Matematiikan peruskäsitteitä
|
|
- Timo-Pekka Siitonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2 Matematiikan peruskäsitteitä Kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin peruskäsitteitä kurssilla ei esitellä. Kurssilla ei siis tutkita raja-arvoja, ei derivoida, ei integroida eikä ratkaista yhtälöryhmiä. Kurssi ei edellytä mitään erityisiä esitietoja edes lukion matematiikasta, mutta osa käsitteistä on tuttuja lukiomatematiikasta ja opetus etenee lukiomatematiikkaa nopeammin. Kurssilla perehdytään jossain määrin matemaattisiin todistuksiin, mutta täsmällisen todistustekniikan hallitseminen ei ole välttämätöntä kurssin läpäisemiseksi. Tampereen yliopistossa kurssilla Johdatus matemaattiseen päättelyyn perehdytään systemaattisesti tällä kurssilla esitettyjen käsitteiden soveltamiseen erinäisissä todistustehtävissä. 1 Oheislukemisto Kurssin luentomateriaalin lähteenä on käytetty kirjaa Merikoski Virtanen Koivisto: Johdatus diskreettiin matematiikkaan WSOY 2004
2 4 Kurssin sisältö Kurssi koostuu seuraavista osioista: Lauselogiikkaa Predikaattilogiikkaa Joukko-oppia Alkeita relaatioista Kuvaukset eli funktiot Relaation ominaisuudet 3 LAUSELOGIIKKAA Keskeiset asiat: 1 Konnektiivit: negaatio, konjunktio, disjunktio, implikaatio ja ekvivalenssi 2 Totuustaulumenetelmä 3 Tautologiat 4 Looginen ekvivalenttisuus 5 Pätevä päättely Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luku 1, s Sopivaa oheislukemistoa on myös matematiikka/modaalilogiikka/logpk2003.pdf
3 6 Logiikasta Logiikkaa tutkitaan filosofiassa, matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteissä. Logiikan sanotaan usein olevan tiede, joka tutkii päätelmiä eli argumentteja. Se koettaa erotella pätevät päätelmät epäpätevistä. Nykyaikaisen käsityksen mukaan logiikka on kuitenkin paljon muutakin kuin pätevän päättelyn tutkimista. Se on erilaisten asioiden eksaktia analyysia. 5 Logiikasta Matemaattinen logiikka on matematiikan eräs osa-alue, mutta tällä kurssilla logiikkaa käsitellään pelkästään työvälineenä. Matematiikan määritelmät, lauseet ja päättelyt on esitettävä täsmällisesti ja riittävän yksityiskohtaisesti, mutta myös ymmärrettävästi ja lyhyesti. Jos käytettäisiin vain luonnollista kieltä, niin esityksestä tulisi pitkä ja kömpelö. Tarvitaan lyhennysmerkintöjä eli symboleja matemaattisille käsitteille ja päättelyille.
4 8 Propositio eli suljettu lause (Lause)logiikan yksinkertaisin tutkimuskohde on propositio eli suljettu lause eli lyhyesti lause. Propositio on ilmaisu, joka sisältää toden tai epätoden väitteen. Jos kyseessä on ilmaisu, jota ei lauselogiikan näkökulmasta voi jakaa osiin, propositiolle voidaan käyttää nimityksiä lausemuuttuja, atomilause tai propositiosymboli. Esimerkki: oli maanantai (atomilause) jos oli maanantai, niin oli tiistai (kaksi atomilausetta) maanantaita seuraava päivä on tiistai (atomilause lauselogiikan näkökulmasta) 7 Propositio eli suljettu lause Proposition käsite on ehkä filosofisesti ongelmallinen, mutta matematiikassa voidaan yksinkertaisesti konstruoida formaali systeemi määrittelemällä toden proposition totuusarvoksi 1 ja epätoden 0: Nyt sataa p tosi 1 epätosi 0
5 10 Loogiset konnektiivit Propositiologiikassa eli lauselogiikassa tutkitaan annetuista lauseista loogisten konnektiivien avulla muodostettavien lauseiden ominaisuuksia. Konnektiiveilla on vastineet luonnollisessa kielessä: Negaatio : ei, ei pidä paikkaansa, että... Konjunktio : ja, sekä... että... Disjunktio : tai, joko... tai... tai molemmat Implikaatio : jos..., niin..., Ekvivalenssi : jos ja vain jos..., niin Loogiset konnektiivit Formaalisessa systeemissämme loogisia konnektiiveja voidaan määritellä totuustaulukoilla. Totuustaulukosta näemme yhdistetyn lauseen totuusarvon, kun alkuperäisten lauseiden p ja q totuusarvot tunnetaan. Negaatio ei p p p
6 12 Loogiset konnektiivit Konjunktio p ja q p q p q Loogiset konnektiivit Disjunktio p tai q p q p q
7 14 Loogiset konnektiivit Implikaatio jos p, niin q p q p q Loogiset konnektiivit Ekvivalenssi p, jos ja vain jos q p q p q
8 16 Implikaatio Merkinnän p q muita lukutapoja: silloin kun p, niin q, p:stä seuraa q, p implikoi q:n, p on riittävä ehto q:lle, q on välttämätön ehto p:lle. 15 Riittävä ja välttämätön ehto Oletetaan, että p q tosi. Tällöin jos p on tosi, myös q on tosi. Siis p:n totuudesta seuraa q:n totuus. Siis p on riittävä ehto q:lle. Vastaavasti jos q on epätosi, niin myös p on epätosi. Siis p ei voi olla tosi, jollei q ole tosi. Siis q on välttämätön ehto p:lle.
9 18 Ekvivalenssi Merkinnän p q on muita lukutapoja: p silloin ja vain silloin, kun q, p ja q ovat ekvivalentteja eli yhtäpitäviä, p on välttämätön ja riittävä ehto q:lle. 17 Vertailua luonnolliseen kieleen Ja. Tavallisessa kielessä ja-sanalla voidaan ilmoittaa ajallisia ja muunkinlaisia järjestyksiä. Tai Luonnollisessa kielessä kaksi erilaista tai-sanaa. Esimerkki: (1) Viran kelpoisuusehtona on filosofian maisterin tai diplomi-insinöörin tutkinto (2) Lounaan jälkiruoaksi voidaan valita kahvi tai jäätelö Looginen konnektiivi vastaa tai-sanaa viranhakijan tulkinnalla. Tarjoilijan tulkinta on poissulkeva tai. Sille käytetään myös ilmausta joko... tai....
10 20 Vertailua luonnolliseen kieleen Jos... niin. Lauselogiikan implikaatiolle ei voida antaa luonnollisen kielen syy-seuraus -tulkintaa. Tosi, mutta epämielekäs lause: = 5 Kuu on juustoa 19 Vertailua luonnolliseen kieleen Miten osoittaa epätodeksi sinua koskeva väite Ulkona sataa Sinä et lähde kävelylle? Vastaus: odota sadetta ja lähde kävelylle. Siis implikaation etulause todeksi, jälkilause epätodeksi.
11 22 Vertailua luonnolliseen kieleen Jos ja vain jos... niin. Luonnollisessa kielessä tämän ilmauksen sijasta käytetään usein lyhyttä muotoa jos... niin eli implikaatiota. Esimerkki: Jos on totta Jos maksat 30 euroa, niin saat tämän kirjan niin tarkoitetaanko, että saat ottaa kirjan myös maksamatta? 21 Vertailua luonnolliseen kieleen Matematiikassakin on vakiintunut tapa, että määritelmissä sanotaan jos, vaikka tarkoitetaan jos ja vain jos. Esimerkiksi Kolmiota sanotaan tasasivuiseksi, jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät tarkoittaa: Kolmiota sanotaan tasasivuiseksi, jos ja vain jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Matemaattisissa lauseissa on erittäin tärkeää erottaa, onko väite voimassa kumpaankin suuntaan vai pelkästään toiseen. Ilmaisu jos ja vain jos voidaan lyhentää muotoon joss (engl. iff ).
12 24 Jos vai joss? Laskemalla on helppo todeta, että jos x = 1, niin 3x x = 12x(x 2 + 1). Mutta sen osoittaminen, että 3x x = 12x(x 2 + 1), jos ja vain jos x = 1 vaatii paljon enemmän laskemista. 23 Useampi kuin yksi konnektiivi Sovimme loogisten konnektiivien suoritusjärjestykseksi 1 negaatiot, 2 konjunktiot ja disjunktiot, 3 implikaatiot ja ekvivalenssit, ellei sulkumerkein toisin ilmoiteta. Esimerkki on sama kuin p q q r (( p) q) (q r)
13 26 Useampi kuin yksi konnektiivi Yhdistettyjen lauseen totuusarvo kaikissa mahdollisissa tilanteissa? Tutkimme esimerkkinä totuustaulukon avulla lauseen p r q r totuusarvoa. 25 Esimerkki totuustaulusta p q r p r q r p r q r
14 28 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Loogiset konnektiivit eivät ole toisistaan riippumattomia. Voimme esimerkiksi määritellä muut konnektiivit negaation ja konjunktion avulla: p q := ( p q), p q := (p q), p q := (p q) (q p). Merkinnät :=, def =, = df yms. tarkoittavat, että määritellään samoiksi. ( def kuten definition eli määritelmä.) Yllä olevat määritelmät voi oikeuttaa totuustauluilla. 27 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Lauseiden p q ja ( p q) totuusarvot ovat samat: p q p q p q p q ( p q) Vastaavasti voidaan osoittaa, että lauseiden p q ja (p q) totuusarvot ovat samat.
15 30 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Totuustaulut voi tehdä myös lyhyemmin merkitsemällä totuusarvot suoraan ilman välivaiheita. Tällöin numeroinnilla voi osoittaa järjestyksen, missä totuustaulu on tehty. 1. vaiheessa merkitään totuustaulut atomilauseiden kohdalle. ( p q ) ( q p ) Tämän totuustaulun viimeisessä eli 8. vaiheessa saatu sarake on sama kuin ekvivalenssin p q. 29 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Peruskonnektiiveiksi voimme ottaa myös esimerkiksi negaation ja disjunktion tai vaikkapa negaation ja implikaation. Negaatiota ei voi määritellä käyttämällä pelkästään konjunktiota, disjunktiota, implikaatiota ja ekvivalenssia.
16 32 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Poissulkeva tai-konnektiivin : Miten totuustaululla? p q def = (p q) (p q). Muitakin loogisia konnektiiveja voidaan määritellä, esimerkiksi Shefferin viiva (NAND, ei molemmat ) ja Peircen nuoli (NOR, ei... eikä... ) eli Nicodin funktio. Kaikki mahdolliset konnektiivit ovat palautettavissa kumpaankin niistä. 31 Esimerkkejä totuusarvojen määrittämisestä Tiedetään, että A on tosi ja B on epätosi, mutta lauseen C totuusarvoa ei tiedetä. Mitkä ovat alla olevien lauseiden totuusarvot (tosi/epätosi/ei voi tietää)? A C? B C 0 A C 1 B C? A C? B C 1 C A 1 C B?
17 Tautologia Tautologia on identtisesti tosi lause, eli se on tosi kaikissa mahdollisissa maailmoissa. Totuustaulussa sitä vastaavassa pystyrivissä pelkkiä ykkösiä. p 1... p n 2 p n 1 p n A Tautologia sataa ja tuulee p q ei ole tautologia; se antaa informaatiota säätilasta: sataa ja tuulee. sataa tai ei sada p p on tautologia, ei informaatioarvoa Kontradiktio eli ristiriita on lause, jonka negaatio on tautologia (tai yleisemmin loogisesti tosi). Huomaa, että myöskään kontradiktiolla sataa ja ei sada p p ei ole informaatioarvoa. Ovatko tautologiat hyödyttömiä? Eivät ole, esimerkiksi: Jos A B tautologia, niin tiedetään, että jos A on tosi, niin tiedetään, että myös B on tosi. 34
18 36 Tärkeitä tautologioita Tautologian voi tunnistaa luonnollisella päättelyllä eli pohtimalla tällaisten lauseiden merkitystä luonnollisessa kielessä. Alla A ja B voivat olla lausemuuttujia (p, q, r jne.) tai yhdistettyjä lauseita. Tautologia A A Nimi Identiteetin laki 35 Tärkeitä tautologioita Tautologia (A A) A A A A Nimi Poissuljetun ristiriidan laki Poissuljetun kolmannen laki Kaksoisnegaation laki
19 38 Tärkeitä tautologioita Tautologia (A B) A B (A B) A B A A A A A A A B B A A B B A Nimi de Morganin säännöt Idempotenssilait Vaihdantalait 37 Tärkeitä tautologioita Tautologia A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Nimi Liitäntälait Osittelulait (A B) A B Implikaation määritelmä (A B) (A B)
20 40 Tautologiaksi osoittaminen Tarkastellaan ensiksi poissuljetun ristiriidan lakia. Koska lauseesta A ei ole tarkempaa tietoa, oletetaan olevan mahdollista, että se saa sekä totuusarvon 0 että 1. ( A A ) Tautologiaksi osoittaminen Tarkastellaan seuraavaksi ensimmäistä de Morganin sääntöä. ( A B ) A B Tässä viimeksi tehty sarake on rutiinomainen tarkistus sille, että 3. ja 6. vaiheen sarakkeet, jotka edustavat ekvivalenssin vasenta ja oikeaa puolta, ovat samat. Osoitettaessa ekvivalenssia tautologiaksi tämän viimeisen vaiheen voi jättää poiskin ja tehdä vain ekvivalenssin vasemman ja oikean puolen totuustaulut.
21 42 Tautologiaksi osoittaminen Tarkastellaan kolmantena esimerkkinä osittelulakia. A B C A (B C) (A B) (A C) Lauseiden A (B C) ja (A B) (A C) totuusarvot ovat siis samat, joten ekvivalenssi A (B C) (A B) (A C) on tautologia. 41 Esimerkkejä tautologioista Edellä esitetyissä tautologioissa A, B ja C voivat siis viitata yhdistettyihin lauseisiin: (p q) (p q) (identiteetin laki) (p q r) (p q r) (poissuljetun kolmannen laki) p (q r) (q r) p (vaihdantalaki) ( p q) p q (de Morganin sääntö) p q (r s) (p q r) (p q s) (osittelulaki)
22 44 Looginen ekvivalenttisuus Jos lause A B on tautologia, niin lauselogiikan kannalta lauseiden A ja B merkitys on sama. Sanomme, että lauseet A ja B ovat yhtäpitävät eli ekvivalentit. Merkitsemme tällöin A B. 43 Merkinnöistä ja Logiikassa on tapana käyttää implikaatiolle ja ekvivalenssille merkintöjä ja, jolloin merkinnät ja ovat metakielen käytössä. Muulle kuin logiikkaa käsittelevälle matematiikalle riittää merkinnät ja.
23 46 Ketjukonjunktiot ja -disjunktiot Lauseiden p (q r) ja (p q) r merkitys on sama, joten voimme käyttää merkintää p q r kummallekin. Vastaavasti ketjudisjunktio p q r. Tämä merkintätapa voidaan yleistää useammalle lauseelle, esimerkiksi: p 1 p 2 p 3 p n. 45 Lauseiden sieventäminen Yhdistetty lause ei muutu merkitykseltään, jos jonkin siinä esiintyvän lauseen tilalle sijoitetaan loogisesti ekvivalentti lause: Jos A B, niin C(... A...) C(... B...). Esimerkki 4 Sievennettävä lause (p q p q) esittämällä mahdollisimman yksinkertainen sen kanssa yhtäpitävä lause.
24 48 Lauseisen sieventäminen (p q p q) (implikaation määritelmä) ( (p q) ( p q) ) ( ) (kaksoisnegaatio) (p q) ( p q) (de Morganin sääntö) (p q) ( p q) (kaksoisnegaatio) (p q) (p q) (kaksoisnegaatio) (p q) (p q) (idempotenssilaki) p q Siis lause on tautologia. (p q p q) p q 47 Päättely 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siis Sokrates on kuolevainen. Oletukset eli premissit: lauseet 1 ja 2. Johtopäätös: lause 3. Tämä päättely on pätevä.
25 50 Pätevä päättely Pätevä päättely säilyttää totuuden: jos premissit ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Vastaesimerkki pätevälle päättelylle: tilanne, jossa premissit ovat tosia, mutta johtopäätös on epätosi. Todistusteoriassa tutkitaan formalisoituja päättelyitä; muoto ratkaisee Premissit: Johtopäätös: Jokainen A on B s on A s on B 49 Päättelyn formalisoinnista Kaikkea pätevää päättelyä ei voida formalisoida. Matematiikassakin käytetään tavallisesti luonnollista päättelyä. Matemaattiset päättelyt ovat usein pitkiä ja monimutkaisia. Logiikassa tutkitaan päättelyä pelkistetyssä muodossa. Kriteeri pätevälle päättelylle: Premisseistä A 1, A 2,..., A n voidaan tehdä johtopäätös B, jos (ja lauselogiikassa vain jos) A 1 A 2 A n B on tautologia.
26 52 Päättelyn merkintätavoista Sille, että premisseistä A 1, A 2,..., A n voidaan tehdä johtopäätös B, voidaan käyttää merkintätapaa A 1 A 2. A n B tai vähemmän tilaa vievää merkintää A 1, A 2,..., A n B Logiikassa käytetään merkintää B sille, että B on loogisesti tosi (tällaisen lauseen voidaan ajatella olevan pääteltävissä tyhjästä premissijoukosta). 51 Päättelyn formalisoinnista Esimerkiksi tautologiaa A (A B) B vastaa päättelysääntö modus ponendo ponens eli lyhyemmin modus ponens A, A B B Sitä käytetään usein: esimerkiksi tiedetään yleinen sääntö jos A, niin B, selvitetään, että A pitää paikkansa, ja tehdään johtopäätös, että B pitää paikkansa.
27 54 Päättelyssä tärkeitä tautologioita Tautologia (A B) (B A) (A B) Nimi Ekvivalenssin ja implikaation yhteys (A B) ( B A) Kontrapositio A (A B) B Modus ponendo ponens (A B) B A Modus tollendo tollens 53 Päättelyssä tärkeitä tautologioita A ( B A) B Reductio ad absurdum eli epäsuoran todistamisen sääntö (A B) (B C) (A C) Syllogismi
28 56 Esimerkki päättelyn osoittamisesta päteväksi Yleisesti jos pitää osoittaa lauselogiikan päättely A 1, A 2,..., A n B, voi totuustaululla osoittaa implikaation A 1 A 2 A n B tautologiaksi. Mutta tämän mekaanisen tavan sijasta voi myös pyrkiä osoittamaan, että oletuksesta A 1, A 2 jne. A n ovat tosia seuraa, että B on tosi. 55 Esimerkki päättelyn osoittamisesta päteväksi Tarkastellaan esimerkkinä syllogismia. Sen voi esittää päättelysääntönä A B, B C A C. Oletetaan nyt, että ( ) lauseet A B ja B C ovat tosia. Tällöin jos A on tosi, implikaation A B totuudesta seuraa, että B on tosi. Tällöin implikaation B C totuudesta seuraa, että C on tosi. Tässä tapauksessa siis A C on tosi. Toisaalta jos A on epätosi, niin triviaalisti A C on tosi. Kun siis oletetaan ( ), niin A C on tosi. Täten A B, B C A C.
29 58 Esimerkkejä päättelyistä A A B B A B B B A B 57 Esimerkkejä päättelyistä Olkoon päätelty B oletuksesta A: Tällöin voi päätellä A B. Tämän päättelyrakenteen voi esittää myös seuraavasti: A. B jos A B, niin A B.
30 60 Esimerkkejä päättelyistä Olkoon päätelty C sekä oletuksesta A että B. Tällöin voi oletuksesta A B päätellä C:n. Siis kaaviona Jos A C ja B C, niin A B C 59 Epäsuora todistus kaaviona Halutaan todistaa, että A. Tehdään vastaoletus: A ja johdetaan ristiriita. Tiedetään, että B. Päätellään B oletuksesta A: A. B Saatiin siis ristiriita B B. Vastaoletus on siis väärä ja voidaan päätellä, että A.
31 Esimerkki epäsuorasta todistuksesta Epäsuoraa todistusta voi käyttää myös logiikassa. Tarkastellaan uudelleen syllogismia A B, B C A C ja osoitetaan se päteväksi epäsuoralla todistuksella. Oletetaan, että A B ja B C ovat tosia ja tehdään vastaoletus, että A C on epätosi. Vastaoletuksen perusteella A on tosi ja C on epätosi. Koska A on tosi, niin oletuksen perusteella B on tosi. Tällöin oletuksen perusteella C on tosi, mutta tässä on ristiriita. 61
32 2 PREDIKAATTILOGIIKKAA Keskeiset asiat: 1 Universaali- ja eksistenssikvanttori 2 Peräkkäiset kvanttorit 3 Konnektiivien käyttö predikaattilogiikassa 4 Negaation siirto kvanttorien ohi Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luku 1, s Predikaatti eli avoin lause = 5 on epätosi propositio = 5 on tosi propositio x + 2 = 5 ei ole suljettu lause, sillä sen totuusarvo riippuu muuttujan x arvosta. Predikaatilla eli avoimella lauseella tarkoitamme väitettä, jonka totuusarvo riippuu muuttujasta. Se joukko, josta muuttuja valitaan, on predikaatin (muuttujan) määrittelyjoukko. Merkintä: p(x) (lue: x:llä on ominaisuus p).
33 4 Predikaatin määrittelyjoukko Predikaatin p(x) : x + 1 = 2 määrittelyjoukoksi voimme ottaa vaikkapa reaalilukujen joukon. p(2) ja p(3) ovat epätosia, sillä ja Mutta p(1) on tosi, sillä = 2. 3 Predikaatti eli avoin lause Predikaatti eli avoin lause p(x) on siis ilmaisu, josta saadaan propositio eli suljettu lause aina, kun muuttujan x paikalle sijoitetaan predikaatin määrittelyjoukon alkio(n nimi). Yksipaikkainen predikaatti p(x) ilmaisee tiettyä ominaisuutta.
34 6 Useampipaikkainen predikaatti Kaksi- tai useampipaikkaiset predikaatit ilmoittavat suhteita määrittelyjoukkojen alkioiden välillä. p(x, y) luetaan: x ja y ovat keskenään suhteessa p. Esimerkki p(x, y) = x on suurempi kuin y, p(1, 0) on tosi, sillä 1 > 0. p(0, 1) on epätosi, sillä ei ole niin, että 0 > 1 (on voimassa 0 1). 5 Joukko-opin merkintöjä {x 1, x 2,..., x n } joukko, jonka alkiot ovat x 1, x 2,..., x n. Jos x kuuluu joukkoon A eli x on joukon A alkio, niin merkitsemme x A. Jos x A eli x ei kuulu joukkoon A, niin merkitsemme x A. Tyhjässä joukossa ei ole alkioita. Joukot voivat olla äärettömiä.
35 8 Joukko-opin merkintöjä N on luonnollisten lukujen 0, 1, 2,... joukko, Z on kokonaislukujen joukko, Z + on positiivisten kokonaislukujen 1, 2, 3,... joukko, Z on negatiivisten kokonaislukujen 1, 2, 3,... joukko, Q on rationaalilukujen joukko, Q + positiivisten ja Q negatiivisten, R on reaalilukujen joukko, R + positiivisten ja R negatiivisten, C on kompleksilukujen joukko. 7 Universaalikvanttori Universaalikvanttori eli kaikkikvanttori : x A : p(x) Joukon A kaikilla alkioilla on ominaisuus p p(x) on voimassa aina, kun x A. Esimerkki Lause x R : x 2 0 tarkoittaa, että jokaisen reaaliluvun neliö on ei-negatiivinen, ja on siis tosi.
36 10 Induktioperiaate formalisoituna Induktioperiaate on todistusmenetelmä, jossa todistetaan kaikkia luonnollisia lukuja 0, 1, 2,... koskeva väite osoittamalla ensin, että väite pitää paikkansa luvulle 0, ja sitten, että jos väite pitää paikkansa luvulle k, se pitää paikkansa myös luvulle k + 1. Voimme formalisoida induktioperiaatteen seuraavasti: p(0) k N : (p(k) p(k + 1)) n N : p(n) 9 Eksistenssikvanttori Eksistenssikvanttori eli olemassaolokvanttori : x A : p(x) Joukossa A on sellainen alkio, jolla on ominaisuus p Ominaisuus p on voimassa ainakin yhdellä joukon A alkiolla. Vaikka lauseissa x A : p(x) ja x A : p(x) on näkyvissä muuttuja x, nämä lauseet eivät ole avoimia vaan suljettuja. Nimittäin muuttuja x ei ole nyt vapaa vaan sidottu.
37 12 Eksistenssikvanttori Esimerkki Lause x R : x 2 5x + 6 = 0 on tosi, sillä löytyy reaaliluku (itse asiassa jopa kaksi), jolla on ominaisuus x 2 5x + 6 = Eksistenssikvanttori ja lukujoukot x N : x + 1 = 0 epätosi, x Z : x + 1 = 0 tosi. x Z : 2x = 1 epätosi, x Q : 2x = 1 tosi. x Q : x 2 = 2 epätosi, x R : x 2 = 2 tosi.
38 14 Eksistenssikvanttori ja lukujoukot x R : x 2 = 1 epätosi, x C : x 2 = 1 tosi. Lause x X : 0 x = 1 on epätosi, olipa X mikä lukujoukko tahansa. 13 Useampi kuin yksi kvanttori Esimerkki. (1) x N : y N : x + y = 0 Epätosi, koska (esimerkiksi) (2) x N : y N : x + y = 0 Tosi, koska = 0.
39 16 Useampi kuin yksi kvanttori (3) x Z : y Z : x + y = 0 Tosi, sillä kun x Z on annettu, niin x Z ja x + ( x) = 0. (4) y Z : x Z : x + y = 0 Epätosi; jos olisi olemassa tällainen y, niin esimerkiksi 0 + y = 0 = 1 + y, mutta tämä on mahdotonta. 15 versus x X : y X : p(x, y) y saa riippua x:stä y X : x X : p(x, y) y on valittava riippumattomasti x:stä
40 18 versus Esimerkki Lauseet ja x N : y N : x y x Z : y Z : x y ovat tosia, sillä aina, kun x on annettu luonnollinen luku tai kokonaisluku, löytyy sellainen y, että x y = 0, nimittäin vaikkapa y = x. 17 versus Mutta myös lause y N : x N : x y on tosi, sillä kun valitaan y = 0, niin x y = 0 olipa x mikä tahansa luonnollinen luku. Lause y Z : x Z : x y on sen sijaan epätosi. Nimittäin valittiinpa y miten tahansa, kokonaisluku y 1 ei ole sitä suurempi.
41 20 Loogisten konnektiivien käyttö Esimerkki Avoimesta lauseesta x + 1 > 0 2x 3 < 0 saamme olemassaolokvanttorilla suljetun lauseen x N : (x + 1 > 0 2x 3 < 0), joka on tosi (miksi?). Esimerkki Lause ( x Z : x > 0) ( x Z : x < 0) on tosi, mutta lause x Z : (x > 0 x < 0) epätosi. 19 Loogisten konnektiivien käyttö Esimerkki (1) x R : x > 0 x + 1 > 0. Tutkimme predikaatin x > 0 x + 1 > 0 totuutta muuttujan x eri arvoilla: x > 0 x + 1 > 0 x < x x > Siis lause (1) on tosi. Voimme täten ilman vaikeuksia tulkita tämän lauseen seuraavasti: Jos x > 0, niin x + 1 > 0.
42 22 Loogisten konnektiivien käyttö Esimerkki Lause x N : x + 1 > 0 x > 0 on epätosi, sillä > 0, mutta 0 > 0 epätosi. 21 Loogisten konnektiivien käyttö Matematiikassa jätetään usein kaikkikvanttori kirjoittamatta muotoa x R : p(x) q(x) ja x R : p(x) q(x) olevista lauseista, ja kirjoitetaan lyhyesti p(x) q(x) ja p(x) q(x). Jos määrittelyjoukko on muu kuin R, sen on lyhennettyä merkintää käytettäessä selvittävä asiayhteydestä.
43 24 Loogisten konnektiivien käyttö Esimerkki Lauseesta x R : x + 1 > 0 x > 0 ei voida jättää kaikkikvanttoria pois ilman, että sen merkitys muuttuu. Ottamalla käyttöön merkinnän (lue: ei välttämättä seuraa ) voimme kirjoittaa tämän lauseen ilman kaikkikvanttoria muodossa x + 1 > 0 x > Loogisten konnektiivien käyttö Esimerkki x > 0 x 2 > 0 x 2 > 0 x > 0
44 26 Implikaation paradoksi Identtisesti epätosi lause implikoi mitä tahansa lauseita. Esimerkiksi x 2 + x + 1 = 0 x = 1 tuntuisi (määrittelyjoukossa R) epätodelta, mutta tämä lause on tosi. Huomaa, että x = 1 x 2 + x + 1 = Kvanttorin vaikutusalue Logiikassa sovitaan yleensä, että kvanttorin vaikutusalue on sama kuin negaationkin eli kvanttoria välittömästi seuraava kaava. Matematiikassa ajatellaan yleisesti kvantorin vaikutusalueen ulottuvan ainakin seuraavaan suljettuun lauseeseen saakka ja selviävän asiayhteydestä. Selvyyden vuoksi kannattaa käyttää kuitenkin tarvittaessa sulkuja.
45 28 Kvanttorin vaikutusalue Esimerkiksi lauseen x N : x > 2 x 2 > 2 ainoa matemaattisesti mielekäs tulkinta on, että x N : (x > 2 x 2 > 2). Sen sijaan lauseella x N : x > > 2 on kaksi eri tulkintaa (kumpikaan ei tosin ole kovin mielekäs matemaattinen väite): x N : (x > > 2) (epätosi, valitse vaikka x = 3) tai ( x N : x > 2) 2 2 > 2 (tosi, sillä etulause epätosi). 27 Yhtälön ratkaisemisen merkintätavoista Vertaa: 2x + 3 = 7 2x = 4 x = 2 x = 1 x 1 = 0 (x 1)(x 2) = 0 x 2 3x + 2 = 0
46 30 Yhtälön ratkaisemisen merkintätavoista Mikä nuolista, tai? ax 2 2ax + a = 0? x 2 2x + 1 = 0? (x 1) 2 = 0? x = 1 29 Yhtälön ratkaisemisen merkintätavoista Tosi vai epätosi? x 2 = 4 x = 2 epätosi x = 2 x 2 = 4 tosi x 2 = 4 (x = 2 x = 2) epätosi x 2 = 4 (x = 2 x = 2) tosi (x = 2 x = 2) x 2 = 4 tosi (x = 2 x = 2) x 2 = 4 tosi x 2 = 4 x = ±2 tosi?
47 32 Luonnollinen päättely predikaattilogiikassa Predikaattilogiikan lauseen totuus voi seurata joskus lauselogiikasta, joskus siinä esiintyvien predikaattien ominaisuuksista (siis esim. matemaattisesta sisällöstä). Esimerkki Lauselogiikan tautologian A A perusteella lauseet ( x R : p(x)) ( x R : p(x)) ja ovat tosia. x R : (p(x) p(x)) Johtuen relaation > ominaisuuksista lause x R : y R : x > y y > x on tosi. 31 Luonnollinen päättely predikaattilogiikassa On myös loogisia, sisällöstä riippumattomia totuuksia, joita ei voida perustella lauselogiikalla. Negaation siirto kvanttorin ohi. Olkoon p(x) joukossa X määritelty predikaatti. Tällöin lauseet (1) x X : p(x) x X : p(x) ja (2) x X : p(x) x X : p(x) ovat tosia.
48 Negaation siirto... Perustelemme lauseen x X : p(x) x X : p(x) totuuden: x X : p(x), joss ei ole niin, että kaikilla x X on ominaisuus p, joss jollakin x X ei ole ominaisuutta p, joss on olemassa sellainen x X, että p(x), joss x X : p(x). 33
49 2 JOUKKO-OPPIA Keskeiset asiat: 1 Joukon käsite ja merkintätavat 2 Joukon alkio 3 Osajoukko 4 Perusjoukko, tyhjä joukko ja potenssijoukko 5 Komplementti, leikkaus, unioni, joukko-opillinen erotus 6 Joukko-opin laskusääntöjä Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luku 3, s Sopivaa oheislukemistoa myös matematiikka/modaalilogiikka/liitejoukoista.pdf 1 Joukko Mitä joukolla tarkoitetaan? Cantor (ks. määritteli, että joukolla ymmärretään mitä tahansa kokonaisuudeksi muodostettua kokoelmaa täysin määrättyjä erillisiä olioita, jotka ovat tajuntamme tai ajatuksemme kohteina.
50 4 Joukko-oppi Intuitiivinen eli naiivi joukko-oppi: käsitteet joukko, alkio, kuuluu joukkoon ja ei kuulu joukkoon ovat niin itsestään selvästi ihmisen välittömässä tajunnassa (intuitio), ettei niitä tarvitse määritellä. Aksiomaattinen joukko-oppi: pyritään aikaansaamaan peruskäsitteiden määrittelyä myöten tarkka looginen järjestelmä. 3 Joukko Merkintä {x 1, x 2,..., x n } tarkoittaa joukkoa, jonka alkiot ovat x 1, x 2,..., x n, ja merkintä { x X p(x) } tarkoittaa joukon X kaikkien niiden alkioiden joukkoa, joilla on ominaisuus p.
51 6 Joukko Kaksi joukkoa ovat samat, jos niissä on täsmälleen samat alkiot: Joukkojen samuus. A = B x(x A x B). Merkintä A B tarkoittaa, että joukot A ja B eivät ole samat. Esimerkki {0, 2, 4,...} = { x N x/2 N } = { 2x x N } = { x x on parillinen luonnollinen luku}. 5 Joukko Olkoon a, b R, a < b. Määrittelemme reaalilukuvälit ]a, b[ = { x R a < x < b }, [a, b] = { x R a x b }, [a, b[ = { x R a x < b }, ]a, b] = { x R a < x b }. Väli ]a, b[ on avoin, [a, b] suljettu [a, b[ ja ]a, b] puoliavoimia.
52 8 Joukko Määrittelemme myös äärettömät välit ]a, [ = { x R x > a }, [a, [ = { x R x a }, ], b[ = { x R x < b }, ], b] = { x R x b }. Voimme myös merkitä, että ], [ = R. 7 Osajoukko Joukko A on joukon B osajoukko, A B (tai myös B A), jos joukon A jokainen alkio kuuluu joukkoon B: Osajoukko A B x(x A x B). Sanomme myös, että A sisältyy B:hen ja että B sisältää A:n (alkio kuuluu, osajoukko sisältyy), Merkitsemme A B, ellei joukko A ole joukon B osajoukko. Jos A B, mutta A B, niin sanomme, että A on B:n aito osajoukko, ja merkitsemme A B.
53 10 Osajoukko Esimerkki. 1 N {1} N, {1} N, {1} N, {1, 2} N, ]1, 2[ N, ]1, 2[ N, ]1, 2[ [1, [, ]1, 2[ [1, [. 9 Osajoukko Lause 4, s. 49. Olkoot A, B ja C joukkoja. Tällöin on voimassa A A (refleksiivisyys). Jos A B ja B A, niin A = B (antisymmetrisyys). Jos A B ja B C, niin A C (transitiivisuus).
54 12 Osajoukko Transitiivisuuden perusteella voimme kirjoittaa A B C tarkoittamaan sitä, että A B ja B C. Vastaavasti voimme käyttää merkintää. Esimerkki ja myös Z + N Z Q R C Z + N Z Q R C 11 Osajoukko Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. (1) A = B, (2) A B ja B A.
55 14 Perusjoukko Jos joukko muodostetaan predikaatin avulla, niin predikaatin määrittelyjoukko on tiedettävä. Esimerkki Merkintä { x 1 x 3 } ei sellaisenaan tarkoita mitään, ellei predikaatin 1 x 3 määrittelyjoukkoa ole ilmoitettu. Jos määrittelyjoukko on N, niin { x 1 x 3 } = {1, 2, 3}. Jos määrittelyjoukko on R, niin { x 1 x 3 } = [1, 3]. 13 Perusjoukko Joukko-opilliset tarkastelut rajoitetaan tavallisesti koskemaan vain tietyn perusjoukon eli avaruuden X alkioita ja osajoukkoja. Jos predikaatin määrittelyjoukoksi ei voida ottaa koko perusjoukkoa, niin tämä määrittelyjoukko on syytä mainita. Esimerkki. Olkoon perusjoukko R. Jos halutaan merkitä niiden reaalilukujen joukko, joiden neliöjuuri on > 10, niin ei voida kirjoittaa { x R x > 10 }, koska predikaatti x > 10 ei ole määritelty, kun x < 0. Tämän predikaatin määrittelyjoukko on R 0+, joten on kirjoitettava { x R 0+ x > 10 }.
56 16 Russellin paradoksi Perusjoukon X käyttöönotolla on muutakin merkitystä kuin epäselvyyksien välttäminen. Russellin paradoksi. (Ks. Tarkastelemme kaikkien sellaisten joukkojen joukkoa M, jotka eivät kuulu itseensä; siis M = { x x / x }. Saattaa vaikuttaa siltä, että mikään joukko ei voi olla itsensä alkio. Mutta esimerkiksi kaikkien joukkojen joukko (jos sellainen olisi olemassa) olisi joukko ja siten itsensä alkio. Samoin jos olisi olemassa joukko { x x ei ole Luuppi ry:n jäsen }, niin se ei varmastikaan olisi Luupin jäsen ja täten sekin olisi itsensä alkio. 15 Russellin paradoksi Kysymme, kuuluuko joukko M itseensä. Katsomme aluksi, mitä tapahtuisi, jos M M. Tällöin siis M { x x / x }, joten M / M ja päädymme ristiriitaan. Miten sitten käy, jos M / M? Yhtä huonosti, sillä tällöin M { x x / x } eli M M. Siis M ei voi kuulua itseensä eikä olla kuulumatta, joten paradoksi on valmis.
57 18 Russellin paradoksi Voimme muotoilla Russellin paradoksin myös seuraavasti: Joukon M määritelmän mukaan jokaiselle joukolle A pätee A M A / A. Sijoittamalla tähän joukon A paikalle joukon M saamme paradoksin M M M / M. 17 Tyhjä joukko Myös tyhjä joukko = { x X x x } saattaa vaikuttaa paradoksaaliselta. Se on kuitenkin joukko, jossa ei ole yhtään alkiota ja jonka olemassaolosta ei seuraa mitään ristiriitaista. Ristiriitaan päädyttäisiin vasta, jos olisi olemassa jokin sellainen x, että x. Tyhjälle joukolle voidaan käyttää myös merkintää { }. Joukko { } ei ole tyhjä, sillä siinä on yksi alkio, nimittäin.
58 20 Tyhjä joukko Lause 6. (s. 52). Olkoon perusjoukkona X ja A X. Tällöin A. Toisin sanoen tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko. Esitämme tälle kaksi todistusta. Ensimmäisessä hyödynnetään sitä, että x on aina epätosi. Täten implikaatio x x A on tosi aina, kun x X. Siis lause x X : x x A on tosi, joten määritelmän mukaan A. Toisessa todistuksessa teemme vastaoletuksen: A. Tällöin on olemassa sellainen olio x, että x ja x A. Mutta tällöin siis olisi olemassa sellainen olio x, että x eli x x, jossa on ristiriita. 19 Potenssijoukko Joukon A potenssijoukko P(A) on A:n kaikkien osajoukkojen joukko. Kun perusjoukko on X, niin kaikki tarkasteltavat joukot ovat X :n osajoukkoja ja siis P(X ):n alkioita. Potenssijoukon määritelmän perusteella A B A P(B). Aina P(A) ja A P(A).
59 22 Potenssijoukko Esimerkki Olkoon A = {0}. Tällöin P(A) = {, {0} }, P ( P(A) ) = P ({, {0} }) = {, { }, {{0}}, {, {0}} }. Esimerkki Olkoon B = {0, 1, 2}. Tällöin P(B) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2} }. Joukossa P ( P(B) ) on 2 8 = 256 alkiota. 21 Potenssijoukko Esimerkki Olkoon A = {1, 2, {1, 2}}. Nyt sekä {1, 2} A että {1, 2} A. Siis {1, 2} P(A) ja koska {{1, 2}} A, niin {{1, 2}} P(A). Joukossa P(A) on 2 3 = 8 alkiota.
60 24 Potenssijoukko (Lause 7, s. 53.) Jos joukossa on n alkiota, niin sillä on 2 n osajoukkoa. Perustellaan tämä seuraavasti: Olkoon A joukko, jossa on n alkiota. Tällöin voidaan merkitä A = {a 1, a 2,..., a n }. Jokainen joukon A osajoukko B A voidaan esittää bittijonon α 1 α 2... α n avulla, jossa α i = { 1, jos ai B 0, jos a i B 23 Potenssijoukko Esimerkiksi jos n = 6 ja B = {a 1, a 3, a 5, a 6 }, niin vastaava bittijono on Erityisesti (1, 1,..., 1) vastaa joukkoa A A ja (0, 0,..., 0) vastaa joukkoa A. Tällaisia n:n pituisia, ykkösistä ja nollista koostuvia bittijonoja on 2 n kappaletta. Siis jos joukossa A on n alkiota, sillä on 2 n osajoukkoa. Kaava pätee myös, jos A = eli n = 0. Miksi?
61 26 Komplementti Olkoon X perusjoukko ja A X. Joukon A komplementti A on X :n niiden alkioiden joukko, jotka eivät kuulu A:han. Siis A = { x X (x A) } = { x X x / A }. Komplementti riippuu täten perusjoukosta. Esimerkki Jos perusjoukko on Z, niin joukon N komplementti N = Z, mutta jos perusjoukko onkin N, niin N =. Kun perusjoukkona on X, = X, X =, A = A. 25 Unioni, leikkaus ja erotus Olkoon A, B P(X ). Määritellään: unioni A B = { x X x A x B }, leikkaus A B = { x X x A x B }, erotus A \ B = { x X x A x / B }. Unionille on käytössä suomenkielinen nimitys yhdiste.
62 28 Komplementti ja erotus Joukon A komplementti A on perusjoukon X suhteen voidaan määritellä joukko-opillisen erotuksen avulla: A = X \ A. Toisaalta joukko-opillinen erotus voidaan määritellä komplementin ja leikkauksen avulla Perustelu? A \ B = A B. 27 Esimerkki Olkoon perusjoukkona X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ja A ja B sen osajoukot A = {1, 2, 5} ja B = {2, 3, 4, 5}. Tällöin joukko vastaava bittijono X (1, 1, 1, 1, 1, 1) A (1, 1, 0, 0, 1, 0) B (0, 1, 1, 1, 1, 0) A (0, 0, 1, 1, 0, 1) B (1, 0, 0, 0, 0, 1) A B (1, 1, 1, 1, 1, 0) A B (0, 1, 0, 0, 1, 0) A \ B (1, 0, 0, 0, 0, 0) B \ A (0, 0, 1, 1, 0, 0).
63 30 Venn-diagrammi Joukko-opin laskutoimituksia voidaan havainnollistaa Venn-diagrammeilla, jolloin tarkasteltavat joukot esitetään tason pistejoukkoina. Katso kirjan s. 56, oheislukemisto liitejoukoista.pdf tai wikipedia Venn-diagrammi 29 Joukko-opin laskusääntöjen todistaminen Yksi tapa todistaa joukko-opin laskusääntöjä on palauttaa ne vastaaviksi loogisia konnektiiveja koskeviksi väitteiksi. Pelkkä lauselogiikka ei kuitenkaan yleensä riitä, vaan on käytettävä myös predikaattilogiikkaa. Toinen tapa on käyttää luonnollista päättelyä. Kolmas tapa on käyttää aiemmin todistettuja joukko-opin laskusääntöjä. Täsmällisissä todistuksissa Venn-diagrammia voidaan käyttää apuvälineenä, joka helpottaa varsinaisen todistuksen kirjoittamista ja lukemista, mutta valmiissa todistuksessa siihen ei saa enää nojautua.
64 32 Joukko-opin laskusääntöjä Lause 9., s. 59. A = A A A = A A = X A A = A A A = A A = A = A A X = A A X = X Identiteetin laki Leikkaus ja yhdiste komplementin kanssa Idempotenssilait Leikkaus ja yhdiste tyhjän joukon kanssa Leikkaus ja yhdiste perusjoukon kanssa 31 Joukko-opin laskusääntöjä A B = A B A B = A B A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) de Morganin säännöt Vaihdantalait Liitäntälait Osittelulait
65 Komplementti tulkittuna joukko-opilliseksi erotukseksi 34 Leikkaus ja yhdiste komplementin kanssa sekä de Morganin säännöt voidaan esittää myös muodossa A (X \ A) =, A (X \ A) = X, X \ (A B) = (X \ A) (X \ B), X \ (A B) = (X \ A) (X \ B). 33 Joukko-opin laskusääntöjä lisää Lause 10. (s. 59.) Olkoot A ja B perusjoukon X osajoukkoja. Tällöin A B A A B. Lause 11. (s. 59.) Olkoot A ja B perusjoukon X osajoukkoja. Tällöin A B B A.
66 Lause 12. (s. 60.) Olkoot A ja B perusjoukon X osajoukkoja. Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. (1) A B, (2) A B = A, (3) A B = B, (4) A \ B =. Riittää todistaa jokin sopiva implikaatioketju, esimerkiksi (1) (2) (3) (4) (1). 35
67 2 RELAATIOT Keskeiset asiat: 1 Järjestetty pari ja tulojoukko 2 Relaation käsite, relaation lähtö-, maali-, määrittely- ja arvojoukko 3 Relaation esitystavat, erityisesti digraafit 4 Käänteisrelaatio 5 Yhdistetty relaatio Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luvut 4.1 ja 4.2, s Järjestetty pari Joukkojen alkioiden järjestykseen ei kiinnitetä huomiota eikä saman alkion useampikertaisella esiintymisellä ole vaikutusta. Esimerkiksi: {1, 2, 3} = {3, 3, 3, 2, 2, 1}. Jono (x, y) on alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari, jossa x on ensimmäisenä ja y toisena. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niiden ensimmäiset alkiot keskenään ja toiset keskenään ovat samat: (x, y) = (u, v) x = u y = v.
68 4 Esimerkki {1, 2} = {2, 1}, (1, 2) (2, 1), {1, 1} = {1}, (1, 1) (1). Merkintä (x) tarkoittaa jonoa, jonka ensimmäisellä ja ainoalla paikalla on x. Yleisesti aina (x, x) (x) ja (x, y) = (y, x) x = y. 3 Järjestetty pari Mutta mitä tarkoittaa alkioiden järjestäminen jonoon? Määrittelemme myöhemmin yleisesti järjestetyn joukon käsitteen. Tämä määritelmä tarvitsee relaation ja edelleen järjestetyn parin käsitettä, joten meidän olisi ensin määriteltävä parin käsite. Sivuutamme kuitenkin tässä järjestetyn parin muodollsien määritelmän ja toteamme, että matemaattisesti kiinnostavinta järjestetyn parin määritelmässä on, että sen perusteella (x, y) = (u, v) x = u y = v.
69 6 Tulojoukko Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on A B = { (x, y) x A y B }. Siis A B koostuu kaikista niistä järjestetyistä pareista (x, y), joilla x A ja y B. Esimerkki Olkoon A = {1, 2, 3} ja B = {a, b}. Tällöin A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} B A = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)} 5 Tulojoukko Yleensä A B B A ja A B = B A, jos ja vain jos A = B A = B =.
70 8 Tulojoukko Joukkojen A 1,..., A n tulojoukko A 1 A n = { (x 1,..., x n ) x 1 A 1 x n A n }. Merkitsemme A n = n kertaa {}}{ A A A. 7 Tulojoukko Esimerkki Joukko R 2 on järjestettyjen reaalilukuparien joukko. Sen geometrinen vastine on taso. Joukko R 3 on järjestettyjen reaalilukukolmikoiden joukko. Sen geometrinen vastine on kolmiulotteinen avaruus. Joukko R n on järjestettyjen reaaliluku n:kköjen joukko. Sen vastine on n-ulotteinen avaruus.
71 10 Tulojoukon laskusääntöjä Tulojoukon muodostaminen ei noudata vaihdantalakia. Myöskään liitäntälaki ei ole voimassa, sillä jonot ( x, (y, z) ), ( (x, y), z ) ja (x, y, z) eivät ole samat. Lause 13. Tulojoukon muodostaminen noudattaa osittelulakia yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen suhteen (1) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B), (2) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B), (3) (A 1 \ A 2 ) B = (A 1 B) \ (A 2 B). Vastaavat tulokset ovat voimassa joukolle A (B 1 B 2 ) jne. 9 Relaation käsite Jos R X Y (X, Y ), niin sanomme, että R on relaatio joukkojen X ja Y alkioiden välillä. Lyhyemmin: R on joukkojen X ja Y relaatio. Relaatio R X Y : R on relaatio joukosta X joukkoon Y. X on relaation R lähtöjoukko ja Y maalijoukko.
72 12 Relaation käsite Kaikkein yksinkertaisimmat relaatiot joukkojen X ja Y alkioiden välillä ovat ja X Y. Jälkimmäisessä relaatiossa ovat keskenään kaikki alkiot x ( X ) ja y ( Y ), ja edellisessä eivät mitkään. Esimerkki. Relaatioita joukkojen N ja Z välillä: R 1 = {(0, 0), (1, 1)}, R 2 = {(0, 0), (1, 1), (2, 2),...}, R 3 = {(0, 0), (1, 1), (1, 1), (2, 2), (2, 2),...}, R 4 = {(3, 141), (5, 92653), (5, 89793), (2, 38)}. 11 Relaation käsite Merkitsemme xry tarkoittamaan sitä, että R(x, y) on voimassa eli että (x, y) R. Vastaavasti merkitsemme x Ry tarkoittamaan, että R(x, y) ei ole voimassa.
73 14 Relaation käsite Jos R on relaatio suurempi tai yhtäsuuri eli R = {(x, y) x y}, voidaan merkitä yhtäpitävästi: (x, y) R, R(x, y), xry, x y. 13 Relaation käsite Myös useampipaikkainen relaatio voidaan määritellä (ja myös yksipaikkainen). Yleisesti osajoukko R X 1 X 2 X n on joukkojen X 1, X 2,..., X n ( ) alkioiden välinen relaatio. R(x 1, x 2,..., x n ) on voimassa, jos ja vain jos (x 1, x 2,..., x n ) R.
74 16 Relaation määrittely- ja arvojoukko Olkoon R X Y, relaation R lähtöjoukko on siis X ja maalijoukko Y. Relaation R määrittelyjoukko on joukon X niiden alkioiden joukko, jotka ovat relaatiossa joukon Y jonkin alkion kanssa eli määrittelyjoukko M R = { x X y Y : xry }. Arvojoukko on joukon Y niiden alkioiden joukko, jotka ovat relaatiossa joukon X jonkin alkion kanssa eli arvojoukko A R = { y Y x X : xry }. 15 Relaation määrittely- ja arvojoukko Esimerkki Olkoon R {a, b, c, d, e, f, g, h, i} N, R = {(a, 1), (a, 5), (e, 5), (e, 9), (i, 9)}. Tällöin relaation R määrittelyjoukko on {a, e, i} ja arvojoukko {1, 5, 9}.
75 18 Relaatio joukossa X Jos relaation R lähtöjoukko ja maalijoukko ovat kumpikin X, niin sanomme, että R on joukossa X määritelty relaatio (tai joukon X relaatio). Esimerkki Joukon X identtinen relaatio on I = { (x, x) x X }. Jokainen alkio on identtisessä relaatiossa itsensä kanssa eikä minkään muun kanssa. Tämän relaation lähtö-, maali-, määrittely- ja arvojoukko on X. 17 Relaation esitystapoja Nuolikuvio Polkukuvio eli digraafi Esitys koordinaatistossa Esitys matriisina Ks.luentotehtävä Moodlessa
76 20 Käänteisrelaatio Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on yr 1 x xry. Siis R 1 = { (y, x) Y X (x, y) R }. 19 Käänteisrelaatio Nuolikuviossa ja digraafissa relaation käänteisrelaatiota esittävä kuvio saadaan kääntämällä nuolien suunnat. Esimerkki Olkoon R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)}. Sen käänteisrelaatio on R 1 = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (1, 3)}.
77 22 Käänteisrelaatio Esimerkki. Tarkastellaan (jossain ihmisten joukossa määriteltyä) relaatiota xry : x on y:n vanhempi (isä tai äiti). Käänteisrelaation R 1 sääntö on yr 1 x x on y:n vanhempi eli yr 1 x y on x:n lapsi. Kirjoittamalla x:n paikalle y:n ja y:n paikalle x:n saamme sen muotoon xr 1 y x on y:n lapsi. 21 Yhdistetty relaatio Olkoon R X Y ja olkoon S Y Z. Siis R:n maalijoukko on sama kuin S:n lähtöjoukko. Näiden relaatioiden yhdistetty relaatio R S on joukosta X joukkoon Z määritelty relaatio, jonka laki on Toisin sanoen x R S z y Y : xry ysz. R S = { (x, z) X Z y Y : (x, y) R (y, z) S }.
78 24 Yhdistetyn relaation kuvio Olkoon R X Y ja S Y Z. Kätevin tapa muodostaa yhdistettyä relaatiota R S esittävä kuvio on piirtää ensin relaatiota R esittävä nuolikuvio, jatkaa samaa kuviota oikealle lisäämällä relaatiota S esittävä nuolikuvio ja sitten yhdistää nuolella ne joukon X ja Z pisteet (x, z), joissa R-nuoli lähtee pisteestä x johonkin pisteeseen y Y, josta S-nuoli lähtee pisteeseen z. 23 Yhdistetty relaatio ei ole vaihdannainen Olkoon R = {(1, 2), (2, 3)} ja S = {(1, 1), (3, 3)}. Tällöin R S = {(2, 3)} ja S R = {(1, 2)}, joten tässä tapauksessa R S S R. Esimerkki. Olkoon xpy x on y:n poika xty x on y:n tytär Tällöin ja x P T z x on z:n tyttären poika x T P z x on z:n pojan tytär.
79 26 Yhdistetty relaatio Alkio x on relaatiossa R 2 alkion y kanssa, jos ja vain jos relaation R polkukuviossa x:stä päästään y:hyn kahden nuolen pituisella reitillä. Olkoon R R relaation xry : x on y:n vanhempi yhdistetyn relaation itsensä kanssa. Relaation R R sääntö on x R R z x on z:n isovanhempi 25 Yhdistetty relaatio Jos R on joukossa X määritelty relaatio, niin merkitsemme R n = R R (n kpl). Lisäksi on luonnollista määritellä R 0 = I (joukon X identtinen relaatio) ja R n = (R 1 ) n. Relaation potenssimerkintä on valitettavasti ristiriidassa tulojoukon potenssimerkinnän A n = A A (n kpl) kanssa. Jos siitä aiheutuu väärinkäsityksen vaara, niin relaation potenssia voidaan merkitä vaikkapa R (n).
80 28 Yhdistetty relaatio, esimerkki 1 Olkoon R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)}. Tällöin R 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} R 3 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} Siis R 2 = R 3 = R 4 =. 27 Yhdistetty relaatio, esimerkki 2 Olkoon S = {(1, 2), (2, 3), (3, 1))}. Tällöin S 2 = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)} S 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} S 4 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1))} = S Siis S = S 1+3k, k = 0, 1, 2,... S 2 = S 2+3k, k = 0, 1, 2,... S 3 = S 3+3k, k = 0, 1, 2,...
81 30 Yhdistetty relaatio, esimerkki 3 Olkoon R = {(1, 2), (2, 1), (3, 1)}. Tällöin R 1 = {(1, 2), (1, 3), (2, 1)} R R 1 = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} ja R 1 R = {(1, 1), (2, 2)}. 29 Yhdistetty relaatio Yleistämme nyt relaatioiden yhdistämisen määritelmän luopumalla R:n maalijoukon ja S:n lähtöjoukon samuudesta. Olkoon R relaatio joukosta X joukkoon Y ja olkoon S relaatio joukosta U joukkoon Z. Menettelemme kuten edellä, mutta meidän on vaadittava, että y Y U. Saamme eli x R S z y Y U : xry ysz R S = { (x, z) X Z y Y U : (x, y) R (y, z) S }.
82 32 Relaatioiden yhdistämisen liitännäisyys Relaatioiden yhdistäminen ei noudata vaihdantalakia, mutta noudattaa liitäntälakia. Lause 14. (s. 78.) Olkoon R relaatio joukosta X joukkoon Y, S relaatio joukosta Y joukkoon Z ja T relaatio joukosta Z joukkoon U. Tällöin R (S T ) = (R S) T. Liitäntälain perusteella voimme jättää sulut pois ja siis kirjoittaa R S T. Vastaavasti voimme menetellä, kun yhdistettäviä relaatioita on useampia. 31 Relaatioiden laskusääntöjä Relaatioille voidaan suorittaa joukko-opin laskutoimituksia. Esimerkki Tietyssä ihmisjoukossa X määritellään xiy x on y:n isä, xäy x on y:n äiti. Tällöin x Ä (I Ä) z x on z:n isoäiti.
83 34 Relaatioiden laskusääntöjä Lause 15. (s. 79.) Olkoot R ja S joukossa X määriteltyjä relaatioita. Tällöin (1) (R 1 ) 1 = R, (2) R S R 1 S 1, (3) (R S) 1 = R 1 S 1, (4) (R S) 1 = R 1 S 1, (5) (R S) 1 = S 1 R Polut digraafissa Olkoon R relaatio. Sanomme, että jono (x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n ) on polku relaatiossa R, jos x 0 Rx 1, x 1 Rx 2, x 2 Rx 3,..., x n 1 Rx n. Polun (x 0, x 1,..., x n ) pituus on n. Alkioita x 0, x 1,..., x n kutsutaan tässä yhteydessä solmuiksi.
84 Yhdistetty relaatio n kertaa itsensä kanssa Jos relaatiossa R on n:nnän pituinen polku (a, x 1, x 2,..., x n 1, b), niin R:ää esittävässä digraafissa päästään solmusta a solmuun b yksittäisiä nuolia pitkin kulkemalla ensin solmusta a solmuun x 1, sitten solmusta x 1 solmuun x 2 jne. vihdoin saapuen perille solmusta x n 1 solmuun b. Näin kuljetussa reitissä solmusta a solmuun b on siis n nuolta. Olkoon n Z +. Tällöin xr n y, jos ja vain jos relaatiossa R on solmusta x solmuun y polku, jonka pituus on n. 35
85 2 KUVAUKSET Keskeiset asiat: 1 Kuvauksen käsite 2 Nuolikuvio kuvauksen esitystapana 3 Kuva ja alkukuva, kuvajoukko ja alkukuvien joukko 4 Injektio, surjektio ja bijektio 5 Käänteiskuvaus 6 Yhdistetty kuvaus Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luvut 5.1, 5.2 ja 5.3 (s ). 1 Kuvaus Kuvaus eli funktio joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn yhden alkion.
86 4 Kuvauksen määritelmä Relaatio R X Y on siis kuvaus, jos x X : y Y : (x, y) R, (1) ja (x, y 1 ) R (x, y 2 ) R y 1 = y 2. (2) 3 Kuvauksen nuolikuvio Relaatio on kuvaus, jos relaatiota esittävässä nuolikuviossa jokaisesta lähtöjoukon alkiosta lähtee täsmälleen yksi nuoli.
87 6 Kuva ja alkukuva Relaatioita, jotka ovat kuvauksia, on tapana merkitä pienillä kirjaimilla f, g, h jne. Kun relaatio f on kuvaus ja (x, y) f, merkitään y = f (x). Joskus tässä yhteydessä käytetään myös merkintää x f y tai vain x y. y on funktion f arvo muuttujan eli argumentin arvolla x. y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Jokaisella x X on siis täsmälleen yksi kuva. Alkiolla y Y voi sen sijaan olla alkukuvia yksi, useampia tai ei yhtään. 5 Kuvauksen täsmällinen määritelmä Kuvaukset f X Y ja g U V ovat samat, jos X = U, Y = V sekä f ja g ovat tulojoukkojen osajoukkoina samat. Täsmällisesti ottaen siis kuvaus on järjestetty kolmikko (X, Y, f ), jossa relaatio f toteuttaa ehdot x X : y Y : f (x) = y, x 1, x 2 X : x 1 = x 2 f (x 1 ) = f (x 2 ). Ottamalla jälkimmäisestä ehdosta kontrapositio saadaan ehkä havainnollisempi versio x 1, x 2 X : f (x 1 ) f (x 2 ) x 1 x 2.
88 8 Kuvauksen täsmällinen määritelmä Esimerkki Olkoon f = {(1, 1), (2, 2)}. ({0, 1}, N, f ) ei ole kuvaus, (N, N, f ) ei ole kuvaus, ({1, 2}, N, f ) on kuvaus, ({1, 2}, {1, 2}, f ) on kuvaus, kuvaukset ({1, 2}, N, f ) ja ({1, 2}, {1, 2}, f ) eivät ole samoja. 7 Merkintä kuvaukselle Jos f on kuvaus joukolta X joukkoon Y, niin merkitsemme f : X Y. tai myös X f Y. Tällöin lähtöjoukko X on kuvauksen määrittelyjoukko (joukkoa Y kutsutaan maalijoukoksi.
89 10 Arvojoukko Kuvauksen f arvojoukko A f on määrittelyjoukon X alkioiden kuvien joukko: A f = f (X ) = { f (x) x X }. Ts. f (X ) = { y Y x X : y = f (x) }. Siis aina f (X ) Y. Nämä joukot voivat olla samoja, mutta eivät välttämättä. 9 Esimerkki Olkoon X = {1, 2, 3, 4}, Y = N ja f = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}. Siis f on kuvaus f : X Y. Voimme merkitä myös f (1) = 3, f (2) = 5, f (3) = 7, f (4) = 9.
90 12 Kuvajoukko ja alkukuvien joukko Olkoon f : X Y,A X,B Y. Joukon A kuvajoukko f (A) = {f (x) x A}. Joukon B alkukuvien joukko on f 1 (B) = {x f (x) B}. Kun f : X Y, niin f (X ) on siis kuvauksen f arvojoukko ja aina f 1 (Y ) = X. 11 Kuvajoukko ja alkukuvien joukko, esimerkki Olkoon f : {1, 2, 3, 4, 5} {a, b, c, d, e}, f = {(1, a), (2, a), (3, c), (4, e), (5, e)}. Tällöin f (X ) = {a, c, e}, f ({1, 2, 3}) = {a, c}, f ({1}) = {a} f 1 ({Y }) = X, f 1 ({a, b, c}) = {1, 2, 3}, f 1 ({a}) = {1, 2}, f 1 ({b}) =.
91 14 Esimerkkejä kuvauksista Yksinkertaisimmat kuvaukset ovat identtinen kuvaus f : X X : f (x) = x ja vakiokuvaus f : X Y : f (x) = c, missä c Y. Kuvauksen relaatiomääritelmää on arvosteltu. Nimittäin sovelluksissa funktiolle on luonteenomaista tietty dynaamisuus. 13 Esimerkkejä kuvauksista Funktion sääntö voidaan joskus esittää analyyttisena lausekkeena, esimerkiksi x e tan(1/x). Mutta mikä tässä on määrittelyjoukko, mikä maalijoukko? Olkoon f : R R: f (x) = x 2 + 1, g : R R + : g(x) = x 2 + 1, h : C C: h(x) = x Vaikka kuvausten f, g ja h sääntö onkin sama, ne ovat eri kuvauksia.
92 16 Esimerkkejä kuvauksista Saattaa olla myös muunlainen algoritmi funktion laille. Esimerkkejä: Itseisarvo f : R R: f (x) = x eli f (x) = { x kun x 0 x kun x < 0 kattofunktio x = pienin kokonaisluku, joka x lattiafunktio x = suurin kokonaisluku, joka x Kaikilla funktioilla ei ole algoritmilla ilmaistavaa sääntöä. 15 Järjestetty jono funktiona Järjestetty jono (x 1, x 2,..., x n ) X n voidaan määritellä kuvauksena {1, 2,..., n} X. Vastaavasti voidaan määritellä ääretön jono (x 1, x 2, x 3,...) kuvauksena Z + X.
Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotAlkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.
ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa
LisätiedotOlkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on. yr 1 x xry.
Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on yr 1 x xry. Siis R 1 = { (y, x) Y X (x, y) R }. Esimerkki. Olkoon R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)}.
LisätiedotOlkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on. yr 1 x xry.
Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on yr 1 x xry. Siis R 1 = { (y, x) Y X (x, y) R }. Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotAlkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.
Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotPredikaattilogiikkaa
Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
LisätiedotMatematiikan peruskäsitteitä
2 Matematiikan peruskäsitteitä Nimensä mukaisesti kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
Lisätiedot1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
LisätiedotTotuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.
Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}
LisätiedotSanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.
Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan
Johdatus yliopistomatematiikkaan Lotta Oinonen 1. maaliskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Perusasioita joukoista................................ 1 1.1 Merkintöjä..................................
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotLauselogiikka Tautologia
Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotDiskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1
811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan
Lisätiedot3. Predikaattilogiikka
3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotFI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:
LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMatemaatiikan tukikurssi
Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon
LisätiedotLogiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotJorma Merikoski Ari Virtanen Pertti Koivisto. Johdatus diskreettiin matematiikkaan
Jorma Merikoski Ari Virtanen Pertti Koivisto Johdatus diskreettiin matematiikkaan 2 c Jorma Merikoski, Ari Virtanen, Pertti Koivisto Esipuhe Monisteemme Diskreetti matematiikka I (kirjallisuusluettelossa
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotJoukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet
TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotT Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A
Lisätiedot1 Perusasioita joukoista
1 Perusasioita joukoista 1.1 Merkintöjä Joukko voidaan määritellä luettelemalla siihen kuuluvat alkiot. Esimerkiksi voidaan merkitä = { 2, 1, 0, 1, 2}. Tästä merkinnästä nähdään, mitkä luvut ovat joukon
LisätiedotPikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi. 1. Kurssikerta ( )
Matemaattisen analyysin tukikurssi 1. Kurssikerta (16.9.2019) Yleistä Tukikurssista - 1. periodi: maanantaisin klo 14:15-15:45 huoneessa SH2 yht. 5 kertaa. Tenttiviikolla ei tukikurssia. 2. periodin ajat
LisätiedotKesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset
Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotTodistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.
Todistusteoriaa Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriassa annetaan joukko aksioomia ja päättely- sääntöjä,
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotOpintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Lammi Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2018 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
LisätiedotT Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotKirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:
1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Lisätiedot