PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka

Transkriptio

1 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c) Laske erotuksen tarkka arvo. Anna tulos murtolukuna. a) x( x ) ( x x) x 6x x x 4. x b) 5( x 4) 5 ( x 4) 5x 0 5 x 4 4x x c) Vastaus a) 4x b) x c) 4 9. a) Suorakulmaisessa kolmiossa sivujen pituudet ovat 9 cm, 40 cm ja 41 cm. Laske kolmion pienimmän kulman suuruus asteen tarkkuudella. b) Suora kulkee pisteiden A (10, 0) ja B ( 0,4) kautta. Määritä suoran kulmakerroin. c) Kuinka monella eri tavalla viidestä opiskelijasta voidaan valita kolmen opiskelijan ryhmä? a) Sivu 9 cm on lyhin, joten sen vastainen kulma on pienin. 9 Täten sin. 41 1, b) x 0 ( 10) 40 ja y 4 ( 0) 4. y 4 k. x c) Käytetään kombinaatioita 10. Laskimen ncr-näppäin. Vastaus a) 1 b) c) a) Luvun ja luvun neliön summa on 6. Määritä kyseinen luku. b) Olkoon f ( x) x( x 6). Ratkaise yhtälö f ( x) 0.

2 c) Geometrisen lukujonon toinen termi on ja kolmas termi on 6. Määritä lukujonon ensimmäinen termi. a) Saatu x x 6 x x 6 0 ja huomattu, että II-asteen ratkaisukaava ( 6) 1 5 Täten x x tai x. 1 5 b) f ( x) x( x 6) x 1 x f ( x) 4x Täten yhtälö 4x 1 0 x. 4 4 a 6 c) Jonon suhdeluku q. a a 1 a1 1. q 1 Vastaus a) x tai x b) x c) Teräsputken pituus on 1 m ja poikkileikkauksen ulkohalkaisija on 8 cm ja sisähalkaisija 6 cm. Laske a) Teräsosan tilavuus litroina. Anna tulos litran tarkkuudella. b) Putken paino, kun teräksen tiheys on 7800 kg/m. Anna tulos kymmenen kilon tarkkuudella. a) Ulkosäde 8 cm 4 cm 0,4dm Ulkotilavuus (0,4 dm) 10dm 60, dm ru Vs ru h. Sisäsäde 6 cm cm 0,dm isätilavuus (0, dm) 10dm, dm rs S Vs ru h. Teräsosan tilavuus V V V 6,89789 dm 6,89789 litraa 6 l. u s b) Massa on tiheys tilavuus Täten massa m 7800 kg/m 0, m 05, kg 10 kg. Vastaus a) 6 l b) 10 kg 5. Hedelmäkorissa on omenaa, 4 päärynää ja 5 mandariinia. Pikku Kalle valitsee umpimähkäisesti kaksi hedelmää. Millä todennäköisyydellä a) hän saa ainakin yhden omenan, b) molemmat hedelmät ovat samaa lajia? Anna tulokset murtolukuna. a) P("ainakin yksi omena") 1 P("ei yhtään omenaa")

3 1 P("kumpikin muu kuin omena") b) Hedelmät joko omenia tai päärynöitä tai mandariineja. P("kysytty") P("o ja o tai p ja p tai m ja m") Vastaus a) 5 11 b) Kalle suunnitteli saunan remonttia. Budjetin mukaan palkkakulut ovat 40 % kokonaiskuluista ja materiaalikulut 45 % kokonaiskuluista. Palkat nousivat,5 %, mutta materiaalikulut laskivat 8 %. Kuinka monta prosenttia saunan rakennuskulut muuttuivat, kun muut kustannukset säilyivät ennallaan? Anna tulos prosentin kymmenyksen tarkkuudella. Olkoon alkuperäiset arvioidut kokonaiskulut a, tällöin palkkakulut 0,4a Tällöin materiaalikulut 0,45a ja muut kulut a 0,4 a 0,45 a 0,15a Uudet palkkakulut 1,05 0,4 a 0,41 a ja uudet materiaalikulut (1 0,08) 0,45 a 0,414 a Uudet kulut yhteensä 0, 41a 0, 414 a 0,15a 0,974 a Täten kulut ovat laskeneet 100% 97,4%,6%. Vastaus Laskeneet,6% 7. Konserttisalin kolmannella penkkirivillä on 60 paikkaa, neljännellä 6 paikkaa, viidennellä 66 paikkaa ja jne. Neljänneksi viimeisellä rivillä on 117 paikkaa. a) Montako penkkiriviä salissa on yhteensä? ( 4p) b) Montako paikkaa salissa on yhteensä? ( p) a 60, a 6 ja a 66 d a a a a, joten jono on aritmeettinen. a) Yleinen termi an a1 ( n 1) d a1 a d viimeisellä rivillä 117 paikkaa, siten. viimeisellä paikkaa, joten viimeisellä rivillä 1+=16 paikkaa. Yleinen termi a a1 ( n 1) d ( n 1) n 7 ( n 1) : n 1 4 n 5 Rivejä siis b) Aritmeettisen summan nojalla S5 5

4 50. Vastaus a) 5 b) Olkoon funktio f ( x) x x 1x 1. a) Muodosta funktion derivaatan merkkikaavio ja funktion kulkukaavio. b) Määritä funktion ääriarvot. c) Hahmottele funktion kuvaaja. a) Derivaatta f ( x) 6x 6x 1. 6 ( 6) 4 6 ( 1) 6 18 Derivaatan nollakohdat: x x tai x Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten saadaan derivaatan merkkikaavio ja siten myös funktion kulkukaavio f f kasv väh kasv 1 b) Kulkukaavion nojalla x 1 on maksimikohta ja x on minimikohta. Vastaavat y arvot: f ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 8 maksimiarvo f () minimiarvo c) Vastaus b) f ( 1) 8 maksimiarvo, f () 19 minimiarvo 9. Pienillä kulman arvoilla tangenttifunktion arvot kasvavat lähes suoraviivaisesti. Arvioi lineaarisen mallin avulla tan,, kun käytetään näitä likiarvoja. tan1 0,0175 ja tan 0,054. Vertaa laskimen antamaan tulokseen. Lineaarinen malli tarkoittaa, että pisteet (1;0,0175) ja (;0,054) ovat samalla suoralla. Suoran yhtälö on muotoa y kx b 0, k b Saadaan yhtälöpari 0, 054 k b 0, 0175 k b Kertomalla ylempi yhtälö ( 1) : llä saadaan yhtälöpari 0, 054 k b

5 Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan k 0,049 k k 0,01745 Tällöin b 0,054 0, ,00005 Malli on siis y 0,01745 x 0,00005 Täten tan, y(,) 0,01745, 0, , ,040 Laskimen mukaan tan, 0, Täten tulokset ovat merkitsevän numeron tarkkuudella samat. Vastaus tan, 0,040. Tulokset ovat merkitsevän numeron tarkkuudella samat 10. Kymmenottelussa pituushypystä saatava pistemäärä p lasketaan kaavasta p ,5674 ( s, ), missä s on hyppytulos metreinä. Vastaavasti 100 m juoksusta 1,81 saatava pistemäärä lasketaan kaavalla P 5,448 (18,00 x), missä x on sähköisesti mitattu juoksutulos sekunteina. Molempien kaavojen antamasta pistemäärästä otetaan vain kokonaisosa ilman pyöristystä. a) Kalle hyppäsi tuloksen 7, m ja juoksi 100 m aikaan 10,8 s. Laske Kallen saamat pistemäärät. b) Kalle arvioi pystyvänsä parantamaan entistä ennätystään ( 10,70 s) 100 m juoksussa,1 %. Montako pistettä 100 m juoksusta saatava pistemäärä tällöin kasvaisi verrattuna entiseen ennätykseen? c) Millä tuloksella saadaan kymmenottelussa pituushypystä 1000 pistettä? a) pituus: 5 7 p 90,5674 (7,, ) 869, , m: P 5, 448 (18,00 10,8) 899, b) uusi ennätysaika (1 0,01) 10,70 10, , 48. 1,81 Uusi pisteluku P 5, 448 (18,00 10, 48) 980, ja 1,81 Vanha pisteluku P1 5, 448 (18,00 10,70) 99, Pisteet kasvoivat P P pistettä c) ,5674 ( s, ) ( ) ( s, ) ( tai muuta järkevää) 90, s 90,5674 Vastaus a) pituus 869 ja sata metriä 899 b) , ( ) s 7, , 76 m. c) 7,76 m 11. Maan päällä tasaisella hiekkakentällä makaa kyljellään 000 litran öljysäiliö, joka on suoran ympyräpohjaisen lieriön muotoinen. Säiliön pituus, m. Mittatikulla selvitettiin, että öljyn pinta on 40 cm korkeudella pohjasta. Kuinka monta litraa öljyä säiliössä on? Ilmoita tulos kymmenen litran tarkkuudella. Öljymäärän tilavuus V ö liroina saadaan kaavasta Vö Ahp, missä A on ympyräsegmentin pintaala neliödesimetreinä ja h dm. p Kuvio

6 Toisaalta V 000 dm V r h r 5, ,46 dm. h dm Kuvion merkinnöillä h r 4 1, ja x r h x 5, 6698 dm. h Kuvion merkinnöillä kolmiosta OAB: cos 74, r xh 74,46... Asegm r 5, , , , dm Vö 1, dm 994,78170 dm 994,78170 litraa 990 litraa. Vastaus 990 litraa 1. Junan A pituus on 80 m ja sen nopeus on 0 m/s ja junan B pituus on 60 m ja nopeus on 108 km/h, ajavat vierekkäisiä raiteita pitkin vastakkaisiin suuntiin. Kuinka pitkän ajan junat ovat osittain vierekkäin? Ohitusvaiheen aikana junat kulkevat 80 m 60 m 0,140 km. Junan A nopeus on 0,6 7 km/h ja se kulkee t tunnissa matkan 7 t. Matkoista saadaan yhtälö 7t 108t 0,140 +p 0,140 7 t 0, tuntia Tämä tarkoittaa ajassa 600,8 sekuntia Vastaus,8 s 1. Kiinan autokannan arvioidaan kasvavan 100 % vuosikymmenessä. Autokannan suuruus oli arviolta noin 80 miljoonaa autoa vuonna 010. a) Esitä malli, joka kuvaa tätä autokannan kehitystä. b) Piirrä mallin kuvaaja vuosille c) Montako prosenttia autokanta kasvoi aikavälillä , jos oletetaan mallin pätevän koko tarkasteluvälillä? Anna tulos prosentin tarkkuudella.

7 a) Jos autokanta tulee vuodessa k-kertaiseksi, niin se tulee kymmenessä vuodessa 10 k kertaiseksi. Täten saadaan yhtälö k milj 160 milj, 10 josta k 1, t Autojen määrä on siten t vuoden kuluttua f( t) 1, milj 5 b) Vuosi 010 f (5) 1, milj 11,17... milj + p 5 c) Vuosi 005 f ( 5) 1, milj 56, milj 1 Vuosi 009 f ( 1) 1, milj 74, milj Kasvu on siten prosentteina 74, , % 1,950...% %. 56, t Vastaus a) f( t) 1, milj b) %

8 14. a) Kalle sai viikkorahaa 4,5 euroa vuonna 01. Hänen isänsä Simo sai vastaavasti viikkorahaa 8 markkaa vuonna 198. Kumman viikkoraha oli ostovoimaltaan suurempi, jos inflaatiota mitataan elinkustannusindeksillä, joka oli arvoltaan 865 vuonna 198 ja 1890 vuonna 01 ja 1 euro= 5,9457 mk? b) Taloustieteilijät arvioivat, että rahan ostovoima laskee kahdessa vuodessa 4, %. Kuinka suureksi inflaatio on arvioitu tällä aikavälillä. c) Erään opettajaryhmän palkka oli 860 /kk vuonna 006 ja vastaavasti 905 /kk seuraavana vuonna. Laske kuluttajahintaindeksin avulla, kuinka paljon palkka oli muuttunut reaalisesti. Käytä oheista taulukkoa. Vuosi Kuluttajahintaindeksi , ,8 a) Inflatoidaan viikkorahat vuoteen 01 ja muutetaan summa euroiksi , Simon viikkoraha oli 8mk 17, mk,998..., ,9457 Kallen viikkoraha oli siten ostovoimaltaan suurempi. b) Olkoon alkuperäinen ostovoima v, tällöin uusi ostovoima on (1 0,04) v 0,958v 1 Inflaatiokerroin on ostovoiman käänteisluku. Siis 1, ,4 %. 0,958 Täten inflaation suuruudeksi on arvioitu 4, 4 %. c) Jos palkka olisi noudattanut indeksiä, niin opettajan palkka pitäisi olla 110, , ,4 108,1 905 Verrataan todellista palkkaa tähän arvoon: 0, ,1%. 91,4 Täten palkka on laskenut reaalisesti 100 % 99,1% 0,9%. Vastaus a) Kallen b) 4,4 % c) Reaalipalkka on laskenut 0,9 %. 15. Funktion f ( t) 8, sin(0, t ) 6, arvo kertoo ilman lämpötilan celsiusasteina eräänä syksyisenä päivänä, missä t on keskiyöstä kulunut aika tunteina. Muuttuja on ilmaistu radiaaneina. a) Mikä oli lämpötila klo 8.45? b) Milloin lämpötila on 6, astetta? c) Mikä oli päivän maksimilämpötila? a) 45 min h f(8 ) 8, sin(0, 8,75 ) 6, 4, , astetta. 4 4 b) 8, sin(0, t ) 6, 6, 8, sin(0, t ) 0 sin(0, t ) 0 0, t n, n on kokonaisluku n t 10 n 5 t 10, sillä 0 t 4. 0,

9 c) Koska sinifunktio saa arvoja vain suljetulta väliltä [ 1,1], niin päivän maksimilämpötila on 8, 1 6, 14,5. Vastaus a) 4, celsiusastetta b) klo c) 14,5 celsiusastetta