SÄHKÖMAGNETISMI (7OP)
|
|
- Kirsi-Kaisa Heino
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 SÄHKÖMAGNETISMI (7OP) Kevät 2009 Luennoitsija: Lehtori Markku Saarelainen (KY) Työskentelymuodot: Luennot 48 h Laskuharjoitukset k 24 h Omatoiminen opiskelu n.110 h Suoritusmuodot: kaksi välikoetta laskuharjoituksista 30% (tehtäviä on yhteensä 5 * 12) Lisälukemista: Vapaaehtoisesti hankittavissa Luentomoniste o (A. Passoja), Kurki-Suonio, o, Grant & Phillips. (Opinto-oppaan mukaiset teokset)
2 KURSSIN SISÄLTÖ 1. Johdanto 2. Staattinen sähkökenttä 3. Tasavirta 4. Staattinen magneettikenttä 5. Sähködynamiikka 6. Muuttuvat sähkövirrat 7 Maxwellin lait
3 1. JOHDANTO -KURSSIN TAVOITTEET Yleissivistävät i i ät perusteet t sähkömagneettisen teorian ymmärtämiselle. Perehtyminen sähkö- ja magneettikenttien staattisiin ja dynaamisiin vuorovaikutusilmiöihin. Maxwellin yhtälöiden fysikaalinen ja matemaattinen tulkinta. Maxwellin yhtälöt ovat eräitä fysiikan keskeisimpiä tuloksia. Suuri merkitys nykyisen teknologian kehittymiselle. Perusyhtälöt ovat edelleen lähtökohta uusien sovellusten taustalla Maxwellin yhtälöihin tukeudutaan tieteen ja tekniikan eturintamassa tänäänkin.
4 1. JOHDANTO -MAXWELLIN YHTÄLÖT Laki Integraalimuoto Differentiaalimuoto Vaihevektorimuoto Gauss (E) q d ρ ρ E A = = = v v D D% % ε A 0 Gauss (B) B d A = 0 B = 0 B% = 0 Ampere Faraday A C dφ D E B dl = μ I + μ ε H = j + H% = % j+ jωd% dt t E d l C dφ = dt B B E = E% = jωb t
5 1. JOHDANTO - MATEMAATTISET MENETELMÄT Tarpeellisia matemaattisia työkaluja gradientti, divergenssi, roottori ja Laplace operaattorit karteesisessa, sylinteri- ja pallokoordinaatistossa. Viiva-, pinta- ja tilavuusintegraalit Teoreemat: divergenssiteoreema, eli Gaussin teoreema, Stokesin teoreema, Helmholzin teoreema Tarpeellisia myös skaalaustekijät, siirtymäalkiot ja yksikkövektorit sekä muunnokset koordinaatistojen välillä SOP tentin liitteet
6 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ- SÄHKÖVARAUS Hankauskoe: kahdenlaisia varauksia: positiivisia ja negatiivisia. Varhaisimmat havainnot n. 300 eaa. Meripihkaa (kreik. elektron) hangattiin villalla pihka veti puoleensa keveitä esineitä. Meripihkakoe on esimerkki sähköstaattisesta varautumisesta. Hankaussähkökokeissa havaittu: varatut kappaleet joko hylkivät toisiaan tai vetävät toisiaan i puoleensa kahden erilaisen i varauksen olemassa olo: positiivisen ja negatiivisen. (kuva) Käsitteet: Neutraali, positiivinen, negatiivinen Varautuneita hiukkasia siirtyy kahden kappaleen välillä toinen kappale saa ylimäärän ja toinen alimäärän jotain varauslajia. Systeemin kokonaisvaraus säilyy.
7 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ- SÄHKÖVARAUS Kaikki sähkömäärät (Q) elektronin varauksen monikertoja alkeisvaraus e 1, C Atomin sähköinen koostumus: elektronit (-e) ja protonit (+e). Elektronien yli tai alijäämä ionit. Perusvuorovaikutuksista sähköinen on lyhyillä (ihmisen mittakaava) etäisyyksillä paljon voimakkaampi, kuin gravitaatio, heikko ydinvoima tai vahva ydinvoima.
8 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ- SÄHKÖVARAUS kappaleen kokonaisvarauksen aiheuttava yli tai alijäämä on luku- ja sähkömäärältään mitätön (kerroin luokkaa ) verrattuna kappaleen sisältämiin muihin varauksiin, jotka kuitenkin tasaisesti kumoavat toisensa silti tämä pieni ero negatiivisten ja positiivisten alkeisvarausten määrässä riittää aiheuttamaan makroskooppisesti merkittäviä vuorovaikutuksia. (sähköstaattiset ilmiöt ja laitteet). Pohdintaa: Litrassa vettä on 55,6 mol vesimolekyyliä, eli 53,55 MC positiivisia ja negatiivisia varauksia...
9 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUKSET JOHTEESSA Johteet vapaita varauksenkuljettajia: elektroneja Metallihila: atomit järjestäytyneet kuutiollisiksi rakennelmiksi. Metallisidos: uloimman elektronikuoren 1-3 elektronia yhteiseen elektronimereen. Metallisidokseen näennäinen oktettiehto. tti Elektronit vapaita liikkumaan materiaalissa. Myös positiiviset kationit voivat liikkua hilassa sidosten murtumatta (taottavuus). Varattu johdekappale: Kappaleesta poistettu (positiivinen kok. varaus) tai siihen tuotu elektroneja (negatiivinen kok. varaus). Elektronit hylkivät toisiaan mahdollisimman paljon varaus jakautuu aina kappaleen pinnalle. Sähköstaattisesti varatun johteen sisällä nettovaraus aina = 0
10 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUKSET ERISTEESSÄ Eristeet: t ei vapaita varauksen kuljettajia. Eristeeseen tuotu varaus jää paikalleen Eristekappaleen molekyylien elektronipilvet suuntautuvat ulkoisen kentän vaikutuksesta eristekappaleen pinnoille + ja pintavarauskatteet. huom. läpilyönti suurissa kentissä ~10 9 V/m. ==> "Lossy dielectric"
11 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAAMINEN INFLUENSSIN AVULLA
12 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ C.A Coulombin havainto 1784: Varausten välillä on voima, joka on verrannollinen varausten tuloon (huom. merkit) ja kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. NIII voimassa riippumatta varausten merkistä, suuruudesta tai etäisyydestä. Superpositioperiaate vektorisumman avulla.
13 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Coulombin voima: 1 qq0 F= rˆ 2 2 4πε 0 r 12 C,missä ε 0 = 8, ja [ q] = C=1As 2 1 qq0 Nm F= r r 3 4πε 0 r Superpositioperiaate: 1 qq F ( r r ) i j j = 3 j i 4πε 0 i j rj ri
14 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Sähköinen (Coulombinen) voima vaikuttaa varausten välillä. Voima on etävuorovaikutusta ei edellytä väliainetta. Sähkövaraus muokkaa ympäristöään jollain tavalla. Toinen (testi)varaus q 0 aistii muokkautuneen ympäristön ja kokee sähköisen (Coulombisen) voiman, joka riippuu myös sen omasta varauksesta. Kyseisessä pisteessä sähkökenttä E on (testi)varaukseen q 0 kohdistuvan voiman ja varauksen suhde. Olkoon tällainen kentän käsite nimeltään Coulombinen sähkökenttä
15 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Varatun kappaleen aiheuttama kenttä ja voima kohdistuu vain toisiin varattuihin kappaleisiin. Varaus ei vaikuta itseensä sähköisellä voimalla tai sähkökentällä. Testivarauksen aiheuttama influenssi-ilmiö ilmiö voi muuttaa kentän luoneen kappaleen varausjakaumaa (indusoitunut varaus), joten sähkökenttä riippuisi myös itse testivarauksesta. Sähkökentän määritelmään raja-arvo q 0. E = lim q 0 0 F q 0
16 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Sähkökenttä on vektorisuure, kuten sähköinen voimakin: E = 1 4πε 0 q r 2 ˆ ( pistevarauksen kenttä) r Yleisesti kentän arvo on paikan funktio. vektorikenttä, jonka muoto riippuu sen aiheuttaneesta varausjakaumasta.
17 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Kentän suunta riippuu varauksen merkistä: Kenttä suuntautuu pois pos. varauksesta ja kenttä suuntautuu neg. varaukseen päin. Pistevaraus luo ympärilleen pallosymmetrisen sähkökentän, jonka voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön varauksesta. Varaukseen vaikuttavan voiman suunta ja suuruus riippuu sekä varauksesta (merkki ja sähkömäärä) että kentästä (suunta ja suuruus): qq 1 2 rˆ 2 1 F = q 4πε r F = E 0
18 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Sähkökenttäviivat t Lähteenä positiiviset varaukset, nieluina negatiiviset Eivät risteä (kenttä on vektoreiden superpositio). Kentän voimakkuus verrannollinen viivojen tiheyteen. Vektorikenttäesitys Monen varauksen summakenttä superpositioperiaatteella i tt vektorikenttä
19 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Diskreetin varausjakauman (pistevarausjoukon) sähkökentän määrittäminen tarkastelupisteessä: Sovelletaan Coulombista kenttäkäsitettä, eli jokaisen pistevarauksen kenttä voidaan laskea erikseen. Jakauman kenttä on pistevarausten kenttien summa (superpositioperiaate) HUOM! Koska tarkastelupisteen paikka ja lähteen paikka ovat vektoreita, ovat myös Coulombinen voima ja Coulombinen sähkökenttä vektoreita, eli käytetään vektorisummaa. Demo ( potentials.html)
20 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ esimerkki ratkaisu
21 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Homogeeninen sähkökenttä Sähkökenttävektorin suunta ja suuruus kaikkialla sama esim. ideaalisen kondensaattorin levyjen välissä
22 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Jatkuvien varausjakaumien, (kuten johdesauva, rengas ja levy) sähkökentän määrittäminen superpositioperiaatteen nojalla. Ajatellaan varausjakauman koostuvan infinidesimaalisen pienistä, pistemäisistä alkioista dq, joista jokainen osallistuu kokonaiskentän muodostukseen. Jakaumaa voidaan approksimoida 1,2 tai 3 - ulotteiseksi, i jolloin puhutaan vastaavasti viiva (tai lineaarisesta)- pinta- ja tilavuusvaraustiheysjakaumasta Varaus Q jakautuu tasaisesti 1-2- tai 3 ulotteiseen tilaan, jolloin voidaan määrittää: Pituusvaraustiheys: λ = Q/l [C/m] Pintavaraustiheys: σ = Q/A [C/m 2 ] Tilavuusvaraustiheys ρ = Q/V [C/m 3 ]
23 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Jatkuvien ja infinidesimaalisten (pistevarausten) varausten dq kenttien tapauksessa superpositioperiaatteen mukainen sähkökenttien summaus voidaan korvata integraalilla. varausalkio dq pitää lausua jakauman geometrian avulla käyttäen hyödyksi vastaavaan geometriaan soveltuvaa varaustiheyttä: dq = λdl, missä dl on pituusalkio dq = σds, missä ds on pinta-ala alkio dq = ρdv, missä dv on tilavuusalkio Varausalkion etäisyys pisteestä, jossa kenttä halutaan määrittää on funktio (etäisyysfunktio) Sähkökentän vektoriluonne sisältyy lähteestä tä tarkastelupisteeseen määriteltävään paikkavektoriin.
24 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Esimerkki Ratkaisu Määritä ohuen, 2l:n mittaisen varatun (varaus = q) sauvan sähkökenttä a) sauvan keskinormaalilla. b) etäisyydellä d sauvan kärjestä (sauvan suunnassa) c) etäisyydellä x äärettömän pitkästä sauvasta
25 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - LUENTOTEHTÄVÄ
26 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Esimerkki ratkaisu Määritä a-säteisen johderenkaan kenttä akselilla Määritä äärettömän ympyrälevyn y kenttä
27 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ. DIPOLI Dipolissa kaksi yhtäsuurta vastakkaismerkkistä varausta tai varausjakaumaa sidottu toisiinsa etäisyydelle d, molekyyleistä esim.hcl, H 2 O. Dipolimomentti p = qd p -vektorin suunta varauksesta + varaukseen päin Ulkoisen sähkökentän kokonaisvoima dipoliin = 0 Ulkoinen kenttä pyrkii kiertämään dipolin suuntaisekseen. Esim. 21-Mc vääntö ristitulona: τ = P E Dipolilla on sähkökentässä asema-, eli potentiaalienergiaa. potentiaali pistetulona: U = -P E Dipolin kenttä (esim 21-15)
28 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Sähkövaraus luo ympärilleen sähkökentän Sähkökenttä riippuu varauksen määrästä Sähkökenttä riippuu varatun kappaleen muodosta Sähkökenttä kussakin pisteessä on superpositio kappaleen kaikkien pisteiden aiheuttamasta kentästä Testivaraukseen kohdistuvan Coulombisen voiman avulla voidaan tutkia sähkökentän voimakkuutta ja suuntaa jokaisessa pisteessä erikseen.
29 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Vuo: Mitta, joka kertoo, kuinka suuri on sähkökentän virtaus jonkin pinnan läpi. Kokonaisvuo on verrannollinen pinnan sisältämään varaukseen. Vuon arvo pinnan pisteessä riippuu pinnan ja sen läpäisevän kentän suunnasta ja suuruudesta.
30 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Pinta voidaan myös kuvata vektorina, jolloin pinnan vektoria edustaa pinnan normaalin suuntainen, pinnan (normaalia vastaan kohtisuoran) alan suuruinen vektori. suunta sääntö: suljetulle ll pinnalle vektori osoittaa aina ulospäin pinnasta Tässä yhteydessä pinta voidaan ymmärtää mielivaltaiseksi, välttämättä ei materiaaliseksi nk Gaussin pinnaksi.
31 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Sähkökenttä pinnan läpi tarkoittaa sitä, että jokaisessa pinnan läpäisykohdassa erikseen tarkastellaan siinä olevien sähkökenttävektorin pintaa vastaan olevan komponentin ja pinnan vektorin tuloa. Pintaa vastaan kohtisuora sähkökenttävektorin komponentti on siis pinnan vektorin suuntainen. Toisin sanoen tarkastellaan jokaisessa läpäisypisteessä pistetuloa. Φ E = E A A= Anˆ
32 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI vuo suljetun pinnan läpi = kenttävektorin ja pinnan elementtivektorin pistetulo integroituna koko pinnan yli: r r Φ E = E d A
33 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Kokonaisvuo (tai nettovuo) on aina sama kaikille niille pinnoille, jotka sulkevat saman varauksen kokonaisvuota määritettäessä pinnan voi valita esim. symmetriaan perustuen. Yleisesti kannattaa etsiä pintoja, jotka ovat sopivasti kenttää vastaan kohtisuorassa (pintavektori kentän suuntainen) tai kentän suuntaisia pintoja (pintavektori kenttää vastaan kohtisuorassa). Tällöin tehtävän matematiikka helpottuu. Pistemäisille ill (tai pallosymmetrisille) ill varausjakaumille valitaan pallopinta Lineaarisille varausjakaumille sylinteripinta Tasomaisille jakaumille suoran särmiön tai lieriön muotoisia pintoja.
34 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Esimerkki Ratkaisu Pistevaraus q on origossa a) Määritä koknaissähkövuo pintaintegraalina origokeskisen 2m - sivuisen kuution läpi b) Määritä kokonaissähkövuo pintaintegraalina origokeskisen r - säteisen pallon läpi
35 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Gaussin laki: Kokonaissähkövuo suljetun pinnan yli on verrannollinen pinnan sisältämään nettovaraukseen. Gaussin laki sitoo toisiinsa varausjakauman aiheuttaman sähkökentän ja jakauman nettovarauksen. q Φ = E E d A = ε 0 A encl.
36 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Sähkökentän määritys Gaussin lain avulla taso-, sylinteri- ja pallosymmetrisille varausjakaumille varausjakauman ja Gaussin pinnan välinen geometrinen korrelaatio Gaussin pinta valitaan järkevästi varausjakauman symmetrian mukaan. Valitse pinta siten, että sähkökentällä on pinnalla joko vakioarvo ja/tai kenttä on kohtisuorassa pinnan vektoria vastaan (kenttä on pinnan kanssa yhdensuuntainen) Symmetrisille kentille valitaan sellainen pinta, että vuointegraalin pistetulo redusoituu kertolaskuksi.
37 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Esimerkki Ratkaisu Kolme äärettömän suurta levyä asetetaan yhdensuuntaisesti. Levyillä on erilaiset varauskatteet viereisen kuvan mukaisesti. Määritä sähkökenttä kaikkialla. a a.
38 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Esimerkki Ratkaisu Kaksi metalliputkea on samanakselisesti viereisen kuvan mukaisesti. Sisemmän putken pintavaraustiheys on +σ ja ulomman -2σ. Määritä sähkökenttä kaikkialla.
39 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Esimerkki Ratkaisu Varaus Q on jakaantunut tasaisesti R-säteisen pallon tilavuuteen (esim. varattu kaasu). Määritä sähkökenttä kaikkialla
40 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Luentotehtävä
41 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Esimerkki Ratkaisu
42 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Sähköinen potentiaalienergia staattinen varausjakauma luo ympärilleen konservatiivisen* (voima)kentän *)konservatiivisessa voimakentässä tehty työ siirtymälle a b ei riipu valitusta tiestä suljetulle tielle (silmukka) tehty työ = 0 kenttä E on konservatiivinen, jos on olemassa sellainen potentiaalifunktio U, jolle E = - U (palaamme myöhemmin gradienttiin) vrt. gravitaatio testivaraukseen kohdistuva coulombinen voima riippuu sen paikasta kentässä kun varaus liikkuu kentässä, tehdään työtä potentiaalienergia = kyky tehdä työtä Konservatiivisen i voiman F tekemä työ: W a b b = F d l a
43 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI olkoon integraalin arvo pisteissä a = U a ja b = U b potentiaalienergian muutos (arvo lopussa-arvo alussa) ΔU = U b U a Tehty työ W a b = U a U b = -(U b U a ) = - ΔU Tehty työ: siirtyminen d vakiokentän suunnassa W = Fd = q 0 Ed potentiaalienergia r:n suuntaisessa vakiokentässä U = q 0 Er HUOM! referenssitason (piste, jossa r = 0 jolloin potentiaalienergia U = 0) valinta on vakiokentässä mielivaltainen kenttä tekee työtä varaukseen varauksen potentiaalienergia muuttuu hiukkanen liikkuu kentän siihen kohdistavan voiman suuntaan kenttä tekee positiivisen työn hiukkasen potentiaalienergia pienenee hiukkanen liikkuu vasten kentän siihen kohdistavan voiman suuntaa kentän tekemä työ negatiivinen i hiukkasen potentiaalienergia ti i kasvaa
44 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Kahden pistevarauksen sähköinen potentiaalienergia varaus q paikallaan, varaus q 0 liikkuu pisteestä a b varauksen q kenttä tekee työtä varaukseen q 0 vain kentän suunnassa. Kenttä EI ole vakio! siirtymisessä tehty työ ei riipu tiestä pistevarausten kenttä radiaalinen tehty työ riippuu vain etäisyyksistä r a ja r b F= 1 qq 4πε r rˆ rb ˆ rb rb r dl= rdr b 1 qq0 1 qq0 qq F l F rˆ rˆ rˆ ε 0 r 4 ε0 r 4 ε ra ra ra ra 0 ra rb Wa b = d = dr = dr = dr = πε πε πε
45 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Kahden pistevarauksen q ja q 0 systeemin potentiaalienergia ti i mv. etäisyydellä r: U = 1 qq 0 4πε r 0 Potentiaalienergia äärettömän suurilla etäisyyksillä = 0
46 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Potentiaalienergia, kun testivaraus q 0 liikkuu usean stationaarisen pistevarauksen q i kentässä: tarkastellaan tehtyä työtä pareittain q 0, q i pistevarausten q i resultanttikentän tekemä työ varaukseen q 0 on yksittäisten varausten kenttien tekemien töiden summa: r b 1 4πε n n qq i W 0 a b = 2 i= 1 r i= 1 0 ri a qq dr n n 1 qq i 0 q0 q U = = 4πε r 4πε r i= 1 0 i 0 i= 1 i i
47 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI qq i = πε < r Pistevarausjoukon kokonaispotentiaalienergia: k i i 1 kaikkien pistevarausparien potentiaalienergiat U lasketaan kertaalleen yhteen: 4 0 i j ij j
48 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Määritellään sähköinen potentiaali kuten sähkökentän määritelmä Coulombisen voiman ja testivarauksen avulla: E = F/q yksikkö [E ]= N/C sähköinen potentiaali = potentiaalienergia / varaus V = U/q yksikkö [V] = J/C = V (voltti) pistevarauksen potentiaalikenttä; Kahden pistevarauksen potentiaalienergia: U = 1 qq 4 πε r 0 0 Kahden pistevarauksen sähköinen potentiaalienergia/ testivaraus pistevarauksen sähköinen potentiaali: U V = V = 1 q 4πε 0 0 q r
49 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI; LUENTOTEHTÄVÄ 1.Alla olevassa kuvasarjassa (Kuva 2) on kaksi tai neljä itseisarvoltaan samanlaista 5 mc:n varausta asetettu etäisyydelle 1m keskellä olevasta tarkastelupisteestä. Varausten merkkejä ei tunneta. Tarkastelupisteen suhteellinen potentiaali (V 0 0) tapauksissa (B...F) on ilmoitettu. Potentiaali on nolla äärettömän kaukana tarkastelupisteestä, sekä kohdassa A. Määritä sähkökenttien suuruudet tarkastelupisteessä tapauksissa A, B, C, D, E ja F. (Vihje: potentiaali on skalaarisuure ja sähkökenttä on vektorisuure)
50 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI usean pistevarauksen potentiaali pisteessä P = skalaarisumma kaikkien pistevarausten it t potentiaaleista V = U 1 qi q = 4πε r i i varausjakauman potentiaali pisteessä P = integrointi yli jakauman V = 1 dq 4 πε r
51 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Esimerkki Ratkaisu
52 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Varaus sähkökentässä kappale gravitaatiokentässä Potentiaaliero = viivaintegraali sähkökentässä yli tien: ab a b a V = V V = E dl = E dl Huom: Tapaukset homogeeninen (vakio) sähkökenttä, pistevarauksen kenttä ja suljettu polku konservatiivisessa kentässä b b a
53 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Esimerkki Ratkaisu
54 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Esimerkki Ratkaisu Johdepallon säde on R ja varaus Q. Määritä sähköinen potentiaali kaikkialla
55 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Esimerkki Ratkaisu
56 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Pistevarauksen sähkökenttä on vektorikenttä. Sähkökentällä on jokaisessa pisteessä suunta ja suuruus. Sähkökenttä kohdistaa testivaraukseen voiman, jonka suuruus riippuu kentän arvosta testivarauksen paikasta kentässä. Pistevarauksen ympäristössä potentiaali voidaan määrittää tutkimalla testivarauksen siirtämiseen tehtyä työtä. Potentiaaliero syntyy vain siirryttäessä kentän suunnassa. Jos siirtyminen tapahtuu koko ajan kenttää vastaan kohtisuoraan, ei kenttä tee työtä siirtymisessä ei myöskään potentiaalin arvo muutu. Tällaisessa siirtymässä potentiaalilla on vakioarvo ja tehty työ =0.
57 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Jos kenttä on radiaalinen, kuten pistevarauksella, on kentällä sama arvo aina samansuuruisella etäisyydellä lähteestä Kun tutkitaan kaikkia mahdollisia reittejä siirryttäessä kohtisuoraan tällaista kenttä vastaan, piirtyy saman potentiaalin arvon pinnoiksi samankeskiset pallopinnat tasapotentiaalipinnat.
58 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Useiden pistevarausten t tapauksessa kenttä on SUPERPOSITIO kaikkien pistevarausten kentistä. Kun siirrytään kenttää vastaan kohtisuorassa suunnassa, ei siirtymän eri pisteiden välille synny potentiaalieroa tasapotentiaalipinta. Huom. Sähkökentän arvo voi muuttua tasapotentiaalipinnalla, vaikka potentiaalin arvo ei muuttuisikaan. Tämä johtuu siitä, että sähkökentän arvo on vektorisumma, joka siis ottaa huomioon sekä vektorin suunnan ja suuruuden, että varauksen merkin. Potentiaali on skalaarisumma, joka ottaa huomioon vain etäisyyden ja varauksen merkin.
59 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI -LUENTOTEHTÄVÄ Alla olevassa kuvassa on pistevarausten läheisyydestä osoitettu tarkastelupiste. Mihin pitäisi uusi (-2q) varaus tuoda, jotta tarkastelupisteen potentiaali olisi nolla? Ratkaisu
60 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI potentiaalin gradientti Potentiaalilla ja konservatiivisella, staattisella sähkökentällä on yhteys: b Va Vb = E d l Toisaalta potentiaaliero: b a a V V = dv = dv Joten infinidesimaalisten potentiaalierojen summa reitillä a b vastaa polkuintegraalia sähkökentässä: a b dv = d b b b E l Nyt integraalit ovat yhtäsuuret millä tahansa rajoilla a,b, jos integrandit ovat yhtäsuuret: dv = E d l a a a
61 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Sähkökenttävektori E= E ˆ ˆ ˆ xi+ Eyj+ Ezk Infinidesimaalinen siirtymävektori dl = dxˆi+ dyˆj+ dzkˆ E d l = ( E ˆi+ E ˆj+ E kˆ) ( dxˆi+ dyˆj+ dzkˆ) = E dx + E dy + E dz Koska Niin x y z x y z dv = E d l dv = E dx + E dy + E dz Koordinaattiakselin (x) suunnassa siirryttäessä, ovat paikan muutokset dy = dz = 0. Joten dv = E dx x x y z dv Ex = dx Nyt V on yleisesti paikan funktio (riippuu x,y,ja z koordinaateista), joten kyseessä on osittaisderivaatta V V Ex = x Vastaavasti voidaan tutkia muut koordinaattiakseleiden suuntaiset siirtymät, jolloin saadaan: V V V E x =, E y =, E z = x y z ja vastaavasti vektorimuotoisena E V ˆ V ˆ V = ˆ x i y j z k Nyt termi ˆ ˆ i+ j+ kˆ = ( " " luetaan suom. "nabla", engl. "grad" tai "del") x y z Joten E = V
62 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Esimerkki Ratkaisu Varausjakauman X aiheuttama sähköinen potentiaali eräällä alueella on V( x, y, z) = A( x 3 y + z ), missä A on vakio. Jakauman X aiheuttama sähkökenttä pisteessä (3,0,0) on E(3,0,0) = 18 ˆi[V/m]. Määritä pisteeseen (0,3,3) tuotuun +5nC:n pistevaraukseen kohdistuvan sähköisen voiman itseisarvo. (Voit olettaa, että pistevaraus ei muuta varausjakaumaa X).
63 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT q Gaussin lain integraalimuodossa E d A = ε A 0 on integrandissa pinnan tietyssä pisteessä olevan sähkökentän vektorin ja pinta-ala alkion pistetulo. Tarkastellaan Gaussin laki infinidesimaalisessa kuutiossa V = x yy z,jossa kuution jokainen sivu on oma - vektorimuotoinen- pinta-ala alkio da, eli x yk, x zj,..., y zi. Pisteen P koordinaatti on P = ( x 0, y 0, z 0) ja pisteen P' koordinaatti P ' = ( x0, y0 +Δ. y, z0) Δz 1 Sähkökentät näissä pisteissä ovat: P. E = E( x, y, z ) ja E = E( x, y +Δy, z ) Δx P P' z Δy dakatto= x yk P' Sähkökentät kuution muilla tahkoilla E = E( x, y, z ) ja E = E( x, y, z +Δz) pohja p p p katto p p p E = E( x, y, z ) ja E = E( x +Δx, y, z ) taka t t t etu t t t E ( x, y, z ) p p p x y
64 Kk Kokonaissähkövuo kuution pinnan yli E d A A on summa sähkökentän ja pintavektorin pistetuloista jokaisella tahkolla: huomaa, että vastakkaisten tahkojen pintavektorit ovat vastakkaissuuntaiset eli vastakkaismerkkiset.
65 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Kk Kokonaisvuo muodostuu siis pistetuloista: li E da = E( x, y, z ) ΔxΔzj P p E da = E( x, y +Δy, z ) ΔxΔzj P' p' E da = E( x, y, z ) ΔxΔyk pohja pohja p p p E da = E( x, y, z +Δz) ΔxΔyk katto katto p p p E da = E( x, y, z ) ΔzΔyi taka taka t t t E da = E( x +Δx, y, z ) ΔzΔyi etu etu t t t z Δz Δy dakatto= x yk Eli yhteensä ryhmiteltynä yhteisen pinta- Δx vektorin tekijän suhteen: dapohja= - x yk E d A = [ E ( x, ΔΔ 0 y, 0 z ) 0 + E( x, 0 y, )] 0 +Δy z0 xδz j A E( xp, y p, z p) + [ E( x, y, z ) + E( x, y, z +Δz)] ΔxΔyk p p p p p p +[ E ( xt, yt, zt) + E( xt +Δ x, yt, zt)] ΔΔ zδy i x y
66 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT q Gaussin lain E d A = mukaan kokonaisvuo k on verrannollinen pinnan ε A 0 sulkemaan varaukseen. kuution sisältämä varaus q voidaan lausua tilavuusvaraustiheyden ρ ja kuution tilavuuden V= x y z avulla: q = ρ x y z. Näin ollen: ρδxδδ y z E d A = ε 0 A [ E ( x, y, z ) + E ( x, y +Δ y, z )] Δ x Δ z j + [ E ( x, y, z ) p p p ρδxδδ y z E( xp, yp, zp +Δz)] ΔxΔyk+[ E( xt, yt, zt) + E( xt +Δx, yt, zt)] ΔzΔ yi= ε [ E( x [ (,, ) (,, 0, y0, z0) + E( x0, y0 +Δy, z0 )] j E xp yp zp + E xp yp zp +Δz)] k + Δyy Δ z [ E( xt, yt, zt) + E( xt +Δx, yt, zt)] i ρ + = Δx ε 0 0
67 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Saadaksemme Gaussin lain tulkinnan yhdessä avaruuden pisteessä, annamme kuution sivujen pituuksien lähestyä nollaa: [ E( x, y, z ) + E( x, y +Δy, z )] j [ E( x, y, z ) + E( x, y, z +Δz)] k [ E( x, y, z ) + E( x +Δx, y, z )] i ρ lim + + = lim ε p p p p p p t t t t t t Δx 0 Δy Δz Δx Δx 0 Δy 0 Δy 0 Δ z 0 Δ z 0 (, joka on osittaisderivaatan - erotusosamäärän raja-arvon - määritelmän mukaan ) ρ je + ke + ie = y z x ε 0 E = ρ ε 0 ρ Ottamalla lausekkeesta E = ε puolittain tilavuusintegraali, saadaan: ρ q Edv = dv Edv = ε ε V V 0 V 0 0 Eli vertaamalla alkuperäiseen Gaussin lain integraalimuotoon voidaan todeta että: V Edv = E da A 0
68 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Esimerkki Ratkaisu
69 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT
70 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Esimerkki Ratkaisu
71 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Potentiaali (ja sähkökenttä E= V) voidaan laskea varausjakaumasta jos ρ(v) tunnetaan. Käytännössä ä varausjakauma usein tunnetaan t vain osassa aluetta ja potentiaalille tiedetään reunaehdot. Tällöin voidaan käyttää ρ(v):n ja V:n kytkeviä differentiaaliyhtälöitä.
72 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT
73 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Esimerkki Ratkaisu Ratkaistaan levy- ja pallokondensaattoreiden kapasitanssin lausekkeet perustuen Laplacen ja Poissonin yhtälöiden käyttöön
74 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Peilivarausmenetelmä l (method of images) toteutetaan tasapotentiaalipinta ekvivalenteilla varauksilla (ns. peilivarauksilla), joilla on sama kenttä kuin alkuperäisellä systeemillä t k t ll til tt i lk äi t i l i tarkastellaan tilannetta vain alkuperäisen systeemin puoleisessa osassa tasapotentiaalipintaan nähden
75 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Esimerkki Ratkaisu Ääretön johdelevy on taivutettu suoraan kulmaan. Levyn poikkileikkaus kulkee pitkin positiivisia koordinaattiakseleita y ja x. Varaus 5 nc on pisteeseessä 5,5)[m]. Määritä sähkökenttä pisteessä (10,10)[m]
76 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Pistevaraus q on etäisyydellä d neutraalin johdepallon keskipisteestä. Pallon säde on b. Määritä potentiaali mv. pisteessä p ja pallon pintavaraustiheys. Ratkaisu
77 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - JOHDEKAPPALE SÄHKÖKENTÄSSÄ Johdekappale sähkökentässä ä - tarkastelua t kentän käsitteen kautta. Johdekappaleeseen tuotu ylimäärävaraus jakautuu aina kappaleen pinnalle kaviteettiin tuotu varaus influenssi nettovarausjakauma edelleen pinnalla Ulkoinen sähkökenttä ä vaikuttaa aa neutraalin johteen vapaisiin varauksenkuljettajiin (elektronit) Coulombin voimalla kappaleen pinnalle varausjakauma varausjakauma muodostaa kappaleen sisälle sähkökentän, joka on vastakkainen ulkoiseen kenttään nähden; nämä kentät kumoavat toisensa kaikkialla kappaleen sisällä KOKONAISKENTTÄ kappaleen sisällä E = 0 Varaukset eivät liiku kenttä johteen pinnalla on AINA kohtisuorassa pintaa vastaan.
78 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - JOHDEKAPPALE SÄHKÖKENTÄSSÄ Esimerkki Ratkaisu Tarkastellaan johdekappaletta, joka tuodaan homogeeniseen sähkökenttään (esimerkiksi levykondensaattorin levyjen väliin)
79 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - JOHDEKAPPALE SÄHKÖKENTÄSSÄ Johdekappaleen pinnalla varaus ei myöskään liiku (ei sähkövirtaa), joten sähkökentän tangentiaalikomponentin on oltava nolla. Johdekappaleen pinnalla on vain pinnan normaalin suuntainen sähkökenttä. Johdekappaleen pinta ja johdekappale kokonaisuudessaan muodostaa systeemiin tasapotentiaalipinnan (alueen).
80 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - JOHDEKAPPALE SÄHKÖKENTÄSSÄ Esimerkki Ratkaisu
81 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN Eristeessä ei vapaita varauksenkuljettajia k ji atomit, molekyylit, kemiallinen sidos ei vapauta elektroneja johtavaksi ==> huom läpilyönti suurissa kentissä 10 9 V/m. ==> "Lossy dielectric" Ulkoisessa kentässä eriste polarisoituu, jolloin eristeen pinnalle polarisaatiovaraustiheydet. Ilmiö on prosessiltaan samankaltainen kuin johteella, mutta epätäydellinen. Eristeen sisään jää osittain kumoutumaton ulkoinen kenttä. Sähkökenttä eristeessä voidaan lausua ulkoisen kentän ja aineen parametrien avulla
82 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN
83 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN
84 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN
85 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN
86 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN
87 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖKENTÄN ENERGIA Sähkökentän k energia Pistevarausjoukon konstruoimiseksi varauksia siirretään äärettömän kaukaa yksi kerrallaan varausta siirretään muiden varauksien kentässä, jolloin siirtämiseen tehdään työtä. Työ voidaan katsoa varastoituneeksi pistevarausjoukon sähköiseksi potentiaalienergiaksi. Kun kondensaattori varataan, tehdään työtä. Tehty työ varastoituu sähkökentän energiaksi Varauksen määrän ja sen aiheuttaman sähkökentän mukaisen potentiaalin relaation kuvaa kondensaattorilaki. Nyt tulkitaan, että kondensaattoriin voidaan varastoida sähköistä potentiaalienergiaa hyödynnämme energian määrittelyssä kapasitanssin käsitettä. Seuraus: emme tarvitse aina välttämättä tietoa siitä, kuinka varaukset ovat jakautuneet systeemiin, eikä näin ollen tarvitse määrittää pareittain varausten sähköisen vuorovaikutuksen kautta systeemin kokonaisenergiaa. Riittää, että tunnemme systeemin kapasitanssin ja tästä seuraavat lainalaisuudet.
88 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖKENTÄN ENERGIA
89 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖKENTÄN ENERGIA
90 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖKENTÄN ENERGIA
91 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖKENTÄN ENERGIA Esimerkki Ratkaisu
92
93
94
95 Skaalaustekijät, siirtymäalkiot ja yksikkövektorit Karteesinen Sylinteri Pallo Kantavektorit h eˆ = cosφiˆ + sinφˆ j ρ 1 h h ρ r eˆ = sinφˆi+ cosφˆj 1 1 rsin θ du dx dρ dr du dy dφ dθ du3 dz dz d θ eˆ iˆ eˆ ˆj eˆ eˆ eˆ kˆ eˆ eˆ φ eˆ z = kˆ eˆ = sinθcosφˆi+ sinθsinφˆj+ cosθkˆ r φ eˆ = cosθcosφˆi+ cosθsinφˆj sinθkˆ eˆ eˆ eˆ = sinφˆi+ cosφˆj ρ φ z r θ φ φ Kaari: dr = hdueˆ + hdu eˆ + hdu eˆ Pinta-ala yksikkövektorin eˆ suunnalla : da = hhdu du eˆ Tilavuuselementti: dv = hhhdududu < φ< 2 π, 0 < θ < π, ρ 0 r 0 Sylinterikoordinaatisto Pallokoordinaatisto
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114 Meeting: L :45 Luentoesim L23-1. Alla olevissa kuvissa on pistevarauspareja eri suuruisin varauksin. Kuvissa on myös osoitettu tarkastelupiste. Mihin pitäisi sijoittaa uusi negatiivinen pistevaraus (q = -2), jotta tarkastelupisteen potentiaali olisi nolla? Page 1 of 2
115 Meeting: L :45 Page 2 of 2
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131 Meeting: Esim25-energia :44 Page 1 of 1
132 Meeting: Esim24-verkko :54 Laske oheisen piirin kokonaiskapasitanssi sekä jännite V BD, kun C1= 1µF, C2= 2µF, C3= 3µF, C4= 4µF, C5= 5µF. Pisteen A jännite on +10V ja piste D on maadoitettu. Page 1 of 4
133 Meeting: Esim24-verkko :54 Laske oheisen piirin kokonaiskapasitanssi sekä jännite V BD, kun C1= 1µF, C2= 2µF, C3= 3µF, C4= 4µF, C5= 5µF. Pisteen A jännite on +10V ja piste D on maadoitettu. Page 2 of 4
134 Meeting: Esim24-verkko :54 Page 3 of 4
135 Meeting: Esim24-verkko :54 Page 4 of 4
136 Meeting: Esim24-sylinterik :42 Page 1 of 1
137 Meeting: Esim24-sarja :44 Page 1 of 5
138 Meeting: Esim24-sarja :44 Page 2 of 5
139 Meeting: Esim24-sarja :44 Page 3 of 5
140 Meeting: Esim24-sarja :44 Levykondensaattorin levyjen ala = A, etäisyys = 3d. Levyjen väliin asetetaan keskelle metallilevy, jonka paksuus = d, ja joka täyttää kondensaattorin sähkökentän.määritä kapasitanssin muutos. Page 4 of 5
141 Meeting: Esim24-sarja :44 Sarjaan kytketään 256 kpl identtisiä levykondensaattoreita, joille levyn ala = A etäisyys =d. Mikä on systeemin kokonaiskapasitanssi? Page 5 of 5
142 Meeting: Esim24-rinnan :59 Page 1 of 1
143 Meeting: Esim24-pallok :27 Page 1 of 1
144 Meeting: Esim24-levy :17 Page 1 of 4
145 Meeting: Esim24-levy :17 Page 2 of 4
146 Meeting: Esim24-levy :17 Page 3 of 4
147 Meeting: Esim24-levy :17 Page 4 of 4
148 Meeting: Esim24-eri :21 Page 1 of 4
149 Meeting: Esim24-eri :21 Page 2 of 4
150 Meeting: Esim24-eri :21 Page 3 of 4
151 Meeting: Esim24-eri :21 Page 4 of 4
152 Meeting: Esim24-energia :40 Page 1 of 4
153 Meeting: Esim24-energia :40 Page 2 of 4
154 Meeting: Esim24-energia :40 Page 3 of 4
155 Meeting: Esim24-energia :40 Page 4 of 4
156 Meeting: Esim23-test :44 Page 1 of 3
157 Meeting: Esim23-test :44 Page 2 of 3
158 Meeting: Esim23-test :44 Page 3 of 3
159 Meeting: Esim23-t :44 Esim. 23-t. Varaus Q on jakaantunut tasaisesti l:n pituiseen tankoon. Määritä potentiaali kuvan pisteessä P. Page 1 of 3
160 Meeting: Esim23-t :44 Page 2 of 3
161 Meeting: Esim23-t :44 Page 3 of 3
162 Meeting: Esim23-pot :53 Page 1 of 3
163 Meeting: Esim23-pot :53 Page 2 of 3
164 Meeting: Esim23-pot :53 Page 3 of 3
165 Meeting: Esim23-pj :54 Page 1 of 5
166 Meeting: Esim23-pj :54 Alla olevassa kuvassa on kaksi johdepalloa, joiden säteet ovat 2m ja 1m. Isoon palloon tuodaan aluksi varaus 1nC. Pieni pallo on aluksi neutraali. Pallot yhdistetään johtimella. Määritä tasapainotilan V, E ja Q molemmille palloille. Page 2 of 5
167 Meeting: Esim23-pj :54 Page 3 of 5
168 Meeting: Esim23-pj :54 Page 4 of 5
169 Meeting: Esim23-pj :54 Page 5 of 5
170 Meeting: Esim23-k :55 Esim. 23-k. Kondensaattorin levyjen välissä (d=2mm) on (tyhjiössä) vakiosähkökenttä 900 [N/C]. Negatiivisesti varatulta levyltä irtoaa elektroni. Millä nopeudella se iskeytyy positiiviseen levyyn? Page 1 of 1
171 Meeting: Esim23-grad :55 Page 1 of 2
172 Meeting: Esim23-grad :55 Page 2 of 2
173 Meeting: Esim23-epot :55 Page 1 of 7
174 Meeting: Esim23-epot :55 Page 2 of 7
175 Meeting: Esim23-epot :55 Page 3 of 7
176 Meeting: Esim23-epot :55 Page 4 of 7
177 Meeting: Esim23-epot :55 Page 5 of 7
178 Meeting: Esim23-epot :55 Page 6 of 7
179 Meeting: Esim23-epot :55 Page 7 of 7
180
181 Meeting: Esim :56 Esim Varaus Q on jakaantunut tasaisesti johderenkaaseen. Määritä potentiaali renkaan akselilla. Page 1 of 2
182 Meeting: Esim :56 Page 2 of 2
183 Meeting: Esim :57 Page 1 of 2
184 Meeting: Esim :57 Page 2 of 2
185 Meeting: Esim.22-taso :43 Esim. 22-taso Kolme yhdensuuntaista äärettömän kokoista levyä on asetettu vierekkäin mielivaltaisille etäisyyksille toisistaan. Levyjen pintavarauskatteet ovat σ, 2 σ ja + 3σ. Määritä sähkökenttä levyjen välissä ja levyjen ulkopuolella. Page 1 of 6
186 Meeting: Esim.22-taso :43 Jokainen levy aiheuttaa ympärilleen oman sähkökenttänsä muista riippumatta. Kuvassa esitetty sähkökenttäviivat suhteellisina voimakkuuksina (+1:-2:+3). Kenttä eri alueissa on superpositio yksittäisten kenttien vektorisummista. Page 2 of 6
187 Meeting: Esim.22-taso :43 Valitaan Gaussin pinnaksi "purkki", jonka päätyjen pinta-ala vektorit ovat yhdensuuntaiset kentän kanssa ja vaipan pintaala vektori on kohtisuorassakenttää vastaa Page 3 of 6
188 Meeting: Esim.22-taso :43 Gaussin purkkipinta Jokainen levy aiheuttaa ympärilleen oman sähkökenttänsä muista riippumatta. Kuvassa esitetty sähkökenttäviivat suhteellisina voimakkuuksina (+1:-2:+3). Kenttä eri alueissa on superpositio yksittäisten kenttien vektorisummista. Page 4 of 6
189 Meeting: Esim.22-taso :43 Jokainen levy aiheuttaa ympärilleen oman sähkökenttänsä muista riippumatta. Kuvassa esitetty sähkökenttäviivat suhteellisina voimakkuuksina (+1:-2:+3). Kenttä eri alueissa on superpositio yksittäisten kenttien vektorisummista. Page 5 of 6
190 Meeting: Esim.22-taso :43 Jokainen levy aiheuttaa ympärilleen oman sähkökenttänsä muista riippumatta. Kuvassa esitetty sähkökenttäviivat suhteellisina voimakkuuksina (+1:-2:+3). Kenttä eri alueissa on superpositio yksittäisten kenttien vektorisummista. Page 6 of 6
191 Meeting: Esim22-systeemi :57 Esim. 22-systeemi. Neliön kärjissä on varaukset alla olevan kuvan mukaisesti Määritä systeemin kokonaisenergia. Page 1 of 1
192 Meeting: Esim22-sylinteri :57 Esim. 22-sylinteri Koaksiaalikaapelissa on kaksi metalliputkea sisäkkäin alla olevan kuvan esittämällä tavalla. Sisemmän putken pintavaraustiheys on + σ ja ulomman 2σ. Määritä sähkökenttä kaikkialla. Page 1 of 6
193 Meeting: Esim22-sylinteri :57 Page 2 of 6
194 Meeting: Esim22-sylinteri :58 Page 3 of 6
195 Meeting: Esim22-sylinteri :58 Page 4 of 6
196 Meeting: Esim22-sylinteri :58 Sisemmän sylinterin kenttä varaa ulomman sylinterin sisäpinnan (influenssi-ilmiö) Staattisille sähkökentille: Johteen sisällä kenttä on AINA nolla! Kenttä johteen sisällä on aina nolla riippumatta siitä, miten johdekappale on varattu tai millaisessa ulkoisessa sähkökentässä se on. Page 5 of 6
197 Meeting: Esim22-sylinteri :58 Page 6 of 6
198
199
200
201 Pistevaraus q on origossa. M rit kokonaiss hk vuo
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211 Olkoon kaksi toisiinsa kytketty vastakkaismerkkist 1 nc:n varausta pis (1,3,7)[m](neg) ja (2,2,9)[m](pos). Alueella on s hk kentt E=(3i+4j-5k)[N/C]. M rit varaussysteemiin kohdistuva v nt.
212
213
214 Dipolin kentt heikkenee nopeammin, kuin pistevara
215 Esim Varaus Q on jakaantunut tasaisesti ohueeseen a -s teiseen renkaaseen M rit s hk kentt renkaan akselilla.
216
217 Varatun johderenkaan kentt akselilla
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotLuku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä
Luku 23 Tavoitteet: Määritellä potentiaalienergia potentiaali ja potentiaaliero ja selvittää, miten ne liittyvät toisiinsa Määrittää pistevarauksen potentiaali ja sen avulla mielivaltaisen varausjakauman
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotFysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto
ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotRATKAISUT: 18. Sähkökenttä
Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että
LisätiedotCoulombin laki ja sähkökenttä
Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELECA4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 2 Gaussin laki (YF 22) Oppimistavoitteet Varaus
LisätiedotLuku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan
Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään
LisätiedotLuku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0
Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotSähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä
Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta.
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotElektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018
Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotVIELÄ KÄYTÄNNÖN ASIAA
VIELÄ KÄYTÄNNÖN ASIAA Kurssin luentomuis8inpanot (ja tulevat laskarimallit) näkyvät vain kun olet kirjautunut sisään ja rekisteröitynyt kurssille WebOodin kauga Kurssi seuraa oppikirjaa kohtuullisen tarkkaan,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Johdanto (Ulaby 1.2 1.3) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Vektorit ja koordinaatistot
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
Lisätiedotkaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ
58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä kaikessa fysiikassa. Sähköja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
Lisätiedot5 Kentät ja energia (fields and energy)
5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 2 Tavoitteet Sähkövaraus ja sähkökenttä Sähködipoli Gaussin laki Varaus ja sähkövuo Sähkövuon laskeminen Gaussin laki Gaussin
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotJakso 5. Johteet ja eristeet Johteista
Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)
Lisätiedot1 Voima ja energia sähköstatiikassa
1 Voima ja energia sähköstatiikassa ähköstatiikassa tarkastellaan levossa olevia sähkövarauksia. 1.6 ähkövaraus Ranskalainen fyysikko Charles Coulomb osoitti kokeillaan v. 1785, että sähköllä varattujen
LisätiedotEristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä
risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus
AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Tehtävä Kaksi pistevarausta ja sijaitsevat x-tason pisteissä r x e x e ja r x e x e. Mikä ehto varauksien
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotSMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO
SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet syksy / 5 Laskuharjoitus 5 / Laplacen yhtälö ja Ampèren laki
STE80 Kenttäteorian perusteet syksy 08 / 5 Tehtävä. Karteesisessa koordinaatistossa potentiaalin nollareferenssitaso on y = 4,5 cm. Määritä johteelle (y = 0) potentiaali ja varaustiheys, kun E = 6,67 0
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
LisätiedotMagneettikentät ja niiden määrittäminen
Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotPotentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0
Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: tasaisesti varautut levyt Tiedämme edeltä: sähkökenttä E on vakio A B Huomaa yksiköt: Potentiaalin muutos pituusyksikköä
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotRATKAISUT: 19. Magneettikenttä
Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
LisätiedotLuennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: , ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko).
1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2017 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 63 35, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko) Harjoitusassistentit: Petri Kuusela ja Tapani
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN
766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /
M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotKURSSIN TÄRKEIMPIÄ AIHEITA
KURSSIN TÄRKEIMPIÄ AIHEITA varausjakauman sähköken/ä, Coulombin laki virtajakauman ken/ä, Biot n ja Savar8n laki erilaisten (piste ja jatkuvien) varaus ja virtajakautumien poten8aalienergia, poten8aali,
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 1 Kurssin esittely Kurssin toteutus ja henkilökunta
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
Lisätiedot22. SÄHKÖSTATIIKKA Sähkövaraus, Q, q
22. SÄHKÖSTATIIKKA Pääkohdat: 1. Sähkövaraus (säilyminen ja kvantittuminen) 2. Johteet ja eristeet 3. Coulombin laki 4. Superpositio- eli summautumislaki S&M kl 1998 1 Sähkö keksittiin hankaussähkönä jo
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
LisätiedotLuku Ohmin laki
Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja
LisätiedotDEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään
Lisätiedot2 Eristeet. 2.1 Polarisoituma
2 Eristeet Eristeissä kaikki elektronit ovat sitoutuneita atomeihin tai molekyyleihin, eivätkä voi siis liikkua vapaasti kuten johdeelektronit johteissa. Ulkoinen sähkökenttä aiheuttaa kuitenkin vähäisiä
Lisätiedot1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 3 Tavoitteet Sähköpotentiaali Sähköpotentiaali Sähköpotentiaalin määrittäminen Tasapotentiaalipinnat Potentiaaligradientti
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina
Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain
LisätiedotMaxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?
Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotTeddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011
Teddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011 1. Dipolimomentti voidaan määritellä pistevarauksille seuraavan vektoriyhtälön avulla: µ = q i r i, (1) i missä q i on i:nnen varauksen suuruus ja r i = (x
LisätiedotTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka V + E = IR (8.1)
Luku 8 Magneettinen energia Oppimateriaali RMC Luku 1 ja CL 7.3; esitiedot KSII luvut 4 ja 5. Luvussa 4 todettiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita,
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotFysiikka 1. Kondensaattorit ja kapasitanssi. Antti Haarto
Fysiikka Konensaattorit ja kapasitanssi ntti Haarto 4..3 Yleistä Konensaattori toimii virtapiirissä sähköisen potentiaalin varastona Kapasitanssi on konensaattorin varauksen Q ja jännitteen suhe Yksikkö
LisätiedotKYSYMYS: Lai*akaa varaukset järjestykseen, posi9ivisesta nega9ivisempaan.
: Lai*akaa varaukset järjestykseen, posi9ivisesta nega9ivisempaan. Protoni Elektroni 17 protonia 19 electronia 1,000,000 protonia 1,000,000 elektronia lasipallo puu*uu 3 elektronia (A) (B) (C) (D) (E)
LisätiedotMagneettinen energia
Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee
LisätiedotFy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7
Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput
Lisätiedot