Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit"

Transkriptio

1 Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

2 Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFY-valmennuksen, jota ennen Teemu opetti 5 vuotta lukiossa ja Antti toimi tuntiopettajana TKK:lla. Nykyään he opettavat MAFY:n kursseilla ympäri vuoden ja Antti vastaa Mafynetti-ohjelman kehityksestä. Muut mallivastaustiimin jäsenet ovat Olli Hirviniemi, Sakke Suomalainen, Viljami Suominen ja Matti Virolainen. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta. MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, valmennuskursseihin sekä matematiikan ja luonnontieteiden opetukseen erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat lääketieteellisen valmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit Mafynetti - sähköinen oppimateriaali. Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta www. mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla. MAFY-valmennuksen yhteystiedot: internet: s-posti: puhelin: (09) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

3 . a) Määritä sellainen vakio a, että luku 05 on yhtälön ax = 05 + a juuri. b) Laske neliön piiri, kun sen lävistäjän pituus on 6. c) Tarkastellaan muotoa m olevia lukuja, kun m {, 0,, } ja n n {, 3, 4}. Määritä näistä luvuista suurin ja pienin. Ratkaisu. a) Sijoitetaan 05 yhtälöön x:n paikalle ja ratkaistaan a:n suhteen: a 05 = 05 + a 04a = 05 a = (p) b) Neliön lävistäjä d on Pythagoraan lauseen nojalla d = a + a d = a 6 = a : a = 3 (3p) Neliön piiri on p = 4a p = 4 3 p = (4p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

4 c) Ratkaisuvaihtoehto Muotoa m n oleva luku on annetuilla m ja n suurin, kun m n > 0 ja m on mahdollisimman suuri ja n mahdollisimman pieni, sekä n 0. Siten m n on suurin, kun m = ja n =. Tällöin m = =. n Vastaavasti pienin m on silloin, kun m < 0 ja (5p) n n m on mahdollisimman n suuri. Näin on, kun m = ja n =, eli m = =. n (6p) Vastaus: Suurin m = ja pienin m =. n n Ratkaisuvaihtoehto Muodostetaan annetuilla m ja n kaikki vaihtoehtoista osamäärää m n. n = n = 3 n = 4 m = 3 4 m = 0 0 = = = 0 m = 3 m = = 3 Vastaus: Suurin m n = ja pienin m n =. 4 4 = (5p) (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

5 . Tasokäyrä kulkee pisteen (3, 4) kautta. Määritä käyrän yhtälö, kun kyseessä on a) origon kautta kulkeva suora b) origokeskinen ympyrä c) ylöspäin aukeava paraabeli, jonka huippu on origossa. Ratkaisu. Tasokäyrä kulkee pisteen (3, 4) kautta. a) Origon (0, 0) kautta kulkeva suora on muotoa Kulmakerroin y = kx. K = y y x x K = K = 4 3 Suoran yhtälö on siten y = 4 3 x. b) Origokeskisen ympyrän yhtälö on muotoa x + y = r. Sijoitetaan piste (3, 4) ympyrän yhtälöön (p) = r r = 5, (3p) joten ympyrän yhtälö on x + y = 5. c) Ylöspäin aukeavan paraabelin, jonka huippu on origossa, yhtälö on muotoa (4p) y = ax, a > 0. Sijoitetaan pisteen (3, 4) koordinaatit yhtälöön. Saadaan 4 = a 3 : 3 (5p) a = 4 9. Paraabelin yhtälö on y = 4 9 x. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 3

6 3. a) Kuntopolun pituus kartalla on 7,5 cm. Mikä on polun pituus maastossa, kun kartan mittakaava on : 0 000? Anna vastaus 00 metrin tarkkuudella. b) Laske kuution yhden sivutahkon pinta-ala neliösenttimetrin tarkkuudella, kun kuution tilavuus on 7,0 litraa. Ratkaisu. a) Mittakaava k = : Pituus kartalla x = 7,5 cm = 0,75 m. Pituus maastossa x, saadaan yhtälöstä k = x x = 0,75 m 0 000x (x > 0) x (p) x = ,75 m x = m Vastaus: Polun pituus maastossa on m. (4p) b) Merkitään kuution särmän pituutta a:lla. Tilavuus V = 7,0 l = 7,0 dm 3 = cm 3. (4p) V = a 3 Yhden sivutahkon pinta-ala on A S = a a = 3 V A S = ( 3 V ) A S = ( cm 3 ) A S = 365, cm 366 cm (5p) Vastaus: Sivutahkon pinta-ala on 366 cm. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 4

7 4. Olkoon A = (, ). Vektorin AB pituus on 3, ja se on kohtisuorassa vektoria 3ī + 4 j vastaan. Määritä pisteen B koordinaatit. Ratkaisu. Merkitään Kohtisuoruusehto A = (, ) AB = 3 AB (3ī + 4 j) AB = aī + b j. AB (3ī + 4 j) = 0 (aī + b j) (3ī + 4 j) = 0 3a + 4b = 0 a = 4 3 b () Pituudesta saadaan AB = 3 Sijoitetaan () yhtälöön () a + b = 3 () (p) a + b = 9 () ( 4 3 b ) + b = b = 9 b = 8 5 : 5 9 b = ± 9 5 Merkitään b = 9 ja b 5 = 9. Yhtälöstä () saadaan vastaavasti (3p) a = 4 3 b ja a = 4 3 b a = a = 5 a = 4 3 a = 5 ( 9 ) 5 Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 5

8 Siten vektori AB on 5 ī j tai Ja vastaavasti pisteen B koordinaatit ovat B = ( 5, + 9 ) 5 ( B = 7 5, 9 ) 5 5 ī 9 p 5 j. (5p) ( tai B = + 5, 9 ) 5 ( 7 tai B = 5, ) 5 (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 6

9 5. Ympyrän x + y = 6 jänteen keskipiste on (, ). Määritä jänteen pituus. Ratkaisu. Ympyrä x + y = 6 on origokeskinen ja sen säde on 4. Piste (, ) on tälle ympyrälle piirretyn jänteen keskipiste. Piirretään kuva Kolmio ABO on tasakylkinen, sillä sen kylkinä on ympyrän O säteet. Siten kannan AB (jänne) keskipiste M on kolmion ABO korkeusjanan toinen päätepiste ja siis MO AB. Korkeusjanan M O pituus on MO = MO = 5 ( 0) + ( 0) Kolmio AM O on suorakulmainen. Pythagoraan lauseella saadaan AM + MO = AO AM + ( 5) = 4 AM = ( + ) 6 5 AM = (p) (3p) (4p) (5p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 7

10 Jänteen AB pituus on AB = AM AB = Vastaus: Jänteen pituus on. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 8

11 6. Annin pelaamassa tietokonepelissä on 90 % mahdollisuus onnistua. a) Kuinka suurella todennäköisyydellä neljän pelin sarjassa tulee tarkalleen yksi epäonnistuminen? b) Mikä on neljän pelin sarjassa onnistuneiden pelien lukumäärän odotusarvo? c) Kuinka monta kertaa Annin täytyy pelata, jotta onnistuneiden pelien lukumäärän odotusarvo olisi vähintään 0? Ratkaisu. Yksittäinen tietokonepeli onnistuu todennäköisyydellä ja epäonnistuu todennäköisyydellä a) p = 0,9 q = p = 0, RATKAISUVAIHTOEHTO : Pelit ovat toisistaan riippumattomia, joten kyseessä on toistokoe. Todennäköisyys, että neljässä pelissä tapahtuu yksi epäonnistuminen on ( ) 4 P ( epäonnistuminen) = 0, ( 0,) 3 = 0,96 9,% (p) RATKAISUVAIHTOEHTO : A: Neljän pelin sarjassa täsmälleen yksi epäonnistuminen P (A) = qppp + pqpp + ppqp + pppq P (A) = 4 qppp P (A) = 4 0, 0,9 3 P (A) = 0,96 9, % (p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 9

12 b) RATKAISUVAIHTOEHTO : Pelit ovat toisistaan riippumattomat, joten voitot noudattavat binomijakaumaa. Binomijakauman odotusarvo on E(X) = np = 4 0,9 = 3,6. (3p) (4p) RATKAISUVAIHTOEHTO : Binomitodennäköisyys P (X = k) = ( ) n k p k q n k, missä n = 4. Satunnaismuuttuja X on onnistuneiden pelien lukumäärä. Kysytty odotusarvo P (X = 0) = q 4 = 0, 4 = 0,000 ( ) 4 P (X = ) = 0,9 0, 3 = 0,0036 ( ) 4 P (X = ) = 0,9 0, = 0,0486 ( ) 4 P (X = 3) = 0,9 3 0, = 0,96 3 P (X = 4) = 0,9 4 = 0,656 E(X) = 0, , , , ,656 4 E(X) = 3,6 (3p) (4p) c) Kyseessä on siis binomitodennäköisyys, missä n on pelien lukumäärä. Binomijakauman odotusarvo on np. Oltava siis np 0 n 0,9 0 : 0,9 n,... Vastaus: Annin täytyy pelata vähintään kertaa. (5p) (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 0

13 Jos et muista binomijakauman odotusarvon kaavaa E = np, tai et löydä sitä taulukkokirjasta, voit myös ratkaista tehtävän näin: Osoita vastaavalla laskelmalla kuin b-kohdassa, että pelien määrän ollessa odotusarvo on 9,9 ja määrän ollessa odotusarvo on 0,8. Näin ollen pelejä täytyy olla tai enemmän, jotta onnistuneiden pelien määrän odotusarvo on vähintään 0. Mistä sitten voi keksiä, että pelejä tulee olla juuri, ettei tarvitsisi testata suurta määrää vaihtoehtoja? Voiton todennäköisyys on 0,9, joten Anni voittaa pitkällä juoksulla keskimäärin 9 peliä kymmenestä. Jos Anni pelaa n peliä, hän voittaa siis keskimäärin niistä 0,9n. Tämän perusteella voidaan arvioida, kuinka monta peliä tulee pelata, että voittaa niistä keskimäärin 0. 0,9n = 0 : 0,9 n =,... Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

14 7. Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kateetin pituus on a. Kolmion sisälle asetetaan kuvion mukaisesti pienempi tasakylkinen kolmio, jonka yksi kärki sijaitsee alkuperäisen kolmion hypotenuusalla. Lisäksi jana AB on hypotenuusan suuntainen. Määritä pienemmän kolmion suurin mahdollinen pintaala. Määritä pienemmän kolmion suurin mahdollinen pinta-ala. A a a B Ratkaisu. Mallikuva Pythagoraan lauseella b = a ja h = a. Kolmiot ABD ja EF D ovat yhdenmuotoiset (kk), joten x = y. Kolmion ABC pinta-ala on h b y (h x) = xb h = x a a/ (h x) ( ) a x ) = x ( a x = x + a x (p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

15 Pinta-alalle saadaan siis lauseke: f(x) = x + a x, x ] 0, a [ Funktio f on alaspäin aukeava paraabeli, joten sen maksimi löytyy derivaatan nollakohdasta. Derivaatan nollakohta on (3p) f (x) = 0 x + a = 0 x = Funktion f arvo derivaatan nollakohdassa on f a. (4p) ( ) ( ) a a = + a ( ) a = a 8. (5p) Vastaus: Suurin mahdollinen pinta-ala on a 8. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 3

16 8. Erään kaivoksen kivihiilivarojen laskettiin vuoden 05 alussa riittävän 50 vuodeksi, jos louhintatahti (yksikkönä tonnia/vuosi) pysyy samana. Minä vuonna kivihiilivarat loppuvat, jos louhintaa lisätään joka vuosi,5 % edelliseen vuoteen verrattuna? Ratkaisu. Olkoon mainittujen laskelmien pohjana oleva louhintatahti vuonna 05 a tonnia/vuosi. Koska kaivoksen kivihiilivarat riittävät 50 vuodeksi, kaivoksessa on vuoden 05 alussa 50a tonnia kivihiiltä. Koska eletään vuoden 05 alkua, viimeisin tiedossa oleva louhintatahti on vuonna 04 toteutunut. Tulkitaan tehtävänantoa niin, että edellä mainittu a on sama kuin viimeisin toteutunut tahti, eli vuoden 04 louhintatahti. Jos joka vuosi louhitaan,5 % enemmän kuin edellisenä vuonna, niin vuonna 05 louhintahti on,05a ja yleisesti n:nnen vuoden aikana louhitaan,05 n a tonnia kivihiiltä. Selvitetään milloin kivihiili loppuu.,05a +,05 a + +,05 n a 50a (p),05a,05n 50a,05 (3p),05 0,05 (,05n ) 50,05 n ln 4 n ln,05 = 3,8... Tästä saadaan, että kivihiili loppuu 33 vuoden aikana, eli vuonna 047. Huomautus: Harmittavasti tehtävänanto ei ole tulkittavissa yksikäsitteisesti. Ilmaus jos louhintatahti pysyy samana tarkoittaa, että louhintatahti on vuonna 05 jokin luku a ja sen jälkeisinä vuosina kunakin sama a. Jälkimmäinen vaihtoehto jos louhintaa lisätään joka vuosi,5 % edelliseen vuoteen verrattuna tarkoittaa, että louhintatahti on vuonna 05 jokin luku b ja sen jälkeisinä vuosina,05b;,05 b;,05 3 b,... jne. Luvun b suuruudesta ei ole kuitenkaan mitään tietoa, eikä siitä, miten se suhtautuu lukuun a. Tällaisessa tilanteessa ei tietenkään kannata lähteä saivartelemaan, koska pisteiden saamiseksi tehtävään pitäisi saada laskettua jokin vastaus. Näin ollen hyvä toimintatapa koetilanteessa on tehdä hyväntahtoinen tulkinta tehtävänannosta ja selittää valittu tulkinta ratkaisun yhteydessä. Tässä tehtävässä ongelmana on, että hyväntahtoisia tulkintoja on kaksi ja on vaikea sanoa, kumpi niistä on se, mitä tehtävän laatija on ajatellut. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 4 (4p) (5p) (6p)

17 Tulkinta : Koska tehtävänannon jälkimmäisessä tilanteessa sanotaan, että louhintaa lisätään joka vuosi,5 % edelliseen vuoteen verrattuna ja eletään vuoden 05 alkua, on luonnollista olettaa, että vuonna 05 louhintatahti on,5 % suurempi kuin vuonna 04. Jos vuoden 04 louhintatahti oli c, niin vuodesta 05 alkaen louhintatahti on,05c;,05 c;,05 3 c;.... Miten tämä c sitten suhtautuu lukuun a, jolla tarkoitamme louhintatahtia tilanteessa jos louhintatahti pysyy samana? Jos oletetaan, että louhintatahti pysyy samana ja eletään vuosien 04 ja 05 vaihdetta, niin tuntuu luonnolliselta olettaa, että ennustetta tehdessä lähdetään siitä, että tuo samana pysyvä louhintatahti vuodesta 05 alkaen on myös sama kuin viimeksi toteutunut, eli vuoden 04 louhintatahti. Tästä saadaan a = c ja siten: Jos louhintatahti pysyy samana, ovat louhitut määrät vuodesta 05 alkaen a, a, a,.... Jos louhintatahti kasvaa joka vuosi,5 %, ovat louhitut määrät vuodesta 05 alkaen,05a;,05 a;,05 3 a;.... Tulkinta : Oletetaan, että kaivostoiminta alkaa vuoden 05 alusta. Tällöin ennusteen tekijä arvioi vuoden 05 louhintatahdiksi määrän a ja jos louhintatahti pysyy samana, ovat louhitut määrät vuodesta 05 alkaen a, a, a,..., tai jos louhintatahti kasvaa joka vuosi,5 %, ovat louhitut määrät vuodesta 05 alkaen a;,05a;,05 a;.... Edellä esitetty malliratkaisu perustuu tulkintaan. Tulkinnan mukaan saadaan eri arvo n 3,84..., mutta luvut ovat niin lähellä toisiaan, että vastaus on edelleen vuoden 047 aikana. Uskomme, että kummalla tahansa tulkinnalla on mahdollista saada täydet pisteet. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 5

18 9. Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on 5,0 cm. Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on,0 cm. Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin haviää? Anna vastaus prosenttiyksikön tarkkuudella. Ratkaisu. Mallikuva: Lasketaan reiän tilavuus. Reikä koostuu lieriöstä ja kahdesta identtisestä pallosegmentistä. Pythagoraan lauseella h + r = R h = R r Nyt saadaan h L = h = R r. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 6

19 Lisäksi joten Lieriön tilavuus on h S + h L = R (pallon halkaisija), h S = R h L = R R r. (p) Segmentin tilavuus on V S = πh S ( R h S 3 V L = πr h L = πr R r. ) = π(r R r ) ( R R R r 3 Reiän tilavuus on V L + V S, joten kysytty osuus voidaan nyt laskea: V reikä = V L + V S V pallo V pallo = πr R r + π(r ( R r ) R R ) R r 3 = 4π 3 R3 π,0 5,0,0 + π(5,0 5,0,0 ) ( 5,0 5,0 = 0, ,9 % 4π 3 5,03 ) ) 5,0,0 3 (3p) (4p) (5p) (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 7

20 0. a) Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet a < b < c muodostavat geometrisen jonon. Määritä jonon suhdeluku q. b) Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet a < b < c muodostavat aritmeettisen jonon. Määritä suhde a : b : c. Ratkaisu. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat a, b ja c, joille pätee suuruusjärjestys a < b < c. Pythagoraan lauseen nojalla a + b = c () a) Sivut muodostavat geometrisen jonon, jonka täytyy suuruusjärjestyksen takia olla joko. a, b, c (kasvava jono) tai. c, b, a (vähenevä jono) Ratkaistaan ensin tapaus. Jono on geometrinen, joten b = qa Sijoitetaan nämä yhtälöön (). ja c = qb = q a, missä q > 0. a + (qa) = (q a) a + q a = q 4 a : a + q = q 4 q 4 q = 0 () Merkitään z = q. z z = 0. (3) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla z = ± ( ) 4 ( ) z = ± 5 eli suhdeluku q on joko q = + 5 q = ( ) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 8

21 tai q = 5 Tapauksessa jono on c, b, a, joten b = qc Sijoitetaan nämä yhtälöön (). < 0 ei kelpaa. (p) a = qb = q c, missä q > 0. (q c) + (qc) = c q 4 c + q c = c : c q 4 + q = : q 4 + q = q 4 Merkitään z = q. + z = z 4 z 4 z = 0 Huomataan, että tämä on sama kuin yhtälö (), joten aiemman laskun perusteella z = q = Vastaus: Mahdolliset suhdeluvut ovat q = q = + 5. (3p) + 5 tai q = + 5. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 9

22 b) Suuruusjärjestyksen takia mahdolliset lukujonot ovat a-kohdan tavoin. a, b, c (kasvava jono) ja. c, b, a (vähenevä jono) Merkitään perättäisten jäsenten erotusta d:llä. Jono on aritmeettinen, joten molemmissa tapauksissa a = b d Sijoitetaan nämä yhtälöön (). c = b + d, missä d > 0. (b d) + b = (b + d) b bd + d + b = b + bd + d (4p) b = 4bd b = 4d b d = 4. Näin ollen sivujen pituuksien suhteet ovat : b : d (5p) a b = b d b b = 4 3 a = b d b d = 4 4 = b b c = b b + d = b d b + = = 4 5 d c = 5 4 b = a = 5 3 a. 5 4 c Vastaus: Sivujen pituuksien suhteet ovat a : b : c = : 4 3 : 5 3. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 0

23 . Millä numeron n arvoilla 0-järjestelmän luku n34n567n89n on jaollinen luvulla a) 3 b) 6 c) 9? Ratkaisu. a) Ratkaisuvaihtoehto Luonnollinen luku on tunnetusti jaollinen kolmella, jos ja vain jos sen numeroiden summa on myös jaollinen kolmella. Luvun n34n567n89n numeroiden summa on n = n = 3(5 + n) + n. 3(5 + n) on jaollinen luvulla 3, joten n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun n on, eli kun n kuuluu joukkoon {0, 3, 6, 9}. (p) Vastaus: n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun n = 0, 3, 6 tai 9. Ratkaisuvaihtoehto n34n567n89n = n n 0 0 = (9 + ) + (9 + ) + n (9 + ) n + + n n (mod 3) = + + n + + n = n 4n (mod 3) = 3n + n n (mod 3) 0 (mod 3), jos ja vain jos n on jaollinen luvulla 3, joten n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun n on, eli kun n kuuluu joukkoon {0, 3, 6, 9}. (p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

24 Vastaus: n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun n = 0, 3, 6 tai 9. b) Koska 6 = 3 ja luvut ja 3 ovat keskenään jaottomia, luonnollinen luku on jaollinen luvulla 6 täsmälleen silloin, kun se on jaollinen sekä luvulla että luvulla 3. Luku n34n567n89n on luonnollinen luku, joten a-kohdan nojalla n täytyy olla jaollinen luvulla 3. Lisäksi luku n34n567n89n on jaollinen kahdella, jos ja vain jos sen viimeinen numero, eli n, on parillinen. c) Näin ollen luvun n täytyy siis olla jaollinen sekä luvulla 3 että luvulla, eli sen täytyy kuulua joukkoon {0, 6}. Vastaus: n34n567n89n on jaollinen luvulla 6 täsmälleen silloin, kun n = 0, tai 6. (3p) (4p) Ratkaisuvaihtoehto Luonnollinen luku on tunnetusti jaollinen yhdeksällä, jos ja vain jos sen numeroiden summa on myös jaollinen yhdeksällä. Luvun n34n567n89n numeroiden summa on a-kohdan nojalla n = n. (5p) 9 5 on jaollinen luvulla 9, joten n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun 4n on. 4 ja 9 ovat keskenään jaottomat, joten tämä toteutuu, kun n on jaollinen luvulla 9, eli kuuluu joukkoon {0, 9}. (6p) Vastaus: n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun n = 0 tai 9. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

25 Ratkaisuvaihtoehto n34n567n89n = n n 0 0 = (9 + ) + (9 + ) + n (9 + ) n + + n n (mod 9) = + + n + + n = n 4n (mod 9) 0 (mod 9), (5p) jos ja vain jos 4n on jaollinen luvulla 9. Koska 4 ja 9 ovat keskenään jaottomia, niin 4n on jaollinen luvulla 9 täsmälleen silloin, kun n on jaollinen luvulla 9, eli kuuluu joukkoon {0, 9}. Vastaus: n34n567n89n on jaollinen luvulla 9 täsmälleen silloin, kun n = 0 tai 9. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 3

26 . Polynomi P (x) = x 3 + ax 4x + b on jaollinen binomeilla x ja x + 3. Ratkaise yhtälö P (x) = 0. Ratkaisu. P (x) = x 3 + ax 4x + 6 on kolmannen asteen polynomi ja jaollinen binomeilla x ja x + 3, joten P (x) = A(x + B)(x )(x + 3), missä A ja B ovat joitakin reaalilukuja. x 3 + ax 4x + b = A(x + B)(x )(x + 3) x 3 + ax 4x + b = A(x + B)(x + x 3) x 3 + ax 4x + b = A(x 3 + (B + )x + (B 3)x 3B) x 3 + ax 4x + b = Ax 3 + A(B + )x + A(B 3)x 3AB (p) (3p) Kolmannen asteen termeistä nähdään, että A =, joten ensimmäisen asteen termeistä saadaan A(B 3) = 4 Sij. A = (B 3) = 4 4B 6 = 4 4B = : 4 B =, eli P (x) = (x + )(x )(x + 3), joten tulon nollasäännön nojalla yhtälö P (x) = 0 toteutuu, kun (4p) (5p) x + = 0 tai x = 0 tai x + 3 = 0 x = x = x = 3 Vastaus: x =, x = tai x = 3. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 4

27 3. a) Anna esimerkki rajoitetusta lukujonosta, joka ei suppene. Perustele väitteesi. b) Anna esimerkki vähenevästä lukujonosta, joka ei ole rajoitettu. Perustele väitteesi. c) Määritä jokin sellainen luku p > 0, että funktion f(x) = x p epäoleellinen integraali f(x) dx suppenee, mutta epäoleellinen integraali hajaantuu. Ratkaisu. f(x) dx a) Kysytty lukujono voi olla esimerkiksi (a n ), missä eli lukujono a n = ( ) n, kun n =,, 3,...,,,,,,,... Lukujono (a n ) ei suppene, sillä sen jäsenet eivät lähesty mitään reaalilukua, kun n, mutta on rajoitettu, sillä a n kaikilla n. b) Kysytty lukujono voi olla esimerkiksi (b n ), missä b n = n, kun n =,, 3,..., (p) eli lukujono,, 3, 4, 5, 6,... Lukujono (b n ) on vähenevä, sillä (3p) mutta ei rajoitettu, sillä b n+ = (n + ) = n = b n < b n, b n = n, kun n. (4p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 5

28 c) p > 0, Tarkastellaan tilannetta p =. f(x) dx = x dx = f(x) = x p / ( x = x lim ) ( ) =, x } {{ } 0 eli integraali f(x) dx suppenee, kun p =. (5p) f(x) dx = x dx = x dx = / =, ln x = lim x (ln x ) ln() } {{ } 0 eli integraali f(x) dx hajaantuu, kun p =. ehdot. Täten luku p = toteuttaa Huom! Ehdot toteutuvat millä tahansa p ], ] ja mikä tahansa p:n arvo tältä väliltä kelpaa täysien pisteiden saamiseksi, kunhan tulos on perusteltu ja laskelmat ovat oikein. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 6

29 *4. Olkoot a > 0, b > 0 ja c > 0. Tarkastellaan avaruuden suoraa S, joka kulkee origon ja pisteen (a, b, c) kautta. Suoran S suunta voidaan ilmoittaa kolmen suuntakosinin avulla. Suuntakosinit cos α, cos β ja cos γ ovat vektorin aī+b j + c k ja yksikkövektoreiden ī, j ja k välisten kulmien α, β ja γ kosineita. a) Laske suoran x = y 3 = z 7 suuntakosinit. (3 p.) b) Laske a-kohdan suuntakosinien neliöiden summa. ( p.) c) Määritä vastaavat suuntakulmat α, β ja γ asteen kymmenesosan tarkkuudella. ( p.) d) Osoita, että b-kohdan tulos on sama kaikille tehtävän alkuosan ehdot toteuttaville suorille. ( p.) Ratkaisu. a) Tarkastellaan suoraa x = y = z. Annettu suora kulkee origon ja pisteen 3 7 (, 3, 7) kautta, koska 0 = 0 3 = 0 7 ja = 3 3 = 7 7 ja pisteet toteuttavat siis suoran yhtälön. Lasketaan vektorin v = ī + 3 j + 7 k ja yksikkövektorien ī, j ja k välisten kulmien kosinit: cos α = cos β = cos γ = v ī v ī = = 6 v j v j = = 3 6 v k v k = = 7 6 p (3p) b) cos α + cos β + cos γ = ( ) ( ) ( ) = = p (5p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 7

30 c) cos α = 6 α = 75, ,3 cos β = 3 6 β = 67, ,6 cos γ = 7 6 γ = 7,5... 7,3 d) Olkoot a > 0, b > 0 ja c > 0, ja lasketaan suuntakosinit vektorille v = aī + b j + c k. cos α = cos β = cos γ = v ī v ī = a + b 0 + c 0 a + b + c = v j v j = a 0 + b + c 0 a + b + c = v k v k = a 0 + b 0 + c a + b + c = a a + b + c b a + b + c c a + b + c p (7p) yksi kulma väärin (8p) Lasketaan nyt suuntakosinien neliöiden summa. cos α + cos β + cos γ = ( ) ( ) ( a a +b +c + b a +b +c + = a + b + c a + b + c = ) c a +b +c Suuntakosinien neliöiden summa on siis aina. (9p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 8

31 *5. Kolmion kahden sivun pituudet ovat CA = a ja CB = b. Näiden sivujen välisen kulman puolittajasta kolmion sisälle jäävän osan pituus on k. Puolittaja jakaa kolmannen sivun kahteen osaan, joiden pituudet ovat AD = x ja DB = y. Osoita, että k = ab xy, a) kun a = b. (3 p.) b) kun a b. (6 p.) Ratkaisu. Mallikuva: a) Jos a = b, kolmio on tasakylkinen. Silloin BAC = CBA, joten kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät (ksk). Siten x = y ja kulma CDA on suora. Pythagoraan lauseella b + x = a, eli k = a x. Koska a = b ja x = y, niin k = ab xy. b) Kulmanpuolittajalauseen nojalla b = y = s, jolloin b = sa ja y = sx. a x Sovelletaan kosinilausetta kolmioon ABC, ja ratkaistaan cos α. b = a + (x + y) a(x + y) cos α a(x + y) cos α = a s a + (x + sx) cos α = ( s )a + ( + s) x ( + s) ax = ( s)a + ( + s)x ax (p) (3p) (4p) (5p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 9

32 Sovelletaan kosinilausetta kolmioon ADC k = a + x ax cos α = a + x ax ( s)a + ( + s)x ax = a + x ( s)a ( + s)x = sa sx = a sa x sx = ab xy. Näin ollen k = ab xy. p (7p) (8p) (9p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 30

5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.

5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa. Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lyhyt matematiikka, syksy 015 Mallivastaukset, 3.9.015 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, kevät 016 Mallivastaukset, 3.3.016 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.

5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa. Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Tiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi.

Tiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi. Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi 2,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x 3 tai x 3.

Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x 3 tai x 3. 998 Yhtälö on määritelty, kun x 0, joten on oltava x. Yhtälö voidaan kirjoittaa yhtäpitävään muotoon x x x x x x 0, ja edelleen x x 0. x Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x tai

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.

5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa. Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Tiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi.

Tiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi. Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,6-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot