D b) (,,,D) = ( + + )( + + )( + + D)( + + D) D = + D + D c) (,,,D,E) = ΠM(,3,4,5,6,7,2,4,7,9,2,22,28,29,3,3) DE DE = = = E + + E + E

11 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VI a) Minimoi seuraava funktio Karnaugh n kartan avulla. nna vastaus tulojen summana. f(,,,d) = ΠM(2,5,6,7,8,2,3,5) Sijoitetaan max-termit eli nollat karttaan ja minimoidaan ykkösten mukaan. D f = D + D + D 2.b) Minimoi seuraava funktio Karnaugh n kartan avulla. nna vastaus tulojen summana. f(,,,d) = Σm(,6,5) + d(3,5,7,4) Sijoitetaan min-termit eli ykköset ja don t care -termit karttaan ja minimoidaan ykkösten ja don t care -termien mukaan. D f = D a) Minimoi seuraava funktio Karnaugh n kartan avulla. nna vastaus tulojen summana. f(,,,d) = ΠM(,2,5,7,8,9,,,2,4) Sijoitetaan max-termit eli nollat karttaan ja minimoidaan ykkösten mukaan. D f = D + D + D Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VI nalysoi oheinen kombinaatiologiikka ja anna vastaus K-karttana ja minimoituna tulojen summana. Merkitään tasot näkyviin. Parittomille tasoille tulevat muuttujat, jos sellaisia on, invertoidaan. Luetaan logiikkafunktioksi taso kerrallaan 4.J 3.TI 2.J.TI = ( + ) + ( + ) = + = ( + ) = b) Minimoi seuraava funktio Karnaugh n kartan avulla. nna vastaus tulojen summana. f(,,,d) = Σm(3,5,6,5) + d(2,7,8,3) Sijoitetaan min-termit eli ykköset ja don t care -termit karttaan ja minimoidaan ykkösten ja don t care -termien mukaan D f = D +

12 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VI nalysoi oheinen kombinaatiologiikka ja anna vastaus K-karttana, minimoituna tulojen summana ja minimoituna logiikkakaaviona käyttäen 2-tuloisia NOR-portteja. 5.J 4.TI 3.J 2.TI.J J-funktio itsensä kanssa = [( + ) ( + ) + ( + ) )] [( + ) ( + ) + ( + ) )] Käsitellään vain vasenta puolta, = = [( + ) ( + ) + ( + ) )] [( + ) ( + ) + ( + ) )] = ( + ) ( + ) + ( + ) ) = ( + ) + = +, NOR-toteutus eli summien tulo on luonteva muoto. Onnistuu myös tulojen summasta. = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + )

13 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VII Suunnittele logiikka, jonka lähtösignaali = silloin, kun tuloissa,, on täsmälleen kaksi nollaa. a) Käytä 3-tuloisia NND -portteja. b) Toteuta logiikka myös käyttäen oheista multiplekseriä. c) Käytä demultiplekseriä ja tarpeen mukaan kombinaatiologiikkaa. Oleta, että käytössäsi on sekä suorat että käännetyt versiot signaaleista, ja.? Luetaan suoraan piirikaavioksi ja lisätään pallerot (DeMorgan) Laaditaan totuustaulu ja K-kartta ja todetaan, että ei minimoidu = + + Tai NND-porteilla DeMorganin avulla, josta suoraan piirikavioksi = b) MU-toteutus: c) DMU-toteutus: 2 G 7 EN MU DMU 2 G 7 EN Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VII Suunnittele logiikka, joka muuntaa 3-bittisen binääriluvun 3-bittiseksi Gray-koodiksi oheisen totuustaulun mukaisesti. Käytä vain 2-tuloisia NND-portteja. Oleta, että piiriin tulee ulkopuolelta vain suorat versiot signaaleista, ja. G H : G: H: = G = + H = + G = H = G graafinen DeMorgan, eli toisensa kumoavat pallerot G Invertoidaan myös muuttujat H H

14 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VII Suunnittele logiikka, joka vertailee kahta 2-bittistä binäärilukua P (P on MS ja P on LS) ja ( on MS ja on LS) siten, että lähtö on vain silloin kun P >. Käytä 2-tuloisia ND- ja OR-portteja. Voit tarvittaessa käyttää myös inverttereitä. P P OMPRTOR Sijoitetaan K-karttaan ykkönen niihin ruutuihin, joissa P on suurempi kuin vastaava. P P P> = P + P P + P P P Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VII 4 4. Toteuta funktio f = + + yhdellä alla olevalla mux-piirillä. Valitaan ja K-kartan osoitteiksi ja tuodaan K-karttaan sisään. Muitakin vaihtoehtoja on riippuen siitä, mikä muuttujista valitaan kartan sisään ja miten jäljelle jääneet muuttujat osoittavat K- kartan ruutuja. K-kartasta nähdään suoraan miten MU-piiri tulee kytkeä, sillä K-kartan ruudut vastaavat suoraan MUin tuloja ja K-kartan osoitteet ja vastaavat suoraan MUin osoitetuloja.. + = /Y MU G G 2 G2 3 G3 f

15 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VII Esitä seuraavien funktioiden logiikkakaaviot 2-tuloisilla porteilla, muuttujista on tarjolla vain suorat versiot, invertoidut joudut tekemään itse: a), käytössäsi on vain neljä 2-tuloista NND-porttia Luetaankin nollien mukaan = ( + ) ( + ) = ( + ) = + = DeMorgan oikealle puolelle ryhmitellään sopivasti DeMorganilla NND-lausekkeiksi b) ++, tarjolla on neljä 2-tuloista NOR-porttia + + = + + = Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VII Esitä seuraavien funktioiden logiikkakaaviot 2-tuloisilla porteilla, muuttujista on tarjolla vain suorat versiot, invertoidut joudut tekemään itse: c) (+)(+D), saat käyttää kahdeksaa 2-tuloista NND-porttia ( + ) ( + D ) = D TI ( + D ) + ( + D ) = D + D = D D D D

16 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VIII Suunnittele kombinaatiologiikka, joka lisää 3-bittiseen tuloon luvun 2, mikäli tulo 5. Mikäli tulo > 5, lähtö YZ on. Muuttujista on tarjolla suorat versiot, ja sekä invertoidut versiot, ja. Käytä 2-tuloisia NND-portteja. Y Z Laaditaan totuustaulu ja minimoidaan K-kartalla. Y Z Y Z = + Y = Z = + = Z = graafinen DeMorgan, eli toisensa kumoavat pallerot Y Y Z Z Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VIII Suunnittele kombinaatiologiikka, joka toteuttaa loogisen funktion = Käytössäsi on 2 kpl kuvan mukaisia demultipleksereitä ja hajalogiikkaa tarpeen mukaan. Muuttujista on tarjolla suorat versiot, ja sekä invertoidut versiot, ja. Laaditaan ensin totuustaulu. Totuustaulusta nähdään, että valitsemalla signaali DMUin valintatuloon ja ja osoitteiksi, :n ollessa ja valitsevat ensimmäisen DMUin lähdöt ja 2. Kun on ( = ), ja valitsevat toisen DMUin lähdöt ja 3. Lähtö saadaan ottamalla TI-funktio halutuista lähdöistä. DMU 2 G 3 EN 2 3 DMU 2 G 3 EN 2 3

17 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VIII Suunnittele kombinaatiologiikka, joka laskee ykkösten lukumäärän 3-bittisessä tulosanassa. Logiikan lähtönä on 2-bittinen binääriluku (S S), joka ilmoittaa ykkösten lukumäärän binäärilukuna, jossa S on MS ja S LS. Tulosignaaleista on tarjolla suorat versiot, ja sekä invertoidut versiot, ja. Käytä 2-tuloisia NOR-portteja. i S S S S NOR-toteutus, luetaan K-kartta nollien mukaan. S = ( + )( + )( + ) S = ( + + )( + + )( + + )( + + ) Tehdään graafisesti. Luetaan funktiot ensin piirikaavioiksi sellaisenaan käyttäen 2-tuloisia portteja. Sovelletaan sitten DeMorganin teoreemaa graafisesti ja muutetaan ND-portit NOR-porteiksi, OR-portit samalla myös NOR-porteiksi ja lisäillään inverttereitä tarpeen mukaan. S S Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VIII Jatkuu... S = ( + + )( + + )( + + )( + + ) S S

18 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen VIII Suunnittele 8-tuloisia multipleksereitä käyttäen kokosummain, joka toteuttaa oheisen totuustaulun. i S o Ei tarvitse minimoida, koska MU koodaa kaikki min-termit. Valitaan ja i MUin osoitteiksi ja lähdöistä saadaan S ja o. V = i 2 EN MU G S MU G 7 2 EN 2 3 o GND =

19 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen I a) Mitä tarkoittaa kiikun metastabiili tila? b) Missä tilanteessa kiikku voi joutua siihen? c) Miten logiikka suunnitellaan niin, että ko. ilmiön esiintymistodennäköisyys on mahdollisimman vähäinen? a) Kiikun lähtö ei ole looginen ykkönen = Vcc, eikä looginen nolla = maa, vaan jotain siltä väliltä puolivälin tienoilla. b) Kiikku menee metastabiiliksi silloin, kun datatulon asettumis- tai pitoaikavaatimuksia rikotaan tai mikäli kellopulssi on liian lyhyt. c) - synkronoidaan asynkroniset tulosignaalit - varmistetaan setup- ja hold-ajat - minimoidaan kellon vaihe-erot logiikan eri osissa - vältetään kellon portitusta 4. Kuvassa alla on esitetty taso- ja reuna-aktiivisten kiikkujen D- ja kellotuloihin tulevat signaalit. Piirrä kiikkujen -lähdössä olevien signaalien aaltomuoto ajan funktiona. Oleta, että kiikut ovat äärettömän nopeita, eli niiden viive on nolla. D D D Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen I nalysoi oheinen sekvenssilogiikka. nna vastaus tilakaaviona. LK 5.J.J 4.TI 3.J 2.TI.J D D nalysoidaan ensin kiikkujen herätetulojen kombinaatiologiikka. Siten voidaan päätellä kiikun tuleva tila seuraavan kellon reunan jälkeen. K-kartan laatiminen auttaa tilansiirtotaulukon laatimisessa. D = ( ( ( + ) + ( + ) ) + ( ( + ) + ( + ) ) ) ( SM ) D = + D = D D Nykytila Tulo Seuraava tila TI Nykytila Tulo Seuraava tila

20 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen Suunnittele tilakone, joka kellosignaalin tahdissa askeltaa oheisen kuvan tilakartan mukaista sekvenssiä, käytä JK-kiikkuja. Lisää piiriin lähtö Z, joka on, kun =. Oleta, että on synkroninen tulosignaali. Miten menettelisit, jos olisi asynkroninen signaali? = = = = = = = JK-kiikun totuustaulu n n+ J K = Tilansiirtotaulukko Herätetaulukko Nykytila tulo Seuraava tila JK-herätetulot Lähtö J K J K Z Laaditaan kiikkujen herätetulojen K-kartat ja minimoidaan logiikkafunktiot. J = K = J = K = Z = J K J K Z LK Katso synkronointi monisteen kappaleesta Synkronisuuden vaatimus. Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen Suunnittele ja toteuta alla olevan kuvan aaltomuodot toteutava Johnson-laskuri. Käytössäsi on kellon nousevalla reunalla liipaistavia JK-kiikkuja ja kaksituloisia NND-portteja. Älä murehdi perustoteutuksessa sekvenssin ulkopuolisista tiloista. Esitä: - tilakartta - tilansiirtotaulukko, jossa näkyy kutakin nykyistä tilaa vastaava seuraava tila ja kiikkujen ohjaustulot - kiikkujen ohjaustulojen minimoidut oolen-lausekkeet - toteutuksen piirikaavio selkeästi 2 3 Tilakartta: 3 2 JK-kiikun totuustaulu n n+ J K Nykytila Seuraava tila Ohjaustulot J 3 K 3 J 2 K 2 J K J K Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

21 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen 3 Minimoidaan ohjaustulojen lausekkeet K-kartalla: J 3 = 2 K 3 = 2 J 2 = K 2 = J = K = J = 3 K = 3 Piirikaavio J K J K J 2 K 2 J 3 K 3 LK Sekvenssiin kuulumattomat tilat? Katso luentomoniste luku 6. Synkronisen sekvenssilogiikan suunnittelu. Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen Suunnittele D-kiikkuja ja 2-tuloisia NND-portteja käyttäen laskuri, joka toteuttaa oheisen tilakartan.tulo on synkroninen. Kiikuissa on sekä suorat että käännetyt lähdöt. = = = = = = = = Esitä:- tilansiirtotaulukko - kiikkujen ohjaustulojen minimoidut oolen-lausekkeet - toteutuksen piirikaavio selkeästi Tilansiirtotaulukko: Nykytila tulo Seuraava tila + + D = D =

22 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen Jatkuu... D D LK Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen Suunnittele kuvan tilakaavion toteuttava synkroninen tilakone käyttäen D-kiikkuja ja 2-tuloisia NND-portteja. Kiikuissa on sekä suorat että käännetyt lähdöt. Myös signaali on tarjolla suorana ja invertoituna. Piirissä on myös lähtö T, joka on, kun ollaan tilassa. T= Tilansiirtotaulukko: Nykytila Tulo Lähtö T Minimoidaan herätetulojen yhtälöt VEM- tai K-kartoilla. D = + D = + D = + T =

23 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen Jatkoa... Yhdistellään usein toistuvat termit. D D D D D D LK Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen Suunnittele tilakone, joka toteuttaa oheisen pulssikaavion, jossa, ja ovat kiikkujen lähtöjä. Koodaa sekvenssiin kuulumattomat tilat menemään tilaan (). Käytä D-kiikkuja ja kombinaatiologiikkaa tarpeen mukaan. Kiikuissa on sekä suorat että käännetyt lähdöt. Esitä vastauksena: - tilakaavio - K-kartalla minimoidut herätetulojen yhtälöt - logiikkakaavio KELLO Piirretään tilakaavio: Tilansiirtotaulukko: Nykytila Seuraava tila D = + D = + D = +

24 Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen 9 D D D Digitaalitekniikka I: tenttitehtäviä ratkaisuineen Suunnittele tilakone, joka toteuttaa oheisen pulssikaavion, jossa ja ovat kiikkujen lähtöjä. Tila = ei kuulu sekvensiin ja aiheuttaa tilakoneen jäämisen jumiin tilaan. Käytä D-kiikkuja ja 2-tuloisia NND-portteja. Kiikuissa on sekä suorat että käännetyt lähdöt. Esitä vastauksena: - tilakaavio - K-kartalla minimoidut herätetulojen yhtälöt - logiikkakaavio LK Tilakaavio: Tilansiirtotaulukko: Nykytila Seuraava tila + + D = D = + D LK D

c) loogiset funktiot tulojen summana B 1 = d) AND- ja EXOR-porteille sopivat yhtälöt

c) loogiset funktiot tulojen summana B 1 = d) AND- ja EXOR-porteille sopivat yhtälöt IGITLITEKNIIKK I 5 Tentti:.. ELEKTRONIIKN LORTORIO Henkilötunnus - KT Σ. Kaksituloisen multiplekserin toimintaa kuvaa looginen funktio = +. Esitä a) :n toiminta K-kartalla (,5 p) b) minimoituna summien

Lisätiedot

Elektroniikan laboratorio Lisätehtävät 17.9.2003. Mallivastauksia

Elektroniikan laboratorio Lisätehtävät 17.9.2003. Mallivastauksia OULUN YLIOPISTO IGITLITEKNIIKK I Elektroniikan laboratorio Lisätehtävät 7.9. Mallivastauksia. Mitkä loogiset operaatiot oheiset kytkennät toteuttavat? Vihje: kytkin johtaa, kun ohjaava signaali =. Käytä

Lisätiedot

c) loogiset funktiot tulojen summana B 1 = C 2 C 1 +C 1 C 0 +C 2 C 1 C 0 e) logiikkakaavio

c) loogiset funktiot tulojen summana B 1 = C 2 C 1 +C 1 C 0 +C 2 C 1 C 0 e) logiikkakaavio IGITLITEKNIIKK I 5 Tentti:.. ntti Mäntyniemi ELEKTONIIKN LOTOIO Henkilötunnus - KT Σ. Kaksituloisen multiplekserin toimintaa kuvaa looginen funktio = +. Esitä a) :n toiminta K-kartalla (,5 p) ykkösten

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Harjoitustehtäviä

Digitaalitekniikan matematiikka Harjoitustehtäviä arjoitustehtäviä Sivu 6 6.3.2 e arjoitustehtäviä uku 3 ytkentäfunktiot ja perusporttipiirit 3. äytäväkytkin on järjestelmä jossa käytävän kummassakin päässä on kytkin ja käytävän keskellä lamppu. amppu

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 6 Sivu 1 (20) Kombinaatiopiirit & & A B A + B

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 6 Sivu 1 (20) Kombinaatiopiirit & & A B A + B igitaalitekniikan matematiikka Luku 6 Sivu (20).9.20 e 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 igitaalitekniikan matematiikka Luku 6 Sivu 2 (20).9.20 e Johdanto Tässä luvussa esitellään porttipiirityypit J-EI ja TI-EI

Lisätiedot

Peruspiirejä yhdistelemällä saadaan seuraavat uudet porttipiirit: JA-EI-portti A B. TAI-EI-portti A B = 1

Peruspiirejä yhdistelemällä saadaan seuraavat uudet porttipiirit: JA-EI-portti A B. TAI-EI-portti A B = 1 Digitaalitekniikan matematiikka Luku 6 Sivu () Kombinaatiopiirit.9. Fe J-EI- (NND) ja TI-EI- (NOR) -portit Peruspiirejä yhdistelemällä saadaan seuraavat uudet porttipiirit: NND? B B & B B = & B + B + B

Lisätiedot

Esimerkkitentin ratkaisut ja arvostelu

Esimerkkitentin ratkaisut ja arvostelu Sivu (5) 2.2.2 Fe Seuraavassa on esitetty tenttitehtävien malliratkaisut ja tehtäväkohtainen arvostelu. Osassa tehtävistä on muitakin hyväksyttäviä ratkaisuja kuin malliratkaisu. 2 Tehtävät on esitetty

Lisätiedot

kwc Nirni: Nimen selvennys : ELEKTRONIIKAN PERUSTEET 1 Tentti La / Matti Ilmonen / Vastaukset kysymyspapereille. 0pisk.

kwc Nirni: Nimen selvennys : ELEKTRONIIKAN PERUSTEET 1 Tentti La / Matti Ilmonen / Vastaukset kysymyspapereille. 0pisk. Tentti La 20.01.2001 / Matti Ilmonen / Vastaukset kysymyspapereille. Nirni: Nimen selvennys : 1 2 3 4 5 z -.. 0pisk.no: ARVOSANA 1. Selvita lyhyesti seuraavat kiitteet ( kohdat a... j ) a) Kokosummain?

Lisätiedot

Sekvenssipiirin tilat

Sekvenssipiirin tilat igitaalitekniikka (piirit) Luku Täsmätehtävä Tehtävä Sekvenssipiirin tilat Montako tilaa vähintään tarvitaan seuraavissa sekvenssipiireissä: Painikkeella ohjattava lampun sytytys ja sammutus. Näyttöä ohjaava

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 1 (22) Lausekkeiden sieventäminen F C F = B + A C. Espresso F = A (A + B) = A A + A B = A B

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 1 (22) Lausekkeiden sieventäminen F C F = B + A C. Espresso F = A (A + B) = A A + A B = A B igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu (22).9.2 e = + = ( + ) = + = Espresso igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Johdanto Tässä luvussa esitetään perusteet lausekemuodossa esitettyjen

Lisätiedot

BL40A1711 Johdanto digitaaleketroniikkaan: Sekvenssilogiikka, pitopiirit ja kiikut

BL40A1711 Johdanto digitaaleketroniikkaan: Sekvenssilogiikka, pitopiirit ja kiikut BL40A1711 Johdanto digitaaleketroniikkaan: Sekvenssilogiikka, pitopiirit ja kiikut Sekvenssilogiikka Kombinatooristen logiikkapiirien lähtömuuttujien nykyiset tilat y i (n) ovat pelkästään riippuvaisia

Lisätiedot

Digitaalitekniikan perusteet

Digitaalitekniikan perusteet HAMK Riihimäki Versio 1.0 Väinö Suhonen Digitaalitekniikan perusteet Loogiset funktiot ja portit Kombinaatiologiikan elimiä Rekisterilogiikan perusteet Rekisteri- ja sekvenssilogiikan elimiä ena up/ down

Lisätiedot

ELEC-C3240 Elektroniikka 2

ELEC-C3240 Elektroniikka 2 ELEC-C324 Elektroniikka 2 Marko Kosunen Marko.kosunen@aalto.fi Digitaalielektroniikka Tilakoneet Materiaali perustuu kurssiins-88. Digitaalitekniikan perusteet, laatinut Antti Ojapelto Luennon oppimistavoite

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut

Harjoitustehtävien ratkaisut Sivu (22) 29.8.2 Fe/Ko Luku Sekvenssipiirit. Tutki luentokalvo- ja opetusmonisteessa esitettyä esimerkkiä synkronisesta sekvenssipiiristä. a) Montako tilaa piirissä on? Koska piirissä on kaksi tilasignaalia,

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 1 (15) Kytkentäalgebra A + 1 = 1 A = A A + B C = (A + B) (A + C) A 0 = 0. Maksimitermi.

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 1 (15) Kytkentäalgebra A + 1 = 1 A = A A + B C = (A + B) (A + C) A 0 = 0. Maksimitermi. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 1 (15) A + 1 = 1 A + B C = (A + B) (A + C) F(A, B, C) = Σ m (2, 3, 5, 7) Maksimitermi A = A m0 A 0 = 0 M7 A + B = A B Minimitermi Digitaalitekniikan matematiikka

Lisätiedot

Sähkötekniikan perusteet

Sähkötekniikan perusteet Sähkötekniikan perusteet 1) Resistanssien rinnankytkentä kuormittaa a) enemmän b) vähemmän c) yhtä paljon sähkölähdettä kuin niiden sarjakytkentä 2) Jännitelähteiden sarjakytkentä a) suurentaa kytkennästä

Lisätiedot

Yhden bitin tiedot. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 1 Täsmätehtävä Tehtävä 1. Luettele esimerkkejä yhden bitin tiedoista.

Yhden bitin tiedot. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 1 Täsmätehtävä Tehtävä 1. Luettele esimerkkejä yhden bitin tiedoista. Digitaalitekniikan matematiikka Luku Täsmätehtävä Tehtävä Yhden bitin tiedot Luettele esimerkkejä yhden bitin tiedoista. Ovi auki - ovi kiinni Virta kulkee - virta ei kulje Lamppu palaa - lamppu ei pala

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 8 Sivu 1 (23) Kombinaatiopiirielimet MUX X/Y 2 EN

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 8 Sivu 1 (23) Kombinaatiopiirielimet MUX X/Y 2 EN Digitaalitekniikan matematiikka Luku 8 Sivu ().9. Fe DX G = G EN X/Y Digitaalitekniikan matematiikka Luku 8 Sivu ().9. Fe Johdanto Tässä luvussa esitetään keskeisiä kombinaatiopiirielimiä ne ovat perusporttipiirejä

Lisätiedot

Yhden bitin tiedot. Binaariluvun arvon laskeminen. Koodin bittimäärä ja vaihtoehdot ? 1

Yhden bitin tiedot. Binaariluvun arvon laskeminen. Koodin bittimäärä ja vaihtoehdot ? 1 Luku Digitaalitekniikan matematiikka Täsmätehtävät.9. Fe Digitaalitekniikan matematiikka Täsmätehtävät.9. Fe Opetuskerta Sivu Luku Opetuskerta Sivu Yhden bitin tiedot Luettele esimerkkejä yhden bitin tiedoista.

Lisätiedot

Digitaalilaitteen signaalit

Digitaalilaitteen signaalit Digitaalitekniikan matematiikka Luku 3 Sivu 3 (9) Digitaalilaitteen signaalit Digitaalilaitteeseen tai -piiriin tulee ja siitä lähtee digitaalisia signaaleita yksittäisen signaalin arvo on kunakin hetkenä

Lisätiedot

Synkronisten sekvenssipiirien suunnittelu

Synkronisten sekvenssipiirien suunnittelu Digitaalitekniikka (piirit) Luku 6 Sivu (5) Synkronisten sekvenssipiirien suunnittelu.8.24 Fe/AKo Synkronisten sekvenssipiirien suunnittelu Digitaalitekniikka (piirit) Luku 6 Sivu 2 (5) Synkronisten sekvenssipiirien

Lisätiedot

Ongelma(t): Mistä loogisista lausekkeista ja niitä käytännössä toteuttavista loogisista piireistä olisi hyötyä tietojenkäsittelyssä ja tietokoneen

Ongelma(t): Mistä loogisista lausekkeista ja niitä käytännössä toteuttavista loogisista piireistä olisi hyötyä tietojenkäsittelyssä ja tietokoneen Ongelma(t): Mistä loogisista lausekkeista ja niitä käytännössä toteuttavista loogisista piireistä olisi hyötyä tietojenkäsittelyssä ja tietokoneen rakentamisessa? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Transistori yhdessä

Lisätiedot

Digitaalitekniikka (piirit) Luku 15 Sivu 1 (17) Salvat ja kiikut 1D C1 C1 1T 1J C1 1K S R

Digitaalitekniikka (piirit) Luku 15 Sivu 1 (17) Salvat ja kiikut 1D C1 C1 1T 1J C1 1K S R igitaalitekniikka (piirit) Luku 5 ivu (7).8.24 Fe/AKo C J C K C T C C J C K igitaalitekniikka (piirit) Luku 5 ivu 2 (7).8.24 Fe/AKo Johdanto Tässä luvussa esitetään salpapiirit, jotka ovat yksinkertaisimpia

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 3 Sivu 1 (19) Kytkentäfunktiot ja perusporttipiirit

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 3 Sivu 1 (19) Kytkentäfunktiot ja perusporttipiirit Digitaalitekniikan matematiikka Luku 3 Sivu (9) && Digitaalitekniikan matematiikka Luku 3 Sivu 2 (9) Johdanto Tässä luvussa esitetään digitaalilaitteen signaalit ja digitaalipiirien perustyypit esitellään

Lisätiedot

Ongelma(t): Mistä loogisista lausekkeista ja niitä käytännössä toteuttavista loogisista piireistä olisi hyötyä tietojenkäsittelyssä ja tietokoneen

Ongelma(t): Mistä loogisista lausekkeista ja niitä käytännössä toteuttavista loogisista piireistä olisi hyötyä tietojenkäsittelyssä ja tietokoneen Ongelma(t): Mistä loogisista lausekkeista ja niitä käytännössä toteuttavista loogisista piireistä olisi hyötyä tietojenkäsittelyssä ja tietokoneen rakentamisessa? 2013-2014 Lasse Lensu 2 Transistori yhdessä

Lisätiedot

C = P Q S = P Q + P Q = P Q. Laskutoimitukset binaariluvuilla P -- Q = P + (-Q) (-Q) P Q C in. C out

C = P Q S = P Q + P Q = P Q. Laskutoimitukset binaariluvuilla P -- Q = P + (-Q) (-Q) P Q C in. C out Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe C = Aseta Aseta i i = n i > i i i Ei i < i i i Ei i i = Ei i i = i i -- On On On C in > < = CI CO C out -- = + (-) (-) = + = C + Digitaalitekniikan matematiikka

Lisätiedot

Oppikirjan harjoitustehtävien ratkaisuja

Oppikirjan harjoitustehtävien ratkaisuja Sivu (27) 26.2.2 e 7 Muistipiirit 7- Tietokoneen muistin koko on 256 K 6 b. Montako sanaa muistissa on? Mikä on sen sananpituus? Montako muistialkiota muistissa on? Muistissa on 256 kibisanaa eli 262 44

Lisätiedot

Inputs: b; x= b 010. x=0. Elektroniikkajärjestelmät ETT_2068

Inputs: b; x= b 010. x=0. Elektroniikkajärjestelmät ETT_2068 Elektroniikkajärjestelmät ETT_2068 tentti 1) Oheisessa sekvenssilogiikassa tiloille on jo annettu bittivaste 000, 001 jne. Tehtävänäsi on nyt konstruoda sekvenssilogiikka vaihe vaiheelta standarditavalla.

Lisätiedot

Sähkötekniikan perusteet

Sähkötekniikan perusteet Sähkötekniikan perusteet 1) Resistanssien rinnankytkentä kuormittaa a) enemmän b) vähemmän c) yhtä paljon sähkölähdettä kuin niiden sarjakytkentä 2) Jännitelähteiden sarjakytkentä a) suurentaa kytkennästä

Lisätiedot

Digitaalitekniikka (piirit) Luku 14 Sivu 1 (16) Sekvenssipiirit. Kombinaatiopiiri. Tilarekisteri

Digitaalitekniikka (piirit) Luku 14 Sivu 1 (16) Sekvenssipiirit. Kombinaatiopiiri. Tilarekisteri Digitaalitekniikka (piirit) Luku 4 Sivu (6).8.24 Fe/AKo Tilarekisteri Kombinaatiopiiri Digitaalitekniikka (piirit) Luku 4 Sivu 2 (6).8.24 Fe/AKo Johdanto Tässä luvussa todetaan esimerkin avulla kombinaatiopiirien

Lisätiedot

T clk > t DFF + t critical + t setup -> T clk > 3 ns + (2+2) ns + 2 ns > 9 ns -> F clk < MHz. t DFF t critical t setup CLK NA1 CLK2,CLK3 Q2,D3

T clk > t DFF + t critical + t setup -> T clk > 3 ns + (2+2) ns + 2 ns > 9 ns -> F clk < MHz. t DFF t critical t setup CLK NA1 CLK2,CLK3 Q2,D3 . a) Kriittisen polun mukaan (DFF - DFF): (DFF = D Flip-Flop = D-kiikku) T clk > t DFF t critical t setup -> T clk > ns () ns ns > 9 ns -> F clk

Lisätiedot

Käytännön logiikkapiirit ja piirrosmerkit

Käytännön logiikkapiirit ja piirrosmerkit Digitaalitekniikan matematiikka Luku 7 Sivu (27) EN 2 EN X/Y X/Y 0 2 3 2 EN X/Y X/Y 0 2 3 Digitaalitekniikan matematiikka Luku 7 Sivu 2 (27) Johdanto Tässä luvussa esitellään käsitteet logiikkaperhe ja

Lisätiedot

Kombinatorisen logiikan laitteet

Kombinatorisen logiikan laitteet Kombinatorisen logiikan laitteet Kombinatorinen logiikka tarkoittaa logiikkaa, jossa signaali kulkee suoraan sisääntuloista ulostuloon Sekventiaalisessa logiikassa myös aiemmat syötteet vaikuttavat ulostuloon

Lisätiedot

Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena

Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena Mikrotietokone Moderni tietokone Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena Sen käyttötarkoitus on yleensä työnteko, kissavideoiden katselu internetistä tai pelien pelaaminen. Tietokoneen

Lisätiedot

Digitaalitekniikka (piirit) Luku 18 Sivu 1 (32) Rekisterit ja laskurit R C1 SRG4 R C1/ CTRDIV16 1R G2 2CT=15 G3 C1/2,3 + CT 3

Digitaalitekniikka (piirit) Luku 18 Sivu 1 (32) Rekisterit ja laskurit R C1 SRG4 R C1/ CTRDIV16 1R G2 2CT=15 G3 C1/2,3 + CT 3 Digitaalitekniikka (piirit) Luku 8 Sivu (32) R C D SRG4 R C/ D CTRDIV6 R G2 2CT=5 G3 C/2,3 + CT 3 Digitaalitekniikka (piirit) Luku 8 Sivu 2 (32) Johdanto Tässä luvussa esitellään keskeiset salpoja ja kiikkuja

Lisätiedot

DIGITAALISTEN KOMBINAATIO- PIIRIEN LABORATORIOTÖIDEN SUUNNITTELU

DIGITAALISTEN KOMBINAATIO- PIIRIEN LABORATORIOTÖIDEN SUUNNITTELU OPINNÄYTETYÖ - AMMATTIKORKEAKOULUTUTKINTO TEKNIIKAN JA LIIKENTEEN ALA DIGITAALISTEN KOMBINAATIO- PIIRIEN LABORATORIOTÖIDEN SUUNNITTELU T E K I J Ä : Toni Halonen SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU OPINNÄYTETYÖ

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

AUTO3030 Digitaalitekniikan jatkokurssi, harjoitus 2, ratkaisuja

AUTO3030 Digitaalitekniikan jatkokurssi, harjoitus 2, ratkaisuja AUTO3030 Digitaalitekniikan jatkokurssi, harjoitus 2, ratkaisuja s2009 1. D-kiikku Toteuta DE2:lla synkroninen laskukone, jossa lasketaan kaksi nelibittistä lukua yhteen. Tulos esitetään ledeillä vasta,

Lisätiedot

Verilogvs. VHDL. Janne Koljonen University of Vaasa

Verilogvs. VHDL. Janne Koljonen University of Vaasa Verilogvs. VHDL Janne Koljonen University of Vaasa Sälää Huom! Verilogistauseita versioita: 1995, 2001 ja 2005. Kommentit Javasta tutut // ja /* */ ovat kommenttimerkkejä. Case sensitivity Isot ja pienet

Lisätiedot

ASM-kaavio: reset. b c d e f g. 00 abcdef. naytto1. clk. 01 bc. reset. 10 a2. abdeg. 11 a3. abcdg

ASM-kaavio: reset. b c d e f g. 00 abcdef. naytto1. clk. 01 bc. reset. 10 a2. abdeg. 11 a3. abcdg Digitaalitekniikka (piirit) Metropolia / AKo Pikku nnitteluharjoitus: Suunnitellaan sekvenssipiiri, jolla saadaan numerot juoksemaan seitsensegmenttinäytöllä: VHDL-koodin generointi ASM-kaavioista Tässä

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Flash AD-muunnin. Ominaisuudet. +nopea -> voidaan käyttää korkeataajuuksisen signaalin muuntamiseen (GHz) +yksinkertainen

Flash AD-muunnin. Ominaisuudet. +nopea -> voidaan käyttää korkeataajuuksisen signaalin muuntamiseen (GHz) +yksinkertainen Flash AD-muunnin Koostuu vastusverkosta ja komparaattoreista. Komparaattorit vertailevat vastuksien jännitteitä referenssiin. Tilanteesta riippuen kompraattori antaa ykkösen tai nollan ja näistä kootaan

Lisätiedot

Sekvenssipiirin tilat. Synkroninen sekvenssipiiri ? 1 ? 2

Sekvenssipiirin tilat. Synkroninen sekvenssipiiri ? 1 ? 2 Luku igitaalitekniikka (piirit) Täsmätehtävät.8. Fe/AKo igitaalitekniikka (piirit) Täsmätehtävät.8. Fe/AK Opetuskerta Sivu 4 Luku Opetuskerta Sivu Sekvenssipiirin tilat Montako tilaa vähintään tarvitaan

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

BL40A17x0 Digitaalielektroniikka A/B: Ohjelmoitavat logiikkapiirit

BL40A17x0 Digitaalielektroniikka A/B: Ohjelmoitavat logiikkapiirit BL4A17x Digitaalielektroniikka A/B: Ohjelmoitavat logiikkapiirit Ohjelmoitavat logiikkapiirit (PLD, Programmable Logic Device) PLD (Programmable Logic Device) on yleinen nimitys integroidulle piirille,

Lisätiedot

Kappale 20: Kantaluvut

Kappale 20: Kantaluvut Kappale 20: Kantaluvut 20 Johdanto: Kantaluvut... 328 Kantalukujen syöttäminen ja muuntaminen... 329 Matemaattiset toiminnot Hex- ja Bin-luvuilla... 330 Bittien vertaileminen ja manipulointi... 331 Huom!

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

SISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA

SISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA SISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA Digitaalitekniikan perusteita...2 Bitti (bit)...2 Tavu (bytes)...2 Sana (word)...2 Yksiköt...2 Binääri järjestelmän laskutapa...2 Esimerkki: Digikuvan siirron kestoaika...2

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

Digitaalitekniikka (piirit) Opetusmoniste

Digitaalitekniikka (piirit) Opetusmoniste Sivu (35) 3.2.2 Fe Esko T. Rautanen Digitaalitekniikka (piirit) Sisällysluettelo Sivu Synkroniset sekvenssipiirit 2. Opettavainen tarina 2.2 Digitaalisten piirien ryhmittely 3.3 Synkronisen sekvenssipiirin

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3

(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3 T-79.48 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Tentti 25..23 mallivastaukset. Tehtävä: Kuvaa seuraavat kielet sekä säännölisten lausekkeiden että determinististen äärellisten automaattien avulla: (a) L = {w

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja igitaalitekniikan matematiikka arjoitustehtävien ratkaisuja Sivu (22) 6.3.2 e arjoitustehtävien ratkaisuja uku 3 ytkentäfunktiot ja perusporttipiirit 3. äytäväkytkin on järjestelmä, jossa käytävän kummassakin

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Paavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net

Paavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoimaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut

Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoinaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta

Lisätiedot

Taitaja2005/Elektroniikka. 1) Resistanssien sarjakytkentä kuormittaa a) enemmän b) vähemmän c) yhtä paljon sähkölähdettä kuin niiden rinnankytkentä

Taitaja2005/Elektroniikka. 1) Resistanssien sarjakytkentä kuormittaa a) enemmän b) vähemmän c) yhtä paljon sähkölähdettä kuin niiden rinnankytkentä 1) Resistanssien sarjakytkentä kuormittaa a) enemmän b) vähemmän c) yhtä paljon sähkölähdettä kuin niiden rinnankytkentä 2) Kahdesta rinnankytketystä sähkölähteestä a) kuormittuu enemmän se, kummalla on

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Sisällys. Kaavioiden rakenne. Kaavioiden piirto symboleita yhdistelemällä. Kaavion osan toistaminen silmukalla. Esimerkkejä. 2.2

Sisällys. Kaavioiden rakenne. Kaavioiden piirto symboleita yhdistelemällä. Kaavion osan toistaminen silmukalla. Esimerkkejä. 2.2 2. Vuokaaviot 2.1 Sisällys aavioiden rakenne. aavioiden piirto symboleita yhdistelemällä. aavion osan toistaminen silmukalla. simerkkejä. 2.2 Vuokaaviot Graafinen kieli algoritmien kuvaamiseen. Muodostetaan

Lisätiedot

OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012

OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012 OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012 Luento 6: Tiedon esittäminen tietokoneessa, osa 1 Tekijät: Antti Virtanen, Timo Lehtonen, Matti Kujala, Kirsti Ala-Mutka, Petri M. Gerdt et al. Luennon

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

A/D-muuntimia. Flash ADC

A/D-muuntimia. Flash ADC A/D-muuntimia A/D-muuntimen valintakriteerit: - bittien lukumäärä instrumentointi 6 16 audio/video/kommunikointi/ym. 16 18 erikoissovellukset 20 22 - Tarvittava nopeus hidas > 100 μs (

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S55.0 SÄHKÖTEKNKKA 9.5.000 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät,,5,8,9. välikoe: tehtävät,,,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0 Oletko muistanut vastata palautekyselyyn Voit täyttää lomakkeen nyt.. aske virta.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Puzzle SM 2005 15. 25.7.2005. Pistelasku

Puzzle SM 2005 15. 25.7.2005. Pistelasku Puzzle SM 005 5. 5.7.005 Pistelasku Jokaisesta oikein ratkotusta tehtävästä saa yhden () pisteen, minkä lisäksi saa yhden () bonuspisteen jokaisesta muusta ratkojasta, joka ei ole osannut ratkoa tehtävää.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S55.3 SÄHKÖTKNIIKK..999 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät,3,4,8,. välikoe: tehtävät,,3,4,5. välikoe: tehtävät,7,8,9, Oletko muistanut vastata palautekyselyyn Voit täyttää lomakkeen nyt.. aske virta I. =Ω,

Lisätiedot

Johdatus digitaalitekniikkaan

Johdatus digitaalitekniikkaan Digitaalitekniikan matematiikka Luku Sivu (9) Johdatus digitaalitekniikkaan.9. e Digitaalitekniikan matematiikka Luku Sivu (9) Johdatus digitaalitekniikkaan.9. e Johdatus digitaalitekniikkaan Johdanto

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,

Lisätiedot

Luku- ja merkkikoodit. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15)

Luku- ja merkkikoodit. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15) Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15) A = a = i i w i Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 2 (15) Johdanto Tässä luvussa esitetään kymmenjärjestelmän lukujen eli BCD-lukujen esitystapoja

Lisätiedot

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut 2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

AUTO3030 Digitaalitekniikan jatkokurssi, harjoitus 5, ratkaisuja

AUTO3030 Digitaalitekniikan jatkokurssi, harjoitus 5, ratkaisuja AUTO3030 Digitaalitekniikan jatkokurssi, harjoitus 5, ratkaisuja s2009 Tehtävien ratkaisussa käytän yhteistä top-level -suunnitteluyksikköä, jonka komponentilla toteutetaan erilaiset piirin topologiat.

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava

Lisätiedot

Successive approximation AD-muunnin

Successive approximation AD-muunnin AD-muunnin Koostuu neljästä osasta: näytteenotto- ja pitopiiristä, (sample and hold S/H) komparaattorista, digitaali-analogiamuuntimesta (DAC) ja siirtorekisteristä. (successive approximation register

Lisätiedot

Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla

Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla 5 12 30 19 72 34 Jukka Suomela 15 77 18 4 9. tammikuuta 2012 19 2 68 Verkko 2 Verkko solmu 3 Verkko solmu kaari 4 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone)

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot