Lukuteoriaa. Pentti Haukkanen

Transkriptio

1 Lukuteoriaa Pentti Haukkanen

2 Sisällys Kongruensseista 4. Eulerin-Fermat n lause Wilsonin lause Kiinalainen jäännöslause Polynomikongruensseista Julkisen avaimen kryptausjärjestelmä RSA Primitiiviset juuret 5 2. Kokonaisluvun kertaluku Primitiivinen juuri Diskreetti logaritmi Potenssin jäännös Neliönjäännökset Määritelmä Legendren symboli Neliönjäännösten resiprookkilaki Aritmeettisia funktioita Määritelmä Binäärioperaatioita Multiplikatiiviset funktiot Möbiuksen funktio Eulerin funktio Tekijäfunktio Mangoldtin funktio Täydellisesti multiplikatiiviset funktiot Muodollinen potenssisarja Identiteettejä Analogioita ja yleistyksiä Aritmeettisen funktion keskiarvo 4 5. Määritelmä Abelin identiteetti

3 5.3 Dirichlet n tulon osasumma Tekijäfunktion keskiarvo Eulerin funktion keskiarvo

4 Kongruensseista. Eulerin-Fermat n lause Määritelmä Joukko {r,r 2,...,r m } on täydellinen jäännössysteemi modulo m, jos r i r j (mod m) aina, kun i j. Esimerkki.. Joukot {0,,..., m } ja {, 2,..., m} ovat täydellisiä jäännössysteemejä modulo m. Lause.. Olkoon {r,r 2,...,r m } täydellinen jäännössysteemi modulo m, olkoon a sellainen kokonaisluku, että (a, m) =, ja olkoon b mikä tahansa kokonaisluku. Silloin {ar + b, ar 2 + b,...,ar m + b} on täydellinen jäännössysteemi modulo m. Todistus Joukossa {ar + b, ar 2 + b,...,ar m + b} on m alkiota, joten riittää todistaa, että sen alkiot ovat pareittain epäkongruentteja modulo m. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellaiset i ja j (i j), että ar i + b ar j + b (mod m). Silloin ar i ar j (mod m). Koska (a, m) =, niin algebran monisteen lauseen.8.4 mukaan r i r j (mod m). Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että {r,r 2,...,r m } on täydellinen jäännössysteemi modulo m. Siis vastaoletus on väärä. Määritelmä Eulerin funktio φ määritellään kaavalla φ(n) = {r : r n, (r, n) =}, n Z +. Huomautus Funktio φ toteuttaa muun muassa kaavan φ(n) =n ( ). p p n Erityisesti φ(p k )=p k p k, kun p on alkuluku ja k Z +. Määritelmä Joukko {r,r 2,...,r φ(m) } on supistettu jäännössysteemi modulo m, jos ) (r i,m)=,kuni =, 2,...,φ(m), 2) r i r j (mod m), kun i j. 4

5 Esimerkki..2 Joukot {r : 0 r m, (r, m) =} ja {r : r m, (r, m) = } ovat supistettuja jäännössysteemejä modulo m. Huomautus Supistetun jäännössysteemin modulo m käsite on analoginen algebran käsitteen alkuluokkaryhmä modulo m kanssa. Lause..2 Olkoon {r,r 2,...,r φ(m) } supistettu jäännössysteemi modulo m, ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että (a, m) =. Silloin {ar,ar 2,...,ar φ(m) } on supistettu jäännössysteemi modulo m. Todistus Joukossa {ar,ar 2,...,ar φ(m) } on φ(m) alkiota, joten riittää todistaa, että supistetun jäännössysteemin määritelmän kohdat ja 2 ovat voimassa. Kohta. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen i {, 2,..., φ(m)}, että (ar i,m) >. Siis on olemassa sellainen alkuluku p, että p ar i ja p m. Siis p a ja p m, tai p r i ja p m. Jos p a ja p m, niin (a, m) >, mikä on ristiriidassa oletuksen (a, m) = kanssa. Jos taas p r i ja p m, niin (r i,m) >. Siis {r,r 2,...,r φ(m) } ei ole supistettu jäännössysteemi modulo m, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Näin ollen vastaoletus on väärä, joten (ar i,m) = aina, kun i =, 2,...,φ(m). Kohta 2. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellaiset i ja j (i j), että ar i ar j (mod m). Koska (a, m) =, niin algebran monisteen lauseen.8.4 mukaan r i r j (mod m). Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että {r,r 2,...,r φ(m) } on supistettu jäännössysteemi modulo m. Siis vastaoletus on väärin eli ar i ar j (mod m), kun i j. Lause..3 (Eulerin-Fermat n lause) Jos (a, m) =, niin a φ(m) (mod m). Todistus Merkitään R = {r,r 2,...,r φ(m) } = {r : 0 r m, (r, m) =} ja ar = {ar,ar 2,...,ar φ(m) }. 5

6 Silloin joukot R ja ar ovat supistettuja jäännössysteemejä modulo m. Lisäksi jokaista lukua ar i ar kohti on olemassa sellainen yksikäsitteinen luku r j R, että r j = (ar i ) mod m. Siis jokaista lukua ar i ar kohti on olemassa sellainen yksikäsitteinen luku r j R, että r j ar i (mod m). Näin ollen ar ar 2 ar φ(m) r r 2 r φ(m) (mod m) eli a φ(m) r r 2 r φ(m) r r 2 r φ(m) (mod m). Koska (r r 2 r φ(m),m) =, niin supistamalla saamme, että a φ(m) (mod m). Seuraus.. (Fermat n pieni lause) Jos p on alkuluku ja p /a, niin a p (mod p). Todistus Seuraus saadaan lauseesta..3, koska φ(p) = p. Seuraus..2 Jos p on alkuluku, niin a p a (mod p). Todistus Jaetaan tarkastelu kahteen osaan: p a, p /a. Jos p a, niin a 0 (mod p) ja a p 0 (mod p), joten a p a (mod p). Jos p /a, niin Fermat n pienen lauseen mukaan a p (mod p). Kertomalla kongruenssi puolittain luvulla a saadaan haluttu tulos. Huomautus Tarkastellaan kongruenssia ax b (mod m), missä (a, m) =. Kertomalla kongruenssi puolittain luvulla a φ(m) saadaan a φ(m) ax a φ(m) b (mod m). Eulerin-Fermat n lauseen perusteella saadaan ratkaisuksi x a φ(m) b (mod m). Erityisesti jos p on alkuluku ja p /a, niin kongruenssin ax b (mod p) ratkaisu on x a p 2 b (mod p). Esimerkki..3 Koska φ(0) = 4 (totea!), niin kongruenssin 3x 7 (mod 0) ratkaisu on x 3 φ(0) (mod 0). Esimerkki..4 Fermat n pienen lauseen perusteella 3 0 (mod ). Näin ollen 3 20 =(3 0 ) (mod ). Siis 3 20 mod =3. 6

7 .2 Wilsonin lause Määritelmä Olkoon (a, m) =. Silloin kongruenssin ax (mod m) ratkaisua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi modulo m. Merkitään x = a. Huomautus Kun (a, m) =, niin luvun a käänteisluku modulo m on olemassa ja on yksikäsitteinen modulo m. (Ks. algebran monisteen lause...) Huomautus Käänteisluvun modulo m käsite on analoginen käänteisalkion käsitteen kanssa alkuluokkaryhmässä modulo m. Huomautus Kun (a, m) =, niin kongruenssin ax b (mod m) ratkaisu on x a b (mod m). (Totea!) Esimerkki.2. Luku 9 on luvun 7 käänteisluku modulo 3, sillä 7 9 (mod 3). Huomaa, että vastaavasti luku 7 on luvun 9 käänteisluku modulo 3. Esimerkki.2.2 Kongruenssin 7x 22 (mod 3) ratkaisu on x (mod 3). Huomautus Kun p on alkuluku ja p / a, niin Fermat n pienen lauseen perusteella luku a p 2 on luvun a käänteisluku modulo p. (Totea!) Lause.2. Olkoon p alkuluku. Silloin luku a on itsensä käänteisluku modulo p, jos ja vain jos a (mod p) tai a (mod p). Todistus Jos a (mod p) tai a (mod p), niin a 2 (mod p). Siis a on itsensä käänteisluku modulo p. Jos a on itsensä käänteisluku modulo p, niin a 2 (mod p). Siis p (a 2 ). Koska a 2 =(a )(a + ), niin p (a ) tai p (a + ). Näin ollen a (mod p) tai a (mod p). Lause.2.2 (Wilsonin lause) Jos p on alkuluku, niin (p )! (mod p). 7

8 Todistus Lause on selvästi voimassa, kun p = 2 tai p = 3 (totea!). Oletetaan, että p on lukua 3 suurempi alkuluku. Olkoon a {2, 3,...,p 2}. Koska (a, p) =, niin luvulla a on käänteisluku modulo p. Lauseen.2. mukaan luvun a käänteisluku modulo p on erisuuri kuin luku a itse. Siis luvut 2, 3,..., p 2 voidaan jakaa erillisiin pareihin niin, että jokaisen parin tulo on (mod p). Kertomalla nämä parit keskenään saadaan, että 2 3 (p 2) (mod p). Koska (p ) (mod p), niin 2 3 (p 2)(p ) (mod p) eli (p )! (mod p). Huomautus Wilsonin lauseen tulos pitää paikkansa myös kääntäen (ks. lause.2.3). Siis sitä voi käyttää alkulukutestinä. Lause.2.3 Jos n on sellainen positiivinen kokonaisluku, että (n )! (mod n), niin n on alkuluku. Todistus Oletetaan, että (n )! (mod n), ja väitetään, että n on alkuluku. Tehdään vastaoletus, että n on yhdistetty luku. Siis n = ab, missä < a,b < n. Näin ollen a (n )!. Koska (n )! (mod n), niin n ((n )! + ). Nyt koska a n, niin a ((n )! + ). Siis a (n )! ja a ((n )! + ), joten a ((n )!+ (n )!) eli a, mikä on mahdotonta, koska a>. Näin ollen vastaoletus on väärä. Esimerkki.2.3 Koska (6 )! = 20 0 (mod 6), niin 6 ei ole alkuluku..3 Kiinalainen jäännöslause Lause.3. Olkoot m,m 2,...,m r ( 2) pareittain suhteellisia alkulukuja. Silloin kongruenssiryhmällä x a (mod m ), x a 2 (mod m 2 ),. x a r (mod m r ) 8

9 on yksikäsitteinen ratkaisu modulo M = m m 2 m r. Todistus Jaetaan todistus kahteen osaan: konstruoidaan ratkaisu ja todistetaan ratkaisun yksikäsitteisyys. Konstruoidaan ensin ratkaisu. Merkitään M k = M/m k = m m 2 m k m k+ m r. Koska luvut m,m 2,...,m r ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin (M k,m k )=. Näin ollen luvulla M k on käänteisluku modulo m k. Merkitään käänteislukua symbolilla y k, jolloin M k y k (mod m k ). Todistetaan nyt, että kongruenssiryhmän ratkaisu on x = a M y + a 2 M 2 y a r M r y r. Koska m k M j, kun j k, niin M j 0 (mod m k ), kun j k. Näin ollen x a k M k y k (mod m k ). Koska M k y k (mod m k ), niin x a k (mod m k ). Siis x on kongruenssiryhmän ratkaisu. Todistetaan, että ratkaisu on yksikäsitteinen modulo M. Olkoot x 0 ja x kaksi kongruenssiryhmän ratkaisua. Silloin jokaista lukua k =, 2,...,r kohti x 0 x a k (mod m k ), joten jokaista lukua k =, 2,...,rkohti m k (x 0 x ). Näin ollen M (x 0 x ) eli x 0 x (mod M). Esimerkki.3. Ratkaistaan kongruenssiryhmä x (mod 3), x 2 (mod 5), x 3 (mod 7). Koska luvut 3, 5, 7 ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin kiinalaisen jäännöslauseen mukaan kongruenssiryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu modulo eli modulo 05. Sovelletaan kiinalaisen jäännöslauseen todistusta. Silloin M = = 05, M = 05/3 = 35, M 2 = 05/5 = 2, M 3 = 05/7 = 5. Lukujen M k on käänteisluvut y k modulo m k toteuttavat ehdot 35y (mod 3), 2y 2 (mod 5), 5y 3 (mod 7). Näin ollen y 2 (mod 3), y 2 (mod 5), y 3 (mod 7). (Totea!) Siis x (mod 05). 9

10 .4 Polynomikongruensseista Tarkastellaan polynomikongruenssin f(x) 0 (mod m) ratkaisemista, missä m = p a p a 2 2 p an n. Kirjoitetaan se kongruenssiryhmänä f(x) 0 (mod p a i i ), i=, 2,...,n, ja ratkaistaan ryhmän jokainen kongruenssi. Lopuksi sovelletaan kiinalaista jäännöslausetta. Esimerkki.4. Kongruenssin 2x 3 +7x 4 0 (mod 200) ratkaiseminen palautuu kongruenssiryhmän 2x 3 +7x 4 0 (mod 8), 2x 3 +7x 4 0 (mod 25) ratkaisemiseksi, sillä 200= Lauseen.4. periaatteella voidaan todistaa, että tämä palautuu kongruenssiryhmän x 4 (mod 8), x 6 (mod 25) ratkaisemiseksi. Kiinalaisen jäännöslauseen periaatteella saadaan ratkaisuksi x 6 (mod 200). (Totea!) Kongruenssi f(x) 0 (mod p a ) ratkaistaan niin sanotulla nostoperiaatteella. Ensiksi kongruenssi f(x) 0 (mod p) ratkaistaan kokeilemalla. Oletetaan sitten, että kongruenssin f(x) 0 (mod p k ) ratkaisut tunnetaan. Silloin kongruenssin f(x) 0 (mod p k+ ) ratkaisut saadaan seuraavan lauseen avulla. Lause.4. Olkoon f(x) kokonaislukukertoiminen polynomi, p alkuluku ja k ( ) kokonaisluku. Silloin x k+ on kongruenssin f(x) 0 (mod p k+ ) (.4.) 0

11 ratkaisu, jos ja vain jos x k+ = x k + tp k, missä x k, 0 x k <p k, on kongruenssin ratkaisu ja t, 0 t<p, on kongruenssin ratkaisu. f(x) 0 (mod p k ) (.4.2) f (x k )t f(x k) p k (mod p) (.4.3) Todistus Olkoon x k+ kongruenssin (.4.) ratkaisu. Silloin x k+ on myös kongruenssin (.4.2) ratkaisu. Näin ollen on olemassa sellainen kongruenssin (.4.2) ratkaisu x k, että x k+ x k (mod p k ), missä 0 x k <p k.täten x k+ = x k + tp k, missä t Z. Koska x k +(t + lp)p k x k + tp k (mod p k+ ), kun l Z, niin riittää, että 0 t < p. Todistetaan vielä, että t toteuttaa kongruenssin (.4.3). Binomikaavan avulla voidaan todistaa (harj.), että f(x k+ )=f(x k + tp k )=f(x k )+tp k f (x k )+ 2 t2 p 2k f (x k )+ (.4.4) Koska 2k k +, niin f(x k+ ) f(x k )+tp k f (x k ) (mod p k+ ). Koska f(x k+ ) 0 (mod p k+ ), niin tp k f (x k ) f(x k ) (mod p k+ ). Edelleen koska f(x k ) 0 (mod p k ), niin p k f(x k ). Näin ollen t toteuttaa kongruenssin (.4.3). Olemme siis todistaneet, että jos x k+ on kongruenssin (.4.) ratkaisu, niin x k+ = x k +tp k, missä x k,0 x k <p k, on kongruenssin (.4.2) ratkaisu ja t, 0 t<p, on kongruenssin (.4.3) ratkaisu. Käänteinen puoli voidaan todistaa yhtälön (.4.4) avulla. Esimerkki.4.2 Ratkaistaan kongruenssi x 3 + x (mod 25).

12 Merkitään f(x) =x 3 + x Kokeilemalla havaitaan, että kongruenssin f(x) 0 (mod 5) ainoa ratkaisu on x 3 (mod 5). Etsitään kongruenssin f(x) 0 (mod 25) ratkaisu muodossa x 2 =3+5t, missä t, 0 t<5, toteuttaa kongruenssin f (3)t f(3) 5 (mod 5) eli kongruenssin 33t 3 (mod 5). Siis t = 4, joten kongruenssin f(x) 0 (mod 25) ratkaisu on x 2 23 (mod 25). Esimerkki.4.3 Ratkaistaan kongruenssi x 2 + x +7 0 (mod 27). Merkitään f(x) =x 2 + x + 7. Kokeilemalla havaitaan, että kongruenssin f(x) 0 (mod 3) ainoa ratkaisu on x (mod 3). Etsitään kongruenssin f(x) 0 (mod 9) ratkaisu muodossa x 2 = +3t, missä t, 0 t<3, toteuttaa kongruenssin f ()t f() 3 (mod 3) eli kongruenssin 0t 3 (mod 3). Kaikki luvut t, 0 t < 3, toteuttavat kongruenssin, joten kongruenssin f(x) 0 (mod 9) ratkaisut ovat x 2, 4, 7 (mod 9). Etsitään kongruenssin f(x) 0 (mod 27) ratkaisu muodossa x 3 x 2 =, 4, 7jat, 0 t<3, toteuttaa kongruenssin = x 2 +9t, missä f (x 2 )t f(x 2) 9 (mod 3). (.4.5) Olkoon x 2 =. Silloin kongruenssi (.4.5) tulee muotoon 3t (mod 3), jolla ei ole ratkaisua. Siis kongruenssin f(x) 0 (mod 9) ratkaisu x 2 (mod 9) ei tuota yhtään kongruenssin f(x) 0 (mod 27) ratkaisua. Olkoon x 2 = 4. Silloin kongruenssi (.4.5) tulee muotoon 9t 3 (mod 3). Kaikki luvut t, 0 t < 3, toteuttavat tämän kongruenssin, joten saadaan kongruenssin f(x) 0 (mod 27) ratkaisut x 3 4, 3, 22 (mod 27). 2

13 Olkoon x 2 = 7. Silloin kongruenssi (.4.5) tulee muotoon 5t 7 (mod 3), jolla ei ole ratkaisua. Siis kongruenssin f(x) 0 (mod 9) ratkaisu x 2 7 (mod 9) ei tuota yhtään kongruenssin f(x) 0 (mod 27) ratkaisua. Siis kaiken kaikkiaan kongruenssin f(x) 0 (mod 27) ratkaisut ovat x 3 4, 3, 22 (mod 27)..5 Julkisen avaimen kryptausjärjestelmä RSA Julkisen avaimen järjestelmä Henkilöllä A on julkinen kryptausfunktio E A (salausfunktio) ja salainen dekryptausfunktio D A (purkufunktio). Oletetaan, että henkilö Blähettää viestin henkilölle A. Merkitään lähetettävän viestin selvätekstimuotoa kirjaimella w ja kryptotekstimuotoa kirjaimella c. Henkilö B kryptaa viestin w funktiolla E A, jolloin siis c = E A (w), ja lähettää viestin muodossa c. Henkilö A purkaa viestin funktiolla D A, jolloin hän saa viestin w. Siis D A (c) =w. Tässä funktiot E A ja D A ovat toistensa käänteisfunktioita eli D A (c) =D A (E A (w)) = w. (.5.) RSA-järjestelmä Julkinen kryptausfunktio E A ja salainen dekryptausfunktio D A laaditaan RSA-järjestelmässä seuraavalla tavalla. Valitaan kaksi (suurta) alkulukua p ja q (p q). Lasketaan n = pq ja m = φ(n) =(p )(q ). Valitaan sellainen luku e, että (e, m) =. Luku d olkoon luvun e käänteisluku modulo m, ts. de (mod m). (Siis on olemassa sellainen kokonaisluku k, että de = km +.) Henkilön A julkinen kryptausfunktio E A on E A (w) =w e mod n ja salainen dekryptausfunktio D A on D A (c) =c d mod n. Tällöin kaava (.5.) toteutuu, sillä D A (c) c d (w e ) d = w de = w km+ =(w m ) k w w (mod n), 3

14 missä viimeinen päättely perustuu Eulerin-Fermat n lauseeseen. (Todennäköisyys, että Eulerin-Fermat n lauseessa vaadittava ehto (w, n) = ei ole voimassa, on äärimmäisen pieni.) Henkilö voi vapaasti jakaa kryptausfunktionsa E A, jonka pohjalta on äärimmäisen vaikea löytää dekryptausfunktio D A. (Perustelu sivuutetaan.) Esimerkki.5. Olkoon p = 7jaq =. (Alkuluvut ovat pieniä yksinkertaisuuden vuoksi.) Silloin n = pq =77jam = φ(n) =(p )(q ) = 60. Olkoon e = 3 (missä siis (e, m) = ). Silloin henkilön A julkinen kryptausfunktio on E A (w) =w 3 mod 77. Luku d toteuttaa kongruenssin de (mod m) eli kongruenssin 3d (mod 60). Tämän kongruenssin ratkaisu on d 37 (mod 60). (Totea!) Siis henkilön A salainen dekryptausfunktio D A on D A (c) =c 37 mod 77. Oletetaan, että viesti on w = 3. (Silloin (w, n) =.) Koska w =3 5 (3 4 ) 2 = = (mod 77), niin viestin w kryptotekstimuoto on c = E A (w) =w 3 mod 77=38. Puretaan c funktiolla D A (c) =c 37 mod 77. Koska 38 2 = (mod 77), 38 4 ( 9) 2 = (mod 77), 38 8 ( 24) 2 = (mod 77), = (mod 77), ( 7) 2 = (mod 77), niin c 37 = = ( 24) 38 = = (mod 77). Näin ollen D A (c) =c 37 mod 77=3=w. 4

15 Allekirjoitus Viestin allekirjoitus voidaan toteuttaa julkisen avaimen järjestelmässä. Oletetaan taas, että henkilö Blähettää viestin henkilölle A. Silloin B laskee muunnokset D B (w) =s, E A (s) =c. Viesti lähetetään muodossa c. Henkilö A purkaa sen laskemalla D A (c) =s, E B (s) =w. Siis A saa parin (s, w), jota voidaan pitää viestin allekirjoitettuna muotona. Nimittäin B ei voi kiistää lähettäneensä viestiä (s, w), sillä D B on B:n salainen funktio ja täten vain B on voinut laskea luvun s luvusta w. 2 Primitiiviset juuret 2. Kokonaisluvun kertaluku Olkoot a ja m (> ) keskenään jaottomia kokonaislukuja. Silloin Eulerin-Fermat n lauseen mukaan a φ(m) (mod m). Näin ollen on olemassa ainakin yksi sellainen positiivinen kokonaisluku x, että a x (mod m). Määritelmä Olkoot a ja m (> ) keskenään jaottomia kokonaislukuja. Silloin luvun a kertaluku modulo m on on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku x, että a x (mod m). Merkitään x = ord m a. Esimerkki 2.. Etsitään ord 7 2. Selvästi 2 2 (mod 7), (mod 7), 2 3 (mod 7), joten ord 7 2 = 3. Vastaavasti voidaan perustella, että ord 7 3 = 6. (Totea!) Lause 2.. Olkoot a ja m (> 0) keskenään jaottomia. Silloin a x (mod m) ord m a x. 5

16 Todistus Jos ord m a x, niin x = (ord m a)k, missä k Z +.Näin ollen a x =(a ordma ) k k = (mod m). Oletetaan käänteisesti, että a x (mod m). Jakoalgoritmin mukaan x = (ord m a)q + r, 0 r<ord m a. Näin ollen a x = a (ordma)q+r = a (ordma)q a r a r (mod m). Koska a x (mod m), niin a r (mod m). Täten epäyhtälön 0 r<ord m a ja luvun ord m a määritelmän perusteella r =0. Näin ollen x = (ord m a)q + r = (ord m a)q eli ord m a x. Esimerkki 2..2 Koska ord 7 2 = 3 (ks. esim. 2..), niin esimerkiksi x = 9 on kongruenssin 2 x (mod 7) ratkaisu mutta x = 0 ei ole kongruenssin 2 x (mod 7) ratkaisu. Seuraus 2.. Jos a ja m (> 0) ovat keskenään jaottomia, niin ord m a φ(m). Todistus Seuraus saadaan suoraan Eulerin-Fermat n lauseesta ja lauseesta 2... Esimerkki 2..3 Etsitään ord 9 7. Koska φ(9) = 6, niin lauseen 2.. perusteella luvun ord 9 7 mahdolliset arvot ovat, 2, 3 ja 6. Selvästi 7 7 (mod 9), (mod 9), 7 3 (mod 9), joten ord 9 7=3. Lause 2..2 Olkoot a ja m (> 0) keskenään jaottomia ja i, j 0. Silloin a i a j (mod m) i j (mod ord m a). Todistus Oletetaan, että i j (mod ord m a). Menettämättä yleisyyttä voidaan olettaa, että 0 j i. Silloin i = j + k(ord m a), missä k on ei-negatiivinen kokonaisluku. Näin ollen a i = a j+k(ordma) = a j (a ordma ) k a j (mod m). 6

17 Oletetaan käänteisesti, että a i a j (mod m), missä 0 j i. Silloin a j a i j a j (mod m). Koska (a, m) =, niin (a j,m)=. Näin ollen supistussäännön perusteella a i j (mod m). Täten lauseen 2.. mukaan ord m a (i j) eli i j (mod ord m a). Esimerkki 2..4 Esimerkin 2..3 mukaan ord 9 7=3. Näin ollen lauseen 2..2 perusteella esimerkikisi (mod 9), (mod 9). Lause 2..3 Jos ord m a = t ja u on positiivinen kokonaisluku, niin ord m (a u )= t (t, u). Todistus Lause seuraa lauseesta 2.. ja kaavasta [t, u] = tu/(t, u). Esimerkki 2..5 Esimerkin 2.. mukaan ord 7 2=3. Näin ollen lauseen 2..3 perusteella ord =3/(3, 5)= Primitiivinen juuri Määritelmä Olkoot r ja m (> ) keskenään jaottomia kokonaislukuja. Jos ord m r = φ(m), niin sanotaan, että r on primitiivinen juuri modulo m. Esimerkki 2.2. Koska φ(9) = 6 ja 2 2 4, 2 3 8ja2 6 (mod 9), niin 2 on primitiivinen juuri modulo 9. Esimerkki Koska φ(7) = 6, niin esimerkin 2.. perusteella 3 on primitiivinen juuri modulo 7, mutta 2 ei ole primitiivinen juuri modulo 7. Huomautus Kaikilla kokonaisluvuilla ei ole primitiivisiä juuria. Esimerkikisi ei ole primitiivisiä juuria modulo 8. Voidaan nimittäin osoittaa, että ord 8 = ja ord 8 3= ord 8 5 = ord 8 7 = 2, missä, 3, 5 ja 7 ovat luvun 8 kanssa suhteelliset alkuluvut (< 8), mutta φ(8)= 4. Voidaan todistaa, että on olemassa primitiivinen juuri modulo m, jos ja vain jos m =2, 4,p t, 2p t, missä p on pariton alkuluku ja t positiivinen kokonaisluku. 7

18 Lause 2.2. Olkoot r ja m (> ) keskenään jaottomia, ja olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Silloin {r,r 2,...,r φ(m) } on supistettu jäännössysteemi modulo m. Todistus Oletuksen mukaan (r, m) =. Näin ollen (r k,m) = aina, kun k =, 2,...,φ(m). Vielä pitää osoittaa, että luvut r,r 2,...,r φ(m) pareittain epäkongruentteja modulo m. Oletetaan, että r i r j (mod m). Lauseen 2..2 mukaan i j (mod φ(m)). Koska i, j φ(m), niin i = j. Näin ollen luvut r,r 2,...,r φ(m) ovat pareittain epäkongruentteja modulo m. Esimerkki Esimerkin 2.2. ja lauseen 2.2. perusteella joukko {2, 2 2,...,2 φ(9) } eli joukko {2, 4, 8, 7, 5, } on supistettu jäännössysteemi modulo 9. Lause Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Silloin r u on primitiivinen juuri modulo m, jos ja vain jos (u, φ(m))=. Todistus Lauseen 2..3 perusteella ord m (r u )= ord mr (ord m r, u) = φ(m) (φ(m),u). Näin ollen ord m (r u )=φ(m) (eli r u on primitiivinen juuri modulo m), jos ja vain jos (u, φ(m))=. Esimerkki Esimerkin 2.2. mukaan luku 2 on primitiivinen juuri modulo 9. Koska φ(9) = 6, niin lauseen perusteella luvut 2 ja 2 5 ovat primitiivisiä juuria modulo 9. Lause Jos on olemassa primitiivinen juuri modulo m, niin primitiivisten juurten modulo m kokonaislukumäärä onφ(φ(m)). Todistus Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Silloin lauseen 2.2. perusteella ehdokkaat primitiivisiksi juuriksi modulo m ovat r,r 2,...,r φ(m). Lauseen mukaan r u on primitiivinen juuri modulo m, jos ja vain jos (u, φ(m)) =. Täten Eulerin funktion määritelmän nojalla primitiivisten juurten modulo m kokonaislukumäärä on φ(φ(m)). 8

19 Esimerkki Lauseen ja esimerkin perusteella luvut 2 ja 2 5 ovat ainoat primitiiviset juuret modulo Diskreetti logaritmi Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Silloin lauseen 2.2. mukaan {r,r 2,...,r φ(m) } on supistettu jäännössysteemi modulo m. Siis jos a on suhteellinen alkuluku luvun m kanssa, niin on olemassa sellainen yksikäsitteinen luku x, että x φ(m) ja r x a (mod m). Määritelmä Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Olkoon a suhteellinen alkuluku luvun m kanssa. Silloin lukua x, joka toteuttaa ehdot x φ(m) jar x a (mod m), sanotaan luvun a r-kantaiseksi diskreetiksi logaritmiksi (eli indeksiksi) modulo m. Silloin merkitään x = ind r a. Huomautus ) Luku ind r a riippuu modulista m. 2) r indra a (mod m). 3) Olkoon (a, m) =(b, m) =. Silloin a b (mod m), jos ja vain jos ind r a = ind r b, jos ja vain jos ind r a ind r b (mod φ(m)) Esimerkki 2.3. Olkoon m = 7. Esimerkissä on todettu, että luku 3 on primitiivinen juuri modulo 7. Voidaan laskea, että3 3 (mod 7), (mod 7), (mod 7), (mod 7), (mod 7), 3 6 (mod 7). Näin ollen ind 3 = 6, ind 3 2=2, ind 3 3=, ind 3 4=4, ind 3 5=5, ind 3 6=3. Lause 2.3. Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Olkoot a ja b suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Silloin (i) ind r 0 (mod φ(m)), (ii) ind r (ab) ind r a + ind r b (mod φ(m)), (iii) ind r (a k ) k ind r a (mod φ(m)). 9

20 Todistus (i) Eulerin-Fermat n lauseen mukaan r φ(m) (mod m). Koska r on primitiivinen juuri modulo m, niin mikään luvun r alempi potenssi ei ole kongruentti luvun kanssa modulo m. Näin ollen ind r =φ(m) 0 (mod φ(m)). (ii) Diskreetin logaritmin määritelmän perusteella r indr(ab) ab (mod m) ja Koska niin r indra r indrb ab (mod m). r indra r indrb = r indra+indrb, r indr(ab) r indra+indrb (mod m) Nyt lauseen 2..2 perusteella kohta (ii) on voimassa. (iii) Kohta (iii) seuraa induktiolla kohdasta (ii). Esimerkki Olkoon m = 7. Esimerkissä 2.3. on todettu, että ind 3 2=2, ind 3 3=, ind 3 6=3. Tämä sopii yhteen lauseen 2.3. kanssa, sillä ind 3 6 = ind 3 (2 3) ind ind 3 3=2+=3 (modφ(7)). Esimerkki Ratkaistaan diskreettien logaritmien avulla kongruenssi 6x 2 (mod 7). Voidaan todistaa, että 3 on primitiivinen juuri modulo 7. (Totea!) Taulukossa on esitetty 3-kantaiset diskreetit logaritmit modulo 7. a ind 3 a Taulukko : 3-kantaiset diskreetit logaritmit modulo 7. Otetaan kongruenssin kummastakin puolesta 3-kantainen diskreetti logaritmi modulo 7, jolloin saadaan, että ind 3 (6x 2 ) ind 3 = 7 (mod 6). 20

21 (Huomaa, että yo. kongruenssissa moduli on nyt φ(7) eli 6 mutta 3-kantaisessa diskreetissä logaritmissa ind 3 moduli on 7.) Lauseen 2.3. kohtien (ii) ja (iii) perusteella ind 3 (6x 2 ) ind ind 3 (x 2 ) 5+2 ind 3 x (mod 6). Siis eli 5+2 ind 3 x 7 (mod 6) 2 ind 3 x 8 (mod 6). Tämän lineaarisen kongruenssin ratkaisu on ind 3 x 2 (mod 4). (Totea!) Näin ollen ind 3 x 2, 6, 0, 4 (mod 6). Diskreetin logaritmin määritelmän nojalla x 3 2, 3 6, 3 0, 3 4 (mod 7) eli x 9, 5, 8, 2 (mod 7). Koska yo. laskennan jokainen vaihe on voimassa myös käänteisesti, niin on saatu kongruenssin 6x 2 (mod 7) ratkaisu. Esimerkki Ratkaistaan diskreettien logaritmien avulla kongruenssi 7 x 6 (mod 7). (Moduli on sama kuin esimerkissä ) Otetaan kongruenssin kummastakin puolesta 3-kantainen diskreetti logaritmi modulo 7, jolloin saadaan, että ind 3 (7 x ) ind 3 6 = 5 (mod 6). Lauseen 2.3. kohdan (iii) perusteella ind 3 (7 x ) x ind 3 7 x (mod 6). Siis x 5 (mod 6) 2

22 Tämän lineaarisen kongruenssin ratkaisu on x 3 (mod 6). (Totea!) Tämä on kongruenssin 7 x 6 (mod 7) ratkaisu, sillä yo. laskennan jokainen vaihe on voimassa myös käänteisesti. 2.4 Potenssin jäännös Diskreettien logaritmien avulla voidaan tutkia kongruenssia x k a (mod m), missä m on positiivinen kokonaisluku, jolla on primitiivinen juuri, ja missä (a, m) =. Määritelmä Olkoot m ja k positiivisia kokonaislukuja ja olkoon a suhteellinen alkuluku luvun m kanssa. Silloin sanotaan, että a on k. potenssin jäännös modulo m, jos kongruenssi x k a (mod m) (2.4.) on ratkeava. Lause 2.4. Olkoon m positiivinen kokonaisluku, jolla on primitiivinen juuri, ja olkoon a suhteellinen alkuluku luvun m kanssa. Silloin kongruessi (2.4.) on ratkeava, jos ja vain jos a φ(m) (k,φ(m)) (mod m). Jos kongruessi on ratkeava, niin ratkaisuja modulo m on täsmälleen (k, φ(m)) kappaletta. Todistus Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Kongruenssi (2.4.) on voimassa, jos ja vain jos k ind r x ind r a (mod φ(m)). (2.4.2) Merkitään y = ind r x. Jos (k, φ(m)) / ind r a, niin lineaarisella kongruenssilla ky ind r a (mod φ(m)) (2.4.3) ei ole ratkaisua y. Siis ei ole sellaista lukua x, että kongruenssi (2.4.2) toteutuisi. Jos (k, φ(m)) ind r a, niin lineaarisella kongruenssilla (2.4.3) on täsmälleen (k, φ(m)) 22

23 ratkaisua y modulo φ(m). Koska x r y (mod m), niin lauseen 2..2 nojalla kongruenssin (2.4.2) toteuttaa täsmälleen (k, φ(m)) lukua x modulo m. Olemme siis todistaneet, että kongruenssi (2.4.) on ratkeava, jos ja vain jos (k, φ(m)) ind r a.tämä jaollisuus on voimassa, jos ja vain jos φ(m) (k, φ(m)) ind ra 0 (mod φ(m)) eli jos ja vain jos a φ(m) (k,φ(m)) (mod m). Esimerkki 2.4. Tutkittava, onko kongruenssi x 6 5 (mod 7) ratkeava eli onko luku 5 kuudennen potenssin jäännös modulo 7. Selvästi 5 6/(6,6) =5 8 (mod 7), joten 5 ei ole kuudennen potenssin jäännös modulo 7. 3 Neliönjäännökset 3. Määritelmä Määritelmä Olkoon m positiivinen kokonaisluku ( 2) ja a sellainen kokonaisluku, että (a, m) =. Silloin a on neliönjäännös modulo m, jos kongruenssi x 2 a (mod m) on ratkeava, ja a on neliönepäjäännös modulo m, jos kongruenssi x 2 a (mod m) ei ole ratkeava. Esimerkki 3.. Etsitään neliönjäännökset modulo 9. Asetetaan x käymään läpi supistettu jäännössysteemi modulo 9. Esimerkiksi x käy läpi luvut ±, ±2, ±4. Tällöin x 2 on vastaavasti kongruentti lukujen, 4, 7 kanssa modulo 9. Siis luvut, 4, 7ovat neliönjäännöksiä modulo 9 ja luvut 2, 5, 8 ovat neliönepäjäännöksiä modulo 9. Jatkossa rajoitutaan tapaukseen, jossa m on pariton alkuluku p. Esimerkki 3..2 Etsitään neliönjäännökset modulo. Asetetaan x käymään läpi supistettu jäännössysteemi modulo. Esimerkiksi x käy läpi luvut ±, ±2, ±3, ±4, ±5. Tällöin x 2 on vastaavasti kongruentti lukujen, 4, 9, 5, 3 kanssa modulo. Siis luvut, 3, 4, 5, 9 ovat neliönjäännöksiä modulo ja luvut 2, 6, 7, 8, 0 ovat neliönepäjäännöksiä modulo. 23

24 Lause 3.. Olkoon p pariton alkuluku ja r primitiivinen juuri modulo p. Olkoon a sellainen kokonaisluku, että p / a. Silloin a on neliönjäännös modulo p, jos ja vain jos ind r a on parillinen, ja a on neliönepäjäännös modulo p, jos ja vain jos ind r a on pariton. Todistus Riittää todistaa neliönjäännöksiä koskeva väite. Olkoon a on neliönjäännös modulo p, ts. olkoon kongruenssi x 2 a (mod p) ratkeava. Silloin 2 ind r x ind r a (mod p ). Koska p on parillinen, niin edellinen kongruenssi on voimassa modulo 2. Näin ollen ind r a on parillinen. Oletetaan käänteisesti, että ind r a on parillinen. Merkitään x = r indra 2. Silloin x toteuttaa kongruenssin x 2 a (mod p), joten a on neliönjäännös modulo p. Seuraus Neliönjäännöksiä ja neliönepäjäännöksiä modulo p on kumpiakin (p )/2 kappaletta modulo p. Lause 3..2 (Eulerin kriteeri) Olkoon p pariton alkuluku, ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että p /a. Silloin a on neliönjäännös modulo p, jos ja vain jos a (p )/2 (mod p), ja a on neliönepäjäännös modulo p, jos ja vain jos a (p )/2 (mod p). Todistus Todistetaan aluksi lauseen ensimmäinen osa. Oletetaan, että a on neliönjäännös modulo p. Silloin kongruenssilla x 2 a (mod p) on ratkaisu, sanokaamme x. Koska (a, p) =, niin (x,p)=. Näin ollen Fermat n pienen lauseen perusteella a (p )/2 (x 2 ) (p )/2 = x p (mod p). Oletetaan käänteisesti, että a (p )/2 (mod p). Olkoon r on primitiivinen juuri modulo p. Koska (a, p) =, niin a r k (mod p) jollakin luvun k arvolla, missä k p. Siis r k(p )/2 a (p )/2 (mod p). Täten lauseen 2.. mukaan (ord p r) k(p )/2 eli (p ) k(p )/2. Siis k on parillinen, sanokaamme k = 2j. Nyt (r j ) 2 = r k a (mod p), 24

25 joten r j on kongruenssin x 2 a (mod p) ratkaisu. Näin ollen a on neliönjäännös modulo p. Todistetaan nyt lauseen toinen osa. Fermat n pienen lauseen perusteella (a (p )/2 )(a (p )/2 +)=a p 0 (mod p). Siis a (p )/2 ± (mod p). Nyt lauseen ensimmäisen osan perusteella saadaan lauseen toinen osa. Esimerkki 3..3 Olkoon p =. Silloin 2 ( )/2 =2 5 =32 (mod ) ja 3 ( )/2 =3 5 = 243 (mod ). Siis 2 on neliönepäjäännös modulo ja 3 on neliönjäännös modulo. 3.2 Legendren symboli Määritelmä Olkoon p (> 2) alkuluku ja a sellainen kokonaisluku, että p /a. Legendren symboli ( ) a p määritellään kaavalla ( ) { a, jos a on neliönjäännös modulo p, = p, jos a on neliönepäjäännös modulo p. Esimerkki 3.2. Esimerkin 3..2 mukaan ( ( ( ( ( = = = = =, ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ) = = = = =. ) ) ) ) Lause 3.2. Olkoon p pariton alkuluku, ja olkoot a ja b sellaisia kokonaislukuja, että p /a ja p /b. Silloin (i) jos a b (mod p), niin ( ) ( ) a p = b p, 25

26 (ii) ( ) a p a (p )/2 (mod p), (iii) ( ) ( )( ) ab p = a b p p. Todistus (i) Jos a b (mod p), niin kongruenssilla x 2 a (mod p) on ratkaisu, jos ja vain jos kongruenssilla x 2 b (mod p) on ratkaisu. Näin ollen ( ) ( ) a p = b p. (ii) Kohta (ii) seuraa lauseesta (iii) Kohdan (ii) perusteella ( ) ab (ab) (p )/2 a (p )/2 b (p )/2 p ( a p )( ) b p (mod p). Legendren symboli saa arvot ±. Siis jos ( ) ( )( ) ab p a b p p, niin (mod p) eli p 2, mikä on mahdotonta, koska p>2. Täten ( ) ( )( ) ab p = a b p p. Esimerkki Tutkitaan, onko kongruenssi x 2 5 (mod 7) ratkeava. Lasketaan ( ) 5 7. Koska 5 2 (mod 7), niin lauseen 3.2. kohdan i) perusteella ( ) ( ) 5 7 = 2 7. Lauseen 3.2. kohdan iii) perusteella ( ) ( )( ( )( ) ( ( 3 3 = = = (±) 7 7 7) 7 7 7) 2 =. 7) Lauseen 3.2. kohdan ii) perusteella ( 3 3 7) (7 )/2 3 8 (8) 2 ( 4) 2 (mod 7). Näin ollen ( ) 5 7 = eli kongruenssi x 2 5 (mod 7) ei ole ratkeava. 3.3 Neliönjäännösten resiprookkilaki Lause 3.3. (Gaussin lemma) Olkoon p pariton alkuluku, ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että p / a. Olkoon s joukon {a, 2a,...,((p )/2)a} sellaisten alkioiden lukumäärä, joiden jakojäännös modulo p on suurempi kuin p/2. Silloin ( ) a p =( ) s. Esimerkki 3.3. Lasketaan ( ) 5 Gaussin lemman avulla. Lukujen 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5 jakojäännökset modulo ovat 5, 0, 4, 9, 3, joista kaksi on suurempaa kuin /2. Näin ollen ( ) 5 =( ) 2 =. (Toisin sanoen kongruenssi x 2 5 (mod ) on ratkeava.) 26

27 Lause (Resiprookkilaki) Olkoot p ja q erisuuria parittomia alkulukuja. Silloin ( )( ) p q =( ) p q 2 2. q p Esimerkki Lasketaan ( ) 3 7. Resiprookkilain nojalla ( ) 3 = 7 ( ) 7. 3 Lauseen 3.2. perusteella ( ) ( ( ) = = =(±) 3 3) 2 =. 3 Siis ( ) 3 7 =. Vastaus nähdään helposti myös lauseen 3.. ja taulukon avulla. 4 Aritmeettisia funktioita 4. Määritelmä Määritelmä Reaaliarvoista (tai kompleksiarvoista) funktiota, jonka määrittelyjoukko on positiivisten kokonaislukujen joukko, sanotaan aritmeettiseksi funktioksi. Esimerkki 4.. Olkoon α R. Symbolilla N α merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että N α (n) =n α, kun n Z +. Erityisesti merkitään N = N ja N 0 = ζ. Siis N(n) =n ja ζ(n) =,kunn Z +. Esimerkki 4..2 Kirjaimella γ merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että γ(n) = p n p, kun n>. Lisäksi sovitaan, että γ()=. Esimerkki 4..3 Kirjaimella ω merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että ω(n) = p n, kun n>. Lisäksi sovitaan, että ω()=0. Esimerkki 4..4 Kirjaimella Ω merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että Ω(n) = p n n(p), kun n>, missä n = p n p n(p) on luvun n kanoninen esitys. Lisäksi sovitaan, että Ω() = 0. Esimerkki 4..5 Liouvillen funktio λ on sellainen aritmeettinen funktio, että λ(n) = ( ) Ω(n), kun n Z +. 27

28 4.2 Binäärioperaatioita Määritelmä Aritmeettisten funktioitten f ja g (tavallinen) summa f + g on sellainen aritmeettinen funktio, että (f + g)(n) =f(n)+g(n), kun n Z +. Määritelmä Aritmeettisten funktioitten f ja g (tavallinen) tulo fg on sellainen aritmeettinen funktio, että (fg)(n) =f(n)g(n), kun n Z +. Määritelmä Aritmeettisten funktioitten f ja g Dirichlet n tulo (eli Dirichlet n konvoluutio) f g on sellainen aritmeettinen funktio, että (f g)(n) = f(d)g(n/d), n Z +. d n Lause 4.2. Dirichlet n tulo on assosiatiivinen. Todistus Dirichlet n tulon määritelmän perusteella ((f g) h)(n) = (f g)(d)h(c) = f(a)g(b)h(c) dc=n = abc=n = ad=n f(a)g(b)h(c) = dc=n ab=d f(a) ad=n bc=d g(b)h(c) f(a)(g h)(d) =(f (g h))(n) n Z +. Näin ollen (f g) h = f (g h) aina, kun f,g,h ovat aritmeettisia funktioita. Olemme siis todistaneet lauseen Lause Dirichlet n tulo on kommutatiivinen. Todistus Kun d käy läpi luvun n tekijät, niin myös n/d käy läpi luvun n tekijät. Tästä voimme päätellä lauseen Määritelmä Kirjaimella δ merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että δ() = ja δ(n) = 0 muulloin. Lause Aritmeettinen funktio δ on ykkösfunktio Dirichlet n tulon suhteen. Todistus Koska δ(n/d) = 0, kund n, jakoskaδ(n/d) =, kund = n, niin (f δ)(n) = f(d)δ(n/d) =f(n) n Z +. d n Kommutatiivisuuden nojalla (δ f)(n) =f(n) n Z +.Näin ollen f δ = δ f = f aina, kun f on aritmeettinen funktio. Olemme siis todistaneet lauseen

29 Lause Dirichlet n tulo on distributiivinen yli tavallisen summan. Todistus Harjoitustehtävä. Merkintä Kirjaimella A merkitään kaikkien aritmeettisten funktioitten joukkoa. Lause Pari (A, ) on kommutatiivinen monoidi. Lause Kolmikko (A, +, ) on kommutatiivinen ykkösrengas. Lauseet ja seuraavat lauseista 4.2., 4.2.2, ja Lause Aritmeettisella funktiolla f on käänteisfunktio f Dirichlet n tulon suhteen, jos ja vain jos f() 0.Käänteisfunktio f saadaan rekursiivisesta kaavasta f () = f(), f (n) = f(d)f (n/d), n >. (4.2.) f() d n d> Todistus Oletetaan, että aritmeettisella funktiolla f on käänteisfunktio. Silloin (f f )(n) =δ(n) aina, kun n Z +. Siis erityisesti (f f )() = δ() eli f()f ()=. Näin ollen f() 0. Oletetaan käänteisesti, että f() 0. Olkoon g sellainen aritmeettinen funktio, että g()=/f() ja g(n) = f(d)g(n/d), f() d n d> kun n>. Silloin selvästi (f g)(n) =δ(n) aina, kun n Z +. Kommutatiivisuuden nojalla funktio g on funktion f käänteisfunktio Dirichlet n tulon suhteen. Merkintä Symbolilla A 0 merkitään kaikkien sellaisten aritmeettisten funktioitten f joukkoa, jotka toteuttavat ehdon f() 0. Lause Pari (A 0, ) on Abelin ryhmä. 29

30 4.3 Multiplikatiiviset funktiot Määritelmä Aritmeettista funktiota f sanotaan multiplikatiiviseksi, jos f() = ja f(mn) =f(m)f(n) aina, kun (m, n) =. Esimerkki 4.3. Aritmeettiset funktiot N α,γ,λ ja δ ovat multiplikatiivisia. Lause 4.3. Olkoon f sellainen aritmeettinen funktio, että f()=. Silloin f on multiplikatiivinen, jos ja vain jos f(n) = p f(p n(p) ) n Z +, missä n = p p n(p) on luvun n kanoninen esitys. Todistus Harjoitustehtävä. Lause Jos f ja g ovat multiplikatiivisia, niin f g on multiplikatiivinen. Todistus Selvästi (f g)() =. Oletetaan, että (m, n) =. Jos nyt d mn, niin d voidaan esittää muodossa d = ab, missä a m ja b n. Silloin (a, b) =(m/a, n/b) =. Näin ollen (f g)(mn) = f(d)g(mn/d) = f(ab)g((m/a)(n/b)) d mn a m b n = f(a)f(b)g(m/a)g(n/b) = f(a)g(m/a) f(b)g(n/b) a m a m b n b n = (f g)(m)(f g)(n). Näin olemme todistaneet lauseen Lause Jos f on multiplikatiivinen, niin f on multiplikatiivinen. Todistus Selvästi f () =. Oletetaan, että (m, n) =. Jos mn =, niin f (mn) ==f (m)f (n). Oletetaan, että mn ja että f (m n )=f (m )f (n ) 30

31 aina, kun (m,n ) = ja m n < mn. Jos m = tai n =, niin f (mn) = f (m)f (n). Oletetaan, että m, n. Kaavan (4.2.) nojalla saadaan f (mn) = d mn d> = a m b n ab> = f (m) b n b> a m a> f(d)f (mn/d) = a m b n ab> f(a)f(b)f (m/a)f (n/b) f(b)f (n/b) f (n) a m a> f(a)f (m/a) b n b> f(b)f (n/b) f(ab)f ((m/a)(n/b)) f(a)f (m/a) = f (m)f (n)+f (m)f (n) f (m)f (n) = f (m)f (n). Näin olemme todistaneet lauseen Merkintä Kirjaimella M merkitään kaikkien multiplikatiivisten funktioiden joukkoa. Lause Pari (M, ) on Abelin ryhmä. Todistus Harjoitustehtävä. 4.4 Möbiuksen funktio Määritelmä Möbiuksen funktio µ on sellainen multiplikatiivinen funktio, että µ(p a )= {, kun p on alkuluku ja a =, 0, kun p on alkuluku ja a>. Lause 4.4. Möbiuksen funktio µ on funktion ζ käänteisfunktio Dirichlet n konvoluution suhteen, ts. ζ = µ. Todistus Harjoitustehtävä. Vihje: Kommutatiivisuuden nojalla riittää todistaa, että (ζ µ)(n) =δ(n), kun n Z +. Multiplikatiivisuuden nojalla riittää tutkia tapausta, jossa n on alkuluvun potenssi. 3

32 Lause (Möbiuksen käänteiskaava) Olkoot f ja g aritmeettisia funktioita. Silloin f(n) = g(d) n Z + d n g(n) = d n f(d)µ(n/d) n Z +. (4.4.) Todistus Yhtälö f(n) = d n g(d) n Z + voidaan kirjoittaa Dirichlet n tulon avulla muodossa f = g ζ. Kertomalla jälkimmäinen yhtälö oikealta puolittain Möbiuksen funktiolla µ saadaan yhtälö f µ =(g ζ) µ. Lauseiden 4.2. ja 4.4. perusteella saadaan yhtälö f µ = g, joka on sama kuin yhtälö g(n) = d n f(d)µ(n/d) n Z Eulerin funktio Määritelmä Eulerin funktio φ määritellään kaavalla φ(n) = {a : a n, (a, n) =}, n Z +. (Ks...) Lause 4.5. Eulerin funktio φ toteuttaa kaavan φ = N µ. Todistus Olkoon n Z +. Eulerin funktion määritelmä voidaan kirjoittaa muodossa Lauseen 4.4. nojalla n φ(n) = δ((a, n)). a= φ(n) = Muuttamalla summausjärjestystä saadaan n a= d (a,n) φ(n) = d n µ(d) µ(d). n. a= d a Selvästi n =n/d. a= d a 32

33 (Totea!) Näin ollen φ(n) = d n µ(d)n/d =(µ N)(n) =(N µ)(n). Siis φ = N µ, joten olemme todistaneet lauseen Seuraus Kun p on alkuluku ja a Z +, niin φ(p a )=p a p a. Lause Eulerin funktio φ on multiplikatiivinen. Todistus Lause seuraa suoraan lauseista 4.5. ja Seuraus Eulerin funktio φ toteuttaa kaavan φ(n) =n ( ),n Z +. p p n 4.6 Tekijäfunktio Määritelmä Olkoon α R. Tekijäfunktio σ α on sellainen aritmeettinen funktio, että σ α (n) = d α, d n ts. σ α = N α ζ. Huomautus Tekijäfunktion arvo σ 0 (n) ilmaisee luvun n positiivisten tekijöiden lukumäärän, ja tekijäfunktion arvo σ (n) ilmaisee luvun n positiivisten tekijöiden summan. Joskus merkitään lyhyesti σ 0 = d ja σ = σ, vrt. luku 5. Lause 4.6. Tekijäfunktio σ α on multiplikatiivinen. Todistus Lause 4.6. seuraa suoraan tekijäfunktion määritelmästä ja lauseesta

34 4.7 Mangoldtin funktio Määritelmä Mangoldtin funktio Λmääritellään kaavalla { log p, kun n = p Λ(n) = a, missä a, 0 muulloin. Lause 4.7. Kun n, niin log n = Λ(d). (4.7.) d n Todistus Lause on voimassa, kun n =. (Totea!) Oletetaan, että n >, ja kirjoitetaan n = r k= p a k k. Silloin r log n = a k log p k. k= Tarkastellaan yhtälön (4.7.) oikeaa puolta. Nollasta poikkeavat termit saadaan, kun d on muotoa p m k, missä k =, 2,...,r ja m =, 2,...,a k.näin ollen r a k r Λ(d) = Λ(p m a k r k )= log p k = a k log p k = log n. d n k= m= k= m= k= Näin olemme todistaneet lauseen Lause Kun n, niin Λ(n) = log(d)µ(n/d) = µ(d) log(n/d) = µ(d) log(d). (4.7.2) d n d n d n Todistus Lause seuraa lauseesta 4.7. Möbiuksen käänteiskaavan avulla. Huomautus Mangoldtin funktio Λ ei ole multiplikatiivinen. (Totea!) 4.8 Täydellisesti multiplikatiiviset funktiot Määritelmä Aritmeettista funktiota f sanotaan täydellisesti multiplikatiiviseksi, jos f() = ja f(mn) =f(m)f(n) aina, kun m, n Z +. Huomautus Täydellisesti multiplikatiivinen funktio on multiplikatiivinen. Esimerkki 4.8. Aritmeettiset funktiot N α, δ ja λ ovat täydellisesti multiplikatiivisia. 34

35 Lause 4.8. Multiplikatiivinen funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, jos ja vain jos f(p a )=f(p) a (4.8.) aina, kun p on alkuluku ja a. Todistus Harjoitustehtävä. Lause Multiplikatiivinen funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, jos ja vain jos f = µf. (4.8.2) Todistus Oletetaan, että f on täydellisesti multiplikatiivinen. Silloin (µf f)(n) = µ(d)f(d)f(n/d) =f(n) µ(d) =f(n)δ(n) =δ(n). d n d n Näin ollen f = µf. Oletetaan käänteisesti, että yhtälö (4.8.2) on voimassa. Todistetaan, että silloin yhtälö (4.8.) on voimassa. Yhtälön (4.8.2) nojalla µ(d)f(d)f(p a /d) =0 d p a eli µ()f()f(p a )+µ(p)f(p)f(p a )=0. Näin ollen f(p a )=f(p)f(p a ). Jatkamalla induktiivisesti todetaan, että yhtälö (4.8.) on voimassa. Koska funktio f on multiplikatiivinen, niin lauseen 4.8. perusteella funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen. Lause Multiplikatiivinen funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, jos ja vain jos f(g h) =(fg) (fh) (4.8.3) aina, kun g ja h ovat aritmeettisia funktioita. Todistus Harjoitustehtävä. 35

36 4.9 Muodollinen potenssisarja Lukujonon (a k ) k=0 muodollinen potenssisarja on lauseke a k x k. (4.9.) k=0 Joskus jonon (a k ) k=0 muodollista potenssisarjaa merkitään lyhyesti symbolilla a(x), ts. a(x) = a k x k = a 0 + a x + a 2 x 2 + (4.9.2) k=0 Kaavassa (4.9.2) symbolille x ei anneta lukuarvoja, vaan symbolin x potenssi ilmaisee kertoimensa paikan lukujonossa. Muodollinen potenssisarja on siis itse asiassa lukujonon uudenlainen esitysmuoto, jota on helppo käsitellä joissakin tilanteissa. Jos lukujonon jokin jäsen a k on = 0, niin termi a k x k jätetään kaavan (4.9.2) oikeanpuoleisesta lausekkeesta pois, ja jos a k =, niin silloin merkitään a k x k = x k. Esimerkiksi jonon (3, 2,, 0, 0,...) muodollinen potenssisarja on 3 + 2x + x 2. Äärellinen jono (a 0,a,a 2,...,a n ) samaistetaan äärettömän jonon (a 0,a,a 2,...,a n, 0, 0,...) kanssa. Selvästi a(x) =b(x) a k = b k, k =0,, 2,... (4.9.3) Muodollisten potenssisarjojen summa ja tulo määritellään kaavoilla a(x)+b(x) = (a k + b k )x k, (4.9.4) k=0 k a(x)b(x) = ( a i b k i )x k. (4.9.5) k=0 i=0 Tuloa kutsutaan myös Cauchyn tuloksi. Abstraktin algebran kielellä voidaan sanoa, että muodolliset potenssisarjat muodostavat kommutatiivisen ykkösrenkaan summan ja tulon suhteen. Renkaan ykkösalkio on sarja eli sarja +0x+0x 2 +. Sillä on ominaisuus a(x) = a(x) = a(x) aina, kun a(x) on muodollinen potenssisarja. Muodollinen potenssisarja b(x) on muodollisen potenssisarjan a(x) inverssi, jos a(x)b(x) = b(x)a(x) =. Silloin merkitään b(x) = a(x) = /a(x). Voidaan todistaa, että muodollisella potenssisarjalla a(x) on inverssi, jos ja vain jos a 0 0. Esimerkki 4.9. k=0 a k x k = ax, 36

37 n ( ) n ( + x) n = x k. k=0 k Määritelmä Olkoon p alkuluku. Aritmeettisen funktion f Bellin sarja f p (x) modulo p on muodollinen potenssisarja, joka määritellään kaavalla f p (x) = f(p k )x k. (4.9.6) k=0 Esimerkki Möbiuksen funktion µ Bellin sarjan modulo p antaa kaava µ p (x) = x. Esimerkki Funktion N Bellin sarjan modulo p antaa kaava (Totea!) N p (x) = px. Esimerkki Funktion ζ Bellin sarjan modulo p antaa kaava (Totea!) ζ p (x) = x. Lause 4.9. Olkoot f ja g multiplikatiivisia funktioita. Silloin f = g, jos ja vain jos f p (x) =g p (x) aina, kun p on alkuluku. Todistus Harjoitustehtävä. Lause Olkoot f ja g aritmeettisia funktioita. Silloin (f g) p (x) =f p (x)g p (x) aina, kun p on alkuluku. Todistus Muodollisen potenssisarjan (f g) p (x) potenssin x k kerroin on d p k f(d)g(pk /d) eli k i=0 f(p i )g(p k i ), joka on myös muodollisen potenssisarjan f p (x)g p (x) potenssin x k kerroin. 37

38 Esimerkki Eulerin funktion φ Bellin sarjan modulo p antaa kaava φ p (x) = x px. Huomautus Olkoot f, g ja h sellaisia multiplikatiivisia funktioita, että h p (x) = f p (x)g p (x) aina, kun p on alkuluku. Silloin h = f g. (Totea!) Esimerkki Olkoon θ(n) =2 ω(n). Silloin θ on multiplikatiivinen ja θ p (x) = +x x aina, kun p on alkuluku. (Totea!) Näin ollen θ p (x) =(µ 2 ) p (x)ζ p (x) aina, kun p on alkuluku. Koska funktiot θ, µ 2 ja ζ ovat multiplikatiivisia, niin θ = µ 2 ζ. Lause Olkoon f sellainen aritmeettinen funktio, että f() 0. Silloin (f ) p (x) = f p(x) aina, kun p on alkuluku. Todistus Harjoitustehtävä. Esimerkki Möbiuksen funktion µ käänteisfunktion Bellin sarjan modulo p antaa kaava (µ ) p (x) = x (= ζ p(x)). Huomautus Olkoot f ja g sellaisia multiplikatiivisia funktioita, että f p (x)g p (x) = aina, kun p on alkuluku. Silloin g = f. (Totea!) Esimerkki Koska (µ 2 ) p (x) =+xja λ p (x) = aina, kun p on alkuluku +x (totea!), ja koska funktiot µ 2 ja λ ovat multiplikatiivisia, niin µ 2 = λ. 38

39 4.0 Identiteettejä Kaksi luontevaa tapaa todistaa aritmeettisia identiteettejä onkäyttää apuna multiplikatiivisuutta ja Dirichlet n tuloa. Havainnollistetaan asiaa kahdella esimerkillä. Esimerkki 4.0. Todistetaan, että n φ(n) = d n µ 2 (d) φ(d). (4.0.) µ 2 (d) Merkitään L(n) = n ja R(n) = φ(n) d n. Silloin L ja R ovat multiplikatiivisia φ(d) funktioita. Täten lauseen 4.3. nojalla yhtälö (4.0.) riittää osoittaa oikeaksi, kun n on alkuluvun potenssi p a, a. Selvästi ja L(p a )= Näin ollen yhtälö (4.0.) on voimassa. p a p a p a = R(p a )=+ p = p p p p. Esimerkki Todistetaan, että σ (n) = d n φ(d)σ 0 (n/d). (4.0.2) Merkitään R(n) = d n φ(d)σ 0 (n/d). Silloin R(n) =(φ σ 0 )(n) =(N µ ζ ζ)(n). Koska µ ζ = δ, missä δ on ykkösfunktio, niin R(n) =(N ζ)(n) =σ (n). Näin ollen yhtälö (4.0.2) on voimassa. 39

40 4. Analogioita ja yleistyksiä Määritelmä Luvun n tekijää d sanotaan luvun n unitaaritekijäksi, jos (d, n/d) =. Jos d on luvun n unitaaritekijä, niin merkitään d n. Esimerkki 4.. Olkoon n = p a q b, missä p ja q ovat erisuuria alkulukuja. Silloin luvun n unitaaritekijät ovat, p a, q b ja n. Yleisesti, jos luvun n kanoninen esitys on n = p a p a 2 2 p a k, niin mitkä ovat luvun n unitaaritekijät? k Määritelmä Aritmeettisten funktioitten f ja g unitaaritulo (eli unitaarikonvoluutio) f g on sellainen aritmeettinen funktio, että (f g)(n) = d n f(d)g(n/d). Lause 4.. Pari (A 0, ) on Abelin ryhmä. Todistus Harjoitustehtävä. (Pitkä.) Lause 4..2 Pari (M, ) on Abelin ryhmä. Todistus Harjoitustehtävä. (Pitkä.) Määritelmä Möbiuksen funktion unitaarianalogia µ on funktion ζ käänteisfunktio unitaaritulon suhteen. Määritelmä Merkintä (m, n) tarkoittaa luvun m suurinta (tavallista) tekijää, joka on luvun n unitaaritekijä. Esimerkki 4..2 Olkoon m = p 2 q 2 ja n = p 3 q, missä p ja q ovat erisuuria alkulukuja. Silloin (m, n) = q. Määritelmä Eulerin funktion unitaarianalogia φ määritellään kaavalla φ (n) = {a : a n, (a, n) =}. Lause 4..3 Eulerin funktion unitaarianalogia toteuttaa kaavan φ = N µ. 40

41 Todistus Harjoitustehtävä. Määritelmä Olkoon u Z +. Jordanin funktio J u määritellään kaavalla J u (n) = {(a,a 2,...,a u ): a,a 2,...,a u n, syt(a,a 2,...,a u,n)=}. Huomautus Kun u =, niin J u = φ. Siis J u on Eulerin funktion yleistys. Lause 4..4 Jordanin funktio toteuttaa kaavan J u = N u µ. Todistus Harjoitustehtävä. Määritelmä Olkoon K(n, d) reaaliarvoinen (tai kompleksiarvoinen) funktio sellaisten järjestettyjen parien (n, d) joukossa, missä d n. Silloin aritmeettisten funktioitten f ja gk-tulo (eli K-konvoluutio) f K g on sellainen aritmeettinen funktio, että (f K g)(n) = f(d)g(n/d)k(n, d). d n Esimerkki 4..3 Dirichlet n tulo ja unitaaritulo ovat K-tulon erikoistapauksia. (Totea!) Siis K-tulo on Dirichlet n tulon ja unitaaritulon yleistys. Määritelmä Aritmeettista funktiota f sanotaan additiiviseksi, jos f() = 0 ja f(mn) = f(m) + f(n) aina, kun (m, n) =. Aritmeettista funktiota f sanotaan täydellisesti additiiviseksi, jos f() = 0 ja f(mn) =f(m)+f(n) aina, kun m, n Z +. Huomautus Täydellisesti additiivinen funktio on additiivinen. Esimerkki 4..4 Funktio log n on täydellisesti additiivinen. 5 Aritmeettisen funktion keskiarvo 5. Määritelmä Määritelmä funktio, että Olkoon f aritmeettinen funktio. Olkoon g sellainen reaalimuuttujan lim x x g(x) f(n) =. 4

42 Silloin sanotaan, että funktion f(n) keskiarvo on g(n). Määritelmä Olkoon f aritmeettinen funktio. Jos f(n) lim =, x g(x) niin sanotaan, että osasumman f(n) asymptoottinen arvo on g(x). Erotusta f(n) g(x) sanotaan virhetermiksi ja merkitään symbolilla E(x). Virhetermi esitetään usein käyttämällä apuna O merkintää, joka määritellään seuraavassa. Määritelmä Olkoon g(x) > 0, kun x. Merkintä f(x) =O(g(x)) tarkoittaa, että on olemassa sellaiset vakiot M ja a, että f(x) Mg(x), kun x a. Merkintä tarkoittaa, että f(x) =h(x)+o(g(x)) f(x) h(x) =O(g(x)). Esimerkki 5.. Dirichlet n kaavan mukaan d(n) =x log x +(2C )x + O( x), x, (5..) missä C on Eulerin vakio, joka määritellään kaavalla C = lim (+ n ) n log n. Näin ollen tekijäfunktion d(n) keskiarvo on log n, osasumman d(n) asymptoottinen arvo on x log x ja kaavan (5..) mukainen virhetermi on E(x) =(2C )x + O( x). 42

43 Dirichlet n kaavan virhetermiä voidaan parantaa. Toistaiseksi paras arvio on Iwaniecin ja Mozzochin (988) tulos E(x) =(2C )x + O ( x ε) aina, kun ε>0. Tässä monisteessa todistamme Dirichlet n kaavaa heikomman tuloksen ks. lause d(n) =x log x + O(x), 5.2 Abelin identiteetti Abelin identiteetin erikoistapauksena saadaan Eulerin summakaava, jota käytetään apuna joidenkin asymptoottisten kaavojen johtamisessa. Lause 5.2. (Abelin identiteetti) Olkoon a(n) aritmeettinen funktio. Merkitään A(x) = a(n), missä A(x) =0, kun x <. Olkoon f funktio, jolla on jatkuva derivaatta välillä [y, x], missä 0 <y<x. Silloin y< a(n)f(n) =A(x)f(x) A(y)f(y) x y A(t)f (t)dt. Todistus Merkitään [x] = k ja [y] = m, jolloin A(x) = A(k) ja A(y) = A(m). Silloin y< a(n)f(n) = = = = k n=m+ k n=m+ k n=m+ k n=m+ a(n)f(n) = A(n)f(n) k n=m+ k n=m {A(n) A(n )}f(n) A(n)f(n +) A(n){f(n) f(n +)} + A(k)f(k) A(m)f(m +) A(n) n+ n f (t)dt+a(k)f(k) A(m)f(m +) 43