9. Tila-avaruusmallit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "9. Tila-avaruusmallit"

Transkriptio

1 9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia malleja, jotka kehittyvät ajan funktiona. Mallista itsestään ei aina ole saatavilla suoraa havaintoa, vaan havaittu arvo voi riippua mallista jonkin kuvauksen kautta. Esimerkki 9.1. (Liikkuvan kohteen paikallistaminen etäältä) Olkoon X t R 6 lentokoneen tai vaikka satelliitin paikkakoordinaatit (X 1t, X 2t, X 3t ) ajanhetkellä t. Maasta tehtyjen tutkamittausten avulla saadaan häiriöinen 1 havainto Y t = X t + r t vektorin X t tilasta. Vektorin X t tila kehittyy dynaamisesti eli ajan funktiona. Yksinkertainen malli on, että X t = X t 1 + q t. Määritelmä 9.1. Lineaarinen tila-avaruusmalli (eng. state space model) koostuu systeemin tilamallista X t+1 = FX t + q t, (9.0.1) missä X t edustaa systeemin tilaa hetkellä t, ja havaintomallista Y t = GX t + r t + u t, (9.0.2) missä r t edustaa havaintoon mahdollisesti sisältyvää satunnaista häiriötä ja u t edustaa havainnoissa mahdollisesti olevia tunnettuja dynaamisia muuttujia. Vektoriarvoiset prosessit q t ja r t ovat valkoista kohinaa ja ne ovat riippumattomia satunnaisvektoreista X s kaikilla s. Matriisia F nimitetään transitiomatriisiksi ja matriisia G havaintomatriisiksi. Huomioita määritelmästä: Systeemin tilan X t ei tarvitse olla suoraan havaittavissa tai mitattavissa. Systeemin tila X t on on ns. piilotettu eli latentti muuttuja. Kun r t on Gaussista kohinaa, niin eri aikaan tehdyt havainnot Y t ja Y s ovat toisistaan ehdollisesti riippumattomia, kun tilat X t on annettu. Toisin sanoen eri aikaan tehtyjen havaintojen Y s ja Y t välinen tilastollinen riippuvuus johtuu systeemin tilasta X t. Systeemin tila X t+1 riippuu systeemin aiemmista tiloista vain edellisen hetken arvon X t kautta. Huomautus Kun systeemin aiempi tila X t, tunnetaan, niin systeemin tila X t+1 ei riipu aiempien havaintojen Y t arvoista. Tila-avaruusmalli on joustava malli, joka kykenee kuvaamaan erityyppisiä tilanteita. 1 Häiriöt syntyvät esim. tutkalaitteessa itsessään olevasta lämpökohinasta, ilmakehän häiriöistä, muista radiosignaaleista ja avaruudesta tulevasta taustakohinasta. 97

2 Tila-avaruusmallin avulla voidaan toteutaa pienellä määrällä parametreja myös muita rakenteellisia malleja. Tila-avaruusmallissa voidaan helposti myös sallia havaintomatriisin ja transitionmatriisin riippuvuus ajasta. Esimerkki 9.2 (AR-prosessin tila-avaruusmalli). Olkoon X t µ = p φ p (X t p µ) + ε t k=1 AR(p)-prosessi. Asetetaan tilaksi vektori (X t µ, X t 1 µ,..., X t p µ). Dynaaminen tilamalli on φ X t+1 µ 1 φ 2... φ p X t µ X t µ ε t. = X t 1 µ X t p+1 X t p 0 Havaintomalliksi asetetaan X t µ X t 1 µ Y t = µ + [ ] = X t Vektoriarvoiset prosessit X t p Määritelmä 9.2. Sanotaan, että X t on vektoriarvoinen stokastinen prosessi, jos sen jokainen komponentti on stokastinen prosessi. Tällä kurssilla merkitään vektoriarvoisen stokastisen prosessi X t komponentteja matriisilaskennasta tutuin merkinnöin X kt. Esimerkki 9.3. Olkoon ε 1t N(0, 1) ja ε 2t N(0, 3). Silloin q t = (ε 1t, ε 2t ) on vektoriarvoinen stokastinen prosessi, jonka arvot ovat avaruudessa R 2. Kahden eri prosessin välistä stokastista riippuvuutta voidaan mitata ristikorrelaatiolla. Määritelmä 9.3. Stokastisten prosessien X t ja Y t välinen ristikovarianssifunktio on kaikilla τ 0. Γ XY t (τ) = E[(X t τ E[X t τ ])(Y t E[Y t ])] 98

3 Määritelmä 9.4. Vektoriarvoinen stokastinen prosessi r t on valkoista kohinaa, jos sen kukin komponentti on valkoista kohinaa ja eri komponenttien r kt ja r k t ristikovarianssifunktio häviää. Vektoriarvoisen stokastisen prosessin odotusarvo 2 E[X t ] on vektori m t, jonka komponentit ovat m k t = E[X k t ]. Vastaavasti vektoriarvoisen stokastisen prosessin X t autokovarianssifunktio on matriisiarvoinen kuvaus, jonka elementit ovat ristikorrelaatiofunktioita. (Γ t (τ)) kl = Γ X ktx lt t (τ) 9.1 Suodatus, silotus ja ennustaminen Perusasetelma tila-avaruusmallissa on, että halutaan estimoida systeemin tila X t ajanhetkellä t on havaittu arvot Y 1,..., Y s. Ongelma jakautuu kolmeen eri tyyppiin 1. Kun s = t, kyseessä on suodatus (eng. filtering) 2. Kun s < t, kyseessä on ennustaminen (eng. forecasting) 3. Kun s > t, kyseessä on silotus (eng. smoothing, työslangissa usein smuuttaus ). 9.2 Gaussinen suodatus Käsitellään tällä kurssilla vain Gaussisia vektoriarvoisia prosesseja. Havainnot ovat M- ulotteisia eli Y t R M ja tilat ovat N-ulotteisia eli X t R N kullakin t. Tarkastellaan MMSE-estimaattia, jota merkitään kun t s. Otetaan käyttön myös lyhennysmerkintä E[X t Y 1,..., Y s ], (9.2.3) Y 1:s = (Y 1,...,Y s ) R sm. Ehdollinen odotusarvo (9.2.3) voidaan laskea vektorin X t ehdollisen todennäköisyysjakauman todennäköisyystiheysfunktion f(x t y 1:s ) avulla, kun Y 1:s saa arvon y 1:2. Palautetaan mieleen ehdollisen todennäköisyystiheysfunktion (tntf) määritelmä: 2 aina kun odotusarvot ovat hyvin määriteltyjä. f(x t y 1:s ) = f(x t, y 1:s ). f(y 1:s ) 99

4 Määritelmä 9.5. Vektoriarvoisen prosessin X t prediktiotntf on ja suodatustntf on f(x t y 1:t 1 ) f(x t y 1:t ). Seuraavassa lemmassa otetaan ensimmäiset askeleet rekursiiviseen suodatukseen. Lemmassa kannattaa kiinnittää erityisesti huomiota indeksien kulkuun yhtälöiden (9.2.4) ja (9.2.5) välilä, kun uusi havainto y t+1 on saatavilla. Lemma 9.1. Olkoon vektoriarvoisen stokastisen prosessin X t tntf hetkellä 0 f(x 0 ). Silloin prediktiotntf f(x k y 1:k 1 ) = f(x k x k 1 )f(x x k y 1:k 1 )dx k 1. (9.2.4) R N Suodatustntf on missä C k on ehdollisen jakauman normitustekjjä. f(x k y 1:k ) = C y1:k f(y k x k )f(x k y 1:k 1 ), (9.2.5) Todistus. Satunnaisvektoreiden X k, X k 1 ja Y 1:k 1 yhteisjakauman tntf on f(x k, x k 1, y 1:k 1 ). Ehdollinen tntf f(x k, x k 1 y 1:k 1 ) = f(x k, x k 1, y 1:k 1 ) f(y 1:k 1 ) = f(x k, x k 1, y 1:k 1 )f(x k 1, y k 1 ) f(x k 1, y k 1 )f(y 1:k 1 ) = f(x k (x k 1, y 1:k 1 ))f(x k 1 y 1:k 1 ) Huomatus = f(x k x k 1 )f(x k 1 y 1:k 1 ). Integroimalla muuttujan x k 1 suhteen saadaan prediktiotntf. Suodatustntf saadaan samoin f(x k y 1:k ) = f(x k, y 1:k ) f(y 1:k ) = f(y 1:k, x k ) f(x k, y 1:k 1 ) y 1:k 1 ) f(x k, y 1:k ) f(y 1:k 1 ) y 1:k ) = C y1:k f(y 1:k x k, y 1:k 1 )f(x k y 1:k 1 ) tilamalli = f(y 1:k x k )f(x k y 1:k 1 ). 9.3 Kalman-suodatus Kalman suodatus (eng.kalman filtering) antaa ratkaisun tila-avaruusmallin suodatusongelm alle. Tarkastellaan tilamallia X t+1 = FX t + q t 100

5 ja havaintomallia missä q t N(0, Q) ja r t N(0, R). Y t = GX t + r t, Lause 9.1 (Kalman-suodatus). Olkoon m 0 = E[X 0 ] ja P 0 = E[(X 0 m 0 )(X 0 m 0 ) T ] annettu. Merkitään m k = E[X k Y 1:k ] ja Prediktiotntf ja suodatustntf ovat muotoa P k = E[(X k m k )(X k m k ) T Y 1:k ] Lisäksi f(x k y 1:k 1 ) = N(m, P k ) f(x k y 1:k ) = N(m k, P k ). f(y k y 1:k 1 ) = N(Gm k, S k). Jakaumien parametrit saadaan vuorottelemaalla prediktioaskelta ja päivitysaskelta m k P k = Fm k 1 = FP k 1F T + Q v k = y k Gm k S k = GP k GT + R K k = P k GT S 1 k m k = m k + K kv k P k = P k K ks k K T k. Huomautus Kalman-suodatuksessa voidaan luontevasti myös sallia transitiomatriisin ja havaintomatriisin riippuminen ajasta. Tällainen epästationäärisyys on hankalaa liittää muihin aikasarjamalleihin kuin tila-avaruusmalleihin. 101

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.

Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio. Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi

Lisätiedot

8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH

8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH 8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt

Lisätiedot

Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t

Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Valkoinen kohina ε t 2 1 0 1 2 Voimme tehdä saman laskun myös yleiselle välille [ a, a], missä 0 < a

Lisätiedot

Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin

Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017

Lisätiedot

4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x)

4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x) Kuva 4.6: Elektroniikassa esiintyvän lämpökohinan periaate. Lämpökohinaa ε mallinnetaan additiivisella häiriöllä y = Mx + ε. 4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x) Tarkastellaan tilastollista inversio-ongelmaa,

Lisätiedot

6.2.3 Spektrikertymäfunktio

6.2.3 Spektrikertymäfunktio ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

P (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.

P (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx. Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen

Lisätiedot

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016)

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016) 805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita multinormaalijakauman määritelmä. Ymmärtää likelihood-funktion ja todennäköisyystiheysfunktion ero. Oppia kirjoittamaan

Lisätiedot

STOKASTISET PROSESSIT

STOKASTISET PROSESSIT TEORIA STOKASTISET PROSESSIT Satunnaisuutta sisältävän tapahtumasarjan kulkua koskevaa havaintosarjaa sanotaan aikasarjaksi. Sana korostaa empiirisen, kokeellisesti havaitun tiedon luonnetta. Aikasarjan

Lisätiedot

Vastaavasti voidaan määritellä korkeamman kertaluvun autoregressiiviset prosessit.

Vastaavasti voidaan määritellä korkeamman kertaluvun autoregressiiviset prosessit. Autokovarianssi: (kun τ 0) Γ t (τ) = E[(X t µ t )(X t τ µ t τ )] ( ) ( = E[ φ k ε t k φ j ε t τ j )] = = j=0 φ j+k E[ε t k ε t τ j ] k,j=0 φ j+k σ 2 δ k,τ+j k,j=0 = σ 2 φ j+k δ k,τ+j = = k,j=0 φ τ+2j I

Lisätiedot

6.1 Autokovarianssifunktion karakterisaatio aikatasossa

6.1 Autokovarianssifunktion karakterisaatio aikatasossa 6. Spektraalianalyysi Tällä kurssilla on käyty läpi eräitä stationääristen aikasarjojen ominaispiirteitä, kuten aikasarjaa mallintavan stokastisen prosessin X t odotusarvo E[X t ] ja autokovarianssifunktio

Lisätiedot

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) 805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet

Lisätiedot

4.3.6 Eräitä diskreettejä Markov-kenttiä

4.3.6 Eräitä diskreettejä Markov-kenttiä 0.4 0.35 Gauss l1 Cauchy 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Kuva 4.20: L2-priorin tnft, Cauchy-priorin tntf kun α = α = 2. 2π π 2π ja L1-priorin tntf kun 4.3.6 Eräitä diskreettejä Markov-kenttiä

Lisätiedot

ARMA(p, q)-prosessin tapauksessa maksimikohdan määrääminen on moniulotteinen epälineaarinen optimointiongelma.

ARMA(p, q)-prosessin tapauksessa maksimikohdan määrääminen on moniulotteinen epälineaarinen optimointiongelma. missä µ = c φ ja C j,k = Γj k) = σ 2 φj k φ 2. ARMAp, q)-prosessin tapauksessa maksimikohdan määrääminen on moniulotteinen epälineaarinen optimointiongelma. Käytännösssä optimointi tehdään numeerisesti

Lisätiedot

6. Tietokoneharjoitukset

6. Tietokoneharjoitukset 6. Tietokoneharjoitukset 6.1 Tiedostossa Const.txt on eräällä Yhdysvaltalaisella asuinalueella aloitettujen rakennusurakoiden määrä kuukausittain, aikavälillä 1966-1974. Urakoiden määrä on skaalattu asuinalueen

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely)

Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely) Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely) Ohjaaja: TkT Aki Vehtari Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Kandidaattiseminaari 21 1.11.21 Esityksen rakenne Tausta Derivaattahavaintojen

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Lisätiedot

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

ARMA mallien ominaisuudet ja rakentaminen

ARMA mallien ominaisuudet ja rakentaminen MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Viikko 4: 1 ARMA-mallien ominaisuudet 1 Stationaaristen

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

TIINA SOKURI VINO KALMANIN SUODATIN. Kandidaatintyö

TIINA SOKURI VINO KALMANIN SUODATIN. Kandidaatintyö TIINA SOKURI VINO KALMANIN SUODATIN Kandidaatintyö Tarkastaja: Simo Ali-Löytty Palautettu: 30.10.2012 II TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma TIINA SOKURI:

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Määritelmä 17. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos

Määritelmä 17. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos 0.02 0.04 0.06 0.08 f 0 5 0 5 0 Temperature Kuva 5.2: Tntf:n f kuvaaja: Lämpötilat välillä [5, 0] näyttävät epätodennäköisiltä. Lämpötila -2 näyttäisi todennäköisimmältä, mutta jakauma on leveä. Tämä heijastaa

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Esimerkki: Tietoliikennekytkin

Esimerkki: Tietoliikennekytkin Esimerkki: Tietoliikennekytkin Tämä Mathematica - notebook sisältää luennolla 2A (2..26) käsitellyn esimerkin laskut. Esimerkin kuvailu Tarkastellaan yksinkertaista mallia tietoliikennekytkimelle. Kytkimeen

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin

3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia

Lisätiedot

Mallipohjainen klusterointi

Mallipohjainen klusterointi Mallipohjainen klusterointi Marko Salmenkivi Johdatus koneoppimiseen, syksy 2008 Luentorunko perjantaille 5.12.2008 Johdattelua mallipohjaiseen klusterointiin, erityisesti gaussisiin sekoitemalleihin Uskottavuusfunktio

Lisätiedot

Signaalimallit: sisältö

Signaalimallit: sisältö Signaalimallit: sisältö Motivaationa häiriöiden kuvaaminen ja rekonstruointi Signaalien kuvaaminen aikatasossa, determinisitinen vs. stokastinen Signaalien kuvaaminen taajuustasossa Fourier-muunnos Deterministisen

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Cubature Integration Methods in Non-Linear Kalman Filtering and Smoothing (valmiin työn esittely)

Cubature Integration Methods in Non-Linear Kalman Filtering and Smoothing (valmiin työn esittely) Cubature Integration Methods in Non-Linear Kalman Filtering and Smoothing (valmiin työn esittely) Ohjaaja: Valvoja: TkT Simo Särkkä Prof. Harri Ehtamo 13.9.2010 Aalto-yliopiston teknillinen korkeakoulu

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi (Syksy 2016) Sari Lasanen

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi (Syksy 2016) Sari Lasanen 805324A (805679S) Aikasarja-analyysi (Syksy 2016) Sari Lasanen 1. Kurssin tiedot Osaamistavoitteet: Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija tuntee aikasarja-analyysin peruskäsitteet (mm. trendi,

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Kopuloiden teoria pähkinänkuoressa

Kopuloiden teoria pähkinänkuoressa Kopuloiden teoria pähkinänkuoressa Lasse Leskelä 8. toukokuuta 2012 Tiivistelmä Tässä luentomonisteessa esitetään kopuloiden teorian perusteet suurin piirtein sillä tasolla, mitä niitä käsiteltiin kurssilla

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 5

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 5 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 5 1. Näytä, että X t := Bt 3 3tB t on martingaali Brownin liikkeen B historian suhteen. Ratkaisuehdotus:

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Tilastolliset inversio-ongelmat

Tilastolliset inversio-ongelmat Luku 4 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollisen inversio-ongelman ratkaisu ei niinkään vastaa kysymykseen "mikä tuntematon vektori x 0 on"vaan pikemminkin kysymykseen "mitä tiedämme tuntemattomasta

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Laajennettujen Kalman-suotimien soveltaminen epäkoherentin sironnan spektritiheysfunktion estimoinnissa

Laajennettujen Kalman-suotimien soveltaminen epäkoherentin sironnan spektritiheysfunktion estimoinnissa Laajennettujen Kalman-suotimien soveltaminen epäkoherentin sironnan spektritiheysfunktion estimoinnissa Pro Gradu -tutkielma Karjalainen Joni 2112129 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

Moniulotteiset aikasarjat

Moniulotteiset aikasarjat Moniulotteiset aikasarjat Pentti Saikkonen Syksy 2011 Päivitetty versio 17.1.2016 Sisältö 1. Johdanto 1 1.1. Taustaa 1 1.2. Stokastinen prosessi 2 2. Stationaariset prosessit 4 2.1. Määritelmiä 4 2.2.

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot