Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto"

Transkriptio

1 Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011

2 Sisältö 1 Laskutoimitukset Työkalu: Joukot ja kuvaukset Joukko Kuvaukset Laskutoimituksen määritelmä Perusominaisuuksia Neutraali- ja käänteisalkiot Ryhmä Ryhmän määritelmä Merkintöjä Monoidit Ryhmien laskutoimitustaulut Aliryhmä Symmetrinen ryhmä Permutaatiot Symmetrisen ryhmän määritelmä Syklit Ryhmä S Lisätieto: alternoiva ryhmä Ryhmien teoriaa Virittäminen

3 SISÄLTÖ Yhden alkion virittämät aliryhmät Useamman alkion virittämät aliryhmät Työkalu: Lukuteoriaa Jaollisuus Eukleideen algoritmi Alkuluvut Kongruenssi Sykliset ryhmät Jäännösluokkaryhmä Z n Syklisten ryhmien aliryhmät Työkalu: Ekvivalenssirelaatio Sivuluokat ja Lagrangen lause Sivuluokat Lagrangen lause Lagrangen lauseen sovelluksia Renkaat Rengas Renkaiden ominaisuuksia Alirengas Yksiköt Kunta Kokonaisalue Karakteristika Tekijärakenteet Tekijäryhmä Sivuluokkien laskutoimitus Normaali aliryhmä Tekijäryhmä

4 4 SISÄLTÖ Normaalien aliryhmien ominaisuuksia Toinen lähestymistapa Tekijärengas Ideaali Tekijärengas Toinen lähestymistapa Ideaalien teoriaa Virittäminen Kunnat ja maksimaaliset ideaalit Homomorfismit Ryhmähomomorfismi Ryhmien isomorfisuus Ryhmähomomorfismien ominaisuuksia Syklisten ryhmien homomorfismeista Ryhmien homomorfialause Miten homomorfismeista saadaan isomorfismeja Rengashomomorfismi Renkaiden isomorfisuus Rengashomomorfismien ominaisuuksia Homomorfismit ja tekijärenkaat Polynomit Polynomirengas Polynomin määritelmä Polynomien ominaisuuksia Polynomien jaollisuudesta Juuret ja jaollisuus Rationaalijuuret

5 SISÄLTÖ 5 7 Liite: Symmetrioista Neliön symmetriaryhmä Diedriryhmät Platonin kappaleiden symmetriaryhmät

6 Luku 1 Laskutoimitukset 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset Algebralliset rakenteet muotoillaan joukko-opin käsitteiden avulla, joten niiden hallitseminen on algebran ymmärtämisen kannalta välttämätöntä. Tässä luvussa esitellään joukko-opin käsitteistä ja merkinnöistä erityisesti ne, joita tarvitaan algebrassa. Lukua ei välttämättä kannata lukea kokonaan heti aluksi, vaan siihen voi palata aina silloin, kun joukko-opin käsitteet tarvitsevat selvennystä Joukko Joukko on hyvinmääritelty kokoelma olioita, joita kutsutaan sen alkioiksi. Joukko on annettu, kun kaikki sen alkiot tunnetaan, eli jokaisesta oliosta tiedetään, kuuluuko se joukkoon vai ei. Esimerkiksi seuraavat ovat joukkoja: N (luonnolliset luvut eli luvut 0, 1, 2,... ) Z (kokonaisluvut) Q (rationaaliluvut) R (reaaliluvut) {0,1,2,3} (joukko, jonka alkioita ovat luvut 0, 1, 2 ja 3) {porkkana, lanttu, nauris} 6

7 1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 7 Olio voi olla jonkin tietyn joukon alkio vain yhden kerran. Joskus saatetaan jostakin syystä joutua kirjoittamaan jokin joukon alkio useampaan kertaan, esimerkiksi {0, 1, 2, 2}. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että joukossa olisi kaksi kakkosta, vaan kyseessä on joukko {0, 1, 2}. Olkoon A joukko. Jos a kuuluu joukkoon A, niin käytetään merkintää a A. Jos a ei kuulu joukkoon A, niin merkitään a / A. Esimerkiksi 1 N ja 1 / N. Joukot A ja B ovat samat, jos niissä on täsmälleen samat alkiot, eli a A jos ja vain jos a B. Tällöin merkitään A = B. Joukko B on joukon A osajoukko, jos kaikilla b B pätee b A. Tällöin merkitään B A. Vaihtoehtoisesti voidaan kirjoittaa A B. Jos joukko B ei ole A:n osajoukko, niin merkitään B A. Esimerkiksi N Z ja {0, 1, 2 } Z. Joukko 3 B on joukon A aito osajoukko, jos B A ja B A. Jos halutaan korostaa sitä, että B on aito osajoukko, voidaan käyttää merkintää B A. Jos on todistettava, että joukko B on joukon A osajoukko, niin otetaan mielivaltainen alkio joukosta B ja osoitetaan, että se on joukossa A. Jos halutaan todistaa, että joukot A ja B ovat samat, niin on osoitettava, että A B ja B A. Tyhjä joukko on joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota. Se on jokaisen joukon osajoukko. Jos joukko ei ole tyhjä, sitä kutsutaan epätyhjäksi. Joukkoa, jossa on vain yksi alkio kutsutaan yksiöksi. Jos joukon alkiot voidaan määritellä jonkin ehdon avulla, voidaan joukolle käyttää merkintää {a ehto, jonka a toteuttaa}. Tällöin joukkoon kuuluvat kaikki ne alkiot, jotka toteuttavat annetun ehdon. Esimerkiksi joukko {x R x > 0} sisältää kaikki positiiviset reaaliluvut. Joukkoja voidaan ajatella ämpäreinä, joissa on tavaroita. (Tässä ajattelutavassa on tiettyjä puutteita, mutta emme huolehdi niistä nyt.) Tyhjä joukko on tyhjä ämpäri. Kolmen alkion joukko voi olla esimerkiksi ämpäri, jossa on porkkana, lanttu ja nauris. Jos ämpäristä otetaan vihanneksia pois, saadaan aikaan alkuperäisen joukon osajoukko. Eräs osajoukko on siis ämpäri, jossa on vain porkkana ja lanttu. Jos ämpäristä otetaan kaikki tavarat pois, niin jäljelle jää tyhjä ämpäri. Tyhjä joukko on siis jokaisen joukon osajoukko. Olkoon a joukon A alkio. On tärkeää ymmärtää ero merkintöjen a ja {a} välillä. Edellisessä merkinnässä on kyse alkiosta a ja jälkimmäisessä taas A:n osajoukosta, joka sisältää alkion a. Aivan kuten porkkana ja ämpäri, jossa on porkkana, ovat eri asioita. Samalla tavoin ja { } eivät ole sama asia. Edellinen on tyhjä ämpäri, ja jälkimmäinen saavi, jossa on tyhjä ämpäri. Myös merkintöjen a A ja a A ero on oleellinen. Tarkastellaan joukkoa A = {{0}, {1}}. Sen alkioita ovat siis joukot {0} ja {1}, joten {0} A ja {1} A.

8 8 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Toisaalta {0} A. Jos nimittäin {0} A, niin silloin jokaisen joukon {0} alkion pitäisi olla myös joukon A alkio. Joukon {0} ainoa alkio on 0, mutta se ei ole joukon A alkio, ja siksi {0} A. Jos sen sijaan tutkimme joukkoa B = {0, 1}, niin {0} B, mutta {0} B. Ämpäreillä ilmaistuna merkintä a A tarkoittaa sitä, että ämpärissä A on tavara a. Merkintä a A puolestaan tarkoittaa, että a ja A ovat ämpäreitä, joissa on samoja tavaroita, mutta a:ssa niitä on mahdollisesti vähemmän kuin A:ssa. Joukko-operaatiot Joukkojen A ja B yhdiste on joukko A B = {x x A tai x B}. Joukkojen A ja B leikkaus on joukko A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B erotus on joukko A \ B = {x A x / B}. Esimerkiksi joukkojen A = {0, 1, 2} ja B = {1, 3} yhdiste on A B = {0, 1, 2, 3}, leikkaus A B = {1} ja erotus A \ B = {0, 2}. A B A B A B A B A B A \ B Kuva 1.1: Joukko-operaatioita. Usein tarkastellaan jotain tiettyä perusjoukkoa E sekä sen osajoukkoja. Tällöin joukon A E komplementti (joukon E suhteen) on joukko A C = E\A. Esimerkiksi joukon {0, 1, 2} komplementti joukon N suhteen on {3, 4, 5,... }. Yhdiste ja leikkaus voidaan yleistää koskemaan useampaa kuin vain kahta joukkoa. Olkoon I joukko, jota kutsutaan indeksijoukoksi, ja olkoon jokaista i I kohti annettu joukko A i. Joukkojen A i yhdiste on joukko A i = {a a A i jollakin i I}. i I

9 1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 9 E A C A Kuva 1.2: Komplementti. Joukkojen A i leikkaus on joukko A i = {a a A i kaikilla i I}. i I Jos indeksijoukko on muotoa I = {n, n + 1,..., m} joillakin n, m N, niin voidaan kirjoittaa m A i = A i. i I Jos esimerkiksi indeksijoukkona on I = {1, 2, 3} ja oletamme, että A 1 = {0, 1, 2}, A 2 = {0, 2, 4} ja A 3 = {1, 2, 3}, niin A i = i I i=n 3 A i = A 1 A 2 A 3 = {0, 1, 2, 3, 4} i=1 ja 3 A i = A i = A 1 A 2 A 3 = {2}. i I i= Esimerkki. Todistetaan esimerkin vuoksi seuraava joukkoja koskeva tulos: Jos B A, niin A B = A. Todistuksesta käy ilmi, kuinka joukkoja käsitellään. On siis osoitettava, että A B A ja A A B. : Oletetaan, että a A B, ja osoitetaan, että a A. Oletuksen nojalla a A tai a B. Jos a A, niin väite tietenkin pätee. Jos taas a B, niin ehdosta B A seuraa, että a A. Siten a A ja edelleen A B A.

10 10 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET : Oletetaan, että a A ja osoitetaan, että a A B. On siis osoitettava, että a A tai a B. Koska oletimme, että a A, niin väite on totta. Siten A A B. Koska A B A ja A A B, niin A B = A. Joukko-operaatioille pätevät seuraavat lait Lause (Osittelulait). A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Lause (de Morganin lait). (A B) C = (A C B C ) (A B) C = (A C B C ) Todistus. Lauseiden todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Joukon A potenssijoukko P(A) on sen kaikkien osajoukkojen muodostama joukko. Esimerkiksi joukon {0, 1, 2} potenssijoukko on joukko {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. Järjestetty pari (a, b) on alkioista a ja b muodostettu pari, jossa alkioiden a ja b järjestyksellä on väliä. Olkoot A ja B joukkoja. Niiden karteesinen tulo A B koostuu järjestetyistä pareista (a, b), missä a A ja b B. Esimerkiksi joukkojen {0, 1, 2} ja {1, 3} karteesinen tulo on joukko {(0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)}. Yleisemmin voidaan määritellä useamman kuin kahden joukon karteesinen tulo. Jos A 1, A 2,..., A n ovat joukkoja, niin niiden karteesinen tulo A 1 A 2 A n koostuu n-jonoista (a 1, a 2,... a n ), missä a i A i kaikilla i {1, 2,..., n}

11 1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET Kuvaukset Kuvaukset ovat algebrassa tärkeitä, sillä monet algebralliset rakenteet koostuvat niistä. Lisäksi erilaisten algebrallisten rakenteiden välille halutaan usein määritellä kuvauksia, jotka saattavat esimerkiksi kuvastaa rakenteiden samankaltaisuutta. Siksi kuvauksiin liittyvät keskeiset käsitteet on hallittava hyvin Määritelmä. Oletetaan, että A ja B ovat epätyhjiä joukkoja. Kuvaus f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen A:n alkioon täsmälleen yhden joukon B alkion. Kuvauksia kutsutaan myös funktioiksi. Oletetaan, että f : A B on kuvaus. Olkoon a A, ja olkoon b se joukon B alkio, joka liitetään alkioon a. Alkiota b kutsutaan a:n kuvaksi, ja sille käytetään merkintää f(a). Voidaan myös merkitä a b. Joukkoa A kutsutaan kuvauksen f lähtojoukoksi tai määrittelyjoukoksi ja joukkoa B kuvauksen maalijoukoksi. Huomaa, että lähtö- ja maalijoukot ovat olennainen osa kuvausta. Vaikka kaksi kuvausta määriteltäisiin samalla ehdolla, niin ne eivät ole samat, jos lähtö- tai maalijoukko on eri. Esimerkiksi kuvaukset f : R R, f(x) = x 2 ja g : {0, 1, 2} R, g(x) = x 2 eivät ole samat. Kuva ja alkukuva Oletaan, että f : A B on kuvaus. Kuvauksen f kuvajoukko tai arvojoukko Im f koostuu kaikista niistä B:n alkioista, jotka ovat jonkin A:n alkion kuvia. Toisin sanoen Im f = {f(a) a A}. Merkintä Im tulee englannin kielen sanasta image. Kuvajoukkoa voidaan kutsua myös joukon A kuvaksi ja merkitä f[a]. Yleisemmin voidaan määritellä mielivaltaisen A:n osajoukon C kuva f[c]. Se koostuu kaikista niistä B:n alkoista, jotka ovat jonkin C:n alkion kuvia. Siis f[c] = {f(c) c C}. (Kirjallisuudessa käytetään usein hakasulkujen sijasta tavallisia kaarisulkuja. Tällöin merkintä saattaa kuitenkin sekoittua alkioiden kuville varattuun merkintään f(x).) Jos D on joukon B osajoukko, niin sen alkukuva f [D] muodostuu kaikista joukon A alkioista, joiden kuvat ovat joukossa D. Toisin sanoen f [D] = {a A f(a) D}.

12 12 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET (Kirjallisuudessa joukon D kuvauksessa f käytetään usein merkintää f 1 [D] tai f 1 (D). Tämä menee kuitenkin helposti sekaisin kohta esiteltävän käänteiskuvauksen merkinnän kanssa.) Esimerkki. Määritellään kuvaus f : {0, 1, 2, 3} {4, 5, 6, 7.8} seuraavasti: f(0) = 4 f(1) = 5 f(2) = 5 f(3) = 7 Kuvauksen f lähtöjoukko on {0, 1, 2, 3}, maalijoukko {4, 5, 6, 7, 8} ja kuvajoukko Im f = {4, 5, 7}. Osajoukon C = {0, 1, 2} kuva on f[c] = {4, 5}. Osajoukon D = {4, 5, 6} alkukuva on g [D] = {0, 1, 2}. f C f [C] Kuva 1.3: Joukon C kuva kuvauksessa f. f f [D] D Kuva 1.4: Joukon D alkukuva kuvauksessa f.

13 1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET Esimerkki. Määritellään kuvaus g : R R, g(x) = x 2. Kuvauksen g lähtöja maalijoukko on R ja kuvajoukko Im g = {x R x 0}. Osajoukon A = [0, 2] kuva on g[a] = [0, 4]. Osajoukon B = [0, 4] alkukuva on g [B] = [ 2, 2]. Osajoukon B = [ 4, 4] alkukuva g [B ] on sama kuin osajoukon B alkukuva Esimerkki. Määritellään kuvaus h: N N, h(n) = n 2. Kuvauksen h lähtöja maalijoukko on N. Kuvaujoukko on Im h = {n N n on neliö}. Joukon A = {0, 1, 2} kuva on h[a] = {0, 1, 4}. Osajoukon B = {0, 1, 2, 3, 4} alkukuva on f [B] = {0, 1, 2} Esimerkki. Määritellään kokonaislukujen osajoukot ja E = {n Z n on parillinen} O = {n Z n on pariton}. Määritellään kuvaus p: Z {E, O} seuraavasti: { E jos n on parillinen p(n) = O jos n on pariton Alkioiden kuvat ovat siis joukkoja. Kuvauksen p lähtöjoukko on Z ja maali- ja kuvajoukko {E, O}. Osajoukon {0, 2, 4} kuva on yksiö {E}. Osajoukon {E} alkukuva puolestaan on parillisten lukujen joukko eli E. Injektiot, surjektiot ja bijektiot Seuraavaksi tarkastelemme erityyppisiä kuvauksia. Olkoon f : A B kuvaus. Kuvaus f on injektio, jos eri alkioilla on eri kuvat. Toisin sanoen kaikilla a, b A pätee f(a) = f(b) a = b. Kuvaus f on surjektio, jos jokaiselle joukon B alkiolle kuvautuu jokin A:n alkio. Toisin sanoen Im f = B. Kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Jokaisesta kuvauksesta saadaan surjektiivinen maalijoukkoa pienentämällä. Jos f : A B on kuvaus, niin kuvaus f : A Im f, f(a) = f(a) on surjektio.

14 14 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Esimerkki. Kuvaus g : R R, g(x) = x 2 ei ole injektio, sillä g( 1) = 1 = g(1). Se ei myöskään ole surjektio, sillä alkiolle 1 ei kuvaudu mitään. Kuvaus ei siis ole bijektio. Kuvaus g : R {x R x 0}, g(x) = x 2 on surjektio. Kuvaus h: N N, h(n) = n 2 on injektio, mikä nähdään seuraavasti. Olkoot n, m N. Jos h(n) = h(m), niin n 2 = m 2. Koska n ja m ovat epänegatiivisia, niin täytyy olla n = m. Siten kuvaus g on injektio. Kuvaus ei ole surjektio, sillä alkiolle 2 ei kuvaudu mitään. Kuvaus ei siis ole bijektio. Esimerkin kuvaus p ei ole injektio, sillä esimerkiksi p(0) = E = p(2). Kuvaus on surjektio, sillä E = p(0) ja O = p(1). Kuvaus ei ole bijektio. Kuvaus h: R R, h(x) = 2x + 1 on injektio, sillä jos 2x + 1 = 2y + 1 joillakin x, y R, niin x = y. Kuvaus on myös surjektio, sillä jos y R, niin 1 y 1 R ja h( 1y 1 ) = y. Siten h on bijektio Yhdistetty kuvaus Olkoot f : A B ja g : B C kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : A C määritellään yhtälöllä (g f)(a) = g(f(a)) kaikilla a A. f g g f Kuva 1.5: Eräiden kuvausten f ja g yhdistetty kuvaus.

15 1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET Esimerkki. Määritellään h: N N, h(n) = n 2 ja j : N N, j(n) = 2n. Nyt yhdistetty kuvaus j h: N N määräytyy kaavasta (j h)(n) = j(h(n)) = j(n 2 ) = 2n 2, ja yhdistetty kuvaus h j : N N kaavasta (h j)(n) = h(j(n)) = h(2n) = 4n 2. Esimerkki osoittaa, että kuvausten yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio. Kuvaukset j h ja h j eivät nimittäin ole samat. Kuvausten yhdistäminen on kuitenkin liitännäinen operaatio, eli sulkujen paikalla ei ole merkitystä. Tämän osoittaa seuraava lause Lause. Olkoon f : A B, g : B C ja h: C D. Tällöin h (g f) = (h g) f. Todistus. Oletetaan, että a A. Nyt Toisaalta Siten h (g f) = (h g) f. (h (g f))(a) = h((g f)(a)) = h(g(f(a)). ((h g) f))(a) = (h g)(f(a)) = h(g(f(a)). Identtinen kuvaus ja käänteiskuvaus Joukon A identtiseksi kuvaukseksi id A kutsutaan sellaista kuvausta A:lta itselleen, joka pitää kaikki A:n alkiot paikoillaan. Toisin sanoen id A : A A, f(a) = a kaikilla a A. Jos epäselvyyden vaaraa ei ole, voidaan alaindeksi jättää pois ja merkitä id = id A. Huomaa, että kaikilla kuvauksilla f : A B pätee f id A = f ja id B f = f.

16 16 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Määritelmä. Sanotaan, että kuvauksella f : A B on käänteiskuvaus, jos on olemassa kuvaus g : B A jolle pätee g f = id A ja f g = id B. Kuvaus g on f:n käänteiskuvaus ja sitä merkitään f 1. Toisin sanoen f 1 (f(a)) = a kaikilla a A ja f(f 1 (b)) = b kaikilla b B. Identtisellä kuvauksella on aina käänteiskuvaus, identtinen kuvaus itse. A f B A f -1 B Kuva 1.6: Erään funktion f käänteiskuvaus f Esimerkki. Esimerkiksi kuvauksen h: R R, h(x) = 2x + 1 käänteiskuvaus on kuvaus h 1 : R R, h 1 (x) = 1 2 x 1 2, sillä (h 1 h)(x) = h 1 (h(x)) = h 1 (2x + 1) = x ja kaikilla x R. ( 1 (h h 1 )(x) = h(h 1 (x)) = h 2 x 1 ) = x Lause. Kuvauksella on käänteiskuvaus jos ja vain jos se on bijektio.

17 1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 17 Todistus. Olkoon f : A B kuvaus. Oletetaan ensin, että kuvauksella f on käänteiskuvaus f 1 : B A. Osoitetaan, että f on injektio. Jos on olemassa a, b A, joille pätee f(a) = f(b), niin f 1 (f(a)) = f 1 (f(b)). Oletuksen nojalla tästä seuraa, että a = b. Siten f on injektio. Osoitetaan sitten, että f on surjektio. Olkoon b B. Nyt f(f 1 (b)) = b, joten b on alkion f 1 (b) kuva. Siten f on surjektio. Oletetaan sitten, että f on bijektio, ja etsitään sille käänteiskuvaus. Määritellään kuvaus g : B A seuraavasti. Olkoon b B. Bijektiivisyyden nojalla on olemassa täsmälleen yksi a A, jolle pätee f(a) = b. Määritellään g(b) = a. Osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Jos a A, niin (g f)(a) = g(f(a)) = a. Oletetaan sitten, että b B. Olkoon a A sellainen, että f(a) = b, jolloin kuvauksen g määritelmän mukaan g(b) = a. Nyt (f g)(b) = f(g(b)) = f(a) = b. Siten g f = id A ja f g = id B. Tämä tarkoittaa sitä, että g = f 1.

18 18 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.2 Laskutoimituksen määritelmä Algebra tutkii laskutoimituksia ja niihin liittyviä rakenteita. Tuttuja esimerkkejä laskutoimituksista ovat kokonaislukujen yhteen- ja kertolasku, mutta laskutoimituksia voidaan määritellä paljon mielikuvituksellisemmillekin olioille ja siten saada aikaan kiinnostavia rakenteita. Mitä laskutoimitukset oikeastaan ovat? Perusominaisuuksia Määritelmä. Joukon S laskutoimitus on kuvaus, joka liittää jokaiseen S:n alkiopariin (x, y) jonkin kolmannen alkion joukosta S. Tätä alkiota kutsutaan laskutoimituksen tulokseksi ja merkitään x y. Joukkoa S, jossa on määritelty laskutoimitus, voidaan merkitä parina (S, ). Esimerkiksi kokonaislukujen joukko varustettuna yhteenlaskulla on pari (Z, +). Algebran näkökulmasta tämä ei ole sama olio kuin (Z, ) eli kokonaisluvut varustettuna kertolaskulla Esimerkki. Luonnollisten lukujen yhteenlasku on laskutoimitus, sillä kahden luonnollisen luvun summa on aina luonnollinen luku. Samoin luonnollisten lukujen kertolasku on laskutoimitus. Myös joukkojen Z, Q ja R yhteen- ja kertolaskut ovat laskutoimituksia. Luonnollisten lukujen vähennyslasku ei ole laskutoimitus, sillä esimerkiksi 1 2 = 1 ei ole luonnollinen luku. Myöskään kokonaislukujen jakolasku ei ole laskutoimitus. n n-matriisien yhteen- ja kertolasku ovat laskutoimituksia. Reaalifunktioiden joukossa kuvausten yhdistäminen on laskutoimitus. Jos f ja g ovat reaalifunktioita, voidaan määritellä f g = f g, missä f g on yhdistetty kuvaus. Tuttujen laskutoimitusten lisäksi esimerkiksi luonnollisille luvuille voidaan määritellä uusia laskutoimituksia. Jos n, m N, niin määritellään laskutoimitus seuraavasti: n m = n m + n + m. (Tässä + ja ovat luonnollisten lukujen tavallinen yhteenlasku ja kertolasku.) Toinen esimerkki luonnollisten lukujen laskutoimituksesta on n m = 0 kaikilla n, m N.

19 1.2. LASKUTOIMITUKSEN MÄÄRITELMÄ 19 Laskutoimitus on siis määritelty niin, että ainoa mahdollinen tulos on nolla. Olkoon A joukko ja P(A) sen osajoukkojen joukko. Jos B ja C ovat A:n osajoukkoja, niin myös B C on A:n osajoukko. Siten yhdiste on joukon P(A) laskutoimitus. Myös leikkaus on joukon P(A) laskutoimitus. Seuraavaksi käsittelemme laskutoimitusten perusominaisuuksia. Olkoon joukon S laskutoimitus Määritelmä. Laskutoimitus on vaihdannainen, jos x y = y x kaikilla x, y S liitännäinen, jos x (y z) = (x y) z kaikilla x, y, z S. Jos laskutoimitus on liitännäinen, ei sulkujen paikalla ole väliä, eikä niitä siis tarvitse välttämättä merkitä. Useimmat tutuista laskutoimituksista ovat liitännäisiä ja vaihdannaisia. Esimerkiksi kokonaislukujen, rationaalilukujen ja reaalilukujen yhteen- ja kertolasku ovat sekä vaihdannaisia että liitännäisiä. Kokonaislukujen vähennyslasku puolestaan ei ole vaihdannainen laskutoimitus, sillä esimerkiksi Funktioiden yhdistäminen on liitännäinen mutta ei välttämättä vaihdannainen laskutoimitus. Sama pätee matriisien kertolaskuun. Tarkastellaan seuraavaksi Esimerkissä esiintyvää luonnollisten lukujen laskutoimitusta n m = nm + n + m. Olkoot n, m, k N. Nyt n m = nm + n + m = mn + m + n = m n, joten laskutoimitus on vaihdannainen. Lisäksi ja n (m k) = n (mk + m + k) = nmk + nm + nk + n + mk + m + k (n m) k = (nm + n + m) k = nmk + nk + mk + nm + n + m + k. Luonnollisten lukujen yhteenlaskun vaihdannaisuudesta seuraa, että nämä tulokset ovat samat. Siten laskutoimitus on liitännäinen. Kokonaislukujen vähennyslasku ei ole liitännäinen laskutoimitus, sillä (1 2) 3 = 4, mutta 1 (2 3) = 2. Toinen esimerkki epäliitännäisestä laskutoimituksesta saadaan matriiseista. Olkoot A ja B n n-matriiseja. Määritellään

20 20 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET matriiseille laskutoimitus käyttämällä hyväksi matriisien yhteen- ja kertolaskua: A B = AB BA. Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että tämä laskutoimitus ei ole liitännäinen, kun n 2. Yllä olevissa esimerkeissä esiintyvät epäliitännäiset laskutoimitukset eivät ole myöskään vaihdannaisia. Onko olemassa laskutoimitusta, joka olisi vaihdannainen, mutta ei liitännäinen? Tutkitaan seuraavaa esimerkkiä Esimerkki. Oletetaan, että joukko S muodostuu kaikista origosta lähtevistä puolisuorista, jotka ovat positiivisen x-akselin ja positiivisen y-akselin välissä. Määritellään tämän joukon laskutoimitus seuraavasti. Jos r ja s ovat joukon S puolisuoria, niin r s on näiden välisen kulman puolittaja eli se r:n ja s:n välissä oleva puolisuora, joka on täsmälleen yhtä kaukana niistä molemmista. Selvästikin on vaihdannainen. Se ei kuitenkaan ole liitännäinen. Valitaan esimerkiksi alkioksi r positiivinen y-akseli, alkioksi s x-akseli ja alkioksi t puolisuora r s (kyseessä on siis puolisuora, jonka kulma x-akselin suhteen on π/4). Nyt (r s) t = t, mutta r (s t) on suora, jonka kulma x-akselin suhteen on 5π/16. Laskutoimitus ei siis ole liitännäinen. Siten liitännäisyys ei seuraa vaihdannaisuudesta. r r (s t) t = r s = ( r s) t s t s Kuva 1.7: Puolisuorille määritelty laskutoimitus ei ole liitännäinen Neutraali- ja käänteisalkiot Oletetaan jatkossa, että on joukossa S määritelty laskutoimitus Määritelmä. Joukon S alkiota e kutsutaan neutraalialkioksi, jos e x = x e = x kaikilla x S.

21 1.2. LASKUTOIMITUKSEN MÄÄRITELMÄ 21 Esimerkiksi kokonaislukujen yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun 1. Reaalifunktioiden yhdistämisen tapauksessa neutraalialkio on identtinen kuvaus, joka pitää kaikki reaaliluvut paikoillaan. Matriisikertolaskun neutraalialkio on puolestaan ykkösmatriisi. Joukon A kaikkien osajoukkojen joukossa P(A) laskutoimituksen neutraalialkio on, sillä B = B = B kaikilla B A. Jos laskutoimitus on vaihdannainen, niin yhtälöstä e x = x seuraa, että x e = x. Tällöin riittää siis tarkistaa vain toinen neutraalialkiota koskevista ehdoista. Tämä ei kuitenkaan ole totta yleisessä tapauksessa. Jos esimerkiksi määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus x y = x + 2y, niin x 0 = x kaikilla x Z. Nolla ei kuitenkaan ole laskutoimituksen neutraalialkio, sillä esimerkiksi 0 1 = On siis ehdottoman tärkeää huolehtia siitä, että määritelmän molemmat ehdot täyttyvät. Neutraalialkiota ei välttämättä ole olemassa. Jos luonnollisten lukujen laskutoimituksella n m = 0 kaikilla n, m N olisi neutraalialkio e, niin silloin 1 e = 1. Kuitenkin 1 e = 0 1, joten neutraalialkiota ei ole. Myöskään esimerkin puolisuorien laskutoimituksella ei ole neutraalialkiota. Seuraava lause osoittaa, että neutraalialkioita voi olla korkeintaan yksi Lause. Jos laskutoimituksella on neutraalialkio, niin se on yksikäsitteinen. Todistus. Olkoot e ja f laskutoimituksen neutraalialkioita. Koska e on neutraalialkio, niin e f = f. Toisaalta myos f on neutraalialkio, joten e f = e. Siten e = f Määritelmä. Oletetaan, että laskutoimituksella on neutraalialkio e. Olkoon x S. Alkiota x kutsutaan x:n käänteisalkioksi, jos x x = x x = e. Huomaa, että neutraalialkio on aina oma käänteisalkionsa. Rationaalilukujen kertolaskun tapauksessa luvun q käänteisalkio on 1/q. Ainoat kokonaisluvut, joilla on käänteisalkio kertolaskun suhteen ovat 1 ja 1. Kokonaislukujen yhteenlaskun tapauksessa luvun n käänteisalkio on puolestaan n. Luonnollisista luvuista ainoastaan nollalla on käänteisalkio yhteenlaskun suhteen. Kun reaalifunktioiden laskutoimituksena on funktioiden yhdistäminen, kutsutaan reaalifunktion käänteisalkiota sen käänteisfunktioksi. Matriisien kertolaskun tapauksessa käänteisalkio on käänteismatriisi. Liitännäisen laskutoimituksen tapauksessa kullakin alkiolla voi olla korkeintaan yksi käänteisalkio.

22 22 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Lause. Olkoon laskutoimitus liitännäinen. Jos alkiolla x S on käänteisalkio, niin se on yksikäsitteinen. Todistus. Oletetaan, että x ja x ovat alkion x käänteisalkioita, ja olkoon e neutraalialkio. Nyt x = x e = x (x x ) = (x x) x = e x = x. Siten x ja x ovat itse asiassa sama alkio. Tutkitaan vielä uudelleen Esimerkissä esiintyvää luonnollisten lukujen laskutoimitusta n m = nm + n + m. Olkoon n N. Nyt ja n 0 = n 0 + n + 0 = n 0 n = 0 n n = n joten laskutoimituksen neutraalialkio on 0. (Koska laskutoimitus on vaihdannainen, riittäisi itse asiassa osoittaa, että n 0 = n.) Tutkitaan sitten käänteisalkioita. Jos alkiolla n on käänteisalkio n, niin sen täytyy toteuttaa yhtälö nn +n+n = 0. Tästä seuraa, että n = n/(n + 1). Huomataan, että n on luonnollinen luku ainoastaan, jos n = 0 tai n = 2. Ainoa alkio, jolla on käänteisalkio on siis 0. Tilanne muuttuu, jos joukkoa, jossa laskutoimitus on määritelty, laajennetaan. Määritellään rationaalilukujen joukossa laskutoimitus kaavalla p q = pq+p+q kaikilla p, q Q. Laskutoimituksen neutraalialkio on edelleen 0. Oletetaan, että q Q \ { 1}. Koska q ( q/(q + 1)) = 0 ja ( q/(q + 1)) q = 0, niin alkion q käänteisalkio on q/(q + 1). Ainoastaan alkiolla 1 ei ole käänteisalkiota. Äärellisen joukon laskutoimituksen tulokset voidaan kirjoittaa niin kutsutuksi laskutoimitustauluksi. Taulun sarakkeet ja rivit nimetään joukon S alkioilla, ja taulukon riville x sarakkeeseen y kirjoitetaan tulos x y Esimerkki. Tutkitaan joukon {e, a, b} laskutoimitusta, joka on määritelty seuraavalla laskutoimitustaululla: e a b e e a b a a b e b b e a Taulusta nähdään, että alkio e on neutraalialkio. Alkion a käänteisalkio on b ja alkion b käänteisalkio a. Tarkistamalla jokaisen alkioparin tulos, huomataan, että laskutoimitus on vaihdannainen. Hieman enemmän työtä vaati nähdä, että laskutoimitus on myös liitännäinen.

23 1.2. LASKUTOIMITUKSEN MÄÄRITELMÄ 23 Laskutoimitustaulu määrittelee laskutoimituksen täydellisesti. Monien ominaisuuksien todistaminen on kuitenkin työlästä pelkän taulun perusteella. Jos joukon koko on n, niin esimerkiksi liitännäisyyden todistamiseksi on tarkastettava n 3 eri tapausta. Siksi on yleensä mukavampaa, jos laskutoimitus voidaan ilmaista kaavan avulla. Tiivistelmä Joukon S laskutoimitus on kuvaus, joka liittää jokaiseen S:n alkiopariin jonkin kolmannen alkion joukosta S. Olkoon joukon S laskutoimitus. Laskutoimitus on vaihdannainen, jos x y = y x kaikilla x, y S Laskutoimitus on liitännäinen, jos x (y z) = (x y) z kaikilla x, y, z S. Alkio e S on neutraalialkio, jos e x = x e = x kaikilla x S. Neutraalialkioita voi olla korkeintaan yksi. Alkio x S on alkion x S käänteisalkio, jos x x = x x = e.

24 24 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.3 Ryhmä Eräs algebran perusrakenteista on ryhmä. Ryhmä, kuten lähes kaikki algebran rakenteet, määritellään yleensä aksiomaattisesti. Tämä tarkoittaa sitä, että mikä tahansa rakenne, joka toteuttaa listan annettuja ehtoja, on ryhmä. Ehdot, jotka ryhmän määritelmään valitaan, syntyvät tarpeesta ratkaista yhtälöitä Ryhmän määritelmä Tutkitaan yhtälöä ax = b, missä a, b R \ {0}. Ratkaistaan yhtälö kirjoittaen jokainen välivaihe tarkasti näkyviin. Huomataan, että ax = b a 1 (ax) = a 1 b (a 1 a)x = a 1 b 1 x = a 1 b x = a 1 b. Tämä tarkoittaa, että jos ratkaisu on olemassa, niin se on x = a 1 b. Koska a(a 1 b) = (aa 1 )b = 1 b = b, niin x = a 1 b todellakin on ratkaisu. Huomataan, että yhtälön ratkaisemiseen tarvitaan kertolaskun liitännäisyyttä, neutraalialkiota sekä käänteisalkioita. Näistä vaatimuksista syntyy ryhmän määritelmä Määritelmä. Joukko G laskutoimituksella varustettuna on ryhmä, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (G0) Joukko G on suljettu laskutoimituksen suhteen, eli kaikilla x, y G pätee x y G. (G1) Laskutoimitus on liitännäinen. (G2) Joukossa G on neutraalialkio. (G3) Jokaisella G:n alkiolla on käänteisalkio. Tarkalleen ottaen ryhmä on pari (G, ). Ryhmää kutsutaan vaihdannaiseksi, jos seuraava ehto toteutuu: (G4) Laskutoimitus on vaihdannainen.

25 1.3. RYHMÄ 25 Vaihdannaisia ryhmiä nimitetään myös Abelin ryhmiksi norjalaisen matemaatikon Niels Abelin mukaan. Huomaa, että ehto (G0) seuraa suoraan siitä, että on G:n laskutoimitus. Se on kirjattu määritelmään sen vuoksi, ettei opiskelija unohtaisi todistuksessa tarkistaa, että ehto pätee! Laskutoimituksen neutraalialkio on aina yksikäsitteinen, joten ryhmässä voi olla vain yksi neutraalialkio. Koska ryhmän laskutoimitus on liitännäinen, ovat myös käänteisalkiot yksikäsitteisiä. Ryhmän G kertaluku G on sen alkioiden lukumäärä. Kertaluvulle näkee toisinaan myös käytettävän merkintöjä #G ja card(g) Esimerkki. Kokonaislukujen joukko varustettuna yhteenlaskulla on ryhmä. Myös (Q, +) ja (R, +) ovat ryhmiä. Luonnolliset luvut yhteenlaskulla varustettuna ei ole ryhmä. Yhteenlasku on liitännäinen ja neutraalialkiona on 0, mutta käänteisalkioita ei ole. (Paitsi tietenkin nollalla.) Esimerkiksi luvulla 1 ei ole käänteisalkioita, sillä ei ole olemassa sellaista luonnollista lukua n, että n + 1 = 0. Rationaaliluvut kertolaskulla varustettuna ei ole ryhmä, sillä luvulla 0 ei ole käänteisalkiota. Jos luku 0 poistetaan, niin saadaan aikaan ryhmä (Q\{0}, ). Samoin (R \ {0}, ) on ryhmä. Kääntyvät n n-matriisit muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena on matriisikertolasku. Neutraalialkiona on yksikkömatriisi ja käänteisalkioina käänteismatriisit. Kääntyvien matriisien muodostama ryhmä ei ole vaihdannainen. Ne reaalifunktiot, joilla on käänteiskuvaus, muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Neutraalialkiona on identtinen kuvaus ja käänteisalkioina käänteiskuvaukset. Kyseessä ei ole vaihdannainen ryhmä. Rubikin kuution kaikkien mahdollisten siirtojen joukko on ryhmä. Siirrolla tarkoitetaan tässä yhteydessä mitä tahansa tahkojen kiertämisestä syntyvää sarjaa. Ryhmän laskutoimituksena on siirtojen tekeminen peräkkäin, eli kahden siirron tulo tarkoittaa niiden suorittamista toinen toisensa jälkeen. Neutraalialkio on siirto, jossa kuutiolle ei tehdä mitään. Siirron käänteisalkio on samojen operaatioiden tekeminen päinvaistaiseen suuntaan päinvastaisessa järjestyksessä.

26 26 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Lause. Olkoon (G, ) ryhmä ja a, b G. Nyt yhtälöllä a x = b on yksikäsitteinen ratkaisu, samoin yhtälöllä x a = b. Todistus. Todistus on samanlainen kuin luvun alussa oleva todistus sille, että yhtälöllä ax = b on ratkaisu, kun a, b R \ {0}. Ensimmäisen yhtälön ratkaisu on a b, missä a on alkion a käänteisalkio. Toisen yhtälön ratkaisu puolestaan on b a Esimerkki. Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Tällöin myös karteesinen tulo G H on ryhmä, kun sen laskutoimitus määritellään seuraavasti: kaikilla a, c G ja b, d H. (a, b) (c, d) = (a c, b d) Sanotaan, että yllä karteesiselle tulolle on määritelty laskutoimitus komponenteittain tai pisteittäin. Todistus. Lauseen todistus jätetään harjoitustehtäväksi Merkintöjä Mielivaltaisen ryhmän laskutoimitus merkitään tavallisesti kertolaskuna. Voidaan sanoa yksinkertaisesti, että G on ryhmä, ja tällöin tarkoitetaan ryhmää (G, ). Kertomerkki voidaan jättää kokonaan merkitsemättä ja kirjoittaa a b = ab. Alkion a käänteisalkiota merkitään a 1. Tästä lähin oletetaan, että jos ryhmän laskutoimituksen symbolia ei ole erikseen mainittu, on se kertomerkki. Ryhmässä G voidaan määritellä laskutoimituksen potenssi samaan tapaan kuin reaaliluvuille määritellään kokonaislukupotenssit. Olkoon n 1 kokonaisluku. Alkion x G n:s potenssi on x n = x } x {{ x}. n kpl Myös tapaus n = 0 sallitaan: x 0 = e, missä e on ryhmän neutraalialkio. Negatiiviset potenssit määritellään käänteisalkioiden avulla: x n = (x 1 ) n. Huomaa, että (x n ) 1 = (x 1 ) n. Tämä johtuu siitä, että x n (x 1 ) n = x } x {{ x} } x 1 x 1 {{ x 1 } = e n kpl n kpl

27 1.3. RYHMÄ 27 ja (x 1 ) n x n = x} 1 x 1 {{ x 1 } x } x {{ x} = e. n kpl n kpl Potensseille pätevät tutut laskusäännöt Lause. Olkoon G ryhmä. Oletetaan, että n ja m ovat kokonaislukuja. Tällöin a) x n x m = x n+m kaikilla x G b) (x n ) m = x (nm) kaikilla x G. Todistus. a) Väitteen osoittamiseksi on tarkistettava useita tapauksia sen mukaan, ovatko n, m ja n + m positiivisia, negatiivisia vai nollia. Tapaukset ovat hyvin samankaltaisia, joten todistamme niistä esimerkin vuoksi vain yhden. Oletetaan, että n > 0, m < 0 ja n + m < 0. Merkitään m = m. Nyt m > 0 ja n < m. Huomataan, että x n x m = x } x {{ x} n kpl x 1 x 1 x 1 } {{ } m kpl = (x 1 ) m n = x m +n = x n+m. = x 1 x 1 x 1 } {{ } m n kpl b) Myös tällä kertaa on tarkasteltava useita tapauksia. Todistamme väitteen siinä tapauksessa, että n > 0 ja m < 0. Nyt m = m on positiivinen ja tällöin (x n ) m = (x n ) m = ((x n ) 1 ) m = ((x 1 ) n ) m = x} 1 x 1 {{ x 1 } n kpl x 1 x 1 x 1 } {{ } n kpl } {{ } m kpl = x} 1 x 1 {{ x 1 } = (x 1 ) nm = x nm = x nm. nm kpl Huomaa, että esimerkiksi reaaliluvuille pätevä ehto a n b n = (ab) n ei päde kaikilla ryhmillä. Vaihdannaisilla ryhmillä ehto on voimassa. Toisinaan ryhmän laskutoimitus muistuttaa enemmän yhteenlaskua kuin kertolaskua, ja silloin laskutoimitusta voidaan merkitä symbolilla +. Tällöin käänteisalkioita kutsutaan vasta-alkioiksi. Jos laskutoimitus merkitään yhteenlaskuna, on ryhmä yleensä vaihdannainen.

28 28 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Jos ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskulla, niin potensseja kutsutaan monikerroiksi. Jos (G, +) on ryhmä, x G ja n on positiivinen kokonaisluku, niin merkitään nx = x } + x + {{ + x }. n kpl Kyseessä on siis alkion x n:s potenssi, mutta merkinnät vain ovat erilaiset. Nyt 0 x = e, missä e on ryhmän G neutraalialkio ja ( n)x = n( x), missä x on alkion x vasta-alkio Esimerkki. Reaalikertoimiset polynomit muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena on yhteenlasku. Neutraalialkio on nollapolynomi. Polynomin vasta-alkio saadaan vaihtamalla jokaisen termin merkki. Polynomit muodostavat vaihdannaisen ryhmän. Vektoriavaruus on ryhmä, jonka laskutoimituksena on yhteenlasku. Neutraalialkio on nollavektori ja vektorin v vasta-alkio on v. Vektoriavaruus on vaihdannainen ryhmä. Allaolevaan taulukkoon on vielä kerätty erityypisiin laskutoimituksiin liittyvät nimitykset ja merkinnät. kertolaskumerkintä yhteenlaskumerkintä laskutoimitus x y tai xy (tulo) x + y (summa) potenssimerkintä x n nx (monikerta) käänteisalkio x 1 x (vasta-alkio) Monoidit Mielenkiintoisia rakenteita syntyy myös silloin, jos ei vaadita kaikkien ryhmän määritelmässä olevien ehtojen toteutumista. Esimerkiksi kokonaisluvut kertolaskulla varustettuna toteuttavat ehdot (G0) (G2), mutta eivät ehtoa (G3). Tällaista rakennetta kutsutaan monoidiksi Määritelmä. Joukko M laskutoimituksella varustettuna on monoidi, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (M0) Joukko M on suljettu laskutoimituksen suhteen, eli kaikilla x, y M pätee x y M.

29 1.3. RYHMÄ 29 (M1) Laskutoimitus on liitännäinen. (M2) Laskutoimituksella on neutraalialkio. Monet tutuista matemaattisista rakenteista, jotka eivät ole ryhmiä kertolaskun suhteen, ovat monoideja. Kokonaislukujen lisäksi niin rationaaliluvut, reaaliluvut kuin n n-matriisien joukkokin muodostavat monoidin, kun laskutoimituksena on kertolasku. Monoideja käsitellään lisää myöhemmin Ryhmien laskutoimitustaulut Aiemmin tutustuimme laskutoimitustauluihin, jotka määrittelevät laskutoimituksen täydellisesti. Jos laskutoimitusta merkitään kertomerkillä, voidaan laskutoimitustaulua kutsua myös kertotauluksi Lemma. Ryhmän laskutoimitustaulussa jokainen alkioista esiintyy täsmälleen kerran jokaisella rivillä ja jokaisessa sarakkeessa. Todistus. Olkoon G ryhmä. Oletetaan vastoin väitettä, että ryhmän G kertotaulun jollakin rivillä esiintyy alkio x kaksi kertaa. Toisin sanoen on olemassa alkiot a, b, c G joille pätee b c, x = ab ja x = ac. Saamme siis yhtälön ab = ac. Koska G on ryhmä, voidaan päätellä, että a 1 ab = a 1 ac ja edelleen b = c. Tämä on ristiriita, joten jokainen alkio esiintyy kullakin rivillä vain kerran. Sarakkeita koskeva väite osoitetaan samalla tavalla. Osoitetaan sitten, että jokainen ryhmän alkio esiintyy jokaisella rivillä. Olkoot g, a G. Alkio g voidaan kirjoittaa tulona a a 1 g, joten alkio g esiintyy rivillä a. Ryhmän laskutoimitustaulua voi siis ryhtyä täyttämään kuin sudokua Lause. Kolmialkioisia ryhmiä on täsmälleen yksi. Todistus. Olkoon G = {e, a, b} kolmialkioinen ryhmä, jonka neutraalialkio on e. Laskutoimitustaulun ensimmäinen rivi ja sarake ovat helppoja täyttää, sillä neutraalialkiolla kertominen ei tee alkioille mitään. Saadaan siis taulu e a b e e a b a a b b

30 30 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Nyt paikassa (a, a) ei voi olla alkiota a, sillä tällöin a esiintyisi keskimmäisessä sarakkeessa kahdesti. Jos taas kyseisessä paikassa on alkio e, niin paikassa (a, b) on oltava alkio b, mikä on mahdotonta. Siten paikassa (a, a) on alkio b. Näin jatkamalla saadaan laskutoimitustaulu e a b e e a b a a b e b b e a On vielä osoitettava, että taulun määrittelemä laskutoimitus on todellakin ryhmälaskutoimitus. Olemme itse asiassa tarkastelleet kyseista laskutoimitusta jo Esimerkissä 1.9, mutta käymme todistukset tässä läpi hieman tarkemmin. Osoitetaan aluksi, että G on vaihdannainen, vaikkei sitä pyydettykään osoittamaan. Siitä tulee olemaan hyötyä muun muassa liitännäisyyden osoittamisessa. Oletetaan, että x, y G. Nyt tulo xy on taulun alkio (x, y). Koska taulu on symmetrinen lävistäjän suhteen, niin tämä alkio on sama kuin kohdassa (y, x) oleva alkio, joka on tulo yx. Siten xy = yx. Voidaankin todeta, että ryhmä on vaihdannainen täsmälleen silloin, kun sen laskutoimitustaulu on symmetrinen lävistäjän suhteen. Osoitetaan sitten liitännäisyys. Liitännäisyyttä todistettaessa on tarkasteltava kolmea alkiota. Jos yksi näistä on neutraalialkio, niin jäljelle jää vain kahden alkion tulo, jossa suluilla ei ole väliä. Esimerkiksi e(ab) = ab = (ea)b. Siten voimme tarkastella vain alkioita a ja b. Jos otamme vielä huomioon, että ryhmä on vaihdannainen, niin huomaamme, että a(aa) = (aa)a ja b(bb) = (bb)b. Jäljelle jää kaksitoista eri kombinaatiota. Riittää siis osoittaa seuraavat tulokset: a(ab) =(aa)b a(ba) =(ab)a a(bb) =(ab)b b(aa) =(ba)a b(ab) =(ba)b b(ba) =(bb)a Laskutoimitustaulusta nähdään helposti, että tulokset tosiaan pätevät. Esimerkiksi a(ab) = ae = a = bb = (aa)b. Siten laskutoimitus on liitännäinen. Neutraalialkio on e, koska taulun ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake ovat pysyneet kertolaskussa muuttumattomina.

31 1.3. RYHMÄ 31 Tarkistetaan vielä käänteisalkioiden olemassaolo. Koska ab = e, niin vaihdannaisuuden nojalla ba = e. Siten b on a:n käänteisalkio ja a on b:n käänteisalkio. Neutraalialkio on luonnollisesti oma käänteisalkionsa. Koska muut taulut eivät ole mahdollisia, on kolmialkioisia ryhmiä täsmälleen yksi. Ryhmän alkiot voidaan toki nimetä toisin, jolloin saadaan eri joukko ja siten periaatteessa myös eri ryhmä. Tämä ei kuitenkaan muuta laskutoimituksen ominaisuuksia, joten ryhmän rakenne säilyy oleellisesti samana. Tutkitaan todistuksen kolmialkoisen ryhmän alkioiden potensseja. Huomataan, että a 2 = b ja a 3 = ab = e. Siten ryhmä voidaan kirjoittaa muodossa {a, a 2, a 3 }. Tällaista muotoa olevia ryhmiä kutsutaan syklisiksi ja niitä tutkitaan tarkemmin myöhemimmin Lause. Nelialkioisia ryhmiä on täsmälleen kaksi kappaletta. Todistus. Samalla tavoin kuin Lauseen todistuksessa voidaan osoittaa, että neljästä alkiosta on mahdollista koota vain kaksi erilaista kertotaulua. Ne ovat e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ja e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b Pienellä työllä voidaan osoittaa, että molemmille pätevät ehdot (G0) (G3), joten ne ovat ryhmiä. Todistuksessa esiintyneistä ryhmistä ensimmäistä kutsutaan Kleinin neliryhmäksi saksalaisen matemaatikon Felix Kleinin mukaan. Toinen ryhmä voidaan puolestaan kirjoittaa muodossa {a, a 2, a 3, a 4 }. Siten myös neljän alkion tapauksessa törmäämme sykliseen ryhmään.

32 32 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Aliryhmä Ryhdymme nyt tutustumaan ryhmien rakenteeseen. Aloitamme tarkastelemalla ryhmiä, jotka löytyvät toisten ryhmien sisältä Määritelmä. Oletetaan, että (G, ) on ryhmä ja H G. Sanotaan, että (H, ) on (G, ):n aliryhmä, jos seuraavat ehdot toteutuvat: (H1) gh H kaikilla g, h H (H2) e H, missä e on G:n neutraalialkio (H3) g 1 H kaikilla g H, missä g 1 on g:n käänteisalkio G:ssä. Tällöin merkitään (H, ) (G, ) tai yksinkertaisemmin H G. Huomaa, että H:n laskutoimitus on liitännäinen. Tämä johtuu siitä, että G on ryhmä ja sen laskutoimituksena on liitännäinen. Siten H on ryhmä, joka sisältyy ryhmään G. Jos H G ja H G, niin sanotaan, että H on G:n aito aliryhmä ja merkitään H < G. Millä tahansa ryhmällä G on niin kutsutut triviaalit aliryhmät G ja {e}, missä e on neutraalialkio Esimerkki. Ryhmä (Z, +) on ryhmän (Q, +) aliryhmä, joka on edelleen ryhmän (R, +) aliryhmä. Ryhmä (Q \ {0}, ) on ryhmän (R \ {0}, ) aliryhmä Lause. Oletetaan, että (G, ) ja (H, ) ovat ryhmiä. Jos H on G:n osajoukko, niin se on G:n aliryhmä. Todistus. Väitteen todistamiseksi on osoitettava, että G:n ja H:n neutraali- ja käänteisalkiot ovat samat. Olkoon e H ryhmän H ja e G ryhmän G neutraalialkio. Valitaan x H, jolloin e H x = x. Kertomalla oikealta x:n käänteisalkiolla ryhmässä G, saadaan e H = e G. Myös käänteisalkiot ovat samat ryhmissä G ja H. Tämä seuraa suoraan siitä, että ryhmien neutraalialkiot ovat samat ja näihin liittyvät käänteisalkiot ovat yksikäsitteisiä.

33 1.3. RYHMÄ Esimerkki. Tutkitaan joukkoa 3Z = {3z z Z} eli niiden lukujen joukkoa, jotka ovat jaollisia luvulla 3. Osoitetaan, että (3Z, +) on ryhmän (Z, +) aliryhmä. Selvästikin 3Z on joukon Z osajoukko. (H1) Oletetaan, että k, m 3Z. Nyt on olemassa luvut a, b Z, joille pätee k = 3a ja m = 3b. Siten k + m = 3(a + b) ja k + m 3Z. (H2) Ryhmän Z neutraalialkio 0 voidaan kirjoittaa muodossa 3 0. Siten se on joukon 3Z alkio. (H3) Olkoon m 3Z, jolloin m = 3a jollakin a Z. Alkion m vasta-alkio ryhmässä Z on m. Koska m = 3( a), niin m 3Z. Siten 3Z on ryhmän Z aliryhmä. Todistus voidaan yleistää koskemaan joukkoa nz = {nz z Z}, missä n Z. Kyseessä on siis kaikkien luvulla n jaollisten lukujen joukko. Samaan tapaan kuin yllä voidaan osoittaa, että nz on aina kokonaislukujen joukon aliryhmä Esimerkki. Olkoon G ryhmä, joka sisältää kaikki reaalikuvaukset f : R R, joilla on käänteiskuvaus. Laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Merkitään H = {f G f(0) = 0}. Nyt H on G:n aliryhmä, mikä nähdään seuraavasti. Ensinnäkin H G. Oletetaan sitten, että f, g H. Nyt (f g)(0) = f(g(0)) = f(0) = 0. Siten f g H. Ryhmän G neutraalialkio on id: R R, id(x) = x. Koska id(0) = 0, niin id H. Oletetaan vielä, että f H. Nyt f:n käänteisalkio on sen käänteiskuvaus. Koska f(0) = 0, niin f 1 (0) = 0, mistä seuraa, että f 1 H. Siten H on aliryhmä Esimerkki. Olkoon G ryhmä, joka sisältää kaikki (reaalikertoimiset) n nmatriisit, joilla on käänteismatriisit. Laskutoimituksena on siis matriisien kertolasku. Määritellään G:lle osajoukko ja osoitetaan, että se on aliryhmä. H = {A G det(a) = 1}, Oletetaan, että A, B H. Koska det(ab) = det(a) det(b) = 1, niin AB H. Olkoon I yksikkömatriisi. Koska det(i) = 1, niin I H. Oletetaan lopuksi, että A H. Koska det(a 1 ) = 1/ det(a) = 1, niin A 1 H. Siten H on ryhmän G aliryhmä Esimerkki. Tutkitaan ryhmää, jonka muodostavat kaikki Rubikin kuution siirrot. Tätä kutsutaan usein Rubikin ryhmäksi. Tarkastellaan yhtä kuution

34 34 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET tahkoista. Tämän yhden tahkon kaikki mahdolliset kierrot muodostavat Rubikin ryhmän aliryhmän. Aliryhmässä on neljä alkiota: kierto 0, kierto 90, kierto 180 ja kierto Esimerkki. Olkoon G vaihdannainen ryhmä ja n N. Osoitetaan, että sen osajoukko H = {g G g n = e} on aliryhmä. (Tässä e on G:n neutraalialkio.) (H1) Oletetaan, että a, b H. Koska G on vaihdannainen, niin (ab) n = a n b n = ee = e. Siten ab H. (H2) Koska e n = e, niin e H. (H3) Olkoon a H. Koska (a 1 ) n = (a n ) 1 = e 1 = e, niin a 1 H. Siten H on G:n aliryhmä. Toisinaan todistuksissa on hyödyksi seuraava aliryhmäkriteeri Lause (Aliryhmäkriteeri). Olkoon H ryhmän G epätyhjä osajoukko. Se on G:n aliryhmä jos ja vain jos ab 1 H kaikilla a, b H. Muista, että aliryhmäkriteeriä käytettäessä on todistettava, että H G ja H ei ole tyhjä. Todistus. Selvästikin aliryhmäkriteerin ehdot seuraavat aliryhmän määritelmästä. On siis osoitettava, että jos aliryhmäkriteerin ehdot ovat voimassa, niin kyseessä on aliryhmä. Oletuksesta seuraa suoraan, että H G. Tarkistetaan vielä, että ehdot (H1) (H3) pätevät. (H2) Oletetaan, että e on G:n neutraalialkio. Koska H on epätyhjä, niin on olemassa a H. Oletuksen nojalla e = aa 1 H. (H3) Olkoon a H. Koska tiedämme, että e H, niin a 1 = ea 1 H. (H1) Oletetaan, että a, b H. Edellisen kohdan nojalla b 1 H, joten oletuksesta seuraa, että ab = a(b 1 ) 1 H. Siten H G Lause. Oletetaan, että H 1 G ja H 2 G. Tällöin H 1 H 2 G.

35 1.3. RYHMÄ 35 Todistus. Käytetään todistuksessa aliryhmäkriteeriä. Oletuksen mukaan H 1, H 2 G, joten H 1 H 2 G. Olkoon e ryhmän G neutraalialkio. Nyt e H 1 ja e H 2, joten e H 1 H 2. Siten H 1 H 2 on epätyhjä. Oletetaan vielä, että a, b H 1 H 2. Nyt a, b H 1, joten ab 1 H 1. Samoin nähdään, että ab 1 H 2. Siten ab 1 H 1 H 2. Aliryhmäkriteerin nojalla H 1 H 2 G. Tiivistelmä Ryhmässä on määritelty liitännäinen laskutoimitus, jolla on neutraalialkio. Lisäksi jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Aliryhmä on ryhmä, joka on toisen ryhmän osajoukko.

36 36 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.4 Symmetrinen ryhmä Seuraavaksi käsittelemme symmetrisiä ryhmiä, jotka muodostuvat niin kutsutuista permutaatioista. Symmetrisillä ryhmillä on ryhmäteoriassa tärkeä rooli. Tällä kurssilla ne tarjoavat yksinkertaisia esimerkkejä äärellisistä epävaihdannaisista ryhmistä Permutaatiot Matemaattisen määritelmän mukaan permutaatio on bijektio joukolta itselleen. Latinan sana permutatio tarkoittaa muutosta tai vaihtoa, ja permutaatio kuvaakin joukon alkioiden järjestyksen vaihtumista. Vastaostetussa korttipakassa kortit ovat tietyssä perusjärjestyksessä. Kun korttipakan ensimmäisen kerran sekoittaa, esimerkiksi herttaässän paikalle tulee joku toinen kortti, vaikkapa patakakkonen. Voidaan ajatella, että herttaässä muuttui tai kuvautui patakakkoseksi. On siis tapahtunut korttipakan permutaatio, jossa jokainen kortti on voinut vaihtua toiseksi, mutta yksikään kortti ei ole kadonnut eikä kortteja ole myöskään tullut lisää. Kuvaus on siksi välttämättä bijektio. Tarkastellaan esimerkkiä, jossa on yksinkertaisuuden vuoksi hiukan vähemmän kortteja. Otetaan korttipakasta neljä ässää, yksi kutakin maata. Laitetaan ne pöydälle järjestykseen hertta, ruutu, risti, pata. Jos nyt muutetaan korttien paikkoja niin, että ne ovat järjestyksessä hertta, risti, pata, ruutu, niin voidaan ajatella, että on tehty kuvaus hertta hertta ruutu risti risti pata pata ruutu. Koska jokainen kortti on jonkin vanhan kortin paikalla, on kuvaus surjektio. Mitkään kaksi korttia eivät myöskään kuvaudu samalle kortille, joten kyseessä injektio ja siten edelleen bijektio. Jos kuvitellaan kaikki uuden korttipakan kortit numeroiduiksi juoksevalla järjestysnumerolla, voidaan permutaation ajatella muuttavan näitä järjestysnumeroita, sen sijaan että se muuttaisi itse kortteja. Tämä helpottaa matemaattista tarkastelua, kun voidaan aina rajoittua johonkin lukujoukkoon ja sen bijektioihin tarvitsematta määritellä erikseen korttien tai muiden esineiden joukkoja Määritelmä. Olkoon n luonnollinen luku. Määritellään N n = {1, 2,..., n}. Joukon N n permutaatio on bijektio N n N n.

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo ALGEBRA I 1 2 ALGEBRA I Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 1.3. Ekvivalenssirelaatio 9 2. Lukuteoriaa 11 2.1. Jaollisuusrelaatio 11 2.2. Suurin

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Algebra, 1. demot, 18.1.2012

Algebra, 1. demot, 18.1.2012 Algebra, 1. demot, 18.1.2012 1. Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus?

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Matti Åstrand Helsinki 25.5.2009 Pro gradu -tutkielma HELSINGIN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA Heikki Junnila VERKOT LUKU I JOUKOISTA JA RELAATIOISTA 1. Joukkojen symmetrinen erotus.....................................1 2. Relaation sisältämät kuvaukset.................................... 7 Harjoitustehtäviä................................................

Lisätiedot

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010 ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen 2010 c Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen Esipuhe Tämä kirja on syntynyt toisen tekijän(t.m.) Turun yliopistossa

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Toitteko minulle ihmisen, joka ei osaa laskea sormiaan? Kuolleiden kirja JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Alkusanat Tämä tiivistelmä on allekirjoittaneen

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen

Lisätiedot

Luonnolliset vs. muodolliset kielet

Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnollisia kieliä ovat esim. 1. englanti, 2. suomi, 3. ranska. Muodollisia kieliä ovat esim. 1. lauselogiikan kieli (ilmaisut p, p q jne.), 2. C++, FORTRAN, 3. bittijonokokoelma

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Syksy 1999, kevät 2002, 2005, 2008, syksy 2010 Äärellisten mallien teoria Kotisivu: http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/aemt/

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Permutaatioista alternoivaan ryhmään

Permutaatioista alternoivaan ryhmään Permutaatioista alternoivaan ryhmään Pro Gradu-tutkielma Sini-Susanna Fetula Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 3 Permutaatioista. 6 3.1 Symmetrinen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

(2) C on joukko, jonka alkioita kutsutaan sala(kirjoite)tuiksi viesteiksi (engl. ciphertext);

(2) C on joukko, jonka alkioita kutsutaan sala(kirjoite)tuiksi viesteiksi (engl. ciphertext); 2. Salausjärjestelmä Salausjärjestelmien kuvaamisessa käytetään usein apuna kolmea henkilöä : Liisa (engl. Alice), Pentti (engl. Bob) ja Erkki (eng. Eve eavesdrop 10 ). Salausjärjestelmillä pyritään viestin

Lisätiedot

Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut

Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut Solmu 3/2008 1 Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut Tauno Metsänkylä Matematiikan laitos, Turun yliopisto Kun kokonaislukujen 0,1,2,... joukkoa laajennetaan vaiheittain ottamalla mukaan negatiiviset kokonaisluvut,

Lisätiedot

Havainnollistavaa algebraa lukiolaisille matemaattisen kielentämisen näkökulmasta

Havainnollistavaa algebraa lukiolaisille matemaattisen kielentämisen näkökulmasta Havainnollistavaa algebraa lukiolaisille matemaattisen kielentämisen näkökulmasta Sanni Sairanen Pro gradu -tutkielma Huhtikuu 2013 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

A-B, kun A < B 1 / 20

A-B, kun A < B 1 / 20 A-B, kun A < B 1 / 20 Ylivuoto Luvunk p esittäminen vaatiip+1merkkiä, joista 1. merkki on1ja loputpmerkkiä0:ia. Tapauksessa, missäajab ovat positiivisia,a > B, on lukua B:kin positiivinen, joten A B +k

Lisätiedot

MAT-71506 Program Verification (Ohjelmien todistaminen) merkintöjen selityksiä

MAT-71506 Program Verification (Ohjelmien todistaminen) merkintöjen selityksiä MAT-71506 Program Verification (Ohjelmien todistaminen) merkintöjen selityksiä Antti Valmari & Antero Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Matematiikan laitos 20. elokuuta 2013 Merkkien selityksiä Tähän

Lisätiedot

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI 4 1.1 Moduli; alimoduli................................ 4 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli.......................

Lisätiedot

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia..... 1 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot..... 13 3. Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux

Lisätiedot

8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan?

8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? 8.2. Permutaatiot Esim. 1 irjaimet, ja asetetaan jonoon. uinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? Voidaan kuvitella vaikka niin, että hyllyllä on vierekkäin kolme laatikkoa (tai raiteilla

Lisätiedot

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja. IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone

Lisätiedot

Vadi m Kulikov. Ressun lukio. Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka ja filoso fia.

Vadi m Kulikov. Ressun lukio. Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka ja filoso fia. Reaaliluvut: keksitty vai löydetty käsite? Filosofisesti tuettu reaalilukujen johdatus klassisen joukko-opin aksioomista. Vadi m Kulikov Ressun lukio Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka

Lisätiedot