C = P Q S = P Q + P Q = P Q. Laskutoimitukset binaariluvuilla P -- Q = P + (-Q) (-Q) P Q C in. C out

Transkriptio

1 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe C = Aseta Aseta i i = n i > i i i Ei i < i i i Ei i i = Ei i i = i i -- On On On C in > < = CI CO C out -- = + (-) (-) = + = C +

2 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 2 (2).9.2 Fe Johdanto Tässä luvussa käsitellään peruslaskutoimitukset yksi- ja monibittisillä etumerkittömillä binaariluvuilla esitellään aritmeettiset peruspiirit esitetään etumerkittömien binaarilukujen vertailu ja vertailupiirit käsitellään kahden komplementtimuotoisten lukujen yhteen- ja vähennyslasku esitetään binaariluvun kertominen kahden potenssilla Luvun tavoitteena on oppia laskemaan yhteen-, vähennys- ja kertolaskuja etumerkittömillä ja kahden komplementtimuotoisilla binaariluvuilla perehtyä aritmeettisiin piireihin ja vertailupiireihin sekä niiden käyttöön

3 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe Laskutoimitukset yksibittisillä binaariluvuilla eriaatteessa kuten kymmenjärjestelmän numeroilla Laskutaulukot: Yhteenlasku + Vähennyslasku - Kertolasku C B D R R =D Muistibitti (carry bit) Muistibitti (borrow bit)

4 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 4 (2).9.2 Fe uolisummain uolisummain (half adder) muodostaa kahden yksibittisen luvun summabitin ja muistibitin Totuustaulu C Kytkentäfunktiot = + = C = iirikaavio ½ iirrosmerkki Muistibitti ummabitti = C CO C

5 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 5 (2).9.2 Fe Monibittisten binaarilukujen yhteen- ja vähennyslasku Monibittisillä luvuilla tuleva muistibitti on otettava huomioon Bittipositiossa i laskennassa ovat mukana yhteenlaskettavien tai vähennettävien bitit i ja i tuleva muistibitti C i tai B i summabitti i tai erotusbitti D i lähtevä muistibitti C i+ tai B i+ C tai B tai D umma i + i + C i Erotus i - i - B i + i i i C i i C i i+ i+ i i i i i B i i B i i+ D i+ i i - i = D i

6 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 6 (2).9.2 Fe Kokosummain Kokosummain (full adder) ottaa huomioon myös yhteenlaskun tulevan muistibitin euraavassa jätetty signaalinimistä pois indeksi i Tuleva muistibitti on C in ja lähtevä C out Totuustaulu C in C in out out Kytkentäfunktiot = C in + C in + C in + C in = C in C out = + C in + C in = + C in ( )

7 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 7 (2).9.2 Fe Kokosummain 2 iirikaavio C in = = iirrosmerkki C out C in CI CO C out iirikaavio 2 C in CO CO C out

8 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 8 (2).9.2 Fe Monibittiset binaarisummaimet 4-bittinen rinnakkaismuotoinen summain saatavilla erillispiirinä 4-bittisen rinnakkaismuotoisen summaimen periaatteellinen toteutus Esittele binaarisummain 2 2 CI CO C CI CO C 2 2 CI CO C CI CO C 4 Heikkoutena hitaus: muistibitti etenee ketjussa summaimesta seuraavaan Todellisessa summaimessa muistibitin kulkua on nopeutettu tähän voidaan käyttää muistibitin kurkistuspiiriä kurkistussummaimessa viive ei riipu n yhteenlaskettavien bittimäärästä nopein summain saadaan kahden tason piirinä

9 Nelibittinen binaarisummain Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 9 (2).9.2 Fe Kurkistussummaimen piirikaavio Lisä 2 2 iirrosmerkki 2 = C = C g 2 2 C g C p C g2 C p2 C 2 C = = = = 2 C in CI CO C out C g = = C p 4 C 4

10 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe? Laskutoimituksia etumerkittömillä binaariluvuilla 2 Yhteenlasku Ylivuoto, väärä tulos Muistibitti + umma Muistibitti + umma Muistibitti + umma + Vähennyslasku Ylivuoto, väärä tulos Muistibitti - Erotus - Muistibitti - Erotus Muistibitti - Erotus Kertolasku Osatulot Tulo Osatulot Tulo

11 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe Etumerkittömien binaarilukujen vertailu Yhtäsuuruuden vertailu Verrataan yksittäisiä bittejä EHDOTON TAI -portilla Yhdistetään bittikohtaiset vertailutulokset TAI-EI-portilla Esimerkki: nelibittinen yhtäsuuruuden vertailupiiri = iirikaavio iirrosmerkki 2 2 = = = = Y 2 2 COM = Y

12 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 2 (2).9.2 Fe Etumerkittömien binaarilukujen vertailu 2 Keskinäisen suuruuden vertailu elvitetään, kumpi luvuista on suurempi vai ovatko ne yhtä suuret Vertailualgoritmi Kahdeksanbittinen vertailupiiri > = < Aseta i = n i > i Ei i < i Ei i = Ei i = i - On On On > < = 2 2 > = < COM > = < > = < COM > = < Y

13 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe? 2 Kahden komplementtimuotoisten binaarilukujen yhteenlasku Yksinkertainen algoritmi laske luvut merkkibitteineen yhteen unohda merkkibiteistä muodostunut muistibitti Esimerkkejä: 2 s ja positiivisia, samoin C + negatiivinen, positiivinen, positiivinen C + negatiivinen, negatiivinen, positiivinen! Ylivuoto! C + Eri arvo

14 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 4 (2).9.2 Fe Kahden komplementtimuotoisten binaarilukujen vähennyslasku Tehdään vastaluvun yhteenlaskuna: - = + (-) Kahden komplementtimuodossa esitetyn luvun vastaluku saadaan komplementoimalla luku merkkibitteineen - = + (-) - = kompl ()

15 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 5 (2).9.2 Fe Kahden komplementtimuotoisten binaarilukujen vähennyslasku? Esimerkki:, ja R ovat kahden komplementtimuotoisia lukuja, =, =, R = Laske -, - R ja - R Muodostetaan ensin komplementoimalla - ja -R. = - = R = -R = Merkkibitti mukaan komplementointiin 2 s C - + positiivinen, - negatiivinen, positiivinen C -R + positiivinen, -R positiivinen, negatiivinen! Ylivuoto! C -R + positiivinen, -R positiivinen, positiivinen

16 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 6 (2).9.2 Fe Kahden koplementtimuotoisten binaarilukujen yhteen- ja vähennyslaskupiiri Lisä Yhteenlasku binaarisummaimella (VAH = ) Vähennyslasku vastaluvun yhteenlaskuna samalla summaimella (VAH = ) Vastaluvun muodostus EHDOTON TAI -porteilla ja tulevalla muistibitillä Esimerkki: nelibittinen summain-vähennin 2 = 2 = = 2 = CI CO C 4 VAH

17 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 7 (2).9.2 Fe Aritmeettis-looginen yksikkö ALU Käytetään tietokoneen keskusyksikössä Tekee aritmeettisia ja loogisia operaatioita 2 C ALU [T] 2 M 7 OVR CI CO OVR C 4 F 2 F F F Toiminnan määrittely taulukossa OVR = ylivuoto T Tulot Toiminta Lähdöt 2 F Nollaus Vähennys Vähennys ummaus plus EHDOTON TAI TAI + JA Asetus Lisä

18 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 8 (2).9.2 Fe Binaariluvun kertominen kahden potenssilla Kahden potenssilla kertominen = binaaripilkun siirto eksponentin osoittamalla määrällä oikealle, jos eksponentti on positiivinen (kertolasku) vasemmalle, jos eksponentti on negatiivinen (jakolasku) Kiinteän pilkun esityksessä pilkkua ei voida siirtää siirretään itse lukua vasemmalle, jos eksponentti on positiivinen (kertolasku) oikealle, jos eksponentti on negatiivinen (jakolasku) iirrettäessä merkkibitti ei saa muuttua Vasemmalle siirrettäessä kertolaskun tuloksen pitää edelleen mahtua käytettävään sananpituuteen luvun perään lisätään nollia Oikealle siirrettäessä syntyy katkaisuvirhe, jos yksikin poistuva bitti on ykkönen luvun alkuun lisätään merkkibittejä x 2 n : 2 n

19 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 9 (2).9.2 Fe Kahden komplementtimuotoisen binaariluvun kertominen kahden potenssilla Esimerkki: kerrotaan 2 :lla ositiivinen luku x 2 n (+4 )? 4 iirretty vasemmalle Lisätty nollia (+252 ) Negatiivinen luku iirretty vasemmalle Lisätty nollia (-4 ) (-252 )

20 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 2 (2).9.2 Fe? 5 Kahden komplementtimuotoisen binaariluvun jakaminen kahden potenssilla Esimerkki: jaetaan 2 :lla ositiivinen luku Lisätty nollia Negatiivinen luku Lisätty ykkösiä iirretty oikealle iirretty oikealle : 2 n (+4 ) (+9 ) (-4 ) (-4 )

21 Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu 2 (2).9.2 Fe Yhteenveto Yksi- Yksi- ja ja monibittisten binaarilukujen laskutoimitukset määritellään laskutaulukoilla Ne Ne toteutetaan aritmeettisilla piireillä puoli-, puoli-, koko- koko- ja ja monibittisillä binaarisummaimilla yhteen- ja ja vähennyslaskupiireillä Etumerkittömien binaarilukujen vertailu vertailu tehdään yhtäsuuruuden vertailupiirillä keskinäisen suuruuden vertailupiirillä Kahden komplementtimuotoisten binaarilukujen yhteen- ja ja vähennyslasku ovat ovat yksinkertaisia Kahden komplementtimuotoisen binaariluvun kertominen tai tai jakaminen kahden potenssilla tehdään siirtämällä lukua lukua vasemmalle tai tai oikealle