Mekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot"

Transkriptio

1 Mekaniikka, osa 2 Pettu Lantto Luentokalvot peustuvat kijaan: Univesity physics, 13 th Intenational Edition H. D. Young & R. A. Feedman (Peason, 2012) 6. maaliskuuta 2017

2 Osa V Luku 13: Gavitaatio

3 Gavitaatio Luku 13: Gavitaatio (L8) 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike määittelee miten kahden kappaleen toisiinsa kohdistama gavitaatiovoima lasketaan Paino kappaleessa käsitellään kappaleen painon yhteyttä yleisiin gavitaatiovoiman yhtälöihin. kappaleessa opetellaan tulkitsemaan ja käyttämään yleisiä gavitaatioyhtälöitä atelliittien liike ympyänmuotoisella adalla käsitellään ja miten se liittyy satelliitin vauhtiin, atapeiodiin ja mekaaniseen enegiaan. kappaleessa kuvaillaan ja opetellaan käyttämään planeettojen liikkeitä kuvaavia lakeja. kappaleessa osoitetaan, että pallomaisten kappaleiden gavitaatiovuoovaikutuksen voi kuvata niiden keskipisteissä olevien massojen vuoovaikutuksena Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen liittyvät toisiinsa, sillä jälkimmäinen aiheuttaa gavitaatiovuoovaikutuksen muutoksen. selitetään klassisesti sekä niihin liittyvät Einsteinin suhteellisuusteoian käsitteet chwazchildin säde ja tapahtumahoisontti.

4 Gavitaatio Luku 13: Gavitaatio (L8) 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Newtonin 1600-luvulla kehittämät gavitaatiolait antavat vastauksen ensimmäisiin fysiikan kysymyksiin planeettojen ja kuun liikkeistä kappaleiden putoamiseen. Gavitaatio on yksi neljästä luonnon peusvuoovaikutuksesta ja niistä ensimmäinen, jota tutkittiin systemaattisesti. Yksi täkeimmistä gavitaatioteoioiden sovellutuksista on taivaanmekaniikka (celestial mechnics) eli avauudessa olevien kappaleiden dynamiikan tutkimus, joka mahdollistaa esim. satelliittiien, planeettojen ja komeettojen atojen laskemisen. Gavitaatiovuoovaikuksen kuvaavat peuslait ovat univesaaleja eli ne pätevät kaikkien massallisten kappalien välillä koosta iippumatta. atunuksen enkaat koostuvat lukemattomista kappaleista. Kietäväkö ne samalla vauhdilla vai ovat sisemmät kappaleet nopeampia tai hitaampia kuin ulommat?

5 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Gavitaation aiheuttamasta vetovoimasta tunnetuin on paino eli painovoima, mikä vetää meitä kohti maapalloa. ama voima vaikuttaa planeettojen ja kuun liikkeisiin, joita tutkimalla Isaac Newton löysi yleisen kaikkien kappaleiden välillä vaikuttavan gavitaatiovetovoiman. Newton julkaisi gavitaatiolain (law of gavitation) vuonna 1687: Jokainen univesumin hiukkanen vetää toista hiukkasta puoleensa voimalla, joka on suoaan veannollinen niiden massojen tuloon ja kääntäen veannollinen niiden etäisyyden neliöön. Kumpaankin hiukkaseen (kuva 13.1) kohdistuvan voiman magnitudi on siis: Koska gavitaatiovoima hiipuu nopeasti ( 1 2 ), kaukaisten kappaleiden, vaikka kuinka massiivisten (esim. mustien aukkojen, jättiläistähtien), gavitaatiovoimat ovat häviävän pieniä. Kaksi kappaletta muodostaa vuoovaikutuspain eli gavitaatiovoima vaikuttaa kumpaankin samalla suuuudella. F g = Gm 1m 2 2 (13.1) missä G on gavitaatiovakio (gavitational constant) (G g) Kahden massan väliset gavitaatiovoimat.

6 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Gavitaatio ja pallosymmetiset kappaleet Osoitetaan myöhemmin, että gavitaatiovuoovaikutus voidaan käsitellä pallosymmetiselle massajakaumalle (kiinteä pallo tai pallonkuoi) siten, että massa keskitetään pallon keskipisteeseen (kuva 13.2). Eli jos Maata mallinnetaan pallosymmetisenä kappaleena, jonka massa on m E, sen ulkopuoliseen hiukkaseen tai pallosymmetiseen kappaleeseen (m) kohdistama gavitaatiovoima on F g = Gm Em 2 (13.2) ja vastaavan voiman kohdistaa kappale Maahan. Maapallon sisällä tilanne on toinen eli mitä syvemmällä kappale on, sitä pienempi gavitaatiovoima kohti keskipistettä siihen kohdistuu. Tällöin osa massasta vetää vastakkaiseen suuntaan ja lopulta maapallon keskipisteessä gavitaatiovoima on nolla. uuet kappaleet (kuva 13.3) asettuvat pallon muotoon minimoidakseen gavitaatiovoimat Pallosymmetisen kappaleen gavitaatioefekti sen ulkopuolella Jupite ja sen pieni kuu, Amalthea.

7 Gavitaatiovakio G:n määittäminen 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Univesaalin gavitaatiovakion G määittämiseksi pitää mitata kahden kappaleen välinen gavitaatiovoima, kun niiden etäisyys tiedetään. Voima on laboatoimittakaavan kappaleille eittäin pieni mutta i Heny Cavendish käytti kuvan 13.4 kietovaakaa (tosional balance) G:n mittaamiseen Kun kvatsilangalla oikkuvat pienemmät pallot (m 1 ) tuodaan lähelle kahta suuempaa palloa (m 2 ), ne hakevat uuden tasapainopisteen, jossa isojen pallojen aiheuttama gavitaatiovetovoima ja langan elastinen voima ovat tasapainossa. Lankaan kiinnitetyn peilin kautta heijastunut lasesäde ketoo heiluin kulmamuutoksen, joka kaliboinnin jälkeen ketoo G:n avon. [CODATA: G = (31) N m 2 /kg 2 (yksikkönä myös m 3 /kg s 2 )] Ei lähteistä tulevat gavitaatiovoimat vektoisummataan Cavendish vaa an toimintapeiaate.

8 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Esimekki 13.1: Gavitaatiovoiman laskeminen Cavendishin vaa an pienemmän pallon massa on m 1 = kg ja lähemmän suuemman pallon m 2 = kg. Niiden keskipisteiden välinen etäisyys on = m. Määitetään kumpaankin palloon vaikuttava gavitaatiovoima F g. Koska kappaleet ovat pallosymmetisiä, voidaan voima laskea samoissa paikoissa olevien hiukkasten välille. Kumpikin pallo kokee saman voiman toisesta pallosta. Newtonin gavitaatiolaki antaa: F g = Gm 1m 2 2 = N = ( N m 2 /kg 2 )( kg)(0.500 kg) ( m) 2 Näinkin pieni voima voitiin mitata pai vuosisataan sitten. Vain hyvin massiivinen kappale kuten maapallo aiheuttaa gavitaatiovoiman, jonka voimme tuntea iittävän lähellä sitä.

9 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Esimekki 13.2: Lasketaan esimekin 13.1 pallojen kiihtyvyydet inetiaalikoodinaatiston suhteen, kun ne ovat m etäisyydellä toisistaan. Kaikki muut kappaleet ovat kaukana kummastakin. Kummatkin pallot aiheuttavat saman Esimekissä 13.1 lasketun gavitaatiovetovoiman toisiinsa ja muut kappaleet voidaan unohtaa. Kiihtyvyyden suuuudet a 1 ja a 2 eivät ole samat, koska massat ovat eit: a 1 = Fg = N = m kg 8 m/s 2 a 2 = Fg = N = m kg 10 m/s 2 uuemman kappaleen massa on 50-ketainen, joten sen kiihtyvyys on 50-osa pienemmän kiihtyvyydestä. Kiihtyvyydet eivät ole vakioita vaan kasvavat, mitä lähemmäs kappaleet tulevat toisiaan.

10 Esimekki 13.3: Useat tähden kuuluvat kahden tai useamman tähden systeemeihin, joita pitävät koossa keskinäiset gavitaatiovetovoimat. Eäällä hetkellä kuvan 13.5 kolmen tähden systeemin tähdet ovat 45 kolmion käjissä. Määitetään kahden suuemman tähden gavitaatiovetovoima, joka kohdistuu pienimpään. Kokonaisvoima on vektoisumma: F = F 1 + F 2. Lasketaan ensin voimien magnitudit pienimmän pallon kohdalla: F 1 = ( N m 2 /kg 2 )( kg)( kg) ( m) 2 +( m) 2 = N F 2 = ( N m 2 /kg 2 )( kg)( kg) ( m) 2 = N = F 2x, F 2y = 0 Ensimmäisen tähden voiman x- ja y-komponentit ovat: F 1x = ( N)(cos 45 ) = N F 1y = ( N)(sin 45 ) = N F x = F 1x + F 2x = N F y = F 1y + F 2y = N 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike F :n magnitudi on: F = F 2 x + F 2 y = N Kulma x-akselin suhteen: θ = actan Fy = 14.6 F eli F ei x osoita kahden tähden massakeskipisteeseen. Vaikka voima on valtava, sen aiheuttama kiihtyvyys ei: a = F/m = ( N)/( kg) = m/s Kahden isomman tähden pieneen tähteen kohdistama gavitaatiovoima.

11 Gavitaatiovoimien mekitys 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Kuten edelliset esimekit osoittavat gavitaatiovoimat ovat häviävän pieniä ja siksi mekityksettömiä pienten esineiden välillä. itä vastoin suuessa planeettojen, tähtien ja galaksien mittakaavassa, gavitaatio on täkein vuoovaikutus, joka pitää planeetat koossa ja adoillaan. e myös pitää mateian iittävän tiheänä ja kuumana tähtien ytimessä, jotta ydinten fuusioeaktiot ovat mahdollisia. Gavitaation tekee kosmisessa skaalassa täkeäksi sen pitkä kaukovuoovaikutus eli se vaikuttaa kappaleiden välillä ilman kosketusta. Näin toimivat sähkö- ja magneettiset voimatkin, jotka kosmisessa mittakaavassa ovat kuitenkin vähemmän mekityksellisiä. uuessa skaalassa mateia on sähköisesti neutaalia eli siinä on sama määä positiivisia ja negatiivisia vaauksia, minkä vuoksi sähkömagneettiset vuoovaikutukset tähtien ja planeettojen välillä ovat hyvin pieniä tai katoavat. Vahvan ja heikon vuoovaikutuksen kantama on ainoastaan atomin ytimen ( m) suuuusluokkaa, joten ne voidaan unohtaa muissa ilmiöissä kuin atomi- ja molekyylispektoskopiassa sekä ydin- ja hiukkasfysiikassa. Kaikkia peusvuoovaikutuksia kuvataan yleisesti vuoovaikutuskentillä, joita ei hiukkaset häiitsevät ja häiiö välittyy kentän kautta toisiin hiukkasiin Galaksimme, Linnunata, koostuu n tähdestä. en pitää kasassa ja sen akenteen määää gavitaatiovetovoima.

12 13.2 Paino Luku 13: Gavitaatio (L8) 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Paino määiteltiin aikaisemmin Maan kappaleeseen kohdistamana vetovoimana. Yleisempi määitelmä on: Kappaleen paino on kokonaisgavitaatiovoima, jonka muut univesumin kappaleet siihen kohdistaa. Lähellä Maata muut gavitaatiovoimien lähteet voidaan unohtaa ja vastaavasti Kuun pinnalla on hyvä appoksimaatio käsitellä ainoastaan sen gavitaatiovetovoimaa. Jos Maa mallinnetaan pallosymmetisenä (m E ja R E ), sen pinnalla pieneen kappaleeseen m kohdistuva paino w on: w = F g = Gm Em R 2 E (13.3) Toisaalta painovoima w on voima, joka aiheuttaa vapaan pudotuksen kiihtyvyyden g (Newtonin 2. laki: w = mg). Nämä yhdistämällä saadaan kiihtyvyydeksi Maan pinnalla: g = Gm E R 2 E (13.4) Gavitaatiokiihtyvyyden g iippumattomuus massasta m siis seuaa suoaan gavitaatiolaista. Koska R E = m ja g = 9.80 m/s 2 on voitu määittää mittaamalla, saadaan Maan massa atkaistua (kuten Cavendish teki määitettyään G:n): m E = gr2 E G = kg, joka on lähellä tämän hetken paasta aviota: m E = (6) kg

13 13.2 Paino Luku 13: Gavitaatio (L8) 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Etäisyydellä Maan keskipisteestä (kokeudella R E pinnalta) painoksi saadaan Kuva 13.8 esittää, miten astonautin paino muuttuu ei kokeuksilla, kun häneen Maan pinnalla kohdistuu 700 N painovoima. w = F g = Gm Em 2 (13.5) Kappaleen paino pienenee kääntäen veannollisesti etäisyyden neliöön Maan keskipisteestä (kuva 13.7) Kokealla lentokoneessa paino 13.8 Astonautin kokema Maan aiheuttama painovoima. on hieman pienempi.

14 13.2 Paino Luku 13: Gavitaatio (L8) 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Vaikka Maan massa on jakautunut suunnilleen pallosymmetisesti, se ei ole jakautunut tasaisesti. Määitetään tilavuus pallosymmetiaoletuksella: V E = 4 3 πr3 E = 4 3 π( m) 3 = m 3 Nyt Maan keskitiheys voidaan laskea: ρ = m E V E = kg m 3 = 5500 kg/m 3 = 5.5g/cm 3 Kuitenkin sedimenttikivien (2000 kg/m 3 ) ja basaltin (3300 kg/m 3 ) keskitiheydet ovat huomattavasti alempia eli Maan syvempien osien pitää olla huomattavasti tiheämpiä. Geofysikaalisten mallien mukaan (kuva 13.9) sula ulkoydin onkin jo tiheydeltään n kg/m 3 ja kiinteä auta-nikkeli sisäydin n kg/m Maan tiheys pienenee etäisyyden kasvaessa keskipisteestä.

15 13.2 Paino Luku 13: Gavitaatio (L8) 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Esimekki 13.4: Gavitaatio Masissa Painoltaan 3430 N obottilaskeutuja lähetetään Masiin, jonka säde on R M = m ja massa m M = kg. Lasketaan laskeutujan paino F g ja kiihtyvyys g M Masin pinnalla. Kun tiedetään gavitaatiokiihtyvyys ja laskeutujan paino Maassa, atkaistaan sen massa, joka säilyy samana paikasta iippumatta: m = w g = 3430 N 9.80 m/s 2 = 350 kg. Käytetään gavitaatiovoiman yhtälöä (13.3) mutta kovataan Maan säde ja massa Masin vastaavilla: F g = Gm Mm R 2 M = ( N m 2 /kg 2 )( kg)(350 kg) ( m) 2 = N Kiihtyvyys saadaan gavitaatiovoimasta: g M = Fg m = N = 3.7 m/s 350 kg 2 Masin massa on vain kg % = 11% maan kg massasta. Kuitenkin gavitaatiokiihtyvyys Masissa g M ja siten myös kappaleen paino on 3.7 m/s m/s 2 100% 40% vastaavista Maassa. Tämä johtuu siitä, että Masin säde on vain m % 53% Maan m säteestä ja gavitaatiokiihtyvyys planeetan pinnalla on sen massan lisäksi kääntäen veannollinen sen säteeseen yhtälön (13.4) mukaisesti: g = Gm M R M 2 = 3.7 m/s 2

16 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Aikaisemmin appoksimoitiin, että gavitaatiovoiman suunta ja suuuus ovat vakioita, jolloin gavitaatiopotentiaalienegia on U = mgy. Tämä ei kuitenkaan päde tilanteisiin, joissa kokeus Maan pinnasta ja siis myös etäisyys Maan keskipisteestä muuttuu paljon, sillä Maan gavitaatiovetovoima pinnan yläpuolella muuttuu yhtälön (12.5) mukaisesti F g = Gm E m/ 2. Tällöin tavitaan yleisempi gavitaatiopotentiaalin lauseke, joka saadaan, kun lasketaan gavitaatiovoiman F ulospäin suuntautuvan adiaalikomponentin F tekemä työ, kun kappale (m) siityy suoaan poispäin Maan keskipisteestä 1 2 (tai päinvastoin): 2 W gav = F d (13.6) 1 Koska kappaleeseen kohdistuva gavitaatiovoima F g suuntautuu Maan keskipistettä kohti, F on vastakkaismekkinen eli negatiivinen yhtälöön (13.5) veattuna: F = Gm Em 2 (13.7) Kun se sijoitetaan yhtälöön (13.6) ja integoidaan: 2 d W gav = Gm E m 1 2 = Gm Em 2 Gm Em 1 (13.8)

17 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Kappaleen kulkeman eitin ei tavitse olla suoa vaan se voi myös mutkitella (kuva 13.10): tehdyn työn määä ei iipu eitistä vaan ainoastaan alku- ja loppuetäisyyksistä Maan keskipisteestä eli gavitaatiovoima on aina konsevatiivinen. Potentiaalienegian U määitelmä saadaan työstä, jonka gavitaatio tekee kun kappale siityy ylempää alemmaksi eli: W gav = U 1 U 2. Kun tätä veataan yhtälöön 13.8, saadaan gavitaatiopotentiaalienegiaksi: U = Gm Em (13.9) Gavitaatiovoiman tekemä työ kappaleeseen, jonka kokeus muuttuu.

18 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Kun etäisyys maan keskipisteestä kasvaa (Kuva 13.11), gavitaatiovoima tekee negatiivista työtä ja U kasvaa eli tulee vähemmän negatiiviseksi. Kun kappale putoaa kohti Maata, pienenee, gavitaation tekemä työ on positiivista ja gavitaatiopotentiaalienegia pienenee eli tulee negatiivisemmaksi. Gavitaatiopotentiaalienegia on aina negatiivinen, sillä sen nollakohta on, kun kappale on ääettömän kaukana Maasta ( = ). Potentiaalin nollakohta voidaan valita myös maan pinnalle eli U = 0, kun = R E, lisäämällä Gm E m/r E yhtälöön (13.19). e ei ole kuitenkaan tapeen ja toisi vain ylimäääisen temin vaikuttamatta kappaleiden väliseen potentiaalienegiaeoon, mikä on ainoa fysikaalisesti mekittävä suue. Jos gavitaatiovoima on ainoa työtä tekevä voima, mekaaninen kokonaisenegia on vakio eli konsevoitunut, mitä voidaan käyttää pakonopeuden (escape speed) laskemisessa eli kappaleen planeetalta iottautumiseen tavittavan vauhdin määittämiseen Astonautin ja maapallon gavitaatiopotentiaalienegia U keskipiste-etäisyyden funktiona.

19 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Esimekki 13.5: Maasta Kuuhun Jules Venen 1865 kijoittamassa tainassa kolme miestä matkusti Kuuhun ammuksella, joka ammuttiin pystysuoaan valtavalla Floidan maapeään upotetulla tykillä. Lasketaan miniminopeus tykin suulla, kun (a) ammus nousee Maan säteen vean pinnan yläpuolelle (b) ammus kakaa Maan vetovoiman piiistä (pakonopeus). Jätetään ilmanvastus, Maan pyöiminen ja Kuun gavitaatiovetovoima huomioimatta. Ammuksen lähdettyä tykinsuusta siihen kohdistuu vain konsevatiivinen gavitaatiovoima, joten ongelmat (kuva 13.12) voidaan atkaista mekaanisen enegian säilymislailla: K 1 + U 1 = K 2 + U 2 (a) Nyt 1 = R E, 2 = 2R E ja v 2 = 0, atkaistaan v 1 : ( 1 2 mv2 1 + Gm Em R E v 1 = = Gm E R E ) ( = 0 + Gm ) Em 2R E ( N m 2 /kg 2 )( kg) m = 7900 m/s = km/h Ongelmat kuvina.

20 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Esimekki 13.5: Maasta Kuuhun (b) Nyt 1 = R E ja 2 = U 2 = 0 ja v 2 = 0 K 2 = 0 eli enegian säilymisehto on: ( 1 2 mv2 1 + Gm Em R E v 1 = = 2Gm E R E ) = ( N m 2 /kg 2 )( kg) m = m/s = km/h (b) Pakonopeus ei iipu kappaleen massasta tai laukaisusuunnasta. (b) Käytännössä voidaan hyödyntää myös maan pyöimisauhti 410 m/s laukaisemalla aketti itäänpäin. (b) Pakonopeus voidaan yleistää M massaiselle R-säteiselle pallomaiselle kappaleelle: v 1 = 2GM/R, mikä antaa esim. Masille m/s, Jupiteille m/s ja Auingolle m/s Ongelmat kuvina.

21 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Gavitaatiopotentiaalienegian appoksimaatio Osoitetaan, että gavitaatiopotentiaalienegian yhtälöstä (13.9) seuaa U = mgy lähellä Maan pintaa. Kijoitetaan yhtälö (13.8) uuteen muotoon: W gav = Gm Em 2 Gm Em 1 W = Gm E m Jos kappale on lähellä maanpintaa eli 1 2 R E, voidaan jakaja kijoittaa: W = Gm E m 1 2 R 2 E Yhtälön (13.4) mukaan g = Gm E /RE 2 ja jos muutetaan etäisyyseo maapallon ytimestä kokeuseoksi y 1 y 2 maanpinnalta, joten W = mg( 1 2 ) = mg(y 1 y 2 ) = U 1 U 2 Eli saadaan gavitaatiopotentiaalienegiaksi U = mgy, yhtälö (7.2), joka on siis eikoistapaus yleisemmästä yhtälöstä (13.9)

22 13.4 atelliittien liike Luku 13: Gavitaatio (L8) 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Kokeasta tonista maanpinnan suuntaisesti (tangentiaalisesti, A B) ammutun kappaleen alkunopeudesta (adat kuvassa 13.14). Mitä suuempi alkunopeus on, sitä pidemmälle kappaleen paabolinen ata kantaa maanpinnalla (ata 1) ja suuilla nopeuksilla maapallon kaaevuudella on mekitystä (ata 2). Kun nopeus on tapeeksi suui, maapallo kaaeutuu koko adan matkalla pois kappaleen alta ja se palaa lähtöpisteeseensä, jossa sen nopeus on sama kuin alkunopeus, jos siihen ei kohdistu hidastavia voimia kuten ilmanvastusta (ata 3). Radoilla 3-5 kappale ei palaa maahan vaan siitä tulee satelliitti. Kaikki adat 1-5 ovat suljettuja atoja (closed obits), jotka ovat ellipsejä tai niiden segmenttejä (adat 1 ja 2). Rata 4 on ellipsiadan eikoistapaus eli ympyäata. Radat 6 ja 7 ovat avoimia atoja (open obits) eli niille kulkeva kappale ei palaa koskaan lähtöpisteeseensä vaan etääntyvät Maasta yhä kauemmas Hubble-avauusteleskooppi (13.2 m, kg) Eilaisia kappaleen atoja.

23 atelliittien ympyäadat 13.4 atelliittien liike 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Ympyäata (cicula obit) (ata 4 kuvassa 13.14) on yksinketaisin ja täkeä tapaus, sillä useat satelliitit ja planeetat auingon ympäillä kietävät lähes ympyänmuotoisilla adoilla. Ympyäadalla satelliittiin kohdistuu ainoastaan Maan gavitaatiovetovoima F = F g = Gm E m/ 2 (kuva 12.15), jonka suunta on kohti adan keskipistettä. Tällöin satelliitti on tasaisessa (unifom) ympyäliikkeessä (kappale 5.4) eli sen atavauhti on vakio, koska kiihtyvyys on aina kohtisuoassa etenemissuuntaa vastaan ( a v). e ei putoa kohti maata vaan pikemminkin Maan ympäi eli atavauhti on juui sopiva pitämään satelliitin vakioetäisyydellä Maan keskipisteestä, jolloin sen adiaalinen kiihtyvyys kohti keskipistettä on a = a ad = v 2 /. Newtonin 2. lain ( F = m a) mukaan atanopeus v ja atasäde iippuvat toisistaan: Gm E m 2 = mv2 v = GmE (13.10) Maan aiheuttama gavitaatiovetovoima F g antaa satelliitille sentipetaali- eli keskeiskiihtyvyyden, joka pitää sen adallaan.

24 atelliittien ympyäadat 13.4 atelliittien liike 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Yhtälön (13.10) mukaan satelliitin ataliike ei iipu sen massasta m. Avauussukkulan mukana ympyäadalla liikkuva astonauttikin on satelliitti, johon vaikuttaa vain Maan vetovoima. Hänellä on siis sama atavauhti ja keskeiskiihtyvyys kuin sukkulalla eli mikään ei vedä tai työnnä häntä sukkulan lattiaan tai seinämiin. Astonautti kokee siten näennäisen painottomuuden (appaent weightlessness) kuten vapaassa pudotuksessa (esim. sikuslaitteessa). Oikea painottomuus (tue weightlessness) toteutuu vain ääettömän kaukana kaikista massallisista kappaleista, jolloin kappale ei koe lainkaan gavitaatiovoimia. Näennäinen painottomuus ei ole ainoastaan ympyäadan ominaisuus vaan sen kokee kappale kaiken tyyppisillä adoilla 1-7 kuvassa 12.14, joilla ainoa vaikuttava voima on gavitaatio Kietoadalla avauusaluksessa olevat astonautit kokevat näennäisen painottomuuden.

25 atelliittien ympyäadat 13.4 atelliittien liike 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Ympyäadalla satelliitin vauhti on matka 2π jaettuna peiodilla T eli kietoajalla: v = 2π T (13.11) Peiodin iippuvuus atasäteestä saadaan, kun sijoitetaan vauhti yhtälöstä (13.10): T = 2π v = 2π = 2π3/2 (13.12) Gm E GmE Yhtälöiden mukaan mitä suuempi ata on, sitä hitaampi vauhti ja pidempi kietoaika, esim. I-avauusasemalla matalalla adalla ( = 6800 km) v = 7.7 km/s ja T = 93 min, kun taas Kuulla ( = km) v = 1.0 km/s ja T = 27.3 d Pluton kauemmilla adoilla olevilla pienillä satelliiteilla on hitaampi atavauhti ja pidempi peiodi kuin suuemmalla Chaon-kuulla lähiadalla.

26 atelliittien ympyäadat 13.4 atelliittien liike 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike Jos veataan yhtälöä (13.10) v = GmE ja Esimekin 13.5 pakonopeuden yhtälöä v 1 = 2GmE nähdään, että R E pakonopeus R-säteiseltä planeetalta on 2-ketaa suuempi kuin samansäteisellä ympyäadalla olevan satelliitin nopeus. Eli minkä tahansa planeetan, iippumatta sen massasta, ympäillä ympyäadalla kietävän satelliitin vauhdin tavitsee kasvaa vain 2-ketaiseksi, jotta se voi paeta planeetan vaikutuspiiistä. Käyttämällä yhtälöä (13.10) voimme laskea kappaleen mekaanisen kokonaisenegian ympyäadalla: E = K + U = 1 ( 2 mv2 + Gm Em = 1 ( ) 2 m GmE ( GmE m ) (13.13) ) = Gm Em 2 Eli mekaaninen kokonaisenegia on negatiivinen ja puolet potentiaalienegiasta. E kasvaa eli tulee vähemmän negatiiviseksi, kun adan säde kasvaa. Matalalla kietoadalla ilmakehän yläosien ilmanvastus tekee satelliittiin jauttavaa, negatiivista työtä, jolloin mekaaninen kokonaisenegia pienenee ja pienenee, kunnes satelliitti joko palaa ilmakehässä tai osuu maahan.

27 Esimekki 13.6: atelliitin ata 13.4 atelliittien liike 13.2 Paino 13.4 atelliittien liike atelliitti (m = 1000 kg) halutaan saattaa 300 km kokeudella Maan pinnasta olevalle ympyäadalle. (a) Mikä satelliitin vauhti, kietoaika ja adiaalinen kiihtyvyys on tällä adalla? (b) Kuinka paljon työtä on tehtävä, jotta satelliitti saadaan adalle. (c) Kuinka paljon lisätyötä on tehtävä, jotta adalla oleva satelliitti voi paeta Maasta? (a) = ( ) km = m, jolloin yhtälö (13.10) antaa atavauhdiksi: v = GmE ( N m 2 /kg 2 )( kg) = = 7720 m/s m (a) Radan kietoaika: T = 2π v = 2π( m) 7720 m/s = 5440 s = 90.6 min (a) Radiaalinen kiihtyvyys: a ad = v2 (7720 m/s)2 = m = 8.92 m/s2, joka on n. 10% pienempi kuin g maanpinnalla. (b) Yhtälö (13.13) antaa kokonaisenegian adalla: E 2 = Gm Em 2 = ( N m 2 /kg 2 )( kg)(1000 kg) 2( m) = J ja koska K 1 = 0, laukaisualustalla kokonaisenegia on E 1 = Gm Em R E = ( N m 2 /kg 2 )( kg)(1000 kg) ( m) = J. Tehty työ vastaa enegiaeoa: W = E 2 E 1 = J. (c) Koska mekaaninen kokonaisenegia E = 0 ääettömän kaukana, on lisätyön vastattava enegiaa E 2 adalla eli W = J.

28 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen aksalainen Johannes Keple kehitti vuosina Tycho Bahen havaintoihin peustuvat lait planeettojen liikkeestä: 1 Jokainen planeetta liikkuu elliptistä ataa Auingon, joka on ellipsin toisessa polttopisteessä, ympäi. 2 Auingon ja planeetan välinen viiva piitää tietyssä ajassa saman pinta-alan kaikissa osissa ataa. 3 Planeettojen kietoajat ovat veannollisia niiden atojen isoakselin pituuden 3 2 -potenssiin. Keple ei tiennyt miksi lait toimivat vaan vasta Newton vuosisadan loppupuolella osoitti, että ne voidaan johtaa liike- ja gavitaatiolaeista Ellipsin geometia. P ja P etäisyyksien summa on sama kaikissa käyän kohdissa.

29 Keplein ensimmäinen laki 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Auinko on ellipsin (kuva 13.18) toisessa polttopisteessä ja planeetta kietää sitä ellipsiadalla pisteessä P. Ellipsiadan kahden pisteen suuin etäisyys on isoakseli, (majo axis), josta puolet on isoakselin puolikas a (semi-majo axis). Ellipsiadan minkä tahansa pisteen P polttopisteistä (focus, mon. foci) ja mitattujen etäisyyksien P ja P summa pysyy vakiona. Polttopisteiden etäisyys ellipsin keskipisteestä on ea, missä paameti e [0, 1] on epäkeskisyys eli eksentisyys (eccenticity), joka ympyälle on e = 0. Planeettojen adat ovat melko ympyämäisiä, esim. Venusksella e = 0.007, Maalla mutta Mekuiuksella jo Ellipsiadan Auinkoa lähin kohta on peiheli (peihelion) ja kauimmainen apheli (aphelion). Newton osoitti, että kappaleen, johon vaikuttaa vetovoima 1/ 2, suljetut adat ovat joko ympyämäisiä tai ellipsejä. Lisäksi avoimet adat (6 ja 7 kuvassa 13.14) ovat joko paabelejä tai hypebelejä Ellipsin geometia. P ja P etäisyyksien summa on sama kaikissa käytän kohdissa.

30 Keplein toinen laki 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Pienellä aikavälilä dt Auingon ja planeetan P välinen viiva P kääntyy kulman dθ vean (kuva 13.19b), jolloin se piitää kolmion, jonka pinta-ala on da = 1 2 dθ = dθ. Nopeus, jolla viiva piitää pinta-alan eli ns. sektoinopeus (secto velocity), saadaan: da dt = 1 dθ 2 2 dt (13.14) Keplein toisen lain mukaan sektoinopeus on vakio kaikissa adan osissa. Tästä sauaa, että kun planeetta on lähellä Auinkoa, on pieni ja kulmavauhti dθ/dt suui. Kaukana auingosta päinvastoin. Koska tangentiaalisen atanopeusvektoin v adiaaliviivan suhteen kohtisuoa komponentti on v = v sin φ (kuva 13.19b) ja se myös vastaa etäisyysmuutosta dθ aikavälillä dt eli v = dθ/dt, voidaan se sijoittaa yhtälöön (13.14) ja saadaan: da dt = 1 v sin φ (13.15) (a) Planeetta P liikkuu ellipsiadalla Auingon () ympäi. (b,c) Planeetan nopeus vaihtelee niin, että P viivan tietyssä ajassa piitämä pinta-ala pysyy vakiona.

31 Keplein toinen laki 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Koska v sin φ = v, saadaan yhtälöstä (13.15): da dt = v = m v = 2 2m 2m L = L 2m (13.16) Keplein 2. laki eli sektoinopeuden vakioisuus takoittaa, että myös (ata)impulssimomentti säilyy. Osoitetaan, että planeetan ataimpulssimomentti pitää olla vakio. Yhtälön (10.26) mukaan L:n muutosnopeus vastaa Auingon planeettaan kohdistaman voiman F vääntömomenttia τ, joka on nolla, koska F : d L dt = τ = F = 0 F on esimekki ns. keskeisvoimasta (cental foce), jolle L säilyy (a) Planeetta P liikkuu ellipsiadalla Auingon () ympäi. (b,c) Planeetan nopeus vaihtelee niin, että P viivan tietyssä ajassa piitämä pinta-ala pysyy vakiona. Koska aina L ja L F, niin ataimpulssimomentin magnitudin lisäksi myös sen suunta säilyy eli ataliike tapahtuu tasossa.

32 Keplein kolmas laki 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Yhtälö (13.12) osoitti, että ympyäadalla satelliitin peiodi eli kietoaika iippuu adan säteestä: T 3/2. Newton osoitti, että tämä pätee myös elliptisille adoille, kun säde kovataan a:lla eli isoakselin puolikkaalla, joten planeetalle Auingon (massa m ) ympäillä: T = 2πa3/2 Gm (13.17) Kietoaika ei siis iipu adan eksentisyydestä e. Asteoidilla hyvin eksentisellä (e 1) adalla, jonka isoakselin puolikas on a, on sama kietoaika kuin planeetalla a-säteisellä ympyäadalla. Ainoa eo on, että asteoidin nopeus muuttuu ei kohdissa ataa mutta planeetan vauhti on vakio kaikissa ympyäadan kohdissa (a) Planeetta P liikkuu ellipsiadalla Auingon () ympäi. (b,c) Planeetan nopeus vaihtelee niin, että P viivan tietyssä ajassa piitämä pinta-ala pysyy vakiona.

33 Keplein kolmas laki 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Esimekki 13.7: Ratanopeudet Missä kohdassa kuvan ataa planeetta liikkuu nopeimmin ja hitaimmin? Mekaaninen enegia säilyy, joten peihelissä (lähimpänä Auinkoa) potentiaalienegia U = Gm m/ on minimissään (suuin negatiivinen avo, kun on pieni) eli positiivinen kineettinen enegia K = 1 2 mv2 ja siis myös vauhti v on suuimmillaan. Aphelissä, kun on suuimmillaan ja U on suuimmillaan (pieni negatiivinen avo), K ja siis myös vauhti on pienimmillään. Esimekki 13.8: Keplein kolmas laki Pallas-asteoidilla kietoaika on T = 4.62 vuotta ja adan eksentisyys on e = Mikä on adan isoakselin puolikas a? Nyt m = kg, T = 4.62 a = s = s. Eksentisyyttä ei nyt tavita, sillä a atkaistaan yhtälöstä (13.17): ( ) a = Gm T 2 1/3 4π = m Etäisyys sopi Masin ja Jupitein välisen asteoidivyön etäisyyteen Auingosta.

34 Keplein kolmas laki 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Esimekki 13.9: Halleyn komeetta Halleyn komeetta liikkuu hyvin elliptisellä adalla Auingon ympäi (kuva 13.20). Peiheli ja apheli etäisyydet ovat km ja km. Lasketaan adan isoakselin puolikas a, eksentisyys e ja kietoaika T. Kuvasta (13.18) nähdään, että isoakseli on peihelin ja aphelin summa, joten: a = ( ) km 2 = km Komeetan etäisyys Auingosta peihelissä on a ea = km eli eksentisyys on e = km a = km km = Kietoajaksi saadaan yhtälöstä (13.17): T = 2πa3/2 = s = 75.4 vuotta Gm Viimeksi komeetta oli lähelle maata 1986 ja seuaavan kean vuonna (a) Halleyn komeetan ata. (b) Halleyn komeetta vuonna 1986 lähellä Maata.

35 Massakeskipiste planeettojen liikkeessä 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Aiempi käsittely olettaa, että Auinko pysyy paikoillaan, kun planeetat kietävät sitä. Koska planeetta kuitenkin vaikuttaa Auinkoon samalla voimalla kuin Auinko siihen mutta vastakkaiseen suuntaan, kummatkin kietävät todellisuudessa yhteistä massakeskipistettä (kuva 13.12). Auingon massa on kuitenkin n. 750 ketaa kaikkien planeettojen massojen yhteenlaskettu massa, joten Auinkokunnan massakeskipiste on hyvin lähellä Auingon keskipistettä. Hekillä teleskoopeilla voidaan kuitenkin havaita kaukaisten tähtien näennäistä huojumista massakeskipisteen ympäillä ja siten epäsuoasti havaita planeettoja, jotka ovat liian himmeitä nähtäväksi suoaan. Newtonin planeettaliikkeiden analyysi ja lopputulos, että niihin pätevät samat lait kuin maanpäällisiin ilmiöihin eli ns. Newtonilainen synteesi (Newtonian synthesis) on eäs mekittävimmistä yhtenäistävistä peiaatteista tieteessä. Välittömän ympäistömme tieteellisen tutkimuksen tulokset voidaan siis yleistää suoaan maailmankaikkeuden mittakaavan käsittelyyn Tähti ja planeetta liikkuvat adoillaan yhteisen massakeskipisteen ympäillä.

36 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Pistemassa pallomaisen kuoen ulkopuolella Osoitetaan, että kahden pallomaisen massajakauman gavitaatiovuoovaikutus voidaan käsitellä niiden keskipisteissä olevien kokonaismassojen vuoovaikutuksena. Newton venytti gavitaatiolakinsa julkaisuaan vuosia ennen kuin sai tämän todistettua. Pallonkuoen engaselementin (kuva 13.22) kaikki massapisteet m i ovat samalla etäisyydellä s pallon ulkopuolella olevasta massasta m pisteessä P, joten niiden välinen gavitaatiopotentiaalienegia on U i = Gmm i s. Koko enkaan massa on dm = i m i, joten sen potentiaalienegia du = i U i on: du = i ( Gmm ) i = Gm s s i Gm dm m i = s (13.18) Koska enkaan leveys on R dφ ja kehä 2πR sin φ, saadaan enkaan pinta-alaksi da = 2πR 2 sin φ dφ Massapisteen m vuoovaikutus pallonkuoen elementin kanssa.

37 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Pistemassa pallomaisen kuoen ulkopuolella Renkaan massan dm ja koko ohuen pallonkuoen massan M suhde on sama kuin pinta-alojen suhde: dm M = 2πR2 sin φ dφ 4πR 2 = 1 sin φ dφ (13.19) 2 Pistemäisen massan m ja enkaan välinen gavitaatiopotentiaalienegia on siten: GMm sin φ dφ du = 2s (13.20) josta kokonaisenegia saadaan integoimalla. Kijoitetaan integandi yhden muuttujan s avulla eli poistetaan iippuvuus kulmasta φ [0, 180 ]. Kuvasta 13.22b saadaan: s 2 = ( R cos φ) 2 + (R sin φ) 2 = 2 2R cos φ + R 2 (13.21) Massapisteen m vuoovaikutus pallonkuoen elementin kanssa.

38 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Pistemassa pallomaisen kuoen ulkopuolella Diffeentioidaan yhtälö (13.21) puolittain muuttujien suhteen: 2s ds = 2R sin φ dφ, jolloin saadaan yhtälöön (13.20) sijoittamalla: du = GMm s ds 2s R = GMm ds (13.22) 2R Integoidaan välillä R s + R: U = GMm 2R +R R U = GMm ds = GMm [( + R) ( R)] (13.23) 2R (13.24) Potentiaali on siis sama kuin jos pallonkuoen massa olisi sen keskipisteessä. Koska gavitaatiovoima on F = du/d, myös voima voidaan laskea samoin Massapisteen m vuoovaikutus pallonkuoen elementin kanssa.

39 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Pallomaisten massojen välinen gavitaatiovoima Koska pallosymmetinen massajakauma voidaan ajatella sisäkkäisten pallonkuoien yhdistelmänä, saadaan myös kokonaisvoima pallonkuoien aiheuttamien voimien supepositiona. Eli minkä tahansa pallosymmetisen massajakauman ja pistemassan gavitaatiovuoovaikutus saadaan keskittämällä pallon massa sen keskipisteeseen. Newtonin 3. lain mukaan pistemassa m aiheuttaa saman voiman pallosymmetiseen massajakaumaan M. Jos siis pistemassa m vaihdetaan pallosymmetiseksi massajakaumaksi saman pisteen P ympäille, sama vuoovaikutus on kahden pallosymmetisen massajakauman m ja M välillä Massapisteen m vuoovaikutus pallonkuoen elementin kanssa.

40 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Pistemassa pallomaisen kuoen sisäpuolella Kuva esittää tilannetta, kun massapiste m on pallosymmetisen massajakauman sisällä. Tilanne on muuten sama kuin pisteelle ulkopuolella mutta integointiväli muuttuu välille R s R + : U = GMm 2R R+ R U = GMm R ds = GMm [(R + ) (R )] (13.25) 2R (13.26) Nyt potentiaali ei iipu etäisyydestä pallon keskipisteestä,, vaan pallon säteestä R eli potentiaali on vakio sen sisällä. Kun siis pistemassa m liikkuu pallonkuoen sisällä, siihen ei tehdä työtä, joten siihen kohdistuva voima on nolla. Pistemassaan m vaikuttava voima pallosymmetisen massan sisällä voidaankin yleisesti laskea siten, että otetaan huomioon vain säteen sisällä olevan massajakauman vaikutus laittamalla se pallon keskipisteeseen Massapisteen m vuoovaikutus pallonkuoen elementin kanssa pallon sisällä.

41 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Pistemassa pallomaisen kuoen sisäpuolella Esimekki 13.10: Matka maan keskipisteeseen Poaamme eiän Maapallon läpi sen keskipisteen kautta ja pudotamme kijepaketin eikään. Johdetaan yhtälö, joka kuvaa kijepakettiin kohdistuvaa gavitaatiovoimaa, kun Maan tiheys oletetaan vakioksi (ei kovin ealistista). Pakettiin kohdistuva voima iippuu ainoastaan keskipiste-etäisyyden sisäpuolella olevasta Maan massasta M keskitettynä keskipisteeseen. Tasanjakautuneelle pallosymmetisellä massajakaumalla massa M iippuu suoaan pallon tilavuudesta, joten sen suhde Maan M massaan m E on: = 4 3 π3 m 4 = 3 E 3 πr3 R E E 3 M = m 3 E R E 3 Gavitaatiovoima m-massaiseen ( ) kijepakettiin on: F g = GMm 2 = Gm 2 m 3 E R E 3 = Gm Em R E 3 Eli pallon sisällä voima on suoaan veannollinen etäisyyteen keskipisteestä. Pinnalla = R E, joten F g = Gm Em R E 2 kuten pitääkin Reikä keskipisteen kautta Maan läpi.

42 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Koska Maapallo pyöii, se ei takalleen ottaen ole inetiaalikoodinaatisto, joten kappaleen kokema painovoima ei ole sama kuin Maan gavitaatiovetovoima eli ns. todellinen paino (tue weight) w 0. Kuva esittää tilannetta, jossa kolme havaitsijaa pitelee jousivaakaa, joka havaitsee jännitysvoiman F ja siten sitä vastaavan paikasta iippuvan näennäisen painon (appaent weight) w. Pyöivässä koodinaatistossa kappale siis ei ole takalleen ottaen täysin tasapainossa. Pallosymmetisen Maan appoksimaatiossa todellisen painon magnitudi kaikkialla Maan pinnalla on w 0 = w 0 = Gm E m/r 2 R. Navoilla ei olla pyöivässä koodinaatistossa, joten näennäisen paino on sama kuin todellinen eli w = w Voimat ja kiihtyvyydet ei paikoissa pyöivällä Maapallolla.

43 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Ekvaattoilla kappale liikkuu R E -säteistä ympyää vauhdilla v, joten voimien summana saatavan, sisäänpäin suuntautuvan, nettovoiman pitää vastata keskeiskiihtyvyyttä: F i = w 0 + F = m a ad w 0 F = mv2 R E Näennäinen paino w vastaa suuuudeltaan jännitysvoimaa F mutta on vastakkaissuuntainen, joten: Pallosymmetisen Maan ekvaattoilla kiihtyvyys on (465 m/s) m v 2 = R E = m/s 2 pienempi kuin todellinen gavitaatiokiihtyvyys, joka havaitaan navoilla. w = F = w 0 mv2 R E (13.27) Jos Maa ei pyöisi, vapaa kappale olisi vapaassa pudotuksessa g 0 = w 0 /m. Pyöimisen vuoksi siihen kohdistuu kiihtyvyys g = g 0 a ad, jonka suuuus saadaan yhtälöstä (13.27): g = w/m = g 0 v2 R E. Ekvaattoilla (Maan pyöähdysaika T = s, kun ei huomioida ataliikettä Auingon ympäi) vauhti on: v = 2π( m) s = 465 m/s Voimat ja kiihtyvyydet ei paikoissa pyöivällä Maapallolla.

44 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Ekvaattoin ja napojen välisillä alueilla todellinen paino w 0 ja keskihakuvoima eivät vaikuta samansuuntaisesti, jolloin tavitaan vektoiyhtälö näennäiselle painolle (kuva 13.25): w = w 0 m a ad = m g 0 m a ad (13.28) Kiihtyvyys g on m/s 2 pienempi kuin g 0. Näennäisen painon suunta poikkeaa todellisen painovoiman suunnasta pienen kulman β 0.1 vean (enemmän pyöimisakselin suuntaiseksi). Taulukossa on näennäisiä gavitaatiokiihtyvyyksiä g ei leveyspiieillä. Vaihteluun vaikuttaa myös Maan epäsäännöllinen muoto, paikalliset tiheysvaihtelut ja kokeuseot.

45 Pakonopeus tähdeltä Luku 13: Gavitaatio (L8) 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Vaikka musta aukko (black hole) on pohjimmiltaan Einsteinin yleisen suhteellisuusteoian heiniä, myös Newtonilainen mekaniikka voi selventää sen peusteita. Auingon (M = kg, R = m) keskitiheys on ρ = M V = 1410 kg/m3 ja sen lämpötila vaihtelee 5800 K (pinta) ja K (ydin) välillä eli aine ei ole nestemäisessä tai kiinteässä olomuodossa. iitä huolimatta gavitaatiovoiman vuoksi kaasun keskitiheys Auingossa on 41% suuempi kuin veden ja 1200 ketaa suuempi kuin ilman Maapallolla. Pakonopeus Auingon pinnalta voidaan avioida Esimekin 13.5 mukaan, kun M = ρv = ρ ( 4 3 πr3) : v = 2GM 8πGρ R = R (13.29) 3 Kappaleen massasta iippumaton pakonopeus v = m/s = km/h, joka on noin valonnopeudesta. Yhtälön (13.29) mukaan pakonopeus saman keskitiheyden ρ tähdille iippuu suoaan tähden säteestä R eli jos tähden säde olisi 500-ketainen Auingon säteeseen veattuna, pakonopeus olisi suuempi kuin valonnopeus c. John Mitchell huomasi tämän jo 1793 ja oli ensimmäinen, joka ehdotti nykyisin mustaksi aukoksi kutsumaamme kappaletta, josta emittoituva valo palaisi takaisin sitä kohti.

46 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen chwazschildin säde ja tapahtumahoisontti Yhtälön (13.29) mukaan M-massainen kappale on musta aukko, jos sen sade R on sama tai pienempi kuin tietty kiittinen säde. Asettamalla v = c saadaan oikea tulos kiittiselle säteelle mutta vain sattumalta, sillä silloin tehdään kaksi toisensa täysin kompensoivaa vihettä. Valon kineettinen enegia ei ole mc 2 /2 (valolla ei ole massaa) ja mustan aukon gavitaatiopotentiaalienegia ei ole yhtälön (13.9) mukainen ( GMm/). Kal chwazschild johti vuonna 1916 Einsteinin yleisestä suhteellisuusteoiasta kiittisen säteen, ns. chwazschildin säteen R lausekkeen, joka sattuu olemaan sama kuin yhtälö (13.29), kun v = c: c = 2GM R = 2GM R c 2 (13.30) Jos kappaleen (massa M) säde on pienempi kuin R, mikään kappale, eikä myöskään valo, voi kaata kappaleen pinnalta (säteen R sisältä) eli kappale on musta aukko.

47 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen chwazschildin säde ja tapahtumahoisontti Mustaa aukkoa (kuva 13.26) ympäöivää R -säteistä pallonpintaa sanotaan tapahtumahoisontiksi (event hoizon), sillä sen sisäpuolelta ei voida havaita tapahtumia, koska infomaatio (fotonien välittämä) ei pääse sieltä kakaamaan. Ulkopuolinen havaitsija voi ainoastaan mitata mustan aukon massan (gavitaatiovoimista), sähköisen vaauksen (sähköisistä voimista) ja impulssimomentin (pyöivä musta aukko venyttää avauutta ympäillään ja samalla aahaa avauuden kappaleita mukanaan) aiheuttamia ilmiöitä. Kun kappale joutuu tapahtumahoisontin sisälle, kaikki infomaatio siitä menetään chwazschildin säde R ja valon (a) kakaaminen (R > R ) ja (b) jääminen (R < R ) kappaleelle.

48 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen chwazschildin säde ja tapahtumahoisontti Esimekki 13.11: Musta aukko Astofysiikan teoian mukaan loppuun palanut tähti, jonka massa on vähintään kolmen Auingon vean, omahtaa omasta gavitaatiostaan johtuen mustaksi aukoksi. Mikä sen tapahtumahoisontin säde on? Lasketaan siis chwazschildin säde (M = 3( kg) = kg): R = 2GM c 2 = 2( N m 2 /kg 2 )( kg) ( m/s) 2 = m = 8.9 km Tällaisen mustan aukon keskitiheys on: ρ = M 4 = kg 3 πr3 4 3 π( m) = kg/m 3 joka on noin ketaa nomaali mateian tiheys (atomin ytimen tiheys). Oikeastaan mikään ei estä kappaleen omahtamista edelleen ja massa päätyykin lopulta yksittäiseksi pisteeksi, singulaiteetiksi, tapahtumahoisontin keskipisteeseen. Pisteen tilavuus on nolla, joten tiheys on ääetön.

49 Vieailu mustaan aukkoon 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Katsokaa Intestella! Kaukana mustasta aukosta Newtonin gavitaatiolait ovat voimassa, kuten tavallisillekin saman massaisille objekteille. Lähellä tapahtumahoisonttia asiat muuttuvat damaattisesti johtuen suhteellisuusteoeettisista efekteistä. Kun astonautti lähestyy tapahtumahoisonttia, hänen lähettämänsä adiosignaali kokee gavitaatiopunasiitymän (gavitational ed shift) eli ulkopuolisen havaitsijan pitää viittää vastaanotintaan jatkuvasti kohti matalampia taajuuksia. Tämä johtuu siitä, että astonautin aika kuluu sitä hitaammin veattuna ulkopuolisen havaitsijan aikaan mitä lähempänä astonautti on tapahtumahoisonttia. Tämän ns. aikadilataation (time dilation) vuoksi astonautti vanhenee huomattavan hitaasti ja ulkopuoliset havaitsijat eivät ehtisi havaita hänen saapumistaan tapahtumahoisonttiin ihmisen eliniän aikana. Astonautti saavuttaa omasta mielestään tapahtumahoisontin vasin nopeasti mutta kehon ei osiin kohdistuvat eisuuuiset gavitaatiovoimat venyttäisivät kehoa kohti keskipistettä ja puistaisivat kohtisuoassa suunnassa. Nämä ns. vuoovesivoimat episivät kehon atomeiksi ja atomit edelleen osiinsa ennen tapahtumahoisonttia.

50 Mustien aukkojen havaitseminen 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Vaikka itse mustasta aukosta ei valo pääse kakuun ja sitä ei voi siis havaita suoaan, voidaan sen ympäillä pyöivä ketymäkiekko (accetion disk) havaita. iinä esim. vieeisestä auingosta (kuva 13.27) peäisin oleva kaasu ja pöly menettävät mekaanista enegiaansa kitkan vuoksi ja putoavat vähitellen kohti mustaa aukkoa. amallla mateia tihenee ja kuumenee jopa yli T = 10 6 K lämpötilaan, jolloin se emittoi näkyvän valon lisäksi myös voimakasta öntgensäteilyä ennen tapahtumahoisonttia, jota on havainnoitu useista kohteista. Tällaisten mustien aukkojen massa on muutamia ketoja Auingon massa Mustan aukon lähellä oleva tähti menettää mateiaa mustalle aukolle.

51 Mustien aukkojen havaitseminen 13.7 Näennäinen paino ja maapallon pyöiminen Lisäksi jatkuvasti saadaan lisää todisteita ns. supemassiivisista mustista aukoista (supemassive black holes). Eäs tällainen on oman galaksimme, Linnunadan (Milky Way), keskuksessa n valovuoden päässä Jousimiehen (agittaius) tähdistön suunnassa oleva kohde. iellä otetuista kuvista (kuva 13.28) nähdään, että useat tähdet liikkuvat adiolähteen g A ympäillä jopa 1500 km/s nopeuksilla. Ratoja analysoimalla saadaan niiden peiodi T selvitettyä ja Keplein 3. lakia (13.17) käyttäen voidaan laskea tuntematon massa: T = 2πa3/2 m X = 4π2 a 3 GmX GT 2. On esitetty, että jopa 10 9 ketaa Auingon massaisia mustia aukkoja voisi esiintyä toisten galaksien keskipisteissä Linnunadan keskuksen ympäillä 13 vuoden aikana liikkuneiden tähtien adat. Niiden mukaan keskuksessa on kg eli ketaa Auingon massainen näkymätön objekti. en tapahtumahoisontin cwatzschildin säteeksi on avioitu m eli alle 0.1 AU. (1 AU = m)

52 1 2 2 between spheical mass distibutions, as planets with foces invesely popotional to such focesokeplein. These 13.5 stas, same as if allpai the mass of each distibution fom is anthe action eaction and obey Newton s thid lait ja planeettojen liike Fg (1 on 2) Luku 13: Gavitaatio (L8)potential 13.6 Pallomaiset Gavitational foce, weight, gavitational Eath, mass Em mmassajakaumat GmGm Gavitational foce, andogavitational potential Eath, massmmee wee concentated atand the bodies cente.exet (ee gavitational Examples foces law.weight, When two moe (N) wf= =Fg = E paino (13.3) pyo iminen Luku 13: Gavitaatio (L9)gavitational 13.7 ja maapallon wwf (N) w =Na enna inen (13.3) g (1 on 2) 5 Fg (2 on 1) m2 2 enegy: The weight w13.10.) of aisbody is the total enegy: The weight of aand body thetotal total gavitational on aw paticula body, the gavitational foce on that g RE RE2RE R mm E 13.8 Mustat aukot foce exeted on it by all othe bodies in the univese. body is the vecto sum of the foces exeted (weight at eath s suface) foce exeted on individual it by all othe bodies in the univese. mass m mass m Nea theby suface of the eaththe 1mass m E and adius RE2, (weight at eath s suface) the othe bodies. gavitational inteaction Nea the sufacegavitational of the eathfoce, adius RE2,potential 1mass m E and Gm E m weight, andgavitational gavitational Eath, mass me the weight is essentially to the E between spheicalequal distibutions, such asfoce planets o GmwGm w (N) (13.3) the weight is essentially equal to mass theofgavitational focegavitational (13.4) g = E =2 Fg = w 5 Gm E m/6 2 2 enegy: The weight body is the total of the eath alone. The gavitational potential enegy Ug = RE2 stas, is the same as w if all athe mass of each distibution RE m/m (13.4) w Gm E 2 RE of the eath alone. The gavitational potential enegy U foce exeted on it by all othe bodies in the univese. R of two masses m and m E sepaated by a(ee distance is wee concentated at the cente. Examples E(weight atdue eath s suface) mass m (acceleation to the eath andisadius RE2, 1mass enegy me is of two masses mnea and m Esuface sepaated by a distance and ) invesely popotional toof.the The potential (acceleation due to 0 (3 106 m) eath s suface) the weight is The essentially equalenegy to the gavitational focegavity atgm E inveselyneve popotional to. potential is 6 m) 0 (3 positive; it is zeo only when the two bodies (13.4) = gavity atg eath s suface) w 5 RGm 26 m) 0 2 /10 E m10 E (3 eath alone. Thethe gavitational potential enegy U REE2m neve positive; itofisthe zeo only when two bodies Gm ae infinitely fa apat. (ee Examples 13.4 and 13.5.) 0 2 RE ( m) of two massesfoce, m andweight, m E sepaated by a distance is U =Gm (13.9) m Gm Gavitational and gavitational potential Eath, mass m E E Newtonin gavitaatiolaki (acceleation due to adat (13.3) atelliittien ae infinitely fa apat. (ee Examples 13.4 and 13.5.) Em w (N) invesely popotional to. The potential enegy isu = - w = Fg = 6 (13.9) 13. luvun yhteenveto UMMARY enegy: The weight w of a body is the total gavitational gavity at eath s 0 (3 RE2 suface) RE m m) neve positive; it is zeo only when theintwo thebodies univese. 0 2 RE ( m) Gm 1 m 2 foce exeted on it by all othe bodies (weightgm at eath s suface) m mass m ae infinitely fa apat. and 13.5.) Em Nea the suface of the(ee eathexamples and adius 1mass m1 E13.4 RE2, (13.1) F g (2 on 1) U = (13.9) 2 Obits: When a satellite moves equal in a cicula obit, the foce Gm the weight is essentially to the gavitational Gm v E E (13.4) potional to 2. These foces w5 Gm E m/ 2 v =g = centipetal acceleation isinthe povided byobit, the gavitational Fg (1 onu2) UMMARY of the eath alone. gavitational potential m1 asatellite Obits: When moves a cicula the enegy B E RE2 Gm v pai and obey Newton s thid (13.1) attaction the1) eath. Keple s lawsby descibe thevis = Fgof(2oftwo masses m and m sepaated a distance E thee on centipetal acceleation is povided by the gavitational to (speed obit) (13.10) a Fg Gm 1 m bodies exet gavitational foces 2 with in cicula due B (acceleation moe(13.1) geneal case: anma1elliptical obit of aa planet aound invesely popotional tomoves. The Obits: When satellite inpotential cicula obit,isthe m 6 m) Fdescibe Fenegy Fg = 0 (3 10v Fg (2 on Gm g (1 on 2) 5 the g (2 on 1) gavity at eath s suface) E attaction of the eath. Keple s thee laws 1) 2 2 total gavitational foce on that each othewith = Gm 1 m 2 v obit) (13.10) m neve positive; it1is zeo when the twogavitational bodies(speed invcicula centipetal isonly povided the the sun o a satellite aound a planet. (eeby Examples wo bodies F 2 Ra 10 6 m) Facceleation (13.1) E (3F B Gm moe geneal case: an elliptical obit of1) a Examples planet aound a 0g g = cto sum each of theothe foces Fexeted (1 2)Fg (2Keple s on g eat, foces attact ae infinitely faon apat. (ee 13.4descibe and 13.5.) attaction ofgthe eath. laws the Em Fg (1 onthee ) 2 2p 2p 3>2(13.10) 2) (speed cicula obit) U = (13.9)v a 2 Fg R Examples gavitational inteaction (ee the sun o a satellite planet. n s =in2p = o thid. These foces moeaound geneal a case: an elliptical obit of a planet aoundt = E Fg (1 on Fg 2) a v A Gm E 1Gm 3>2 E distibutions, such as planets o ) bey Newton s onal foces thid v 2p 2p the sun o a satellite aound a planet. (ee Examples F1)g (1 on 2) 5 Fg (2 on 1) F 5 F m F R a g (1 on 2) g (2 on 2 m tce gavitational foces g T = = 2p = the mass of each distibution on that (peiod in2p cicula obit) (13.12) 3> )Fg (1 on 2) 5 Fg2(2 on 1) Fg E a 2p m2 vt = A 1Gm tational foce that (ee on Examples = Gm 2p E = E RE scente. exeted Obits: When a satellite moves in a cicula obit, the vgm E A Gm E 1Gm E f the foces exeted v (peiod in cicula obit) (13.12) on v = Fg centipetal acceleation is povided by the gavitational a nal inteaction (peiod (13.12) Bin cicula obit) v planets o F a g attaction of the eath. Keple s thee laws descibe the ns, such as planets o (speed in cicula obit) (13.10) a Fg tibution of each distibution a planet aound m geneal case: an elliptical obit of Gm Emoe and gavitational potential Eath, mass me st, Examples ee w (N) (ee Examples v (13.3) aound a planet. vv F a body is the total gavitational w = Fg = R 2the sun o a satellite a 6 g RE m E ) 2GM 2p 2p 3>2 Black holes: If a nonotating spheical mass distiothe bodies in the univese. = 2p = R =T = 2 RE (weightbution at eath s suface) mass m with total mass M has a adius less than its A Gm E 1Gm E ath 1mass m E and adius RE2, c v Gm E m Gm vitational mass chwazschild adius it ismass called a distiblack mass hole. distira Eath,,Eath, (chwazschild adius)obit) (13.30) Gm equal to potential the gavitational otential mmee spheical E If ablack holes: nonotating (peiod2gm in cicula (13.12) 2GM wif(n) holes: nonotating spheical mass w =foce Fg E=mBlack (13.3) RFg a (13.4) w (N) 2 = the total gavitational w = Fenegy (13.3) w 5 Gm 6anything, g = REm/=2 R2 = 2 Rg gavitational pevents RE adius m 2 avitational potential E avitational bution withinteaction total mass has 6 m itsless than its RThe RUE2 bution c with less than RE 5 M a10 E total mass M has a adius es in the univese. c (weight at eath s suface) including light, fom escaping fom within a sphee mass m sepaated by a distance is nivese. chwazschild it is called a black hole. (chwazschild adius) (13.30) m E and adius R (acceleation due to R, it isadius (weight at eath s suface) R chwazschild adius calledra, black E2, masshole. m (chwazschild adius) (13.30) v R The enegy is Gm E with adius Rgavitational Example ) dius REpotential 2, The inteaction pevents anything, (3 106 m). (ee 0 e.gavitational foce gavity at eath s suface) If all of the body is inside its Eath, mass me pevents The gavitational inteaction anything, (13.4) w5 Gm Efom m/ 2 within a sphee GmgE= only whenenegy the two onal foce including light, fom escaping l potential U bodies w (N) (13.4) chwazschild adius R = 2GM/c2, 0 2 RE ( m) RE2 2 g = (13.3) w 5 Gm m includinggm light, fomadius escaping withine a/ sphee ) ee and by Examples a distance is enegy U 13.4 Em. (ee 6fom theifbody blackishole. RE(acceleation R with R10 m Example ) due all ofisthea body inside its U to = (13.9) ential with adius R. E(ee Example ) ce isenegy is (acceleation m) mass disti2gm gavitydue at eath s chwazschild R =its 2GM/c2, If all of the bodyadius is inside to suface) Black holes: 0If a nonotating (spheical R = theistwo bodies uface) massmass gy 0m 2 R 3adius m) 2 the body is a black hole. E((3 bution with total M has a less than its 0 10 m) chwazschild adius R = 2GM c2, gavity at eath s suface) c Gm E m les dies13.4 and 13.5.) U = (13.9) 6 a black hole. chwazschild adius called R2, itris (chwazschild adius) (13.30) the body is a black 0 E (3 10 m) R hole. Gmthe d 13.5.)in a cicula obit, Em moves The gavitational inteaction pevents anything, Gm E(13.9) v U = -(13.4) w 5 Gm 2 escaping fom within a sphee v = E mfom s povided by the gavitational including light, B eple s adius R. (ee Example ) ciculathee obit,laws the descibe the Gm E (speed in ciculawith If all of the body is inside its v obit) (13.10) a Fg th iptical obit of a planet aound on: Any two bodies with MARY tance apat, attact each othe Fg = Gavitaatiovoima, paino ja gavitaatiopotentiaalienegia oby thepettu gavitational Lanttov = B Mustat aukot / / Luentokalvot peustuvat Mekaniikka, kijaan: osa 2 Univesity physics, chwazschild13 adius R Intena = 2GM/c2,

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat

Lisätiedot

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa

Lisätiedot

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5 Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei

Lisätiedot

Keskeisliikkeen liikeyhtälö

Keskeisliikkeen liikeyhtälö Keskeisliikkeen liikeyhtälö L vakio keskeisliikkeessä liike tasossa L Val. L e z liike xy-tasossa naakoodinaatit, joille d dt e d = ϕe ϕ ; dt e ϕ = ϕe = e LY: m = f()e ṙ = ṙe + ϕe ϕ ; = ( ϕ 2 )e +(2ṙ ϕ+

Lisätiedot

Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio

Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä

Lisätiedot

F-y. mrmz. - kappaleiden (vetovoima) OVE LI-TJ TT HTAVIA G HÅVITAATI O LAI TA. ltll. kappaleiden massat ovat mr ja mz (kg)

F-y. mrmz. - kappaleiden (vetovoima) OVE LI-TJ TT HTAVIA G HÅVITAATI O LAI TA. ltll. kappaleiden massat ovat mr ja mz (kg) N' tö OVE L-TJ TT HTAVA G HÅVTAAT O LA TA ltll - kappaleiden (vetovoima) 111 ja ffiz vä!inen gavitaatiovoima Fon F-y mmz kappaleiden massat ovat m ja mz (kg) on kappaleiden keskipisteiden välinen etäisyys

Lisätiedot

Tyhjä pallosymmetrinen avaruus

Tyhjä pallosymmetrinen avaruus Tyhjä pallosymmetinen avauus Yleisen suhteellisuusteoian yhtälöitä on helppo käsitellä silloin kun aika-avauus on lähes tasainen, tai eityisen symmetisissä tapauksissa. Tyhjä pallosymmetinen avauus on

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja

Lisätiedot

Sähkökentät ja niiden laskeminen I

Sähkökentät ja niiden laskeminen I ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Lisätiedot

40 LUKU 3. GAUSSIN LAKI

40 LUKU 3. GAUSSIN LAKI Luku 3 Gaussin laki 3.1 Coulombin laista Gaussin lakiin Takastellaan pistemäisen vaauksen q aiheuttamaa sähkökenttää, joka noudattaa yhtälöä (1.1). Tämän sähkökentän vuo etäisyydellä olevan pienen pintaelementin

Lisätiedot

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

Vedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen

Vedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen 4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka

Lisätiedot

Mekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot

Mekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot Mekaniikka, osa 2 Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat kirjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R. A. Freedman (Pearson, 2012) 7. maaliskuuta 2016 Osa V Luku 13: Gravitaatio

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi

Lisätiedot

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Ajankohtaista Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki 2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka

Lisätiedot

Fysiikkakilpailu , avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA

Fysiikkakilpailu , avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA AVOIN SARJA Kijoita tekstaten koepapeiin oma nimesi, kotiosoitteesi, sähköpostiosoitteesi, opettajasi nimi sekä koulusi nimi. Kilpailuaikaa on 100 minuuttia. Sekä tehtävä- että koepapeit palautetaan kilpailun

Lisätiedot

K = Q C W = T C T H T C. c = 1 dq. f) Isokoorinen prosessi: prosessi joka suoritetaan vakiotilavuudessa

K = Q C W = T C T H T C. c = 1 dq. f) Isokoorinen prosessi: prosessi joka suoritetaan vakiotilavuudessa Sallitut apuvälineet: kijoitusvälineet ja gaafinen laskin. Muun oman mateiaalin tuominen ei sallittu. Tämä on fysiikan kussi, joten desimaalilleen oikeaa numeeista vastausta täkeämpää on että osoitat ymmätäneesi

Lisätiedot

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! 6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Ajan filosofia aika fysiikassa

Ajan filosofia aika fysiikassa Luonnonfilosofian seua Tieteiden talo, Helsinki 15.9.9 Ajan filosofia aika fysiikassa Voidaanko luonnonilmiöitä kuvata absoluuttiajassa? Tuomo Suntola Luonnonfilosofian seua Tieteiden talo, Helsinki 15.9.9

Lisätiedot

yyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk

yyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk I LUOKKAHUONEESSA ENNEN TIETOMAA- VIERAILUA POHDITTAVIA TEHTÄVIÄ Nimi Luokka Koulu yyyyyyyyyy Tehtävä 1. ETSI TIETOA PAINOVOIMASTA JA TÄYDENNÄ. TIETOA LÖYDÄT MM. PAINOVOIMA- NÄYTTELYN VERKKOSIVUILTA. Painovoima

Lisätiedot

Suhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää

Suhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää 3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman

Lisätiedot

5-2. a) Valitaan suunta alas positiiviseksi. 55 N / 6,5 N 8,7 m/s = =

5-2. a) Valitaan suunta alas positiiviseksi. 55 N / 6,5 N 8,7 m/s = = TEHTÄVIEN RATKAISUT 5-1. a) A. Valitaan suunta vasemmalle positiiviseksi. Alustan suuntainen kokonaisvoima on ΣF = 19 N + 17 N -- 16 N = 0 N vasemmalle. B. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Alustan

Lisätiedot

Tarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:

Tarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0: 8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

HARJOITUS 4 1. (E 5.29):

HARJOITUS 4 1. (E 5.29): HARJOITUS 4 1. (E 5.29): Työkalulaatikko, jonka massa on 45,0 kg, on levossa vaakasuoralla lattialla. Kohdistat laatikkoon asteittain kasvavan vaakasuoran työntövoiman ja havaitset, että laatikko alkaa

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta Sähöstatiia ja magnetismi Meaniian etausta Antti Haato 17.05.013 Newtonin 1. lai Massan hitauden lai Jatavuuden lai Kappaleen nopeus on vaio tai appale pysyy paiallaan, jos siihen ei vaiuta voimia. Newtonin

Lisätiedot

Keskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!

Keskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

5 Kentät ja energia (fields and energy)

5 Kentät ja energia (fields and energy) 5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet 2017

Suhteellisuusteorian perusteet 2017 Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit

Lisätiedot

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. KEPLERIN LAI: (Ks. Physic 5, s. 5) Johnnes Keple (57-60) yhtyi yko Bhen (546-60) hintoineiston pohjlt etsimään tinmekniikn linlisuuksi. Keple tiiisti tutkimustyönsä kolmeen lkiins (Keplein lit). I LAKI

Lisätiedot

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman

Lisätiedot

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 6

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 6 Matemaattiset apuneuvot II, hajoitus 6 K. Tuominen 0. joulukuuta 207 Palauta atkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina.2. kello 0:5 mennessä. Mekitse vastauspapeiin laskuhajoitusyhmäsi assain nimi.

Lisätiedot

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1 Mistä aine koostuu? - kaikki aine koostuu atomeista - atomit koostuvat elektroneista, protoneista ja neutroneista - neutronit ja protonit koostuvat pienistä hiukkasista, kvarkeista Alkeishiukkaset - hiukkasten

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

Tykillä ampuminen 2. missä b on ilmanvastuskerroin, v skalaarinen nopeus, nopeus vektorina ja nopeuden suuntainen yksikkövektori.

Tykillä ampuminen 2. missä b on ilmanvastuskerroin, v skalaarinen nopeus, nopeus vektorina ja nopeuden suuntainen yksikkövektori. Tykillä ampuminen Mallinnettaessa heittoliikettä, kuten esimerkiksi tykillä ampumista, keskeisinä vaikuttavina tekijöinä ovat painovoima sekä ilmanvastuksen aiheuttama nopeuelle vastakkaissuuntainen voima.

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian vajavuudesta

Suhteellisuusteorian vajavuudesta Suhteellisuusteorian vajavuudesta Isa-Av ain Totuuden talosta House of Truth http://www.houseoftruth.education Sisältö 1 Newtonin lait 2 2 Supermassiiviset mustat aukot 2 3 Suhteellisuusteorian perusta

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Oppilaiden ennakkokäsityksiä avaruuteen liittyen Aurinko kiertää Maata Vuodenaikojen vaihtelu johtuu siitä,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Ympyrä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat

Ympyrä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat 31.1.017 Ympyä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat GEMETRI M3 Ympyä: Ympyä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat säteen etäisyydellä keskipisteestä. Sanotaan, että ympyä on tällaisten pisteiden

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N

= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää

Lisätiedot

Kryogeniikka ja lämmönsiirto. DEE-54030 Kryogeniikka Risto Mikkonen

Kryogeniikka ja lämmönsiirto. DEE-54030 Kryogeniikka Risto Mikkonen DEE-54030 Kyogeniikka Kyogeniikka ja lämmönsiito 1 DEE-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen 5.5.015 Lämmönsiion mekanismit '' q x ( ) x q '' h( s ) q '' 4 4 ( s su ) DEE-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen 5.5.015

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen

Lisätiedot

9 Klassinen ideaalikaasu

9 Klassinen ideaalikaasu 111 9 Klassinen ideaalikaasu 9-1 Klassisen ideaalikaasun patitiofunktio Ideaalikaasu on eaalikaasun idealisaatio, jossa molekyylien väliset keskimäääiset etäisyydet oletetaan hyvin suuiksi molekyylien

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Magneettikenttä. Magneettikenttä on magneettisen vuorovaikutuksen vaikutusalue. Kenttäviivat: Kenttäviivojen tiheys kuvaa magneettikentän voimakkuutta

Magneettikenttä. Magneettikenttä on magneettisen vuorovaikutuksen vaikutusalue. Kenttäviivat: Kenttäviivojen tiheys kuvaa magneettikentän voimakkuutta Magneettikenttä Magneettikenttä on magneettisen uooaikutuksen aikutusalue Magneetti on aina dipoli. Yksinapaista magneettia ei ole haaittu (nomaaleissa aineissa). Kenttäiiat: Suunta pohjoisnaasta (N) etelänapaan

Lisätiedot

Fysiikka 1. Dynamiikka. Voima tunnus = Liike ja sen muutosten selittäminen Physics. [F] = 1N (newton)

Fysiikka 1. Dynamiikka. Voima tunnus = Liike ja sen muutosten selittäminen Physics. [F] = 1N (newton) Dynamiikka Liike ja sen muutosten selittäminen Miksi esineet liikkuvat? Physics Miksi paikallaan oleva 1 esine lähtee liikkeelle? Miksi liikkuva esine hidastaa ja pysähtyy? Dynamiikka käsittelee liiketilan

Lisätiedot

Matematiikan kurssikoe, Maa 9 Integraalilaskenta RATKAISUT Torstai A-OSA

Matematiikan kurssikoe, Maa 9 Integraalilaskenta RATKAISUT Torstai A-OSA Matematiikan kussikoe, Maa 9 Integaalilaskenta RATKAISUT Tostai..8 A-OSA Sievin lukio. a) Integoi välivaiheineen i) (x t ) dt ii) x dx. b) Määittele integaalifunktio. c) i) Olkoon 5 f(x) dx =, f(x) dx

Lisätiedot

Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4

Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4 MAB: Ympyä 4 Aluksi Tämän luvun aihe on ympyä. Ympyä on yksi geometisista peusmuodoista ja on sinulle ennestään hyvinkin tuttu. Mutta oletko tullut ajatelleeksi, että ympyää voidaan pitää säännöllisen

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia-

Lisätiedot

Sähköpotentiaali. Haarto & Karhunen.

Sähköpotentiaali. Haarto & Karhunen. Sähköpotentiaali Haato & Kahunen www.tukuamk.fi Johantoa Kun vaaus q on sähkökentässä siihen vaikuttaa voima Saman suuuinen voima tavitaan siitämään vaausta matkan sähkökentän aiheuttamaa voimaa vastaan

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan

Lisätiedot

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen Vuorovaikutus on yksi keskeisimmistä fysiikan peruskäsitteistä

Lisätiedot

FYSA2010/2 VALON POLARISAATIO

FYSA2010/2 VALON POLARISAATIO FYSA2010/2 VALON POLARISAATIO Työssä tutkitaan valoaallon tulotason suuntaisen ja sitä vastaan kohtisuoan komponentin heijastumista lasin pinnasta. Havainnoista lasketaan Bewstein lain peusteella lasin

Lisätiedot

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022

Lisätiedot

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot