) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 )

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download ") + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 )"

Transkriptio

1 2 E. VALKEILA 1. Johdanto 1.1. Käytännöt. Kurssin kotisivu löytyy osoitteesta Kurssi suoritetaan kahdella välikokeella; luennot ja seuraavan viikon harjoitustehtävät ovat kurssin kotisivulla yleensä torstaisin. Välikokeisiin ilmoittaudutaan topin avulla. Kurssiin liittyvää tiedotusta varten perustetaan sähköpostilista. Kurssin loputtua pyritään järjestämään ekskursio Rahoitusteorian synty. Rahoitusteorian tavoitteena on selvittää, kuinka rahoitusmarkkinat toimivat, kuinka ne saadaan tehokkaammiksi ja kuinka niitä pitää valvoa. Kansainväliset rahoitusmarkkinat vaikuttavat jokaisen ihmisen elämään: lainoista maksettavan koron suuruus määrätään markkinoilla, valuuttakurssit määräytyvät markkinoilla... Selvää on, että markkinataloutta myös kritisoidaan 1. Nykyään rahoitusteoria on hyvin pitkälle matematisoitunut teoria ja keskeiset matemaattiset menetelmät perustuvat stokastiikkaan: todennäköisyysteroiaan, stokastisiin prosesseihin ja tilastotieteeseen. Rahoitusteorian katsotaan alkaneen Markowitzin vuonna 1952 ilmestyneestä väitöskirjasta Portfolio Selection; hän analysoi sijoitussalkkua laskemalla sen keskimääräisen tuoton ja varianssin. Keskeisiä tuloksia oli se, että salkuista, joiden keskimääräinen tuotto on vakio tulisi valita se salkku, millä on pienin varianssi. Vuonna 1969 Merton ryhtyi soveltamaan stokastista analyysiä rahoitusteoriassa. Mertonin tavoitteena oli ymmärtää sitä, kuinka hinnat määräytyvät rahoitusmarkkinoilla. Samaan aikaan Black ja Scholes kehittivät, osittain Mertonin avustuksella, tunnetun hinnoittelukaavan optioille. Kun tähän asti oli päästy, havaittiin, että jo Bachelier käytti Brownin liikettä mallintaessaan Pariisin pörssin osakkeiden hintoja vuona 1900 ilmestyneessä väitöskirjassaan. Vuosina Harrison, Kreps ja Pliska käyttivät stokastisen prosessien yleistä teoriaa ja perustelivat Black&Scholes- hinnoittelukaavan täsmällisesti. Samalla he kehittivät menetelmiä, joiden avulla voidaan, ainakin periaatteessa, hinnoitella mutkikkaitakin optiosopimuksia. Eurooppalaisen option hinnoittelukaava. Oletetaan, että optiosopimuksen eräpäivään on aikaa T päivää, option toimitushinta on K, option hinta tällä hetkellä on s. Option tuotto eräpäivänä on S T K, jos osakkeen arvo S T eräpäivänä on suurempi kuin option tomitushinta K, muutoin option on arvoton. Talletuskorko on r; tällöin siis yhden euron talletuksen arvo eräpäivänä on e rt. Osakkeen volatiliteetti on σ; tämä tarkoittaa sitä, että osakkeen arvon logaritmin varianssi Var(log S T ) = σ 2 T. Black & Scholes hinnoittelukaavaa laskettaessa oletetaan vielä, että satunnaismuuttuja log(s T ) on normaalisti jakautunut odotusarvona µ ja varianssina σ 2. Option hinta lasketaan kaavalla (1.1) sφ( log( s σ2 K ) + T (r + σ T 2 ) ) Ke rt Φ( log( s σ2 K ) + T (r σ T 1 D. Henwood Wall st,verso 1997 on yksi kritiikki, uudempiakin varmaan löytyy. 2 ) );

2 kaavassa Φ on normaalijakauman kertymäfunktio: x 1 Φ(x) = e 1 2 y2 dy. 2π RAHOITUSTEORIA 3 Kaavassa kiinnittyy huomio siihen, että hinta ei riipu lainkaan parametrista µ! Kaava (1.1) johdetaan kurssin lopussa Esitiedot. Kuten stokastiikassa on tapana ajatella, niin meillä on todennäköisyysavaruus (Ω, F, IP) ja sillä määriteltyjä satunnaismuuttujia X. Satunnaismuuttujan X odotusarvoa merkitään merkinällä IEX ja varianssia merkinnällä Var(X). Kurssin alussa tarvitaan seuraavia tietoja: Olkoot X k riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, k = 1,..., N, IP(X k = 1) = p = 1 IP(X k = 0) ja n (1.2) Y n = X k. k=1 Tällöin Y n Bin(n, p) kaikilla n = 1,..., N. IE[Y n+1 Y 1,..., Y n ] = Y n + p. Havaitaan, että IE[Y n+1 Y 1,..., Y n ] = IE[Y n+1 X 1,..., X n ] =: IE[Y n+1 F n ]; tässä F n on satunnaismuuttujien X 1,..., X n (tai satunnaismuuttujien Y 1,..., Y n ) virittämä historia 2. Selvästi F n F n+1 : tämä seuraa siitä, että mikä tahansa satunnaismuuttujia (X 1,..., X n ) koskeva tapahtuma voidaan tulkita sellaiseksi satunnaismuuttujia (X 1,..., X n, X n+1 ) koskevaksi tapahtumaksi, missä satunnaismuuttujalle X n+1 ei anneta mitään lisäehtoja. Joskus on mukavampaa tarkastella prosessin Y n asemasta prosessia Ỹn := 2Y n n; havaitaan, että prosessi Ỹn voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujien X k, IP( X k = 1) = p = 1 IP( X k = 1) summana Ỹn = n X k=1 k. Prosessia Ỹ = (Ỹk) k=1,...,n sanotaan satunnaiskuluksi; jos p = 1 2, niin satunnaiskulkua sanotaan symmetriseksi. Seuraava päättely on tyypillinen jatkossa. Lause 1.1. Olkoon Y = (Y k ) 1 k N kuten yhtälössä (1.2) ja olkoon f jokin funktio. Tällöin ( ) k (1.3) IE[f(Y n+k ) F n ] = f(y n + l) p l (1 p) k l l Todistus Otetaan käyttöön merkintä Y n,k := Y n+k Y n. Tiedetään, että f(y n+k ) = f(y n + l)i { Yn,k =l}. Käyttämällä tietoa, että tapahtuma { Y n,k = l} on riippumaton historiasta F n (toisin sanoen kaikista mahdollisista tapahtumista A F n ), Y n,k 2 Kirjallisuudessa merkitään usein Fn = σ(x 1,..., X n) ja sanotaan, että F n on satunnaismuuttujien X 1,..., X n virittämä σ- algebra.

3 4 E. VALKEILA Bin(k, p), ja sitä, että funktion f arvo pisteessä f(y n + l) tunnetaan, kun Y n tunnetaan, saadaan E[f(Y n+k ) F n ] = = = = IE[f(Y n + l)i { Yn,k =l} F n ] f(y n + l)ie[i { Yn,k =l} F n ] n k f(y n + l)ip( Y n,k = l) ( ) k f(y n + l) p l (1 p) k l. l Otetaan käyttöön merkintä g(x, k) := IEf(x+ Y n,k ). Havaitaan, että lauseen 1.1 tulos voidaan kirjoittaa muodossa (1.4) IE[f(Y n+k ) F n ] = g(y n, k); lause 1.1 on siis eräänlainen Feyman-Kac- lauseen muunnelma tässä yksinkertaisessa tilanteessa. 2. Hinnoittelumalli 2.1. Osake ja obligaatio. Rahoitusteorian hinnoittelumallissa ajatellaan olevan kahdenlaista varallisuutta: riskitöntä ja riskillistä. Riskitöntä varallisuutta sanotaan obligaatioksi (toinen mahdollinen termi tässä yhteydesä on talletus tai pankkitalletus). Jatkossa obligaatiota merkitään merkinnällä B. Sovitaan, että obligaation arvo hetkellä t = 0 on B 0 = 1. Obligaation arvo hetkellä t on B t (sovitaan, että arvo ilmoitetaan euroissa). Riskillistä varallisuutta sanotaan osakkeeksi; osakkeita on yleensä useita. Osakkeelle käytetään merkintää S; osakkeen arvo hetkellä t = 0 on S 0 euroa ja hetkellä t se on S t euroa. Mikäli osakkeita on useita, niin kyseessä on vektori S = (S 1,..., S d ). Jatkossa käsitellään pääasiassa yhtä osaketta ja obligaatiota. Obligaation arvo tulevaisuudessa on tunnettu, osakkeen arvo puolestaan ei ole. Tämän vuoksi osakkeen arvon S ajatellaan olevan satunnaismuuttuja, joka on määritelty todennäköisyysavaruudella (Ω, F, IP) Hinnoittelumallin säännöt. Hinnoittelumallissa on voimassa seuraavat säännöt. Kaikilla toimijoilla 3 on sama tieto osakkeen hinnasta. Obligaation talletuskorko on sama kuin lainauskorko. Osakkeen osto- ja myyntihinta on sama. Osakeita voi ostaa paloissa [tai ostaa velaksi = myydä lyhyeksi]. 3 agent

4 RAHOITUSTEORIA 5 Muutama kommentti oletuksista lienee paikallaan. Se, että kaikilla toimijoilla on sama informaatio markkinoilla on ainakin usein tavoitteena 4. Se että pankista saa velaksi rahaa samalla korolla kuin talletuksesta maksetaan koskee lähinnä suuria toimijoita. Osakkeen ostohinta on usein suurempi kuin myyntihinta, joten tämä oletus on epärealistinen. Rahaa voi panna pankkiin paloissa (ainakin yhden sentin kokoisissa paloissa), osakkeita ei kuitenkaan voi ostaa paloissa. Tätä sääntöä ei kuitenkaan pidetä yhtä epärealistsena kuin edellistä, pääasiassa siksi, että osakkeita ostetaan usein suuria määriä Salkku ja arbitraasi Yhden askeleen malli. Oletetaan että aika on diskreetti: hetki t = 0 on alkutilanne ja toimijat voivat ostaa ja myydä osakkeita sekä tehdä talletuksia tai ottaa velkaa hetkillä t = 0, missä k = 0, 1,..., T ; ajankohta T = N on erikoisasemassa, sitä sanotaan eräpäiväksi. Oletetaan seuraavassa, että T = 1. Tämä on yhden askeleen hinnoittelumalli. Jokainen toimija voi halutessaan sijoittaa varallisuutensa osakkeeseen tai obligaatioon. Merkitään toimijan varallisuutta merkinnällä V. Oletetaan, että toimijan alkupääoma on V 0 = v. Hetkellä t = 0 hän voi joko tehdä talletuksen tai ostaa (murto-osissa) osakkeen. Olkoon hetkellä t = 0 ostettujen osakkeiden määrä γ 1 ja talletuksen määrä β 1. Tehdään seuraavat oletukset: obligaation arvo hetkellä t = T = 1 on (1 + r)b 0 = 1 + r ja että osakkeen arvo hetkellä t = T = 1 on S 1. Vakio r on korko. Edelleen, hetkellä t = 0, toimija K. sijoittaa alkupääomansa obligaatioon ja osakkeeseen. Symbolisesti, alkupääoma V 0 = v sijoitetaan seuraavasti: v = β 1 + γ 1 S 0. Paria Γ = (β, γ) sanotaan sijoitusstrategiaksi ja paria (Γ, v) salkuksi. Jos β 1 > 0, niin rahaa talletetaan pankkiin, jos β 1 < 0, niin rahaa otetaan velaksi. Jos γ 1 > 0, niin ostetaan osakkeita kertoimen γ 1 verran, jos γ 1 < 0, niin osaketta myydään lyhyeksi kertoimen γ 1 verran. Hetkellä t = T = 1 salkun (Γ, v) arvo V1 Γ on V Γ 1 = β 1 (1 + r) + γ 1 S 1. Koska S 1 on satunnaismuuttuja, niin myös V Γ 1 on sitä. Esimerkki 2.1 (Lyhyeksimyynti). Herra K. on saanut tädiltään euroa. Herra K. myy lyhyeksi Nokian osaketta 400 kappaletta. Osakkeen hinta S 0 on 100 euroa. Saamansa rahat herra K. panee pankkin. Salkku Γ on siis β 1 = = ja γ 1 = 400. Laskujen helpottamiseksi oletetaan, että r = 0. Nokian osakkeen hinta on satunnaismuuttuja S 1. Jos S 1 = 80, niin salkun arvo on = euroa. Herra K. voittaa siis tässä tapauksessa euroa. Jos osakkeen hinta nousee, esimerkiksi arvoon S 1 = 120, niin saman salkun arvo hetkellä t = 1 = 2.000, joten tappio on euroa. V Γ 1 4 Mikäli ehditään, niin tarkoitus on lyhyesti esitellä mitä tapahtuu, kun tästä oletuksesta luovutaan.

5 6 E. VALKEILA Määritelmä 2.1. Yhden askeleen hinnoittelumalli mahdollistaa arbitraasin, jos alkupääomalla v = 0 on olemassa salkku (Γ, 0) siten, että V1 Γ 0 ja IP(V1 Γ > 0) > 0. Sanotaan, että salkku (Γ, v) on arbitraasisalkku. Määritelmä 2.2. Yhden askeleen hinnoittelumalli (B, S) on arbitraasivapaa, jos siinä ei ole arbitraasisalkkuja. Hinnoittelumallin arbitraasivapaus on rahoitusteoriassa lähes aksiomaattinen käsite. Taustalla on se ajatus, että mikäli jossain tilanteessa markkinoilla olisi mahdollista tehdä arbitraasia, niin kaikki ryhtyisivät sitä tekemään, josta puolestaan seuraisi hintojen muutos siten, että arbitraasin tekeminen ei enää olisi mahdollista Omavaraisuus ja arbitraasivapaus. Tarkastellaan seuraavaksi diskreettiaikaista mallia. Oletetaan, että B t = (1 + r) t, kun t = 0, 1,..., N. Merkitään S t := S t S t 1, kun t = 1,..., N (vastaavasti B t ja Vt Γ ). Tarkastellaan seuraavaksi sijoittamisen sääntöjä diskreettiaikaisessa mallissa. Hetkellä t = 0 on käytössä alkupääoma v, joka voidaan sijoittaa joko obligaatioon tai osakkeeseen. Kertoimet β 1 ja γ 1 valitaan, ainoana rajoituksena ehto v = β 1 + γ 1 S 0 ; hetkellä t = 1 tiedetään osakkeen hinta S 1. Salkun V Γ arvo on nyt V Γ 1 = β 1(1 + r) + γ 1 S 1. Nyt on sallittua vaihtaa strategiaa ja valita β 2 ja γ 2 siten, että V Γ 1 = β 2 (1 + r) + γ 2 S 2. Jatketaan samalla tavalla: Oletetaan, että hetkellä t 1 on valittu strategia (β t, γ t ) ja kun osakkeen hinta S t on havaittu, niin strategia voidaan vaihtaa toiseksi seuraavan omavaraisuusehdon puitteissa: (2.1) Vt Γ = β t (1 + r) t + γ t S t = β t+1 (1 + r) t + γ t+1 S t. Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että omavaraisuusehto (2.1) on yhtäpitävä ehdon (2.2) V Γ t = v + t β k B k + k=1 t γ k S k kanssa. Muutama huomautus on nyt paikallaan. Strategia Γ on nyt stokastinen prosessi, Γ = (β t, γ t ) 1 t N. Omavaraisuusehdosta (2.1) seuraa, että kertoimet β t, γ t valitaan ennen kuin tiedetään osakkeen arvo hetkellä t! Toisaalta kertoimet β t ja γ t voidaan valita käyttäen kaikkia havaittuja osakkeen hintoja S 0, S 1,..., S t 1. Merkitään nyt osakkeen historiaa merkinnällä F t : F t = σ(s 1,..., S t ). Se, että kertoimet β t ja γ t voidaan valita käyttäen hintoja S 1,..., S t 1 tarkoitaa täsmällisemmin sitä, että β t ja γ t ovat mitallisia historian F t 1 suhteen. Tällaista mitallisuutta sanotaan yleisesti ennustettavuudeksi historian IF = (F t ) 0 t N suhteen. Määritelmä 2.3. Tarkastellaan diskreettiaikaista hinnoittelumallia (B, S) = (B t, S t ) 0 t N. Omavarainen strategia Γ alkupääomalla v = 0 on arbitraasistrategia, jos VN Γ 0 ja IP(V N Γ > 0) > 0. k=1

6 RAHOITUSTEORIA 7 Määritelmä 2.4. Diskreettiaikainen hinnoitelumalli on arbitraasivapaa, jos siinä ei ole arbitraasisalkkuja (Γ, 0). Luvussa 4 palataan arbitraasivapaiden hinnoitttelumallien karakterisointiin. 3. Binomipuu ja eurooppalaiset vaateet 3.1. Hinnoittelu ja suojaus yhden askeleen mallissa. Hinnoittelumalli. Tarkastellaan yhden askeleen mallia. Hetkellä N = 1 osakkeen hinta S 1 voi olla joko laskenut, S 1 = (1 + a)s 0, tai noussut S 1 = (1 + y)s 0. Tuntematonta on siis huominen arvo, tunnettua puolestaan on se, että osakkeen arvo on joko (1 + a)s 0 tai (1 + y)s 0. Talletuksen arvo taas kasvaa kiinteätä korkoa ja sen arvo huomenna on B 1 = (1 + r)b 0 = 1 + r. Kun korko r tunnetaan, tiedetään myös talletuksen arvo huomenna. Hinnoittelumallissa tehdään sopimuksia osakkeeseen liittyen. Esimerkkinä tarkastellaan eurooppalaista osto-optiota, missä sopimuksen ostajalla on oikeus ostaa osake huomenna tiettyyn kiinteään hintaan K. Sopimuksen myyjä/kirjoittaja puolestaan on velvollinen myymään osakkeen hintaan K. Myyjän kannalta tilanne on seuraava: a: Jos S 1 < K, niin sopimus on sen haltijalle arvoton, koska osakkeen hinta on sovittua hintaa K pienempi. Myyjän tappio hetkellä T = N = 1 on siis = 0. y: Jos S 1 > K, niin sopimuksen arvo on S 1 K, ja haltijan kannattaa ostaa osake hinnalla K ja myydä se välittömästi hinnalla S 1. Taskuun jää rahaa S 1 K markkaa, joka on myös myyjän tappio. Kaavana myyjän tappio tai vaade on f(s 1 ) =. max(s 1 K, 0). Mikä on option arvo? Tunnettuja ovat osakken hinta S 0, (lyhyt) korko r ja osakkeen mahdolliset arvot huomenna. Osakkeen arvon kasvusta, lyhyestä korosta r ja toimeenpanohinnasta K oletetaan (3.1) a < r < y ja (1 + a)s 0 < K < (1 + y)s 0. Vakio a on yleensä negatiivinen: a < 0. Ehdot (3.1) liittyvät siihen, että hinnoittelumalli (B, S) on arbitraasivapaa (tästä lisää harjoituksissa). Suojaushinta. Eurooppalaisen osto-option arvo määrätään hakemalla ns. suojaus. Haetaan strategia (β 1, γ 1 ) siten, että varallisuus hetkellä t = 1 on yhtä suuri kuin mahdollinen tappio: V 1 = β 1 B 1 + γ 1 S 1 = max(s 1 K, 0). Kun muistetaan, että B 0 = 1, saadaan yhtälöryhmä (3.2) β 1 (1 + r) + γ 1 S 0 (1 + a) = 0 β 1 (1 + r) + γ 1 S 0 (1 + y) = (1 + y)s 0 K. Yhtälöryhmässä (3.2) on kaksi tuntematonta β 1 ja γ 1 ja kaksi yhtälöä. Oletuksesta (3.1) seuraa, että ratkaisuksi saadaan β 1 = (1 + a) ((1 + y) S 0 K) (y a) (1 + r) ja γ 1 = (1 + y) S 0 K (y a) S 0.

7 8 E. VALKEILA Se alkupääoma v, millä suojaus on mahdollista, saadaan kaavasta v = β 1 B 0 + γ 1 S 0 : (3.3) v = ((1 + y) S 0 K) (r a). (y a) (1 + r) Jos option myyjä asettaa hinnaksi alkupääoman v yhtälöstä (3.3), niin hän ei kärsi tappiota hetkellä t = N = 1. Toisaalta ostaja tietää, että myyjä ei myöskään saa ylimääräistä voittoa tällä hinnalla! Näin määriteltyä hintaa sanotaankin tasapuoliseksi hinnaksi tai suojaushinnaksi.. Oletus siitä, että osakkeen hinta voi hetkellä t = 1 saada kaksi eri arvoa on puolestaan aivan oleellinen yllä esitetylle suojauksen konstruoinnille. Siitä seuraa, että kaikki sopimukset ovat suojattavissa tällöin sanotaan että markkinamalli on täydellinen. Mikäli hinta voisi muuttua kolmeen (tai useampaan ) eri arvoon, niin yhtälöryhmällä (3.2) ei enää ole yksikäsitteistä ratkaisua ja suojausta ei enää voi konstruoida. Saadaan esimerkki epätäydellisestä markkinamallista, missä tasapuolista hintaa ei yleensä ole. Esimerkki 3.1 (Valuuttasuojaus). Telakka solmii sopimuksen, jonka mukaan laivasta maksetaan vuoden 2007 alussa miljoona dollaria. Oletetaan, että dollarin kurssi vuoden 2005 alussa on yksi euro. Oletetaan, että dollarin kurssi voi vuoden 2007 alussa voi olla joko 0.80 euroa tai 1.20 euroa ja että korko kahden vuoden aikana on kaksi prosenttia. Telakka haluaa tehdä sopimuksen, jonka perusteella se saa ostaa miljoonalla dollarilla euroja hintaan yksi dollari eurosta. Tavoitteena on suojautua dollarin hinnan putoamista vastaan. Lasketaan kaavan (3.3) perusteella suojaussopimuksen hinta yhdelle dollarille. Ratkaistaan ensin vakiot y ja a: (1+y)1 = 1.20 mistä vakion y arvoksi saadaan 0.20 ja vakion a arvoksi vastaavsti Korko r on = Tarkastelujakso on siis kaksi vuotta. Kaavasta (3.3) saadaan nyt sopimuksen hinnaksi (1.2 1)( ) = Miljoonan dollarin suojaaminen maksaa siis noin euroa. Verrataan tilannetta siihen, että suojausta ei tehdä: jos dollarin hinta nousee, saadaan voittoa euroa, jos putoaa, niin tappiota tulee saman verran. Jos suojaus tehdään, niin voittoa tulee noin euroa ja tappiota tulee sopmuksen hinnan verran eli noin euroa. Etuna on tietenkin se, että kahden vuoden kuluttua ei enää ole mitään riskiä ja telakka voi suunnitella toimintaansa varmana siitä, että dollarin kurssin heilahtelu ei aiheuta uusia lisäkuluja. Todennäköisyystulkinta. Olkoon ρ satunnaismuuttuja, joka saa arvon y todennäköisyydellä p, ja arvon a todennäköisyydellä 1 p ja X satunnaismuuttuja, joka saa arvon 1, jos ρ = y ja arvon 0, jos ρ = a. Tällöin (3.4) S 1 = (1 + ρ)s 0 = (1 + y) X (1 + a) 1 X S 0 ; satunnaismuuttuja ρ on siis satunnainen korko. Vaihdetaan nyt todennäköisyys p todennäköisyydeksi q siten, että (3.5) E Q S 1 = S 0 (1 + r),

8 RAHOITUSTEORIA 9 missä Q on todennäköisyysmitta, jolle Q(ρ = y) = Q(X = 1) = q. Yhtälön (3.5) avulla saadaan yhtälö S 0 (1 + y)q + S 0 (1 + a)(1 q) = S 0 (1 + r) jonka ratkaisu on q = r a y a. Saatua todennäköisyyttä q sanotaan riskineutraaliksi todennäköisyydeksi. Todennäköisyyden q suhteen laskettu osakkeen keskimääräinen tuotto on sama kuin talletuksen. Osoitetaan lopuksi, että option myyjän diskontattu tappio on sama kuin käsiteltävän option tasapuolinen hinta: (1 + r) 1 E Q (max(s 1 K, 0)) = ((1 + y) S 0 K) (r a). (y a) (1 + r) Tämä seuraa siitä, että E Q (max(s 1 K, 0)) = q((1 + y)s 0 K) = r a y a ((1 + y)s 0 K) Binomipuu Diskreetti stokastinen analyysi. Merkintöjä, osittaisintegrointi. Olkoon a = (a k ) n k=0 lukujono ja olkoon a k = a k a k 1, missä 1 k n. Seuraava lause on diskreetin ajan vastine stokastisen analyysin osittaisintegroitikaavalle. Tulos perustuu Abelin summakaavaan. Lause 3.1. Olkoot a ja b lukujonoja, a = (a k ) n k=0 ja b = (b k) n k=0. Jos k n, niin (3.6) a k b k = a 0 b 0 + l k a l 1 b l + l k b l 1 a l + l k a l b l. Todistus Koska jokainen lukujonon termi voidaan kirjoittaa teleskooppisummana aikaisemmista termeistä: a k = a 0 + l k a k, niin riittää osoittaa, että missä. ( (ab)) k = ak b k a k 1 b k 1 = u k, u k = a 0 b 0 + a l 1 b l + b l 1 a l + a l b l. l k l k l k Nyt u k = a k 1 b k + b k 1 a k + a k b k = a k b k a k 1 b k 1, mistä väite seuraa. Merkintä: [a, b] k = l k a l b l. Seuraus 3.1. Osittaisintegrointikaava (3.6) voidaan kirjoittaa myös muodossa (3.7) a n b n = a 0 b 0 + l n a l b l + l n b l 1 a l.

9 10 E. VALKEILA Stokastinen eksponentti. Olkoon a lukujono, jolle a 0 = 0. tarkastellaan lineaarista differenssiyhtälöä (3.8) x k = x k 1 a k, x 0 = 1. Lause 3.2. Yhtälön (3.8) yksikäsitteinen ratkaisu on (3.9) E(a) k = l k(1 + a l ). Todistus Induktiolla: kun k = 0 niin väite on selvä. Oletetaan, että lauseke (3.9) on yhtälön (3.8) yksikäsitteinen ratkaisu, kun l k. Riittää näyttää, että E(a) k+1 = E(a) k a k+1. Nyt E(a) k+1 = l k+1(1 + a l ) (1 + a l ) l k = l k(1 + a l ) a k+1. Siis lauseke E(a) on yhtälön (3.8) yksikäsitteinen ratkaisu kun l = 0,..., k+1 ja väite on todistettu. Seuraava on nyt ilmeinen: Huomautus 3.1. Olkoon a 0 = 0 ja tarkastellaan jonon a ajamaa differenssiyhtälöä: y k = y k 1 a k alkuarvona y 0 = y. Tämän yhtälön yksikäsitteinen ratkaisu on y k = ye(a) k. Lause 3.3 (Yor). Kahdelle lukujonolle a, b, a 0 = b 0 = 0 pätee (3.10) E(a)E(b) = E(a + b + [a, b]). Todistus Olkoon u =. E(a) ja w =. E(b). Osittaisintegrointikaavalla (3.6) saadaan (uw) k = u k 1 w k + w k 1 u k + u k w k. Mutta u k = u k 1 a k ja w k = w k 1 b k ; käyttämällä näitä havaintoja saadaan (uw) k = u k 1 w k 1 ( a k + b k + a k b k ). Lauseen 3.2 nojalla kaava (3.10) pätee. Esimerkki 3.2 (Vaihtuvakorkoinen pankkitalletus). Oletetaan, että korko r i on vakio aikavälillä [i 1, i), missä i = 1,..., n. Talletetaan 1 EUR pankkiin. Pankissa on rahaa hetkellä n lausekkeen i n (1 + r i) verran. Lauseen 3.2 avulla voidaan nyt päätellä seuraavaa. Olkoon R k = l k r i ja tarkastellaan yhtälöä B k = B k 1 R k, B 0 = 1. Tiedetään, että tämän yhtälön ratkaisu on nyt B k = E(R) k = l k (1 + R l ) = l k(1 + r l ). Erityisesti, B n = l n (1 + r l) on rahan määrä pankissa hetkellä t = n, jos sinne pantiin 1 EUR hetkellä t =

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja 44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 2 ermiini- ja futuurihintojen määräytyminen 1. ermiinien hinnoittelusta Esimerkki 1 Olkoon kullan spot -hinta $ 300 unssilta, riskitön korko 5 % vuodessa

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu ilastollinen päättely 5.. Johdanto Estimointi, Joukkoestimointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste-estimointi, Väliestimaatti, Väliestimaattori,

Lisätiedot

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 Prioriteettijonot Tarkastellaan M/G/1-jonojärjestelmää, jossa asiakkaat on jaettu K:hon prioriteettiluokkaan, k = 1,..., K: - luokalla 1 on korkein prioriteetti

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Kopuloiden teoria pähkinänkuoressa

Kopuloiden teoria pähkinänkuoressa Kopuloiden teoria pähkinänkuoressa Lasse Leskelä 8. toukokuuta 2012 Tiivistelmä Tässä luentomonisteessa esitetään kopuloiden teorian perusteet suurin piirtein sillä tasolla, mitä niitä käsiteltiin kurssilla

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS)

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS) neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot