Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015"

Transkriptio

1 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka C 5

2

3 Sisältö Johdanto Kerrattavaa Kurssin sisällöstä Funktioiden esityksistä Lukujonot ja numeeriset sarjat Sarjojen perusominaisuuksia Geometrinen sarja Desimaaliesitys Suppenemiskriteereitä Vuorottelevat sarjat Termien järjestyksenvaihto, Cauchyn tulo Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Summaus tai integrointi yli äärellisen välin Tasainen suppeneminen Potenssisarjat Sarjaopin sovelluksia Eulerin kaava Generoivat funktiot ja rekursioyhtälöt Sarjaratkaisut differentiaaliyhtälöille Fourier n sarjat Fourier-sarjojen kompleksinen muoto Fourier-sarjojen reaalinen muoto Fourier-sarjojen ominaisuuksia Fourier-muunnokset Fourier-integraali ja -muunnos Fourier-muunnoksen tulkintaa Fourier n integraalin esitysmuotoja Äänisignaalin esittäminen Fourier-muunnosten ominaisuuksia Perusominaisuuksia Delta-funktio Konvoluutio Heavisiden funktio Keskusmomentit ja epätarkkuusrelaatio Nyquistin näytteenottotaajuus Fourier-sarjojen ja integraalien yhteys Diskreetti Fourier-muunnos Diskreetin Fourier-muunnosten ominaisuuksia FFT (Fast Fourier Transform)

4 4 Sisältö 8 Laplace-muunnokset Määritelmä ja perusominaisuuksia Laplace-muunnosten olemassaolosta Konvoluutio ja deltafunktio Laplace-muunnoksen yhteys Fourier-muunnokseen, inversiokaava Laplace-muunnoksen kääntäminen käytännössä Laplace-muunnospareja Yleisimmät menetelmät

5 Luku Johdanto. Kerrattavaa Tätä opintojaksoa varten tulee hallita aiemmissa insinöörimatematiikan kursseissa esitetyt tiedot. Opiskelijan on varmistauduttava, että Insinöörimatematiikka A:sta on omaksuttu ainakin seuraavat asiat: kompleksilukujen käsittely, napakoordinaattiesitys, ykkösenjuuret, Eulerin kaavan mukainen yhteys eksponenttifunktion ja trigonometristen funktioden välillä ja osamurtohajotelmien etsiminen. Insinöörimatematiikka B:stä tulee olla hallussa erityisesti derivointisäännöt, antiderivaatan löytäminen (määräämätön integraali), kompleksiarvoisen funktion integrointi yli reaalisen välin, I lajin epäoleelliset integraalit ja niiden suppenemistarkastimet.. Kurssin sisällöstä Historiallisesti tarkastellen voidaan havaita matematiikkaa sovelletun erittäin monissa käyttökohteissa kautta aikojen. Varhaisimmat sovellukset liittynevät ajanlaskuun, astronomiaan, kaupankäyntiin ja maanmittaukseen. Uuden ajan alkaessa matematiikasta oli tullut korvaamaaton apuneuvo luonnontieteiden kehitykselle. Matematiikkaa on usein kutsuttu luonnontieteiden kieleksi, ja katsaus menneeseen osoittaa, että tämä luonnehdinta on erittäin kuvaava. Mekaniikan kehittäminen, kvanttimekaniikasta puhumattakaan, ei olisi ollut mahdollista ilman tarpeeseen sopivaa matematiikkaa. Aina 9-luvun puoliväliin asti fysiikka lieni tärkein motivaatio uuden matematiikan kehittämiselle. Sittemmin uuden matematiikan kehittäminen on liittynyt yhä enenevässä määrin informaatioteknologian ja biologian tarpeisiin. Erityisen mielenkiintoisia ovat havainnot, joissa huomataan jotakin tarkoitusta varten kehitetyn matematiikan soveltuvan hyvin myös muihin asiayhteyksiin. Joseph Fourier mallinsi lämmön johtumista, mutta hänen työnsä on sittemmin havaittu soveltuvan yleisesti aaltoliikkeiden kuvailemiseen. Fourier n töitä jatkamalla on päädytty matematiikan osa-alueeseen, jota nykyisin kutsutaan Fourieranalyysiksi tai harmoniseksi analyysiksi. Yleensä harmonisen analyysin ymmärretään terminä olevan laajempi käsite, joka sisältää Fourier-analyysin. Taustatietoa Joseph Fourier (768 83) oli ranskalainen matemaatikko ja fyysikko, joka tutki mm. lämmönjohtumista. Nykyinen Fourier-analyysi, joka on yksi tärkeimmistä menetelmistä informaation käsittelyssä ja analysoinnissa, pohjautuu hänen töihinsä. (kuva: Wikimedia Commons) 5

6 6 Johdanto Aaltoliikettä koskevan teorian sovellusalue ei ole vähäinen, sillä kvanttimekaniikan mukaisesti fysikaaliset objektit voidaan kuvata aaltoliikkeinä. Niinpä Fourier-analyysiä voidaan pitää yhtenä kvanttimekaniikan kulmakivenä. On kuitenkin huomattava, että kvanttimekaniikan teoriassa tarvittavat harmonisen analyysin yleistykset saattavat poiketa perinteisestä Fourier-analyysistä hyvinkin paljon. Lisäksi harmoninen analyysi saa entistä enemmän ilmaisuvoimaa kun sen koneistoa tulkitaan lineaarialgebran kautta. Fysikaalisten sovellusten, kuten lämmonjohtumisen tai aaltoliikeopin ohella on Fourier-analyysillä erittäin tärkeitä sovelluksia informaatiotekniikassa. Aaltoliikeoppiin perustuvat perinteiset sovellukset ovat viime kädessä ymmärrettävissä sitä taustaa vasten, että suuri osa nykyisestä informaation siirrosta perustuu johonkin aaltoliikkeeksi kuvailtavaan fysikaaliseen ilmiöön, kuten sähkömagneettiseen säteilyyn. Ehkä kuitenkin kaikkein laajimmin nykyisin esiintyvä Fourier-analyysin sovelluskenttä perustuu minkä hyvänsä informaation tulkitsemiseen aaltoliikkeiden yhdistelmäksi. Tällä tavoin on mahdollista soveltaa harmonista analyysia esimerkiksi digitaalisen äänen tai kuvan pakkaamiseen ja käsittelemiseen. Fourier-analyysin merkitystä signaalinkäsittelylle on vaikea yliarvioida. Fourier-muunnoksia on perinteisesti käytetty ilmiöiden jaksollisuuden analysoinnissa, mutta digitaalisen signaalinkäsittelyn myötä Fourier-analyysin käytännön sovellusten merkitys on kasvanut ennennäkemättömän suureksi. Harmonisen analyysin sovelluksia löytyy käytännöllisesti katsoen jokaisesta digitaalista signaalia käsittelevästä laitteesta, kuten matkapuhelimesta, digikamerasta, blue-ray -soittimesta, jne. Fourier-analyysi on myös erittäin oleellinen osa nykyaikaista luonnontieteellistä tutkimusta. Periaatteellisella tasolla spektroskopia ja Fourier-analyysi ovat vahvasti toisiinsa kytköksissä. Spektroskopian laboratoriomenetelmät voidaan ymmärtää Fourier-analyysin kautta ja parhaimmat nykyaikaiset spektrometrit perustuvat Fourier-analyysin laskennallisiin sovelluksiin. Tyypillinen sovellus on jonkin molekyylin läsnäolon tai poissaolon tunnistaminen: Jos molekyylin tiedetään absorboivan tai emittoivan sähkömagneettista säteilystä tietyillä aallonpituuksilla, tulee näytteestä lähtevästä sähkömagneettisesta säteilystä (esim. valosta) selvittää, millä vahvuuksilla eri allonpituudet siinä esiintyvät. Esimerkiksi molekyylien rakenteen tunnistamisessa käytettävä, ydinmagneettiseen resonanssiin (NMR) perustuva menetelmä pohjautuu viime kädessä Fourier-analyysiin. Perinteinen, ns. jatkuva Fourier-analyysi keskittyy integraali- ja differentiaalilaskennan koneiston ympärille, mutta sovelluksissa erittäin tärkeäksi nousee diskreetti Fourier-analyysi. Jatkuva ja diskreetti Fourier-analyysi tukevat toisiaan sekä teorian ymmärtämisessä että käytännön sovelluksissa. Kurssilla Insinöörimatematiikka C on tarkoitus perehtyä Fourier-analyysin perusteisiin. Tätä varten tarvittavia matemaattisia työkaluja, differentiaali- ja integraalilaskentaa, erityisesti I lajin epäoleellisia integraaleja, on esitelty jo Insinöörimatematiikka B:ssä. Ennen Fourier-analyysiin siirtymistä tulee kuitenkin vielä esitellä yksi puuttuva matemaattinen työkalu, nimittäin sarjaoppi. Siksi tämä kurssi alkaa sarjaopin osiolla, jonka yhteydessä laajennetaan I lajin epäoleellisten integraalien yhteudessä esitettyjä käsitteitä. Varsinainen Fourier-analyysi aloitetaan Fourier n sarjojen käsittelyllä ja tästä lähtökohdasta jatketaan Fourier n integraaleihin. Kurssin lopuksi esitetään myös Fouriermuunnoksille sukua olevat Laplace-muunnokset, joilla on vakiintuneet käyttökohteensa elektroniikassa..3 Funktioiden esityksistä Erityisesti lineaarialgebran näkökulmaa korostava lähestymistapa harmoniseen analyysiin on seuraavanlainen: Ajatellaan funktion F(x) esittävän jotakin fysikaalista suuretta, jonka arvo riippuu x:stä (x voi esittää vaikkapa aikaa). Funktion F ominaisuuksien tarkastelua varten saattaa olla hyödyllistä esittää F joidenkin yksinkertaisten funktioiden avulla. Insinöörimatematiikka B:ssä esiintynyt Taylorin polynomi on esimerkki tällaisesta esityksestä, jossa tosin esitys ei ole eksakti vaan likimääräinen: F(x) a + a x + a x + a 3 x a n x n. (.) Tässä tapauksessa polynomit = x, x = x, x, x 3,..., muodostavat yksinkertaisen funktiosysteemin, jonka avulla monimutkaisempi F esitetään (likimääräisesti). Kertoimien a, a, a,... määrittäminen on esityksen (.) kannalta tietenkin erittäin tärkeä kysymys, ja Taylorin polynomeja koskevassa Insinöörimatematiikka B:n luvussa tämä ratkaistiin seuraavasti: a k = k! F(k) ().

7 .3 Funktioiden esityksistä 7 Esitys (.) voidaan yleistää seuraavasti: funktioiden f k (x) = x k sijasta valitaan mitkä hyvänsä jossain määrin yksinkertainen funktiojono f, f, f,..., ja pyritään esittämään monimutkaisempi F muodossa F(x) = a f (x) + a f (x) + a f (x) a n f n (x), (.) joko eksaktisti tai likimääräisesti. Myös esityksessä (.) oleelliseksi kysymykseksi muodostuu se, miten kerroin a k saadaan, kun F tunnetaan. Tämä riippuu tietysti siitä minkälainen valittujen kantafunktioiden f, f, f, f 3,... jono on. Osoittautuu kuitenkin, että summaesitys (.) on riittämätön useimpia sovelluksia varten. Yksi mahdollisuus yleistää esitystä (.) on ottaa käyttöön suurempi kantafunktiosysteemi, jossa funktioita f t (x) olisi kokonaislukuarvojen t Z lisäksi olemassa jokaista t [a,b] kohti. Tällöin joudutaan tilannetta käsittelemään eri tavoin: Merkitään f t (x) = f (t,x) ja funktioiden yhteenlaskun sijaan integroidaan kaikki välin [a,b] arvot t yhteen: b F(x) = a(t) f (t,x)dt, (.3) a ja selvitettävänä on miten kerroinfunktio a(t) määritetään. Esitys (.3) yleistyy vielä siten, että integrointiväli [a,b] saattaa ylä- tai alarajaltaan ulottua äärettömyyksiin, esimerkiksi F(x) = a(t) f (t,x)dt, (.4) a ja tällöin tulee selvittää miten kerroinfunktio a(t) määritetään. Kurssilla Insinöörimatematiikka B esityksestä (.4) annettiin esimerkkinä ns. Γ -funktio Γ (x) = t x e t dt, jossa voidaan kerroinfunktioksi ajatella a(t) = e t ja kantafunktiosysteemiksi f (t,x) = t x. Funktioiden esittämiseksi kantafunktiosysteemin avulla on ainakin seuraavat vaihtoehdot: Äärellinen summa: Äärellisen välin integraali: I lajin epäoleellinen integraali F(x) = n k= a k f k (x) b F(x) = a(t) f (t,x)dt a F(x) = a(t) f (t,x)dt. a Ylläolevasta listasta puuttuu tietysti esimerkiksi yli koko reaaliakselin (, ) ulottuva I lajin epäoleellinen integraali, mutta selkeämpi laadullinen puute on se että ns. ääretöntä summaa ei esiinny. Mitä siis tarkoittaisi esitys F(x) = k= a k f k (x), (.5) kun f, f, f,... on valittu kantafunktiosysteemi? Myös aiemmin esiintynyt kysymys siitä, miten luvut a, a, a,... määrätään, toistuu tässä yhteydessä kuten aiemmissakin esityksissä, ja vastaus riippuu tietysti siitä miten kantafunktiosysteemi f, f, f,... on valittu. Esityksen (.5) päättymätöntä summaa sanotaan sarjaksi ja seuraavan luvun tarkoituksena onkin perehtyä sarjojen ominaisuuksiin, alkaen siitä mitä sarja päättymättömänä summana ylipäänsä tarkoittaa.

8

9 Luku Lukujonot ja numeeriset sarjat Tässä luvussa tarkoituksena on perehtyä sarjojen yksinkertaisimpiin muotoihin, ns. numeerisiin sarjoihin. Myöhemmin osoittautuu, että ns. funktiosarjat eivät peruskäsitteiltään poikkea numeerisista sarjoista oleellisesti, vaan tarkastelukohteina olevat ominaisuudet ovat erilaisia ja siksi tarkastelunäkökulma muovautuu väistämättä toisenlaiseksi. Sarjojen tarkastelu liittyy läheisesti Insinöörimatematiikka B:n viimeisessä luvussa käsiteltyihin I lajin epäoleellisiin integraaleihin, jotka määriteltiin raja-arvoina. Palautetaan käsite mieleen kertauksen vuoksi. I lajin epäoleellista integraalia varten määritellään ensin ja sen jälkeen a M I(M) = f (x)dx a M f (x)dx = lim f (x)dx = lim I(M). M a M Epäoleellisen integraalin määrittely edellyttää tietenkin, että ylläoleva raja-arvo on olemassa. Ensimmäisen lajin epäoleellinen integraali merkitsee siis integraalia, jossa integrointi ei pääty mihinkään ylärajaan, vaan jatkuu yli koko reaaliakselin. Analogisesti sarjan tahdotaan merkitsevän summaa a n, joka ei pääty lainkaan. I lajin epäoleellisiin integraaleihin päästiin funktioiden I(M) raja-arvoista ja aivan samoin sarjojen määritelmään tullaan pääsemään lukujonojen raja-arvosta. Sarjan määritelmäksi asetetaan a n = lim M mikä on täysin analoginen I lajin integraalin määritelmän kanssa: Ensin summataan johonkin ylärajaan M asti, ja sitten annetaan ylärajan M käydä kohti ääretöntä. Määritelmässä esiintyvä summa S M = M M a n muodostaa lukujonon S, S, S 3,..., jonka raja-arvosta on kysymys ja tämän vuoksi perehdytään ensin lukujonojen raja-arvoihin. Muodollisesti reaalilukujono (tai kompleksilukujono) a, a, a 3,... määritellään funktiona a : N R (tai f : N C), missä siis a(n) = a n. Lukujonon raja-arvo äärettömyydessä määritellään aivan kuten reaaliakselilla määriteltyjen funktioidenkin raja-arvo. Sanotaan, että lukujonon a, a, a 3,... raja-arvo on A, jos jonon jäsen a n saadaan miten lähelle lukua A tahansa, kunhan n valitaan kyllin suureksi. Tämä täsmennetään seuraavassa määritelmässä. a n, 9

10 Lukujonot ja numeeriset sarjat Määritelmä. Lukujonon a, a, a 3,... raja-arvo on A, mikäli jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa luku M ε >, jolle pätee d(a n,a) = a n A < ε, kunhan n > M ε. Tällöin merkitään lima n = lim n a n = A Määritelmä. Lukujono a, a, a 3,..., suppenee, jos lima n on äärellisenä olemassa. Muutoin lukujono hajaantuu. Esimerkki. Lukujono a n = n suppenee ja lim n =, sillä n = n < ε, kun n > ε. Esimerkki. Lukujono a n = n hajaantuu, samoin a n = ( ) n. Määritelmä 3. Lukujono a n on ylhäältä rajoitettu jos on olemassa sellainen luku M, että a n M jokaiselle n N. Lukujono on kasvava, jos a n+ a n aina, kun n N. Ylhäältä rajoitettuja, kasvavia reaalilukujonoja koskee seuraava teoreettisesti tärkeä tulos. Lause. Ylhäältä rajoitettu, kasvava reaalilukujono a n suppenee. Huomautus. Intuitiivisesti edellinen lause on melko ilmeinen: jos jono on kasvava, mutta sillä on kuitenkin yläraja, on jonon jäsenten pakko kasautua johonkin pisteeseen, mikä varsin ilmeisesti onkin se raja-arvo, jota jono lähenee. Lauseen syvällisyys ilmeneekin siinä, että se puhuu reaalilukujen ominaisuudesta: lause nimittäin väittää, että kasautumispiste kaikille ylhäältä rajoitetuille, kasvaville jonoille on olemassa. Todistus. Koska a n on ylhäältä rajoitettu, on joukolla S = {a,a,a 3...} jokin yläraja. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman perusteella (kts. Insinöörimatematiikka A) joukolla S on tällöin myös pienin yläraja A = sups. Osoitetaan, että lima n = A. Olkoon ε > mikä hyvänsä, jolloin A ε ei siis enää ole joukon S yläraja, sillä A on ylärajoista pienin. Koska A ε ei ole joukon S yläraja, on olemassa sellainen joukon S alkio a Mε, että a Mε > A ε. Koska jono a n on kasvava, on a n a Mε aina, kun n M ε. Tällöin arvoilla n M ε on voimassa (muista että A on joukon S yläraja, siis a n A aina) d(a n,a) = A a n A a Mε < A (A ε) = ε, mikä määritelmän mukaan merkitsee sitä, että lima n = A. Huomautus. Tarkastelemalla jonoa a n jonon a n sijaan voidaan edellisen lauseen tuloksesta nähdä helposti, että alhaalta rajoitetut, vähenevät lukujonot suppenevat.

11 Lukujonot ja numeeriset sarjat Huomautus 3. Reaalilukujen täydellisyysaksiooma (kutsutaan sitä nimellä TA) sanoo, että ylhäältä rajoitetuilla, epätyhjillä joukoilla S on pienin yläraja (merkitään sups). Kutsutaan edellisen lauseen tulosta, siis sitä, että kasvavat, ylhäältä rajoitetut jonot suppenevat nimellä JS. Tällöin ylläolevassa lauseessa on siis johdettu oletuksesta TA tulos JS. Myös käänteinen tulos voidaan johtaa: ominaisuudesta JS seuraa TA, mikä merkitsee sitä, että reaalilukuja määriteltäessä ominaisuudet JS ja TA ovat tasavertaiset: TA voidaan korvata JS:llä tai päinvastoin. Esimerkki 3. Olkoon ( a n = + ) n n ja osoitetaan, että jono a n on kasvava. Tätä varten lasketaan = ( + n+ )n+ ( a n ( + = + ) ( + n+ )n+ n )n n ( + = n + ( n + n )n+ n n + : n + ) n+ n = n + ( n(n + ) ) n+ n + ( ) n+ = n (n + ) n (n + ) n + ( ) = n + n n n + n n + =. a n+ Toisen ja kolmannen rivin välistä suuruusarviota varten on käytetty Bernoullin epäyhtälöä (Insinöörimatematiikka A) ( + x) n + nx, joka pätee kun x ja n N. Yllä olevasta epäyhtälöstä seuraa, että a n+ a n, siis lukujono a n on kasvava. Osoitetaan vielä että jono a n on ylhäältä rajoitettu. Tätä varten arvioidaan aluksi lauseketta ( n i) n i. Kun i, saadaan ( ) n i n i = Binomikaavalla saadaan n! n(n )... (n i + ) = i!(n i)! ni i! n i = i! = i (i )... = }... {{ } i. i kpl ( + ) n n = n i= = + ( ) n n i n i = + + i= ( ) n i n i= i = + ( )n n i + n i= i kpl { }} { n... n i! i n i = + < 3, n ( + n) n on ylhäältä rajoitettu. Koska se on myös kasvava, on sillä lauseen mukaan siis jono raja-arvo. Tätä raja-arvoa merkitään ( e = lim + ) n n ja kutsutaan Neperin vakioksi. Luku e =, on luonnollisen logaritmin kantaluku ja e-kantaisella eksponenttifunktiolla f (x) = e x on se ainutlaatuinen ominaisuus, että f (x) = f (x) (ja f () = ). On mahdollista perustella tämä ominaisuus käyttämällä yllä olevaa määritelmää Neperin vakiolle. Määritelmä 4. Olkoon a, a, a 3,... lukujono. Määritellään osasummien jono S, S, S 3,... ehdolla S n = a a n ja sanotaan, että sarja a n

12 Lukujonot ja numeeriset sarjat suppenee (merkitään a n ), mikäli lukujono S n suppenee. Muutoin sarja hajaantuu (merkitään a n ). Suppenevassa tapauksessa sarjan summaksi määritellään a n = lims n. Huomautus 4. Edellisen määritelmän tavoin määritellään sarja missä k Z on mikä hyvänsä kokonaisluku. n=k Esimerkki 4. Sarja hajaantuu, koska osasummien jono S n = n hajaantuu. Samoin sarja hajaantuu, koska osasummien jono S n = + ( ) n hajaantuu. Esimerkki 5 (Harmoninen sarja). Osoitetaan, että sarja hajaantuu. Tätä varten tarkastellaan osasummaa S k ja ryhmitellään summattavat seuraavasti: S k = + + ( ( = = + k } {{ }. k kpl a n, ) ( ( ) k ) k ) ( ( ) k } {{ k } k kpl Täten siis osasummalle S k pätee S k + k, mistä nähdään, että S k, kun k. Tästä seuraa, että osasummien jono ja siis myös sarja hajaantuu. Sarjaa kutsutaan harmoniseksi sarjaksi. Esimerkki 6. Osoitetaan, että sarja n n(n + ) ja kir- suppenee ja lasketaan sen summa. Tätä varten etsitään osamurtohajotelma n(n+) = n joitetaan osasumma S n muotoon S n = n(n + ) = ( ) + ( 3 ) + ( 3 4 ) ( n n + ) = n +, ) n+ (.) sillä kussakin summattavassa jälkimmäinen yhteenlaskettava kumoaa seuraavan ensimmäisen. Tästä nähdään, että lims n =, siis sarja (.) suppenee kohti lukua. Esimerkki 7. Osoitetaan, että sarja

13 . Sarjojen perusominaisuuksia 3 suppenee. Tätä varten arvioidaan osasummaa S n+ seuraavasti: (.) 4 S n+ = (n + ) n(n + ). Viimeisin epäyhtälö seuraa aiemman esimerkin ylärajasta. Tämä merkitsee sitä, että osasummien jono S n on ylhäältä rajoitettu, ja koska S n+ = S n +, on se myös kasvava. Lauseen perusteella (n+) jonolla S n on raja-arvo S, mikä merkitsee siis sitä, että sarja (.) suppenee. Huomautus 5. Sarjan (.) summa on myös mahdollista laskea. Esimerkiksi myöhemmin käsiteltävien Fourier-sarjojen avulla voidaan osoittaa, että π +... = Sarjojen perusominaisuuksia Seuraavassa lauseessa luetellaan tärkeimpiä suppenevien sarjojen ominaisuuksia. Lause.. Jos sarjat suppenee ja. Sarja 3. Jos sarja että a n ja b n suppenevat, niin myös sarja (αa n + βb n ) = α a n suppenee tarkalleen silloin kun a n suppenee, niin myös (αa n + βb n ) n=k k a n = a n suppenee itseisesti. Tällöin pätee a n + β b n. a n (k > ) suppenee, ja tällöin on a n + n=k a n. a n suppenee. Mikäli a n a n. a n suppenee, sanotaan, Todistus. Suoraviivainen, sivuutetaan. Huomautus 6. Lauseen. kohdan mukaan tavanomaiset summan käsittelysäännöt pätevät, mikäli molemmat sarjat a n ja b n suppenevat. Kohdan mukaan sarjan suppeneminen ei riipu mistään

14 4 Lukujonot ja numeeriset sarjat sen alkuosasta. Kohta 3 on äärellisille summille pätevän kolmioepäyhtälön yleistys suppeneville sarjoille. Lauseessa mainittuja ominaisuuksia on syytä verrata Insinöörimatematiikka B:ssä esitettyihin analogisiin I lajin epäoleellisten integraalien ominaisuuksiin.. Geometrinen sarja Määritelmä 5. Lukujono a, a, a 3,... on geometrinen, jos kahden peräkkäisen jäsenen a n+ ja a n suhde on vakio: a n+ a n = q (tällöin siis a n+ = qa n ). Sarja a n on geometrinen, jos jono a, a, a 3,... on geometrinen. Geometrisen sarjan jäsenet määräytyvät yksikäsitteisesti suhdeluvusta q ja ensimmäisestä jäsenestä a = a. Tällöin a = aq, a 3 = a q = aq, a 4 = a 3 q = aq 3, jne. Geometrisen sarjan osasummien S n = a + aq + aq aq n (.3) avulla voidaan myös suppenemiskysymys ja summa määrittää seuraavasti: Kertomalla (.3) suhdeluvulla q saadaan qs n = aq + aq aq n + aq n, (.4) ja vähentämällä (.4) yhtälöstä (.3) saadaan ( q)s n = a aq n = a( q n ), joten osasummalle S n saadaan lauseke (tapaus q = on helppo mutta käsiteltävä erikseen) ja tästä saadaan seuraava tulos: S n = a qn q, (.5) Lause 3. Geometrinen sarja aq n n= suppenee tarkalleen silloin, kun q <. Suppenevassa tapauksessa aq n = a n= q. Esimerkki 8. Akilles kulkee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna. Akilleen ja kilpikonnan kilpajuoksussa kilpikonna saa kymmenen metrin etumatkan. Kun Akilles on saavuttanut kilpikonnan lähtöpisteen, on kilpikonna edennyt tästä metrin eteenpäin. Kun Akilles saavuttaa tämän pisteen, on kilpikonna edennyt tästä cm eteenpäin. Kun Akilles saavuttaa tämän pisteen, on kilpikonna edennyt tästä cm eteenpäin, jne. Akilleen saavuttaessa kilpikonnan aiempi olinpaikka on kilpikonna ehtinyt jälleen edetä eteenpäin / matkasta, joka oli Akilleen tavoitettavana aiemmin. Seuraako tästä, että Akilles ei koskaan saavuta kilpikonnaa?

15 .3 Desimaaliesitys 5 Valitaan ajan yksiköksi se aika, jossa Akilles saavuttaa lähtökohdastaan kilpikonnan lähtökohdan. Kilpikonnan lähtöpaikkaa tavoittaessaan Akilles on siis kilpikonnan takana ajan. Tavoittaessaan sitä paikkaa, mihin kilpikonna siirtyi ajan kuluessa on Akilles kilpikonnan takana ajan. Tänä aikana on kilpikonna jälleen ehtinyt siirtyä seuraavaan paikkaan, jota tavoittaessa Akilles käyttää ajan, jne. Tällöin kokonaisaika, jonka Akilles on kilpikonnan takana, on = ( n= )n = = 9. Kokonaisaika, jonka Akilles on on kilpikonnan takana, on siis äärellinen 9, ja Akilles ohittaa kilpikonnan tämän ajan kuluttua. Mahdollinen paradoksaalinen johtopäätös, jonka mukaan Akilles ei voi koskaan saavuttaa kilpikonnaa, selittyy siten, että vaikka ajanhetkiä jolloin Akilles on kilpikonnan takana onkin ääretön määrä, on silti kokonaisaika, jonka Akilles on kilpikonnan takana äärellinen..3 Desimaaliesitys Reaalilukujen desimaaliesitys lienee käytetyin esimerkki suppenevasta sarjasta, jonka taustalla voidaan nähdä geometrinen sarja. Esimerkiksi esityksessä π = 3, (.6) 3 viittaa luvun π kokonaisosaan,, kymmenesosiin, 4 sadasosiin, tuhannesosiin, jne. Desimaaliesitys (.6) tarkoittaa siis lukua Yleisemmin desimaaliesitys tarkoittaa lukua k + a + a + a , (.7) 3 missä k Z ja a i {,,...,9}. Voidaan luonnollisestikin kysyä, määrääkö esitys (.7) aina jonkin reaaliluvun, toisin sanoen, suppeneeko sarja (.7) kaikilla jonon a, a, a 3,... valinnoilla (a i {,,...,9}). Vastaus tähän kysymykseen on varsin helppo, sillä sarjassa (.7) osoittajat a i ovat rajoitettuja: a i 9, ja siis k + a + a + a a n n k n = k + 9 n 9 k = k +, joten siis osasummien S n = k + a + a a n n jono on ylhäältä rajoitettu. Koska S n on selvästikin kasvava jono, se suppenee lauseen () perusteella. Edellä nähtiin siis että kukin jono k, a, a, a 3..., (k Z, a i {,,...,9}) määrittelee reaaliluvun esityksen (.7) kautta. Edelleen voidaan kysyä, onko sitten jokaisella reaaliluvulla olemassa desimaaliesitys. On melko helppoa nähdä (harjoitustehtävä), että näin todellakin on asianlaita: jokaisella reaaliluvulla on desimaaliesitys. Sen sijaan, ehkä hieman yllättäen, voidaan nähdä, että desimaaliesitys ei välttämättä ole yksikäsitteinen, vaan että joillakin reaaliluvuilla voi olla kaksi eri desimaaliesitystä. Esimerkki 9. Olkoon α =,999..., mikä siis tarkoittaa sitä, että α = = 9( ) =. Toisaalta luvulla on myös desimaaliesitys =,..., mitä vastaa sarja

16 6 Lukujonot ja numeeriset sarjat = Voidaan näyttää toteen, että reaaliluvulla α on kaksi eri desimaaliesitystä vain silloin, kun sillä on päättyvä esitys (desimaaliesitystä kutsutaan päättyväksi, jos se sisältää jostain rajasta alkaen pelkkiä nollia). Esimerkki. Samoin kuin edellä, nähdään, että,... =, Reaalilukujen kaksi eri desimaaliesitystä liittyvät toisiinsa aina tämän esimerkin mukaisella tavalla: esitys, joka koostuu kokonaan nollista jostain rajasta alkaen voidaan korvata esityksellä, joka koostuu kokonaan yhdeksiköistä samasta rajasta alkaen, kun edellistä desimaalia vähennetään yhdellä. On myös helppo havaita, että reaaliluvun desimaaliesitys on jaksollinen (jostakin rajasta alkaen) tarkalleen silloin kun luku on rationaalinen. Jaksollisen (jostakin rajasta alkaen) reaaliluvun esitys kahden kokonaisluvun osamääränä saadaan aina seuraavan esimerkin tavalla: Esimerkki. Olkoon α = 4, Tällöin α = 43, ja vähennyslaskulla saadaan α = 43, α = 4, α = 48,..., mistä saadaan α = 48, 99 = = Suppenemiskriteereitä Aiempien esimerkkien perusteella sarjojen suppenemiskysymyksen ratkaiseminen vaikuttaa työläältä, mutta kuitenkin on mahdollista johtaa yleisiä periaatteita, joiden avulla suppenemiskysymys voidaan ainakin joidenkin sarjojen osalta ratkaista. Esitetään aluksi kriteeri, jonka perusteella voidaan joissakin tapauksissa päätellä, että sarja ei suppene. Lause 4. Jos sarja a n (.8) suppenee, niin lima n =. Tällöin siis sarja hajaantuu, mikäli lima n. Todistus. Merkitään S n = a + a a n. Oletetaan, että sarja (.8) suppenee, mikä merkitsee että raja-arvo lims n lims n = S S =. a n = lims n = S on olemassa. Tällöin S n S n = a n ja lima n = lim(s n S n ) = Huomautus 7. Ehto lima n = on edellisen lauseen mukaan välttämätön sarjan (.8) suppenemiselle, mutta ei kuitenkaan riittävä. Esimerkin 5 harmoniselle sarjalle n nimittäin pätee lim n =, mutta siitä huolimatta sarja hajaantuu. Niin kutsuttu Cauchyn suppenemisehto sivuaa edellistä kriteeriä. Cauchyn ehto on lähinnä teoreettinen eikä yleensä sovellu suppenemiskysymyksen ratkaisemiseen käytännössä. Lause 5 (Cauchyn suppenemisehto). Sarja M+k a n n=m a n suppenee tarkalleen silloin, kun

17 .4 Suppenemiskriteereitä 7 saadaan miten lähelle nollaa hyvänsä valitsemalla M riittävän suureksi (riippumatta siitä miten k on valittu). Tarkemmin ilmaistuna, sarja jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa rajaluku M ε siten, että M+k a n ε kaikille k, kunhan M M ε. n=m a n suppenee tarkalleen silloin, kun Todistus. Sivuutetaan, mutta huomautetaan, että vastaava kriteeri pätee myös I lajin epäoleellisille integraaleille: integraali f (t)dt suppenee tarkalleen silloin, kun M+k M f (t)dt saadaan mielivaltaisen lähelle nollaa valitsemalla M riittävän suureksi ja k miten hyvänsä. Yleisesti voidaan todeta, että monet summiin liittyvät käsitteet ovat vaikeammin tavoitettavissa kuin vastaavat integraaleihin liittyvät käsitteet, esimerkiksi summan S l (n) = n k= k l = l + l n l lauseketta suljetussa muodossa on vaikea saada esille (suljetulla muodolla tarkoitetaan lausekketta S (n) = n, S (n) = n(n + ), S (n) = 3 n(n + )(n + ) jne.), kun taas integraali n I l (n) = t l dt = l + nl on varsin helppo määrittää. Suppenemiskysymyksen osalta yhteys integraalien ja sarjojen välillä on kuitenkin suoraviivaisempi: Lause 6. Olkoon f välillä [, ) määritelty vähenevä funktio, joka saa vain ei-negatiivisia arvoja. Tällöin sarja f (n) suppenee tarkalleen silloin kun integraali suppenee. f (t)dt Todistus. Oletusten perusteella sarjan sekä integraalin ainoa mahdollinen hajaantumisen muoto on se, että arvo lähestyy ääretöntä. Insinöörimatematiikka B:ssä esitetyn Eulerin-Maclaurinin summakaavan mukaan M M f () + f (M) M f (n) = f (t)dt + + f (t)(t t )dt. Virhetermiä arvioitaessa otetaan huomioon, että f on vähenevä, joten f (t) <. Tällöin

18 8 Lukujonot ja numeeriset sarjat M f (t)(t t M )dt f (t)(t t M ) dt f (t) dt = M f (t)dt = ( f () f (M)). Näin ollen M M f (n) f () + f (M) f (t)dt = f () + f (M) M + f (t)(t t )dt + f () f (M) f () + f (M) f () + f () = f (). Väite seuraa tästä suoraan. Esimerkki. Sarja n s suppenee tarkalleen silloin kun integraali dt suppenee, mikä ta- ts pahtuu tarkalleen silloin kun s >. Erityisesti voidaan havaita uudelleen, että sarja mutta että sarja n suppenee. n hajaantuu, Määritelmien perusteella voidaan saada integraalien ominaisuuksia vastaava tulos sarjoille: Lause 7 (Minorantti-majoranttiperiaate). Oletetaan, että jostakin rajasta lähtien a n b n. Tällöin. Jos. Jos Esimerkki 3. Sarja b n suppenee, niin myös a n hajaantuu, niin myös Esimerkki 4. Sarjalle sinn n a n suppenee (vieläpä itseisesti) b n hajaantuu. suppenee itseisesti, sillä sinn n, ja n n n voidaan löytää minorantti: n + n n n + n n n + n n = n. Koska sarja n hajaantuu (vrt. vastaava integraali n n n + samoin. n suppenee. dt), tekee myös majoranttisarja t Samoin kuin integraaleille, voidaan myös sarjoille esittää vertailutarkastimet raja-arvomuodossa. Lause 8. Oletetaan, että lim a n b n = L. Tällöin. Jos L =, niin sarjan. Jos < L <, niin sarjoilla 3. Jos L =, niin sarjan b n suppenemisesta seuraa sarjan a n ja a n suppeneminen. b n on samanlainen suppenemiskäyttäytyminen. b n hajaantumisesta seuraa sarjan a n hajaantuminen.

19 .4 Suppenemiskriteereitä 9 Todistus. Seuraa suoraan vastaavasta lauseesta I lajin epäoleellisille integraaleille. Sarjoille on olemassa myös oma suppenemiskriteerinsä, jota ei esiinny I lajin epäoleellisilla integraaleilla. Tässä kriteerissä käytetään sarjan peräkkäisten jäsenten osamäärän raja-arvoa. Lause 9 (Osamäärätarkastin). Jos sarjassa.. a n+ a n a n+ a n q <, (q vakio) niin sarja suppenee itseisesti., niin sarja hajaantuu. a n on jostain rajasta M alkaen Todistus. Lauseen kohdan perustella riittää tarkastella tapausta M =. Lauseen todistus perustuu siihen, että -kohdassa saadaan sarjalle suppeneva geometrinen majorantti, ja -kohdassa hajaantuva geometrinen minorantti. Jos nimittäin kaikilla n:n arvoilla pätee q, on an q a n q a n... q n a. Täten siis sarjalla n= a q n. Hajaantumista koskeva väite todistetaan analogisesti. a n+ a n a n on suppeneva majorantti q n a = Myös osamäärätarkastimesta saadaan helposti raja-arvomuoto, joka saattaa toisinaan olla helpommin käytettävissä kuin varsinainen osamäärätarkastin. Lause. Olkoon lim a n+ a n = L.. Jos L <, niin sarja. Jos L >, niin sarja a n suppenee itseisesti. a n hajaantuu. Todistus. Lauseen 9 tulokseen perustuva helppo harjoitustehtävä. Huomautus 8. Lauseessa 9 tarvitaan todella ehto a n+ a a n q <, ehto n+ a n < ei riitä. Voidaan nimittäin helposti huomata, että sekä hajaantuva sarja n että suppeneva sarja n molemmat toteuttavat ehdon a n+ a n <. Sarjan itseiselle suppenemiselle saadaan myös seuraava juuritarkastin. Lause (Juuritarkastin). Jos sarjassa. n a n q <, niin sarja suppenee itseisesti. n a n, niin sarja hajaantuu. a n on jostain rajasta alkaen Todistus. Kohdassa saadaan suppeneva majorantti vielä helpommin kuin edellisessä lauseessa: ehdosta n a n q seuraa, että a n q n. Hajaantumista koskeva väite näytetään toteen analogisesti. Myös juuritarkastimesta voidaan esittää raja-arvomuoto (harjoitustehtävä).

20 Lukujonot ja numeeriset sarjat.5 Vuorottelevat sarjat Jos suppenevassa sarjassa on vain äärellinen määrä negatiivisia (tai positiivisia) termejä, on suppeneminen aina itseistä, sillä sarjan alkuosa ei vaikuta suppenemiseen. Ehdollinen suppeneminen voi siis tapahtua ainoastaan silloin, kun sarjassa on ääretön määrä sekä positiivisia että negatiivisia termejä. Tämänkaltaisista sarjoista tärkeimpiä ovat vuorottelevat sarjat. Määritelmä 6. Jos a n, sanotaan, että sarja on vuorotteleva. ( ) n a n Vuorotteleville sarjoille suppeneminen voidaan taata melko helposti: Lause (Leibniz). Olkoon positiivilukujen jono a n vähenevä ja lima n =. Tällöin vuorotteleva sarja ( ) n a n (.9) suppenee. Lisäksi kirjoitelmassa jäännöstermi ( ) n a n = M ( ) n a n + R M R M = ( ) M a M+ + ( ) M+ a M+ + ( ) M+ a M on samanmerkkinen kuin ensimmäinen poisjätetty termi ( ) M a M+ ja R M a M+. Todistus. Valitaan parillinen k (parittomalla arvolla vain merkinnät muuttuvat hieman) ja arvioidaan osasummien sekä S M+k = ( ) a + ( ) a ( ) M a M ( ) M+k a M+k erotusta. Ensin todetaan, että ja toisin ryhmittelemällä S M = ( ) a + ( ) a ( ) M a M ( ) M (S M+k S M ) = a M+ a } {{ M+ +a } M+3 a M a } {{ } M+k a } {{ M+k } = ( ) M (S M+k S M ) = a M+ (a M+ a M+3 ) (a M+4 a M+5 )... a } {{ } } {{ } } M+k {{ } a M+ Kahdesta edellä saaduista arvoista seuraa, että

21 .6 Termien järjestyksenvaihto, Cauchyn tulo S M+k S M a M+. Koska oletuksen mukaan lima n =, saadaan a M+ miten pieneksi hyvänsä valitsemalla M riittävän suureksi. Tällöin sarjan (.9) suppeneminen seuraa Cauchyn suppenemisehdosta (lause 5). Kun merkitään sarjan summaa S:llä, voidaan jäännöstermi kirjoittaa muotoon ( ) M R M = ( ) M (S S M ) = lim k ( ) M (S M+k S M ), mistä aikaisempien arvioiden mukaan saadaan ( ) M R M a M+. Esimerkki 5. Koska lim n =, voidaan edellisen lauseen perusteella todeta, että sarja (.) 4 suppenee. Myöhemmin nähdään, että tämän sarjan summa on ln, mutta tässä voidaan todeta, että sarja (.) suppenee vain ehdollisesti: itseisarvot ottamalla saadaan harmoninen sarja , jonka on jo aiemmin todettu hajaantuvan. Jos sarjan (.) summa haluttaan määrittää siten että virhe on korkeintaan 3, tulee edellisten arvioiden mukaan laskea yhteen tuhat ensimmäistä termiä..6 Termien järjestyksenvaihto, Cauchyn tulo Verrattaessa sarjoja äärellisiin summiin voidaan aluksi todeta, että suppenevassa tapauksessa voidaan sulkeita asetella aivan kuten äärellisissäkin summissa. Tällöin nimittäin sulkeistamalla saadun sarjan osasummien jono on alkuperäisen sarjan osasummien jonon osajono, joka siten suppenee kohti alkuperäisen sarjan summaa. Sen sijaan sulkeiden poistaminen sarjasta voi olla ongelmallista. Esimerkki 6. Vuorottelevien sarjojen yhteydessä havaittiin, että sarja S = = ( ) n n (.) suppenee. Sulkeita asettamalla saadaan positiiviterminen sarja S = ( ) + ( 3 4 ) + ( 5 6 )... = = n(n ), joka suppenee myös ja sen summa on sama kuin alkuperäisenkin sarjan summa. Esimerkki 7. ( ) + ( ) + ( )... esittää triviaalisti suppenevaa sarjaa =, mutta sulkeet poistamalla saadaan sarja joka hajaantuu Myös muita eroja sarjojen ja äärellisten summien välillä voidaan huomata. On nimittäin mahdollista todistaa, että ehdollisesti suppenevasta sarjasta saadaan termien järjestystä vaihtamalla sekä hajaantuva sarja että sarja, joka suppenee kohti mitä tahansa annettua reaalilukua. Missä hyvänsä sarjassa voidaan aina vaihtaa äärellisen monen termin järjestystä sarjan suppenemisen tai summan siitä kärsimättä. Jos nimittäin vaihdetaan vain termien a,..., a M järjestystä, voidaan kirjoittaa S = M b n + n=m+ a n,

22 Lukujonot ja numeeriset sarjat missä jono b,..., b M on saatu jonosta a,..., a M järjestystä vaihtamalla. Tällöin M b n = M eikä sarjan suppeneminen riipu sen alkupäästä, kuten jo aiemmin todettiin. Jos suppeneminen on itseistä, voidaan termien järjestystä vaihtaa mielivaltaisesti. a n, Lause 3. Jos sarja suppenee itseisesti, niin jokainen siitä termien järjestystä vaihtamalla saatu sarja suppenee (vieläpä itseisesti) kohti alkuperäisen sarjan summaa. Todistus. Sivuutetaan. On mahdollista todistaa myös käänteinen tulos edelliselle lauseelle: Jos termien järjestyksenvaihto ei muuta suppenemista eikä summaa, niin silloin sarja suppenee itseisesti. Edellä mainittujen tuloksien perusteella itseisesti suppenevat sarjat toteuttavat oleellisesti samankaltaiset laskulait kuin tavalliset äärelliset summat. Tarkastellaan lopuksi miten sarjojen tulo muodostetaan. Määritelmä 7. Merkintä jossakin järjestyksessä. Lause 4. Jos sarjat S = m, m= a m b n tarkoittaa sarjaa, jonka termeinä ovat kaikki tulot a m b n m,n a m ja T = suppenee itseisesti kohti tuloa T S. Todistus. Sivuutetaan. b n suppenevat itseisesti, niin jokainen tulosarja m, a m b n Käyttökelpoinen järjestys Cauchyn tulo sarjojen tulon laskemiseksi saadaan muuttamalla indeksointi nollasta alkavaksi. Tällöin itseisesti suppenevien sarjojen m= a m ja n= b n Cauchyn tulo on sarja m=a m n= b n = k= m+n=k a m b n = k k= n= a k n b n = a b + a b + a b + a b + a b + a b a n b + a n b a b n + a b n +... Esimerkki 8. Kun x <, saadaan geometrisen sarjan avulla ( x) = n= = x n m= k= x m = (k + )x k. k k= n= x k n x n

23 Luku 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Insinöörimatematiikka B:ssä ja tämän kurssin alkuosassa on käsitelty kahta toisilleen hyvin läheistä matemaattista objektia: I lajin epäoleellisia integraaleja ja sarjoja. Kummatkin ovat raja-arvoja äärellisellä välillä määritellyistä käsitteistä: I lajin epäoleellinen integraali saadaan raja-arvona integroinnin ylärajan kasvaessa: ja sarja puolestaan saadaan raja-arvona summan ylärajan kasvaessa: M f (t)dt = lim M f (t) dt (3.) f n = lim M M f n. (3.) Sarjoja, kuin myös I lajin epäoleellisia integraaleja voidaan yhtä hyvin tarkastella myös muuttuvina objekteina. Jonon f, f, f 3,..., sijaan voidaan tarkastella jonoa f (x), f (x), f 3 (x),... jolloin sarjan (3.) summa F(x) oletettavasti riippuu x:n arvosta. Näin päädytään funktiosarjoihin F(x) = f n (x). (3.3) Samoin myös integrandina toimivan funktion f (t) sijaan voitaisiin tarkastella funktioita f (t,x), jolloin ilmeisestikin I lajin integraalin (3.) F(x) = f (t,x)dt, (3.4) arvo riippuu x:n arvosta. Sanotaan, että (3.4) on integraalin määrittelemä funktio. Huomautus 9. Johdannossa sekä esityksessä (3.3) esiintyi lisäksi kerroinjono a, a, a,... ja esityksessä (3.4) kerroinfunktio a(t). Tässä kappaleessa voidaan kerroinjonon ajatella sisältyvän merkintään f n (x) ja kerroinfunktion merkintään f (t,x). Huomautus. Funktiosarjojen summan, samoin kuin integraalin määrittelemän funktion integroinnin alaraja voidaan ilman muuta valita toisinkin, ja epäoleellisuus voi esiintyä myös alarajalla. Funktiosarjojen ja integraalin määrittelemien funktioiden teoriat ovat varsin samankaltaiset. Itse asiassa näiden käsitteiden samankaltaisuutta voitaisiin korostaa kirjoittamalla f n (x) = f (n,x), jolloin (3.3) voidaan kirjoittaa muotoon F(x) = f (n,x), mutta tämänkaltaista merkintää käytetään harvemmin. Yhtä lailla analogiaa korostaisi myös merkintä f (t,x) = f t (x), jolloin (3.4) voitaisiin kirjoittaa muotoon F(x) = f t (x)dt, mutta tätäkin merkintää käytetään äärimmäisen harvoin. 3

24 4 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Kiinteällä x:n arvolla funktiosarja palautuu tavalliseksi vakiosarjaksi samoin kuin integraalin määrittelemä funktio palautuu I lajin epäoleelliseksi integraaliksi. Näiden suppenemisen tarkastelemiseksi voidaan siis käyttää aiemmin opittuja suppenemiskriteerejä, mutta kiinnittämällä x vakioksi seuraavat kysymykset jäävät avoimiksi: millaisen funktion sarja (3.3) tai integraali (3.4) määrittelee? Mitkä funktioiden f n (x) ominaisuuksista esimerkiksi periytyvät sarjalle (3.3) ja mitkä funktioiden f (t,x) ominaisuuksista funktiolle (3.4)? Kutsutaan funktiota f n (x) sarjan (3.3) ja funktioita f (t,x) integraalin (3.4) osafunktioiksi. Määritelmä 8. Sarja (3.3) suppenee välillä I, mikäli se suppenee jokaisella arvolla x I. Samoin määritellään integraalin (3.4) suppeneminen välillä I. Esimerkki 9. Tunnetusti + x x n = xn+ x, joten F(x) = + x + x +... = x suppenee, kun x (,). Näin ollen jäännöstermille R n (x) pätee R n (x) = F(x) F n (x) = x n+ x, mistä nähdään, että jäännöstermin R n (x) saamiseksi ε:in päähän nollasta tulee n valita aina suuremmaksi mitä lähempänä x on lukua. Tällöin sanotaan, että vaikka sarja F(x) = + x + x + x suppenee välillä (,), ei se suppene tasaisesti tällä välillä. 3. Summaus tai integrointi yli äärellisen välin Tarkasteltaessa aluksi funktiosarjan sijaan äärellistä summaa F N (x) = N voidaan todeta, että osafunktioiden jatkuvuus, integroituvuus ja derivoituvuus periytyy suoraan summafunktiolle S N (x) ja integraalit ja derivaatat voidaan laskea termeittäin. Tämä seuraa mainittuja analyyttisiä ominaisuuksia koskevista perustuloksista. Vastaava tulos pätee myös integraaleille. f n (x) Lause 5. Jos funktio f : [,N] [a,b] R on jatkuva, niin N F N (x) = f (t,x)dt on jatkuva välillä [a,b]. Jos kutakin t [,M] kohti f (t,x) on integroituva yli välin x [a,b], niin myös F N (x) on, ja b a F N (x)dx = N b a f (t,x)dxdt. Jos lisäksi x f (t,x) : [,N] [a,b] R on jatkuva, niin F N on derivoituva ja Todistus. Sivuutetaan. N F N(x) = x f (t,x)dt

25 3. Tasainen suppeneminen 5 3 sinxt Esimerkki. Olkoon F(x) = t x R, on myös F(x) jatkuva. Lisäksi dt. Koska osafunktiot sinxt t ovat jatkuvia, kun t [,3] ja 3 F t cosxt (x) = dt = t 3/ x sinxt = (sin3x sinx). x Lisäksi 5 F(x)dx = 3 5 sinxt t dxdt = 3 ( 5 / cosxt ) 3 cost cos5t t dt = t dt. 3. Tasainen suppeneminen Edellisessä pykälässä esitetyt tulokset osafunktioiden ominaisuuksien periytymisestä eivät välttämättä päde, mikäli summan sijaan tarkastellaan sarjaa tai äärellisen välin integraalin sijaan I lajin epäoleellista integraalia. Tästä nähdään esimerkkejä myöhemmin Fourier n integraalien ja Fourier n sarjojen yhteydessä. Esimerkki. Tarkastellaan miksi jatkuvuutta ei voida näyttää funktiosarjoille toteen ilman lisäoletuksia, vaikka kaikki osafunktiot olisivat jatkuvia. Olkoon F(x) = f n (x), suppeneva sarja, kukin f n jatkuva, ja yritetään näyttää toteen, että F(x) olisi jatkuva. Tätä varten arvioidaan etäisyytä ( N N d(f(x),f(x )) = F(x) F(x ) = f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x )) n=n+ n=n+ N = ( f n (x) f n (x )) + f n (x) f n (x ) n=n+ n=n+ N ( f n (x) f n (x )) + f n (x) + f n (x ). n=n+ n=n+ Itseisarvomerkkien sisällä esiintyvistä lausekkeista ensimmäinen on äärellinen summa, joten se saadaan jatkuvuuden perusteella mielivaltaisen pieneksi, kunhan x valitaan riittävän läheltä x :aa. Seuraavat kaksi lauseketta puolestaan ovat suppenevan sarjan loppuosia, joten myös ne saadaan mielivaltaisen pieneksi, kunhan N valitaan riittävän suureksi. Ongelmaksi muodostuu kuitenkin se, että jos toinen lauseke halutaan saada pienemmäksi kuin jokin ennalta annettu raja, tulee N valita tietyn rajan yläpuolelta. Tällöin taas ensimmäisen lausekkeen yhteenlaskettavien määrä voi tulla suureksi, ja sen saamiseksi ennalta annetun rajan alapuolelle saattaa vaatia x:n valitsemista aina vain lähempää x :aa, jolloin taas toisen lausekkeen pieneksi saamiseen tulee ehkä N:ää kasvattaa, ja näin päädytään loputtomaan kierteeseen. Edellisen tarkastelun perusteella jatkuvuus voitaisiin näyttää toteen, mikäli sarjan loppuosa f n (x) n=n+ saadaan pieneksi x:stä riippumatta. Tällöin sanotaan, että sarjan tai integraalin suppeneminen on tasaista, ja edellisen pykälän tulokset voidaan yleistää.

26 6 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Määritelmä 9. Sarja F(x) = f n (x) suppenee tasaisesti välillä I, mikäli jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa sellainen rajaluku M ε, että f n (x) < ε, n=m jos M M ε, olipa x I valittu miten tahansa. Samoin integraalin F(x) = f (t,x)dt sanotaan suppenevan tasaisesti välillä I, jos jokaista positiivilukua ε kohti on sellainen rajaluku M ε, että f (t,x)dt < ε, M jos M M ε, olipa x I valittu miten tahansa. Huomautus. Tasaisen suppenemisen kannalta oleellista on lisämääre olipa x I valittu miten tahansa. Tämä nimittäin ilmaisee sen, että sarjan ja integraalin loppuosat F(x) = f n (x) F(x) = f (t,x)dt f n (x) n=m ja M f (t,x)dt saadaan miten lähelle nollaa hyvänsä, kunhan summaus/integrointi aloitetaan riittävän suuresta luvusta M, riippumatta siitä miten x on valittu. Tasainen suppenemisen määritelmää saattaa olla hankala käyttää sellaisenaan, mutta funktiosarjan, samoin kuin integraalin määrittelemän funktion tasaiselle suppenemiselle olemassa käyttökelpoinen kriteeri. Lause 6 (Weierstrassin M-testi). ) Jos on olemassa sellainen jono M, M, M 3,..., että. f n (x) M n, kun x I ja. sarja niin sarja M n suppenee, suppenee tasaisesti välillä I. f n (x) ) Jos on olemassa sellainen funktio M(t), että. f (t,x) M(t), kun x I ja

27 3. Tasainen suppeneminen 7. integraali M(t) dt suppenee, niin integraali suppenee tasaisesti välillä I. f (t,x)dt Todistus. Sivuutetaan. Weierstrassin kriteerissä mainittu yläraja M n tai M(t) osafunktioille voidaan usein löytää valitsemalla suurin mahdollinen arvo x:lle tarkasteluvälillä. Esimerkki. Jos < a <, saadaan esimerkin 9 sarjalle f n (x) = x n a n. Koska sarja a n n= suppenee (geometrinen sarja, summa a ), voidaan edellisen lauseen perusteella todeta, että esimerkin 9 sarja suppenee tasaisesti välillä [ a,a]. Seuraavassa lauseessa esitetään tärkeimpiä ominaisuuksia, jotka periytyvät osafunktioilta f n (x) ja f (t,x) sarjalle ja integraalille siinä tapauksessa, että suppeneminen tapahtuu tasaisesti. Lause 7. Oletetaan, että funktiot f n (x) ovat jatkuvia välillä I, f (t,x) : I R R jatkuva ja että sarja ja integraali F (x) = suppenevat tasaisesti välillä I. Tällöin. F (x) ja F (x) ovat jatkuvia välillä I.. F (x) ja F (x) ovat integroituva välillä I ja b a b a f n (x) ja F (x) = f (t,x)dt F (x)dx = F (x)dx = b a b a f n (x)dx f (t,x)dxdt 3. Jos f n(x) on jatkuva välillä I ja x f (t,x) : I R R on jatkuva ja f n(x) sekä x f (t,x)dt suppenevat tasaisesti välillä I, niin F(x) on derivoituva välillä I ja F (x) = f n(x) sekä F (x) = x f (t,x)dt. Todistus. Sivuutetaan, mutta huomautetaan, että jatkuvuus funktiosarjalle voidaan tasaisen suppenemisen tapauksessa todistaa esimerkissä mainitulla tavalla. Esimerkki 3. Sarja S(x) = suppenee tasaisesti koko reaaliakselilla, sillä sinnx n ja sarja n (3.5) on jatkuva koko reaaliakselilla, sillä kukin osafunktio sinnx n sinnx n (3.5) on. suppenee. Näin ollen funktio n

28 8 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Esimerkki 4. Esimerkistä seuraa, että sarja +t = ( ) n t n n= suppenee tasaisesti välillä [ a, a], missä < a <. Jos siis x a, saadaan puolittain integroimalla x x ln( + x) = +t = ( ) n t n ( ) dt = n x n+. n= n= n + Summausindeksiä vaihtamalla saadaan siis ln( + x) = n xn ( ) n = x x + x3 3 x4 +..., (3.6) 4 ja sarja (3.6) suppenee, kun x <. Toisaalta taas Leibnizin lauseen (lause ) mukaan sarja (3.6) suppenee tasaisesti välillä [, ], joten sen summafunktio on jatkuva tällä välillä. Koska myös ln( + x) on välillä [,] jatkuva, ja sen arvo yhtyy sarjan (3.6) arvoon välillä [,), on arvojen oltava samat myös pisteessä x =. Näin ollen Esimerkki 5. Sarja ln = x = n= suppenee tasaisesti välillä [ a,a] ( < a < ). Derivoimalla puolittain saadaan ( x) = nx n = x n n= (n + )x n. Termeittäin derivointi onnistuu, koska myös derivaattasarja suppenee tasaisesti välillä [ a, a] (miksi? Katso myös esimerkki 8). Esimerkki 6. Aiemmin todettiin, että sarja suppenee tarkalleen silloin kun s >. On kuiten- ns kin mahdollista laajentaa sarjan ζ (s) = n s (3.7) määrittelemä funktio koko kompleksitasoon lukuunottamatta pistettä s =. Reaalialueella sarjaa (3.7) kutsutaan toisinaan yliharmoniseksi sarjaksi, mutta sen määrittelemän funktion laajennusta taas Riemannin ζ -funktioksi. Riemannin ζ -funktion nollakohtien sijainti kompleksitason alueessa < Re(s) < on yksi tärkeimmistä matematiikan toistaiseksi avoimista ongelmista. Riemannin ζ - funktion nollakohtien sijainnilla mainitussa alueessa on nimittäin suora yhteys alkulukujen jakauman määrittämiseen. Ns. Riemannin hypoteesin mukaan alueessa < Re(s) < sijaitsevien ζ -funktion nollakohtien reaaliosa on. Tämän hypoteesin oikeaksi todistamisesta on Clay Mathematics Institute luvannut miljoonan dollarin palkkion. 3.3 Potenssisarjat Kurssilla Insinöörimatematiikka B tutustuttiin Taylorin polynomeihin sekä näiden erikoistapauksiin Maclaurinin polynomeihin. Lause 8 (Taylorin polynomi). Oletetaan, että funktio f on n + kertaa derivoituva jossakin pisteen x ympäristössä. Tällöin

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen

Lisätiedot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Viime luennolla Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Erikoistapauksia

Lisätiedot

Raja arvokäsitteen laajennuksia

Raja arvokäsitteen laajennuksia Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta.

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa

Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anna-Kaisa Torvinen Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Syyskuu 2010 Tampereen yliopisto

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot