Matematiikan peruskäsitteitä

Transkriptio

1 2 Matematiikan peruskäsitteitä Nimensä mukaisesti kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin peruskäsitteitä kurssilla ei esitellä. Kurssilla ei siis tutkita raja-arvoja, ei derivoida, ei integroida eikä ratkaista yhtälöryhmiä. Kurssi ei edellytä mitään erityisiä esitietoja edes lukion matematiikasta, mutta osa käsitteistä on tuttuja lukiomatematiikasta ja opetus etenee lukiomatematiikkaa nopeammin. Kurssilla perehdytään jossain määrin matemaattisiin todistuksiin, mutta täsmällisen todistustekniikan hallitseminen ei ole välttämätöntä kurssin läpäisemiseksi. Tampereen yliopistossa kurssilla Johdatus matemaattiseen päättelyyn perehdytään systemaattisesti tällä kurssilla esitettyjen käsitteiden soveltamiseen erinäisissä todistustehtävissä. 1 Kurssin esittely Kurssin luentomateriaalin lähteenä on käytetty kirjaa Merikoski Virtanen Koivisto: Johdatus diskreettiin matematiikkaan WSOY 2004 Kirjan hankkiminen itselleen ei ole mitenkään välttämätöntä, sillä kurssin materiaali ja harjoitustehtävät löytyvät Moodle-oppimisympäristöstä. Periaatteessa kurssin pystyykin tenttiä lukuun ottamatta suorittamaan etänä. Etäopiskelijoiden kannattaa kuitenkin harkita kurssikirjan hankkimista ja sen käyttämistä opiskelun apuna. Sitä käytetään kurssikirjana myös Johdatus matemaattiseen päättelyyn kurssilla.

2 4 Kurssin sisältö Kurssi koostuu seuraavista osioista: Lauselogiikkaa Predikaattilogiikkaa Joukko-oppia Alkeita relaatioista Relaation ominaisuudet Kuvaukset eli funktiot Tässä dokumentissa on esitelty lauselogiikan osuus. 3 Lauselogiikkaa Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luku 1, s Sopivaa oheislukemistoa on myös matematiikka/modaalilogiikka/logpk2003.pdf

3 6 Logiikasta Logiikkaa tutkitaan filosofiassa, matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteissä. Logiikan sanotaan usein olevan tiede, joka tutkii päätelmiä eli argumentteja. Se koettaa erotella pätevät päätelmät epäpätevistä. Nykyaikaisen käsityksen mukaan logiikka on kuitenkin paljon muutakin kuin pätevän päättelyn tutkimista. Se on erilaisten asioiden eksaktia analyysia. 5 Logiikasta Matemaattinen logiikka on matematiikan eräs osa-alue, mutta tällä kurssilla logiikkaa käsitellään pelkästään työvälineenä. Matematiikan määritelmät, lauseet ja päättelyt on esitettävä täsmällisesti ja riittävän yksityiskohtaisesti, mutta myös ymmärrettävästi ja lyhyesti. Jos käytettäisiin vain luonnollista kieltä, niin esityksestä tulisi pitkä ja kömpelö. Tarvitaan lyhennysmerkintöjä eli symboleja matemaattisille käsitteille ja päättelyille.

4 8 Propositio eli suljettu lause (Lause)logiikan yksinkertaisin tutkimuskohde on propositio eli suljettu lause eli lyhyesti lause. Propositio on ilmaisu, joka sisältää toden tai epätoden väitteen. Jos kyseessä on ilmaisu, jota ei lauselogiikan näkökulmasta voi jakaa osiin, propositiolle voidaan käyttää nimityksiä lausemuuttuja, atomilause tai propositiosymboli. Esimerkki: on tiistai (atomilause) on tiistai ja on keskiviikko (kaksi atomilausetta) tiistaita seuraava päivä on keskiviikko (atomilause lauselogiikan näkökulmasta) 7 Propositio eli suljettu lause Proposition käsite on ehkä filosofisesti ongelmallinen, mutta matematiikassa voidaan yksinkertaisesti konstruoida formaali systeemi määrittelemällä toden proposition totuusarvoksi 1 ja epätoden 0: Nyt sataa p tosi 1 epätosi 0

5 10 Loogiset konnektiivit Propositiologiikassa eli lauselogiikassa tutkitaan annetuista lauseista loogisten konnektiivien avulla muodostettavien lauseiden ominaisuuksia. Konnektiiveilla on vastineet luonnollisessa kielessä: Negaatio : ei, ei pidä paikkaansa, että... Konjunktio : ja, sekä... että... Disjunktio : tai, joko... tai... tai molemmat Implikaatio : jos..., niin..., Ekvivalenssi : jos ja vain jos..., niin Loogiset konnektiivit Formaalisessa systeemissämme loogisia konnektiiveja voidaan määritellä totuustaulukoilla. Totuustaulukosta näemme yhdistetyn lauseen totuusarvon, kun alkuperäisten lauseiden p ja q totuusarvot tunnetaan. Negaatio ei p p p

6 12 Loogiset konnektiivit Konjunktio p ja q p q p q Loogiset konnektiivit Disjunktio p tai q p q p q

7 14 Loogiset konnektiivit Implikaatio jos p, niin q p q p q Loogiset konnektiivit Ekvivalenssi p, jos ja vain jos q p q p q

8 16 Implikaatio Merkinnän p q muita lukutapoja: silloin kun p, niin q, p:stä seuraa q, p implikoi q:n, p on riittävä ehto q:lle, q on välttämätön ehto p:lle. 15 Riittävä ja välttämätön ehto Oletetaan, että p q tosi. Tällöin jos p on tosi, myös q on tosi. Siis p:n totuudesta seuraa q:n totuus. Siis p on riittävä ehto q:lle. Vastaavasti jos q on epätosi, niin myös p on epätosi. Siis p ei voi olla tosi, jollei q ole tosi. Siis q on välttämätön ehto p:lle.

9 18 Ekvivalenssi Merkinnän p q on muita lukutapoja: p silloin ja vain silloin, kun q, p ja q ovat ekvivalentteja eli yhtäpitäviä, p on välttämätön ja riittävä ehto q:lle. 17 Vertailua luonnolliseen kieleen Ja. Tavallisessa kielessä ja-sanalla voidaan ilmoittaa ajallisia ja muunkinlaisia järjestyksiä. Tai Luonnollisessa kielessä kaksi erilaista tai-sanaa. Esimerkki: (1) Viran kelpoisuusehtona on filosofian maisterin tai diplomi-insinöörin tutkinto (2) Lounaan jälkiruoaksi voidaan valita kahvi tai jäätelö Looginen konnektiivi vastaa tai-sanaa viranhakijan tulkinnalla. Tarjoilijan tulkinta on poissulkeva tai.

10 20 Vertailua luonnolliseen kieleen Jos... niin. Lauselogiikan implikaatiolle ei voida antaa luonnollisen kielen syy-seuraus -tulkintaa. Tosi, mutta epämielekäs lause: = 5 Kuu on juustoa 19 Vertailua luonnolliseen kieleen Miten osoittaa epätodeksi sinua koskeva väite Ulkona sataa Sinä et lähde kävelylle? Vastaus: odota sadetta ja lähde kävelylle. Siis implikaation etulause todeksi, jälkilause epätodeksi.

11 22 Vertailua luonnolliseen kieleen Jos ja vain jos... niin. Luonnollisessa kielessä tämän ilmauksen sijasta käytetään usein lyhyttä muotoa jos... niin eli implikaatiota. Esimerkki: Jos on totta Jos maksat 30 euroa, niin saat tämän kirjan niin tarkoitetaanko, että saat ottaa kirjan myös maksamatta? 21 Vertailua luonnolliseen kieleen Matematiikassakin on vakiintunut tapa, että määritelmissä sanotaan jos, vaikka tarkoitetaan jos ja vain jos. Esimerkiksi Kolmiota sanotaan tasasivuiseksi, jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät tarkoittaa: Kolmiota sanotaan tasasivuiseksi, jos ja vain jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Matemaattisissa lauseissa on erittäin tärkeää erottaa, onko väite voimassa kumpaankin suuntaan vai pelkästään toiseen. Ilmaisu jos ja vain jos voidaan lyhentää muotoon joss (engl. iff ).

12 24 Jos vai joss? Laskemalla on helppo todeta, että jos x = 1, niin 3x x = 12x(x 2 + 1). Mutta sen osoittaminen, että 3x x = 12x(x 2 + 1), jos ja vain jos x = 1 vaatii paljon enemmän laskemista. 23 Useampi kuin yksi konnektiivi Sovimme loogisten konnektiivien suoritusjärjestykseksi 1 negaatiot, 2 konjunktiot ja disjunktiot, 3 implikaatiot ja ekvivalenssit, ellei sulkumerkein toisin ilmoiteta. Esimerkki on sama kuin p q q r (( p) q) (q r)

13 26 Useampi kuin yksi konnektiivi Yhdistettyjen lauseen totuusarvo kaikissa mahdollisissa tilanteissa? Tutkimme esimerkkinä totuustaulukon avulla lauseen p r q r totuusarvoa. 25 Esimerkki totuustaulusta p q r p r q r p r q r

14 28 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Loogiset konnektiivit eivät ole toisistaan riippumattomia. Voimme esimerkiksi määritellä muut konnektiivit negaation ja konjunktion avulla: p q := ( p q), p q := (p q), p q := (p q) (q p). Perustelu? Totuustaulut ovat samat. Merkinnät :=, def =, = df yms. tarkoittavat, että määritellään samoiksi. ( def kuten definition eli määritelmä.) 27 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Peruskonnektiiveiksi voimme ottaa myös esimerkiksi negaation ja disjunktion tai vaikkapa negaation ja implikaation. Negaatiota ei voi määritellä käyttämällä pelkästään konjunktiota, disjunktiota, implikaatiota ja ekvivalenssia.

15 30 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Poissulkeva tai-konnektiivin : Miten totuustaululla? p q def = (p q) (p q). Muitakin loogisia konnektiiveja voidaan määritellä, esimerkiksi Shefferin viiva (NAND, ei molemmat ) ja Peircen nuoli (NOR, ei... eikä... ) eli Nicodin funktio. Kaikki mahdolliset konnektiivit ovat palautettavissa kumpaankin niistä. 29 Esimerkkejä totuusarvojen määrittämisestä Tiedetään, että A on tosi ja B on epätosi, mutta lauseen C totuusarvoa ei tiedetä. Mitkä ovat alla olevien lauseiden totuusarvot (tosi/epätosi/ei voi tietää)? A C? B C 0 A C 1 B C? A C? B C 1 C A 1 C B?

16 Tautologia Tautologia on identtisesti tosi lause, eli se on tosi kaikissa mahdollisissa maailmoissa. Totuustaulussa sitä vastaavassa pystyrivissä pelkkiä ykkösiä. p 1... p n 2 p n 1 p n A Tautologia sataa ja tuulee p q ei ole tautologia; se antaa informaatiota säätilasta: sataa ja tuulee. sataa tai ei sada p p on tautologia, ei informaatioarvoa Kontradiktio eli ristiriita on lause, jonka negaatio on tautologia (tai yleisemmin loogisesti tosi). Huomaa, että myöskään kontradiktiolla sataa ja ei sada p p ei ole informaatioarvoa. Ovatko tautologiat hyödyttömiä? Eivät ole, esimerkiksi: Jos A B tautologia, niin tiedetään, että jos A on tosi, niin tiedetään, että myös B on tosi. 32

17 34 Tärkeitä tautologioita Tautologian voi tunnistaa luonnollisella päättelyllä eli pohtimalla tällaisten lauseiden merkitystä luonnollisessa kielessä. Alla A ja B voivat olla lausemuuttujia (p, q, r jne.) tai yhdistettyjä lauseita. Tautologia A A Nimi Identiteetin laki 33 Tärkeitä tautologioita Tautologia (A A) A A A A Nimi Poissuljetun ristiriidan laki Poissuljetun kolmannen laki Kaksoisnegaation laki

18 36 Tärkeitä tautologioita Tautologia (A B) A B (A B) A B A A A A A A A B B A A B B A Nimi de Morganin säännöt Idempotenssilait Vaihdantalait 35 Tärkeitä tautologioita Tautologia A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Nimi Liitäntälait Osittelulait (A B) A B Implikaation määritelmä (A B) (A B)

19 38 Esimerkkejä tautologioista Edellä esitetyissä tautologioissa A, B ja C voivat siis viitata yhdistettyihin lauseisiin: (p q) (p q) (identiteetin laki) (p q r) (p q r) (poissuljetun kolmannen laki) p (q r) (q r) p (vaihdantalaki) ( p q) p q (de Morganin sääntö) p q (r s) (p q r) (p q s) (osittelulaki) 37 Looginen ekvivalenttisuus Jos lause A B on tautologia, niin lauselogiikan kannalta lauseiden A ja B merkitys on sama. Sanomme, että lauseet A ja B ovat yhtäpitävät eli ekvivalentit. Merkitsemme tällöin A B.

20 40 Merkinnöistä ja Logiikassa on tapana käyttää implikaatiolle ja ekvivalenssille merkintöjä ja, jolloin merkinnät ja ovat metakielen käytössä. Muulle kuin logiikkaa käsittelevälle matematiikalle riittää merkinnät ja. 39 Ketjukonjunktiot ja -disjunktiot Lauseiden p (q r) ja (p q) r merkitys on sama, joten voimme käyttää merkintää p q r kummallekin. Vastaavasti ketjudisjunktio p q r Voidaan yleistää useammalle lauseelle: p 1 p 2 p 3 p n

21 42 Lauseiden sieventäminen Yhdistetty lause ei muutu merkitykseltään, jos jonkin siinä esiintyvän lauseen tilalle sijoitetaan loogisesti ekvivalentti lause: Jos A B, niin C(... A...) C(... B...). Esimerkki 4 Sievennettävä lause (p q p q) esittämällä mahdollisimman yksinkertainen sen kanssa yhtäpitävä lause. 41 Lauseisen sieventäminen (p q p q) (implikaation määritelmä) ( (p q) ( p q) ) ( ) (kaksoisnegaatio) (p q) ( p q) (de Morganin sääntö) (p q) ( p q) (kaksoisnegaatio) (p q) (p q) (kaksoisnegaatio) (p q) (p q) (idempotenssilaki) p q Siis lause on tautologia. (p q p q) p q

22 44 Päättely 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siis Sokrates on kuolevainen. Oletukset eli premissit: lauseet 1 ja 2. Johtopäätös: lause 3. Tämä päättely on pätevä. 43 Pätevä päättely Pätevä päättely säilyttää totuuden: jos premissit ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Vastaesimerkki pätevälle päättelylle: tilanne, jossa premissit ovat tosia, mutta johtopäätös on epätosi. Todistusteoriassa tutkitaan formalisoituja päättelyitä; muoto ratkaisee Premissit: Johtopäätös: Jokainen A on B s on A s on B

23 46 Päättelyn formalisoinnista Kaikkea pätevää päättelyä ei voida formalisoida. Matematiikassakin käytetään tavallisesti luonnollista päättelyä. Matemaattiset päättelyt ovat usein pitkiä ja monimutkaisia. Logiikassa tutkitaan päättelyä pelkistetyssä muodossa. Kriteeri pätevälle päättelylle: Premisseistä A 1, A 2,..., A n voidaan tehdä johtopäätös B, jos (ja lauselogiikassa vain jos) A 1 A 2 A n B on tautologia. 45 Päättelyn formalisoinnista Esimerkiksi tautologiaa A (A B) B vastaa päättelysääntö modus ponendo ponens eli lyhyemmin modus ponens A A B B Sitä käytetään usein: esimerkiksi tiedetään yleinen sääntö jos A, niin B, selvitetään, että A pitää paikkansa, ja tehdään johtopäätös, että B pitää paikkansa.

24 48 Päättelyssä tärkeitä tautologioita Tautologia (A B) (B A) (A B) Nimi Ekvivalenssin ja implikaation yhteys (A B) ( B A) Kontrapositio A (A B) B Modus ponendo ponens (A B) B A Modus tollendo tollens 47 Päättelyssä tärkeitä tautologioita A ( B A) B Reductio ad absurdum eli epäsuoran todistamisen sääntö (A B) (B C) (A C) Syllogismi

25 50 Esimerkkejä päättelyistä A A B B A B B B A B 49 Esimerkkejä päättelyistä Olkoon päätelty B oletuksesta A: Tällöin voi päätellä A B. Olkoon päätelty C sekä oletuksesta A että B: A. B A. C B. C Tällöin voi oletuksesta A B päätellä C:n.

26 Epäsuora todistus kaaviona Halutaan todistaa, että A. Tehdään vastaoletus: A ja johdetaan ristiriita. Tiedetään, että B. Päätellään B oletuksesta A: A. B Saatiin siis ristiriita B B. Vastaoletus on siis väärä ja voidaan päätellä, että A. 51