Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015"

Transkriptio

1 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka C 5

2

3 Sisältö Johdanto Kerrattavaa Kurssin sisällöstä Funktioiden esityksistä Lukujonot ja numeeriset sarjat Sarjojen perusominaisuuksia Geometrinen sarja Desimaaliesitys Suppenemiskriteereitä Vuorottelevat sarjat Termien järjestyksenvaihto, Cauchyn tulo Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Summaus tai integrointi yli äärellisen välin Tasainen suppeneminen Potenssisarjat Sarjaopin sovelluksia Eulerin kaava Generoivat funktiot ja rekursioyhtälöt Sarjaratkaisut differentiaaliyhtälöille Fourier n sarjat Fourier-sarjojen kompleksinen muoto Fourier-sarjojen reaalinen muoto Fourier-sarjojen ominaisuuksia Fourier-muunnokset Fourier-integraali ja -muunnos Fourier-muunnoksen tulkintaa Fourier n integraalin esitysmuotoja Äänisignaalin esittäminen Fourier-muunnosten ominaisuuksia Perusominaisuuksia Delta-funktio Konvoluutio Heavisiden funktio Keskusmomentit ja epätarkkuusrelaatio Nyquistin näytteenottotaajuus Fourier-sarjojen ja integraalien yhteys Diskreetti Fourier-muunnos Diskreetin Fourier-muunnosten ominaisuuksia FFT (Fast Fourier Transform)

4 4 Sisältö 8 Laplace-muunnokset Määritelmä ja perusominaisuuksia Laplace-muunnosten olemassaolosta Konvoluutio ja deltafunktio Laplace-muunnoksen yhteys Fourier-muunnokseen, inversiokaava Laplace-muunnoksen kääntäminen käytännössä Laplace-muunnospareja Yleisimmät menetelmät

5 Luku Johdanto. Kerrattavaa Tätä opintojaksoa varten tulee hallita aiemmissa insinöörimatematiikan kursseissa esitetyt tiedot. Opiskelijan on varmistauduttava, että Insinöörimatematiikka A:sta on omaksuttu ainakin seuraavat asiat: kompleksilukujen käsittely, napakoordinaattiesitys, ykkösenjuuret, Eulerin kaavan mukainen yhteys eksponenttifunktion ja trigonometristen funktioden välillä ja osamurtohajotelmien etsiminen. Insinöörimatematiikka B:stä tulee olla hallussa erityisesti derivointisäännöt, antiderivaatan löytäminen (määräämätön integraali), kompleksiarvoisen funktion integrointi yli reaalisen välin, I lajin epäoleelliset integraalit ja niiden suppenemistarkastimet.. Kurssin sisällöstä Historiallisesti tarkastellen voidaan havaita matematiikkaa sovelletun erittäin monissa käyttökohteissa kautta aikojen. Varhaisimmat sovellukset liittynevät ajanlaskuun, astronomiaan, kaupankäyntiin ja maanmittaukseen. Uuden ajan alkaessa matematiikasta oli tullut korvaamaaton apuneuvo luonnontieteiden kehitykselle. Matematiikkaa on usein kutsuttu luonnontieteiden kieleksi, ja katsaus menneeseen osoittaa, että tämä luonnehdinta on erittäin kuvaava. Mekaniikan kehittäminen, kvanttimekaniikasta puhumattakaan, ei olisi ollut mahdollista ilman tarpeeseen sopivaa matematiikkaa. Aina 9-luvun puoliväliin asti fysiikka lieni tärkein motivaatio uuden matematiikan kehittämiselle. Sittemmin uuden matematiikan kehittäminen on liittynyt yhä enenevässä määrin informaatioteknologian ja biologian tarpeisiin. Erityisen mielenkiintoisia ovat havainnot, joissa huomataan jotakin tarkoitusta varten kehitetyn matematiikan soveltuvan hyvin myös muihin asiayhteyksiin. Joseph Fourier mallinsi lämmön johtumista, mutta hänen työnsä on sittemmin havaittu soveltuvan yleisesti aaltoliikkeiden kuvailemiseen. Fourier n töitä jatkamalla on päädytty matematiikan osa-alueeseen, jota nykyisin kutsutaan Fourieranalyysiksi tai harmoniseksi analyysiksi. Yleensä harmonisen analyysin ymmärretään terminä olevan laajempi käsite, joka sisältää Fourier-analyysin. Taustatietoa Joseph Fourier (768 83) oli ranskalainen matemaatikko ja fyysikko, joka tutki mm. lämmönjohtumista. Nykyinen Fourier-analyysi, joka on yksi tärkeimmistä menetelmistä informaation käsittelyssä ja analysoinnissa, pohjautuu hänen töihinsä. (kuva: Wikimedia Commons) 5

6 6 Johdanto Aaltoliikettä koskevan teorian sovellusalue ei ole vähäinen, sillä kvanttimekaniikan mukaisesti fysikaaliset objektit voidaan kuvata aaltoliikkeinä. Niinpä Fourier-analyysiä voidaan pitää yhtenä kvanttimekaniikan kulmakivenä. On kuitenkin huomattava, että kvanttimekaniikan teoriassa tarvittavat harmonisen analyysin yleistykset saattavat poiketa perinteisestä Fourier-analyysistä hyvinkin paljon. Lisäksi harmoninen analyysi saa entistä enemmän ilmaisuvoimaa kun sen koneistoa tulkitaan lineaarialgebran kautta. Fysikaalisten sovellusten, kuten lämmonjohtumisen tai aaltoliikeopin ohella on Fourier-analyysillä erittäin tärkeitä sovelluksia informaatiotekniikassa. Aaltoliikeoppiin perustuvat perinteiset sovellukset ovat viime kädessä ymmärrettävissä sitä taustaa vasten, että suuri osa nykyisestä informaation siirrosta perustuu johonkin aaltoliikkeeksi kuvailtavaan fysikaaliseen ilmiöön, kuten sähkömagneettiseen säteilyyn. Ehkä kuitenkin kaikkein laajimmin nykyisin esiintyvä Fourier-analyysin sovelluskenttä perustuu minkä hyvänsä informaation tulkitsemiseen aaltoliikkeiden yhdistelmäksi. Tällä tavoin on mahdollista soveltaa harmonista analyysia esimerkiksi digitaalisen äänen tai kuvan pakkaamiseen ja käsittelemiseen. Fourier-analyysin merkitystä signaalinkäsittelylle on vaikea yliarvioida. Fourier-muunnoksia on perinteisesti käytetty ilmiöiden jaksollisuuden analysoinnissa, mutta digitaalisen signaalinkäsittelyn myötä Fourier-analyysin käytännön sovellusten merkitys on kasvanut ennennäkemättömän suureksi. Harmonisen analyysin sovelluksia löytyy käytännöllisesti katsoen jokaisesta digitaalista signaalia käsittelevästä laitteesta, kuten matkapuhelimesta, digikamerasta, blue-ray -soittimesta, jne. Fourier-analyysi on myös erittäin oleellinen osa nykyaikaista luonnontieteellistä tutkimusta. Periaatteellisella tasolla spektroskopia ja Fourier-analyysi ovat vahvasti toisiinsa kytköksissä. Spektroskopian laboratoriomenetelmät voidaan ymmärtää Fourier-analyysin kautta ja parhaimmat nykyaikaiset spektrometrit perustuvat Fourier-analyysin laskennallisiin sovelluksiin. Tyypillinen sovellus on jonkin molekyylin läsnäolon tai poissaolon tunnistaminen: Jos molekyylin tiedetään absorboivan tai emittoivan sähkömagneettista säteilystä tietyillä aallonpituuksilla, tulee näytteestä lähtevästä sähkömagneettisesta säteilystä (esim. valosta) selvittää, millä vahvuuksilla eri allonpituudet siinä esiintyvät. Esimerkiksi molekyylien rakenteen tunnistamisessa käytettävä, ydinmagneettiseen resonanssiin (NMR) perustuva menetelmä pohjautuu viime kädessä Fourier-analyysiin. Perinteinen, ns. jatkuva Fourier-analyysi keskittyy integraali- ja differentiaalilaskennan koneiston ympärille, mutta sovelluksissa erittäin tärkeäksi nousee diskreetti Fourier-analyysi. Jatkuva ja diskreetti Fourier-analyysi tukevat toisiaan sekä teorian ymmärtämisessä että käytännön sovelluksissa. Kurssilla Insinöörimatematiikka C on tarkoitus perehtyä Fourier-analyysin perusteisiin. Tätä varten tarvittavia matemaattisia työkaluja, differentiaali- ja integraalilaskentaa, erityisesti I lajin epäoleellisia integraaleja, on esitelty jo Insinöörimatematiikka B:ssä. Ennen Fourier-analyysiin siirtymistä tulee kuitenkin vielä esitellä yksi puuttuva matemaattinen työkalu, nimittäin sarjaoppi. Siksi tämä kurssi alkaa sarjaopin osiolla, jonka yhteydessä laajennetaan I lajin epäoleellisten integraalien yhteudessä esitettyjä käsitteitä. Varsinainen Fourier-analyysi aloitetaan Fourier n sarjojen käsittelyllä ja tästä lähtökohdasta jatketaan Fourier n integraaleihin. Kurssin lopuksi esitetään myös Fouriermuunnoksille sukua olevat Laplace-muunnokset, joilla on vakiintuneet käyttökohteensa elektroniikassa..3 Funktioiden esityksistä Erityisesti lineaarialgebran näkökulmaa korostava lähestymistapa harmoniseen analyysiin on seuraavanlainen: Ajatellaan funktion F(x) esittävän jotakin fysikaalista suuretta, jonka arvo riippuu x:stä (x voi esittää vaikkapa aikaa). Funktion F ominaisuuksien tarkastelua varten saattaa olla hyödyllistä esittää F joidenkin yksinkertaisten funktioiden avulla. Insinöörimatematiikka B:ssä esiintynyt Taylorin polynomi on esimerkki tällaisesta esityksestä, jossa tosin esitys ei ole eksakti vaan likimääräinen: F(x) a + a x + a x + a 3 x a n x n. (.) Tässä tapauksessa polynomit = x, x = x, x, x 3,..., muodostavat yksinkertaisen funktiosysteemin, jonka avulla monimutkaisempi F esitetään (likimääräisesti). Kertoimien a, a, a,... määrittäminen on esityksen (.) kannalta tietenkin erittäin tärkeä kysymys, ja Taylorin polynomeja koskevassa Insinöörimatematiikka B:n luvussa tämä ratkaistiin seuraavasti: a k = k! F(k) ().

7 .3 Funktioiden esityksistä 7 Esitys (.) voidaan yleistää seuraavasti: funktioiden f k (x) = x k sijasta valitaan mitkä hyvänsä jossain määrin yksinkertainen funktiojono f, f, f,..., ja pyritään esittämään monimutkaisempi F muodossa F(x) = a f (x) + a f (x) + a f (x) a n f n (x), (.) joko eksaktisti tai likimääräisesti. Myös esityksessä (.) oleelliseksi kysymykseksi muodostuu se, miten kerroin a k saadaan, kun F tunnetaan. Tämä riippuu tietysti siitä minkälainen valittujen kantafunktioiden f, f, f, f 3,... jono on. Osoittautuu kuitenkin, että summaesitys (.) on riittämätön useimpia sovelluksia varten. Yksi mahdollisuus yleistää esitystä (.) on ottaa käyttöön suurempi kantafunktiosysteemi, jossa funktioita f t (x) olisi kokonaislukuarvojen t Z lisäksi olemassa jokaista t [a,b] kohti. Tällöin joudutaan tilannetta käsittelemään eri tavoin: Merkitään f t (x) = f (t,x) ja funktioiden yhteenlaskun sijaan integroidaan kaikki välin [a,b] arvot t yhteen: b F(x) = a(t) f (t,x)dt, (.3) a ja selvitettävänä on miten kerroinfunktio a(t) määritetään. Esitys (.3) yleistyy vielä siten, että integrointiväli [a,b] saattaa ylä- tai alarajaltaan ulottua äärettömyyksiin, esimerkiksi F(x) = a(t) f (t,x)dt, (.4) a ja tällöin tulee selvittää miten kerroinfunktio a(t) määritetään. Kurssilla Insinöörimatematiikka B esityksestä (.4) annettiin esimerkkinä ns. Γ -funktio Γ (x) = t x e t dt, jossa voidaan kerroinfunktioksi ajatella a(t) = e t ja kantafunktiosysteemiksi f (t,x) = t x. Funktioiden esittämiseksi kantafunktiosysteemin avulla on ainakin seuraavat vaihtoehdot: Äärellinen summa: Äärellisen välin integraali: I lajin epäoleellinen integraali F(x) = n k= a k f k (x) b F(x) = a(t) f (t,x)dt a F(x) = a(t) f (t,x)dt. a Ylläolevasta listasta puuttuu tietysti esimerkiksi yli koko reaaliakselin (, ) ulottuva I lajin epäoleellinen integraali, mutta selkeämpi laadullinen puute on se että ns. ääretöntä summaa ei esiinny. Mitä siis tarkoittaisi esitys F(x) = k= a k f k (x), (.5) kun f, f, f,... on valittu kantafunktiosysteemi? Myös aiemmin esiintynyt kysymys siitä, miten luvut a, a, a,... määrätään, toistuu tässä yhteydessä kuten aiemmissakin esityksissä, ja vastaus riippuu tietysti siitä miten kantafunktiosysteemi f, f, f,... on valittu. Esityksen (.5) päättymätöntä summaa sanotaan sarjaksi ja seuraavan luvun tarkoituksena onkin perehtyä sarjojen ominaisuuksiin, alkaen siitä mitä sarja päättymättömänä summana ylipäänsä tarkoittaa.

8

9 Luku Lukujonot ja numeeriset sarjat Tässä luvussa tarkoituksena on perehtyä sarjojen yksinkertaisimpiin muotoihin, ns. numeerisiin sarjoihin. Myöhemmin osoittautuu, että ns. funktiosarjat eivät peruskäsitteiltään poikkea numeerisista sarjoista oleellisesti, vaan tarkastelukohteina olevat ominaisuudet ovat erilaisia ja siksi tarkastelunäkökulma muovautuu väistämättä toisenlaiseksi. Sarjojen tarkastelu liittyy läheisesti Insinöörimatematiikka B:n viimeisessä luvussa käsiteltyihin I lajin epäoleellisiin integraaleihin, jotka määriteltiin raja-arvoina. Palautetaan käsite mieleen kertauksen vuoksi. I lajin epäoleellista integraalia varten määritellään ensin ja sen jälkeen a M I(M) = f (x)dx a M f (x)dx = lim f (x)dx = lim I(M). M a M Epäoleellisen integraalin määrittely edellyttää tietenkin, että ylläoleva raja-arvo on olemassa. Ensimmäisen lajin epäoleellinen integraali merkitsee siis integraalia, jossa integrointi ei pääty mihinkään ylärajaan, vaan jatkuu yli koko reaaliakselin. Analogisesti sarjan tahdotaan merkitsevän summaa a n, joka ei pääty lainkaan. I lajin epäoleellisiin integraaleihin päästiin funktioiden I(M) raja-arvoista ja aivan samoin sarjojen määritelmään tullaan pääsemään lukujonojen raja-arvosta. Sarjan määritelmäksi asetetaan a n = lim M mikä on täysin analoginen I lajin integraalin määritelmän kanssa: Ensin summataan johonkin ylärajaan M asti, ja sitten annetaan ylärajan M käydä kohti ääretöntä. Määritelmässä esiintyvä summa S M = M M a n muodostaa lukujonon S, S, S 3,..., jonka raja-arvosta on kysymys ja tämän vuoksi perehdytään ensin lukujonojen raja-arvoihin. Muodollisesti reaalilukujono (tai kompleksilukujono) a, a, a 3,... määritellään funktiona a : N R (tai f : N C), missä siis a(n) = a n. Lukujonon raja-arvo äärettömyydessä määritellään aivan kuten reaaliakselilla määriteltyjen funktioidenkin raja-arvo. Sanotaan, että lukujonon a, a, a 3,... raja-arvo on A, jos jonon jäsen a n saadaan miten lähelle lukua A tahansa, kunhan n valitaan kyllin suureksi. Tämä täsmennetään seuraavassa määritelmässä. a n, 9

10 Lukujonot ja numeeriset sarjat Määritelmä. Lukujonon a, a, a 3,... raja-arvo on A, mikäli jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa luku M ε >, jolle pätee d(a n,a) = a n A < ε, kunhan n > M ε. Tällöin merkitään lima n = lim n a n = A Määritelmä. Lukujono a, a, a 3,..., suppenee, jos lima n on äärellisenä olemassa. Muutoin lukujono hajaantuu. Esimerkki. Lukujono a n = n suppenee ja lim n =, sillä n = n < ε, kun n > ε. Esimerkki. Lukujono a n = n hajaantuu, samoin a n = ( ) n. Määritelmä 3. Lukujono a n on ylhäältä rajoitettu jos on olemassa sellainen luku M, että a n M jokaiselle n N. Lukujono on kasvava, jos a n+ a n aina, kun n N. Ylhäältä rajoitettuja, kasvavia reaalilukujonoja koskee seuraava teoreettisesti tärkeä tulos. Lause. Ylhäältä rajoitettu, kasvava reaalilukujono a n suppenee. Huomautus. Intuitiivisesti edellinen lause on melko ilmeinen: jos jono on kasvava, mutta sillä on kuitenkin yläraja, on jonon jäsenten pakko kasautua johonkin pisteeseen, mikä varsin ilmeisesti onkin se raja-arvo, jota jono lähenee. Lauseen syvällisyys ilmeneekin siinä, että se puhuu reaalilukujen ominaisuudesta: lause nimittäin väittää, että kasautumispiste kaikille ylhäältä rajoitetuille, kasvaville jonoille on olemassa. Todistus. Koska a n on ylhäältä rajoitettu, on joukolla S = {a,a,a 3...} jokin yläraja. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman perusteella (kts. Insinöörimatematiikka A) joukolla S on tällöin myös pienin yläraja A = sups. Osoitetaan, että lima n = A. Olkoon ε > mikä hyvänsä, jolloin A ε ei siis enää ole joukon S yläraja, sillä A on ylärajoista pienin. Koska A ε ei ole joukon S yläraja, on olemassa sellainen joukon S alkio a Mε, että a Mε > A ε. Koska jono a n on kasvava, on a n a Mε aina, kun n M ε. Tällöin arvoilla n M ε on voimassa (muista että A on joukon S yläraja, siis a n A aina) d(a n,a) = A a n A a Mε < A (A ε) = ε, mikä määritelmän mukaan merkitsee sitä, että lima n = A. Huomautus. Tarkastelemalla jonoa a n jonon a n sijaan voidaan edellisen lauseen tuloksesta nähdä helposti, että alhaalta rajoitetut, vähenevät lukujonot suppenevat.

11 Lukujonot ja numeeriset sarjat Huomautus 3. Reaalilukujen täydellisyysaksiooma (kutsutaan sitä nimellä TA) sanoo, että ylhäältä rajoitetuilla, epätyhjillä joukoilla S on pienin yläraja (merkitään sups). Kutsutaan edellisen lauseen tulosta, siis sitä, että kasvavat, ylhäältä rajoitetut jonot suppenevat nimellä JS. Tällöin ylläolevassa lauseessa on siis johdettu oletuksesta TA tulos JS. Myös käänteinen tulos voidaan johtaa: ominaisuudesta JS seuraa TA, mikä merkitsee sitä, että reaalilukuja määriteltäessä ominaisuudet JS ja TA ovat tasavertaiset: TA voidaan korvata JS:llä tai päinvastoin. Esimerkki 3. Olkoon ( a n = + ) n n ja osoitetaan, että jono a n on kasvava. Tätä varten lasketaan = ( + n+ )n+ ( a n ( + = + ) ( + n+ )n+ n )n n ( + = n + ( n + n )n+ n n + : n + ) n+ n = n + ( n(n + ) ) n+ n + ( ) n+ = n (n + ) n (n + ) n + ( ) = n + n n n + n n + =. a n+ Toisen ja kolmannen rivin välistä suuruusarviota varten on käytetty Bernoullin epäyhtälöä (Insinöörimatematiikka A) ( + x) n + nx, joka pätee kun x ja n N. Yllä olevasta epäyhtälöstä seuraa, että a n+ a n, siis lukujono a n on kasvava. Osoitetaan vielä että jono a n on ylhäältä rajoitettu. Tätä varten arvioidaan aluksi lauseketta ( n i) n i. Kun i, saadaan ( ) n i n i = Binomikaavalla saadaan n! n(n )... (n i + ) = i!(n i)! ni i! n i = i! = i (i )... = }... {{ } i. i kpl ( + ) n n = n i= = + ( ) n n i n i = + + i= ( ) n i n i= i = + ( )n n i + n i= i kpl { }} { n... n i! i n i = + < 3, n ( + n) n on ylhäältä rajoitettu. Koska se on myös kasvava, on sillä lauseen mukaan siis jono raja-arvo. Tätä raja-arvoa merkitään ( e = lim + ) n n ja kutsutaan Neperin vakioksi. Luku e =, on luonnollisen logaritmin kantaluku ja e-kantaisella eksponenttifunktiolla f (x) = e x on se ainutlaatuinen ominaisuus, että f (x) = f (x) (ja f () = ). On mahdollista perustella tämä ominaisuus käyttämällä yllä olevaa määritelmää Neperin vakiolle. Määritelmä 4. Olkoon a, a, a 3,... lukujono. Määritellään osasummien jono S, S, S 3,... ehdolla S n = a a n ja sanotaan, että sarja a n

12 Lukujonot ja numeeriset sarjat suppenee (merkitään a n ), mikäli lukujono S n suppenee. Muutoin sarja hajaantuu (merkitään a n ). Suppenevassa tapauksessa sarjan summaksi määritellään a n = lims n. Huomautus 4. Edellisen määritelmän tavoin määritellään sarja missä k Z on mikä hyvänsä kokonaisluku. n=k Esimerkki 4. Sarja hajaantuu, koska osasummien jono S n = n hajaantuu. Samoin sarja hajaantuu, koska osasummien jono S n = + ( ) n hajaantuu. Esimerkki 5 (Harmoninen sarja). Osoitetaan, että sarja hajaantuu. Tätä varten tarkastellaan osasummaa S k ja ryhmitellään summattavat seuraavasti: S k = + + ( ( = = + k } {{ }. k kpl a n, ) ( ( ) k ) k ) ( ( ) k } {{ k } k kpl Täten siis osasummalle S k pätee S k + k, mistä nähdään, että S k, kun k. Tästä seuraa, että osasummien jono ja siis myös sarja hajaantuu. Sarjaa kutsutaan harmoniseksi sarjaksi. Esimerkki 6. Osoitetaan, että sarja n n(n + ) ja kir- suppenee ja lasketaan sen summa. Tätä varten etsitään osamurtohajotelma n(n+) = n joitetaan osasumma S n muotoon S n = n(n + ) = ( ) + ( 3 ) + ( 3 4 ) ( n n + ) = n +, ) n+ (.) sillä kussakin summattavassa jälkimmäinen yhteenlaskettava kumoaa seuraavan ensimmäisen. Tästä nähdään, että lims n =, siis sarja (.) suppenee kohti lukua. Esimerkki 7. Osoitetaan, että sarja

13 . Sarjojen perusominaisuuksia 3 suppenee. Tätä varten arvioidaan osasummaa S n+ seuraavasti: (.) 4 S n+ = (n + ) n(n + ). Viimeisin epäyhtälö seuraa aiemman esimerkin ylärajasta. Tämä merkitsee sitä, että osasummien jono S n on ylhäältä rajoitettu, ja koska S n+ = S n +, on se myös kasvava. Lauseen perusteella (n+) jonolla S n on raja-arvo S, mikä merkitsee siis sitä, että sarja (.) suppenee. Huomautus 5. Sarjan (.) summa on myös mahdollista laskea. Esimerkiksi myöhemmin käsiteltävien Fourier-sarjojen avulla voidaan osoittaa, että π +... = Sarjojen perusominaisuuksia Seuraavassa lauseessa luetellaan tärkeimpiä suppenevien sarjojen ominaisuuksia. Lause.. Jos sarjat suppenee ja. Sarja 3. Jos sarja että a n ja b n suppenevat, niin myös sarja (αa n + βb n ) = α a n suppenee tarkalleen silloin kun a n suppenee, niin myös (αa n + βb n ) n=k k a n = a n suppenee itseisesti. Tällöin pätee a n + β b n. a n (k > ) suppenee, ja tällöin on a n + n=k a n. a n suppenee. Mikäli a n a n. a n suppenee, sanotaan, Todistus. Suoraviivainen, sivuutetaan. Huomautus 6. Lauseen. kohdan mukaan tavanomaiset summan käsittelysäännöt pätevät, mikäli molemmat sarjat a n ja b n suppenevat. Kohdan mukaan sarjan suppeneminen ei riipu mistään

14 4 Lukujonot ja numeeriset sarjat sen alkuosasta. Kohta 3 on äärellisille summille pätevän kolmioepäyhtälön yleistys suppeneville sarjoille. Lauseessa mainittuja ominaisuuksia on syytä verrata Insinöörimatematiikka B:ssä esitettyihin analogisiin I lajin epäoleellisten integraalien ominaisuuksiin.. Geometrinen sarja Määritelmä 5. Lukujono a, a, a 3,... on geometrinen, jos kahden peräkkäisen jäsenen a n+ ja a n suhde on vakio: a n+ a n = q (tällöin siis a n+ = qa n ). Sarja a n on geometrinen, jos jono a, a, a 3,... on geometrinen. Geometrisen sarjan jäsenet määräytyvät yksikäsitteisesti suhdeluvusta q ja ensimmäisestä jäsenestä a = a. Tällöin a = aq, a 3 = a q = aq, a 4 = a 3 q = aq 3, jne. Geometrisen sarjan osasummien S n = a + aq + aq aq n (.3) avulla voidaan myös suppenemiskysymys ja summa määrittää seuraavasti: Kertomalla (.3) suhdeluvulla q saadaan qs n = aq + aq aq n + aq n, (.4) ja vähentämällä (.4) yhtälöstä (.3) saadaan ( q)s n = a aq n = a( q n ), joten osasummalle S n saadaan lauseke (tapaus q = on helppo mutta käsiteltävä erikseen) ja tästä saadaan seuraava tulos: S n = a qn q, (.5) Lause 3. Geometrinen sarja aq n n= suppenee tarkalleen silloin, kun q <. Suppenevassa tapauksessa aq n = a n= q. Esimerkki 8. Akilles kulkee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna. Akilleen ja kilpikonnan kilpajuoksussa kilpikonna saa kymmenen metrin etumatkan. Kun Akilles on saavuttanut kilpikonnan lähtöpisteen, on kilpikonna edennyt tästä metrin eteenpäin. Kun Akilles saavuttaa tämän pisteen, on kilpikonna edennyt tästä cm eteenpäin. Kun Akilles saavuttaa tämän pisteen, on kilpikonna edennyt tästä cm eteenpäin, jne. Akilleen saavuttaessa kilpikonnan aiempi olinpaikka on kilpikonna ehtinyt jälleen edetä eteenpäin / matkasta, joka oli Akilleen tavoitettavana aiemmin. Seuraako tästä, että Akilles ei koskaan saavuta kilpikonnaa?

15 .3 Desimaaliesitys 5 Valitaan ajan yksiköksi se aika, jossa Akilles saavuttaa lähtökohdastaan kilpikonnan lähtökohdan. Kilpikonnan lähtöpaikkaa tavoittaessaan Akilles on siis kilpikonnan takana ajan. Tavoittaessaan sitä paikkaa, mihin kilpikonna siirtyi ajan kuluessa on Akilles kilpikonnan takana ajan. Tänä aikana on kilpikonna jälleen ehtinyt siirtyä seuraavaan paikkaan, jota tavoittaessa Akilles käyttää ajan, jne. Tällöin kokonaisaika, jonka Akilles on kilpikonnan takana, on = ( n= )n = = 9. Kokonaisaika, jonka Akilles on on kilpikonnan takana, on siis äärellinen 9, ja Akilles ohittaa kilpikonnan tämän ajan kuluttua. Mahdollinen paradoksaalinen johtopäätös, jonka mukaan Akilles ei voi koskaan saavuttaa kilpikonnaa, selittyy siten, että vaikka ajanhetkiä jolloin Akilles on kilpikonnan takana onkin ääretön määrä, on silti kokonaisaika, jonka Akilles on kilpikonnan takana äärellinen..3 Desimaaliesitys Reaalilukujen desimaaliesitys lienee käytetyin esimerkki suppenevasta sarjasta, jonka taustalla voidaan nähdä geometrinen sarja. Esimerkiksi esityksessä π = 3, (.6) 3 viittaa luvun π kokonaisosaan,, kymmenesosiin, 4 sadasosiin, tuhannesosiin, jne. Desimaaliesitys (.6) tarkoittaa siis lukua Yleisemmin desimaaliesitys tarkoittaa lukua k + a + a + a , (.7) 3 missä k Z ja a i {,,...,9}. Voidaan luonnollisestikin kysyä, määrääkö esitys (.7) aina jonkin reaaliluvun, toisin sanoen, suppeneeko sarja (.7) kaikilla jonon a, a, a 3,... valinnoilla (a i {,,...,9}). Vastaus tähän kysymykseen on varsin helppo, sillä sarjassa (.7) osoittajat a i ovat rajoitettuja: a i 9, ja siis k + a + a + a a n n k n = k + 9 n 9 k = k +, joten siis osasummien S n = k + a + a a n n jono on ylhäältä rajoitettu. Koska S n on selvästikin kasvava jono, se suppenee lauseen () perusteella. Edellä nähtiin siis että kukin jono k, a, a, a 3..., (k Z, a i {,,...,9}) määrittelee reaaliluvun esityksen (.7) kautta. Edelleen voidaan kysyä, onko sitten jokaisella reaaliluvulla olemassa desimaaliesitys. On melko helppoa nähdä (harjoitustehtävä), että näin todellakin on asianlaita: jokaisella reaaliluvulla on desimaaliesitys. Sen sijaan, ehkä hieman yllättäen, voidaan nähdä, että desimaaliesitys ei välttämättä ole yksikäsitteinen, vaan että joillakin reaaliluvuilla voi olla kaksi eri desimaaliesitystä. Esimerkki 9. Olkoon α =,999..., mikä siis tarkoittaa sitä, että α = = 9( ) =. Toisaalta luvulla on myös desimaaliesitys =,..., mitä vastaa sarja

16 6 Lukujonot ja numeeriset sarjat = Voidaan näyttää toteen, että reaaliluvulla α on kaksi eri desimaaliesitystä vain silloin, kun sillä on päättyvä esitys (desimaaliesitystä kutsutaan päättyväksi, jos se sisältää jostain rajasta alkaen pelkkiä nollia). Esimerkki. Samoin kuin edellä, nähdään, että,... =, Reaalilukujen kaksi eri desimaaliesitystä liittyvät toisiinsa aina tämän esimerkin mukaisella tavalla: esitys, joka koostuu kokonaan nollista jostain rajasta alkaen voidaan korvata esityksellä, joka koostuu kokonaan yhdeksiköistä samasta rajasta alkaen, kun edellistä desimaalia vähennetään yhdellä. On myös helppo havaita, että reaaliluvun desimaaliesitys on jaksollinen (jostakin rajasta alkaen) tarkalleen silloin kun luku on rationaalinen. Jaksollisen (jostakin rajasta alkaen) reaaliluvun esitys kahden kokonaisluvun osamääränä saadaan aina seuraavan esimerkin tavalla: Esimerkki. Olkoon α = 4, Tällöin α = 43, ja vähennyslaskulla saadaan α = 43, α = 4, α = 48,..., mistä saadaan α = 48, 99 = = Suppenemiskriteereitä Aiempien esimerkkien perusteella sarjojen suppenemiskysymyksen ratkaiseminen vaikuttaa työläältä, mutta kuitenkin on mahdollista johtaa yleisiä periaatteita, joiden avulla suppenemiskysymys voidaan ainakin joidenkin sarjojen osalta ratkaista. Esitetään aluksi kriteeri, jonka perusteella voidaan joissakin tapauksissa päätellä, että sarja ei suppene. Lause 4. Jos sarja a n (.8) suppenee, niin lima n =. Tällöin siis sarja hajaantuu, mikäli lima n. Todistus. Merkitään S n = a + a a n. Oletetaan, että sarja (.8) suppenee, mikä merkitsee että raja-arvo lims n lims n = S S =. a n = lims n = S on olemassa. Tällöin S n S n = a n ja lima n = lim(s n S n ) = Huomautus 7. Ehto lima n = on edellisen lauseen mukaan välttämätön sarjan (.8) suppenemiselle, mutta ei kuitenkaan riittävä. Esimerkin 5 harmoniselle sarjalle n nimittäin pätee lim n =, mutta siitä huolimatta sarja hajaantuu. Niin kutsuttu Cauchyn suppenemisehto sivuaa edellistä kriteeriä. Cauchyn ehto on lähinnä teoreettinen eikä yleensä sovellu suppenemiskysymyksen ratkaisemiseen käytännössä. Lause 5 (Cauchyn suppenemisehto). Sarja M+k a n n=m a n suppenee tarkalleen silloin, kun

17 .4 Suppenemiskriteereitä 7 saadaan miten lähelle nollaa hyvänsä valitsemalla M riittävän suureksi (riippumatta siitä miten k on valittu). Tarkemmin ilmaistuna, sarja jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa rajaluku M ε siten, että M+k a n ε kaikille k, kunhan M M ε. n=m a n suppenee tarkalleen silloin, kun Todistus. Sivuutetaan, mutta huomautetaan, että vastaava kriteeri pätee myös I lajin epäoleellisille integraaleille: integraali f (t)dt suppenee tarkalleen silloin, kun M+k M f (t)dt saadaan mielivaltaisen lähelle nollaa valitsemalla M riittävän suureksi ja k miten hyvänsä. Yleisesti voidaan todeta, että monet summiin liittyvät käsitteet ovat vaikeammin tavoitettavissa kuin vastaavat integraaleihin liittyvät käsitteet, esimerkiksi summan S l (n) = n k= k l = l + l n l lauseketta suljetussa muodossa on vaikea saada esille (suljetulla muodolla tarkoitetaan lausekketta S (n) = n, S (n) = n(n + ), S (n) = 3 n(n + )(n + ) jne.), kun taas integraali n I l (n) = t l dt = l + nl on varsin helppo määrittää. Suppenemiskysymyksen osalta yhteys integraalien ja sarjojen välillä on kuitenkin suoraviivaisempi: Lause 6. Olkoon f välillä [, ) määritelty vähenevä funktio, joka saa vain ei-negatiivisia arvoja. Tällöin sarja f (n) suppenee tarkalleen silloin kun integraali suppenee. f (t)dt Todistus. Oletusten perusteella sarjan sekä integraalin ainoa mahdollinen hajaantumisen muoto on se, että arvo lähestyy ääretöntä. Insinöörimatematiikka B:ssä esitetyn Eulerin-Maclaurinin summakaavan mukaan M M f () + f (M) M f (n) = f (t)dt + + f (t)(t t )dt. Virhetermiä arvioitaessa otetaan huomioon, että f on vähenevä, joten f (t) <. Tällöin

18 8 Lukujonot ja numeeriset sarjat M f (t)(t t M )dt f (t)(t t M ) dt f (t) dt = M f (t)dt = ( f () f (M)). Näin ollen M M f (n) f () + f (M) f (t)dt = f () + f (M) M + f (t)(t t )dt + f () f (M) f () + f (M) f () + f () = f (). Väite seuraa tästä suoraan. Esimerkki. Sarja n s suppenee tarkalleen silloin kun integraali dt suppenee, mikä ta- ts pahtuu tarkalleen silloin kun s >. Erityisesti voidaan havaita uudelleen, että sarja mutta että sarja n suppenee. n hajaantuu, Määritelmien perusteella voidaan saada integraalien ominaisuuksia vastaava tulos sarjoille: Lause 7 (Minorantti-majoranttiperiaate). Oletetaan, että jostakin rajasta lähtien a n b n. Tällöin. Jos. Jos Esimerkki 3. Sarja b n suppenee, niin myös a n hajaantuu, niin myös Esimerkki 4. Sarjalle sinn n a n suppenee (vieläpä itseisesti) b n hajaantuu. suppenee itseisesti, sillä sinn n, ja n n n voidaan löytää minorantti: n + n n n + n n n + n n = n. Koska sarja n hajaantuu (vrt. vastaava integraali n n n + samoin. n suppenee. dt), tekee myös majoranttisarja t Samoin kuin integraaleille, voidaan myös sarjoille esittää vertailutarkastimet raja-arvomuodossa. Lause 8. Oletetaan, että lim a n b n = L. Tällöin. Jos L =, niin sarjan. Jos < L <, niin sarjoilla 3. Jos L =, niin sarjan b n suppenemisesta seuraa sarjan a n ja a n suppeneminen. b n on samanlainen suppenemiskäyttäytyminen. b n hajaantumisesta seuraa sarjan a n hajaantuminen.

19 .4 Suppenemiskriteereitä 9 Todistus. Seuraa suoraan vastaavasta lauseesta I lajin epäoleellisille integraaleille. Sarjoille on olemassa myös oma suppenemiskriteerinsä, jota ei esiinny I lajin epäoleellisilla integraaleilla. Tässä kriteerissä käytetään sarjan peräkkäisten jäsenten osamäärän raja-arvoa. Lause 9 (Osamäärätarkastin). Jos sarjassa.. a n+ a n a n+ a n q <, (q vakio) niin sarja suppenee itseisesti., niin sarja hajaantuu. a n on jostain rajasta M alkaen Todistus. Lauseen kohdan perustella riittää tarkastella tapausta M =. Lauseen todistus perustuu siihen, että -kohdassa saadaan sarjalle suppeneva geometrinen majorantti, ja -kohdassa hajaantuva geometrinen minorantti. Jos nimittäin kaikilla n:n arvoilla pätee q, on an q a n q a n... q n a. Täten siis sarjalla n= a q n. Hajaantumista koskeva väite todistetaan analogisesti. a n+ a n a n on suppeneva majorantti q n a = Myös osamäärätarkastimesta saadaan helposti raja-arvomuoto, joka saattaa toisinaan olla helpommin käytettävissä kuin varsinainen osamäärätarkastin. Lause. Olkoon lim a n+ a n = L.. Jos L <, niin sarja. Jos L >, niin sarja a n suppenee itseisesti. a n hajaantuu. Todistus. Lauseen 9 tulokseen perustuva helppo harjoitustehtävä. Huomautus 8. Lauseessa 9 tarvitaan todella ehto a n+ a a n q <, ehto n+ a n < ei riitä. Voidaan nimittäin helposti huomata, että sekä hajaantuva sarja n että suppeneva sarja n molemmat toteuttavat ehdon a n+ a n <. Sarjan itseiselle suppenemiselle saadaan myös seuraava juuritarkastin. Lause (Juuritarkastin). Jos sarjassa. n a n q <, niin sarja suppenee itseisesti. n a n, niin sarja hajaantuu. a n on jostain rajasta alkaen Todistus. Kohdassa saadaan suppeneva majorantti vielä helpommin kuin edellisessä lauseessa: ehdosta n a n q seuraa, että a n q n. Hajaantumista koskeva väite näytetään toteen analogisesti. Myös juuritarkastimesta voidaan esittää raja-arvomuoto (harjoitustehtävä).

20 Lukujonot ja numeeriset sarjat.5 Vuorottelevat sarjat Jos suppenevassa sarjassa on vain äärellinen määrä negatiivisia (tai positiivisia) termejä, on suppeneminen aina itseistä, sillä sarjan alkuosa ei vaikuta suppenemiseen. Ehdollinen suppeneminen voi siis tapahtua ainoastaan silloin, kun sarjassa on ääretön määrä sekä positiivisia että negatiivisia termejä. Tämänkaltaisista sarjoista tärkeimpiä ovat vuorottelevat sarjat. Määritelmä 6. Jos a n, sanotaan, että sarja on vuorotteleva. ( ) n a n Vuorotteleville sarjoille suppeneminen voidaan taata melko helposti: Lause (Leibniz). Olkoon positiivilukujen jono a n vähenevä ja lima n =. Tällöin vuorotteleva sarja ( ) n a n (.9) suppenee. Lisäksi kirjoitelmassa jäännöstermi ( ) n a n = M ( ) n a n + R M R M = ( ) M a M+ + ( ) M+ a M+ + ( ) M+ a M on samanmerkkinen kuin ensimmäinen poisjätetty termi ( ) M a M+ ja R M a M+. Todistus. Valitaan parillinen k (parittomalla arvolla vain merkinnät muuttuvat hieman) ja arvioidaan osasummien sekä S M+k = ( ) a + ( ) a ( ) M a M ( ) M+k a M+k erotusta. Ensin todetaan, että ja toisin ryhmittelemällä S M = ( ) a + ( ) a ( ) M a M ( ) M (S M+k S M ) = a M+ a } {{ M+ +a } M+3 a M a } {{ } M+k a } {{ M+k } = ( ) M (S M+k S M ) = a M+ (a M+ a M+3 ) (a M+4 a M+5 )... a } {{ } } {{ } } M+k {{ } a M+ Kahdesta edellä saaduista arvoista seuraa, että

21 .6 Termien järjestyksenvaihto, Cauchyn tulo S M+k S M a M+. Koska oletuksen mukaan lima n =, saadaan a M+ miten pieneksi hyvänsä valitsemalla M riittävän suureksi. Tällöin sarjan (.9) suppeneminen seuraa Cauchyn suppenemisehdosta (lause 5). Kun merkitään sarjan summaa S:llä, voidaan jäännöstermi kirjoittaa muotoon ( ) M R M = ( ) M (S S M ) = lim k ( ) M (S M+k S M ), mistä aikaisempien arvioiden mukaan saadaan ( ) M R M a M+. Esimerkki 5. Koska lim n =, voidaan edellisen lauseen perusteella todeta, että sarja (.) 4 suppenee. Myöhemmin nähdään, että tämän sarjan summa on ln, mutta tässä voidaan todeta, että sarja (.) suppenee vain ehdollisesti: itseisarvot ottamalla saadaan harmoninen sarja , jonka on jo aiemmin todettu hajaantuvan. Jos sarjan (.) summa haluttaan määrittää siten että virhe on korkeintaan 3, tulee edellisten arvioiden mukaan laskea yhteen tuhat ensimmäistä termiä..6 Termien järjestyksenvaihto, Cauchyn tulo Verrattaessa sarjoja äärellisiin summiin voidaan aluksi todeta, että suppenevassa tapauksessa voidaan sulkeita asetella aivan kuten äärellisissäkin summissa. Tällöin nimittäin sulkeistamalla saadun sarjan osasummien jono on alkuperäisen sarjan osasummien jonon osajono, joka siten suppenee kohti alkuperäisen sarjan summaa. Sen sijaan sulkeiden poistaminen sarjasta voi olla ongelmallista. Esimerkki 6. Vuorottelevien sarjojen yhteydessä havaittiin, että sarja S = = ( ) n n (.) suppenee. Sulkeita asettamalla saadaan positiiviterminen sarja S = ( ) + ( 3 4 ) + ( 5 6 )... = = n(n ), joka suppenee myös ja sen summa on sama kuin alkuperäisenkin sarjan summa. Esimerkki 7. ( ) + ( ) + ( )... esittää triviaalisti suppenevaa sarjaa =, mutta sulkeet poistamalla saadaan sarja joka hajaantuu Myös muita eroja sarjojen ja äärellisten summien välillä voidaan huomata. On nimittäin mahdollista todistaa, että ehdollisesti suppenevasta sarjasta saadaan termien järjestystä vaihtamalla sekä hajaantuva sarja että sarja, joka suppenee kohti mitä tahansa annettua reaalilukua. Missä hyvänsä sarjassa voidaan aina vaihtaa äärellisen monen termin järjestystä sarjan suppenemisen tai summan siitä kärsimättä. Jos nimittäin vaihdetaan vain termien a,..., a M järjestystä, voidaan kirjoittaa S = M b n + n=m+ a n,

22 Lukujonot ja numeeriset sarjat missä jono b,..., b M on saatu jonosta a,..., a M järjestystä vaihtamalla. Tällöin M b n = M eikä sarjan suppeneminen riipu sen alkupäästä, kuten jo aiemmin todettiin. Jos suppeneminen on itseistä, voidaan termien järjestystä vaihtaa mielivaltaisesti. a n, Lause 3. Jos sarja suppenee itseisesti, niin jokainen siitä termien järjestystä vaihtamalla saatu sarja suppenee (vieläpä itseisesti) kohti alkuperäisen sarjan summaa. Todistus. Sivuutetaan. On mahdollista todistaa myös käänteinen tulos edelliselle lauseelle: Jos termien järjestyksenvaihto ei muuta suppenemista eikä summaa, niin silloin sarja suppenee itseisesti. Edellä mainittujen tuloksien perusteella itseisesti suppenevat sarjat toteuttavat oleellisesti samankaltaiset laskulait kuin tavalliset äärelliset summat. Tarkastellaan lopuksi miten sarjojen tulo muodostetaan. Määritelmä 7. Merkintä jossakin järjestyksessä. Lause 4. Jos sarjat S = m, m= a m b n tarkoittaa sarjaa, jonka termeinä ovat kaikki tulot a m b n m,n a m ja T = suppenee itseisesti kohti tuloa T S. Todistus. Sivuutetaan. b n suppenevat itseisesti, niin jokainen tulosarja m, a m b n Käyttökelpoinen järjestys Cauchyn tulo sarjojen tulon laskemiseksi saadaan muuttamalla indeksointi nollasta alkavaksi. Tällöin itseisesti suppenevien sarjojen m= a m ja n= b n Cauchyn tulo on sarja m=a m n= b n = k= m+n=k a m b n = k k= n= a k n b n = a b + a b + a b + a b + a b + a b a n b + a n b a b n + a b n +... Esimerkki 8. Kun x <, saadaan geometrisen sarjan avulla ( x) = n= = x n m= k= x m = (k + )x k. k k= n= x k n x n

23 Luku 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Insinöörimatematiikka B:ssä ja tämän kurssin alkuosassa on käsitelty kahta toisilleen hyvin läheistä matemaattista objektia: I lajin epäoleellisia integraaleja ja sarjoja. Kummatkin ovat raja-arvoja äärellisellä välillä määritellyistä käsitteistä: I lajin epäoleellinen integraali saadaan raja-arvona integroinnin ylärajan kasvaessa: ja sarja puolestaan saadaan raja-arvona summan ylärajan kasvaessa: M f (t)dt = lim M f (t) dt (3.) f n = lim M M f n. (3.) Sarjoja, kuin myös I lajin epäoleellisia integraaleja voidaan yhtä hyvin tarkastella myös muuttuvina objekteina. Jonon f, f, f 3,..., sijaan voidaan tarkastella jonoa f (x), f (x), f 3 (x),... jolloin sarjan (3.) summa F(x) oletettavasti riippuu x:n arvosta. Näin päädytään funktiosarjoihin F(x) = f n (x). (3.3) Samoin myös integrandina toimivan funktion f (t) sijaan voitaisiin tarkastella funktioita f (t,x), jolloin ilmeisestikin I lajin integraalin (3.) F(x) = f (t,x)dt, (3.4) arvo riippuu x:n arvosta. Sanotaan, että (3.4) on integraalin määrittelemä funktio. Huomautus 9. Johdannossa sekä esityksessä (3.3) esiintyi lisäksi kerroinjono a, a, a,... ja esityksessä (3.4) kerroinfunktio a(t). Tässä kappaleessa voidaan kerroinjonon ajatella sisältyvän merkintään f n (x) ja kerroinfunktion merkintään f (t,x). Huomautus. Funktiosarjojen summan, samoin kuin integraalin määrittelemän funktion integroinnin alaraja voidaan ilman muuta valita toisinkin, ja epäoleellisuus voi esiintyä myös alarajalla. Funktiosarjojen ja integraalin määrittelemien funktioiden teoriat ovat varsin samankaltaiset. Itse asiassa näiden käsitteiden samankaltaisuutta voitaisiin korostaa kirjoittamalla f n (x) = f (n,x), jolloin (3.3) voidaan kirjoittaa muotoon F(x) = f (n,x), mutta tämänkaltaista merkintää käytetään harvemmin. Yhtä lailla analogiaa korostaisi myös merkintä f (t,x) = f t (x), jolloin (3.4) voitaisiin kirjoittaa muotoon F(x) = f t (x)dt, mutta tätäkin merkintää käytetään äärimmäisen harvoin. 3

24 4 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Kiinteällä x:n arvolla funktiosarja palautuu tavalliseksi vakiosarjaksi samoin kuin integraalin määrittelemä funktio palautuu I lajin epäoleelliseksi integraaliksi. Näiden suppenemisen tarkastelemiseksi voidaan siis käyttää aiemmin opittuja suppenemiskriteerejä, mutta kiinnittämällä x vakioksi seuraavat kysymykset jäävät avoimiksi: millaisen funktion sarja (3.3) tai integraali (3.4) määrittelee? Mitkä funktioiden f n (x) ominaisuuksista esimerkiksi periytyvät sarjalle (3.3) ja mitkä funktioiden f (t,x) ominaisuuksista funktiolle (3.4)? Kutsutaan funktiota f n (x) sarjan (3.3) ja funktioita f (t,x) integraalin (3.4) osafunktioiksi. Määritelmä 8. Sarja (3.3) suppenee välillä I, mikäli se suppenee jokaisella arvolla x I. Samoin määritellään integraalin (3.4) suppeneminen välillä I. Esimerkki 9. Tunnetusti + x x n = xn+ x, joten F(x) = + x + x +... = x suppenee, kun x (,). Näin ollen jäännöstermille R n (x) pätee R n (x) = F(x) F n (x) = x n+ x, mistä nähdään, että jäännöstermin R n (x) saamiseksi ε:in päähän nollasta tulee n valita aina suuremmaksi mitä lähempänä x on lukua. Tällöin sanotaan, että vaikka sarja F(x) = + x + x + x suppenee välillä (,), ei se suppene tasaisesti tällä välillä. 3. Summaus tai integrointi yli äärellisen välin Tarkasteltaessa aluksi funktiosarjan sijaan äärellistä summaa F N (x) = N voidaan todeta, että osafunktioiden jatkuvuus, integroituvuus ja derivoituvuus periytyy suoraan summafunktiolle S N (x) ja integraalit ja derivaatat voidaan laskea termeittäin. Tämä seuraa mainittuja analyyttisiä ominaisuuksia koskevista perustuloksista. Vastaava tulos pätee myös integraaleille. f n (x) Lause 5. Jos funktio f : [,N] [a,b] R on jatkuva, niin N F N (x) = f (t,x)dt on jatkuva välillä [a,b]. Jos kutakin t [,M] kohti f (t,x) on integroituva yli välin x [a,b], niin myös F N (x) on, ja b a F N (x)dx = N b a f (t,x)dxdt. Jos lisäksi x f (t,x) : [,N] [a,b] R on jatkuva, niin F N on derivoituva ja Todistus. Sivuutetaan. N F N(x) = x f (t,x)dt

25 3. Tasainen suppeneminen 5 3 sinxt Esimerkki. Olkoon F(x) = t x R, on myös F(x) jatkuva. Lisäksi dt. Koska osafunktiot sinxt t ovat jatkuvia, kun t [,3] ja 3 F t cosxt (x) = dt = t 3/ x sinxt = (sin3x sinx). x Lisäksi 5 F(x)dx = 3 5 sinxt t dxdt = 3 ( 5 / cosxt ) 3 cost cos5t t dt = t dt. 3. Tasainen suppeneminen Edellisessä pykälässä esitetyt tulokset osafunktioiden ominaisuuksien periytymisestä eivät välttämättä päde, mikäli summan sijaan tarkastellaan sarjaa tai äärellisen välin integraalin sijaan I lajin epäoleellista integraalia. Tästä nähdään esimerkkejä myöhemmin Fourier n integraalien ja Fourier n sarjojen yhteydessä. Esimerkki. Tarkastellaan miksi jatkuvuutta ei voida näyttää funktiosarjoille toteen ilman lisäoletuksia, vaikka kaikki osafunktiot olisivat jatkuvia. Olkoon F(x) = f n (x), suppeneva sarja, kukin f n jatkuva, ja yritetään näyttää toteen, että F(x) olisi jatkuva. Tätä varten arvioidaan etäisyytä ( N N d(f(x),f(x )) = F(x) F(x ) = f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x )) n=n+ n=n+ N = ( f n (x) f n (x )) + f n (x) f n (x ) n=n+ n=n+ N ( f n (x) f n (x )) + f n (x) + f n (x ). n=n+ n=n+ Itseisarvomerkkien sisällä esiintyvistä lausekkeista ensimmäinen on äärellinen summa, joten se saadaan jatkuvuuden perusteella mielivaltaisen pieneksi, kunhan x valitaan riittävän läheltä x :aa. Seuraavat kaksi lauseketta puolestaan ovat suppenevan sarjan loppuosia, joten myös ne saadaan mielivaltaisen pieneksi, kunhan N valitaan riittävän suureksi. Ongelmaksi muodostuu kuitenkin se, että jos toinen lauseke halutaan saada pienemmäksi kuin jokin ennalta annettu raja, tulee N valita tietyn rajan yläpuolelta. Tällöin taas ensimmäisen lausekkeen yhteenlaskettavien määrä voi tulla suureksi, ja sen saamiseksi ennalta annetun rajan alapuolelle saattaa vaatia x:n valitsemista aina vain lähempää x :aa, jolloin taas toisen lausekkeen pieneksi saamiseen tulee ehkä N:ää kasvattaa, ja näin päädytään loputtomaan kierteeseen. Edellisen tarkastelun perusteella jatkuvuus voitaisiin näyttää toteen, mikäli sarjan loppuosa f n (x) n=n+ saadaan pieneksi x:stä riippumatta. Tällöin sanotaan, että sarjan tai integraalin suppeneminen on tasaista, ja edellisen pykälän tulokset voidaan yleistää.

26 6 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Määritelmä 9. Sarja F(x) = f n (x) suppenee tasaisesti välillä I, mikäli jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa sellainen rajaluku M ε, että f n (x) < ε, n=m jos M M ε, olipa x I valittu miten tahansa. Samoin integraalin F(x) = f (t,x)dt sanotaan suppenevan tasaisesti välillä I, jos jokaista positiivilukua ε kohti on sellainen rajaluku M ε, että f (t,x)dt < ε, M jos M M ε, olipa x I valittu miten tahansa. Huomautus. Tasaisen suppenemisen kannalta oleellista on lisämääre olipa x I valittu miten tahansa. Tämä nimittäin ilmaisee sen, että sarjan ja integraalin loppuosat F(x) = f n (x) F(x) = f (t,x)dt f n (x) n=m ja M f (t,x)dt saadaan miten lähelle nollaa hyvänsä, kunhan summaus/integrointi aloitetaan riittävän suuresta luvusta M, riippumatta siitä miten x on valittu. Tasainen suppenemisen määritelmää saattaa olla hankala käyttää sellaisenaan, mutta funktiosarjan, samoin kuin integraalin määrittelemän funktion tasaiselle suppenemiselle olemassa käyttökelpoinen kriteeri. Lause 6 (Weierstrassin M-testi). ) Jos on olemassa sellainen jono M, M, M 3,..., että. f n (x) M n, kun x I ja. sarja niin sarja M n suppenee, suppenee tasaisesti välillä I. f n (x) ) Jos on olemassa sellainen funktio M(t), että. f (t,x) M(t), kun x I ja

27 3. Tasainen suppeneminen 7. integraali M(t) dt suppenee, niin integraali suppenee tasaisesti välillä I. f (t,x)dt Todistus. Sivuutetaan. Weierstrassin kriteerissä mainittu yläraja M n tai M(t) osafunktioille voidaan usein löytää valitsemalla suurin mahdollinen arvo x:lle tarkasteluvälillä. Esimerkki. Jos < a <, saadaan esimerkin 9 sarjalle f n (x) = x n a n. Koska sarja a n n= suppenee (geometrinen sarja, summa a ), voidaan edellisen lauseen perusteella todeta, että esimerkin 9 sarja suppenee tasaisesti välillä [ a,a]. Seuraavassa lauseessa esitetään tärkeimpiä ominaisuuksia, jotka periytyvät osafunktioilta f n (x) ja f (t,x) sarjalle ja integraalille siinä tapauksessa, että suppeneminen tapahtuu tasaisesti. Lause 7. Oletetaan, että funktiot f n (x) ovat jatkuvia välillä I, f (t,x) : I R R jatkuva ja että sarja ja integraali F (x) = suppenevat tasaisesti välillä I. Tällöin. F (x) ja F (x) ovat jatkuvia välillä I.. F (x) ja F (x) ovat integroituva välillä I ja b a b a f n (x) ja F (x) = f (t,x)dt F (x)dx = F (x)dx = b a b a f n (x)dx f (t,x)dxdt 3. Jos f n(x) on jatkuva välillä I ja x f (t,x) : I R R on jatkuva ja f n(x) sekä x f (t,x)dt suppenevat tasaisesti välillä I, niin F(x) on derivoituva välillä I ja F (x) = f n(x) sekä F (x) = x f (t,x)dt. Todistus. Sivuutetaan, mutta huomautetaan, että jatkuvuus funktiosarjalle voidaan tasaisen suppenemisen tapauksessa todistaa esimerkissä mainitulla tavalla. Esimerkki 3. Sarja S(x) = suppenee tasaisesti koko reaaliakselilla, sillä sinnx n ja sarja n (3.5) on jatkuva koko reaaliakselilla, sillä kukin osafunktio sinnx n sinnx n (3.5) on. suppenee. Näin ollen funktio n

28 8 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Esimerkki 4. Esimerkistä seuraa, että sarja +t = ( ) n t n n= suppenee tasaisesti välillä [ a, a], missä < a <. Jos siis x a, saadaan puolittain integroimalla x x ln( + x) = +t = ( ) n t n ( ) dt = n x n+. n= n= n + Summausindeksiä vaihtamalla saadaan siis ln( + x) = n xn ( ) n = x x + x3 3 x4 +..., (3.6) 4 ja sarja (3.6) suppenee, kun x <. Toisaalta taas Leibnizin lauseen (lause ) mukaan sarja (3.6) suppenee tasaisesti välillä [, ], joten sen summafunktio on jatkuva tällä välillä. Koska myös ln( + x) on välillä [,] jatkuva, ja sen arvo yhtyy sarjan (3.6) arvoon välillä [,), on arvojen oltava samat myös pisteessä x =. Näin ollen Esimerkki 5. Sarja ln = x = n= suppenee tasaisesti välillä [ a,a] ( < a < ). Derivoimalla puolittain saadaan ( x) = nx n = x n n= (n + )x n. Termeittäin derivointi onnistuu, koska myös derivaattasarja suppenee tasaisesti välillä [ a, a] (miksi? Katso myös esimerkki 8). Esimerkki 6. Aiemmin todettiin, että sarja suppenee tarkalleen silloin kun s >. On kuiten- ns kin mahdollista laajentaa sarjan ζ (s) = n s (3.7) määrittelemä funktio koko kompleksitasoon lukuunottamatta pistettä s =. Reaalialueella sarjaa (3.7) kutsutaan toisinaan yliharmoniseksi sarjaksi, mutta sen määrittelemän funktion laajennusta taas Riemannin ζ -funktioksi. Riemannin ζ -funktion nollakohtien sijainti kompleksitason alueessa < Re(s) < on yksi tärkeimmistä matematiikan toistaiseksi avoimista ongelmista. Riemannin ζ - funktion nollakohtien sijainnilla mainitussa alueessa on nimittäin suora yhteys alkulukujen jakauman määrittämiseen. Ns. Riemannin hypoteesin mukaan alueessa < Re(s) < sijaitsevien ζ -funktion nollakohtien reaaliosa on. Tämän hypoteesin oikeaksi todistamisesta on Clay Mathematics Institute luvannut miljoonan dollarin palkkion. 3.3 Potenssisarjat Kurssilla Insinöörimatematiikka B tutustuttiin Taylorin polynomeihin sekä näiden erikoistapauksiin Maclaurinin polynomeihin. Lause 8 (Taylorin polynomi). Oletetaan, että funktio f on n + kertaa derivoituva jossakin pisteen x ympäristössä. Tällöin

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson 3 Esipuhe Matematiikka tieteiden kuningatar ja palvelija on lukioihin ja ammattikorkeakouluihin suunnattuun koulukohtaiseen valinnaiseen syventävään kurssiin perustuva kirja. Kirjan tarkoituksena on kerrata

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Alkusanat korjattuun 2. painokseen

Alkusanat korjattuun 2. painokseen Alkusanat Kirja on suunniteltu käytettäväksi oppimateriaalina Helsingin ja Turun yliopistojen kursseilla Analyysi I ja II. Se soveltuu materiaaliksi myös muiden yliopistojen ensimmäisen vuoden matemaattisen

Lisätiedot

Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta

Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Jorma Merikoski 10.1.2015 Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Markku Halmetoja on laatinut ehdotuksen lukion pitkän matematiikan uudeksi opetussuunnitelmaksi. Hän esittelee sitä matematiikan

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit, kevät 2014

Sarjat ja integraalit, kevät 2014 Sarjat ja integraalit, kevät 2014 Peter Hästö 12. maaliskuuta 2014 Matemaattisten tieteiden laitos Osaamistavoitteet Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija osaa erottaa jatkuvuuden ja tasaisen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Weierstrassin funktiosta

Weierstrassin funktiosta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Tervaskangas Weierstrassin funktiosta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö TERVASKANGAS,

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Yhtälön ratkaiseminen

Yhtälön ratkaiseminen Yhtälön ratkaiseminen Suora iterointi Kirjoitetaan yhtälö muotoon x = f(x). Ensin päätellään jollakin tavoin jokin alkuarvo x 0 ja sijoitetaan yhtälön oikealle puolelle, jolloin saadaan tarkennettu ratkaisu

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Fourier-analyysin alkeet

Fourier-analyysin alkeet 1 Fourier-analyysin alkeet Joni Teräväinen 8. toukokuuta 212 Fourier'n teoria ei ole ainoastaan yksi modernin analyysin kauneimpia tuloksia, vaan sen sanotaan varustavan käyttäjänsä korvaamattomalla työkalulla

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89. 5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat?

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Matti Lehtinen Desimaaliluvut ovat niin jokapäiväisiä ja niillä laskemiseen niin totuttu, ettei yleensä tule miettineeksi, mitä ne oikeastaan ovat. Joskus kauan

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen

Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen Matematiikan pohjatietokurssi Eija Jurvanen 03 Sisältö Polynomit................................... 4 Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla................. 5. Kokonaislukujen jakolasku......................

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot