) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 )

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download ") + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 )"

Transkriptio

1 2 E. VALKEILA 1. Johdanto 1.1. Käytännöt. Kurssin kotisivu löytyy osoitteesta Kurssi suoritetaan kahdella välikokeella; luennot ja seuraavan viikon harjoitustehtävät ovat kurssin kotisivulla yleensä torstaisin. Välikokeisiin ilmoittaudutaan topin avulla. Kurssiin liittyvää tiedotusta varten perustetaan sähköpostilista. Kurssin loputtua pyritään järjestämään ekskursio Rahoitusteorian synty. Rahoitusteorian tavoitteena on selvittää, kuinka rahoitusmarkkinat toimivat, kuinka ne saadaan tehokkaammiksi ja kuinka niitä pitää valvoa. Kansainväliset rahoitusmarkkinat vaikuttavat jokaisen ihmisen elämään: lainoista maksettavan koron suuruus määrätään markkinoilla, valuuttakurssit määräytyvät markkinoilla... Selvää on, että markkinataloutta myös kritisoidaan 1. Nykyään rahoitusteoria on hyvin pitkälle matematisoitunut teoria ja keskeiset matemaattiset menetelmät perustuvat stokastiikkaan: todennäköisyysteroiaan, stokastisiin prosesseihin ja tilastotieteeseen. Rahoitusteorian katsotaan alkaneen Markowitzin vuonna 1952 ilmestyneestä väitöskirjasta Portfolio Selection; hän analysoi sijoitussalkkua laskemalla sen keskimääräisen tuoton ja varianssin. Keskeisiä tuloksia oli se, että salkuista, joiden keskimääräinen tuotto on vakio tulisi valita se salkku, millä on pienin varianssi. Vuonna 1969 Merton ryhtyi soveltamaan stokastista analyysiä rahoitusteoriassa. Mertonin tavoitteena oli ymmärtää sitä, kuinka hinnat määräytyvät rahoitusmarkkinoilla. Samaan aikaan Black ja Scholes kehittivät, osittain Mertonin avustuksella, tunnetun hinnoittelukaavan optioille. Kun tähän asti oli päästy, havaittiin, että jo Bachelier käytti Brownin liikettä mallintaessaan Pariisin pörssin osakkeiden hintoja vuona 1900 ilmestyneessä väitöskirjassaan. Vuosina Harrison, Kreps ja Pliska käyttivät stokastisen prosessien yleistä teoriaa ja perustelivat Black&Scholes- hinnoittelukaavan täsmällisesti. Samalla he kehittivät menetelmiä, joiden avulla voidaan, ainakin periaatteessa, hinnoitella mutkikkaitakin optiosopimuksia. Eurooppalaisen option hinnoittelukaava. Oletetaan, että optiosopimuksen eräpäivään on aikaa T päivää, option toimitushinta on K, option hinta tällä hetkellä on s. Option tuotto eräpäivänä on S T K, jos osakkeen arvo S T eräpäivänä on suurempi kuin option tomitushinta K, muutoin option on arvoton. Talletuskorko on r; tällöin siis yhden euron talletuksen arvo eräpäivänä on e rt. Osakkeen volatiliteetti on σ; tämä tarkoittaa sitä, että osakkeen arvon logaritmin varianssi Var(log S T ) = σ 2 T. Black & Scholes hinnoittelukaavaa laskettaessa oletetaan vielä, että satunnaismuuttuja log(s T ) on normaalisti jakautunut odotusarvona µ ja varianssina σ 2. Option hinta lasketaan kaavalla (1.1) sφ( log( s σ2 K ) + T (r + σ T 2 ) ) Ke rt Φ( log( s σ2 K ) + T (r σ T 1 D. Henwood Wall st,verso 1997 on yksi kritiikki, uudempiakin varmaan löytyy. 2 ) );

2 kaavassa Φ on normaalijakauman kertymäfunktio: x 1 Φ(x) = e 1 2 y2 dy. 2π RAHOITUSTEORIA 3 Kaavassa kiinnittyy huomio siihen, että hinta ei riipu lainkaan parametrista µ! Kaava (1.1) johdetaan kurssin lopussa Esitiedot. Kuten stokastiikassa on tapana ajatella, niin meillä on todennäköisyysavaruus (Ω, F, IP) ja sillä määriteltyjä satunnaismuuttujia X. Satunnaismuuttujan X odotusarvoa merkitään merkinällä IEX ja varianssia merkinnällä Var(X). Kurssin alussa tarvitaan seuraavia tietoja: Olkoot X k riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, k = 1,..., N, IP(X k = 1) = p = 1 IP(X k = 0) ja n (1.2) Y n = X k. k=1 Tällöin Y n Bin(n, p) kaikilla n = 1,..., N. IE[Y n+1 Y 1,..., Y n ] = Y n + p. Havaitaan, että IE[Y n+1 Y 1,..., Y n ] = IE[Y n+1 X 1,..., X n ] =: IE[Y n+1 F n ]; tässä F n on satunnaismuuttujien X 1,..., X n (tai satunnaismuuttujien Y 1,..., Y n ) virittämä historia 2. Selvästi F n F n+1 : tämä seuraa siitä, että mikä tahansa satunnaismuuttujia (X 1,..., X n ) koskeva tapahtuma voidaan tulkita sellaiseksi satunnaismuuttujia (X 1,..., X n, X n+1 ) koskevaksi tapahtumaksi, missä satunnaismuuttujalle X n+1 ei anneta mitään lisäehtoja. Joskus on mukavampaa tarkastella prosessin Y n asemasta prosessia Ỹn := 2Y n n; havaitaan, että prosessi Ỹn voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujien X k, IP( X k = 1) = p = 1 IP( X k = 1) summana Ỹn = n X k=1 k. Prosessia Ỹ = (Ỹk) k=1,...,n sanotaan satunnaiskuluksi; jos p = 1 2, niin satunnaiskulkua sanotaan symmetriseksi. Seuraava päättely on tyypillinen jatkossa. Lause 1.1. Olkoon Y = (Y k ) 1 k N kuten yhtälössä (1.2) ja olkoon f jokin funktio. Tällöin ( ) k (1.3) IE[f(Y n+k ) F n ] = f(y n + l) p l (1 p) k l l Todistus Otetaan käyttöön merkintä Y n,k := Y n+k Y n. Tiedetään, että f(y n+k ) = f(y n + l)i { Yn,k =l}. Käyttämällä tietoa, että tapahtuma { Y n,k = l} on riippumaton historiasta F n (toisin sanoen kaikista mahdollisista tapahtumista A F n ), Y n,k 2 Kirjallisuudessa merkitään usein Fn = σ(x 1,..., X n) ja sanotaan, että F n on satunnaismuuttujien X 1,..., X n virittämä σ- algebra.

3 4 E. VALKEILA Bin(k, p), ja sitä, että funktion f arvo pisteessä f(y n + l) tunnetaan, kun Y n tunnetaan, saadaan E[f(Y n+k ) F n ] = = = = IE[f(Y n + l)i { Yn,k =l} F n ] f(y n + l)ie[i { Yn,k =l} F n ] n k f(y n + l)ip( Y n,k = l) ( ) k f(y n + l) p l (1 p) k l. l Otetaan käyttöön merkintä g(x, k) := IEf(x+ Y n,k ). Havaitaan, että lauseen 1.1 tulos voidaan kirjoittaa muodossa (1.4) IE[f(Y n+k ) F n ] = g(y n, k); lause 1.1 on siis eräänlainen Feyman-Kac- lauseen muunnelma tässä yksinkertaisessa tilanteessa. 2. Hinnoittelumalli 2.1. Osake ja obligaatio. Rahoitusteorian hinnoittelumallissa ajatellaan olevan kahdenlaista varallisuutta: riskitöntä ja riskillistä. Riskitöntä varallisuutta sanotaan obligaatioksi (toinen mahdollinen termi tässä yhteydesä on talletus tai pankkitalletus). Jatkossa obligaatiota merkitään merkinnällä B. Sovitaan, että obligaation arvo hetkellä t = 0 on B 0 = 1. Obligaation arvo hetkellä t on B t (sovitaan, että arvo ilmoitetaan euroissa). Riskillistä varallisuutta sanotaan osakkeeksi; osakkeita on yleensä useita. Osakkeelle käytetään merkintää S; osakkeen arvo hetkellä t = 0 on S 0 euroa ja hetkellä t se on S t euroa. Mikäli osakkeita on useita, niin kyseessä on vektori S = (S 1,..., S d ). Jatkossa käsitellään pääasiassa yhtä osaketta ja obligaatiota. Obligaation arvo tulevaisuudessa on tunnettu, osakkeen arvo puolestaan ei ole. Tämän vuoksi osakkeen arvon S ajatellaan olevan satunnaismuuttuja, joka on määritelty todennäköisyysavaruudella (Ω, F, IP) Hinnoittelumallin säännöt. Hinnoittelumallissa on voimassa seuraavat säännöt. Kaikilla toimijoilla 3 on sama tieto osakkeen hinnasta. Obligaation talletuskorko on sama kuin lainauskorko. Osakkeen osto- ja myyntihinta on sama. Osakeita voi ostaa paloissa [tai ostaa velaksi = myydä lyhyeksi]. 3 agent

4 RAHOITUSTEORIA 5 Muutama kommentti oletuksista lienee paikallaan. Se, että kaikilla toimijoilla on sama informaatio markkinoilla on ainakin usein tavoitteena 4. Se että pankista saa velaksi rahaa samalla korolla kuin talletuksesta maksetaan koskee lähinnä suuria toimijoita. Osakkeen ostohinta on usein suurempi kuin myyntihinta, joten tämä oletus on epärealistinen. Rahaa voi panna pankkiin paloissa (ainakin yhden sentin kokoisissa paloissa), osakkeita ei kuitenkaan voi ostaa paloissa. Tätä sääntöä ei kuitenkaan pidetä yhtä epärealistsena kuin edellistä, pääasiassa siksi, että osakkeita ostetaan usein suuria määriä Salkku ja arbitraasi Yhden askeleen malli. Oletetaan että aika on diskreetti: hetki t = 0 on alkutilanne ja toimijat voivat ostaa ja myydä osakkeita sekä tehdä talletuksia tai ottaa velkaa hetkillä t = 0, missä k = 0, 1,..., T ; ajankohta T = N on erikoisasemassa, sitä sanotaan eräpäiväksi. Oletetaan seuraavassa, että T = 1. Tämä on yhden askeleen hinnoittelumalli. Jokainen toimija voi halutessaan sijoittaa varallisuutensa osakkeeseen tai obligaatioon. Merkitään toimijan varallisuutta merkinnällä V. Oletetaan, että toimijan alkupääoma on V 0 = v. Hetkellä t = 0 hän voi joko tehdä talletuksen tai ostaa (murto-osissa) osakkeen. Olkoon hetkellä t = 0 ostettujen osakkeiden määrä γ 1 ja talletuksen määrä β 1. Tehdään seuraavat oletukset: obligaation arvo hetkellä t = T = 1 on (1 + r)b 0 = 1 + r ja että osakkeen arvo hetkellä t = T = 1 on S 1. Vakio r on korko. Edelleen, hetkellä t = 0, toimija K. sijoittaa alkupääomansa obligaatioon ja osakkeeseen. Symbolisesti, alkupääoma V 0 = v sijoitetaan seuraavasti: v = β 1 + γ 1 S 0. Paria Γ = (β, γ) sanotaan sijoitusstrategiaksi ja paria (Γ, v) salkuksi. Jos β 1 > 0, niin rahaa talletetaan pankkiin, jos β 1 < 0, niin rahaa otetaan velaksi. Jos γ 1 > 0, niin ostetaan osakkeita kertoimen γ 1 verran, jos γ 1 < 0, niin osaketta myydään lyhyeksi kertoimen γ 1 verran. Hetkellä t = T = 1 salkun (Γ, v) arvo V1 Γ on V Γ 1 = β 1 (1 + r) + γ 1 S 1. Koska S 1 on satunnaismuuttuja, niin myös V Γ 1 on sitä. Esimerkki 2.1 (Lyhyeksimyynti). Herra K. on saanut tädiltään euroa. Herra K. myy lyhyeksi Nokian osaketta 400 kappaletta. Osakkeen hinta S 0 on 100 euroa. Saamansa rahat herra K. panee pankkin. Salkku Γ on siis β 1 = = ja γ 1 = 400. Laskujen helpottamiseksi oletetaan, että r = 0. Nokian osakkeen hinta on satunnaismuuttuja S 1. Jos S 1 = 80, niin salkun arvo on = euroa. Herra K. voittaa siis tässä tapauksessa euroa. Jos osakkeen hinta nousee, esimerkiksi arvoon S 1 = 120, niin saman salkun arvo hetkellä t = 1 = 2.000, joten tappio on euroa. V Γ 1 4 Mikäli ehditään, niin tarkoitus on lyhyesti esitellä mitä tapahtuu, kun tästä oletuksesta luovutaan.

5 6 E. VALKEILA Määritelmä 2.1. Yhden askeleen hinnoittelumalli mahdollistaa arbitraasin, jos alkupääomalla v = 0 on olemassa salkku (Γ, 0) siten, että V1 Γ 0 ja IP(V1 Γ > 0) > 0. Sanotaan, että salkku (Γ, v) on arbitraasisalkku. Määritelmä 2.2. Yhden askeleen hinnoittelumalli (B, S) on arbitraasivapaa, jos siinä ei ole arbitraasisalkkuja. Hinnoittelumallin arbitraasivapaus on rahoitusteoriassa lähes aksiomaattinen käsite. Taustalla on se ajatus, että mikäli jossain tilanteessa markkinoilla olisi mahdollista tehdä arbitraasia, niin kaikki ryhtyisivät sitä tekemään, josta puolestaan seuraisi hintojen muutos siten, että arbitraasin tekeminen ei enää olisi mahdollista Omavaraisuus ja arbitraasivapaus. Tarkastellaan seuraavaksi diskreettiaikaista mallia. Oletetaan, että B t = (1 + r) t, kun t = 0, 1,..., N. Merkitään S t := S t S t 1, kun t = 1,..., N (vastaavasti B t ja Vt Γ ). Tarkastellaan seuraavaksi sijoittamisen sääntöjä diskreettiaikaisessa mallissa. Hetkellä t = 0 on käytössä alkupääoma v, joka voidaan sijoittaa joko obligaatioon tai osakkeeseen. Kertoimet β 1 ja γ 1 valitaan, ainoana rajoituksena ehto v = β 1 + γ 1 S 0 ; hetkellä t = 1 tiedetään osakkeen hinta S 1. Salkun V Γ arvo on nyt V Γ 1 = β 1(1 + r) + γ 1 S 1. Nyt on sallittua vaihtaa strategiaa ja valita β 2 ja γ 2 siten, että V Γ 1 = β 2 (1 + r) + γ 2 S 2. Jatketaan samalla tavalla: Oletetaan, että hetkellä t 1 on valittu strategia (β t, γ t ) ja kun osakkeen hinta S t on havaittu, niin strategia voidaan vaihtaa toiseksi seuraavan omavaraisuusehdon puitteissa: (2.1) Vt Γ = β t (1 + r) t + γ t S t = β t+1 (1 + r) t + γ t+1 S t. Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että omavaraisuusehto (2.1) on yhtäpitävä ehdon (2.2) V Γ t = v + t β k B k + k=1 t γ k S k kanssa. Muutama huomautus on nyt paikallaan. Strategia Γ on nyt stokastinen prosessi, Γ = (β t, γ t ) 1 t N. Omavaraisuusehdosta (2.1) seuraa, että kertoimet β t, γ t valitaan ennen kuin tiedetään osakkeen arvo hetkellä t! Toisaalta kertoimet β t ja γ t voidaan valita käyttäen kaikkia havaittuja osakkeen hintoja S 0, S 1,..., S t 1. Merkitään nyt osakkeen historiaa merkinnällä F t : F t = σ(s 1,..., S t ). Se, että kertoimet β t ja γ t voidaan valita käyttäen hintoja S 1,..., S t 1 tarkoitaa täsmällisemmin sitä, että β t ja γ t ovat mitallisia historian F t 1 suhteen. Tällaista mitallisuutta sanotaan yleisesti ennustettavuudeksi historian IF = (F t ) 0 t N suhteen. Määritelmä 2.3. Tarkastellaan diskreettiaikaista hinnoittelumallia (B, S) = (B t, S t ) 0 t N. Omavarainen strategia Γ alkupääomalla v = 0 on arbitraasistrategia, jos VN Γ 0 ja IP(V N Γ > 0) > 0. k=1

6 RAHOITUSTEORIA 7 Määritelmä 2.4. Diskreettiaikainen hinnoitelumalli on arbitraasivapaa, jos siinä ei ole arbitraasisalkkuja (Γ, 0). Luvussa 4 palataan arbitraasivapaiden hinnoitttelumallien karakterisointiin. 3. Binomipuu ja eurooppalaiset vaateet 3.1. Hinnoittelu ja suojaus yhden askeleen mallissa. Hinnoittelumalli. Tarkastellaan yhden askeleen mallia. Hetkellä N = 1 osakkeen hinta S 1 voi olla joko laskenut, S 1 = (1 + a)s 0, tai noussut S 1 = (1 + y)s 0. Tuntematonta on siis huominen arvo, tunnettua puolestaan on se, että osakkeen arvo on joko (1 + a)s 0 tai (1 + y)s 0. Talletuksen arvo taas kasvaa kiinteätä korkoa ja sen arvo huomenna on B 1 = (1 + r)b 0 = 1 + r. Kun korko r tunnetaan, tiedetään myös talletuksen arvo huomenna. Hinnoittelumallissa tehdään sopimuksia osakkeeseen liittyen. Esimerkkinä tarkastellaan eurooppalaista osto-optiota, missä sopimuksen ostajalla on oikeus ostaa osake huomenna tiettyyn kiinteään hintaan K. Sopimuksen myyjä/kirjoittaja puolestaan on velvollinen myymään osakkeen hintaan K. Myyjän kannalta tilanne on seuraava: a: Jos S 1 < K, niin sopimus on sen haltijalle arvoton, koska osakkeen hinta on sovittua hintaa K pienempi. Myyjän tappio hetkellä T = N = 1 on siis = 0. y: Jos S 1 > K, niin sopimuksen arvo on S 1 K, ja haltijan kannattaa ostaa osake hinnalla K ja myydä se välittömästi hinnalla S 1. Taskuun jää rahaa S 1 K markkaa, joka on myös myyjän tappio. Kaavana myyjän tappio tai vaade on f(s 1 ) =. max(s 1 K, 0). Mikä on option arvo? Tunnettuja ovat osakken hinta S 0, (lyhyt) korko r ja osakkeen mahdolliset arvot huomenna. Osakkeen arvon kasvusta, lyhyestä korosta r ja toimeenpanohinnasta K oletetaan (3.1) a < r < y ja (1 + a)s 0 < K < (1 + y)s 0. Vakio a on yleensä negatiivinen: a < 0. Ehdot (3.1) liittyvät siihen, että hinnoittelumalli (B, S) on arbitraasivapaa (tästä lisää harjoituksissa). Suojaushinta. Eurooppalaisen osto-option arvo määrätään hakemalla ns. suojaus. Haetaan strategia (β 1, γ 1 ) siten, että varallisuus hetkellä t = 1 on yhtä suuri kuin mahdollinen tappio: V 1 = β 1 B 1 + γ 1 S 1 = max(s 1 K, 0). Kun muistetaan, että B 0 = 1, saadaan yhtälöryhmä (3.2) β 1 (1 + r) + γ 1 S 0 (1 + a) = 0 β 1 (1 + r) + γ 1 S 0 (1 + y) = (1 + y)s 0 K. Yhtälöryhmässä (3.2) on kaksi tuntematonta β 1 ja γ 1 ja kaksi yhtälöä. Oletuksesta (3.1) seuraa, että ratkaisuksi saadaan β 1 = (1 + a) ((1 + y) S 0 K) (y a) (1 + r) ja γ 1 = (1 + y) S 0 K (y a) S 0.

7 8 E. VALKEILA Se alkupääoma v, millä suojaus on mahdollista, saadaan kaavasta v = β 1 B 0 + γ 1 S 0 : (3.3) v = ((1 + y) S 0 K) (r a). (y a) (1 + r) Jos option myyjä asettaa hinnaksi alkupääoman v yhtälöstä (3.3), niin hän ei kärsi tappiota hetkellä t = N = 1. Toisaalta ostaja tietää, että myyjä ei myöskään saa ylimääräistä voittoa tällä hinnalla! Näin määriteltyä hintaa sanotaankin tasapuoliseksi hinnaksi tai suojaushinnaksi.. Oletus siitä, että osakkeen hinta voi hetkellä t = 1 saada kaksi eri arvoa on puolestaan aivan oleellinen yllä esitetylle suojauksen konstruoinnille. Siitä seuraa, että kaikki sopimukset ovat suojattavissa tällöin sanotaan että markkinamalli on täydellinen. Mikäli hinta voisi muuttua kolmeen (tai useampaan ) eri arvoon, niin yhtälöryhmällä (3.2) ei enää ole yksikäsitteistä ratkaisua ja suojausta ei enää voi konstruoida. Saadaan esimerkki epätäydellisestä markkinamallista, missä tasapuolista hintaa ei yleensä ole. Esimerkki 3.1 (Valuuttasuojaus). Telakka solmii sopimuksen, jonka mukaan laivasta maksetaan vuoden 2007 alussa miljoona dollaria. Oletetaan, että dollarin kurssi vuoden 2005 alussa on yksi euro. Oletetaan, että dollarin kurssi voi vuoden 2007 alussa voi olla joko 0.80 euroa tai 1.20 euroa ja että korko kahden vuoden aikana on kaksi prosenttia. Telakka haluaa tehdä sopimuksen, jonka perusteella se saa ostaa miljoonalla dollarilla euroja hintaan yksi dollari eurosta. Tavoitteena on suojautua dollarin hinnan putoamista vastaan. Lasketaan kaavan (3.3) perusteella suojaussopimuksen hinta yhdelle dollarille. Ratkaistaan ensin vakiot y ja a: (1+y)1 = 1.20 mistä vakion y arvoksi saadaan 0.20 ja vakion a arvoksi vastaavsti Korko r on = Tarkastelujakso on siis kaksi vuotta. Kaavasta (3.3) saadaan nyt sopimuksen hinnaksi (1.2 1)( ) = Miljoonan dollarin suojaaminen maksaa siis noin euroa. Verrataan tilannetta siihen, että suojausta ei tehdä: jos dollarin hinta nousee, saadaan voittoa euroa, jos putoaa, niin tappiota tulee saman verran. Jos suojaus tehdään, niin voittoa tulee noin euroa ja tappiota tulee sopmuksen hinnan verran eli noin euroa. Etuna on tietenkin se, että kahden vuoden kuluttua ei enää ole mitään riskiä ja telakka voi suunnitella toimintaansa varmana siitä, että dollarin kurssin heilahtelu ei aiheuta uusia lisäkuluja. Todennäköisyystulkinta. Olkoon ρ satunnaismuuttuja, joka saa arvon y todennäköisyydellä p, ja arvon a todennäköisyydellä 1 p ja X satunnaismuuttuja, joka saa arvon 1, jos ρ = y ja arvon 0, jos ρ = a. Tällöin (3.4) S 1 = (1 + ρ)s 0 = (1 + y) X (1 + a) 1 X S 0 ; satunnaismuuttuja ρ on siis satunnainen korko. Vaihdetaan nyt todennäköisyys p todennäköisyydeksi q siten, että (3.5) E Q S 1 = S 0 (1 + r),

8 RAHOITUSTEORIA 9 missä Q on todennäköisyysmitta, jolle Q(ρ = y) = Q(X = 1) = q. Yhtälön (3.5) avulla saadaan yhtälö S 0 (1 + y)q + S 0 (1 + a)(1 q) = S 0 (1 + r) jonka ratkaisu on q = r a y a. Saatua todennäköisyyttä q sanotaan riskineutraaliksi todennäköisyydeksi. Todennäköisyyden q suhteen laskettu osakkeen keskimääräinen tuotto on sama kuin talletuksen. Osoitetaan lopuksi, että option myyjän diskontattu tappio on sama kuin käsiteltävän option tasapuolinen hinta: (1 + r) 1 E Q (max(s 1 K, 0)) = ((1 + y) S 0 K) (r a). (y a) (1 + r) Tämä seuraa siitä, että E Q (max(s 1 K, 0)) = q((1 + y)s 0 K) = r a y a ((1 + y)s 0 K) Binomipuu Diskreetti stokastinen analyysi. Merkintöjä, osittaisintegrointi. Olkoon a = (a k ) n k=0 lukujono ja olkoon a k = a k a k 1, missä 1 k n. Seuraava lause on diskreetin ajan vastine stokastisen analyysin osittaisintegroitikaavalle. Tulos perustuu Abelin summakaavaan. Lause 3.1. Olkoot a ja b lukujonoja, a = (a k ) n k=0 ja b = (b k) n k=0. Jos k n, niin (3.6) a k b k = a 0 b 0 + l k a l 1 b l + l k b l 1 a l + l k a l b l. Todistus Koska jokainen lukujonon termi voidaan kirjoittaa teleskooppisummana aikaisemmista termeistä: a k = a 0 + l k a k, niin riittää osoittaa, että missä. ( (ab)) k = ak b k a k 1 b k 1 = u k, u k = a 0 b 0 + a l 1 b l + b l 1 a l + a l b l. l k l k l k Nyt u k = a k 1 b k + b k 1 a k + a k b k = a k b k a k 1 b k 1, mistä väite seuraa. Merkintä: [a, b] k = l k a l b l. Seuraus 3.1. Osittaisintegrointikaava (3.6) voidaan kirjoittaa myös muodossa (3.7) a n b n = a 0 b 0 + l n a l b l + l n b l 1 a l.

9 10 E. VALKEILA Stokastinen eksponentti. Olkoon a lukujono, jolle a 0 = 0. tarkastellaan lineaarista differenssiyhtälöä (3.8) x k = x k 1 a k, x 0 = 1. Lause 3.2. Yhtälön (3.8) yksikäsitteinen ratkaisu on (3.9) E(a) k = l k(1 + a l ). Todistus Induktiolla: kun k = 0 niin väite on selvä. Oletetaan, että lauseke (3.9) on yhtälön (3.8) yksikäsitteinen ratkaisu, kun l k. Riittää näyttää, että E(a) k+1 = E(a) k a k+1. Nyt E(a) k+1 = l k+1(1 + a l ) (1 + a l ) l k = l k(1 + a l ) a k+1. Siis lauseke E(a) on yhtälön (3.8) yksikäsitteinen ratkaisu kun l = 0,..., k+1 ja väite on todistettu. Seuraava on nyt ilmeinen: Huomautus 3.1. Olkoon a 0 = 0 ja tarkastellaan jonon a ajamaa differenssiyhtälöä: y k = y k 1 a k alkuarvona y 0 = y. Tämän yhtälön yksikäsitteinen ratkaisu on y k = ye(a) k. Lause 3.3 (Yor). Kahdelle lukujonolle a, b, a 0 = b 0 = 0 pätee (3.10) E(a)E(b) = E(a + b + [a, b]). Todistus Olkoon u =. E(a) ja w =. E(b). Osittaisintegrointikaavalla (3.6) saadaan (uw) k = u k 1 w k + w k 1 u k + u k w k. Mutta u k = u k 1 a k ja w k = w k 1 b k ; käyttämällä näitä havaintoja saadaan (uw) k = u k 1 w k 1 ( a k + b k + a k b k ). Lauseen 3.2 nojalla kaava (3.10) pätee. Esimerkki 3.2 (Vaihtuvakorkoinen pankkitalletus). Oletetaan, että korko r i on vakio aikavälillä [i 1, i), missä i = 1,..., n. Talletetaan 1 EUR pankkiin. Pankissa on rahaa hetkellä n lausekkeen i n (1 + r i) verran. Lauseen 3.2 avulla voidaan nyt päätellä seuraavaa. Olkoon R k = l k r i ja tarkastellaan yhtälöä B k = B k 1 R k, B 0 = 1. Tiedetään, että tämän yhtälön ratkaisu on nyt B k = E(R) k = l k (1 + R l ) = l k(1 + r l ). Erityisesti, B n = l n (1 + r l) on rahan määrä pankissa hetkellä t = n, jos sinne pantiin 1 EUR hetkellä t =

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

Black ja Scholes ilman Gaussia

Black ja Scholes ilman Gaussia Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli

Lisätiedot

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 MARKKINAKATSAUS AGENDA Lyhyt johdanto optioihin Näkemysesimerkki 1: kuinka tehdä voittoa kurssien laskiessa Näkemysesimerkki

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

1 Sovelluksia. Sovelluksia 1

1 Sovelluksia. Sovelluksia 1 Sovelluksia 1 1 Sovelluksia 1.1 Tausta ja tärkeimpiä määritelmiä Kalvo 1 Aloitetaan tutustumaan luennolla tarkasteltaviin prosesseihin. Tarkempia selityksiä, esimerkiksi Brownin liikkestä, löytyy kertauksesta,

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Oikeustieteiden laitos, kansantaloustiede Luennot 22 t, harjoitukset

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

eli optioiden hinnoittelun ja toistamisen taito tai oppi optioiden oikeasta hinnasta Tommi Sottinen

eli optioiden hinnoittelun ja toistamisen taito tai oppi optioiden oikeasta hinnasta Tommi Sottinen Rahoitust=Coria eli optioiden hinnoittelun ja toistamisen taito tai oppi optioiden oikeasta hinnasta Tommi Sottinen tommi.sottinen@helsinki.fi mathstat.helsinki.fi/ tsottine 18. huhtikuuta 26 Sisältö I

Lisätiedot

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa

Lisätiedot

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla Commerzbank AG Saksan toiseksi suurin pankki Euroopan johtavia strukturoitujen tuotteiden liikkeellelaskijoita Yli 50 erilaista tuotetyyppiä listattuna Saksan

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Valuuttariskit ja johdannaiset

Valuuttariskit ja johdannaiset Valuuttariskit ja johdannaiset Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Sosiaali- ja terveysjohtamisen laitos, kansantaloustiede Lähde: Hull, Options, Futures, & Other

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto 1. Osio 3/Tosi; Organisaatiokenttää ei mainita (s.35). 2. Osiot 1 ja 2/Epätosia; Puppua. Osio 3/Lähellä oikeata kuvion 2.1 mukaan (s.30). Osio 4/Tosi (sivun 30 tekstin

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jonne Kuittinen Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KUITTINEN,

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

(1) Katetuottolaskelma

(1) Katetuottolaskelma (1) Katetuottolaskelma Katetuottolaskelmalla tarkastellaan yrityksen kannattavuutta myyntituotto - muuttuvat kustannukset (mukut) = katetuotto katetuotto - kiinteät kustannukset (kikut) = tulos (voitto

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta:

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: RMS22 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 28 Harjoitus 8 Ratkaisuehdotuksia Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: Pankki harkitsee myöntääkö 5. euron lainan asiakkaalle 12%

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

RBS Warrantit NOKIA DAX. SIP Nordic AB Alexander Tiainen Maaliskuu 2011

RBS Warrantit NOKIA DAX. SIP Nordic AB Alexander Tiainen Maaliskuu 2011 RBS Warrantit DAX NOKIA SIP Nordic AB Alexander Tiainen Maaliskuu 2011 RBS Warrantit Ensimmäiset warrantit Suomen markkinoille Kaksi kohde-etuutta kilpailukykyisillä ehdoilla ; DAX ja NOKIA Hyvät spreadit

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Mat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd

Mat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd .* Mat-2.11 4 Investointiteoria Tentti 6.9.2005 Ki{oita jokaiseen koepapcriin selveisti: o Mat-2.114 Investointiteoria o opintoki{'an numero sekii sukunimi ja viralliset etunimet tekstaten o koulutusohjelma

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. 2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5

Lisätiedot

laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia.

laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia. SHV - TUTKINTO Vakavaraisuus 30.9.2010 klo 9-15 1(6) 1. Henkivakuutusosakeyhtiö Tuoni myöntää yksilöllisiä henkivakuutuksia (sijoitussidonnaisia, laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä

Lisätiedot

Päiväkohtaista vipua Bull & Bear -sertifikaateilla

Päiväkohtaista vipua Bull & Bear -sertifikaateilla Päiväkohtaista vipua Bull & Bear -sertifikaateilla Matias Juslin Equity Derivatives Public Distribution 21. marraskuuta 2013 Bull & Bear -sertifikaatit: Johdanto Pörssissä treidattu sertifikaatti, jolla

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk K00 1. Asunto-osakeyhtiö nosti asuntojen yhtiövastikkeita 8,5 %. Kuinka suureksi muodostui 64,5 neliömetrin suuruisen asunnon kuukauden yhtiövastike, kun neliömetriltä oli aiemmin maksettu 12,00 mk kuukaudessa?

Lisätiedot

Optioiden hinnoittelu binomihilassa

Optioiden hinnoittelu binomihilassa Mat-2.3114 Investointiteoria Optioien hinnoittel binomihilassa 26.3.2015 Yksiperioiset optiot 1/3 Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa siten, että perioin päättyessä sen arvo on S toennäköisyyellä p tai

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

BS-kaava ja lama. Lama 2007. Johdannaiset ja BS-kaava. Matematiikka finanssikriisin syyllisenä. Tommi Sottinen

BS-kaava ja lama. Lama 2007. Johdannaiset ja BS-kaava. Matematiikka finanssikriisin syyllisenä. Tommi Sottinen Tommi Sottinen BS-kaava ja lama Lama 007 Countries don t owe money to each other, countries owe money to banks. If the countries owe money to banks how stupid are the countries to pay. Like the country

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoria

Luento 5: Peliteoria Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

A250A0100 Finanssi-investoinnit 5. harjoitukset 14.4.2015 Futuurit ja termiinit

A250A0100 Finanssi-investoinnit 5. harjoitukset 14.4.2015 Futuurit ja termiinit A250A0100 Finanssi-investoinnit 5. harjoitukset 14.4.2015 Futuurit ja termiinit ehtävä 5.1 Kesäkuun 3. päivä ostaja O ja myyjä M sopivat syyskuussa erääntyvästä 25 kappaleen OMX Helsinki CAP-indeksifutuurin

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon herra K.:n hyötyfunktio u(x) = ln x. (a) Onko herra K. riskinkaihtaja, riskinrakastaja vai riskineutraali?

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Littlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi

Littlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Littlen tulos 1 Littlen tulos Littlen lause Littlen tuloksena tai Littlen lauseena tunnettu tulos on hyvin yksinkertainen relaatio järjestelmään tulevan asiakasvirran, keskimäärin

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit A50A000 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset.4.05 Futuuri, termiinit ja swapit Tehtävä 6. Mikä on kahden vuoden bonditermiinin käypä markkinahinta, kun kohdeetuutena on viitelaina, jonka nimellisarvo

Lisätiedot