1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat Predikaattilogiikkaa Relaatiot 42.

Transkriptio

1 Diskreetit rakenteet, syksy 2015 Itä-Suomen yliopisto, Tietojenkäsittelytieteen laitos Ville Heikkinen :18 Sisältö 1 Johdanto, Tavoitteet 2 2 Lähteitä 2 3 Propositiologiikkaa 2 4 Karnaugh'n kartat 16 5 Joukko-oppia Joukko-opin perussäännöt Joukkojen karteesinen tulo Predikaattilogiikkaa 31 7 Matemaattinen todistaminen Suora päättely Epäsuora päättely Yleinen epäsuora päättely Induktiotodistus Relaatiot 42 9 Funktiot Rekursio Kombinatoriikkaa Suuntaamattomat graat Suunnatut graat Lukujärjestelmät Logaritmi ja eksponentti Algoritmien aikavaativuudesta lyhyesti 81 1

2 1 Johdanto, Tavoitteet Diskreetti matematiikka tarjoaa laskennallisia menetelmiä ja matemaattisia "olioita", joiden avulla ymmärretään ja suunnitellaan tietokonejärjestelmiä. Kurssin tavoitteet 1. Oppia tiedon esittämisestä matemaattisessa muodossa. 2. Ymmärtää tiettyjen matemaattisten "olioiden"rakenne (esim. funktio). 3. Kerrata matemaattisia menetelmiä muita kursseja varten. Harjoituksista Harjoitukset viikoittain (in English!). Tehtävät on esitetty suomeksi ja englanniksi. 1. Harjoitukset: Hoorieh Afkari Roshkhari. 2. Kaikista harjoitustehtävistä on suoritettava 1/3, jos haluaa suorittaa kurssin välikokeiden kautta. 3. Tutustu kurssin infoon web-sivulla (materiaali ja harjoitukset täältä): Moodlekin tulossa Viralliset harjoitukset alkavat vasta ensi viikolla ( ja ). 2 Lähteitä Grassmann, K.W., Tremblay, J. (1996). Logic And Discrete Mathematics A Computer Science Perspective. Prentice Hall. Haggarty R. (2001) Discrete Mathematics for Computing. Addison Wesley. Parkkinen, J. Diskreetit Rakenteet, Luentomateriaali (useita). Itä-Suomen yliopisto. Juvaste, S. Diskreetit Rakenteet, Luentomateriaali (2011). Itä-Suomen yliopisto. Oja, E. Logiikka ja algoritmien suunnittelu, Luentomateriaali (1980's, maybe). Kuopion yliopisto. Pääosin seurataan sisällön osalta Haggartyn kirjaa ja Juvasteen monistetta (linkki kurssin sivuilla: 3 Propositiologiikkaa Propositiologiikka (Lausekalkyyli) Propositiologiikka muodostuu loogisista väittämistä (lause, ilmaus), konnektiiveista ja suluista. 2

3 Määritelmä 1: Lausetta, joka on tosi tai epätosi, kutsutaan propositioksi. Lauseet voivat saada vain totuusarvot tosi (T) tai epätosi (E). Arvot T ja E ovat vakioita. Huom! Emme voi propositiologiikan avulla käsitellä kaikkia mahdollisia väitteitä. Myös järkevät väitteet voivat olla totuusarvoltaan epäselviä. Tarkastellaan lausetta: "Hän on presidentti". Lauseella on totuusarvo riippuen siitä, kuka "Hän"on. Lause on predikaatti, jolloin lause tulee määritellyksi vasta kun "Hän"jotenkin rajoitetaan. Esim. "Hän"= Ahtisaari. Nope. "Hän"= Niinistö. Jep. Palaamme predikaatteihin myöhemmin. Määritelmä 2: Propositio, jossa on vain yksi muuttuja tai yksi vakio on atomilause. Kaikki muut lauseet ovat yhdistettyjä lauseita. Kaikissa yhdistetyissä lauseissa on ainakin yksi konnektiivi. Tulevassa atomilauseita merkitään isoilla kirjaimilla, kuten P, Q ja R, ja jotka voivat saada vain totuusarvot T tai E. Huom! Esim. Juvasteen monisteessa arvoa T merkitään myös numerolla 1, ja arvoa E numerolla 0. Palataan tähän erityisesti Boolen Algebran tapauksessa. Esimerkki propositiosta, joka on atomilause: P = "Maa on litteä". Joku voisi tosin sanoa tätä myös predikaatiksi...oletetaan kuitenkin, että kyseessä on maapallo, Tellus. Lauseiden (ilmaisuiden) muodostaminen Lauseita (atomilauseet, yhdistetyt lauseet) voidaan yhdistellä käyttämällä konnektiiveja ja sulkuja, jolloin muodostetaan uusia lauseita ("kaavoja", "ilmaisuja"). Merkitään tulevassa lauseita muodossa f(p ), f(p, Q), f(p, Q, R,..., ), g(p, Q), g(p, Q, R,..., ). Huom. atomilauseiden tapauksessa voimme siis kirjoittaa f(p ) = P. Konnektiiveja (ns. perusjoukko) ovat: 1. Negaatio (ei, NOT):. 2. Konjunktio (ja, AND):. 3. Disjunktio (tai, OR):. 4. Implikaatio (jos... niin, IF... THEN):. 5. Ekvivalenssi (jos ja vain jos, joss, IF AND ONLY IF):. 3

4 Esimerkki yhdistetystä lauseesta Olkoon atomilauseet P, Q, ja R: P = "Tänään on maanantai" Q = "Ulkona sataa vettä" R = "Viitsin mennä luennolle" Yhdistetty lause voisi olla: f(p, Q, R) = (P Q) ( R). Eli: "JOS tänään on maantai TAI ulkona sataa vettä, NIIN EN viitsi mennä luennolle." Lauseiden evaluaatio Voidaan ajatella, että yhdistetyn lauseen f(p, Q, R,...) muuttujat ovat atomilauseita P, Q, R,... Voidaan usein merkitä lausetta vain muodossa f, jolloin muuttujia ei erikseen mainita. Esim. Lauseen f(p, Q, R) eräs evaluaatio (valuaatio) olisi f(t, T, T ), eli tapaus jossa atomilauseet (muuttujat) saavat arvot P = Q = R = T. Lauseen evaluaatio f(t, T, T ) saa totuusarvon T tai E riippuen lauseen ominaisuuksista. Olettaen, että atomilauseita on k kappaletta, on mahdollisten evaluaatioiden lukumäärä 2 k. Lauseen kaikki evaluaatiot esitetään usein totuustaulun avulla. Totuustaulut Peruskonnektiivien totuustaulut atomilauseiden P ja Q avulla määriteltynä ovat P Q P Q T T T T E E E T E E E E P Q P Q T T T T E E E T T E E T P Q P Q T T T T E T E T T E E E P Q P Q T T T T E E E T E E E T P P T E E T Implikaatiosta Implikaation P Q tapauksessa, jos P ei ole tosi, niin Q:n totuusarvo voi olla tosi (T) tai epätosi (E). Luonnollisessa kielessä implikaatio esiintyy eri tavoin, esimerkiksi Jos P niin Q: P Q P jos Q: Q P P vain jos Q: P Q Voidaan ajatella, että implikaatio vastaa sanallisesti "P on riittävä ehto Q:lle". Eli, implikaation tapauksessa Q voi saada arvon T, vaikka P:n arvo ei ole T. Toisaalta Q saa arvon T aina, jos P:n arvo on T. 4

5 Ekvivalenssista Ekvivalenssin P Q tapauksessa, jos P ei ole tosi, niin myöskään Q ei voi olla tosi. Voidaan ajatella, että implikaatio vastaa sanallisesti "P on riittävä ja välttämätön ehto Q:lle". Eli, ekvivalenssin tapauksessa Q voi saada arvon T, jos ja vain jos P:n arvo on T. Toisaalta Q saa arvon E aina, jos ja vain jos P:n arvo on E. Konnektiivien suoritusjärjestys Esim. 1. P Q = ( P ) Q. 2. P Q R = (P Q) R. Jos disjunktiolla halutaan "operoida"ensin, käytetään sulkuja, eli P (Q R). 3. Jos tarkoitetaan implikaation negaatiota, on kirjoitettava (P Q). 4. P Q R tarkoittaa ((P Q) R) S. Muita usein käytettyjä konnektiiveja (XOR, Ekslusiivinen disjunktio) (NOT AND, NAND, Sheerin viiva) (NOT OR, NOR, Peircen nuoli). Nämä konnektiivit voidaan esittää perusjoukon avulla. Totuustaulut ovat muotoa: P Q P Q T T E T E T E T T E E E P Q P Q T T E T E E E T E E E T P Q P Q T T E T E T E T T E E T Harjoitus. Kuinka monta eri totuustaulua (konnektiivia) kahdella propositiolla voi yhteensä olla? P Q T T T T T E E E E T T E E E T T 5

6 Yhdistettyjen lauseiden totuustaulut Olkoon lause f(p, Q) = (P Q) Lauseen f(p, Q) totuustaulu saadaan muodostamalla askelittain konnektiiveja vastaavat totuustaulut. P Q Q P Q (P Q) T T E E T T E T T E E T E E T E E T E T Toinen merkintätapa: f(p, Q) = (P Q) P Q ( P Q) T T T T E E T E E T T T E T T E E E E T T E E T askel Tautologia, kontradiktio, looginen ekvivalenssi Määritelmä 3: Mikäli lause f(p, Q,...) on tosi kaikilla lauseen evaluaatioilla (atomilauseiden P, Q,... totuusarvokombinaatioilla), sanotaan lausetta tautologiaksi. Määritelmä 4: Jos lause ei ole tosi millään valuaatiolla, on lause kontradiktio (looginen epätotuus). Tautologian totuustaulun kaikki arvot ovat T ja kontradiktion E. Esim. Tautologia: P P, kontradiktio: P P. Määritelmä 5: Lauseet f(p, Q,...) ja g(p, Q,...) ovat loogisesti ekvivalentteja jos ja vain jos niiden totuustaulut ovat identtiset. Merkitään f(p, Q,...) g(p, Q,...) Esimerkki loogisesta ekvivalenssista f(p, Q) = (P Q) g(p, Q) = P Q 6

7 P Q (P Q) (P Q) T T E T T T T E T T E E E T T E E T E E T E E E askel P Q P P Q Q T T E E E T E E T T E T T T E E E T T T askel Esim. 2 Olkoon lauseet: f(p,q) = "Ei ole niin, että ruusut ovat punaisia ja orvokit sinisiä." ja g(p,q) = "Ruusut eivät ole punaisia tai orvokit eivät ole sinisiä." Lauseet f(p, Q) ja g(p, Q) ovat loogisesti ekvivalentteja. P = "ruusut ovat punaisia", Q = "orvokit ovat sinisiä" Saadaan siis (P Q) P Q Esim. 3 Vertaillaan lauseita P Q ja P Q: P Q P P Q P Q T T E T T T E E E E E T T T T E E T T T Vertaillaan lauseita P Q ja (P Q) (Q P ): P Q P Q (P Q) (Q P ) (P Q) (Q P ) T T T T T T T E E E T E E T E T E E E E T T T T Kummassakin tapauksessa saadaan siis looginen ekvivalenssi. Esim. 4 (Kontraposition laki) Todistetaan vielä ns. "kontraposition laki": (P Q) ( Q P ): P Q P Q P Q Q P T T E E T T T E E T E E E T T E T T E E T T T T 7

8 Esim. 5 Todistetaan, että f(p, Q, R) = (P Q) (P R) on tautologia käyttäen totuustaulua. Tod. Luennoilla... Yleinen looginen päättelysääntö Usein halutaan todistaa (päätellä) seuraavanlainen lause: f 1 f 2... f n h. Lause h saadaan siis implikaationa premissien konjunktiosta. Lauseita f 1,..., f n kutsutaan premisseiksi ja niistä saadaan johtopäätöksenä lause h. Huom! kaikilla lauseilla f 1,..., f n, h on tietyt muuttujat (atomilauseet), joita ei edellä ole kirjoitettu näkyviin. Loogisesti pätevä päättely Sanotaan, että lauseen f 1 f 2... f n h mukainen päättely on loogisesti pätevä, jos kyseinen lause on tautologia. Tässä tapauksessa premissien voimassaolo "loogisesti implikoi"johtopäätöksen voimassaolon (eli johtopäätös on ainakin TOSI, jos kaikki premissit saavat arvon TOSI). Jos päättely on loogisesti pätevä, käytetään sille merkintää f 1, f 2,..., f n h. Loogista päättelyä (todistamista) voidaan tarkastella totuustaulujen ja päättelysääntöjen avulla. Esimerkki. Tarkastellaan aluksi ns. modus ponens -päättelysääntöä (Aristoteles): 1. P Q P:stä seuraa Q, (Ulkona sataa Pipo kastuu) 2. P P on voimassa, (Ulkona sataa) 3. Q Q on siis voimassa, (Siis pipo kastuu) Lauseet f 1 (P, Q) = P Q (lause 1.) ja f 2 (P ) = P (lause 2.) muodostavat premissit ja niistä saadaan johtopäätös h(q) = Q (lause 3.). Osoitetaan modus ponens loogisesti päteväksi totuustaulun avulla. P Q ((P Q) P ) Q T T T T T T T T E E E T T E E T T E E T T E E T E E T E Koska saatiin tautologia, päättely on loogisesti pätevä, joten käytetään sille merkintää P Q, P Q. 8

9 Edellinen vastaa siis muotoa (P Q) P Q. Päättelysääntöjä (Grassmann & Tremblay: p.50) Olkoon f, g ja h lauseita, joilla tietyt muuttujat. Loogisessa päättelyssä käytetään usein joukkoa päättelysääntöjä: 1. f, g f g (Yhdistämissääntö) 2. f g g (Yksinkertaistamissääntö) f g f 3. f f g g f g (Lisäyssääntö, jos f on tosi, niin disjunktiolauseke on tosi riippumatta g:n totuusarvosta) 4. f, f g g (modus ponens) 5. g, f g f (modus tollens) 6. f g, g h f h Hypoteettinen syllogismi 7. f g, f g f g, g f Disjunktiivinen syllogismi (modus tollendo ponens), jos toinen ei ole totta, niin toisen pitää olla jotta disjunktiolause olisi tosi. 8. f g, f g g (Vaihtoehtojen laki) 9. f g f g (Implikaatiosääntö) f g g f Kunkin näistä säännöistä voidaan todistaa oikeaksi totuustauluilla (tai muita sääntöjä käyttäen). Esimerkiksi sääntö 5: f g g f f g g (f g) ( g (f g)) f T T E E T E T T E T E E E T E T E T T E T E E T T T T T Esimerkki sääntöjen käytöstä. Olkoon A, B, C, D, E atomilauseita (muuttujia). Todista 1. C D 2. D A B 3. C E 4. E B Meidän on siis todistettava, että aina kun premissit ovat voimassa, niin myös B on tosi. Voimme käyttää edelläolleita (todistettuja) päättelysääntöjä ja todistaa päättelyn symbolisesti: Premissit: 9

10 1. C D 2. D A B 3. C E 4. E Päättely (apulauseet): 5. C premisseistä 4,3 käyttäen sääntöä 5 6. D apulauseesta 5 ja premissistä 1 käyttäen sääntöä 4 7. A B premissistä 2 ja apulauseesta 6 käyttäen sääntöä 4 8. B apulauseesta 7 käyttäen sääntöä 2 Esimerkki 2 Todista, että logiikka ei ole vaikeaa käyttäen seuraavia premissejä 1. joko mehiläisenhoito tai kuvanveisto on hauskaa 2. jos logiikka on vaikeaa, niin kuvanveisto ei ole hauskaa 3. mehiläisenhoito ei ole hauskaa Formalisoidaan atomilauseet seuraavasti: P = logiikka on vaikeaa Q = mehiläisenhoito on hauskaa R = kuvanveisto on hauskaa 1. Q R premissi P R premissi Q premissi R 1,3 sääntö P 2,4 sääntö 5. (säännössä R) Siis, logiikka ei ole vaikeaa. Esimerkki 3 Tarkastellaan ohjelmointikielen lausetta if x > Max then x := Max Haluamme osoittaa, että lauseen suorituksen jälkeen ei ole mahdollista että x > M ax. Formalisoidaan lauseet P = x > Max ennen lauseen suoritusta Q = x = Max lauseen suorituksen jälkeen R = x > Max lauseen suorituksen jälkeen Selvästikin voimme sanoa: Premissi 1.: P Q, eli "Jos x > Max ennen suoritusta, niin x = Max suorituksen jälkeen". Premissi 2.: Q R, eli "Jos x = Max suorituksen jälkeen, niin x > Max ei ole totta suorituksen jälkeen". Premissi 3.: P R, eli "Jos x > Max ei ole totta ennen suoritusta, niin x > Max ei ole totta suorituksen jälkeen". Käytetään nyt hypoteettista syllogismia (sääntö 6.) premisseihin 1. ja 2., jolloin saadaan apulause P R, eli "Jos x > Max ennen suoritusta, niin x > Max ei ole totta suorituksen jälkeen." 10

11 Käytetään nyt vaihtoehtojen lakia (sääntö 8.) premisseihin 3. ja edelliseen apulauseeseen, jolloin saadaan R. Eli, "Siis, riippumatta siitä onko x > M ax tosi(t) tai epätosi(e) ennen suoritusta, saadaan suorituksen jälkeen, niin että x > Max on epätosi (E)." Todistus lyhyemmin: 1. P Q premissi Q R premissi P R premissi P R 1,2 (sääntö 6.) 5. R 3,4 (sääntö 8.) Loogisesta päättelystä Aiemmin todistimme päättelyitä päteväksi (valid). Kuitenkin, edellinen (logiikka) ei ota kantaa lauseiden sisältöön (niiden totuuteen) vaan pelkästään päättelyn "muodon"oikeellisuuteen. Pätevässä päättelyssä siis hyväksymme johtopäätöksen (loogisesti) seurauksena, jos premissit ovat totta. Voimme siis "päätellä"muodollisesti oikein varsin levottomia johtopäätöksiä, kuten "Logiikka ei ole vaikeaa". Loogisesti pitävä(järkevä) päättely Todellisuudessa, kun teemme päättelyä, meidän täytyy olla tarkkana siinä hyväksymmekö todella premissit. Erityisesti, usein olemme kiinnostuneita tapauksesta, jossa myös premissit ovat totta. Sanotaan, että lauseen f 1 f 2... f n h mukainen päättely on pitävä (järkevä) (sound), jos kyseinen päättely on pätevä JA premissit ovat totta. Huom! Grassman and Tremblay:n mukaan sana "sound"viittaa vain pätevään päättelyyn. Loogisesti pitävä(järkevä) päättely On kuitenkin aika vaikeaa todistaa pitävästi, että "Logiikka ei ole vaikeaa", kuten aiemmissa esimerkeissä teimme...(varsinkin kun ottaa huomioon miten epäkonsistentteja alan termit ja määritelmät näyttävät olevan (henk. koht. mielipide luennoitsijalta)). Epäsuora todistus Eräs tärkeä päättelysääntö on ns. epäsuora todistus (ristiriitatodistus): (( f g) ( f g)) f. Eli, olettaen että haluamme todistaa f:n todeksi, voimme suorittaa todistuksen, jossa negaatio f johtaa ristiriitaan. Epämuodollisesti voidaan muotoilla todistuksen kulku seuraavasti: 1. Oletetaan f. 11

12 2. Osoitetaan, että oletus johtaa ristiriitaan. 3. Johtopäätöksenä on f. Palataan todistusteoriaan, ja epäsuoraan todistukseen kuitenkin myöhemmin vasta predikaattilogiikan yhteydessä. Tarkastellaan seuraavaksi lauseiden normaalimuotoja. Lauseiden normaalimuodot ja sievennys Jos ajattelemme, että meillä on käytössä viisi konnektiivia ja joukko niihin liittyviä päättelysääntöjä voi olla, että päättelyiden automatisointi (toteutus tietokoneella) on monimutkaista. Mikäli lauseet voidaan muuntaa niin, että käytetään vain rajattua konnektiivijoukkoa, on mahdollista, että automatisointi helpottuu huomattavasti. Lisäksi esim. digitaalitekniikassa pitää esittää lauseet jonkinlaisessa normaalimuodossa, niin että voimme käsitellä niitä mahdollisimman tehokkaasti. Tässä kohdassa tarkastelemme lauseiden sievennystä, sekä lauseiden normaalimuotojen muodostamista. Sieventämisellä on kolme tarkoitusta: 1. Esittää lauseet mahdollisimman vähillä erilaisilla konnektiiveilla. 2. Esittää lauseet mahdollisimman vähillä konnektiiveilla. 3. Esittää lause normaalimuodossa automaattista käsittelyä varten. Esim. kuten aiemmin todistimme totuustaulujen avulla, voimme esittää implikaation ja ekvivalenssin käyttäen kolmea muuta peruskonnektiivia: P Q P Q P Q (P Q) (Q P ) ( P Q) ( Q P ) Määrittellään seuraavassa lauseiden normaalimuodot. Määritelmä 6: Lause on alkeiskonjunktio, jos se on muotoa A 1 A 2... A n, missä 1) kukin A i on joko atomilause tai atomilauseen negaatio, 2) termin A i sisältämä atomilause esiintyy lauseessa vain kerran joko itsenään tai negaationa. Esim. P Q R ja P Q R ovat alkeiskonjunktioita, mutta Q Q R ei ole. 12

13 Määritelmä 7: Lause on alkeisdisjunktio, jos se on muotoa A 1 A 2... A n, missä 1) kukin A i on joko atomilause tai atomilauseen negaatio, 2) termin A i sisältämä atomilause esiintyy lauseessa vain kerran joko itsenään tai negaationa. Esim. P Q R ja P Q R ovat alkeiskonjunktioita, mutta Q Q R ei ole. Määritelmä 8: muotoa f 1 f 2... f m, Lauseen sanotaan olevan disjunktiivisessa normaalimuodossa (DNM), jos lause f on jonka kaikki (lause)termit f i ovat alkeiskonjunktioita ja toistuvat vain kerran. Esimerkiksi f(p, Q, R) = (P Q R) ( P Q R) tai g(p, Q, R) = (Q R) ( P Q R) ovat disjunktiivisessa normaalimuodossa. Määritelmä 9: Lauseen sanotaan olevan kanonisessa disjunktiivisessa normaalimuodossa (KDNM), jos lause f on muotoa f 1 f 2... f m, jossa kaikki (lause)termit f i ovat alkeiskonjunktioita, toistuvat vain kerran, ja sisältävät kaikki lauseen f muuttujat joko itsenään tai negaationa. Esimerkki DNM-muotoinen lause kolmella muuttujalla voi näyttää esimerkiksi tältä: f(p, Q, R) = (P Q) ( P Q R) KDNM-muotoinen lause kolmella muuttujalla voi näyttää esimerkiksi tältä: f(p, Q, R) = (P Q R) ( P Q R) Määritelmä 10: Lauseen sanotaan olevan konjunktiivisessa normaalimuodossa (KNM), jos lause f on muotoa f 1 f 2... f m, jonka kaikki (lause)termit f i ovat alkeisdisjunktioita ja toistuvat vain kerran. Esimerkiksi f(p, Q, R) = (P Q R) ( P Q R) tai g(p, Q, R) = (Q R) ( P Q R) ovat konjunktiivisessa normaalimuodossa. 13

14 Määritelmä 11: Lauseen sanotaan olevan kanonisessa konjunktiivisessa normaalimuodossa (KKNM), jos lause f on muotoa f 1 f 2... f m, jossa kaikki (lause)termit f i ovat alkeisdisjunktioita, toistuvat vain kerran, ja sisältävät kaikki lauseen f muuttujat joko itsenään tai negaationa. Esimerkki KNM-muotoinen lause kolmella muuttujalla voi näyttää esimerkiksi tältä: g(p, Q, R) = (P Q) ( P Q R) KKNM-muotoinen lause kolmella muuttujalla voi näyttää esimerkiksi tältä: g(p, Q, R) = (P Q R) ( P Q R) Lauseet voidaan muuntaa normaalimuotoihin käyttämällä termien loogisia ekvivalensseja. Loogisia ekvivalensseja Olkoon f, g, h lauseita, joilla tietyt muuttujat. Sievennys voidaan tehdä seuraavia muunnoksia apuna käyttäen: Laki Nimi (suomennokset epäselviä) f f T Kolmannen vaihtoehdon olemattomuus f f E Kontradiktio f E f yksikkölait f T f f T T hallitsevan lait (domination) f E E f f f neutraalilait (idempotent) f f f ( f) f kahden negaation laki f g g f vaihdantalait f g g f (f g) h f (g h) assosiatiivisuuslait (f g) h f (g h) (f g) (f h) f (g h) osittelulait (f g) (f h) f (g h) (f g) f g De Morganin lait (f g) f g Absorptiolaki. Mainittujen lakien avulla voidaan todistaa lisää lakeja, esimerkiksi absorbtiolait: f (f g) (f T ) (f g) yksikkölaki f (T g) osittelulaki f T hallitsevan laki f yksikkölaki 14

15 Vastaavasti f (f g) f (todistus harjoitustehtävänä). Esimerkki 1. Tarkastellaan edelleen implikaatiota P Q ja ekvivalenssia P Q. Valitaan laeissa f(p ) = P ja g(q) = Q. Kaksoisnegaation (kahden negaation laki) ja De Morganin lain avulla saadaan esitykset P Q P Q P Q (P Q) P Q (P Q) (Q P ) ( P Q) ( Q P ) (P Q) (Q P ) Esimerkki 2. Muunna lause ((P Q) R) konjunktiiviseen normaalimuotoon. ((P Q) R) (P Q) R De Morgan (P Q) R kaksoisnegaatio ( P Q) R De Morgan ( P Q) R kaksoisnegaatio ( P R) (Q R) osittelulaki Huomaa, että toiseksi viimeinen rivi on disjunktiivista normaalimuotoa! Esimerkki 3. Muunna lause (P Q) P (P Q) disjunktiiviseen normaalimuotoon. (P Q) P (P Q) (P Q) ( P (P Q)) implikaation esitys (P Q) ( P (P Q) kaksoisnegaatio (P Q) ( P P Q) De Morgan (P Q) ( P P Q) kaksoisnegaatio (P Q) P Q neutraalilaki Yleensä muunnos voidaan tehdä alla olevan "algoritmin"mukaan: 1. Muunnetaan implikaatiot ja ekvivalenssit disjunktioksi tai konjunktioksi. 2. Muunnetaan termit joissa on negaatio koko termille De Morganin laeilla. 3. Erotellaan mahdollisesti termejä osittelulaeilla. 4. Muunnetaan mahdollisesti konjunktioita disjunktioiksi tai päinvastoin osittelulaeilla. 15

16 Esimerkki 4. Muunna lause f(p, Q, R) = ( P Q) (Q R) kanoniseen disjunktiiviseen normaalimuotoon. ( P Q) (Q R) (( P Q) (R R)) ((Q R) (P P )) (( P Q R) ( P Q R)) ((Q R P ) (Q R P )) ( P Q R) ( P Q R) (Q R P ) 1. looginen ekvivalenssi: Lisätään alkeistermeihin puuttuva muuttuja käyttäen yksikkölakia ja kolmannen vaihtoehdon olemattomuutta. 2. looginen ekvivalenssi: Osittelulaki. 3. looginen ekvivalenssi: Vaihdantalaki, Neutraalilaki ja assosiatiivisuuslaki. Lauseelle voidaan tuot- Totuustaulu ja kanoninen disjunktiivinen normaalimuoto (KDNM). taa KDNM suoraan tunnetusta totuustaulusta. 1. Poimi totuustaulusta rivit, joilla lause on TOSI. 2. Muodosta kultakin vaiheen 1. riviltä atomilauseiden konjunktio (alkeiskonjunktio) siten, että atomilause tulee atomilauseena, kun sen totuusarvo rivillä on TOSI ja atomilause tulee negaationa, kun totuusarvo on EPÄTOSI. 3. Muodosta vaiheesta 2. saatujen alkeiskonjunktioiden disjunktio. Esimerkki. Tarkastellaan kolmen atomilauseen, P,Q ja R muodostamaa lausetta f(p, Q, R). Sen totuustaulu on: P Q R f(p, Q, R) T T T T T T E E T E T T T E E E E T T E E T E E E E T T E E E E Alkeiskonjunktiot ovat: P Q R, P Q R, P Q R ja kanoninen disjunktiivinen normaalimuoto (P Q R) (P Q R) ( P Q R) 4 Karnaugh'n kartat Siirrytään nyt käyttämään 0,1 notaatiota totuusarvoille, eli 0 := E ja 1 := T. Lauseiden muuttujia merkitään seuraavassa A, B, C, D,... Normaalimuotojen sieventämiseen voidaan käyttää tehokasta taulukointimenetelmää, Karnaugh'n karttaa. Erityisesti kun muodostamme lauseen KDNM:n totuustaulukosta, niin kaavasta voi tulla hyvin pitkä. Karnaugh'n kartan avulla saamme mahdollisimman sievennetyn DNM:n. Katsomme kartan käyttöä esimerkkien avulla kahdelle, kolmelle ja neljälle termille. Sama tekniikka toimii mielivaltaisen kokoisille taulukoille. 16

17 Kartan rakentamisesta. asti on käytetty. Kartta esittää lauseen totuustaulun hieman eri muodossa kuin mitä tähän Kukin kartan/taulukon solu vastaa lauseen evaluaatiota tietyillä atomilauseiden totuusarvoilla. Kartta rakennetaan taulukoksi siten, että vierekkäiset solut vastaavat aina kahta sellaista evaluaatiota jotka eroavat toisistaan vain yhden atomilauseen evaluaation kohdalla. Kahdelle atomilauseelle evaluaatiot ovat esim. järjestyksessä: 00, 01, 11, 10, kolmelle esim. 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100. Esimerkiksi kahden termin Karnaugh'n kartat AND ( ) ja OR ( ) operaatioille ovat: B A A A B 1 0 B 0 0 B A A A B 1 1 B 1 0 A B A B Vastaavasti kolmen ja neljän termin Karnaugh'n karttapohjat ovat seuraavia taulukoita: C 1 0 AB CD AB Karnaugh'n kartan muodostaminen. Muodostetaan totuustaulu lausekkeesta (tai muuten). Katetaan kartan kaikki ykköset suorakulmaisilla alueilla: kukin kartan ykkönen kuuluu johonkin alueeseen alueella ei saa olla nollia alueet mahdollisimman suuria suorakulmioita kooltaan 2 k, (eli 1, 2, 4, 8, 16, jne) alue voi kiertää taulukon reunan ympäri (oikeasta reunasta vasemmalle, alhaalta ylös) alueet voivat olla osin päällekkäin pyritään mahdollisimman vähiin alueisiin Kartan käyttö. Karnaugh'n kartasta muodostetaan sievennetty DNM-muotoinen lause seuraavasti: Disjunktiolausekkeeseen termi kutakin aluetta kohti. Jokaista alueen muodostamaa termiä kohti on alkeiskonjunktio jossa ovat ne muuttujat joiden arvot ovat samat koko alueella. 17

18 Konjunktion termit tulevat sellaisenaan kun totuusarvo on 1, ja negaation kanssa jos totuusarvo on 0. Esim: a) B A A A B 1 1 B 0 0 f(a, B) = (A B) ( A B) Karnaugh'n kartasta tämä saadaan yhdistämällä ylärivin vierekkäiset ykköset. Ko. alueessa B on aina 1, joten kaavaan tulee B. Koko sievennys on siis f(a, B) = B. Tämä toki olisi ollut helppo muutenkin. Huomaamme, että lause on tosi, kun B on tosi riippumatta A:n totuusarvosta. Samoin se on epätosi, kun B on epätosi. b) A A A B B 1 0 B 1 1 f(a, B) = (A B) (A B) ( A B) Muodostetaan kaksi 2:n kokoista aluetta. Vasenta saraketta vastaa lauseke A ja alareunaa lauseke B. Saamme siis sievennetyn muodon f(a, B) = A B. c) B A A A B 1 0 B 0 1 Lauseketta ei voi sieventää, sillä siinä ei ole vierekkäisiä ykkösiä. Lauseke on DNF muodossa f(a, B) = (A B) ( A B) Kolmen termin Karnaugh'n karttoja voidaan sieventää vastaavasti seuraavan esimerkin mukaan. Esim. a) f(a, B, C) = (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) 1 C 0 AB Tästä saadaan sieventämällä f(a, B, C) = (A C) (A B)) ( A B C) b) f(a, B, C) = (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) 18

19 AB AB A B A B 1 C C C AB Sievennettäessä löydetään kaksi aluetta, punainen/katkoviiva-alue vasemmassa yläkulmassa jossa C = 1 ja A = 1 (B vaihtelee), eli A C ja kun taulukko kierretään päistään renkaaksi sarakkeet 11 ja 01 ovat samaa 4:n kokoista aluetta, saadaan vihreä/yhtenäisen viivan alue jossa B = 1 (A ja C vaihtelevat). Sievennetty muoto on siis f(a, B, C) = (A C) B. c) Sievennetään lause f(a, B, C) = (A B C) ( A B C) ( A B C) (A B C) ( A B C) C 1 0 AB Täydennetään luennolla, tai täydennä itse. Neljän termin Karnaugh'n karttaa käytetään vastaavalla tavalla. d) f(a, B, C, D) = (A B C D) (A B C D) (A B C D) (A B C D) ( A B C D) ( A B C D) ( A B C D) ( A B C D) (A B C D) AB CD f(a, B, C, D) = (A C) ( A D) (A B D) Konnektiiveja vastaavia logiikkaportteja. Tarkastellaan seuraavaksi kuinka loogisia operaatioita voidaan toteuttaa elektronisilla logiikkapiireillä. Digitaalitekniikassa logiikan porttipiirejä kutsutaan nimillä AND, OR, NOT, XOR, NOR, ja NAND. AND (konjunktio) OR (disjunktio) 19

20 NOT (negaatio) XOR on eksklusiivinen OR. NAND (AND-NOT) on "negaatio AND" NOR (OR-NOT) on "negaatio OR" Totuusarvo toteutetaan piiriin tulevan jännitteen avulla. Johtimen jännitearvo +5V vastaa lukua 1 (TOSI) ja 0V vastaa lukua 0 (EPÄTOSI). Loogisten porttien totuustaulut ja symbolit (US standardi) ovat seuraavat. A B A AND B A B A AND B A B A OR B A B A OR B A B A XOR B A B A XOR B A NOT A A NOT A Eräillä piireillä voi olla useampia syötteitä. (AND, OR) A B C AND(A,B,C) X X 0 X 0 X 0 X X 0 0 A B C A AND B AND C 20

21 Tällöin AND-piiriä voidaan käyttää tunnistamaan tietty binääriluku Tarkastellaan loogista piiriä: A B c s A B s c Kyseessä on kahden bitin yhteenlasku, missä c voidaan tulkita carry-bitiksi. RS-kiikku (Flip-op). Loogisilla piireillä (NAND tai NOR) voidaan toteuttaa myös muistipiiri, ns. RS-kiikku. Tämä on sekvenssilogiikan peruspiiri, joka säilyttää tilan 0 tai 1. Piirissä on takaisinkytkentä, jolloin ulostulon Q arvo (hetkellä t + 1) riippuu edellisestä ulostulon arvosta (hetkellä t). S NOR Q R NOR Q RS-kiikun ulostulon Q ohjaus suoritetaan linjoilla R (Reset) ja S (Set): Tila(R,S) = (0,0) : Q säilyttää tilan Tila(R,S) = (0,1) : Q siirtyy tilaan 0 Tila(R,S) = (1,0) : Q siirtyy tilaan 1 Tila(R,S) = (1,1) : ei sallittu. 21

22 Q(t) S R Q(t + 1) Q(t + 1) Muodostamalla kiikun ulostulolle signaalikaavio ajan suhteen, voidaan tulkita piirin toiminta niin että R:n (Reset) "aktivointi"nostaa Q:n signaalitason +5V ja S:n (Set) "aktivointi"vastaavasti pudottaa Q:n signaalitason 0V tasolle. Signaalikaavio on seuraavanlainen... Karnaugh'n kartat ja digitaalilogiikka Karnaugh'n karttojen avulla muodostetulla DNM-muotoisella kaavalla voidaan muodostaa halutun tuloksen antava minimaalinen digitaalipiiri. Esim: Aiempien (s ) kolmen Karnaugh -esimerkin lausekkeet voidaan toteuttaa seuraavilla digitaalipiireillä: a) (s. 18) f(a, B, C) = (A C) (A B)) ( A B C) A B f(a,b,c ) C b) (s. 18) f(a, B, C) = (A C) B: A f(a,b,c ) B C 22

23 d) (s. 19) f(a, B, C, D) = (A C) ( A D) (A B D) A B C f(a,b,c ) D 5 Joukko-oppia Joukko-opissa tarkastelemme objektien muodostamia kokoelmia (joukkoja) ja niiden yhdistelmiä ja eroja. Kokoelmaan kuuluvat objektit ovat joukon alkioita. Esim. Joukkoja ovat : luonnollisten lukujen joukko punaisten omenien joukko totuusarvoltaan TOSI olevien lauseiden joukko UEF opiskelijoiden joukko Joukkoja merkitään isoilla kirjamilla ja niiden alkiot luetellaan tai määritellään aal- Notaatiosta. tosulkeissa. Esimerkiksi lukujen 3,4,5 ja 6 muodostamaa joukkoa A merkitään A = {3, 4, 5, 6}. Alkion kuuluminen joukkoon ilmaistaan 3 A ja kuulumattomuus 7 A. Joukon A alkioiden määrää (kardinaliteettia) merkitään A. Tyhjää joukkoa merkitään. Joukkoon kuulumattomien alkioiden joukkoa, joukon A komplementtia, merkitään A (tai A). Tällöin oletetaan olevan olemassa jokin perusjoukko E, johon kaikki alkiot kuuluvat. 23

24 Esim: Ajatellaan, että maailmassa on vain punaisia, vihreitä ja kirjavia omenoita. Tällöin tarkasteltaessa omenoiden joukko-oppia perusjoukko on E = {kaikki omenat} Jos joukko A = {punaiset omenat}, niin A = {vihreät ja kirjavat omenat}. Tämä voidaan esittää Venn-diagrammilla. A E E A A Joukon esittämisestä. Joukko voidaan esittää myös formaalisti kuvailemalla (ehtomuodossa) joukkoon kuuluvien alkioiden ominaisuudet, ei luettelemalla alkioita. Tarkastellaan omenoiden joukkoa. Silloin punaisten omenoiden joukko voidaan esittää muodossa A = {x x on punainen } Tässä "x on punainen"on lause, jonka totuusarvo riippuu "muuttujasta"x E. Jos x =punainen omena, otetaan x joukkoon mukaan. Jos esim. x =vihreä omena, ei sitä oteta joukkoon mukaan. Joukon ehtomuoto. A = {x P (x)}, Yleisesti voidaan määritellä joukko A muodossa missä P (x) määrittelee ehdon joukkoon A kuulumiselle. Joukko A on siis niiden perusjoukon alkioiden joukko, joille kaikille lause P (x) saa arvon TOSI. Lausetta P (x) voidaan kutsua predikaatiksi. Lukujoukot Tulevassa merkitsemme: Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,...} Kokonaislukujen joukko Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Rationaalilukujen joukko Q = { m n m Z, n N} Reaalilukujen joukko R 24

25 Esim. Reaalilukujen R joukossa positiivisten kokonaislukujen joukko on A = {n n Z, n > 0} Jos perusjoukko on kokonaislukujen joukko Z, riittää A = {n n > 0}. Kaksi joukkoa A ja B ovat samat silloin ja vain silloin, kun näillä on täsmälleen samat alkiot. Merkitään A = B. Joukko A on joukon B osajoukko, jos x A x B. Tätä merkitään A B. Jos lisäksi A B on A joukon B aito osajoukko ja sitä merkitään A B. A = B (A B) (B A) Kahden joukon A ja B leikkaus on joukko, jonka alkiot kuuluvat joukkoon A ja joukkoon B. Leikkausjoukkoa merkitään A B. Looginen konjunktio! A B E x (A B) (x A) (x B) Joukkojen A ja B yhdiste eli unioni on niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B. Yhdistettä merkitään A B. Looginen disjunktio! E A B A U B x (A B) (x A) (x B) Joukon komplementti vastaa esitystä. x A (x A) A = {x x A} 25

26 A E ~A Joukkojen erotus (dierence), merkitään A \ B (tai A B), vastaa käänteistä implikaatiota. x (A \ B) (x A) (x B) A B E A\B Määritellään nyt edellisiä operaatioita vastaavat joukot predikaattien avulla. Olkoon siis A, B E. Joukkojen A ja B leikkaus: tai Joukkojen A ja B yhdiste: tai A B := {x E (x A) (x B)} A B := {x (x A) (x B)} A B := {x E (x A) (x B)} A B := {x (x A) (x B)} Joukon A komplementti: tai Erotus A \ B: tai A := {x E x A} A := {x x A} A \ B := {x E (x A) (x B)} A \ B := {x (x A) (x B)} 26

27 Esim. Olkoon perusjoukko E = {1, 2, 3, 4, 5} ja joukot A = {1, 3}, B = {3, 4, 5} Tällöin A B = {3} A B = {1, 3, 4, 5} A \ B = {1} A = {2, 4, 5} B = {1, 2} Joukkojen erotus voidaan esittää komplementin ja leikkauksen avulla A \ B = A B Olkoon A, B, C E. Erotuksella on ominaisuudet 1. A \ A = 2. A \ = A 3. \ A = 4. (A \ B) \ C = A \ (B C) = (A \ C) \ B Määritellään vielä symmetrinen erotus A B A B := (A \ B) (B \ A) Tämä voidaan esittää komplementin, leikkauksen ja yhdisteen avulla A B = (A B) ( A B) Huom! Joukkojen erotus ja symmetrinen erotus voidaan siis esittää komplementin, leikkauksen ja yhdisteen avulla. Komplementti, leikkaus ja yhdiste voidaan tulkita joukko-opin perusoperaatioiksi. 27

28 5.1 Joukko-opin perussäännöt Olkoon E perusjoukko ja A, B, C E. Tällöin on voimassa (1) A A = E A A = (2) A E = A A = A (3) A E = E A = (4) A A = A A = A (5) ( A) = A (6) A B = B A A B = B A (komplementtilait) (vaihdantalait) (7) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (assosiatiivisuuslait) (8) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (osittelulait) (9) A (A B) = A (A B) = A (absorptiolait) (10) (A B) = A B (A B) = A B (11) A A B ja A B A (12) A B = A A B = B A B (13) A B B A (14) A = B A = B (De Morganin lait) Perussäännöt voidaan osoittaa oikeiksi käyttäen lauseiden tunnettuja loogisia ekvivalensseja. Esim. Todistetaan vaihdantalaki A B = {x x A x B} = {x P Q} = {x Q P } = {x x B x A} = B A P := x A, Q := x B Käytimme siis propositiologiikan vaihdantalakia todistuksessa. Esim. Todistetaan De Morganin laki (A B) = A B. 28

29 (A B) = {x x (A B)} = {x (x (A B))} = {x ((x A) (x B))} P := x A, Q := x B = {x (P Q)} = {x P Q} = {x (x A) (x B)} = {x x A x B} = A B Käytimme propositiologiikan De Morganin lakia todistuksessa. Osittelulaeille (8) on voimassa yleistykset A (B 1 B 2... B n ) = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B n ). A (B 1 B 2... B n ) = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B n ). De Morganin laeille (10) on voimassa yleistykset (A 1 A 2... A n ) = A 1 A 2... A n (A 1 A 2... A n ) = A 1 A 2... A n Joukkojen koosta. Määritellään tulevassa, että joukko on äärellinen, jos se on tyhjä tai sen alkiot voidaan numeroida luonnollisten lukujen avulla, eli luvuilla 1,2,3,..., n, jollakin n N. Jos joukko ei ole äärellinen, se on ääretön. 5.2 Joukkojen karteesinen tulo Kun A ja B ovat epätyhjiä joukkoja, niin järjestetty pari (pair, tuple) on olio muotoa (a, b), missä a A ja b B. Joukkojen A ja B karteesiseksi tuloksi (tulojoukoksi) A B, määritellään kaikkien järjestettyjen parien joukko A B := {(a, b) a A, b B}. Tulojoukon koko on A B = A B. 29

30 Esim. Olkoot äärelliset joukot A ja B muotoa A = {x, y} ja B = {1, 2, 3}. Tällöin A B = {(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3)}. B A = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}. A A = {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)}. Voimme havainnollistaa karteesista tuloa A B seuraavasti: A x (x,1) (x,2) (x,3) y (y,1) (y,2) (y,3) B n-ulotteinen karteesinen tulo. Olkoon n jokin luonnollinen luku. Epätyhjien joukkojen A 1, A 2,..., A n n-ulotteinen karteesinen tulo on muotoa A 1 A 2... A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i A i, i = 1, 2,..., n}, missä joukon alkioita (a 1, a 2,..., a n ) kutsutaan vektoreiksi, äärellisiksi listoiksi tai n-jonoiksi. Jos n-ulotteisen karteesisen tulon kaikki joukot ovat sama joukko, eli A i = A kaikilla i = 1,..., n, merkitään A n := A 1 A 2... A n Esim. Olkoon joukko B = {1, 0}. Tällöin B n voidaan tulkita kaikkien n:n mittaisten bittijonojen joukoksi. Euklidinen avaruus. karteesiseksi tasoksi. Tarkastellaan karteesista tulojoukkoa R n. Jos n = 2, joukkoa R 2 kutsutaan Olkoon vektorit (a 1, a 2,..., a n ) R n ja (b 1, b 2,..., b n ) R n. Määritellään vektoreiden yhteenlasku ja reaalivakiolla (c R) kertominen (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) c(a 1, a 2,..., a n ) = (ca 1, ca 2,..., ca n ). Joukkoa R n varustettuna vektoreiden yhteenlaskulla ja reaalivakiolla kertomisella kutsutaan n-ulotteiseksi euklidiseksi avaruudeksi. Vektoreiden pituus ja pistetulo. n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa vektorin pituus (normi) on (a 1, a 2,..., a n ) = (a a a 2 n) 1/2 ja vektoreiden välinen pistetulo (skalaaritulo, sisätulo) on (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b a n b n. i=1 30

31 Esim. Olkoon vektorit (1, 2, 3) R 3 ja (1, 1, 1) R 3. Tällöin vektoreiden pituudet ovat (1, 2, 3) = = 14 ja niiden välinen pistetulo (1, 1, 1) = = 3 (1, 2, 3) (1, 1, 1) = = 6 Matriisi. Matriisi (matrix) voidaan tulkita järjestyksi joukoksi avaruuden R n vektoreita. Esim. m n-matriisi, missä avaruuden R n vektorit muodostavat matriisin rivit (m kpl) a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn Matriisi on yksi tärkeimmistä tietorakenteista. Esimerkki: digitaalinen harmaasävykuva. Vektoreiden ja matriisien välille voidaan muodostaa operaatioita (kuten vektoreiden sisätulo edellä). Laskentaa tarkastellaan erityisesti lineaarialgebraa käsittelevillä kursseilla. Matriisit ja tietyt operaatiot kohtaamme seuraavan kerran graaen yhteydessä. 6 Predikaattilogiikkaa Tarkastellaan tarkemmin predikaatteja. Predikaatti P (x) perusjoukossa E on lausefunktio (avoin lause) joka sisältää muuttujan x siten, että aina kun x korvataan millä tahansa perusjoukon E alkiolla, predikaatin P (x) tulos on tosi (T) tai epätosi (E). Predikaattia sanotaan n:n muuttujan predikaatiksi, jos siihen liittyy n muuttujaa (argumenttia). Esim. K(x) äiti(u, H) S(x 1, x 2, y) S(x 1, x 2, x 3, y) x on kissa yksi muuttuja U on H:n äiti kaksi muuttujaa x 1 + x 2 = y kolme muuttujaa x 1 + x 2 + x 3 = y neljä muuttujaa Kvanttorit. Predikaattien kanssa käytetään usein kvanttoreita (quantier) muodostamaan loogisia lauseita. Kvanttorit ovat 1. universaalikvanttori, (kaikille) 31

32 2. olemassaolokvanttori, (on olemassa) Yhdistämällä kvanttorit ja predikaatit saadaan muodostettua (suljettuja) lauseita, eli propositioita. Esimerkiksi yhden muuttujan predikaatin tapauksessa 1. x : P (x) (kaikille x E: P (x)). 2. x : P (x) (on olemassa x E: P (x)). Ei ole olemassa merkitään tulevassa negaatiota käyttäen.... Esim. Olkoon E = R. Määritellään predikaatti P (x) =x on kokonaisluku ja x 2 = 16. Tarkastellaan lausetta Q := x : P (x) Q = Kaikki reaaliluvut ovat kokonaislukuja ja toteuttavat yhtälön x 2 = 16. Lause on epätosi. Tarkastellaan lausetta R := x : P (x) R = On olemassa reaaliluku, joka on kokonaisluku ja toteuttaa yhtälön x 2 = 16. Lause on tosi (esim. x = 4 tai x = 4). Esim. Olkoon perusjoukko E kaikkia eläimet. Esitetään (epätosi) lause R=mitkään linnut eivät ole saalistajia predikaattien ja kvanttorien avulla. Olkoon predikaatit P (x) = x on lintu ja Q(x) = x on saalistaja R := x(p (x) Q(x)) Vastaavasti x(p (x) Q(x)) eli jotkin linnut eivät ole saalistajia. Tosi. Kvanttoreista. Kvanttoreita käytettäessä on kiinnitettävä huomiota siihen mikä on perusjoukko E! Kvanttori kohdistuu lauseissa tiettyyn muuttujaan. Tällainen muuttuja on sidottu muuttuja. Usean muuttujan predikaattien tapauksessa suljettu lause (propositio) muodostetaan sitomalla kaikki muuttujat kvanttoreilla. Esim. x y : ((P (x) Q(y)) Q(z)) Lause ei ole suljettu, koska x ja y ovat sidottuja, mutta z on vapaa muuttuja. 32

33 Useita kvanttoreita käytettäessä on huomioitava, että niiden järjestyksellä on väliä. Esim. Olkoon perusjoukkona kokonaisluvut. Tarkastellaan kahden muuttujan predikaattia P (x, y) := x < y. Tarkastellaan lausetta Q := x y : P (x, y) Jokaiselle kokonaisluvuille x on olemassa kokonaisluku y, joka on suurempi kuin x. Tosi. R := y x : P (x, y) On olemassa kokonaisluku y, joka on suurempi kuin jokainen kokonaisluku. Epätosi. Järjestystä ei siis saa vaihtaa. Esim. Olkoon perusjoukkona kaikki maailman ihmiset. Tarkastellaan kahden muuttujan predikaattia P (x, y) : x tuntee y:n. Tarkastellaan lausetta Q := x y : P (x, y) On olemassa ihminen, joka tuntee kaikki ihmiset. Vaihtamalla kvanttoreiden järjestys saadaan R := x y : P (x, y) Kaikki ihmiset tuntevat jonkun ihmisen. Esim. Olkoon P (x, y) ja E kuten aiemmassa esimerkissä. Voimme myös muodostaa lauseet: y x : P (x, y) On olemassa ihminen, jonka kaikki tuntevat. y x : P (x, y) Kaikille ihmisille on olemassa joku ihminen (x) joka tuntee kyseisen ihmisen....ja x y : P (x, y) On olemassa ihminen x, joka tuntee ihmisen y. y x : P (x, y) 33

34 On olemassa ihminen y, jonka ihminen x tuntee. Kaikki ihmiset tuntevat kaikki ihmiset. Kaikki ihmiset tuntevat kaikki ihmiset. x y : P (x, y) y x : P (x, y) Loogisia ekvivalensseja I. Loogisesti ekvivalentteja lauseita ovat x y : P (x, y) y x : P (x, y) ja x y : P (x, y) y x : P (x, y) Voimme siis vaihtaa järjestystä, jos kvanttorit ovat samat. Esim. Tarkastellaan lausetta P (x) : x on hyvä. x : P (x) Kaikki perusjoukon otukset ovat hyviä. Ei ole olemassa pahaa perusjoukon otusta. Lauseet ovat loogisesti ekvivalentteja. x : P (x) Loogisia ekvivalensseja II. Yleisesti on voimassa x : P (x) x : P (x) ja x : P (x) x : P (x) Loogisia ekvivalensseja III. Olkoon perusjoukko äärellinen ja siinä n otusta, eli esim. E = {x 1, x 2,..., x n }. Kvanttoreiden avulla muodostetut lauseet x : P (x) ja x : P (x) voidaan nyt kirjoittaa muodossa x : P (x) P (x 1 ) P (x 2 )... P (x n ) ja x : P (x) P (x 1 ) P (x 2 )... P (x n ). 34

35 Edellisten nojalla saadaan x : P (x) (P (x 1 ) P (x 2 )... P (x n )) P (x 1 ) P (x 2 )... P (x n )) x : P (x) ja x : P (x) (P (x 1 ) P (x 2 )... P (x n )) P (x 1 ) P (x 2 )... P (x n )) x : P (x) Loogisesta päättelystä. Todistetaan predikaattilogiikan avulla, että Sokrates on kuolevainen käyttäen premissejä Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia ja Sokrates on ihminen. Huom. Propositiologiikan avulla emme voi esittää todistusta. Tarvitsemme seuraavassa universaalikvanttorin eliminointisääntöä (UE): xp (x) lauseesta seuraa P (t), missä t on mikä tahansa termi (muuttuja tai vakio). Olkoon predikaatit K(x) : x on kuolevainen, I(x) : x on ihminen Todistetaan siis x(i(x) K(x)), I(Sokrates) K(Sokrates). 1. x(i(x) K(x)) Premissi I(Sokrates) Premissi I(Sokrates) K(Sokrates) (1. ja UE:n nojalla) Jos Sokrates on ihminen, hän on kuolevainen 4. K(Sokrates) (modus ponens, 2. ja 3.) Siis Sokrates on kuolevainen. Kvanttoreihin liittyviä päättelysääntöjä. Universaalikvanttorin eliminointisääntöä (UE): xp (x) lauseesta seuraa P (t), missä t on mikä tahansa termi (muuttuja tai vakio). Olemassaolokvanttorin yleistyssääntö (OY): Jos P (t) on tosi jollakin t, voidaan kirjoittaa xp (x). Olemassaolokvanttorin eliminointisääntö (OE): 35

36 xp (x) lauseesta seuraa P (t), jollekin t. 7 Matemaattinen todistaminen Notaatiosta. Propositiologiikassa määrittelimme yhdistetyt lauseet muodossa f(p ), g(p, Q),..., missä P, Q olivat atomilauseita. Predikaatit määrittelimme muodossa P (x), P (x, y),..., missä lauseen totuusarvo siis riippuu (perusjoukon) alkioista jotka sijoitetaan muuttujien x ja y paikalle. Todistaminen. Usein haluamme todistaa matemaattisia lauseita, jotka ovat muotoa P Q tai määrittelevät luonnollisia lukuja koskevan väitteen. Lauseet P ja Q ovat yleensä predikaatteja, eli sisältävät jotkin muuttujat. Todistuksissa implikaation P Q lausetta P voidaan kutsua oletukseksi ja lausetta Q väitteeksi, joka halutaan todistaa. Implikaation P Q tapauksessa tarkastelemme kolmea todistusmenetel- Todistusmenetelmät. mää 1. Suora päättely 2. Epäsuora päättely 3. Yleinen epäsuora päättely Luonnollisia lukuja koskevien väitteiden osalta käsittelemme induktiotodistusta. 7.1 Suora päättely Suora päättely (todistus) perustuu modus ponens päättelyyn P, P Q Q eli tautologiaan P (P Q) Q. Todistuksissa oletetaan, että lause (oletus) P on tosi ja osoitetaan, että tästä seuraa, että lause (väite) Q on tosi. Tämä siis samalla tarkoittaa, että kun P on tosi, niin väite Q ei voi olla epätosi. Ts. oletuksen ja väitteen välillä on implikaatio (P Q) voimassa. 36

37 Esim. 1 Olkoon x ja y kokonaislukuja. Todistetaan suoran päättelyn avulla: Jos x ja y ovat parittomia lukuja, niin xy on pariton. Todistus. Olkoon P =x ja y ovat parittomia lukuja ja Q =xy on pariton. Tehdään oletus: x ja y ovat parittomia lukuja on tosi. (P on tosi) Oletuksen nojalla x = 2m + 1 ja y = 2n + 1, joillekin kokonaisluvuille n ja m. Tästä seuraa, että xy = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1, eli xy on pariton luku. Siis väite on tosi. Esim. 2 Olkoon n kokonaisluku. Todistetaan suoran päättelyn avulla: Jos n on pariton, niin n 2 on pariton. Todistus. Olkoon P =n on pariton ja Q =n 2 on pariton. Tehdään oletus: n on pariton on tosi. (P on tosi) Oletuksen nojalla n = 2m + 1, joillekin kokonaisluvulle m. Tästä seuraa, että n 2 = (2m + 1)(2m + 1) = 4m 2 + 2m + 2m + 1 = 2(2m 2 + 2m) + 1, eli n 2 on pariton luku. Siis väite on tosi. 7.2 Epäsuora päättely Epäsuora päättely (todistus) perustuu päättelyyn eli tautologiaan P, Q P Q, P ( Q P ) Q. Aiemmin osoitimme loogisen ekvivalenssin implikaatiolle (kontraposition laki) Q P P Q. Eli, jos voimme todistaa, että Q P on voimassa, tiedämme että oletuksen ja väitteen välillä on implikaatio P Q voimassa (kuten suorassa päättelyssä edellä). Todistamisesta. Epäsuorasta päättelyssä oletetaan, että (oletus 1.) P on tosi ja tehdään oletus 2. (ns. antiteesi) että Q on tosi. Todistuksessa osoitetaan, että oletuksesta 2. seuraa, että P on tosi, eli että Q P on voimassa. Tästä seuraa ristiriita, sillä oletuksen 1. nojalla P on tosi. (Siis lause P olisi tosi ja epätosi, mikä on ristiriita!) Ristiriidasta voidaan päätellä, että antiteesin Q täytyy olla epätosi, eli väitteen Q täytyy olla tosi. 37

38 Esim. 1 Olkoon n kokonaisluku. Todistetaan epäsuoran päättelyn avulla: Jos n 2 on pariton, niin n on pariton. Todistus. Olkoon P =n 2 on pariton ja Q =n on pariton. Tehdään oletus 1.: n 2 on pariton on tosi. (P on tosi) Tehdään oletus 2. (antiteesi): n on parillinen on tosi. ( Q on tosi) Todistetaan suoran todistuksen avulla ( Q P ): Jos n on parillinen, niin n 2 on parillinen. Oletuksen 2. nojalla n = 2m, jollekin kokonaisluvulle. Tästä seuraa, että n 2 = 4m 2 = 2(2m 2 ), joka on parillinen kokonaisluku. Siis oletuksesta 2. seuraa, että P on tosi. Kun P on tosi, saadaan ristiriita oletuksen 1. kanssa (P on tosi), joten antiteesin täytyy olla epätosi. Siis: Q on epätosi ja Q on tosi. Esim. 2 Olkoon n kokonaisluku. Todistetaan epäsuoran päättelyn avulla: Jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Todistus. Olkoon P =n 2 on parillinen ja Q =n on parillinen. Tehdään oletus 1.: n 2 on parillinen on tosi. (P on tosi) Tehdään oletus 2. (antiteesi): n on pariton on tosi. ( Q on tosi) Todistetaan suoran todistuksen avulla ( Q P ): Jos n on pariton, niin n 2 on pariton. Oletuksen 2. nojalla n = 2m + 1, jollekin kokonaisluvulle. Tästä seuraa, että n 2 = (2m + 1) 2 = (2m + 1)(2m + 1) = 4m 2 + 4m + 1 = 2(2m 2 + 2m) + 1, joka on pariton kokonaisluku. Siis oletuksesta 2. seuraa, että P on tosi. Tämä on ristiriita oletuksen 1. kanssa (P on tosi), joten antiteesin täytyy olla epätosi. Siis: Q on epätosi ja Q on tosi. 7.3 Yleinen epäsuora päättely Yleinen epäsuora päättely (todistus) perustuu päättelyyn (P, ((P Q) E)) Q, eli tautologiaan P (P Q) E) Q. Todistuksissa oletetaan, että P on tosi, P Q on tosi (antiteesi Q on tosi), ja johdetaan jokin ristiriita. Tällöin ristiriidasta seuraa että antiteesi Q on epätosi ja väite Q on tosi. Todistuksessa siis ristiriidan ei välttämättä tarvitse olla lauseeseen P liittyvä. Ristiriita voi olla esimerkiksi muotoa 1 > 0. 38

39 7.4 Induktiotodistus Olkoon predikaatti P (n), joka määrittelee luonnollisia lukuja (N) koskevan väitteen. Olkoon tehtävänä todistaa, että lause P (n) on tosi kaikilla n N. Tarkastellaan todistamista induktioperiaatteen mukaan. Induktioperiaate: Olkoon P (n) predikaatti joka on määritelty kaikille luonnollisille luvuille. Jos 1. P (1) on tosi, ja 2. P (k):n totuudesta jollakin arvolla k (k 1) seuraa aina P (k + 1):n totuus, niin P (n) on tosi kaikille luonnollisille luvuille n. Muotoillaan induktioperiaate kvanttoreiden avulla. Induktioperiaate: Olkoon P (n) predikaatti joka on määritelty kaikille luonnollisille luvuille. Jos 1. P (1) on tosi, ja 2. k 1 : (P (k) P (k + 1)) on tosi, niin n : P (n) on tosi. Induktiotodistus. Menetellään seuraavasti 1. (Perusaskel) Osoitetaan, että P (1) on tosi. 2. (Induktio-oletus) Tehdään induktio-oletus niin, että oletetaan P (n) olevan tosi arvolla n = k. 3. (Induktioaskel) Osoitetaan, että induktio-oletuksesta seuraa, että P (k + 1) on tosi. 4. (Johtopäätös) Todistettava väite seuraa induktioperiaatteesta. Vrt. dominopalikat: 1. (Perusaskel) Palikka 1. kaatuu. 2. (Induktio-oletus ja Induktioaskel) Palikka tietyssä paikassa kaatuu ja kaataa vierekkäisen palikan. 3. (Johtopäätös) Kaikki palikat kaatuvat. 39

40 Esim. 1 Todista induktiolla, että predikaatti P (n) :=n 2 + n on parillinen on tosi n N. Todistus. Perusaskel: P (1) = 2 on parillinen. Tosi. Induktio-oletus (IO): P (k) on tosi, eli k 2 + k = 2p, jollakin p N. Induktioaskel: P (k + 1) = (k + 1) 2 + (k + 1) = k 2 + 2k k + 1 = k } 2 {{ + k } +2(k + 1) 2p }{{} = 2p + 2(k + 1) IO = 2(p + k + 1). Siis P (k + 1) on tosi. Johtopäätös: induktioperiaatteen nojalla n 2 + n on parillinen kaikilla n N. Esim. 2 Todista induktiolla, että predikaatti P (n) :=n 3 n on jaollinen kolmella on tosi n N. Todistus. Perusaskel: P (1) = 0 on jaollinen kolmella. Tosi. (P (2) = = 8 2 = 6 = 3 2 on jaollinen kolmella.) Induktio-oletus (IO): Oletetaan että P (k) on tosi, eli k 3 k = 3p, jollakin p N. Induktioaskel: Silloin myös k + 1:n pitää olla jaollinen kolmella: P (k + 1) = (k + 1) 3 (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 k 1 = k } 3 {{ k } +3(k 2 + k) 3p }{{} = 3p + 3(k 2 + k) = 3(p + k 2 + k). IO Siis P (k + 1) on tosi. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla n 3 n on jaollinen kolmella n N. Esim. 3 Todista induktiolla, että predikaatti P (n) :=7 n 1 on jaollinen kuudella on tosi n N. Todistus. Perusaskel: P (1) = = 6 on jaollinen kuudella. Tosi. Induktio-oletus (IO): Oletetaan että P (k) on tosi, eli 7 k 1 = 6p, jollakin p N. Induktioaskel: Silloin myös k + 1:n pitää olla jaollinen kuudella: P (k + 1) = 7 (k+1) 1 = 7(7 k ) 1 = 7(7 k ) = 7(7 k 1) + 6. }{{} = 7(6p) + 6. IO = 6(7p + 1). Siis P (k + 1) on tosi. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla 7 n 1 on jaollinen kuudella n N. 40