Johdatus logiikkaan (Fte170)

Transkriptio

1 Johdatus logiikkaan (Fte170) Teoreettinen filosofia, 5 op, periodit I ja II, 2010 Markus Pantsar 1. Johdanto 1.1 Filosofinen logiikka Logiikkaa tutkitaan pääasiallisesti kolmen tieteen piirissä: filosofian, matematiikan ja tietojenkäsittelytieteen. Nämä logiikan alat ovat tiiviissä yhteydessä, eikä tarkkaa rajanvetoa niiden välille voida esittää. Tärkeämpää onkin se, mikä niitä yhdistää: missä tahansa tutkimme logiikkaa, pyrimme täsmällisyyteen, yksiselitteisyyteen ja yleisyyteen. Luonnolliset kielet kuten suomi ovat usein epäselviä ja merkityksiltään epätäydellisiä. Mikäli sanon jos huomenna sataa, otan mukaan sateenvarjon, mitä teen siinä tapauksessa, että huomenna ei sada? Toisaalta lauseeni viittaa epäsuorasti siihen, että poutasäällä jätän sateenvarjon kotiin, mutta itse asiassa en suoraan sano yhtään mitään poutasään tapauksesta. Tämän kaltaiset piilomerkitykset pyrimme poistamaan logiikassa. Paras tapa näiden monimerkityksellisyyksien ja epäselvyyksien poistamiseksi on siirtyä luonnollisista kielistä formaaleihin (symbolisiin) kieliin. Tämä tarkoittaa käytännössä sitä, että luomme uuden täsmällisen kielen loogiseksi apuvälineeksi. Eri aloilla formaalia logiikkaa käytetään hyväksi hyvin eri tavoin. Matematiikassa pyritään usein lähes täysin formaaleihin esityksiin, joissa tietyistä alkuoletuksista (aksioomista) johdetaan symbolisen logiikan avulla lauseita (teoreemoja). Filosofiassa (itse logiikan tutkimuksen ulkopuolella) esitystapa on vähemmän formaali. Esimerkiksi nykyisessä tieteenfilosofiassa argumentit esitetään suurimmaksi osaksi luonnollisella kielellä, ja formaalia esitystapaa käytetään pääasiassa selkeyttämään tiettyjä tärkeitä ja mahdollisesti epäselviä kohtia. Monilla filosofian osa-alueilla formaalia esitystapaa ei käytetä juuri lainkaan. Tämä ei kuitenkaan tarkoita sitä ettei formaali logiikka koskisi kaikkea filosofiaa. Formaali kieli voi olla raskasta luettavaa ja siksi sitä pyritään usein välttämään. Mikäli väärinymmärtämisen mahdollisuutta ei ole, tässä ei ole mitään väärää. Mutta riippumatta käytetystä formalismin asteesta filosofisen argumentin tulee olla pätevä, ja formaali logiikka on korvaamaton apuväline päättelyjen pätevyyden tarkastamisessa. Kun formalisoimme jonkin luonnollisen kielen päättelyn, saamme yksiselitteisen vastauksen sen pätevyydestä. Siksi filosofian tulee olla formaalin logiikan sääntöjen mukaista vaikka sitä ei esitettäisi formaalilla kielellä. 1.2 Formaali logiikka Logiikka on päteviä päättelyjä ja argumentteja tutkiva tiede. Erityisesti logiikassa tutkitaan loogista seurausta, eli sitä seuraako jokin johtopäätös loogisesti joistakin oletuksista eli premisseistä. Premissit ja johtopäätökset ovat väittämiä, jotka ovat joko tosia tai epätosia. Suomi on tasavalta ja Maija on Jannen vaimo ovat selvästikin väittämiä. Sitä vastoin Suomi ja Maija on eivät ole väittämiä; ne eivät ole sen enempää tosia kuin epätosiakaan. Se, onko jokin sanajono (tai muu symbolijono) väittämä, on testattavissa helposti sijoittamalla se seuraavaan lauseskeemaan: 1

2 Onko totta, että? Jos saatu lause on järkevä, on sanajono väittämä. Selvästikin Onko totta, että Suomi on tasavalta? on järkevä lause, mutta Onko totta, että Suomi? ei ole. Väittämän ei tarvitse olla suomen kielen lause: Onko totta, että 3 <? on järkevä lause, joten 3 < on väittämä (sen sijaan esimerkiksi ei ole). Tällä kurssilla kutsumme väittämiä pääasiassa lauseiksi, mutta on siis hyvä huomata, että tällä tarkoitetaan eri asiaa kuin äidinkielessä. Lyhyesti sanottuna: mikä tahansa symbolijono, millä voidaan ajatella olevan totuusarvo (sen voidaan ajatella olevan joko tosi tai epätosi), on logiikassa lause. Loogisella seurauksella tarkoitetaan siis jonkin väittämän (johtopäätöksen) seuraamista toisista väittämistä (premisseistä). Selvästikin premissistä kaikki ihmiset ovat kuolevaisia seuraa johtopäätös jotkut ihmiset ovat kuolevaisia. Vastaavasti oletuksista kaikki ihmiset ovat kuolevaisia ja Sokrates on ihminen seuraa johtopäätös Sokrates on kuolevainen. Pätevä päättely onkin sellainen, jossa johtopäätös seuraa loogisesti premisseistä: välttämättä pätee että jos premissit ovat tosia, myös johtopäätös on tosi. Edellä olleissa päättelyissä ovat johtopäätökset selvästikin tosia aina kuin premissit ovat tosia, joten päättelyt ovat loogisesti päteviä. Mutta tätä ei pidä sekoittaa mihin tahansa tilanteeseen, jossa premissit ovat tosia ja johtopäätös on tosi. Otetaan esimerkiksi päättely: Kööpenhamina on Tanskan pääkaupunki Tukholma on Ruotsin pääkaupunki Helsinki on Suomen pääkaupunki Selvästikin premissit (lauseet viivan yläpuolella) ovat tosia ja johtopäätös (lause viivan alapuolella) on tosi. Mutta päättely ei kuitenkaan ole pätevä sillä johtopäätös ei ole premissien looginen seuraus. Tämä nähdään jo siitä, että vielä vuonna 1811 premissit olivat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Ollakseen pätevä päättely, tulisi johtopäätöksen olla tosi aina kun premissit ovat tosia. Mutta miten voimme varmistaa tämän? Edes seuraava ikuisesti todelta tuntuva päättely ei ole loogisesti pätevä: Atomien ytimissä on protoneja Atomien ytimissä on neutroneja Atomien ytimissä ei ole elektroneja Miksi tämäkään päättely ei ole pätevä? Asiaa on hyvä ajatella siltä kannalta, että ollakseen looginen seuraus, on johtopäätöksen mahdotonta olla epätosi premissien ollessa tosia. Meidän on kuitenkin mahdollista kuvitella tilanne, jossa huomaisimme olleemme väärässä atomien ydinten suhteen. Itse asiassa fysiikka on näyttänyt monta kertaa, että se mitä ajattelemme itsestäänselvyydeksi voi osoittautua vääräksi. Mutta vaikka kaikki esimerkin kolme lausetta olisivat lopullisia totuuksia atomien ytimistä, päättely ei silti olisi loogisesti pätevä. Se ettei ytimissä ole elektroneja ei seuraa loogisesti siitä, että niissä on protoneja ja neutroneja. Tämä kenties hieman epäselvältä vaikuttava ero voidaan ymmärtää kahdella tavalla. Mahdollisten maailmojen tulkinnan mukaan todellinen maailmamme on vain yksi mahdollisista maailmoista. Todellisessa maailmassamme atomien ytimissä on ainoastaan protoneja ja neutroneja, mutta on mahdollista ettei näin olisi. Sitä vastoin looginen seuraus pätee kaikissa mahdollisissa maailmoissa. Toinen tapa selittää ero on käsitteellinen (eli kielellinen): protonin ja neutronin käsitteissä ei ole mitään mistä seuraisi se, että atomin ytimessä ei ole elektroneja. Toisin sanoen tämä päättely atomin ytimistä tarvitsee ympärilleen fysiikan teorian atomeista: se on empiirinen, ei käsitteellinen totuus. 2

3 Tällä kurssilla emme käsittele juurikaan mahdollisten maailmojen tulkintaa, vaan lähestymme asiaa käsitteellisen tulkinnan kautta. Sitä vastoin päättely Sokrateen kuolevaisuudesta on loogisesti pätevä. Miksi on mahdotonta, että seuraavassa premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi? Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia Sokrates on ihminen Sokrates on kuolevainen Syy on selvästikin käytetyssä kielessä ja lauseissa itsessään. Jos kaikki ihmiset ovat kuolevaisia ja jos Sokrates on ihminen, niin välttämättä Sokrates on kuolevainen. Premissit asettavat käsitteet Sokrates, ihminen ja kuolevainen sellaiseen suhteeseen, että johtopäätös on välttämättä tosi kun premissit ovat tosia. On syytä huomata, että päättely on pätevä riippumatta siitä ovatko premissit ja johtopäätös itse asiassa tosia. Tämä nähdään helposti seuraavasta päättelystä: Kaikki ihmiset ovat naisia Sokrates on ihminen Sokrates on nainen Nyt toinen premisseistä ja johtopäätös ovat selvästikin epätosia, mutta päättely on silti pätevä. Jos premissit olisivat tosia, olisi myös johtopäätös tosi. Päättelyt ovatkin loogisesti päteviä tai epäpäteviä niiden muodon, ei sisällön perusteella. Siksi logiikassa tutkimme päättelyjen yleisiä muotoja yksittäisten päättelyjen sijaan (siksi puhutaan formaalista logiikasta). Tutkitaan kahta pätevää päättelyä: Suomi voittaa tai Ruotsi voittaa Suomi ei voita Ruotsi voittaa Markku on töissä tai Mirkku on töissä Markku ei ole töissä Mirkku on töissä Selvästikin molemmat päättelyt ovat samaa muotoa, eli: A tai B ei A B Näissä päättelyissä tai ja ei ovat ilmaisuja, jotka määräävät päättelyjen muodon, eli loogisia vakioita. Viimeinen päättely on puhtaasti formaali, eli sen pätevyys riippuu pelkästään sen muodosta: voimme vaihtaa A:n ja B:n paikalle mitkä tahansa lauseet ja päättely säilyy aina pätevänä. Tällaisia formaaleja päättelyjä tutkimme logiikassa. Tällä kurssilla perehdymme formaalin logiikan perusteisiin: lauselogiikkaan ja predikaattilogiikan alkeisiin. Lauselogiikka tutkii päättelyjä, jotka sisältävät loogisia vakioita ei, tai, ja, jos niin sekä jos ja vain jos. Mitkään muut ilmaisut eivät vaikuta lauselogiikassa päättelyjen pätevyyteen, eli mitkään muut ilmaisut eivät ole loogisia vakioita. Predikaattilogiikassa näiden lisäksi käytetään ilmaisuja kaikki ja jokin. Predikaattilogiikka sisältää siis vain vähän loogisia vakioita, mutta se on silti hyvin ilmaisuvoimainen: luonnollisten kielten monimutkaiset rakenteet ovat useimmiten palautettavissa varsin yksinkertaiseen formaaliin logiikkaan. 3

4 Predikaattilogiikan ilmaisut eivät kuitenkaan ole kaikki, mitä voidaan käyttää logiikassa. Esimerkiksi modaalilogiikassa (johon tutustutaan kevään logiikan jatkokurssilla) käytetään loogisia vakioita on mahdollinen ja välttämättä. Monille muillekin ilmaisuille on omat logiikkansa, ja yksi oleellinen osa logiikan käyttöä on valita tarkoitukseen sopiva logiikka. Logiikan valinta tarkoittaa siis ensisijaisesti loogisten vakioiden valintaa. Lauselogiikassa ilmaisut kaikki ja välttämättä eivät ole loogisia vakioita. Kuten tulemme huomaamaan, lause kaikki ihmiset ovat kuolevaisia saakin hyvin eri käsittelyn lauselogiikassa ja predikaattilogiikassa. 1.3 Kirjallisuudesta ja kurssin suorittamisesta Tämän kurssin voi suorittaa täysin tämän materiaalin ja luentojen pohjalta. Jos kuitenkin haluaa lisämateriaalia, suomeksi on olemassa kaksi oppikirjaa logiikan alkeista. Seppo K. Miettisen Logiikka perusteet kattaa tämän kurssin aihepiirin ja hieman lisääkin. Kirja sisältää paljon esimerkkejä sekä harjoitustehtäviä ratkaisuineen. Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen Johdatus logiikkaan on suunnattu enemmän matematiikan opiskelijoille, mutta soveltuu hyvin apuvälineeksi myös tälle kurssille. Kirjan esitystapa on formaalimpi kuin Miettisellä. Myös Johdatus logiikkaan sisältää paljon harjoitustehtäviä, muttei ikävä kyllä ratkaisuja. Laajemmin logiikasta ja sen perusteista kiinnostuneille suosittelen Theodore Siderin kirjaa Logic for Philosophy. Kappaleet 2 ja 4 käsittelevät lauselogiikkaa ja predikaattilogiikkaa. Internetissä oleva logiikan materiaali vaihtelee laadultaan. Suomenkielisen Wikipedian artikkeleita ei suositella käyttämään. Englanninkielinen Wikipedia on informatiivisempi ja yleensä luotettava. Stanford Encyclopedia of Philosophy ( sisältää suuren määrän kiinnostavia ja korkealaatuisia logiikkaa koskevia artikkeleja. PlanetMath ( sisältää paljon tietoa matemaattisesta logiikasta. Logiikka tutkimusalana on paljon laajempi kuin tämän kurssin aihealue, mutta suureen osaan filosofiaa (ja muuta päättelyä) predikaattilogiikka on riittävä väline. Syvemmälle predikaattilogiikkaan mennään logiikan jatkokurssilla, joka suositellaan käymään heti keväällä Tämä johdantokurssi tarjoaa pohjan jatkokurssin opinnoille, mutta toimii myös itsenäisenä johdantona formaaliin logiikkaan ja ylipäänsä loogiseen ajatteluun. Helsingin yliopistossa logiikkaa tutkitaan ja opetetaan laajasti sekä teoreettisessa filosofiassa että matematiikassa. Molemmissa aineissa logiikka on yleinen syventävien opintojen suuntautumisvaihtoehto. Sisennettynä kirjoitetut kohdat tässä materiaalissa on tarkoitettu selventämään formaalin logiikan kontekstia. Niissä pyritään selventämään logiikan peruskäsitteitä, tarkastelemaan hieman logiikan filosofiaa ja esittämään joitakin kiinnostavia logiikan ominaisuuksia, jotka eivät varsinaisesti kuulu tämän kurssin alueeseen. Kurssin suorittaminen ei edellytä sisennettyjen osien tuntemusta, vaan niiden tarkoitus on tarjota hieman lisätietoa ja syvyyttä asiasta kiinnostuneille. Samoin kappaleessa 6.5 esitetyt aiheet eivät kuulu tämän kurssin vaatimuksiin. Kuten minkä tahansa kielen kanssa, logiikan kieliä oppii parhaiten käyttämällä niitä. Näin ollen oleellisen osan tätä kurssia muodostavat harjoitustehtävät ja harjoitusryhmät, joissa niitä käydään yhdessä opettajan johdolla läpi. Harjoitusryhmiin osallistuminen onkin erittäin suositeltavaa. 4

5 Luennot alkavat perjantaina klo 9.00 yliopiston Päärakennuksen salissa 13. Harjoituksia järjestetään kolme ryhmää, jotka aloittavat seuraavasti: Ryhmä 1: ma klo U40 (Metsätalo) Sali 12 Ryhmä 2: ma klo U40 Sali 8 Ryhmä 3: to klo U40 Sali 12. Kurssille ja harjoitusryhmiin tulee ilmoittautua Weboodissa. Opiskelijoita pyydetään ilmoittautumaan vain yhteen harjoitusryhmään. Viikoilla 43 ja 44 ei ole harjoituksia. Viikolla 49 järjestetään vain torstain harjoitukset, jotka toimivat kaikille avoimena ylimääräisenä kertauksensa. Kurssi on kätevintä suorittaa väli- ja loppukokeen avulla. Välikoe pidetään ja loppukoe Suorittamalla harjoitustehtäviä on mahdollista ansaita lisäpisteitä, jotka lasketaan väli- ja loppukokeen yhteispistemäärään (max. 48) seuraavan taulukon mukaan: Tehtäviä tehty: Lisäpisteitä: 90% 5 80% 4 70% 3 60% 2 50% 1 Kurssin voi suorittaa myös tiedekuntatentissä tenttimällä toisen seuraavista vaihtoehdoista: S. Miettinen: Logiikka. Perusteet tai J. Barwise & J. Etchemendy: Language, Proof and Logic. Luvut 1-9. Harjoituksista saadut pisteet lasketaan ainoastaan väli- ja loppukokeella suoritettaessa. 5

6 2. Lauselogiikan syntaksi Lause- eli propositiologiikka on yksinkertaisin formaalin logiikan aste. Sen syntaksi (eli kielioppi) määrittelee käytettävät symbolit eli aakkoston sekä pätevät lauseenmuodostussäännöt. Määritelmä 1: Lauselogiikan aakkosto koostuu seuraavista symboleista: (1), atomilauseet (2), konnektiivit (3) (, ) sulkumerkit. Käytämme symbolia ilmaisemaan, että määritelmä (tai todistus) on päättynyt. Atomilauseet ovat lauseita (eli propositioita), joilla ei ole loogista rakennetta, eli ne eivät sisällä konnektiiveja (loogisia vakioita). Tällaisia lauseita ovat esimerkiksi kissa on ulkona ja tänään sataa. Koska lauselogiikka ei sisällä loogista vakiota ilmaisulle kaikki, on myös lause kaikki koirat ovat karvaisia lauselogiikassa atomilause. Konnektiivien nimet ja luonnollisen kielen vastaavat merkitykset ovat seuraavat: Konnektiivi Nimi Suomennos Muita käytettyjä symboleja negaatio ei, - disjunktio tai konjunktio ja &,. implikaatio jos niin ekvivalenssi jos ja vain jos, joss Konnektiivien avulla voimme muodostaa atomilauseista yhdistettyjä (eli kompleksisia) lauseita. Esimerkiksi lause kissa on ulkona ja tänään sataa on konjuktion avulla muodostettu yhdistetty lause kahdesta atomilauseesta. 1 Sulkumerkkejä käytämme kuten matematiikassa määräämään järjestystä. Määritelmä 2: Lauselogiikan lauseenmuodostussäännöt ovat seuraavat: (1) Atomilauseet ovat lauseita. (2) Jos A ja B ovat lauseita, ovat, (),(),(), ( ) lauseita. (3) Muita lauseita ei ole. 1 On syytä huomata, että luonnollisessa kielessä on samalle konnektiiville useita sanoja. Esimerkiksi mutta ja vaikka vastaavat molemmat konjunktiota. Vaikka lauseilla kissa on ulkona, vaikka tänään sataa ja kissa on ulkona ja tänään sataa on selkeä nyanssiero suomen kielessä, on niiden looginen rakenne sama. Logiikassa pyritäänkin löytämään nimenomaan kompleksisten lauseitten looginen rakenne poistamalla luonnollisen kielen nyanssit ja epäselvyydet. 6

7 Mikäli lauselogiikan kaava on sääntöjen (1)-(3) mukaan muodostettu, sanotaan sitä hyvin muodostetuksi kaavaksi. Seuraavat kaavat ovat hyvin muodostettuja (siis lauseita): ) ()) Seuraavat kaavat eivät ole hyvin muodostettuja (eli ne eivät ole lauseita): ) ( Kaavalla tarkoitetaan siis mitä tahansa lauselogiikan aakkosista muodostettua jonoja. Kaava on lause, jos se on hyvin muodostettu. Uloimmat sulut voidaan jättää merkitsemättä. Muuten sulkuja on aina syytä käyttää, jos on olemassa pienikin vaara ymmärtää lause kahdella eri tavalla. Sulut määrittävät järjestyksen samalla tavalla kuin matematiikassa, eli sisimmät sulut ovat aina ensisijaisia. Negaation ympärille ei yleensä kirjoiteta sulkuja, mutta se lasketaan silti järjestykseltään ensisijaiseksi: kaava on siis sama kuin kaava ( ). On myös ollut tapana, että konjunktio ja disjunktio lasketaan järjestykseltään ensisijaiseksi implikaatioon ja ekvivalenssiin nähden. Esimerkiksi lause tulkitaan lauseeksi ). On kuitenkin parempi käyttää sulkuja estämään tällaiset väärinkäsityksen mahdollisuudet. Yllä käytetyt isot kirjaimet, ovat muuttujia, joita käytämme määritellessämme lauselogiikan lauseenmuodostussääntöjä. Siispä on lause, jos ja ovat lauseita; niiden ei tarvitse olla atomilauseita. Määritelmän 2 perimmäinen ajatus on se, että aloittamalla atomilauseista, voimme muodostaa säännön 2.2 avulla niin monimutkaisia lauseita kuin haluamme. Olkoon esimerkiksi lause ja lause. Nyt lause on lause ( ) ). Koska ja ovat lauseita, on myös lause Määritelmän 2 perusteella. Formaali logiikka on erittäin käyttökelpoinen apuväline luonnollisen kielen päättelyjen selventämisessä. Siksi on hyvä harjoitella luonnollisen kielen lauseiden formalisointia. Otetaan esimerkiksi seuraava lause: : Jos ulkona sataa, niin kissa ei mene ulos Jotta voimme selvittää lauseen loogisen rakenteen, meidän tulee hajottaa se atomilauseiksi eli lauseiksi, jotka eivät sisällä mitään konnektiiveja. Tässä tapauksessa atomilauseet ovat: : Ulkona sataa : Kissa menee ulos Lause selvästikin kielletään lauseessa, joten käytämme sen negaatiota. Jos niin - rakenteen ilmaisemme implikaatiolla, joten lause saa loogisen rakenteen. Otetaan toinen esimerkki. Olkoon: : Ellei huomenna sada, lähden pyöräilemään, mikäli herään aikaisin. Jaetaan taas yhdistetty lause atomilauseisiin: 7

8 : Huomenna sataa : Lähden pyöräilemään : Herään aikaisin Formalisoidaan ensin osa ellei huomenna sada, lähden pyöräilemään. Lause kielletään, joten käytämme sen negaatiota. Koska ellei tarkoittaa samaa kuin jos ei niin, saa lauseen ensimmäinen osa rakenteen. Lauseen viimeinen osa mikäli herään aikaisin koskee lauseen koko aiempaa osaa, ja koska mikäli tarkoittaa samaa kuin jos, on lauseen formaali rakenne: ( ). On syytä huomata, että nyt tarvitsemme sulut määrittämään oikean järjestyksen. Voidaan toki ajatella myös, että Ellei huomenna sada on se ehto, joka koskee koko muuta lausetta, jolloin lause formalisoidaan muotoon ). Näemme, miten voimme poistaa monimerkityksellisyyden formalisoimalla lauseen. Tämä viimeinen esimerkki on kenties helpompi formalisoida kun vaihdamme sen järjestyksen vastaamaan sen loogista rakennetta. Usein onkin helpointa muotoilla lause luonnollisessa kielessä mahdollisimman selkeään muotoon ennen sen formalisointia. Lause Jos herään aikaisin, pätee seuraava: jos huomenna ei sada, lähden pyöräilemään onkin jo hyvin helppo formalisoida. Luonnollisen kielen lauseitten loogisen rakenteen löytäminen vaatii hieman harjoittelua, mutta filosofiassa se on erittäin tärkeä taito. Koskaan ei haittaa kokeilla jotain formalisointia ja hioa siitä yrityksen ja erehdyksen kautta oikea. 8

9 3. Lauselogiikan semantiikka 3.1 Totuusmääritelmä Edellä olemme tarkastelleet lauselogiikan syntaksia eli kielioppia. Syntaksin on välttämätöntä olla oikein, jotta voimme siirtyä käsittelemään lauselogiikan semantiikkaa. Semantiikka tutkii merkityksiä ja lauselogiikassa lauseiden merkitykset ovat niiden totuusarvot. Tätä tarkoitusta varten käytämme totuusjakaumaa. Totuusjakauma on funktio, joka määrittää jokaiselle atomilauseelle, joko totuusarvon tosi tai totuusarvon epätosi. Voimme esittää totuusjakauman seuraavasti: : {, } {} Merkintä {, } tarkoittaa atomilauseiden, muodostamaa joukkoa, ja merkintä {, } {} sitä, että jokaiseen joukon {, } jäseneen liitetään täsmälleen yksi alkio joukosta {}. 2 Totuusjakauma antaa siis jokaiselle atomilauseelle täsmälleen yhden totuusarvon, joko tosi tai epätosi. 3 Eli jokaiselle atomilauseelle pätee joko ( ) tai( ) (mutta ei koskaan molemmat). 4 Voimme nyt määritellä lauseiden totuuden atomilauseiden totuuden avulla. Määritelmä 3: Olkoon lause ja totuusjakauma. Lauseen totuusarvon () määrittelevät seuraavat säännöt: (1) Jos on atomilause, tulee () totuusjakaumasta. (2) Jos on, niin () jos ja vain jos (). (3) Jos on, niin () jos ja vain jos () ja (). (4) Jos on, niin () jos ja vain jos () tai (), tai molemmat. 5 (5) Jos on, niin () jos ja vain jos aina kun (), niin (). (6) Jos on, niin () jos ja vain jos () (). Nyt voimme käyttää totuusmääritelmää kompleksisten lauseiden totuusarvon selvittämiseen, kunhan tiedämme atomilauseiden totuusarvot. Otetaan esimerkiksi lause: : ( ) ja olkoon totuusjakauma, jossa ( ) ja ( ). Voimme selvittää lauseen totuusarvon seuraavasti: (i)( ) Määritelmä 3.2. (ii) ( ) Määritelmä 3.3. (iii) ( ) Kohta (i) ja Määritelmä 3.5. (iv) () Kohdat (ii) ja (iii) sekä Määritelmä Tässä käytettyä symbolia ei tule siis sekoittaa implikaatioon. 3 Englanniksi totuusarvot ovat t (true) ja f (false). Usein käytetään myös numeroita 1 (tosi) ja 0 (epätosi). 4 Merkintä tarkoittaa sitä, että otamme atomilauseiden jonosta, jonkin (minkä tahansa) mielivaltaisen lauseen. Indeksi on siis tässä muuttuja. 5 Yleisesti disjunktio ymmärretään logiikassa inklusiivisesti kuten tässä, eli disjunktio on tosi myös kun sen molemmat jäsenet ovat tosia. Vaihtoehtoinen tulkinta on eksklusiivinen, joka tarkoittaa Joko A tai B muttei molemmat. Voimme toki ilmaista eksklusiivisen disjunktion logiikassa inklusiivisen disjunktion avulla (ja päinvastoin), joten valinnalla kahden disjunktion välillä ei ole muuta kuin käytännön merkitystä. 9

10 Siis lause on tosi totuusjakaumalla. 3.2 Totuustaulut Edellä olemme tarkastelleet esimerkkiä yhdellä totuusjakaumalla. Jotta saisimme laajempaa tietoa lauseen loogisesta rakenteesta, meitä kiinnostaa lauseiden totuus tai epätotuus kaikilla totuusjakaumilla. Lauselogiikassa kätevin tapa tämän selvittämiseen on totuustaulu. Aloitamme luomalla konnektiiveille totuustaulut Määritelmän 3 mukaisesti. Negaation totuustaulu on: () t e ( ) e t Kuten näemme, vastaa totuustaulu Määritelmää 3.2. Yksinkertaisuuden vuoksi totuustauluissa kirjoitetaan () sijaan pelkästään, jne. Seuraavassa annetaan totuustaulut muille konnektiiveille: Konjunktio: t t t t e e e t e e e e Disjunktio: t t t t e t e t t e e e Implikaatio: t t t t e e e t t e e t Ekvivalenssi: t t t t e e e t e e e t Implikaation totuustaulu voi vaikuttaa kummalliselta, sillä on tosi aina kun on epätosi. Tähän on kuitenkin hyvä syy. Ajatellaan lausetta Jos ulkona sataa, kissa ei mene ulos. Selvästikin lause on epätosi, jos ulkona sataa ja kissa menee ulos, aivan kuten totuustaulu sanoo. Mutta pitäisikö sen olla tosi vai epätosi tapauksessa, jossa ulkona ei sada? Huomaamme, että lause ei itse asiassa kerro mitään tästä tapauksesta. Voimme osoittaa lauseen epätodeksi ainoastaan siinä tapauksessa, että ulkona sataa, joten on järkevää ajatella :n olevan tosi aina :n ollessa epätosi. Nyt aiempi esimerkkilause = ( ) saa seuraavan totuustaulun: ( ) ( ) ( ) ( ) t t e t e t t e t e t t e t e e t t e e t e t t Näemme, että () kaikilla totuustaulun riveillä, eli se on tosi kaikilla totuusjakaumilla. 10

11 Voimme käyttää totuustauluja myös useamman lauseen päättelyihin. Otetaan esimerkiksi päättely ). Sen totuustaulu muodostetaan implikaation ja konjunktion totuustaulujen avulla helposti (voimme käyttää totuustauluja luonnollisesti kaikkiin lauseisiin sekä atomilauseisiin että kompleksisiin): ( ) t t t t t t t e e e t e t e e t e e e e e t t t t e t e e t e e t e t e e e e t Kuten huomaamme, kaikki totuusjakaumat sisältyvät totuustauluun. Jos kompleksinen lause koostuu n lauseesta, tulee totuustauluun 2 riviä eli totuusjakaumaa (esim. edellä kolmesta lauseesta muodostuvan lauseen totuustaulussa on 2 =8 riviä). Tässä vaiheessa on hyvä tarkastella millainen konnektiivi käyttämämme implikaatio oikein on. Implikaatioita eli seuraavuuksia on monenlaisia, joista tutuin lienee kausaalinen seuraavuus. Jos pilkon sipulia, silmäni alkavat kyynelehtiä. Jos tupakoin, lisääntyy riskini saada keuhkosyöpä. Kausaalisessa seuraavuudessa on :n syy, jos on tosi aina kun on tosi. Kausaalista seuraavuutta ei tule sekoittaa pelkkään korrelaatioon. Tilastot osoittavat, että kun jäätelönmyynti kasvaa, nousee hukkuneitten määrä. Jäätelö ei kuitenkaan ole hukkumisten syy, vaan niillä molemmilla on yhteinen syy: lämmin sää. Tällöin sanotaan, että ja korreloivat: toisen totuus riippuu toisesta, vaikkei olekaan sen kausaalinen syy. Logiikassa käyttämämme implikaatio on materiaalinen implikaatio: ainoastaan kieltää mahdollisuuden, että on tosi ja epätosi. On helppo huomata, että sekä kausaalinen seuraus että korrelaatio toteuttavat tämän ehdon. Mutta sen toteuttavat monet muutkin tapaukset. Jos Helsinki on Suomen pääkaupunki, niin Marsilla on kaksi kuuta on selvästikin materiaalisesti tosi, mutta ei sisällä kausaalisuutta tai korrelaatiota. Lisäksi epätodesta lauseesta seuraa materiaalisesti mitä vaan: Jos Helsinki on Ruotsissa, on Marsilla kolme kuuta on materiaalisesti tosi. Materiaalinen implikaatio onkin kaikkein heikoin (ja siksi yleisin) implikaation muoto. 3.3 Tautologiat On syytä tutkia tarkemmin lauseen totuusarvoja eri totuusjakaumilla. Erityisen kiinnostavia ovat tapaukset, joissa lause on tosi (tai vastaavasti epätosi) kaikilla totuusjakaumilla. Määritelmä 4: Käytämme seuraavia nimityksiä: (1) Lause on tautologia, jos () kaikilla totuusjakaumilla. (2) Lause on kontradiktio (ristiriita), jos () kaikilla totuusjakaumilla. (3) Lause on toteutuva, jos () vähintään yhdellä totuusjakaumalla. (4) Lause on kumoutuva, jos () vähintään yhdellä totuusjakaumalla. (5) Lause on kontingentti (sisällöllinen), jos se on sekä toteutuva että kumoutuva. 11

12 Lause on siis tautologia, jos se saa totuustaulun jokaisella rivillä arvon t. Vastaavasti lause on kontradiktio, jos se saa jokaisella rivillä arvon e. Muutoin lause on kontingentti. Huomaamme, että aiemman esimerkin lause ( ) on tautologia. Sen sijaan yllä oleva lause ) on kontingentti. Määritelmästä 4 näemme suoraan seuraavat ominaisuudet: - Jos lause on tautologia, se on toteutuva. - Jos lause on kontradiktio, se on kumoutuva. - Lause on tautologia jos ja vain jos ei ole toteutuva. - Lause on tautologia jos ja vain jos ei ole kumoutuva. - Lause on toteutuva jos ja vain jos on kumoutuva. Tautologinen lause on siis tosi kaikilla sen sisältämien lausesymbolien (atomilauseiden tai kompleksisten lauseiden) totuusarvoilla. Siksi sanotaankin, että tautologiselle lauseella ei ole sisältöä: se on tosi riippumatta totuusjakaumasta eli siitä, millainen tilanne maailmassa vallitsee. Vastaavasti kontradiktio on myös sisällötön: se on epätosi riippumatta maailmasta. Tautologiat ja kontradiktiot eivät siksi olekaan kiinnostavia, jos haluamme oppia jotain uutta ulkomaailmasta. Logiikassa ne kuitenkin ovat tärkeitä, sillä ne antavat meille mahdollisuuden päätellä formaalisti lauseita toisista lauseista, ja siten selvittää niiden loogisia ominaisuuksia. Näytetään, että () )) on tautologia: ( ) ) ( ) (( ) ) ( ( )) t t t t t t t t t t e t e e e t t e t e t t t t t e e e t t t t e t t e t t t t e t e e t e t t e e t e t t t t e e e e t t t t Koska lause on tautologia, voimme korvata lauseen lauseella ) riippumatta lauseiden, ja totuusarvoista. Tautologioiden asema logiikassa onkin korvaamaton, sillä lauselogiikan päättelysäännöt ovat tautologioita. Seuraavassa on muutama tärkein päättelysääntö (jotka voi tarkistaa tautologioiksi muodostamalla niille totuustaulut): Kolmannen poissuljetun laki Kielletyn ristiriidan laki Kaksoisnegaatio Vaihdantalait ( ) ()() ()() Kontrapositio Modus ponens Modus tollendo tollens ( ) ( ) () ( () 12

13 Kolmannen poissuljettu ja kielletty ristiriita ovat erityisen tärkeitä logiikan lakeja. Ne kertovat meille, ettei mikään asia voi olla samanaikaisesti sekä tosi että epätosi, mutta että kaikki asiat ovat kuitenkin joko tosia tai epätosia. Nämä ovat itse asiassa klassisen logiikan (jota käsittelemme tällä kurssilla) keskeisimmät alkuoletukset. Tällä kurssilla ne on johdettu päättelysääntöinä, eikä esitetty oletuksina, mutta tämä johtuu siitä että olemme määritelleet lauselogiikan semantiikan niiden mukaisesti totuusmääritelmässä. Modus ponens on myös logiikassa erittäin tärkeä päättelysääntö, sillä se antaa meille mahdollisuuden päätellä uusia lauseita. Myös modus ponensin pätevyys on itse asiassa alkuoletus, jonka olemme sisällyttäneet totuusmääritelmään. Palaamme myöhemmin tällä kurssilla aksiomaattiseen logiikkaan, jossa totuusmääritelmän sijaan loogisten totuuksien joukko johdetaan käyttämällä alkuoletuksia (eli aksioomia) ja päättelysääntöä modus ponens. Meillä on nyt käytössämme välineistö tutkia useita luonnollisen kielen päättelyjä formaalin logiikan avulla. Tutkitaan seuraavaa esimerkkiä: : Jos Irakilla oli joukkotuhoaseita, oli hyökkäys sinne oikeutettu. Irakilla ei ollut joukkotuhoaseita. Siispä hyökkäys sinne ei ollut oikeutettu. Onko päättely pätevä? Poimitaan ensin atomilauseet päättelystä: : Irakilla oli joukkotuhoaseita : Hyökkäys Irakiin oli oikeutettu Lause saa formalisoituna muodon ((. Tehdään sille totuustaulu: ( ) ( ) (( ) ) ) t t e e t e t t e e t e e t e t t e t t e e e t t t t t Nähdään, että päättely ei ole tautologia, eikä siis loogisesti pätevä. Mikä tärkeintä, näemme myös missä tapauksessa päättely on epätosi: kun ( ) ja ( ) eli siinä tapauksessa, että Irakilla ei ollut joukkotuhoaseita, mutta hyökkäys sinne oli oikeutettu. Tämä on tietenkin järkevää: onhan mahdollista, että oli olemassa joku muu oikeutus hyökkäykselle. Jotta päättely olisi pätevä, pitäisi ensimmäinen implikaatio korvata ekvivalenssilla. Käydään läpi vielä yksi esimerkki luonnollisen kielen formalisoinnista. Pystymme ilmaisemaan ekvivalenssin negaation ja konjunktion avulla seuraavasti: () jos ja vain jos ( ( ). Mietitään miten sama sanottaisiin suomen kielellä. Otetaan esimerkkilauseiksi : Suomi on tasavalta ja : Suomella on presidentti. Nyt on suomeksi tietenkin Suomi on tasavalta jos ja vain jos Suomella on presidentti. Konjunktion ja negaation avulla ilmaistuna sama sisältö ilmaistaan suomeksi: 13

14 Ei ole niin, että Suomi on tasavalta ja Suomella ei ole presidenttiä, ja ei ole niin, että Suomi ei ole tasavalta ja Suomella on presidentti. Tämä on keinotekoinen esimerkki, mutta näyttää meille miten paljon formaali esitystapa helpottaa ja selkeyttää monimutkaisten lauseitten sisältöä. Esimerkiksi Aristoteleen kuuluisa määritelmä totuudelle oli: Sanoa siitä mikä on, että se ei ole, tai siitä, mikä ei ole, että se on, on epätotta, kun taas sanoa siitä, mikä on, että se on, tai siitä, mikä ei ole, että se ei ole, on totta. 6 On syytä huomata, että Aristoteleen esitys ei ole mitenkään poikkeuksellinen esiformaalissa filosofiassa. 7 Formaalin logiikan vaikutus filosofisten argumenttien selkeyteen onkin ollut mittaamaton. 3.4 Totuusfunktionaalinen täydellisyys Voimme käyttää tautologioita näyttämään myös konnektiivien välisiä loogisia yhteyksiä, kuten että on tosi jos ja vain jos on tosi. Muodostetaan totuustaulu lauseelle ( ): ( ) ( ) t t e t t t t e e e e t e t t t t t e e t t t t Huomaamme lauseen olevan tautologia. Siis on tosi jos ja vain jos on tosi, joten voimme korvata ne toisillaan päättelyssä. Loogisilla konnektiiveilla on paljon vastaavanlaisia yhteyksiä: esimerkiksi negaation ja disjunktion avulla voimme johtaa kaikki muut konnektiivit, kuten yllä olemme tehneet implikaatiolle. Periaatteessa emme siis tarvitsisi muita konnektiiveja kuin negaation ja disjunktion, ja kaikki muut konnektiivit ovat ainoastaan lyhenteitä. Käytämme lauselogiikassa viiden konnektiivin joukkoa {, } pääasiassa käytännön syistä. Ne vastaavat yleisimpiä päättelyjämme ja ovat siten helposti ymmärrettävissä. On tärkeää kuitenkin tietää, että myös kahden konnektiivin joukko {, } riittäisi ilmaisemaan samat loogiset rakenteet. Mutta mistä tiedämme, riittävätkö nämä konnektiivit ilmaisemaan kaikki loogiset rakenteet, eli kaikki totuusfunktiot? Tarkastellaan nyt mitä arvoja konnektiivit voivat saada totuustauluissa. Olkoon jokin kaksipaikkainen looginen konnektiivi. Sen totuustaulu on seuraavaa muotoa: t t t e e t e e 6 Aristoteles: Metafysiikka, 1011b: Myöhemmin predikaattilogiikan kohdalla saamme välineet formalisoida Aristoteleen totuusmääritelmä. 14

15 Totuusarvot,, ja ovat siis joko t tai e. Koska jokainen näistä neljästä muuttujasta voi saada kaksi arvoa, saamme 2 = 16 eri neljän totuusarvon jonoa. Voimme käydä yksi kerrallaan ne kaikki läpi ja osoittaa, että voimme ilmaista ne negaation ja disjunktion avulla:,,, Ilmaisu käyttäen {, } Lyhenne,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ( ( ) ( )),,, ( ),,,,,, ( ) ( ),,,,,, ( ) ( ),,,,,, ( ) ( ),,, ( ),,, ( ) Näemme taulukosta, että voimme ilmaista negaation ja disjunktion avulla kaikki kaksipaikkaiset totuusfunktiot, eli kaikki 16 mahdollista totuusarvojen jonoa {}. Tällöin sanomme, että {, } on totuusfunktionaalisesti täydellinen konnektiivijoukko. On myös muita konnektiivipareja, jotka ovat totuusfunktionaalisesti täydellisiä, kuten {, } ja {,}. Kaikki konnektiiviparit eivät kuitenkaan ole totuusfunktionaalisesti täydellisiä: esimerkiksi pelkästään implikaation ja konjunktion avulla emme voi johtaa kaikkia muita konnektiiveja. Miksei niistä voi johtaa negaatiota (harjoitustehtävä)? Lisäksi huomaamme, että käyttämämme viiden konnektiivin joukko {, } kattaa muutamaa poikkeusta lukuun ottamatta kaikki kaksipaikkaiset konnektiivit. Symboli (verum), tarkoittaa tautologiaa ja vastaavasti (falsum) ristiriitaa. Symboli on aiemmin mainitsemamme eksklusiivinen disjunktio ( tai muttei molemmat). Mutta konnektiivit (Shefferin viiva) ja (Peircen nuoli) ovat erityisen kiinnostavia sillä ne ovat molemmat konnektiiveja, jotka muodostavat yksinään totuusfunktionaalisesti täydellisen joukon. Peircen nuolen ja Shefferin viivan totuustaulut ovat siis seuraavat: t t e t e e e t e e e t t t e t e t e t t e e t Näytetään miten implikaatio johdetaan Shefferin viivan avulla: 15

16 ( ( )) t t e t t e t e e t t t e e t t Näemme, että lauseen ( ( )) totuustaulu on sama kuin implikaatiolla. Jätämme muiden konnektiivien johtamisen Shefferin viivan avulla harjoitustehtäväksi. Yllä olemme käsitelleet kaksipaikkaisia konnektiiveja, mutta totuusfunktionaalisesti täydellisellä joukolla voimme ilmaista miten monipaikkaisia konnektiiveja tahansa. Tämä nähdään parhaiten kun muutamme lauseen disjunktiiviseen normaalimuotoon. Määritelmä 5: Lause on disjunktiivisessa normaalimuodossa, jos se on muotoa: jossa jokainen osa ( {0,1, }, eli muuttuja saa arvon joukosta {0,1, }) on muotoa jossa jokainen ( {0,1, }) on joko lausesymboli tai sen negaatio. Tämä voi vaikuttaa monimutkaiselta, mutta disjunktiivisella normaalimuodolla tarkoitetaan yksinkertaisesti disjunktioketjua, jossa jokainen disjunkti on lausesymboleista tai niiden negaatioista koostuva konjunktio. Näin ollen seuraava lause on disjunktiivisessa normaalimuodossa: ( )()( ) Sitä vastoin seuraavat lauseet eivät ole disjunktiivisessa normaalimuodossa, sillä negaatio saa olla ainoastaan heti lausesymbolin edessä: () ()( ) Mihin disjunktiivista normaalimuotoa tarvitaan? Tähän saadaan vastaus kun näytetään, että jokainen lauselogiikan lause voidaan esittää disjunktiivisessa normaalimuodossa. Otetaan ennen tämän tuloksen todistamista esimerkki disjunktiivisen normaalimuodon käytöstä. Olkoon kolmipaikkainen konnektiivi, jolla on seuraava totuustaulu: (,, ) t t t t t t e t t e t e t e e t e t t e e t e t e e t t e e e e 16

17 Voidaanko esittää jo olemassa olevien kaksipaikkaisten konnektiivien avulla? Mietitään totuustaulua rivi kerrallaan. Ylin rivi sanoo, että ()) kun (), () ja (), eli kun lause on tosi. Vastaavasti toiseksi ylin rivi sanoo, että ()) kun () =, () ja (), eli kun lause on tosi. Nyt siis ) on tosi, jos joko lause tai lause on tosi, toisin sanoen jos lause ()) on tosi. Kun käymme läpi loputkin totuusjakaumat, joilla ()), saamme seuraavan ekvivalenssin: () jos ja vain jos ( )( ( ). Nyt lause on disjunktiivisessa normaalimuodossa ja siitä voidaan helposti tarkistaa millä totuusjakaumilla se on tosi. Metodi, jolla muodostimme lauseen () disjunktiivisen normaalimuodon soveltuu yleisesti kaikille lauseille ja konnektiiveille. Lause 6: Jokainen lauselogiikan lause voidaan esittää ekvivalentissa disjunktiivisessa normaalimuodossa. Todistetaan tämä lause. Voimme muodostaa mistä tahansa lauselogiikan lauseesta totuustaulun ja katsoa millä totuusjakaumilla pätee (). Näistä jokaisen totuusjakauman voimme ilmaista konjunktiolla. Jos lause sisältää kappaletta atomilauseita,, ), on :n totuustaulussa tällöin 2 riviä. 8 Voimme esittää jokaisen totuustaulun rivin (jossa siis {1,2, 2 }) seuraavalla tavalla: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nyt voimme muodostaa disjunktion jokaisesta totuustaulun rivistä, jolla lause saa totuusarvon t, eli voimme esittää minkä tahansa lauselogiikan lauseen disjunktiivisessa normaalimuodossa. Ainoa poikkeus on ristiriitainen lause, jota emme voi kääntää disjunktiivinen normaalimuotoon tällä metodilla, sillä ristiriitainen lause ei saa totuusarvoa t millään totuustaulun rivillä. Mutta ristiriitainen lause on ekvivalentti lauseen kanssa, joten pystymme ilmaisemaan jokaisen ristiriitaisen lauseen konjunktion ja negaation avulla. 8 Aloitamme tässä indeksin numerosta 1 toisin kuin aiemmin helpottaaksemme merkintöjä. Jonossa,, ) olisi+1 kappaletta atomilauseita. 17

18 Koska disjunktiivisessa normaalimuodossa käytämme ainoastaan konnektiivijoukkoa {, }, olemme osoittaneet, että kaikki lauselogiikan lauseet voidaan esittää näiden kolmen konnektiivin avulla. Kun muistamme aiemmin oppimamme, tiedämme että joko disjunktio tai konjunktio voitaisiin itse asiassa poistaa konnektiivijoukosta, ja se säilyisi silti täydellisenä. 3.5 Lausejoukot ja mallit Kuten johdannossa todettiin, logiikka tutkii erityisesti loogista seurausta, eli sitä seuraako jokin lause loogisesti joistakin oletuksista. Siksi olemmekin yksittäisten lauseitten sijaan useimmiten kiinnostuneita lausejoukoista. Määritelmä 7: (1) Lausejoukko on toteutuva, jos vähintään yhdelle totuusjakaumalle pätee () jokaiselle joukon lauseelle. Merkitään (). (2) Lausejoukko on ristiriitainen, jos se ei ole toteutuva. (3) Lausejoukon malli on sellainen totuusjakauma, jolla (). Määritelmästä 7 nähdään suoraan, että toteutuvalla lausejoukolla (tai lauseella: joukko voi koostua myös yhdestä jäsenestä) on vähintään yksi malli. Ristiriitaisella lausejoukolla ei sen sijaan ole ainuttakaan mallia. Esimerkiksi lausejoukko ={, } on toteutuva, sillä totuusjakaumalla ( ) ja ( ) pätee ( ) ja ( ) (sekä tietenkin ( ) ). Näin ollen totuusjakaumalla kaikilla lausejoukon lauseilla pätee (), eli on lausejoukon malli. Lausejoukko ={, } sitä vastoin on ristiriitainen, sillä kaikilla totuusjakaumilla, jolla ( ), on ( ). Kaikki lausejoukon lauseet eivät siis voi olla tosia samalla totuusjakaumalla, eli lausejoukolla ei ole yhtään mallia. Lausejoukon ja mallin käsitteiden avulla voimme nyt esittää loogisen seurauksen formaalin määritelmän: Määritelmä 8: (1) Lause on lausejoukon looginen seuraus (merkitään ) jos ja vain jos yhdelläkään totuusjakaumalla ei päde, että () jokaisella joukon lauseella ja (). (2) Jos on tyhjän lausejoukon ( ) looginen seuraus, sanotaan että on loogisesti tosi eli tautologia (merkitään ). (3) Lauseet ja ovat loogisesti ekvivalentteja (merkitään ) jos ja vain jos {} ja {}. Huomaamme, että lause on siis lausejoukon looginen seuraus jos ja vain jos jokainen lausejoukon malli on myös lauseen malli. Siis aina kun jokainen lausejoukon lause on tosi, myös on tosi. Vastaavasti lauseet ja ovat loogisesti ekvivalentteja jos ja vain jos niillä on samat mallit. Loogisen seurauksen ydin on siinä, että tosista lauseista ei voi seurata epätosia lauseita. Jos totuusja- 18

19 kauma ei ole lausejoukon malli, voi päteä () ja, eli voi olla lausejoukon looginen seuraus vaikka se olisi epätosi joillain totuusjakaumilla. Mutta Määritelmä 8.1 määrää että jos, niin aina kun on lausejoukon malli, on myös (). Lause ei siis voi olla epätosi missään lausejoukon mallissa. Määritelmä 8.2 koskee tyhjää lausejoukkoa, mutta se sanoo samalla että tautologia on tosi kaikilla totuusjakaumilla ja kaikilla lausejoukoilla, eli se on kaikkien lausejoukkojen looginen seuraus. Miksi? Ajatellaan Määritelmän 8.1 ehtoa yhdelläkään totuusjakaumalla ei päde, että () jokaisella joukon lauseella ja (). Koska tautologia on tosi riippumatta totuusjakaumasta, pätee tautologialle aina (). Nyt siis Määritelmän 8.1 ehto täyttyy kaikilla lausejoukoilla ja kaikilla totuusjakaumilla: koskaan ei tule tilannetta (). Vastaavasti ristiriita on epätosi kaikissa lausejoukoissa ja kaikilla totuusjakaumilla. Onko ristiriita yhdenkään lausejoukon looginen seuraus? Selvästikin Määritelmän 8.1 ehto täyttyy ristiriidalle aina kun lausejoukolla ei ole yhtään mallia, eli kun on ristiriitainen. Siispä ristiriita seuraa loogisesti aina ristiriitaisesta lausejoukosta (itse asiassa kaikki lauseet seuraavat aina loogisesti ristiriitaisesta lausejoukosta). Entä seuraako ristiriita loogisesti tyhjästä joukosta? Tässä saavumme kysymykseen tyhjän lausejoukon ominaisuuksista. Matematiikassa on tapana sanoa, että kaikki on totta tyhjän joukon alkioille, ja käytämme samaa ajattelutapaa logiikassa. Ajattelemme, että () jokaisella totuusjakaumalla ja jokaisella tyhjän joukon alkiolla (vaikka tyhjässä joukossa ei siis ole todellisuudessa ainuttakaan alkiota). Siksi ristiriita ei ole tyhjän lausejoukon looginen seuraus. Mutta tyhjää lausejoukkoa koskeva totuus on tyhjä totuus, jota käytetään ainoastaan Määritelmän 8.2 kaltaisissa yhteyksissä. Perimmäinen syy ajatella tyhjän lausejoukon lauseita aina tosina on siinä, että niiden pitäminen epätosina aiheuttaa ongelmia. Tyhjät joukot eivät ole logiikassa (eivätkä matematiikassa) kiinnostavia, eikä niiden ominaisuuksia käsitellä tällä kurssilla tämän enempää. Nyt voimme alkaa tarkastella erittäin tärkeää eroa loogisen seurauksen ja tautologian välillä. Otetaan esimerkiksi seuraava lausejoukko ={ }: : Huomenna sataa : Lähden pyöräilemään Olkoon lause huomenna sataa, mutta lähden pyöräilemään eli = ). Onko lausejoukon looginen seuraus? Voimme käyttää totuustaulua apunamme. t t t t e e e t e e e e Näemme, että aina kun sekä että ovat tosia (eli kun lausejoukolla on malli), myös lause on tosi. Lause on siis lausejoukon looginen seuraus,. Selvästikään ei ole tautologia, sillä se on epätosi joillain totuusjakaumilla. Tämä tulee selvemmäksi, kun ajattelemme jotain muuta mallia. Esimerkiksi totuustaulukon toiseksi ylimmäinen totuusjakauma on lausejoukon = { } malli, sillä ( ). Tällä totuusjakaumalla on kuitenkin(), siis ei ole lausejoukon looginen seuraus (kirjoitetaan ). Tautologia on sen sijaan kaikkien lausejoukkojen looginen seuraus. 19

20 Otetaan esimerkiksi lausejoukko kuten edellä. Tutkitaan, onko lause = ) lausejoukon looginen seuraus tai tautologia. Jälleen totuustaulu on kätevä tapa selvittää asia. t t e t t t e e t t e t t e t e e t e t Taas näemme, että lause on tosi aina kun lausejoukolla on malli (tässä tapauksessa totuustaulun ylin rivi). Siis. Mutta nyt huomaamme lisäksi, että on tosi kaikilla muillakin malleilla. Riippumatta siitä mitä lauseita lisäämme lausejoukkoon, ja riippumatta totuusjakaumasta, tulee olemaan tosi. On erityisen tärkeää huomata, että myös lausejoukosta = { } seuraa loogisesti, vaikka ei edes sisällä lausetta missään muodossa. Tästä näemme tautologian ja loogisen seurauksen oleellisen eron: tautologia on tosi jo loogisen rakenteensa puolesta, sen totuus ei riipu malleista tai lausejoukoista. Siksi tautologiaa kutsutaankin myös loogiseksi totuudeksi. Loogisella seurauksella on joitakin logiikassa erittäin hyödyllisiä ominaisuuksia. Käydään tässä niistä läpi kaksi. Ensinnäkin, voimme siirtää nyt totuusmääritelmäämme koskevan tietomme loogiseen seuraukseen. Esimerkiksi voimme osoittaa, että jos ja vain jos tai : Olkoon mielivaltainen totuusjakauma, jolla pätee () kaikilla lauseilla lausejoukossa. Oletetaan, että )=, jolloin saamme totuusmääritelmästä, että )= tai )=. Nyt Määritelmän 8.1 perusteella tai. Todistetaan toiseen suuntaan: oletetaan, että tai. Nyt määritelmän 8.1 perusteella jokaisella totuusjakaumalla, jolla kaikki :n lauseet ovat tosia, pätee )= tai )=. Totuusmääritelmän mukaan siis )=, eli. Toiseksi, huomaamme että loogisen seurauksen ja lausejoukon laajentamisen välillä on seuraava tärkeä yhteys: jos ja vain jos lausejoukko {} ei ole toteutuva. Merkintä {} tarkoittaa lausejoukon yhdistettä lauseen kanssa, eli lausejoukkoa johon kuuluvat kaikki lausejoukon lauseet ja lisäksi lause. Todistetaan tämä: Oletetaan, että. Oletetaan myös käänteisesti, että {} on toteutuva. Olkoon nyt totuusjakauma, jolla )= kaikilla lauseilla lausejoukossa {}. Tällöin siis ( )=, jolloin totuusmääritelmän mukaan )=. Mutta alkuoletuksen nojalla )=, joten saavumme ristiriitaan. Siispä {} ei ole toteutuva. Todistetaan toiseen suuntaan, eli oletetaan että {} ei ole toteutuva. Tällöin jokaiselle totuusjakaumalle on olemassa lause, joka kuuluu joukkoon{} ja jolla (). Olkoon nyt mielivaltainen totuusjakauma, jolla jokaisella joukon lauseella pätee (). Tiedämme, että tällöin (), eli siis (). Siispä kun toteuttaa :n, se toteuttaa myös :n. Koska oli mielivaltainen :n toteuttava totuusjakauma, pätee tämä kaikille :n toteuttaville totuusjakaumille, eli. On hyvä miettiä hetken, millainen seurauksen muoto looginen seuraavuus on. Vaikka materiaalinen implikaatio todettiin heikoimmaksi implikaation muodoksi, on looginen seuraavuus itse asiassa kaikkein vahvin seuraavuuden muoto. Jos, niin ei ole 20

21 mahdollista, että jokainen joukon lause on tosi ja epätosi (toisin sanoen, olisi ristiriitaista että näin olisi). Aurinko on noussut maapallolla 4,5 miljardin vuoden ajan, mutta on silti loogisesti mahdollista (joskin empiirisesti äärimmäisen epätodennäköistä) ettei se nouse huomenna. Siksi aurinko nousee huomenna ei ole looginen seuraus siitä, että aurinko on noussut noin 1,6 biljoonana päivänä peräkkäin. Tällaista päättelyä kutsutaan filosofiassa induktiiviseksi. Sen sijaan Sokrates on kuolevainen on looginen seuraus lauseista Sokrates on ihminen ja kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Jos jälkimmäiset kaksi lausetta ovat tosia, ei ole mahdollista ettei ensimmäinen ole. Tällainen päättely on deduktiivinen. Deduktiivinen päättely on siis välttämättä totuuden säilyttävää, mutta induktiivinen ei. 9 9 Tätä induktiivisuutta ei tule sekoittaa matemaattiseen induktioon, joka on eräs deduktiivisen päättelyn muoto. Myös logiikan todistuksissa puhutaan usein induktiosta (esimerkiksi käyttämämme totuusmääritelmä on induktiivinen: siinä siirrytään yksinkertaisista totuuksista yleisempiin). Ero empiiriseen induktioon on siinä, että matematiikassa ja logiikassa voimme todistaa väitteen pätevän kaikille tapauksille, kun taas empiirisissä tieteissä emme voi koskaan havaita kaikkia tapauksia. 21

22 4. Semanttiset puut 4.1 Semanttisten puiden säännöt Lauselogiikassa totuustauluilla voidaan aina selvittää mitä totuusarvoja lauseet saavat eri totuusjakaumilla. Totuustaulut ovat kuitenkin melko työläs väline etenkin jos tutkimme lauseita, jotka koostuvat useista lausesymboleista. Esimerkiksi viidestä lausesymbolista koostuvan lauseen totuustauluun tulee jo 2 = 32 riviä. Lisäksi totuustaulut toimivat ratkaisuvälineenä ainoastaan lauselogiikassa: kun siirrymme vähänkin monimutkaisempiin logiikkoihin, tarvitsemme muita tapoja tutkia lauseiden totuusarvoja eri totuusjakaumilla. Tätä tarkoitusta palvelevat semanttiset puut. Otetaan esimerkiksi lause = (( (( ). Haluamme tietää millä totuusjakaumilla on tosi. Voisimme tietenkin tehdä lauseelle totuustaulun, mutta 16 rivin taulu on työläs ja virheiden mahdollisuus kasvaa. Siksi on järkevämpää tutkia niitä ehtoja, mitä vaaditaan jotta olisi tosi. Tässä voimme käyttää totuustauluista oppimiamme konnektiivien totuusehtoja hyväksemme. Tiedämme, että disjunktio on tosi kun jompikumpi vaihtoehto (disjunkti) on tosi. Siispä voimme jakaa lauseen kahteen osaan: (( (( ) (( ) (( ) Käytämme merkintää ilmaisemaan, että lause on käsitelty. Nyt voimme jatkaa päättelyä muodostuneiden semanttisen puun haarojen avulla. Vasemmanpuoleinen haara eli semanttisen puun oksa on implikaation negaatio, joka on tosi silloin kuin implikaatio on epätosi. Totuustaulusäännöistä muistamme implikaation olevan epätosi kun etujäsen on tosi ja takajäsen epätosi. Vastaavasti oikeanpuoleinen oksa on konjunktion negaatio, joka on tosi jos jompikumpi sen jäsenistä on epätosi. Siispä vasen oksa jatkuu ja oikea oksa jakaantuu kahteen alaoksaan seuraavalla tavalla: ( (( ) (( ) (( ) ( ) ) Käydään läpi kaikki alaoksat vasemmalta oikealle. Disjunktio on tosi kun jompikumpi sen jäsen on tosi. Implikaation negaatio on tosi, jos etujäsen on tosi ja takajäsen epätosi. Kolmas oksa on negaatio, joten se ei enää jatku. Näillä säännöillä saamme semanttiselle puulle lopullisen muodon: 22

23 (( (( ) (( ) (( ) ( ) ) Nyt olemme hajottaneet semanttisen puun avulla lauseen pelkiksi atomilauseiksi ja niiden negaatioiksi. Koska vasemman oksan oikeanpuoleisessa haarassa esiintyy sekä että, on se ristiriitainen. Merkitsemme ristiriitaan päättyvää oksaa symbolilla. Lopullisesta semanttisesta puusta voimme nähdä ne totuusjakaumat, joilla lause on tosi. Vasemmanpuoleisimmassa haarassa ovat sekä lause että lause, joten on tosi kun )= ja )=. Toinen oksa vasemmalta päätyy ristiriitaan, joten siitä ei voi tulla lauseen toteuttavaa totuusjakaumaa. Kolmas oksa vasemmalta sisältää lauseet ja, joten on tosi kun )= ja )=. Oikeanpuoleisin oksa kertoo meille, että on tosi kun )=. Nyt olemme selvittäneet totuusjakaumat, joilla on tosi. Siis () jos ja vain jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy: (1) )= ja )= (2) )= ja )= (3) )=. Totuustauluissa vastaavasti on tosi kaikilla niillä riveillä, jotka toteuttavat jonkin yllä luetelluista ehdoista (tarkasta!). Toki totuusjakauma voi toteuttaa useammankin ehdon: esimerkiksi on tosi totuusjakaumalla, jolla pätee sekä ehto (1) että ehto (3). Tietenkään totuusjakauman ei tarvitse täyttää kaikkia ehtoja: selvästikään ehdot (1) ja (2) eivät voi toteuta samanaikaisesti. 23