Matema,ikkaa kemisteille - kertaus

Transkriptio

1 Matema,ikkaa kemisteille - kertaus Näiden kalvojen tarkoituksena on kerrata kurssin tärkeimmät sisällöt Joitakin asioita myös hieman syvennetään/ täsmennetään loppukurssilla opi@ujen työkalujen avulla. Lisäksi käydään läpi muutamia lisäesimerkkejä asioista joiden luentokäsi@ely jäi ohueksi. Kertauskalvoja voi käy@ää esimerkiksi tendin valmistautuessa osaatko kaikki tässä luetellut asiat? Perusteet Suureet, etulii@eet, SI- järjestelmä, merkinnät Laskujärjestys, laskusäännöt Pyöristys ja merkitsevät numerot Pyöristä aina lopputulos, älä pyöristä välituloksia! Pyöristys on tavallaan virheenarvoin,a; tulosta ilmoi@aessa ei pidä antaa väärää kuvaa virheiden suuruuksista. Helpoissa tapauksissa pyöristykseen löytyy nyrkkisääntöjä: Kerto- ja jakolaskussa pyöristä sen luvun mukaan jossa on vähiten merkitseviä numeroita; yhteenlaskussa sen mukaan, jossa on vähiten desimaalipilkun jälkeisiä numeroita Hankalammissa laskuissa virheen arvoin,in löytyy omat kaavansa, esim. maksimi- tai keskivirheen kaavat.

2 Alkeisfunk,ot funk,oista: arvojoukko, graafinen esitys Polynomifunk,ot Yhtälöryhmän ratkaiseminen 2. asteen yhtälön ratkaisukaavan Algebran juuriteoreema Polynomiyhtälöt ph laskuissa Eksponen, ja logaritmit ja niiden laskusäännöt EksponenDen ja logaritmien laskusäännöt a = a - m =/a m (ab) r = a r b r (a/b) r = a r /b r a r a s = a r+s a r /a s = a r- s (a r ) s = a rs log a (xy) = log a (x) + log a (y) log a (x/y) = log a (x) - log a (y) log a (x n ) = n log a (x) 2

3 Esimerkki: yhtälöryhmät spektroskopiassa Kemian sovelluksissa mitataan usein liuosten absorbansseja eri aallonpituusalueilla. Beerin lain mukaan aineen absorbanssi A aallonpituudella λ on: A(λ) = ε(λ)bc, missä ε(λ) on kyseessä olevasta aineesta riippuva absorbanssikerroin kyseisellä aallonpituudella, b on kyve,n leveys ja c aineen pitoisuus. Jos kyseessä on usean aineen seos, voidaan absorbanssi kirjoi@aa eri aineiden absorbanssien summana: A(λ) = ε (λ)bc +ε 2 (λ)bc , missä aineen absorbanssi on ε (λ) ja konsentraa,o c (jne). Esimerkki: yhtälöryhmät spektroskopiassa Absorbanssimi@austen yhteydessä esiintyy monia erilaisia yhtälöryhmien ratkaisuongelmia. Esimerkiksi: Tapaus. Tunnetaan konsentraa,ot c, c 2... mu@a ei absorbanssikertoimia ε, ε 2... Tällöin voidaan mitata absorbanssi,etyllä aallonpituudella usealle eri seokselle (= eri konsentraa,olle) ja määri@ää tästä absorbanssikertoimet. Tapaus 2: Tunnetaan absorbanssit ε, ε 2... mu@a ei konsentraa,oita c, c 2... Konsentraa,ot voidaan selvi@ää mi@aamalla samalle seokselle absorbanssit eri aallonpituuksilla (ole@aen e@ä ε (λ) ja ε 2 (λ) funk,ot ovat erilaisia). Kaikissa näissä tapauksissa tarvitaan lähtökohtaises, (vähintään) yhtä monta yhtälöä (= eri mi@austa) kuin selvite@ävää muu@ujaa. 3

4 Esimerkki. Olkoon aineen absorbanssi: 3 M - cm - aallonpituudella 28 nm, ja 95 M - cm -. aallonpituudella 35 nm. (M = mol/l) Olkoon aineen 2 absorbanssi: 5 M - cm - aallonpituudella 28 nm ja 2 M - cm - aallonpituudella 35 nm. Näytekyve,n leveyden (b) ollessa cm mitadin molempia aineita sisältävästä seoksesta seuraavat absorbanssit:,846 aallonpituudella 28 nm, ja 2,4 aallonpituudella 35 nm. Laske aineiden pitoisuudet. Ratkaisu: ilmaistaan absorbanssi kullakin aallonpituudella Beerin lain avulla. A 28nm = ε,28nm bc +ε 2,28nm bc 2 =,846 A 35nm = ε,35nm bc +ε 2,35nm bc 2 = 2,4 Sijoitetaan seuraavaksi tunnetut arvot (ε kertoimet ja b) 3M cm cm c + 5M cm cm c 2 =,846 95M cm cm c +2M cm cm c 2 = 2,4 sievennetään hieman: 3M c + 5M c 2 =,846 95M c +2M c 2 = 2,4 Tämä on siis ratkaistava yhtälöryhmä. Voidaan käy@ää joko vähennyslaskumenetelmää (esim. kerrotaan yhtälö tekijällä 95/3 ja vähennetään sen jälkeen toisistaan), tai sijoitusmenetelmää. Käytetään tässä jälkimmäistä, ja saadaan esim. yhtälöstä : 3M - c =,846 5M - c 2 c =.282M, 6667c 2 4

5 Sijoitetaan tämä yhtälöön 2: 95M (, 282M, 6667c 2 )+2M c 2 = 2.4 2, M c 2 +2M c 2 = 2, M c 2 =, 575 c 2 =, 5 mol/l Ja c saadaan esim. edellä lasketusta: c =, 282M, 6667c 2 =, 32 mol/l Trigonometriset funk,ot Määritelmät (suorakulmainen kolmio & yksikköympyrät) Jaksollisuus ja sen huomioiminen trigonometrisia yhtälöitä ratkaistaessa Yhtälöiden ratkaisu käänteisfunk,oita käy@äen NapakoordinaaDen määritelmät ja käy@ö Erilaisten trigonometristen muunnoskaavojen käy@ö ja soveltaminen (ei ulkoa ope@elu) 5

6 Määritelmä, graafinen tulkinta Alkeisfunk,oiden derivaatat Yhdistetyn funk,on Tai toisella tavalla ilmaistuna ("ketjutussääntö"): Minimi- ja maksimikoh,en löytäminen D x f(g(x)) = df(u) dg(x) du u=g(x) dx df(g(x)) dx = df dg dg dx Esimerkki: funk,on ääriarvot Löydä funk,on f(r) = (r 2 8r+5)e - r minimi- ja maksimikohdat kun < r <. Ratkaisu: ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista. Lasketaan derivaa@a ja asetetaan se nollaksi: f '(r) = D r (r 2 8r +5) e r + (r 2 8r +5) D r (e r ) = (2r 8) e r (r 2 8r +5) e r = ( r 2 +r 23) e r = Tulo on nolla, kun jokin sen tekijöistä on nolla. e - r on aina nollaa suurempi kun < r <, joten nollakohta voi löytyä vain kohdista, joissa r 2 + r 23 =. 6

7 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: r = - ± = = 5 2 r = 5 2,5 + 2 { } { } 3.59,6.4 Derivaatan nollakoh,en luonne selviää joko laskemalla toisen derivaatan arvo nollakohdissa (posi,ivinen arvo vastaa minimiä, nega,ivinen maksimia) tai tekemällä etumerkkitaulukko: f'(r) r=3.59 r=6.4 Saadaan siis tulos: minimi kohdassa r = 5 2, maksimi kohdassa r = Funk,on arvot minimi- ja maksimikohdissa ovat vastaavas,,23 ja,79 f(r) 7

8 käsite Ominaisarvoyhtälö Ominaisfunk,ot ja ominaisarvot; niiden laskeminen yksinkertaisissa tapauksissa Esim "onko cos(nx) k d 2 /dx 2 ominaisfunk,o? Jos on, mikä on ominaisarvo?" Integraalilaskenta Määritelmä, graafinen tulkinta Määräämätön ja määrä@y integraali Ääretön integroimisrajana Alkeisfunk,oiden integraalit Integroin,"kikat": Yhdistetyn funk,on derivaatan sääntö "toisinpäin" Osi@aisintegroin, Muu@ujanvaihto Trigonometriset muunnoskaavat 8

9 Tärkeitä integroin,sääntöjä f(x) n f'(x) dx = n + f(x)n+ + C f'(x)e f(x) dx = e f(x) + C f'(x) dx = ln f(x) + C f(x) f'(x)sin[ f(x) ]dx = cos f(x) f'(x)cos[ f(x) ]dx = sin f(x) [ ] + C [ ] + C Esimerkki kine,ikasta. kertaluvun reak,o: A è tuo@eet Esim: monet kemialliset hajoamisreak,ot, radioak,ivinen hajoaminen.... kertaluvun reak,ota kuvaa differen,aaliyhtälö [ ] d A = k[ A] dt missä k on nopeuskerroin. Yhtälön ratkaisemiseksi tarvitaan lisäksi alkuarvo, tyypillises, muotoa "konsentraa,o ajanhetkellä t= on A " 9

10 Differen,aaliyhtälö on separoituva, eli se voidaan ratkaista kaikki yhden termit yhdelle puolelle ja toisen termit toiselle puolelle, ja integroimalla molemmat puolet. Tämän yhtälön separoiminenon varsin helppoa: d[ A] dt d A = k[ A] [ ] [ A] = kdt [ ] [ ] d A A = kdt = k dt Alkuarvo voidaan "syö@ää" tehtävään kahdella eri tavalla: )Ensin lasketaan molemmat integraalit määräämä@öminä, ja sen jälkeen ratkaistaan integroimisvakio C ase@amalla [A]=A kun t=. 2)Lasketaan integraalit määrä@yinä integraaleina, eli integroidaan [A] arvosta A arvoon [A(t)] ja t arvosta arvoon t. Tapa : d A k [ ] [ A] = ln( [ A]) (+C) dt = kt (+C) ln( [ A])= kt+c

11 Ratkaistaan C ase@amalla [A] = A ja t = ln(a ) = -k + C C = ln(a ) Saa,in siis ratkaisu: ln( [ A]) = -kt + ln(a ) [ A] = [ A(t) ] = e kt+ln(a ) = e kt e ln(a ) = A e kt Tapa 2 (määrä@y integroin,): [ A(t) ] A [ A(t) ] A [ ] [ A] d A ln A t = k dt [ ] = k [ ] - ln(a ) = k(t - ) [ ] ln A(t) ln A(t) A = kt [ A(t) ] = e kt A [ A(t) ] = A e kt t t

12 Toinen esimerkki kine,ikasta 2. kertaluvun reak,o: A + B è tuo@eet Erikoistapaus: A + A è tuo@eet Erikoistapausta kuvaa differen,aaliyhtälö d A [ ] = 2k[ A] 2 dt missä k on nopeuskerroin (tekijä 2 tarvitaan jo<a kertoimien määri<elyt saadaan yhteismitallisiksi; reak?ossa katoaa 2 kappale<a A- molekyylejä aina kerralla). Alkuarvo kuten edellä; "konsentraa,o ajanhetkellä t = on A " Ratkaistaan esimerkiksi tapaa käy@äen: d[ A] dt d A = 2k[ A] 2 [ ] [ A] 2 = 2kdt d[ A] [ A] 2 = 2k dt [ A] = 2kt + C 2

13 Ratkaistaan C ase@amalla [A] = A ja t = = 2k + C A C = A Saadaan siis: [ A] = 2kt A [ A] = 2kt + A [ A] = [ A(t) ] = 2kt+ A Sarjat ja kompleksiluvut Geometrinen sarja, suppeneminen ja summa Taylorin sarjaksi kehi@äminen ja yksinkertaiset sovellukset kemiassa Ymmärre@ävä, miksi sarjaksi kehi@äminen tehdään; tämä on oikeastaan tärkeämpää kuin varsinainen sarjakehitelmän laskeminen Kompleksilukujen laskutoimitukset, etenkin Eulerin kaavan sovellukset 3

14 Esimerkki: sarjaksi Einsteinin kaavan mukaan kiinteän atomihilan lämpökapasiteed on C V = 3R x2 e x x = hf (e x ) 2 kt Missä R on kaasuvakio, h Planckin vakio, k Bolzmannin vakio, T lämpö,la ja f on hilan atomien värähtelytaajuus. Halutaan,etää lämpökapasiteed kun T. Ratkaisu: kun T, x. Kehitetään e x sarjaksi pisteen ympäristössä. e x e + e (x )! + e (x ) 2 2! =+ x + x2 2 + x x 6 Missä siis oletetaan x rii@ävän pieneksi jo@a x 2 << x. Nyt saadaan: C V = 3R x2 e x (e x ) 3R x2 (+ x) 2 (+ x ) 2 = 3R x2 (+ x) x 2 = 3R(+ x) + e (x ) 3 3! +... x = hf kt Edelleen kun T niin x, jolloin (+x). Lämpökapasitee,n arvoksi kun lämpö,la lähestyy ääretöntä saa,in siis 3R. 4

15 Useamman funk,oon määritelmät, ja graafiset tulkinnat merkintä ("mitä pidetään vakiona") ja laskeminen 2 muu@ujan funk,on ääriarvotehtävät Kokonaisdifferen,aalin laskeminen Yhdistetyn funk,on derivoiminen useamman muu@ujan tapauksessa Osi@aisderivaa@oja koskevien kaavojen soveltaminen Oleellisia osi@aisderivaa@oihin lii@yviä kaavoja ( f u ) v = ( f x ) y( x u ) v + ( f y ) x( y u ) v ( Z y ) x = ( y Z ) x ( Z x ) y( x y ) z = ( Z y ) x ( Z x ) y( x y ) z( y Z ) x = 5

16 Tilasto,eteen perusteet Keskeiset Jakaumat Erilaiset keskiluvut Hajontaa kuvaavat luvut Yksinkertaisten,lastolukujen laskeminen käsin ja,etokoneella Normaalijakauman käsite ja merkitys luonnossa ja,eteessä Virheen arvioin, Virhetarkastelun esim: SystemaaDnen ja satunnainen virhe Toistokertojen vaikutus virheseen Funk,on maksimivirheen ja keskivirheen kaavan soveltaminen kemiallisissa esimerkeissä PNS sovituksen Käytännön harjoitukset ORIGIN ohjelmalla Kaavoja ei (,etenkään) tarvitse opetella ulkoa! 6

17 C Viivaintegroin, Eksak, ja epäeksak, differen,aali (käsite, tulkinta, laskeminen) Viivaintegraalin laskemisen keinot f (x, y) ds ds muunnetaan Pythagoraan kaavalla C C [ Fdx + Gdy] [ Fdx + Gdy] kun Fdx + Gdy epäeksak, Kun Fdx + Gdy eksak, Ideaalikaasuun lii@yvät viivaintegraalit (esim dv, dw) ja niiden tulkinta Tilavuusintegraalit PallokoordinaaDen määritelmä KoordinaaDmuunnokset, funk,oiden muuntaminen pallokoordinaa@eihin TilavuuselemenD pallokoordinaateissa! Tilavuusintegraalit pallokoordinaateissa, lähinnä vetyatomiin (tjsp) lii@yvissä tehtävissä Operaa@orien merkintä ja operaa@oreihin lii@yvien käsi@eiden soveltaminen integroin,tehtävien yhteydessä. 7

18 Esimerkki: odotusarvon laskeminen Yleinen tapaus: jos systeemin,laa kuvaa aaltofunk,o ψ, niin A ˆ odotusarvo <A> lasketaan näin: A = ψ * A ˆ ψdτ Yksinkertaisin esimerkki: operaa@ori r ˆ kuvaa elektronin etäisyy@ä atomiy,mestä. "Operaa,o" on tässä vain r:llä kertominen, eli operaa@orinotaa,ota ei varsinaises, tarvita se on kuitenkin hyvä sisäistää jatkon kannalta. Lasketaan esimerkkinä operaa@orin odotusarvo vetyatomin 2pz- orbitaalilla. (Tämän fysikaalinen tulkinta on siis se etäisyys atomiy,mestä, jolta elektroni todennäköisimmin löytyy.) K.o. aaltofunk,o on ψ 2 pz = Saadaan siis: r = ψ * 2 pz ˆr ψ 2 pz dτ = ψ * 2 pz r ψ 2 pz dτ = 4 2πa 5 re 4 2πa 5 re r 2a cos(θ) r 2a cos(θ) r 4 2πa 5 re r ˆ r 2a cos(θ)dτ 8

19 = = = 4 2πa 5 re r 2a cos(θ) r 5 r 3 e r a cos 2 (θ)dτ 32πa 32πa 5 32πa 5 2π π 4 2πa 5 re r 5 e r a cos 2 (θ)sin(θ)dr dθ dφ Lasketaan integraalit erikseen. r 2a cos(θ)dτ r 5 e r π 2π a dr cos 2 (θ)sin(θ)dθ dφ Muistetaan seuraavat tulokset: e ar r n dr = n! a n+ Tämän avulla saadaan varsin vaiva@omas,: e r a r 5 dr = 5! 2π ( dφ = ) 6 a f (x) n f '(x) dx = n + f (x)n+ + C 2 π φ = 2π = 2π π cos 2 (θ)sin(θ)dθ = π 3 cos3 (θ) = 3 (cos3 (π ) cos 3 ()) = 3 ( ) = 2 3 9

20 Yhdistetään tulokset: r = 32πa 5! 5 " % π $ ' # & = a π 32 3 π a = 5a 265pm 2