Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1"

Transkriptio

1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

2 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim. digitaalipiirien suunnittelussa; kontrollirakenteiden ehtoina ohjelmoinnissa; tietokantakyselyissä; tietoturvassa, esim. pääsynvalvonnan mallit asiantuntijajärjestelmissä: esim.tietämyspohjaiset ohjelmistot; ja formaalissa spesifioinnissa ja verifioinnissa 2

3 Propositiot propositiot ovat logiikan keskeisiä rakenneosia propositio on väittämä, joka on joko tosi (totuusarvo 1 tai T) tai epätosi (totuusarvo 0 tai F) esimerkkejä propositioista: 'Canberra on Australian pääkaupunki.' 'Maa kiertää aurinkoa.' 'Isaac Newton syntyi vuonna 1642.' '5 on suurempi kuin 7.' 'Jokainen kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku voidaan ilmaista kahden alkuluvun summana' 3

4 Mitkä seuraavista ilmaisuista ovat propositioita? I. Jää kelluu vedessä. II. Kiina on Euroopassa III = 4 IV = 5 V. Hyvää päivää! VI. Tee kotitehtäväsi! 4

5 Propositiot (2) ilmaisuja, jotka eivät ole propositioita 'Minne menet?' 'Tule tänne!' 'Tämä lause on epätosi.' yllä 1. ilmaisu on kysymys, 2. käsky. Kolmas viittaa itseensä ja johtaa ristiriitaan tai paradoksiin. jos ilmaisu on tosi, sen sisältämä väittämä johtaa ristiriitaan ilmaisun väitteen kanssa; jos ilmaisu taas on epätosi, päättelemme, että se on tosi ja olemme jälleen ristiriidassa ilmaisun väitteen kanssa tarkastellaan vielä ilmaisuja: 'Eläirasvojen syönti ei vaikuta kolesteroliin.' 'Olut on terveellistä.' 'x<8' 5

6 Predikaatit predikaatti on ilmaisu, joka sisältää yhden tai useampia muuttujia; ei ole propositio mutta siitä tulee propositio, kun siinä esiintyvien muuttujien arvot sopivasti sidotaan Huom. Tietokoneohjelma (tai algoritmi) voi sisältää predikaattityyppiä (esim. 'x < 8') olevan lausekkeen mm. kontrollirakenteissa. Tällöin sen totuusarvo voidaan määrittää syötteen ja ohjelman sen hetkisen tilan perusteella, joten sitä voidaan kohdella propositiona. 6

7 Logiikan propositiot aikaisemmin esitetyt propositiot ('Canberra on Australian pääkaupunki.') eivät muodollisessa logiikassa kiinnosta; tarvitaan yleisempi näkökulma tarkastellaan propositiota 'Jos Anna ja Pekko eivät molemmat ole onnellisia, niin joko Anna ei ole onnellinen tai Pekko ei ole onnelllinen.' yo. propositio on tosi loogisen rakenteensa perusteella; mikä tahansa ilmaisu, jolla on sama looginen rakenne on tosi; esimerkiksi 'Jos luvut a ja ja b eivät molemmat ole rationaalilukuja, niin joko a ei ole rationaaliluku tai b ei ole rationaaliluku.' 7

8 Propositioiden rakenne propositiolaskenta tutkii propositioiden rakennetta edell. kalvon propositiot ovat yhdistettyjä propositioita; ne muodostuvat atomisista propositioista loogisia operaatioita eli konnektiiveja soveltamalla konnektiivit vastaavat algebran laskutoimituksia (atomisia) propositioita kuvataan propositiomuuttujilla propositiomuuttujia merkitään pienillä kirjaimia p,q ja r, joskus alaindeksillä varustettuna 8

9 Loogiset operaatiot konnektiivi symboli ja (konjunktio) tai (disjunktio) ei (negaatio) jos niin (implikaatio) jos ja vain jos (ekvivalenssi) 9

10 Totuustaulut loogisten operaatioiden toiminta määritellään totuustaulujen avulla negaatio operaatiota lukuunottamatta (joka on yksipaikkainen) konnektiivit ovat kaksipaikkaisia loogiset operaatiot määritellään totuustauluilla antamalla konnektiivissa esiintyville propositiomuuttujille kaikki mahdolliset arvot 10

11 Konjunktio (p q) p q p q T T T T F F F T F F F F 11

12 Tarkastellaan seuraavien ilmaisujen totuusarvoja I. Jää kelluu vedessä ja =4. II. Jää kelluu vedessä ja =5. III. Kiina on Euroopassa ja =4. IV. Kiina on Euroopassa ja =5. I. tosi II. epätosi III. epätosi IV. epätosi 12

13 Disjunktio (p q) p q p q T T T T F T F T T F F F 13

14 Tarkastele seuraavien ilmaisujen totuusarvoja I. Jää kelluu vedessä tai =4. II. Jää kelluu vedessä tai =5. III. Kiina on Euroopassa tai =4. IV. Kiina on Euroopassa tai =5. I. tosi II. tosi III. tosi IV. epätosi 14

15 Disjunktiosta suomen kielessä sanaa tai käytetään kahdessa merkityksessä jos tarjolla on teetä tai kahvia on tarkoitus (tavallisesti) ottaa joko teetä tai kahvia, mutta ei molempia; kysessä on eksklusiivinen eli poissulkeva tai jos taas alennus on voimassa, jos henkilö on opiskelija tai työtön, lienee se voimassa myös jokaiselle joka on sekä opiskelija että työtön; kyseessä on inklusiivinen eli sisältävä tai määritelmän mukaisesti disjunktio on inklusiivinen 15

16 XOR operaatio (eksklusiivinen tai) p q p q T T F T F T F T T F F F 16

17 Negaatio ( p ) p p T F F T 17

18 Tarkastellaan seuraavia ilmaisuja I. Jää kelluu vedessä. II. Ei ole totta, että jää kelluu vedessä. III. Jää ei kellu vedessä. IV =5. V. Ei ole totta, että = 5. VI

19 Vaihtoehtoisia merkintöjä loogisille operaatioille p & q, p q, pq ilmaisulle p q p + q ilmaisulle p q p, p ilmaisulle p 19

20 Implikaatio ( p q ) p q p q T T T T F F F T T F F T 20

21 Tarkastellaan seuraavaa ilmaisua Jos saat loppukokeesta vähintään 15 pistettä, läpäiset kurssin mikäli saat loppukokeesta vähintään 15 pistettä ja läpäiset kurssin, on ilmaisu tosi mikäli saat loppukokeesta alle 15 pistettä ja läpäiset kurssin, on ilmaisu niinikään tosi jos saat loppukokeesta alle 15 pistettä etkä läpäise kurssia, on ilmaisu edelleen tosi ilmaisu on epätosi ainoastaan silloin jos saat loppukokeesta ainakin 15 pistettä etkä läpäise kurssia 21

22 Ekvivalenssi (p q) p q p q T T T T F F F T F F F T 22

23 Yhdistetyt propositiot 'Joko tietokoneohjelmani toimii ja siinä ei ole virheitä tai tietokoneohjelmani sisältää virheitä' Formaalisti: p : 'tietokoneohjelmani toimii' q : 'tietokoneohjelmassani sisältää virheitä' Yo propositio symbolisessa muodossa loogisena ilmaisuna (p q) q Huom! Sulkeilla on väliä! (p q) q ei ole sama kuin p ( q q ) 23

24 Proposition (p q) q ilmaisupuu q p q 24

25 Konnektiivien vaikutusalueet kasvavassa järjestyksessä, sekä,, propositio p q r s p r tarkoittaa propositiota {[( p) q ] r } [(s p) ( r)] eli siis suoritusjärjestys: p, r, ( p) q, s p, [( p) q ] r, (s p) ( r), {[( p) q ] r } [(s p) ( r)] 25

26 Ilmaisun (p q) q totuustaulu p q q p q (p q) q T T F F T T F T T T F T F F T F F T F F 26

27 Esim. yhdistetystä propositiosta 'Jos Anna ja Pekko eivät molemmat ole onnellisia, niin joko Anna ei ole onnellinen tai Pekko ei ole onnellinen' Formaalisti: p : 'Anna on onnellinen' q : 'Pekko on onnellinen' Yo propositio symbolisessa muodossa (p q) p q 27

28 Ilmaisun (p q) p q totuustaulu p q p q (p q) p q p q (p q) p q T T T F F F F T T F F T F T T T F T F T T F T T F F F T T T T T 28

29 Lauselogiikan ilmaisut Lauselogiikan ilmaisut voidaan induktiivisesti määritellä seuraavasti: 1. Jokainen propositiomuuttuja on lauselogiikan ilmaisu. 2. Jos p ja q ovat lauselogiikan ilmaisuja, niin ( p), (p q), (p q), (p q) ja (p q) ovat lauselogiikan ilmaisuja. 3. Ainoastaan sellaiset rakenteet, jotka saadaan sääntöjä 1 ja 2 äärellisen monta kertaa soveltamalla, ovat lauselogiikan ilmaisuja. Huom. Lauselogiikan ilmaisun totuustaulu määräytyy täysin siinä esiintyvien propositiomuuttujien ja loogisten operaatioiden perusteella. 29

30 Tautologiat ja ristiriidat lauselogiikan ilmaisu, joka on tosi kaikilla propositiomuuttujien arvoilla on tautologia merkitään mielivaltaista tautologiaa symbolilla T 0 esim. p p on tautologia lauselogiikan ilmaisu, joka on epätosi kaikilla propositio-muuttujien arvoilla on ristiriita merkitään mielivaltaista ristiriitaa symbolilla F 0 esim. p p on ristiriita 30

31 Tautologia ja ristiriita: totuustaulut p p p p p p p p T F T T F F F T T F T F 31

32 Looginen ekvivalenssi 'Ei ole totta, että syötetiedosto ja tulostetiedosto eivät kumpikaan ole tallennettu kovalevylle.' ekvivalentti muoto 'Joko syötetiedosto tai tulostetiedosto on tallennettuna kovalevylle.' Formaalisti p : 'syötetiedosto on tallennettuna kovalevylle' q : 'tulostetiedosto on tallennettuna kovalevylle' 1. propositio: ( p q ) 2. propostio: p q 32

33 Ilmaisujen ( p q ) ja p q yhteinen totuustaulu p q p q p q ( p q) p q T T F F F T T T F F T F T T F T T F F T T F F T T T F F 33

34 Looginen ekvivalenssi (2) kaksi samoista muuttujista koostuvaa lauselogiikan p ja q ovat loogisesti ekvivalentit (merk. p q ) jos ne saavat samat totuusarvot kaikilla propositiomuuttujien totuusarvojen valinnoilla siten p ja q ovat loogisesti ekvivalentit täsmälleen silloin, kun p q on tautologia (tai että ilmaisuilla p ja q on sama totuustaulu 34

35 Looginen seuraus olkoot p ja q kaksi samoista muuttujista koostuvaa loogista ilmaisua; tällöin ilmaisu q seuraa loogisesti ilmaisusta p (merk. p q) jos kaikilla propositiomuuttujien totuusarvojen valinnoilla siitä, että p on tosi seuraa, että q on tosi siten q on looginen seuraus p:stä täsmälleen silloin, kun siitä, että p:n totuustaulussa on jollakin rivillä arvo T, aina seuraa, että samalla rivillä on myös q:n totuustaulussa arvo T tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että p q on tautologia 35

36 Tulkinnoista huomaa 'ekvivalenssi' operaation (vast. implikaatio operaation ) ja käsitteen looginen ekvivalenssi (vast. looginen seuraus ) ero p q (vast. p q) on looginen ilmaisu, joka on muodostettu loogisista ilmaisuista p ja q p q (vast. p q) kertoo jotakin ilmaisujen p ja q suhteesta; tapauksessa p q ilmaisujen p ja q totuustaulut ovat samat, tapauksessa p q on voimassa se, että jos p on tosi, niin myös q on tosi 36

37 Konversio ja kontrapositio ilmaisun p q konversio on q p ilmaisun p q kontrapositio on q p p q p q q p p q q p T T T T F F T T F F T F T F F T T F T F T F F T T T T T 37

38 Totuudenpuhuja/valehtelija ongelma Kaukaisella saarella asuu kahdentyyppisiä alkuasukkaita sellaisia, jotka aina puhuvat totta; ja sellaisia, jotka aina valehtelevat. On mahdollista, että saarelle on haudattu aarre; jokainen saaren asukas tietää onko näin vai ei. Tulet saarelle ja vastaasi kävelee alkuasukas. Sinun täytyy yhdellä kysymyksellä (johon vastaus on 'kyllä' tai 'ei') selvittää onko saarelle haudattu aarre. Miten asetat kysymyksen? 38

39 Logiikan lait usein p halutaan korvata sell. q, että p q loogisesti ekvivalentit ilmaisut ovat logiikan lakeja (kts. seur. kalvo) 1. laki: operaatio saadaan poistetuksi 2. laki: operaatio saadaan poistetuksi 3. laki: tuplanegaatio saadaan poistetuksi loput lait esitetään duaalilakinsa kanssa totea lain pätevyys totuustaulun avulla! huomaa analogia lukujen algebran kanssa (=, ), (, ), (+, ), (1, T), (0, F) 39

40 Logiikan lait 40

41 ( p q) p q p q p q p q ( p q) p q T T F F T F F T F F T F T T F T T F F T T F F T T F T T 41

42 [(p q) q ] p on tautologia [(p q) q ] p [( p q) q ] p [ q ( p q)] p [( q p) ( q q)] p (1. distribut. laki) [( q p) F 0 ] p (1. inversiolaki) ( q p) p ( q p) p (q p) p q (p p) (2. assosiat. laki) q T 0 (2. inversiolaki) (implikaatiolaki 2. kertaa) (1. kommutat. laki) (2. identtisyyslaki) (1. de Morganin laki) (kaksoiskielt. laki kahdesti) T 0 (2. annihilaatiolaki) 42

43 Loogisia implikaatioita p q p (supistuslaki) p p q (laajennuslaki) myös loogisia implikaatioita voidaan käyttää lakeina Esim. Osoita ilman totuustaulua, että p q p q p q (p q) (q p) p q (ekvivalenssilaki) (supistuslaki) 43

44 Esimerkki todistamisesta onko seuraava päättely oikea? 'Tiedosto on binaaritiedosto tai tekstitiedosto. Jos se on binaaritiedosto, ohjelmani ei hyväksy sitä. Ohjelmani hyväksyy tiedoston. Siispä se on tekstitiedosto.' päättely koostuu oletuksista (kolme ensimm. lausetta) ja johtopäätöksestä johdumme tarkastelemaan tyyppiä P 1 P 2 P 3 Q olevaa lauseketta, jossa P 1, P 2 ja P 3 ovat oletuksia ja Q johtopäätös 44

45 Esimerkki todistamisesta (2) mikäli päättely on oikea, sen tulisi olla tautologia tautologisuus voidaan todeta kahdella tavalla laatimalla totuustaulu käyttämällä logiikan lakeja määritellään propositiot p : 'tiedosto on binaaritiedosto' q : 'tiedosto on tekstitiedosto' r : 'ohjelmani hyväksyy tiedoston' tällöin saamme loogiset ekvivalenssit P 1 p q, P 2 p r, P 3 r ja Q q 45

46 Esimerkki todistamisesta (3) päättely on oikea, jos [( p q ) ( p r ) r ] q on tautologia totuustaulu: 8 riviä (miksi) ja saman verran sarakkeita yksinkertaistus logiikan laeilla [( p q ) ( p r ) r ] q [( p q ) ( p r ) r ] q [( p q ) r ( p r )] q {( p q ) [( r p) (r r )]} q {( p q ) [( r p) F 0 ]} q [( p q ) r p] q 46

47 Esimerkki todistamisesta (4) [ p ( p q ) r ] q {[( p p) ( p q )] r } q {[F 0 ( p q )] r } q ( p q r ) q [q ( p r )] q q ( p r ) q q q ( p r ) T 0 ( p r ) T 0 kyseessä tautologia, siis päättely oikea 47

48 Esimerkki Onko seuraava päättelyketju oikea? Jos Risto saa opinto-ohjaajan toimen ja työskentelee ahkerasti, hän saa palkankorotuksen. Jos Risto saa palkankorotuksen, hän ostaa uuden läppärin. Risto ei osta uutta läppäriä. Siispä joko Risto ei ole saanut opinto-ohjaajan toimea tai hän ei ole työskennellyt ahkerasti. 48

49 Ratkaisu Merkintöjä: p : Risto saa opinto-ohjaajan toimen q : Risto työskentelee ahkerasti r : Risto saa palkankorotuksen s : Risto ostaa uuden läppärin p q r r s s p q 49

50 Ratkaisu onko (p q r ) (r s ) s p q tautologia? ( p q r ) ( r s ) s p q ( p q r) ( r s ) s p q ( p q r) ( r s ) p q ( p q ) ( r s ) p q ( p q ) ( r s ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( r s ) T 0 ( r s ) T 0 kyseessä tautologia, siis päättely oikea 50

51 Loogisesta päättelystä Päättely on rakenne (1) p 1, p 2,..., p n, Ⱶ q missä loogiset ilmaisut p 1, p 2,..., p n ovat oletuksia (eli premissejä) ja looginen ilmaisu q on johtopäätös. Päättely (1) johdonmukainen (eli (loogisesti) oikea eli validi), jos looginen ilmaisu p 1 p 2,... p n, q tautologia (eli q on looginen seuraus ilmaisusta p 1 p 2,... p n Tämä on tietysti yhtäpitävää sen kanssa, että q on tosi, jos ilmaisut p 1,p 2,..., p n ovat tosia. 51

52 Esimerkki Intuitiivisen logiikan perusteella seuraava järkeily on tosi: 'Jos p:stä seuraa q ja q:sta seuraa r, niin p:stä seuraa r Osoita päättely loogisesti oikeaksi. Ratkaisu. Meidän täytyy osoittaa, että päättely p q, q r Ⱶ p r on johdonmukainen. Edellä esitetyn nojalla riittää osoittaa, että (p q) (q r) (p r) on tautologia. 52

53 Predikaattilogiikka prop. laskenta ei tehoa sell. loogisiin rakenteisiin, jotka esiintyvät atomisten propositioiden sisällä erityisesti se ei riitä muuttujia sisältävien väitteiden käsittelyyn tarkastellaan väitteitä 1. 'Kaikki parilliset reaaliluvut ovat kokonaislukuja. Luku 8 on parillinen luku. Siispä 8 on kokonaisluku.'; ja 2. 'Ei ole totta, että kaikki alkuluvut ovat parittomia. Siksi täytyy olla olemassa ainakin yksi parillinen alkuluku.' 53

54 Predikaattilogiikka (2) olkoon p propositio 'kaikki parilliset reaaliluvut ovat kokonaislukuja', q propositio 'luku 8 on parillinen'; ja r propositio 'luku 8 on kokonaisluku' tällöin väite 1 saa muodon p q r, joka on epätosi, jos p ja q ovat tosia, mutta r epätosi olkoon p' propositio 'kaikki alkuluvut ovat parittomia', q' propositio 'on olemassa ainakin yksi parillinen alkuluku' väite 2 saa muodon p' q', joka on epätosi, jos sekä p' että q' ovat epätosia 54

55 Predikaatit ilmaisu on predikaatti, jos se sisältää yhden tai useampia muuttujia se ei ole propositio, mutta siitä tulee propositio, kun siinä esiintyvien muuttujien arvot sopivasti sidotaan predikaatti, jossa esiintyy täsmälleen n eri muuttujaa on n paikkainen predikaatti kukin predikatin muutuja saa arvoja omassa määrittelyjoukossaan esim. ' x < 5 ' on (yksipaikkainen) predikaatti; x on muuttuja, jonka määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko 55

56 Predikaatit (2) jos korvaamme muuttujan x jollakin reaaliluvulla, saamme proposition, joka on joko toi tai epätosi 3 < 5 on tosi 7 < 5 on epätosi predikaatin muuttujia voidaan sitoa myös kvanttoreilla: universaalikvanttorilla (luetaan 'kaikilla') eksistenssikvanttorilla (luetaan 'on olemassa') tarkastellaan predikaattia 'x < 7 x > 5'; tällöin x [x < 7 x > 5] tulkitaan: 'kaikilla x:n reaalilukuarvoilla on x < 7 tai x >5' 56

57 Predikaatit (3) edelleen predikaatti x [x >5] tulkitaan 'on olemassa sellainen x:n reaalilukuarvo, että x > 5' yleisemmin: jos P(x) on yksipaikkainen predikaatti, jonka muuttujan x määrittelyjoukko on U, tulkitaan x P(x): 'kaikilla a U on P(a) tosi' ; ja x P(x): 'on olemassa sellainen a U, että P(a) on tosi' merkitsemme seuraavassa predikaatteja isoilla kirjaimilla P, Q ja R (tarvittaessa alaindekseillä varustettuna) 57

58 Predikaatit (4) predikaattia P, joka sisältää n muuttujaa x 1, x 2,..., x n merkitään P(x 1, x 2,..., x n ) oletamme, että muuttujien määrittelyjoukot ovat aina epätyhjiä kvanttorien sijoittaminen predikaattiin tapahtuu kirjoitusjärjestyksessä; oletetaan, että x:n määrittelyjoukko on U ja y:n määrittelyjoukko V x y P(x,y) tarkoittaa x( y P(x,y) ) eli 'jokaista (x:n arvoa) x 0 U kohti on olemassa sellainen (y:n arvo) y 0 V, että P(x 0, y 0 ) on tosi' 58

59 Universaali ja eksistenssikvanttorin yhteys tarkastellaan propositiota (1) 'Kaikki joutsenet ovat mustia' olkoon P(x) predikaatti: 'joutsen x on musta', voimme kirjoittaa (1):n muodossa: x P(x) sovelletaan negaatiota prop. (1) ja saadaan: (2) 'Kaikki joutsenet eivät ole mustia' formaalisti: [ x P(x)] prop. (2) void. yhtäpitävästi esittää muodossa (3) 'On olemassa ainakin yksi joutsen, joka ei ole musta' formaalisti: x [ P(x)] 59

60 Universaali ja eksistenssikvanttorin yhteys (2) olemme kehittäneet logiikan säännön [ x P(x)] x [ P(x)] joka sanoo seuraavan: 'muotoa x P(x) olevan proposition negaatio saadaan vaihtamalla universaalikvanttori eksistenssikvanttoriksi ja ottamalla predikaatin negaatio' vastaavasti [ x P(x)] x [ P(x)] eli 'muotoa x P(x) olevan proposition negaatio saadaan vaihtamalla eksistenssikvanttori universaalikvanttoriksi ja ottamalla predikaatin negaatio' 60

61 Kvanttorien ja järjestyksellä on väliä! esitä symbolisessa muodossa seur. propositiot 'Jokaista lukua x kohti on olemassa sellainen luku y, että y = x+1.' 'On olemassa sellainen luku y, että jokaisella luvulla x on y = x+1.' olkoon P(x,y) predikaatti: y = x+1 1. propositio on: x yp(x,y) 2. propositio on: y xp(x,y) havaitsemme, että 1. propositio on tosi: jokaista lukua kohti on olemassa sitä yhtä suurempi luku; 2. propositio on epätosi: ei taatusti ole olemassa yhtä ainoaa sellaista lukua, joka on yhtä suurempi kuin kaikki muut luvut 61

62 'Jokaista lukua x kohti on olemassa sellainen luku y, että y < x ' symbolisesti x y: y < x Teht. Kirjoita edellisen proposition negaatio ja yksinkertaista se. x y ( y < x ) x [ y ( y < x )] x [ y ( y < x )] x y ( y x ) sama suomeksi: 'On olemassa sellainen luku x, että jokaisella luvulla y on voimassa y x.' huom. alkuperäinen propositio on tosi, sen negaatio on epätosi 62

63 'Ei ole totta, että kaikki alkuluvut ovat parittomia. Siksipä on olemassa ainakin yksi parillinen alkuluku' olkoon P(x) predikaatti: 'luku x on alkuluku' ja Q(x) predikaatti: 'luku x on pariton' propostio: 'kaikki alkuluvut ovat parittomia' formaalisti: x [P(x) Q(x)] (varmistu asiasta) propositio 'ei ole totta, että kaikki alkuluvut ovat parittomia' formaalisti: x [P(x) Q(x)] x [P(x) Q(x)] x { [ P(x) Q(x)] } x { [ P(x) Q(x)] } x [ P(x) Q(x)] 63

64 'Ei ole totta, että kaikki alkuluvut ovat parittomia. Siksipä on olemassa ainakin yksi parillinen alkuluku' (2) x [ P(x) Q(x)] x [ P(x) Q(x)] kehitelmän viimeinen rivi suomeksi: 'On olemassa ainakin yksi sellainen luku, joka on alkuluku ja ei ole pariton' eli yhtäpitävästi 'On olemassa ainakin yksi parillinen alkuluku' 64

65 Matemaattisesta todistamisesta todistamisella on keskeinen rooli matematiikassa matematiikan teoria perustuu aksiomeihin eli postulaatteihin, joita pidetään absoluuttisesti totta olevina väittäminä esim. teorioista: euklideen geometria, lukuteoria väittämistä voidaan johtaa uusia väittämiä loogisesti päättelemällä (modus ponens riittää pitkälle) teoreema on totta oleva väittämä, joka voidaan johtaa aksiomeista loogisesti päättelemällä 65

66 Matemaattisesta todistamisesta (2) teoreeman todistus on perustelu, joka osoittaa, että teoreema on tosi todistus etenee askelittain äärellisenä jonona väittämiä, joista jokainen on joko aksiomi, aikaisempi teoreema tai looginen seuraus todistuksen aikaisemmista askelista matem. todistus voidaan tehdä täysin muodollisesti propostio- ja predikaattiligiikkaa käyttäen; jokaisessa askelessa käytetään tällöin jotakin päättelysääntöä; näin. tapahtuu esim. mekaanisessa teoreemantodistamisessa tietokoneella 66

67 Matemaattisesta todistamisesta (3) todellisuudessa todistukset kuitenkin esitetään puhekielen lauseiden ja matemaattisten merkintöjen sekotuksena em. todistustapa tulee tarvittaessa voida palauttaa täysin tarkaksi esitykseksi todistusten konstruointi vaatii harjaannusta ja erilaisten tekniikoiden hallintaa; jokaiseen tapaukseen sopivaa tekniikkaa ei ole olemassa, vaan uusissa tilanteissa joudutaan kokeilemaan useita vaihtoehtoja ja kehittämään uusia menetelmiä 67

68 Todistustekniikoita muotoa P Q olevan teoreeman todistaminen jos voidaan osoittaa, että P on epätosi, on P Q tosi jos voidaan osoittaa, että Q on aina tosi, on P Q myös tosi (triviaali todistus) suora todistus: oletetaan, että jos P on tosi, niin siitä väistämättä seuraa, että Q on tosi epäsuora todistus: osoitetaan, että (P Q):n kontrapositio Q P on tosi; oletetaan, että Q on tosi ja että tästä väistämättä seuraa, että P on tosi todistus ristiriidan avulla: oletetaan, että P ja Q ovat molemmat tosia ja johdetaan ristiriita 68

69 Todistustekniikoita (2) kun halutaan todistaa, että jokin kaikkia alkioita koskeva yleinen väite ei ole tosi, tämä voidaan usein tehdä vastaesimerkin avulla etsimällä yksi sellainen alkio, jolle väite ei päde muodollisesti: halutaan osoittaa, että x P(x) koska x P(x) x P(x), riittää löytää sellainen x 0, että P(x 0 ) 69

70 Esimerkkejä todistamisesta Esim. 13. Osoita, että kahden parillisen kokonaisluvun summa on aina parillinen Esim 14. Osoita, että jos x on muotoa 3k+1 (missä k on kokonaisluku) oleva luku, niin x 2 on myös tätä muotoa. Esim 15. Olkoon x kokonaisluku. Osoita, että jos x 2 on parillinen, niin x on parillinen. Esim 16. Olkoot x, y ja z positiivisia kokonaislukuja. Osoita, että jos xy = z 2 ja x < z, niin y > z. Esim 17. Osoita vääräksi seuraava väite. Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää muodossa x 2 + y 2, missä x ja y ovat luonnollisia lukuja. 70

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

3. Predikaattilogiikka

3. Predikaattilogiikka 3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Lauselogiikka Tautologia

Lauselogiikka Tautologia Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat 16. 6 Predikaattilogiikkaa 31. 8 Relaatiot 42.

1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat 16. 6 Predikaattilogiikkaa 31. 8 Relaatiot 42. Diskreetit rakenteet, syksy 2015 Itä-Suomen yliopisto, Tietojenkäsittelytieteen laitos Ville Heikkinen 14.12.2015 15:18 Sisältö 1 Johdanto, Tavoitteet 2 2 Lähteitä 2 3 Propositiologiikkaa 2 4 Karnaugh'n

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R): Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6) Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p

Lisätiedot

ALGORITMI- MATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen

ALGORITMI- MATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen ALGORITMI- MATEMATIIKKA Keijo Ruohonen 1993 Kirjallisuutta ANDERSON, I.: A First Course in Combinatorial Mathematics. Oxford University Press (1979) GRAHAM, R.L. & KNUTH, D.E. & PATASHNIK, O.: Concrete

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C. T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka 10.3. 11.4) 26. 30.3. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 10.5 Allaolevat kolme graafia pyrkivät selventämään

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan

Johdatus yliopistomatematiikkaan Johdatus yliopistomatematiikkaan Lotta Oinonen 1. maaliskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Perusasioita joukoista................................ 1 1.1 Merkintöjä..................................

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Induktio kaavan pituuden suhteen

Induktio kaavan pituuden suhteen Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan objektikieli määritellään kurssilla Logiikka 1B seuraavasti: 1. Lausemuuttujat p 1, p 2, p 3,... ovat kaavoja. 2. Jos A on kaava, niin A on kaava. 3. Jos

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016 VII Logiikkaohjelmointi Sisältö 1. Johdanto 2. Predikaattilogiikan käsitteistöä 3. Prolog 815338A Ohjelmointikielten periaatteet, Logiikkaohjelmointi 2

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut T-79.146 Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a

Lisätiedot

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.

Lisätiedot

(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2

(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2 46. Väite: Luku 3 1 704 71 on jaollinen luvulla 71. Todistus: 1704 71 70 4+ 4 70 3+ 31 70 4 4 70 3 31 70 70 3 3 3 1(mod 71), 1(mod 71) 1 3 4 4 1 3 3 31 4 31 (3 ) 3 ( ) 36 40 67(mod 71) Luku 3 1 704 71

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 15. syyskuuta 2015 Alkulause Much more important than specific mathematical results are the habits of mind used by the people who create those results. Cuoco, Goldenberg

Lisätiedot

Muodolliset kieliopit

Muodolliset kieliopit Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden

Lisätiedot

Todistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.

Todistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriaa Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriassa annetaan joukko aksioomia ja päättely- sääntöjä,

Lisätiedot

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Toitteko minulle ihmisen, joka ei osaa laskea sormiaan? Kuolleiden kirja JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Alkusanat Tämä tiivistelmä on allekirjoittaneen

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2 uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 2 Mikko Salo 31.8.2017 Sisältö 1. Matemaattisen tekstin osia 2. Ongelmanratkaisua 3. Matematiikan rakenteesta Matemaattinen teksti Pitkä matematiikka Yliopiston luentomoniste

Lisätiedot

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa. Johdanto Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tarkastelemme aluksi klassisen

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 7. toukokuuta 04 Sisältö Joukko-oppia 4. Joukko-opin peruskäsitteitä ja merkintöjä........... 4 Todistamisen ja matemaattisen päättelyn alkeita 3. Alkupala..............................

Lisätiedot

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}

Lisätiedot

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...

Lisätiedot

Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010

Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Ensimmäisen viikon luennot Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Perustuu osittain kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix A ja Appendix B ja Trench in verkkokirjaan,

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot