Matema&ikkaa kemisteille - kertaus

Transkriptio

1 Matema&ikkaa kemisteille - kertaus Näiden kalvojen tarkoituksena on kerrata kurssin tärkeimmät sisällöt Joitakin asioita myös hieman syvennetään/ täsmennetään loppukurssilla opi<ujen työkalujen avulla. Lisäksi käydään läpi muutamia lisäesimerkkejä asioista joiden luentokäsi<ely jäi ohueksi. Kertauskalvoja voi käy<ää esimerkiksi ten@in valmistautuessa osaatko kaikki tässä luetellut asiat?

2 Perusteet Suureet, etulii<eet, SI- järjestelmä, merkinnät Laskujärjestys, laskusäännöt Pyöristys ja merkitsevät numerot Pyöristä aina lopputulos, älä pyöristä välituloksia! Pyöristys on tavallaan virheenarvoin&a; tulosta ilmoi<aessa ei pidä antaa väärää kuvaa virheiden suuruuksista. Helpoissa tapauksissa pyöristykseen löytyy nyrkkisääntöjä: Kerto- ja jakolaskussa pyöristä sen luvun mukaan jossa on vähiten merkitseviä numeroita; yhteenlaskussa sen mukaan, jossa on vähiten desimaalipilkun jälkeisiä numeroita Hankalammissa laskuissa virheen arvoin&in löytyy omat kaavansa, esim. maksimi- tai keskivirheen kaavat.

3 Alkeisfunk&ot Peruskäsi<eet funk&oista: arvojoukko, määri<elyjoukko, graafinen esitys Polynomifunk&ot Yhtälöryhmän ratkaiseminen 2. asteen yhtälön ratkaisukaavan käy<ö Algebran juuriteoreema Polynomiyhtälöt ph laskuissa Eksponen& ja logaritmit ja niiden laskusäännöt

4 ja logaritmien a 0 = 1 a - m =1/a m (ab) r = a r b r (a/b) r = a r /b r a r a s = a r+s a r /a s = a r- s (a r ) s = a rs log a (xy) = log a (x) + log a (y) log a (x/y) = log a (x) - log a (y) log a (x n ) = n log a (x) laskusäännöt

5 Esimerkki: yhtälöryhmät spektroskopiassa Kemian sovelluksissa mitataan usein liuosten absorbansseja eri aallonpituusalueilla. Beerin lain mukaan aineen absorbanssi A aallonpituudella λ on: A(λ) = ε(λ)bc, missä ε(λ) on kyseessä olevasta aineesta riippuva absorbanssikerroin kyseisellä aallonpituudella, b on kyve&n leveys ja c aineen pitoisuus. Jos kyseessä on usean aineen seos, voidaan absorbanssi kirjoi<aa eri aineiden absorbanssien summana: A(λ) = ε 1 (λ)bc 1 +ε 2 (λ)bc , missä aineen 1 absorbanssi on ε 1 (λ) ja konsentraa&o c 1 (jne).

6 Esimerkki: yhtälöryhmät spektroskopiassa Absorbanssimi<austen yhteydessä esiintyy monia erilaisia yhtälöryhmien ratkaisuongelmia. Esimerkiksi: Tapaus 1. Tunnetaan konsentraa,ot c 1, c 2... mu<a ei absorbanssikertoimia ε 1, ε 2... Tällöin voidaan mitata absorbanssi &etyllä aallonpituudella usealle eri seokselle (= eri konsentraa&olle) ja määri<ää tästä absorbanssikertoimet. Tapaus 2: Tunnetaan absorbanssit ε 1, ε 2... mu<a ei konsentraa&oita c 1, c 2... Konsentraa&ot voidaan selvi<ää mi<aamalla samalle seokselle absorbanssit eri aallonpituuksilla (ole<aen e<ä ε 1 (λ) ja ε 2 (λ) funk&ot ovat erilaisia). Kaikissa näissä tapauksissa tarvitaan lähtökohtaises& (vähintään) yhtä monta yhtälöä (= eri mi<austa) kuin selvite<ävää muu<ujaa.

7 Esimerkki. Olkoon aineen 1 absorbanssi: 3000 M - 1 cm - 1 aallonpituudella 280 nm, ja 9500 M - 1 cm - 1. aallonpituudella 350 nm. (M = mol/l) Olkoon aineen 2 absorbanssi: 5000 M - 1 cm - 1 aallonpituudella 280 nm ja M - 1 cm - 1 aallonpituudella 350 nm. Näytekyve&n leveyden (b) ollessa 10 cm mita@in molempia aineita sisältävästä seoksesta seuraavat absorbanssit: 0,846 aallonpituudella 280 nm, ja 2,104 aallonpituudella 350 nm. Laske aineiden pitoisuudet. Ratkaisu: ilmaistaan absorbanssi kullakin aallonpituudella Beerin lain avulla. A 280nm = ε 1,280nm bc 1 +ε 2,280nm bc 2 = 0,846 A 350nm = ε 1,350nm bc 1 +ε 2,350nm bc 2 = 2,104 Sijoitetaan seuraavaksi tunnetut arvot (ε kertoimet ja b)

8 3000M 1 cm 1 10cm c M 1 cm 1 10cm c 2 = 0, M 1 cm 1 10cm c M 1 cm 1 10cm c 2 = 2,104 sievennetään hieman: 30000M 1 c M 1 c 2 = 0, M 1 c M 1 c 2 = 2,104 Tämä on siis ratkaistava yhtälöryhmä. Voidaan käy<ää joko vähennyslaskumenetelmää (esim. kerrotaan yhtälö 1 tekijällä 95000/30000 ja vähennetään sen jälkeen toisistaan), tai sijoitusmenetelmää. Käytetään tässä jälkimmäistä, ja saadaan esim. yhtälöstä 1: 30000M -1 c 1 = 0, M -1 c 2 c 1 = M 1, 6667c 2

9 Sijoitetaan tämä yhtälöön 2: 95000M 1 (0, M 1, 6667c 2 ) M 1 c 2 = , M 1 c M 1 c 2 = 2, M 1 c 2 = 0, 575 c 2 = 0, mol/l Ja c 1 saadaan esim. edellä lasketusta: c 1 = 0, M 1, 6667c 2 = 0, mol/l

10 Trigonometriset funk&ot Määritelmät (suorakulmainen kolmio & yksikköympyrät) Jaksollisuus ja sen huomioiminen trigonometrisia yhtälöitä ratkaistaessa Yhtälöiden ratkaisu käänteisfunk&oita käy<äen määritelmät ja käy<ö Erilaisten trigonometristen muunnoskaavojen käy<ö ja soveltaminen (ei ulkoa ope<elu)

11 Derivaa<a Määritelmä, graafinen tulkinta Alkeisfunk&oiden derivaatat Yhdistetyn funk&on derivaa<a D x f(g(x)) = df(u) dg(x) du u=g(x) dx Tai toisella tavalla ilmaistuna ("ketjutussääntö"): Minimi- ja maksimikoh&en löytäminen df(g(x)) dx = df dg dg dx

12 Esimerkki: funk&on ääriarvot Löydä funk&on f(r) = (r 2 8r+15)e - r minimi- ja maksimikohdat kun 0 < r <. Ratkaisu: ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista. Lasketaan derivaa<a ja asetetaan se nollaksi: f '(r) = D r (r 2 8r +15) e r + (r 2 8r +15) D r (e r ) = (2r 8) e r (r 2 8r +15) e r = ( r 2 +10r 23) e r = 0 Tulo on nolla, kun jokin sen tekijöistä on nolla. e - r on aina nollaa suurempi kun 0 < r <, joten nollakohta voi löytyä vain kohdista, joissa r r 23 = 0.

13 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: r = -10 ± = = 5 2 r = 5 2,5 + 2 { } { } 3.59,6.41 Derivaatan nollakoh&en luonne selviää joko laskemalla toisen derivaatan arvo nollakohdissa (posi&ivinen arvo vastaa minimiä, nega&ivinen maksimia) tai tekemällä etumerkkitaulukko: f'(r) r=3.59 r=6.41

14 Saadaan siis tulos: minimi kohdassa r = 5 2, maksimi kohdassa r = Funk&on arvot minimi- ja maksimikohdissa ovat vastaavas& 0,0023 ja 0,0079 f(r)

15 Operaa<orit Operaa<orin käsite Ominaisarvoyhtälö Ominaisfunk&ot ja ominaisarvot; niiden laskeminen yksinkertaisissa tapauksissa Esim "onko cos(nx) operaa<orin k d 2 /dx 2 ominaisfunk&o? Jos on, mikä on ominaisarvo?"

16 Integraalilaskenta Määritelmä, graafinen tulkinta Määräämätön ja määrä<y integraali Ääretön integroimisrajana Alkeisfunk&oiden integraalit Integroin&"kikat": Yhdistetyn funk&on derivaatan sääntö "toisinpäin" Osi<aisintegroin& Muu<ujanvaihto Ra&onaalifunk&on integroin& Trigonometriset muunnoskaavat, Eulerin kaava

17 Tärkeitä integroin&sääntöjä f(x) n f'(x) dx = 1 n +1 f(x)n+1 + C f'(x)e f(x) dx = e f(x) + C f'(x) dx = ln f(x) + C f(x) f'(x)sin[ f(x) ]dx = cos f(x) [ ] + C f'(x)cos[ f(x) ]dx = sin f(x) [ ] + C

18 Esimerkki kine&ikasta 1. kertaluvun reak&o: A è tuo<eet Esim: monet kemialliset hajoamisreak&ot, radioak&ivinen hajoaminen kertaluvun reak&ota kuvaa differen&aaliyhtälö [ ] d A = k[ A] dt missä k on nopeuskerroin. Yhtälön ratkaisemiseksi tarvitaan lisäksi alkuarvo, tyypillises& muotoa "konsentraa&o ajanhetkellä t=0 on A 0 "

19 Differen&aaliyhtälö on separoituva, eli se voidaan ratkaista ryhmi<elemällä kaikki yhden muu<ujan termit yhdelle puolelle ja toisen muu<ujan termit toiselle puolelle, ja integroimalla molemmat puolet. Tämän yhtälön separoiminenon varsin helppoa: d[ A] dt d A = k[ A] [ ] [ A] = kdt [ ] [ ] d A A = kdt = k dt

20 Alkuarvo voidaan "syö<ää" tehtävään kahdella eri tavalla: 1)Ensin lasketaan molemmat integraalit määräämä<öminä, ja sen jälkeen ratkaistaan integroimisvakio C ase<amalla [A]=A 0 kun t=0. 2)Lasketaan integraalit määrä<yinä integraaleina, eli integroidaan [A] arvosta A 0 arvoon [A(t)] ja t arvosta 0 arvoon t. Tapa 1: d A k [ ] A [ ] dt = ln( A [ ]) (+C) = kt (+C) ln( A [ ])= kt+c

21 Ratkaistaan C ase<amalla [A] = A 0 ja t = 0 ln(a 0 ) = -k 0 + C C = ln(a 0 ) Saa&in siis ratkaisu: ln( [ A]) = -kt + ln(a 0 ) [ A] = [ A(t) ] = e kt+ln(a 0 ) = e kt e ln(a 0 ) = A 0 e kt

22 Tapa 2 (määrä<y integroin&): [ A(t) ] A 0 [ A(t) ] A 0 [ ] [ A] d A ln A(t) t = k dt 0 t ln[ A] = k 0 [ ] - ln(a 0 ) = k(t - 0) [ ] ln A(t) A 0 [ A(t) ] A 0 = kt = e kt [ A(t) ] = A 0 e kt t

23 Toinen esimerkki kine&ikasta 2. kertaluvun reak&o: A + B è tuo<eet Erikoistapaus: A + A è tuo<eet Erikoistapausta kuvaa differen&aaliyhtälö d A [ ] = 2k[ A] 2 dt missä k on nopeuskerroin (tekijä 2 tarvitaan jo<a kertoimien määri<elyt saadaan yhteismitallisiksi; reak?ossa katoaa 2 kappale<a A- molekyylejä aina kerralla). Alkuarvo kuten edellä; "konsentraa&o ajanhetkellä t = 0 on A 0 "

24 Ratkaistaan esimerkiksi tapaa 1 käy<äen: d[ A] dt d A = 2k[ A] 2 [ ] [ A] 2 = 2kdt d[ A] [ A] 2 = 2k dt 1 [ A] = 2kt + C

25 Ratkaistaan C ase<amalla [A] = A 0 ja t = 0 1 = 2k 0 + C A 0 C = 1 A 0 Saadaan siis: 1 [ A] = 2kt 1 A 0 1 [ A] = 2kt + 1 A 0 [ A] = [ A(t) ] = 1 2kt+ 1 A 0

26 Entä jos A B? Yleinen 2. kertaluvun reak&o: A + B è tuo<eet Reak&ota kuvaa differen&aaliyhtälö [ ] d A dt = k[ A] [ B] k on nopeuskerroin, alkuarvo on nyt muotoa "konsentraa&ot ajanhetkellä t=0 ovat A 0 ja B 0 " Voidaan ilmaista myös tuo<eiden avulla, esim jos reak&o on A + B è C, voidaan kirjoi<aa: [ ] d C dt = +k[ A] [ B] Jolloin tarvitaan myös alkuarvo [C]:lle.

27 Ratkaiseminen hankalampaa, koska muu<ujia periaa<eessa useampia; differen&aaliyhtälö osataan kuitenkin ratkaista vain 2 muu<ujan tapauksessa. Yksi tapa on kirjoi<aa kaikki konsentraa&ot yhden muu<ujan avulla, esim olkoon tuo<een C konsentraa&o ajanhetkellä t [C(t)] = x(t). Oletetaan alkuarvona e<ä x = 0 kun t = 0. Tällöin [A(t)] = A 0 x(t) ja [B(t)] = B 0 x(t). Nyt saadaan: d C [ ] dt = dx dt = k A [ ] B [ ] = k(a 0 x)(b 0 x) dx (A 0 x)(b 0 x) = kdt

28 Ennen integroimista täytyy suori<aa vasemmanpuoleiseen ra&onaalifunk&oon osamurtokehitelmä: 1 (A 0 x)(b 0 x) = a (A 0 x) + b (B 0 x) a:n ja b:n arvot ratkaistaan sieventämällä oikeanpuoleinen lauseke: a (A 0 x) + b (B 0 x) = a(b x) + b(a x) 0 0 (A 0 x)(b 0 x) = ab 0 +ba 0 x(a+b) (A 0 x)(b 0 x) 1 (A 0 x)(b 0 x)

29 ab 0 +ba 0 -x(a+b) (A 0 x)(b 0 x) 1 (A 0 x)(b 0 x) Saadaan yhtälöryhmä: ab 0 + ba 0 =1 a + b = 0 Näistä saadaan laske<ua a- ja b- kertoimet. Sen jälkeen integroin& onkin helppoa, esim: a 1 =a = a ln(a 0 x)+c (A 0 x) (A 0 x) C- vakion ratkaisu alkuarvojen avulla kuten edellä. Loppuosa tehtävää jätetään "kertausharjoituksiin"!

30 Esimerkki: e ax cos(bx) integroin& Lasketaan funk&on e ax cos(bx) integraali kahdella eri tavalla: 1)Osi<aisintegroimalla kahdes&. 2)Eulerin kaavan avulla.

31 e ax cos(bx) integroin& osi<ain f '(x)g(x)dx = f (x)g(x) f (x)g'(x)dx asetetaan f '(x) = e ax, jolloin f (x) = eax a g(x) = cos(bx), jolloin g'(x) = b sin(bx) e ax cos(bx)dx = eax a cos(bx)+ b a e ax sin(bx)dx

32 e ax cos(bx)dx = eax a cos(bx)+ b a e ax sin(bx)dx Jo<a päästäisiin eroon sinifunk&osta, osi<aisintegroidaan uudestaan. f '(x)g(x)dx = f (x)g(x) f (x)g'(x)dx asetetaan f '(x) = e ax, jolloin f (x) = eax a g(x) = sin(bx), jolloin g'(x) = b cos(bx) e ax sin(bx)dx = eax a sin(bx) b a e ax cos(bx)dx Yhdistetään tulokset...

33 e ax cos(bx)dx = eax a cos(bx)+ b a e ax sin(bx)dx = eax a cos(bx)+ b a (eax a sin(bx)) b a e ax cos(bx)dx) e ax cos(bx)dx = eax a (cos(bx)+ b b2 sin(bx)) a a 2 e ax cos(bx)dx (1+ b2 a 2 ) eax cos(bx)dx e ax cos(bx)dx = e ax = eax a (cos(bx)+ b a sin(bx)) a (cos(bx)+ b a sin(bx)) 1+ b2 a 2 ( + C )

34 e ax cos(bx)dx = e ax a (cos(bx)+ b a sin(bx)) 1+ b2 a 2 ( + C ) a a = eax a + b2 a (cos(bx)+ b a sin(bx)) ( + C ) a a = eax (acos(bx)+ bsin(bx)) ( + C ) a b

35 e ax cos(bx) integroin& Eulerin avulla Eulerin kaavan perusteella e ibx = cos(bx)+ isin(bx) Toisin sanoen, funk&o cos(bx) voidaan tulkita funk&on e ibx reaaliosaksi. Vastaavas& myös integraali e ax cos(bx)dx voidaan tulkita integraalin e ax e ibx dx reaaliosaksi.

36 Integraali e ax e ibx dx Voidaan laskea normaaleilla eksponen@funk&on laskusäännöillä (koska muu<uja x saa vain reaaliarvoja, ei kompleksisuudesta tarvitse itse integroinnin yhteydessä väli<ää: a + ib käsitellään ihan tavallisena vakiona.) e ax e ibx dx = e (a+ib)x dx = e(a+ib)x a + ib + C Nyt pitää siis vain laskea tästä reaaliosa.

37 e (a+ib)x a + ib = eax e ibx (a ib) (a + ib)(a ib) = ( e ax a 2 + b 2 )eibx (a ib) = eax a 2 + b 2 = eax a 2 + b 2 Reaaliosa tästä on [ cos(bx)+ isin(bx) ](a ib) acos(bx)+ bsin(bx)+ i(asin(bx) bcos(bx)) [ ] e ax (acos(bx)+ bsin(bx)) a b

38 Saa&in siis e ax cos(bx)dx = Re( e ax e ibx dx) = eax (acos(bx)+ bsin(bx)) + C a b eli sama tulos kuin osi<aisintegroimalla.

39 Sarjat, vektorit & kompleksiluvut Geometrinen sarja, suppemeninen ja summa Taylorin sarjaksi kehi<äminen ja yksinkertaiset sovellukset kemiassa Ts. Ymmärre<ävä, miksi sarjaksi kehi<äminen tehdään; tämä on oikeastaan tärkeämpää kuin varsinainen sarjakehitelmän laskeminen Vektorin määritelmä ja pistetulo Kompleksilukujen laskutoimitukset, etenkin Eulerin kaavan sovellukset

40 Esimerkki: sarjaksi kehi<äminen Einsteinin kehi<ämän kaavan mukaan kiinteän atomihilan on C V = 3R x2 e x (e x 1) 2 x = hf kt Missä R on kaasuvakio, h Planckin vakio, k Bolzmannin vakio, T lämpö&la ja f on hilan atomien värähtelytaajuus. Halutaan &etää lämpökapasitee@ kun T. Ratkaisu: kun T, x 0. Kehitetään e x sarjaksi pisteen 0 ympäristössä.

41 e x e 0 + e0 (x 0) 1 1! + e0 (x 0) 2 2! + e0 (x 0) 3 3! +... =1+ x + x2 2 + x3 6 Missä siis oletetaan x rii<ävän pieneksi jo<a x 2 << x. Nyt saadaan: C V = 3R x x2 e x (e x 1) 3R x2 (1+ x) 2 (1+ x 1) 2 = 3R x2 (1+ x) x 2 = 3R(1+ x) x = hf kt Edelleen kun T niin x 0, jolloin (1+x) 1. Lämpökapasitee&n arvoksi kun lämpö&la lähestyy ääretöntä saa&in siis 3R.

42 Osi<aisderivoin& Useamman muu<ujan funk&oon lii<yvät määritelmät, käsi<eet ja graafiset tulkinnat Osi<aisderivaatan merkintä ("mitä pidetään vakiona") ja laskeminen 2 muu<ujan funk&on ääriarvotehtävät Kokonaisdifferen&aalin laskeminen Yhdistetyn funk&on derivoiminen useamman muu<ujan tapauksessa Osi<aisderivaa<oja koskevien kaavojen soveltaminen

43 Oleellisia osi<aisderivaa<oihin lii<yviä kaavoja ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v ( Z y ) x = 1 ( y Z ) x ( Z x ) y ( x y ) z = ( Z y ) x ( Z x ) y ( x y ) z ( y Z ) x = 1

44 Viivaintegroin& C Eksak& ja epäeksak& differen&aali (käsite, tulkinta, laskeminen) Viivaintegraalin laskemisen keinot f (x, y) ds ds muunnetaan Pythagoraan kaavalla C C [ Fdx + Gdy] [ Fdx + Gdy] kun Fdx + Gdy epäeksak& Kun Fdx + Gdy eksak& Ideaalikaasuun lii<yvät viivaintegraalit (esim dv, dw) ja niiden tulkinta

45 Tilavuusintegraalit määritelmä funk&oiden muuntaminen pallokoordinaa<eihin pallokoordinaateissa! Tilavuusintegraalit pallokoordinaateissa, lähinnä vetyatomiin (tjsp) lii<yvissä tehtävissä Operaa<orien merkintä ja operaa<oreihin lii<yvien käsi<eiden soveltaminen integroin&tehtävien yhteydessä.

46 Esimerkki: odotusarvon laskeminen Yleinen tapaus: jos systeemin &laa kuvaa aaltofunk&o ψ, niin operaa<orin A ˆ odotusarvo <A> lasketaan näin: A = ψ * A ˆ ψdτ Yksinkertaisin esimerkki: operaa<ori kuvaa r ˆ elektronin etäisyy<ä atomiy&mestä. "Operaa&o" on tässä vain r:llä kertominen, eli operaa<orinotaa&ota ei varsinaises& tarvita se on kuitenkin hyvä sisäistää jatkon kannalta.

47 Lasketaan esimerkkinä operaa<orin r ˆ odotusarvo vetyatomin 2pz- orbitaalilla. (Tämän fysikaalinen tulkinta on siis se etäisyys atomiy&mestä, jolta elektroni todennäköisimmin löytyy.) K.o. aaltofunk&o on ψ 2 pz = Saadaan siis: = r = 1 4 2πa 0 5 re ψ * 2 pz ˆr ψ 2 pz dτ = ψ * 2 pz r ψ 2 pz dτ 1 4 2πa 0 5 re r 2a 0 cos(θ) r 2a 0 cos(θ) r 1 4 2πa 0 5 re r 2a 0 cos(θ)dτ

48 = = = 1 4 2πa 0 5 re 1 32πa 0 5 r πa πa 0 r 2a 0 cos(θ) r r e a 0 cos 2 (θ)dτ 2π 0 π 0 0 r 1 4 2πa 0 5 re r 5 e a 0 cos 2 (θ)sin(θ)dr dθ dφ r r 5 e a 0 dr cos 2 (θ)sin(θ)dθ dφ 0 π 0 r 2a 0 cos(θ)dτ 2π 0 Lasketaan integraalit erikseen.

49 Muistetaan seuraavat tulokset: e ar r n dr = n! 0 a n+1 f (x) n f '(x) dx = 1 n +1 f (x)n+1 + C Tämän avulla saadaan varsin vaiva<omas&: e r a 0 r 5 dr = 5! 0 2π ( 1 dφ = ) 6 0 a 0 2 π 0 φ = 2π 0 = 2π π cos 2 (θ)sin(θ)dθ = 0 π cos3 (θ) = 1 3 (cos3 (π ) cos 3 (0)) = 1 3 ( 1 1) = 2 3

50 Yhdistetään tulokset: = r = 1 32πa 5! 5 0 " 1 % π $ ' # & a π 32 3 π 1 1 a 0 = 5a 0 265pm

51 Tilasto&eteen perusteet Keskeiset käsi<eet Jakaumat Erilaiset keskiluvut Hajontaa kuvaavat luvut Yksinkertaisten &lastolukujen laskeminen käsin ja &etokoneella Normaalijakauman käsite ja merkitys luonnossa ja &eteessä

52 Virheen arvioin& Virhetarkastelun käsi<eet, esim: ja satunnainen virhe Toistokertojen vaikutus virheseen Funk&on maksimivirheen ja keskivirheen kaavan soveltaminen kemiallisissa esimerkeissä PNS sovituksen periaa<eet Käytännön harjoitukset ORIGIN ohjelmalla Kaavoja ei (&etenkään) tarvitse opetella ulkoa!

53 Differen&aaliyhtälöt Keskeisten käsi<eiden ja määritelmien ymmärtäminen Kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus, muu<ujien lukumäärä Separoituvien yhtälöiden ratkaiseminen; integroin&vakioiden ratkaiseminen alkuarvojen avulla Yksinkertaisten ei- separoituvien yhtälötyyppien ratkaiseminen (lähinnä lineaariset epähomogeeniset 1. asteen yhtälöt) kun ratkaisukaava on anne<u.