HÄIRIÖTÖN RATALIIKE SATELLIITTINAVIGOINTIJÄRJESTEL- MÄSSÄ

Transkriptio

1 JANI HAUTAMÄKI HÄIRIÖTÖN RATALIIKE SATELLIITTINAVIGOINTIJÄRJESTEL- MÄSSÄ Diplomityö Takastajat: pof. Jamo Takala TkT Jussi Collin Takastaja ja aihe hyväksytty Tieto- ja sähkötekniikan tiedekuntaneuvoston kokouksessa 7. kesäkuuta 6

2 i TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietotekniikan koulutusohjelma HAUTAMÄKI, JANI: Häiiötön ataliike satelliittinavigointijäjestelmässä Diplomityö, 181 sivua, 11 liitesivua Toukokuu 16 Pääaine: Ohjelmistotiede Takastajat: pof. Jamo Takala ja TkT Jussi Collin Avainsanat: taivaanmekaniikka, Newtonin painovoimalaki, kahden kappaleen ongelma, Keplein ongelma, katioleikkaukset, ellipsi, ataelementit, atageometia, ataliike, GPS, navigointiviesti Työssä selvitetään satelliittinavigointijäjestelmän Global Positioning System (GPS) vanhemman navigointiviestin mukaisen atamallin yhtälöiden teoeettinen tausta. Aiheen laajuuden vuoksi selvitys tehdään ainoastaan häiiöttömän ataliikkeen osalta. Työ esittelee ja atkaisee Keplein ongelman, joka on kahden kappaleen ongelman eikoistapaus. Keplein ongelman atkaisu eli Keplein liike tajoaa ideaalin häiiöttömälle ataliikkeelle sekä lähtökohdan häiitylle ataliikkeelle. Häiiöttömän ataliikkeen keskeiset yhtälöt kootaan kolmeksi algoitmiksi, jotka osoittavat tilavektoin, integoimisvakioiden ja Keplein ataelementtien yhdenvetaisuuden ellipsiadan tapauksessa. Työn tuloksena on kytkentä GPS:n vanhemman navigointiviestin mukaisen atamallin yhtälöiden ja häiiöttömän ataliikkeen yhtälöiden välillä niiltä osin kuin se on mahdollista. Häiiöttömän ataliikkeen teoian avulla työ kykenee peustelemaan GPS:n vanhemman navigointiviestin atamallin yhtälöistä 9/17. Vastaavasti atamallin yhtälöistä 8/17 ei ole peusteltavissa tämän työn puitteissa. Yhtälöt, joita ei tämän työn puitteissa voida peustella, edellyttävät vähintään häiityn ataliikkeen teoiaa. Työssä kuitenkin ilmeni, että viime kädessä GPS:n vanhemman navigointiviestin atamalli on kokeellisesti muodostettu. Näin ollen sen yhtälöitä ei voida peustella kokonaan, ei ainakaan klassisella Maan keinotekoisten satelliittien ensimmäisen ketaluvun gavitaatiollisella teoialla, joka on GPS:n tapauksessa keskeisin häiityn ataliikkeen teoia.

3 ii ABSTRACT TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Maste s Degee Pogamme in Infomation Technology HAUTAMÄKI, JANI: Unpetubed obital motion within a satellite navigation system Maste of Science Thesis, 181 pages, 11 appendix pages May 16 Majo: Compute Science Examines: Pof. Jamo Takala, D. Jussi Collin Keywods: celestial mechanics, Newton s law of univesal gavitation, two-body poblem, Keple s poblem, conic sections, ellipse, obital elements, obital geomety, obital motion, GPS, boadcast ephemeis This study attempts to explain the theoetical backgound of the equations in the boadcast ephemeis model as specified by Global Positioning System (GPS) legacy navigation message. The scope is esticted to conside only the theoy of unpetubed obital motion. The study intoduces and solves Keple s poblem, which is a special case of the two-body poblem. The solution to Keple s poblem is Kepleian motion which povides an ideal model fo unpetubed obital motion, and a good efeence model fo petubed obital motion. The elevant equations of the unpetubed obital motion ae compiled into thee algoithms. These thee algoithms demonstate the equivalence of the state vecto, the integation constants, and the Kepleian obital elements, in the elliptic obit s case. The esult of the study is a binding between the equations of GPS legacy navigation message s boadcast ephemeis model and unpetubed obital motion in such cases whee it is possible. With the theoy of unpetubed obital motion, the study is able to explain 8/17 equations of the ephemeis model. Consequently, the study is unable to explain 9/17 equations of the ephemeis model. Theoy of petubed obital motion is needed at least to explain the emaining equations. Howeve, this study found that ultimately the boadcast ephemeis model is expeimentally established. Consequently, the equations cannot be explained thooughly, at least not by the classical fist-ode gavitational theoy fo atificial Eath satellites, which, fo GPS, is the most elevant theoy of petubed obital motion.

4 iii ALKUSANAT Tämän opinnäytetyön kijoittaminen alkoi viallisesti vuonna 6, jolloin aihe hyväksyttiin tiedekuntaneuvoston kokouksessa. Suuin osa tässä työssä nähtävästä mateiaalista on peäisin aikaisintaan kesältä 1, jolloin diplomityöpojekti koki uudelleenkäynnistymisen. Tämän jälkeen työn kijoittaminen jatkui satunnaispojektina muutamina kesinä. Vauhtiinsa opinnäytetyön tekeminen pääsi vasta alkuvuodesta 14, jolloin tekijä koki täkeitä oivalluksia Keplein ongelman suhteen. Työn tekeminen jatkui tämän jälkeen intensiivisesti aina vuoden 15 kesän loppuun asti. Tämän jälkeen työhön ei tehty enää mekittäviä muutoksia. Maaliskuussa 14 allekijoittaneesta tuli isä ihastuttavalle tytölle (Linnea). Sen jälkeen opinnäytetyön kijoittaminen tapahtui pääasiassa akipäivisin kello 6 8 välisenä aikana päivätyön ohessa ja toisinaan myös viikonloppuisin, jolloin aamuiset kijoitushetket saattoivat jatkua jopa kello 1 11 asti. Vaikka tämän opinnäytetyön kijoittaminen kesti todella pitkään, ovat useimmat tämän työn paissa vietetyistä hetkistä olleet nautinnollisia. Työ on edellyttänyt huomattavat määät itsenäistä opiskelua ja lähdemateiaalin lukemista, mikä vuoostaan on ollut vasin mielenkiintoista ja tajonnut iittävästi sekä älyllistä haastetta että tyydytystä. Huolimatta siitä, että tämän opinnäytetyön tekeminen vei ylettömästi aikaa (viallisesti melkein 1 vuotta), on lopputuloksena kuitenkin teos, joka ongelmistaan huolimatta on kaiken siihen nähdyn vaivan avoinen. Työtä takastivat ja kommentoivat aikajäjestyksessä pofessoit Ilkka Haikala (vuosina 6 1), Kai Koskimies (vuosina 11 14), Kai Systä (vuonna 14) ja lopulta (vuosina 14 16) pofessoi Jamo Takala ja tekniikan tohtoi Jussi Collin. Kiitokset kuuluvat kaikille takastukseen osallistuneille, joiden antamat palautteet ovat vaikuttaneet työn lopulliseen muotoon. Hyvin lämpimät muistot allekijoittaneelle jäivät edesmenneen Ilkka Haikalan kanssa käydyistä diplomityöpalaveeista, jotka olivat todella kannustavia ja motivoivia. Kiitoksen ansaitsevat myös kaikki ystävät ja läheiset, joiden tuen ja kannustuksen ansiosta työ valmistui. Suuimmat kiitokset kuuluvat peheelleni Satulle ja Linnealle sekä vanhemmilleni. Eityisesti vanhempieni pyyteetön akkaus, tuki ja ymmäys ovat olleet minulle täkeämpiä kuin mitä sanoin voi kuvailla. Tampeeella, Jani Hautamäki

5 iv SISÄLLYS 1 Johdanto Työn tavoite Työn uutuusavo Työn elevanssi Työn kijoitustyyli Työn akenne...7 Ellipsi Katioleikkaukset...9. Ellipsi Eksentisyys ja litistyneisyys Semi-latus ectum....5 Uapisteen määittäminen kulmalla Eksentinen kulma Sentaalikulma ja fokaalikulma Yhtälöt fokaalikulman ja eksentisen kulman välillä Sektoiaalinen kulma Hypebeli lyhyesti Keplein ongelma Newtonin painovoimalaki Keplein ongelma Liikeyhtälöt Integointi Ratkaisupeiaatteet Integaali 1 (pyöimismääävektoi) Integaali (eksentisyysvektoi) Integaali 3 (enegia) Liikeyhtälön esitys sylinteikoodinaatistossa Integaali 4 (pintanopeus) Integaali 5 (eksentisyys ja peisentikulma) Integaali 6 (peisentiaika) Todistus: integaali Ratkaisun yksilöinti ja Keplein lait Ratkaisukäyän yksilöinti Integaalien analysointia Keplein lait Ratageometia Peuskäsitteet Radan asento Koodinaattimuunnosten matiisit Sijainti adalla...137

6 6.5 Ekvaattoi- ja ympyäata Pyöivä keskuskappale Häiiötön ataliike Peuskäsitteitä Keplein ongelman atkaisu Matemaattinen malli (ellipsin tapauksessa) Algoitmit GPS-satelliitin ataliike Peuskäsitteitä GPS-satelliitin ataliike navigointiviestin mukaan Algoitmin takastelu Häiitty ataliike: suuntaviivoja Yhteenveto ja loppusanat Lähdeluettelo Liite A: Tigonometisia identiteettejä...18 Liite B: Luonnollinen ja eksentinen anomalia Liite C: Nopeusvektoi ja deivaatat ajan suhteen v

7 vi LYHENTEET JA MERKINNÄT a b e ε e E f F G h i ν M ellipsin isoakselin puolikas, hypebelin poikittaisakselin puolikas ellipsin pikkuakselin puolikas, hypebelin liittoakselin puolikas katioleikkauksen, yleensä ellipsin, eksentisyys katioleikkauksen eksentisyys eksentisyysvektoi, integoimisvakio eksentinen kulma, eksentinen anomalia ellipsin litistyneisyys hypebolinen kulma gavitaatiovakio pyöimismääävektoi, integoimisvakio inklinaatio fokaalikulma, luonnollinen anomalia sektoiaalinen kulma, keskianomalia M sektoiaalinen kulma epookilla t (yleensä t = ) µ gavitaatiovakion ja systeemin kokonaismassan tulo n n ω Ω p P t p sektoiaalinen kulmanopeus, keskiliike solmuvektoi peiapsin agumentti nousevan solmun pituus katioleikkauksen semi-latus ectum (eli kylkisuoan puolikas), ellipsin paameti kietoaika peisentiaika, integoimisvakio u leveyden agumentti, u = ω + ν CNAV GPS LAN LNAV RAAN uudempien GPS-satelliittisukupolvien lähettämä siviilinavigointidata, englanniksi civil navigation data, josta lyhenne. Global Positioning System; maailmanlaajuinen satelliittinavigointijäjestelmä. nousevan solmun pituus, englanniksi longitude of ascending node, josta lyhenne. kaikkien GPS-satelliittisukupolvien lähettämä peusnavigointidata, englanniksi legacy navigation data, josta lyhenne. nousevan solmun ektaskensio, englanniksi ight ascension of ascending node, josta lyhenne.

8 Luku 1: Johdanto 1 1 JOHDANTO 1.1 Työn tavoite Alkupeäinen idea opinnäytetyöksi oli teoeettisen kehyksen tuottaminen ohjelmistolle, joka geneoisi aidoilta näyttäviä GPS-mittauksia (pseudoetäisyys, Dopple-siitymä ja kantoaallon vaihe), kun GPS-satelliittien kietoadat ja GPS-vastaanottimen liikeata tunnettiin. Ohjelmistossa käytettäisiin GPS-satelliittien kietoatojen mallina navigointiviestin sisältämää atamallia. Tämä idea osoittautui liian laajaksi aiheeksi, minkä johdosta aihetta ajattiin mekittävästi, ja päätettiin keskittyä pelkästään GPS:n vanhemman navigointiviestin mukaisen atamallin selittämiseen, ja tämäkin pelkästään häiiöttömän ataliikkeen osalta. GPS:n navigointiviestien sisältämät atamallit määitellään ajapintaspesifikaatiossa (engl. inteface specification) IS-GPS- [59]. Mainitussa ajapintaspesifikaatiossa määitellään sekä vanhempi navigointiviesti LNAV [59, s ] että uudempi navigointiviesti CNAV [59, s ], joita GPS-satelliitit lähettävät taajuuksilla L1 ja L. Vanhemman navigointiviestin mukainen atamalli [59, s ] käsittää 17 yhtälöä, joilla tietyistä lähtösuueista lasketaan satelliitin sijainti halutulla ajanhetkellä. Ratamallin yhtälöt esitetään algoitmissa 1.1 (sivulla ) sellaisina ja siinä jäjestyksessä kuin ne ajapintaspesifikaatiossa IS-GPS- [59, s ] annetaan. Algoitmin 1.1 yhtälöt jättävät taivaanmekaniikkaan peehtymättömän lukijan pohtimaan, että mistä nämä tulevat ja miksi ne ovat juui sellaisia kuin ovat? Näihin kysymyksiin työ pykii antamaan kattavan vastauksen. Eityisesti työn tavoitteena on selvittää kijallisuudesta algoitmin 1.1 yhtälöiden taustalla oleva teoia. Työtä tehdessä kävi kuitenkin ilmi, että näiden yhtälöiden taustalla oleva teoia on niin laaja, että sen kattava selittäminen mahtuisi vasta kahteen 15-sivuiseen opinnäytetyöhön sillä takkuudella, mitä tässä työssä on käytetty. Yhtälöiden taustalla olevan teoian kattava selvitys edellyttäisi tässä työssä esitetyn häiiöttömän ataliikkeen teoian lisäksi myös häiityn ataliikkeen teoiaa, mutta se vuoostaan vaatisi toisen 15-sivuisen opinnäytetyön. Ei liene liioiteltua sanoa, että algoitmin 1.1 yhtälöihin tiivistyy yli 4 vuotta matemaattis fysikaalista tutkimusta. Sen vuoksi yhtälöiden selittäminen vie pitkälle matkalle, joka alkaa Keplein laeista 16-luvun alusta ja päättyy työn kijoitushetkellä maailmanlaajuisiin satelliittinavigointijäjestelmiin kuten GPS ja Galileo.

9 Luku 1: Johdanto Algoitmi 1.1. GPS-satelliitin sijainnin laskeminen spesifikaation [59] mukaan. (1) A = ( A). µ () n =. 3 A (3) tk = t toe. (4) n = n + n. (5) M k = M + ntk. (6) M k = Ek esin Ek. (7) k = atan ( 1 e sin Ek, cos Ek e) ν. (8) Φ =ν + ω k k. (9) δ uk = cus sin Φ k + cuc cos Φ k. (1) δ k = cs sin Φ k + cc cos Φ k. (11) δ ik = cis sin Φ k + cic cos Φ k. (1) uk = Φ k + δuk. 1 δ. (13) k = A( ecos Ek ) + k (14) i k = i + δ ik + ( IDOT ) tk. x k cos uk (15) = k. y k sin uk Ω = Ω + Ω& Ω& t Ω& t (16) k ( e ) k e oe. xk cos Ω k cosik sin Ω k (17) = xk yk sin Ω k cosik cos Ω k. y zk sin ik (Algoitmi päättyy)

10 Luku 1: Johdanto 3 Algoitmin 1.1 yhtälöiden taustalla oleva teoia on pääasiassa taivaanmekaniikkaa. Teoia voidaan jakaa kakeasti kahteen melko itsenäiseen osa-alueeseen, häiiöttömään ja häiittyyn ataliikkeeseen. Tämä kahtiajako on toiminut määäävänä tekijänä työn aiheen ajaamisessa. Rataliike (engl. obital motion) takoittaa tässä työssä mitä tahansa liikettä, joka syntyy, kun pistemäiseen kappaleeseen vaikuttaa ajasta iippumattomia voimia. Kappaleeseen vaikuttavien voimien konsevatiivisuudella ei ole väliä, eikä adan tavitse olla suljettu kietoata. Määitelmä soveltuu siten sekä häiiöttömälle että häiitylle ataliikkeelle. Häiityssä ataliikkeessä voidaan ottaa huomioon myös epäkonsevatiivisia kontaktivoimia kuten ilmakehän kitka. Määitelmän ajoituksesta kuitenkin seuaa, että fysikaalisen systeemin on oltava autonominen. Tämä poissulkee epäautonomiset systeemit, joissa esiintyy ajasta eksplisiittisesti iippuvia voimia kuten työntövoima. Häiiötön ataliike (engl. unpetubed obital motion) takoittaa tässä työssä liikettä, joka syntyy kun pistemäiseen kappaleeseen vaikuttaa käänteisen neliön lakia noudattava keskeisvoima. Tämä liike on Keplein liikettä, ja sitä voidaan kuvata Keplein ongelmalla. Keplein ongelma on kahdesta kappaleesta koostuva systeemi, jossa (i) kappaleet ovat massapisteitä, (ii) ulkoisia voimia ei ole, ja (iii) kappaleet vetävät toisiaan puoleensa Newtonin painovoimalain mukaisesti. Matemaattisesti Keplein ongelma on kolmiulotteinen toisen ketaluvun diffeentiaaliyhtälö, µ & AB = 3 AB. Tämän diffeentiaaliyhtälön integointi tuottaa 6 keskenään iippumatonta integoimisvakiota, jotka yksilöivät atkaisukäyän. Ratkaisukäyän yksilöintiin käytetään usein kuitenkin edellä mainittujen integoimisvakioiden sijasta Keplein ataelementtejä. Keplein ataelementit ovat paametijoukko, joka kuvaa adan geometiaa vasin havainnollisella tavalla. Edellä esitettyä häiiötöntä ataliikettä voidaan pitää teoeettisena lähtökohtana esimekiksi Auingon ja sitä kietävän planeetan liikkeelle tai Maan ja sitä kietävän keinotekoisen satelliitin liikkeelle. Keplein ongelmassa on kuitenkin tehty yksinketaistavia oletuksia, minkä vuoksi Keplein liike ei vastaa satelliitin tai planeetan todellista liikettä. Todellisuudessa systeemi ei ole suljettu, kappaleita saattaa olla enemmän kuin kaksi, eikä kappaleita voida välttämättä kohdella massapisteinä. Planeettoihin ja satelliitteihin vaikuttaa keskuskappaleen painovoiman lisäksi myös muita voimia, ja takasteltavat kappaleet eivät ole massatiheydeltään pallosymmetisiä, jolloin kappaleiden kohtelu massapisteinä on pelkkä appoksimaatio. Häiitty ataliike (engl. petubed obial motion) takoittaa tässä työssä liikettä, joka syntyy, kun pistemäiseen kappaleeseen vaikuttaa käänteisen neliön lakia noudattavan keskeisvoiman lisäksi muita voimia, joita kutsutaan häiiövoimiksi. Matemaattisesti häiitty ataliike on kolmiulotteinen toisen ketaluvun diffeentiaaliyhtälö µ & p = p + a 3 p,

11 Luku 1: Johdanto 4 jossa yhtälön oikealla puolella ensimmäinen temi on kietolaisen keskeiskiihtyvyys ja jälkimmäinen temi kokonaishäiiökiihtyvyys. Häiityn ataliikkeen diffeentiaaliyhtälö on hyvin samankaltainen kuin häiiöttömän ataliikkeen diffeentiaaliyhtälö, mistä johtuen on luontevaa ajatella, että häiitty ataliike olisi mahdollista kuvata samoilla yhtälöillä kuin häiiöttömän ataliikkeen tapauksessa, mutta häiiöttömän liikeadan yksilöivät ataelementit kovattaisiin ajan funktioilla, joiden avot muuttuisivat hitaasti. Tähän ideaan paametien vaiointina tunnettu petubaatiomenetelmä peustuu. Menetelmä johtaa ataelementtien ensimmäisen ketaluvun kytkettyyn diffeentiaaliyhtälöyhmään (Gaussin häiiöyhtälöt tai Lagangen planetaaiset yhtälöt). Niin sanottu ensimmäisen ketaluvun gavitaatiollinen teoia Maan keinotekoisille satelliiteille saadaan, kun (i) ataelementtien diffeentiaaliyhtälöyhmän atkaisua appoksimoidaan ensimmäisen ketaluvun Tayloin sajalla, ja (ii) satelliittiin vaikuttavaksi häiiöpotentiaaliksi huomioidaan pelkästään Maan gavitaatiopotentiaalin J-temi (yleensä vielä keskiavotettuna kietoajan ylitse yhtälöiden yksinketaistamiseksi). Tämä teoia johtaa täkeisiin tuloksiin koskien ataelementtien peiodisia ja sekulaaisia häiiöitä. Eityisesti teoian tulosten mukaan adan apsidiviiva ja solmuviiva pekessoivat. Aiheen laajuuden johdosta tämä työ on ajattu koskemaan pelkästään häiiötöntä ataliikettä. Työ on siten kijallisuustutkimus tai -katsaus algoitmin 1.1 eli GPS:n ajapintaspesifikaatiossa [59, s ] ja Galileon ajapinnan kontollidokumentissa [19, s. 45 6] annettujen yhtälöiden taustalla olevasta teoiasta pelkästään häiiöttömän ataliikkeen osalta. Yhtälöiden taustalla olevan teoian kattava selvitys edellyttäisi myös häiityn ataliikkeen teoiaa, mutta se vuoostaan vaatisi toiset 15 sivua lisää pituutta työlle. Yhtälöiden taustalla oleva teoia on pääasiassa taivaanmekaniikkaa. Teoia voidaan jakaa kakeasti kahteen osa-alueeseen, häiiöttömään ja häiittyyn ataliikkeeseen. Häiiötön ataliike muodostaa taivaanmekaniikan peusteet, ja häiitty ataliike kuuluu edistyneeseen taivaanmekaniikkaan. Koska tämä työ on ajattu pelkästään häiiöttömään ataliikkeeseen, voidaan sanoa, että tämä työ on myös kijallisuuskatsaus taivaanmekaniikan peusteisiin. 1. Työn uutuusavo Häiiöttömän ataliikkeen teoian ytimessä oleva Keplein ongelma ja sen atkaisu ovat tunnettu jo vuosisatojen ajan. Ei siis ole yllättävää, että tämä työ ei vasinaisesti sisällä mitään uusia tuloksia. Teoeettisen uutuusavon puute itse työn aihepiiin osalta voidaan oikeuttaa opinnäytetyön lajityypillä. Tämä peustelu esitetään seuaavaksi. Lajityypiltään tämä opinnäyte on kijallisuustutkimus tai -katsaus. Kijallisuustutkimukselta odotetaan teoeettista uutuusavoa, kun taas kijallisuuskatsaukselta ei odoteta uusia tuloksia aihepiiin osalta. Sen sijaan kijallisuuskatsaukselta voidaan kohtuudella odottaa uutuusavoista dialogia ei lähteiden välille.

12 Luku 1: Johdanto 5 Vaikka häiiötön ataliike ei tajoa teoeettista uutuusavoa, on edelleen mahdollista tavoitella kijallista uutuusavoa. Tässä työssä pyitään eityisesti kijalliseen uutuusavoon. Kijallista uutuusavoa tavoitellaan kijallisuuskatsaukselle tavanomaiseen tapaan lähteiden välillä käytävän, kiittisen dialogin kautta. Sen lisäksi kijallista uutuusavoa tavoitellaan esityksen omapeäisyyden kautta. 1.3 Työn elevanssi Työn elevanssin kannalta on täkeää selvittää työn suhde sekä (i) GPS:n uudempaan navigointiviestiin että (ii) Galileon navigointiviestiin. Näitä kysymyksiä takastellaan seuaavaksi. Ensimmäiseen kysymykseen voidaan todeta, että työn teoeettinen osuus pysyy yhtä elevanttina, vaikka takasteltaisiin GPS:n uudempaa navigointiviestiä (CNAV) vanhemman navigointiviestin (LNAV) sijaan. Peustelu on seuaava. GPS:n uudemman navigointiviestin (CNAV) mukainen atamalli sisältää algoitmin 1.1 yhtälöt häiiöttömän ataliikkeen osalta, mutta takentaa häiittyyn ataliikkeeseen liittyviä kojaustemejä. Tämä työ kykenee selittämään yhtä monta yhtälöä kummankin navigointiviestin atamallista, mutta selittämättä jääneiden yhtälöiden lukumäää kasvaa siiyttäessä vanhemmasta navigointiviestistä uudempaan. Toiseen kysymykseen voidaan todeta, että tämä työ on kaikilta osin yhtä elevantti sekä GPS:lle että Galileolle. Peustelu esitetään täsmällisemmin seuaavissa kahdessa kappaleessa, mutta voidaan tiivistää siihen, että Galileon navigointiviestien atamalli on identtinen GPS:n vanhemman navigointiviestin atamallin kanssa. Euooppalaisen Galileon navigointiviestien sisältämä atamalli määitellään alustavasti ajapinnan kontollidokumentissa (engl. inteface contol document) OS-SIS-ICD- 1.1 [19]. Tässä ajapinnan kontollidokumentissa määitellään navigointiviestit F/NAV ja I/NAV, joita Galileo-navigointisatelliitit lähettävät taajuuksilla E1 ja E5. Galileon edellä mainitut navigointiviestit ovat atamallin [19, s. 45 6] osalta yhtenäiset. Kun vetaillaan keskenään Galileon navigointiviestien atamallia [19, s. 45 6] ja GPS:n vanhemman navigointiviestin atamallia [59, s ], todetaan niiden olevan keskenään identtisiä. Tämä takoittaa, että algoitmi 1.1 (sivulla ) on yhtä elevantti sekä Galileon että GPS:n kannalta. 1.4 Työn kijoitustyyli Seuaavaksi esitellään työssä käytettyä kijoitustyyliä ja kijoitustyylin tukena käytettyjä tyylikeinoja ja esitysteknisiä mekanismeja. Keskeisimpiä tyylikeinoja ovat käsitteiden esittelyt ja niiden käännökset. Keskeisimpiä esitysteknisiä mekanismeja ovat jatkoyhtälöt. Keskeiset käsitteet pyitään esittelemään ennen niiden vasinaista käyttöä. Käsitteen esittely (engl. intoduction) mekitään käyttämällä kusiivia kijasintyyliä käsitteelle. Esittelyn yhteydessä käsitteet pyitään myös määittelemään.

13 Luku 1: Johdanto 6 Käsitteen määittely tehdään mahdollisimman lähellä esittelyä. Määittely voidaan tehdä joko epämuodollisesti tai muodollisesti. Epämuodollinen määittely (engl. infomal definition) on naatiivinen, helppolukuinen selitys kappaleen sisällä, ja se voi olla hyvin lyhyt ja epätäsmällinen. Muodollinen määittely (engl. fomal definition) on vuoostaan ympäöivästä muusta tekstistä iotettu Määitelmä-kappale, jollaista käytetään usein matemaattisessa tekstissä ja sillä voidaan koostaa määitelmän täsmällisyyttä. Määitelmät pyitään ottamaan lähdekijallisuudesta aina, kun se on mahdollista. Lähteet mekitään määitelmiin tavalliseen tapaan lähdeviitteinä. Muodolliset määitelmät lisäävät tekstin selkeyttä, viitattavuutta ja täsmällisyyttä, mutta samalla heikentävät tekstin luettavuutta. Epämuodolliset määitelmät vuoostaan lisäävät tekstin luettavuutta, mutta samalla heikentävät keskeisten määitelmien löydettävyyttä. Näin ollen esityksessä on pakko käydä vaihtokauppaa luettavuuden ja selkeyden välillä. Tässä työssä on haettu helppolukuisuutta, mikä selittää kijoitustyyliksi valitun epämuodollisen lähestymistavan ja muodollisten määitelmien poissaolon. Käsitteen käännös (engl. tanslation) annetaan esittelyn yhteydessä suomenkielisen nimen jälkeen suluissa ja kusivoituna. Englanninkielinen nimi annetaan systemaattisesti aina esittelyn yhteydessä huolimatta siitä, voidaanko lukijan olettaa tuntevan käännöstä vai ei. Mikäli käsitteellä ei ole tekijän tiedossa olevaa englanninkielistä käännöstä, on esittelyn yhteydessä annettu käännös tekijän ehdotus mahdollisesta englanninkielisestä käännöksestä. Englanninkielisiä nimiä kuljetetaan tekstissä mukana, koska työssä käytetty lähdekijallisuus on pääasiassa englanninkielistä, eikä kaikille englanninkielisessä kijallisuudessa esiintyville käsitteille ole vakiintuneita suomennoksia. Tällä menettelyllä pyitään (i) helpottamaan käsitteiden suomenkielisten nimien ymmätämistä, ja (ii) vähentämään käsitteiden suomenkielisten nimitysten hojuvuutta. Tässä työssä käytetään nimeä yhtälö (engl. equation) mille tahansa omalla ivillään esitetylle yhtälölle, epäyhtälölle, kaavalle tai lausekkeelle. Pitkien yhtäläisyysketjujen esittämiseen on paikoin käytetty jatkoyhtälöitä. Tässä työssä jatkoyhtälö (engl. continuation equation) takoittaa omalla ivillään olevaa yhtälöä, joka alkaa yhtäläisyysmekillä ( = ). Tällöin yhtälön vasemmaksi puoleksi tulkitaan edellinen omalla ivillään esitetty yhtälö, vaikka yhtälöiden välissä on leipätekstiä. Esimekiksi lauseke voidaan sieventää muotoon a a + b b = 1 a b hyödyntämällä binomikaavaa a b = ( a + b)( a b). Esimekin ensimmäinen yhtälö on tavallinen, ja jälkimmäinen yhtälö on jatkoyhtälö, koska se alkaa yhtäläisyysmekillä. Jatkoyhtälön vasemmaksi puoleksi luetaan edellinen omalla ivillään esiintynyt yhtälö.

14 Luku 1: Johdanto Työn akenne Seuaavaksi esitellään työn akenne luku keallaan. Kukin luku esitellään lyhyesti yhdellä kappaleella. Nykyistä lukua ei esitellä. Luku (Ellipsi) esittelee ellipsin keskeiset ominaisuudet ja uapisteen määittämisen eilaisilla kulmasuueilla. Aluksi määitellään katioleikkaukset ja sen jälkeen ellipsi. Ellipsi käsitellään peusteellisesti. Eityisesti ellipsin eksentisyys ja litistyneisyys saa kattavan ja systemaattisen käsittelyn. Sen jälkeen ellipsin uapiste määitellään eilaisilla kulmasuueilla. Lopuksi takastellaan kulmasuueiden vastaavuuksia. Luku päättää esittelemällä hypebelin lyhyesti niiltä osin kuin sitä tavitaan. Luku 3 (Keplein ongelma) muotoilee Keplein ongelman matemaattisesti. Aluksi esitellään Newtonin painovoimalaki ja kahden kappaleen ongelma. Sen jälkeen määitellään Keplein ongelma, joka on kahden kappaleen ongelman eikoistapaus. Lopuksi Keplein ongelma muotoillaan matemaattisesti kolmiulotteisena. ketaluvun epälineaaisena diffeentiaaliyhtälönä. Luku 4 (Integointi) näyttää, kuinka Keplein ongelman diffeentiaaliyhtälö atkaistaan integoimalla. Ensin löydetään kolme integaalia kateesisessa koodinaatistossa. Sen jälkeen diffeentiaaliyhtälö siietään sopivasti valittuun sylinteikoodinaatistoon. Sylinteikoodinaatistossa löydetään vielä kolme integaalia lisää. Viimeisessä integaalissa päästään käsiksi ajan ja sijainnin väliseen kytkentään. Integaali on kuitenkin matemaattisesti haastava, minkä vuoksi sen laskeminen tehdään lopuksi omassa alaluvussaan. Luku 5 (Ratkaisun yksilöinti ja Keplein lait) kehittää yhtälöt, joilla integoimisvakioista voidaan laskea adan muodon, koon ja alkusijainnin määittävät Keplein ataelementit. Lopuksi takastellaan, kuinka Keplein lait voidaan johtaa työssä kehitetyistä tuloksista, jotka pohjautuvat Newtonin mekaniikkaan ja painovoimalakiin. Luku 6 (Ratageometia) kehittää yhtälöt, joilla integoimisvakioista voidaan laskea adan asennon määittävät Keplein ataelementit. Aluksi määitellään useita ataliikkeen geometiaan liittyviä astonomisia käsitteitä. Käsitteiden määitelmien pohjalta akennetaan yhtälöt. Lopuksi takastellaan sijainnin ajanhetkellä määittävien kulmasuueiden laskemista tilavektoista. Luku 7 (Häiiötön ataliike) akentaa häiiöttömän ataliikkeen matemaattisen mallin. Rakentaminen alkaa määittelemällä, mitä oikeastaan takoitetaan häiiöttömän ataliikkeen matemaattisella mallilla. Keplein ongelman atkaisu keataan, sillä siitä saadaan häiiöttömän ataliikkeen matemaattinen malli. Lopuksi työn keskeiset yhtälöt kootaan kolmeksi laskenta-algoitmiksi, jotka osoittavat, että tilavektoi, integoimisvakiot ja Keplein ataelementit ovat eilaisia, mutta keskenään yhdenvetaisia (ellipsin eikoistapauksessa) atkaisun yksilöinnin kannalta. Luku 8 (GPS-satelliitin ataliike) antaa vastauksen johdannossa asetettuun tutkimusongelmaan koskien algoitmin 1.1 yhtälöiden taustalla oleva teoiaa. GPS:n vanhemman navigointiviestin (LNAV) mukaisen ataliikkeen mallin yhtälöt yhdistetään tässä työssä

15 Luku 1: Johdanto 8 johdettuihin yhtälöihin siltä osin kuin se on mahdollista häiiöttömän ataliikkeen teoialla. Luku 9 (Yhteenveto ja loppusanat) toistaa edellisissä luvuissa löydetyt tulokset vasin lyhyesti. Yhteenveto on lyhyt ja ytimekäs. Työ päättyy loppusanoihin.

16 Luku : Ellipsi 9 ELLIPSI Ellipsi on täkein yksittäinen atkaisukäyä Keplein ongelmalle. Esimekiksi Auinkokunnan planeettojen kietoadat ovat ensimmäisessä appoksimaatiossa ellipsiadoilla Auingon ympäi. Vastaavasti Maan keinotekoiset satelliitit, kuten GPS-satelliitit, ovat ensimmäisessä appoksimaatiossa ellipsiadoilla Maan ympäi. Aluksi esitellään ja määitellään katioleikkaukset yleisesti (luku.1). Katioleikkaukset ovat klassisia geometisia käyiä, minkä vuoksi työssä esitellään lyhyesti niiden histoiaa. Seuaavaksi esitellään ja määitellään ellipsi (luku.). Ellipsistä esitellään yksityiskohtaisemmin lineaainen eksentisyys ja litistyneisyys sekä eksentisyyden ja litistyneisyyden ensimmäiset ja toiset muodot (luku.3). Sen jälkeen takastellaan semilatus ectumia ellipsin tapauksessa (luku.4). Ellipsin peusominaisuuksien jälkeen johdatellaan ideaan, jossa uapiste määitellään geometis matemaattisella kulmasuueella (luku.5). Ensimmäisenä kulmasuueena uapisteen määittämiseen käytetään eksentistä kulmaa (luku.6), toisena kulmasuueena sentaalikulmaa ja kolmantena fokaalikulmaa (luku.7). Näiden jälkeen takastellaan eksentisen kulman ja fokaalikulman välisiä kytkentöjä (luku.8). Neljäntenä kulmasuueena uapisteen määittämiseen käytetään sektoiaalista kulmaa (luku.9). Lopuksi esitellään hypebeli lyhyesti (luku.1)..1 Katioleikkaukset Katioleikkausten histoiaa Katioleikkausten histoia alkaa antiikin Keikasta. Menaikhmus (n eaa.) käsitteli ensimmäisenä katioleikkauksia ja jakoi ne kolmeen luokkaan. Hän tutki katioleikkauksia pitäen leikkaustason suoassa kulmassa kation sivuviivaa vasten ja vaihdellen leikattavaa katiota. Katioleikkaukset olivat siten teävä-, suoa- ja tylppäkulmaisen kation leikkauksia. [6, s. 47] Seuaavaksi aihetta käsitteli Apollonios Pegeläinen (n. 6 eaa.). Hän tutki katioleikkausten ominaisuuksia niin peinpohjaisesti, että hänen jälkeläisilleen jäi hyvin vähän lisättävää. Hänen katioleikkauksia käsittelevä päätyö sisälsi neljäsataa teoeemaa jaettuna kahdeksaan ei kijaan, joista vain seitsemän ensimmäistä on säilynyt nykypäivään asti. Apollonios aloitti suoasta ympyäkatiosta, minkä jälkeen hän takasteli siitä otettuja ei tasoleikkauksia (kuva.1). Hän näytti, että käyät voidaan jakaa kolmeen yhmään, joille hän antoi niiden nykyaikaiset nimet ellipsi, paaabeli ja hypebeli. [6, s. 77 9]

17 Luku : Ellipsi 1 Kuva.1. Eilaisia katioleikkauksia Apollonioksen käyttämällä tekniikalla. Samaa katiota on leikattu ei asennossa olevilla tasoilla. Myöhäisantiikin Pappos Aleksandialainen, joka eli ja opetti Egyptin Aleksandiassa n. 3-luvulla, löysi katioleikkauksiin liittyvän johtosuoan [6, s. 1]. Pappos sovitti Menaikhmuksen käyttämät eilaiset määitelmät ei katioleikkauksille yhdeksi määitelmäksi, joka peustuu johtosuoan hyödyntämiseen [13, s. 116]. Viimeisenä mainittakoon modenin astonomian isä Johannes Keple ( ), joka esitteli polttopisteelle sen nykyaikaisen nimen (focus). Hän hyödynsi polttopisteen käsitettä muun muassa osoittaessaan, että paaabeli saadaan sekä hypebelin että ellipsin ajatapauksena, kun toinen polttopisteistä siietään ääettömyyteen. [6, s. 56] Katioleikkaus Katioleikkaus voidaan määitellä monella ei tavalla. Tässä annetaan Pappoksen käyttämä (metinen) määitelmä katioleikkaukselle, ja seuaavassa aliluvussa määitelmästä johdetaan katioleikkauksen yleinen napakoodinaattiyhtälö. Käsittely seuaa Coxetein [13, s. 116] esitystä niiltä osin, jossa ei muuta mainintaa ole. L p d P D' Q O p θ D a L' Kuva.. Katioleikkaus napakoodinaateissa. Polttopiste O, johtosuoa s, latus ectum LL '. Katioleikkaus (engl. conic section) on kuvan. mukainen ua, jonka pisteiden P etäisyys OP kiinteästä pisteestä O on ε-ketainen ( ε > ) niiden etäisyyteen PQ kiinteään suoaan s nähden. Matemaattisesti esitettynä katioleikkauksen pisteet P toteuttavat yhtälön s OP = εpq, ε >. (.1)

18 Luku : Ellipsi 11 Tätä kutsutaan Gibsonin [3, s. 76 8] mukaan fokaalikonstuktioksi (engl. focal constuction), ja näin syntyviä katioleikkauksia konstuoitaviksi (engl. constuctible). Määitelmän jälkeen Gibson osoittaa, että ympyä ei ole konstuoitavissa oleva katioleikkaus. Kiinteää pistettä O sanotaan polttopisteeksi (engl. focus, mon. foci), ja kiinteää suoaa s sanotaan johtosuoaksi (engl. diectix). Suhdelukua ε kutsutaan eksentisyydeksi (engl. eccenticity). Kiinteää suoaa a, joka on kohtisuoassa johtosuoaan ja kulkee polttopisteestä, kutsutaan pääakseliksi (engl. pincipal axis) [14, s. 79]. Jänne LL, joka kulkee polttopisteen kautta ja on yhdensuuntainen johtosuoan s kanssa, on nimeltään latinaksi latus ectum (mon. latea ecta). Suomeksi latus takoittaa kylkeä tai sivua ja ectum suoaa. Jänteen LL puolikkaita LO ja L O kutsutaan kumpaakin nimellä semilatus ectum. Niiden pituutta mekitään p, josta seuaa koko jänteen LL eli latus ectumin pituudeksi p. Johtosuoan etäisyyttä OD = L'D' (polttopisteestä) mekitään d. Nimityksen latus ectum aikaisimmat esiintymät vaikuttavat olevan Kendigin [37, s. 85] mukaan henkilön nimeltä Gilles Pesonne de Robeval ( ) kijoittamissa luennoissa, jotka käsittelevät katioleikkauksia ja jotka julkaistiin hänen kuolemansa jälkeen. Kijoittajan pahaan tietämyksen mukaan sanalle latus ectum ei valitettavasti ole suomenkielistä vastinetta. Tekijä ehdottaa nimityksiä kylkisuoa ja kylkisuoan puolikas, sillä latus ectum on suoa, joka yhdistää katioleikkauksen kyljet. Katioleikkauksen yleinen yhtälö Tavoitteena on etsiä katioleikkauksen yhtälölle (.1) napakoodinaattiesitys. Käsittely seuaa edelleen Coxetein [13, s. 116] esitystä niiltä osin, jossa ei muuta mainintaa ole. Ratkaistaan aluksi, kuinka semi-latus ectum p iippuu johtosuoan etäisyydestä d. Uapisteelle L pätee yhtälön (.1) mukaisesti OL = εld'. Koska p = OL ja d = OD = LD' saadaan johtosuoan etäisyyden d ja semi-latus ectumin p välille yhtälö p = εd. (.) Etsitään seuaavaksi itse napakoodinaattiesitys. Kuvan. tapaan napakoodinaatisto kiinnitetään polttopisteeseen O, ja nollakulman suunnaksi valitaan johtosuoan ja pääakselin leikkauspiste D. Napakoodinaateissa = OP ja d cos θ = PQ. Sijoittamalla nämä yhtälöön (.1) ja hyödyntämällä yhtälöä (.) saadaan = p ε cosθ. (.3) Ratkaistaan yhtälö (.3) napasäteen suhteen. Saadaan tulos, katioleikkauksen yleinen yhtälö napakoodinaateissa p =. (.4) 1+ ε cosθ Tätä kutsutaan katioleikkauksen fokaali- tai polttopisteyhtälöksi (engl. focal equation) [4, s. 39]. Jos yhtälö ei ole entuudesta tuttu, on siitä vaikea päätellä, että sen kuvaaja on nimenomaan katioleikkaus. Tämän vuoksi on peusteltua opetella yhtälö (.4).

19 Luku : Ellipsi 1 Yhtälön (.1) kuvaaja vastaa ei katioleikkauksia eksentisyyden ε ei avoilla. Katioleikkaus on ellipsi, jos ε < 1, (.5) paaabeli, jos ε = 1, (.6) hypebeli, jos ε > 1. (.7) Coxete [13, s ] jatkaa tästä vielä eteenpäin ja näyttää, kuinka katioleikkauksen fokaaliyhtälöstä johdetaan ellipsin, hypebelin ja paaabelin standadiyhtälöt. Mikäli näitä standadiyhtälöitä ei tiedettäisi katioleikkauksiksi, pitäisi vielä osoittaa Coxetein tavoin, että niiden määittämät uat todella vastaavat kation ja tason leikkauksia. Näiden uien osoittaminen katioleikkauksiksi ajataan työn ulkopuolelle.

20 Luku : Ellipsi 13. Ellipsi Ellipsin määitelmä, polttopisteet ja puoliakselit Ellipsin ua voidaan akentaa useilla ei menetelmillä. Seuaavaksi esitellään yksi akentamismenetelmä, jota kutsutaan ellipsin lankakonstuktioksi (engl. sting constuction) [3, s. 111]. Menetelmää selitetään kuvaa.3 avulla. Kiinnitetään alustalle kaksi neulaa (F 1 ja F ), sidotaan neulojen välille venymätöntä lankaa, ja kiistetään lanka kynällä (P). Nyt ellipsi voidaan piitää liikuttelemalla kynää ja samalla huolehtien, että lanka pysyy kieänä. Koska lanka pidetään kieänä, täytyy neulasta kynän kautta toiseen neulaan lasketun etäisyyden d 1 + d vastata langan pituutta, ja koska lanka on venymätön, täytyy langan pituuden pysyä vakiona. Tässä työssä käytettävä ellipsin määitelmä peustuu nimenomaan ellipsin lankakonstuktioon. Määitelmä esitellään seuaavaksi. y b p P d 1 F1 O F d p x Kuva.3. Ellipsi: uapiste P, isoakselin puolikas a, pikkuakselin puolikas b, semi-latea ecta p ja polttopisteet F 1 ja F. Ellipsi (engl. ellipse) koostuu tason pisteistä P, joille kahdesta kiinteästä pisteestä F 1 ja F laskettujen etäisyyksien summa d 1 + d on jokin vakio ja suuempi kuin kiinteiden pisteiden välinen etäisyys [11, s. 19]. Tämä on ellipsin metinen määitelmä, koska se peustuu ellipsin ominaisuuteen, joka edellyttää etäisyyden käsitettä eli metiikkaa. Kiintopisteitä F 1 ja F sanotaan ellipsin polttopisteiksi (engl. focus, mon. foci). Uapisteen P ja polttopisteiden välisiä janoja PF 1 ja PF kutsutaan polttosäteiksi (engl. focal adius, mon. focal adii) [55, s. 393]. Ellipsillä on kaksi latus ectumia, koska polttopisteitä on kaksi [3, s. 9]. Ellipsin akselit ovat ne kaksi suoaa, joiden suhteen ellipsi on symmetinen ja jotka ovat kohtisuoassa toisiinsa [3, s. 68]. Pidempää akselia sanotaan ellipsin isoakseliksi (engl. majo axis) ja lyhyempää pikkuakseliksi (engl. mino axis). Polttopisteiden puolivälissä oleva piste O on ellipsin keskipiste (engl. cente) [4, s. 34; 11, s. 111]. Keskipiste puolittaa jokaisen sen kautta kulkevan jänteen [3, s. 44]. Eityisesti keskipiste on symmetia-akseleiden leikkauspiste. a

21 Luku : Ellipsi 14 Kuvassa.3 ellipsin isoakseli on x-akseli, pikkuakseli on y-akseli, polttopisteet ovat F 1 ja F ja keskipiste on O. Kuvaan ei ole piietty toisen polttopisteen latus ectumia. Vaikka ellipsin akselit ovatkin ääettömiä suoia, takoitetaan niillä kuitenkin yleensä ellipsin ajoittamia janoja akseleista. Eityisesti akselin pituudella takoitetaan akselin ja ellipsin leikkauspisteiden välistä etäisyyttä [3, s. 16]. Koska keskipiste puolittaa kaikki sen kautta kulkevat jänteet, puolittaa se eityisesti myös ellipsin akselit. Puolitettuja akseleita kutsutaan yhteisesti ellipsin puoliakseleiksi (engl. semi-axes). Tapana on mekitä a:lla pidemmän puoliakselin pituutta eli isoakselin puolikasta (engl. semi-majo axis) ja b:llä lyhyemmän puoliakselin pituutta eli pikkuakselin puolikasta (engl. semi-mino axis). Mekintätavan johdosta on b < a aina. Jos puoliakselien pituuksille a ja b sallittaisiin yhtäsuuuus, ellipsi pelkistyisi ympyäksi. Akselien pituudet metisestä määitelmästä Ratkaistaan ellipsin akselien pituudet, kun polttopisteiden keskinäinen etäisyys ja summaa d 1 + d vastaava vakio tunnetaan. Vielä ei ole matemaattisesti selvää, ovatko ellipsin polttopisteet aina isoakselilla, minkä vuoksi puhutaan polttopisteitä yhdistävästä akselista ja puolittavasta akselista, jolla takoitetaan yhdistävän akselin kohtisuoasti puolittavaa akselia. Näitä kutsutaan joskus (esimekiksi Bôche [11, s. 11], Cawley ja Evans [14, s. 86] sekä Casey [1, s. 3]) nimillä poikittaisakseli (engl. tansvese axis) ja liittoakseli (engl. conjugate axis), mutta tässä työssä nämä temit vaataan hypebelille iso- ja pikkuakselin vastineiksi kuten yleisempi käytäntö on (esimekiksi Coxete [13, s. 117]). B F1 F E O E d A Kuva.4. Keskipisteen O ja polttopisteiden F 1 ja F välisten janojen pituus on E ja vakio d + d a. Näistä seuaa puoliakselien pituudet a ja b. 1 = Ratkaistaan ensin yhdistävän akselin pituus. Olkoon d 1 d + d d jokin vakio ja 1 = polttopisteiden keskinäinen etäisyys E, jossa E on jokin vakio siten, että < E < d. Suuetta E kutsutaan lineaaiseksi eksentisyydeksi, joka esitellään takemmin omassa alaluvussaan. Takastellaan kuvan.4 uapistetta A, joka on ellipsin ja polttopisteitä yhdistävän akselin leikkauspiste. Mekitään puoliakselin OA pituutta a = OA. Kuvasta.4 voidaan päätellä, että ( a + E) + ( a E) a 1 = d = d + d =, (.8)

22 Luku : Ellipsi 15 josta ilmenee suoaan, että yhdistävän akselin pituus a on sama kuin ellipsin konstuoinnissa käytetyn langan pituus d. Yhtälöstä (.8) seuaa, että puoliakselin OA pituus a = d. Koska koko akselin pituus voidaan identifioida langan pituudeksi, käytetään jatkossa puoliakselin pituutta a kummankin suueen esittämiseen. Ratkaistaan seuaavaksi puolittavan akselin pituus. Takastellaan kuvan.4 uapistettä B, joka on puolittavan akselin ja ellipsin uan leikkauspisteessä. Mekitään puoliakselin OB pituutta b = OB. Langan muodostaman tasakylkisen kolmion sivujen pituudet ovat d 1 = d = a edellä esitetyn yhtälön (.8) peusteella. Muodostetaan kuvan.4 peusteella Pythagoaan lause a E + b josta takasteltavan puoliakselin OB pituudeksi seuaa tulos =, (.9) b a E =. (.1) Tämän tuloksen peusteella on ilmeistä, että < b < a aina, koska määitelmän mukaan < E < a. Polttopisteet yhdistävä akseli on aina ellipsin isoakseli ja puolittava akseli aina ellipsin pikkuakseli. Lisäksi aikaisempi tulos voidaan nyt muotoilla seuaavasti: uapisteen polttosäteiden summa on yhtä suui kuin ellipsin isoakselin pituus. Ellipsin standadiyhtälö Johdetaan ellipsin standadiyhtälö lähtien tässä työssä käytettävästä ellipsin määitelmästä. Standadiyhtälö johdetaan Weissteinin [61, s. 518] esitystä seuaten. Olkoon suoakulmaisen koodinaatiston oigo ellipsin keskipisteessä ja koodinaattiakselit yhteneviä ellipsin akseleiden kanssa, kuten standadiyhtälön muotoilu edellyttää. Olkoon d + d a, polttopisteet x-akselilla ja E polttopisteiden etäisyys oigosta 1 = kuten aiemmin. Mielivaltaisen uapisteelle P koodinaateille ( x, y) voidaan nyt muodostaa ellipsin määitelmän mukainen yhtälö ( x E) + y + ( x + E) + y a d + d =. 1 = Neliöjuuista hankkiudutaan eoon yksi keallaan. Ratkaistaan yhtälö aluksi jälkimmäisen neliöjuuitemin suhteen, ja kootetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin, ( x E) + y = 4a 4a ( x E) + y + ( x E) + y +. Ratkaistaan yhtälö jäljelle jääneen neliöjuuitemin suhteen ja sievennetään, 1 4a E = a x a ( ) ( x E) + y = a + ( x E) ( x + E) Kootetaan vielä kean puolittain toiseen potenssiin, jotta päästään eoon jäljelle jääneestä neliöjuuesta. Sievennetään, ja yhdistetään x -temit. Saadaan yhtälö.

23 Luku : Ellipsi 16 joka voidaan yksinketaistaa muotoon x a E a + y = a E, x a + a y E = 1. Mekitään yhtälön (.1) mukaisesti lyhyemmän puoliakselin pituutta b = a E, jolloin saadaan hyvin tunnettu ellipsin standadiyhtälö (engl. standad equation of an ellipse) x a + b y = 1, (.11) jossa vakio a on isoakselin puolikas, vakio b pikkuakselin puolikas, ja < b < a. (.1) Jos polttopisteet ovat y-akselilla, vaihdetaan ellipsin standadiyhtälössä (.11) vakioiden a ja b paikat keskenään, jotta epäyhtälöt (.1) on voimassa. Tästä eteenpäin ellipsiä takastellaan standadiyhtälöstä (.11) lähtien. Näkökulman vaihto takoittaa, että jatkossa ellipsin oletetaan olevan määitelty puoliakselien pituuksilla a ja b, jotka standadiyhtälössä esiintyvät. Ellipsi määäytyy puoliakselien pituuksista tavalla, jossa sekä muoto että koko kytkeytyvät toisiinsa. Puoliakselien pituuksien sijasta ellipsi on yleensä miellyttävämpää määitellä sellaisilla kahdella paametilla, joista toinen määää pelkästään koon ja toinen pelkästään muodon. Ellipsin koon määäävänä paametina käytetään tavallisesti isoakselin puolikasta, ja muodon paametina joko eksentisyyttä tai litistyneisyyttä, jotka esitellään seuaavaksi..3 Eksentisyys ja litistyneisyys Eksentinen eli epäsamankeskinen Ellipsiin liittyy suueita, jotka ovat nimetty käyttäen adjektiivia eksentinen sen jossain muodossa. Tämän eikoisen adjektiivin mekitystä ei pahemmin selitellä sitä hyödyntävässä kijallisuudessa, vaikka sen avulla nimetyt suueet ja käsitteet ovatkin täkeässä asemassa niin taivaanmekaniikassa kuin geodesiassa. Tässä työssä sanan syntyhistoiaa ei ohiteta, vaan se käsitellään lyhyesti, jotta ilmenee, miksi tietyt käsitteet kantavat nimessään tätä eikoista sanaa. Klaudios Ptolemaios (n jaa.) oli keikkalainen astonomi, joka eli Egyptin Aleksandiassa ja kijoitti histoiallisesti hyvin mekittävän Almagestin. Hän tavitsi eksentin käsitteen takentamaan planeettojen kietoatoja Maa-keskeisessä maailmankaikkeuden mallissa. Ptolemaioksen eksenti (engl. eccentic tai excentic) takoittaa ympyän keskipistettä, joka ei ole sama kuin Maan keskipiste, mutta on lähellä sitä. [44, s. 13, 33]

24 Luku : Ellipsi 17 Ptolemaioksen Almagest selitti Auingon liikkeen Maan ympäi käyttäen eksentejä ja episyklejä. Teos on loistava osoitus tekijänsä kyvyistä. Siitä tuli välittömästi astonomian mekittävin lähdeteos. Se säilyi astonomian mekittävimpänä lähdeteoksena aina siihen asti, kunnes Kopenikus ja Keple osoittivat, että Maa kietää Auinkoa eikä päinvastoin. [6, s. 96 7] Adjektiivi eksentinen (engl. eccentic) takoittaa matematiikan nykykielessä epäsamankeskistä (engl. not concentic) [61, s. 56]. Tässä työssä adjektiivi eksentinen pyitään tulkitsemaan ellipsien yhteydessä epäsamankeskisyytenä nimenomaan ellipsin polttopisteiden kanssa, ei keskipisteen kanssa. Tulkinta sovittaa yhteen sekä Ptolemaioksen eksentin että sanan nykymekityksen. Lineaainen eksentisyys ja lineaainen litistyneisyys Lineaainen eksentisyys (engl. linea eccenticity) E määittää ellipsin polttopisteiden etäisyyden keskipisteeseen [54, s. 64]. Lineaaisen eksentisyyden ja ellipsin puoliakselien välinen yhteys on jo aiemmassa yhtälössä (.9), joka toistetaan tässä a + = E b. Yhtälö muodostettiin soveltamalla Pythagoaan lausetta tilanteessa, joka toistuu kuvassa.5. Ratkaistaan yhtälö lineaaisen eksentisyyden suhteen, E = a b. (.13) Tekijän käytössä olleessa lähdemateiaalissa litistyneisyydelle ei esitetä lineaaista vastinetta. Tässä työssä kuitenkin pyitään takoituksellisesti käsittelemään eksentisyyttä ja litistyneisyyttä duaalisena paina, minkä vuoksi seuaavaksi esitetään suue, jota tekijä kutsuu lineaaiseksi litistyneisyydeksi. Tekijä ei ole tietoinen lähdekijallisuudesta, jossa tällaista vastaavaa suuetta olisi esitelty. Lineaainen litistyneisyys (engl. linea flattening) F on ellipsin puoliakselien eotuksen itseisavo. Takastelunäkökulmasta iippuen suueen voidaan tulkita ketovan, kuinka paljon pidempi isoakselin puolikas on tai, näkökulmaa vaihtaen, kuinka paljon lyhyempi pikkuakselin puolikas on. Lineaainen litistyneisyys määitellään yhtälöllä F = a b, (.14) kun a > b, kuten ellipsin määitelmän yhteydessä on sovittu.

25 Luku : Ellipsi 18 F y a b a O E F x Kuva.5. Ellipsiin liittyvät lineaaiset suueet: lineaainen eksentisyys E ja lineaainen litistyneisyys F. Kuvassa.5 on havainnollistettu molempia lineaaisia suueita. Lineaainen eksentisyys E on ellipsin keskipisteen O ja polttopisteen F välinen etäisyys. Lineaainen litistyneisyys F on esitetty käyttäen apuna a-säteistä ympyää. Suue voidaan yhtä hyvin havainnollistaa käyttäen apuna b-säteistä ympyää. Näitä ympyöitä kutsutaan ellipsin apuympyöiksi, ja ne esitellään myöhemmin. Apuympyöiden esittelyn yhteydessä olevan kuvan.7 avulla voi hahmottaa, kuinka lineaainen litistyneisyys F esitettäisiin pienempää apuympyää käyttäen. Eksentisyyden ja litistyneisyyden kaksi muotoa Seuaavaksi esitettäviin suueisiin, eksentisyyteen ja litistyneisyyteen, liittyy tietynlainen dualismi, joka syntyy siitä, että lineaaiset suueet suhteutetaan puoliakselin pituuteen. Koska ellipsillä on kaksi puoliakselia, voidaan kumpaa tahansa käyttää mitan peusyksikkönä, ja näin ollen sekä eksentisyydestä että litistyneisyydestä on olemassa kaksi vesiota, joista toinen käyttää mitan peusyksikkönä isoakselin puolikasta ja toinen pikkuakselin puolikasta. Tekijä kutsuu näitä vesioita nimillä ensimmäinen muoto ja toinen muoto (engl. fist fom ja second fom), jotka takoittavat vastaavasti iso- ja pikkuakselin puolikkaita mitan peusyksikköinä käyttäviä vesioita. Matemaattisesti kummankin suueen ensimmäisen muodon s ja toisen muodon s ' välillä vallitsee yhteys a s ' = s. (.15) b Tekijän käyttämässä lähdekijallisuudessa ei tuoda eityisesti esille eksentisyyteen ja litistyneisyyteen liittyvää dualismia eikä muotojen välistä samanlaisuutta. Sen sijaan ensimmäiset ja toiset muodot esitellään tavallisesti toisistaan iallisina suueina vailla eityisempää yhteyttä toisiinsa, nimeä lukuun ottamatta. Dualismin selkeä esille tuonti on kuitenkin vasin hyödyllistä, sillä sen avulla on mahdollista ymmätää syvällisempiä yhteyksiä tavallisesti iallisina esiteltävien käsitteiden välillä.

26 Luku : Ellipsi 19 Eksentisyys Ensimmäinen eksentisyys (engl. fist eccenticity) e ilmaisee ellipsin polttopisteiden etäisyyttä keskipisteestä isoakselin puolikkaan a suhteen. Se toimii koosta iippumattomana muotopaametina ja mittana ellipsin polttopisteiden epäkeskisyydestä. Ellipsin yhteydessä pelkkä eksentisyys (engl. eccenticity) ilman lisämääeitä takoittaa ensimmäistä eksentisyyttä. Tämä nimitys otetaan välittömästi käyttöön. Eksentisyys e on laaduton luku, jolla keottuna isoakselin puolikas a antaa polttopisteiden etäisyyden keskipisteestä. Tämän peusteella eksentisyyden ja lineaaisen eksentisyyden välillä on yhtälö E = ae, (.16) jossa < e < 1. Jos eksentisyyden e sallittaisiin olevan nolla yhtälössä (.16), ellipsin molemmat polttopisteet olisivat keskipisteessä ja kyseessä olisi ympyä. Sijoittamalla (.16) yhtälöön (.13) voidaan puoliakselien pituuksista atkaista eksentisyys a b b e = = 1. (.17) a a Myöhemmin näytetään vielä, että ellipsin ensimmäinen eksentisyys e on itse asiassa sama kuin yleisen katioleikkauksen yhtälössä esiintyvä eksentisyys ε. Ellipsi voidaan määittää antamalla isoakselin puolikas a, joka määää ellipsin koon, ja eksentisyys e, joka määää ellipsin muodon. Tällöin pikkuakselin puolikas määäytyy yhtälön (.17) peusteella b = a 1 e. (.18) Tästä yhtälöstä nähdään, että mikäli eksentisyyden sallittaisiin olevan yksi, polttopisteet olisivat isoakselin päissä ja pikkuakselin pituus olisi nolla. Toisin sanoen ellipsi pelkistyisi yksiulotteiseksi janaksi. Toinen eksentisyys (engl. second eccenticity) e ilmaisee ellipsin polttopisteiden etäisyyttä keskipisteestä pikkuakselin puolikkaan b suhteen. Yhteys lineaaiseen eksentisyyteen on siten E = be, (.19) jossa e > ilman yläajaa. Sijoittamalla (.19) yhtälöön (.13) kuten aiemmin voidaan toinen eksentisyys ilmaista puoliakselien pituuksilla: a b a e = = 1. (.) b b Ellipsi voidaan määittää antamalla pikkuakselin puolikas b, joka määää ellipsin koon, ja toinen eksentisyys e, joka määää ellipsin muodon. Tällöin isoakselin puolikas yhtälön (.) peusteella a = b 1 + e. (.1)

27 Luku : Ellipsi Toisen eksentisyyden avolle ei ole yläajaa, ja tämä yhtälö antaa vastauksen miksi. Jos pikkuakselin puolikkaan pituus kiinnitetään, niin isoakselin puolikkaalle on tällöin vain alaaja, mistä seuaa, ettei polttopisteiden välistä etäisyyttä ei ole myöskään ylhäältä ajoitettu. Yhteys ensimmäisen ja toisen eksentisyyden välillä noudattaa ensimmäisen ja toisen muodon välistä yhtälöä (.15). Takistetaan asia mekitsemällä yhtälöt (.16) ja (.19) yhtä suuiksi, ae = E = be, (.) ja atkaisemalla toisen eksentisyyden e suhteen. Saadaan tulos a e = e, (.3) b joka vastaa yhtälöä (.15). Lisää yhtälöitä eksentisyyden ensimmäisen ja toisen muodon välille saadaan, kun sijoitetaan yhtälö (.1) pikkuakselin puolikkaan yhtälöön (.18). Supistamalla molemmilla puolilla esiintyvä pikkuakselin puolikas ja koottamalla puolittain toiseen potenssiin päästään yhtälöön ( 1 + e )( 1 ) 1 = e. (.4) Muutaman laskutoimituksen jälkeen tästä saadaan ensimmäisen ja toisen eksentisyyden välille yhtälöt e e = ja e 1 e Tämä päättää eksentisyyden takastelun. e =. (.5) 1 + e Litistyneisyys Ensimmäinen litistyneisyys (engl. fist flattening) f ilmaisee ellipsin puoliakselien välisen pituuseon isoakselin puolikkaan a suhteen. Se toimii koosta iippumattomana muotopaametina ja mittana ellipsin litistyneisyydestä. Luku ketoo, kuinka litistynyt ellipsi on a-säteiseen ympyään veattuna (esitetty kuvassa.7). Ellipsin yhteydessä pelkkä litistyneisyys (engl. flattening) ilman lisämääeitä takoittaa ensimmäistä litistyneisyyttä. Tämä nimitys otetaan välittömästi käyttöön. Litistyneisyys f on laaduton luku, joka isoakselin puolikkaalla a keottuna antaa puoliakselien välisen pituuseon. Yhteys lineaaiseen litistyneisyyteen on siten F = af, (.6) jossa < f < 1. Jos litistyneisyyden sallittaisiin olevan nolla yhtälössä (.6), ellipsin molemmat puoliakselit olisivat yhtä pitkiä ja kyseessä olisi ympyä. Sijoittamalla (.6) yhtälöön (.14) voidaan puoliakselien pituuksista atkaista litistyneisyys