TTY FYS-1010 Fysiikan työt I Asser Lähdemäki, S, 3. vsk. MA 2.2 Kääntöheiluri Antti Vainionpää, S, 3. vsk.

Transkriptio

1 TTY FYS-1010 Fysiikan työt I Asser Lähdemäki, S, 3. vsk. MA 2.2 Kääntöheiluri Antti Vainionpää, S, 3. vsk.

2 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Työn taustalla oleva teoria Fysikaalinen heiluri Kääntöheiluri Työn suoritus 5 4 Mittaustulokset ja havainnot 6 5 Tulosten laskenta 7 6 Virhearvio 9 7 Yhteenveto 10 Viitteet 12 Liitteet 13 i

3 1 Johdanto Työn tavoitteena oli tutustua kääntöheilurin käyttöön ja määrittää sen avulla maan vetovoiman aiheuttaman putoamiskiihtyvyyden g arvo. Mittaukset suoritettiin fysiikan oppilaslaboratoriossa. Putoamiskiihtyvyyden määrittämisen lisäksi tässä raportissa käy ilmi miten todellinen fysikaalinen heiluri ja abstrakti matemaattinen heiluri liittyvät toisiinsa. Tämän raportin tarkoituksena on myös, että jokainen raportin lukija kykenee suorittamaan samat mittaukset. 2 Työn taustalla oleva teoria Heilahdusliikkettä kuvaavat yhtälöt johdetaan usein matemaattisen heilurin avulla. Matemaattinen heiluri on abstraktio ja niitä ei ole siis fyysisesti olemassa. Matemaattinen heiluri kuvaa heiluria, joka muodostuu massattoman varren päässä olevasta pistemäisen massasta. Tässä työssä on keskitytty fysikaaliseen heiluriin, koska sen liikettä voimme mitata ja havainnoida. Mittausten perusteella pystymme määrittämään putoamiskiihtyvyyden mittauspaikassa. Lisäksi huomaamme, miten fysikaalisen ja matemaattisen heilurin mallit liittyvät toisiinsa. 2.1 Fysikaalinen heiluri Fysikaalinen heiluri on mikä tahansa jäykkä kappale, joka heiluu vapaasti pystytasossa vaakasuoran akselin ympäri. Poikkeuttamalla heilurin massakeskipistettä C tasapainoasemastaan ja Kuva 1: Esimerkki fysikaalisesta heilurista relevantteine suureineen. [1] 1

4 irrottamalla heilurista se aloittaa heilahdusliikkeen. Tällöin heiluriin vaikuttaa momentti τ = mgbsinθ, (1) missä θ on heilahduskulma. m on kappaleen massa, g on putoamiskiihtyvyys, b on massakeskipisteen etäisyys heilahdusakselista ja θ on heilahduskulma. Keskeisliikkeen tapauksessa, jota myös heilahdusliike on, kirjoitetaan dynamiikan perusyhtälö muotoon missä I on hitausmomentti ja α on kulmakiihtyvyys. [1] τ = Iα, (2) Kiihtyvyys voidaan määrittää paikan funktion toisena derivaattana ajan suhteen. Kulmakiihtyvyys on analoginen kiihtyvyyden kanssa, joten voidaan kirjoittaa Sijoittamalla tämä ja kaava 1 kaavaan 2 saadaan α = d2 θ dt 2. (3) mgbsinθ = I d2 θ dt 2 (4) Olettaen, että kulma θ < 0,1rad 6, niin korkeintaan 0,1%:n epävarmuudella voidaan kirjoittaa jolloin yhtälö 4 sievenee muotoon joka edelleen voidaan antaa muodossa missä ω on kulmasta θ riippumaton vakio, kulmataajuus. [1] sinθ = θ, (5) d 2 θ dt 2 + mgb θ = 0, (6) I d 2 θ dt 2 + ω2 θ = 0, (7) Yhtälö 7 tunnetaan yleisesti harmonisen liikkeen differentiaaliyhtälön nimellä. Tämä tarkoittaa, että kun heilahduskulma θ on pieni, kuten oletimme, heilurin jokainen piste suorittaa harmonista värähtelyliikettä vaakasuunnassa. Harmonisen liikkeen yhtälön yleinen ratkaisu on melko monimutkainen, eikä meidän ole tarpeen edes yhtälöä ratkaista, sillä haluamamme putoamiskiihtyvyyden pystymme määrittämään suoraan differentiaaliyhtälöstä. Yhtälöstä nähdään, että värähtelyliikkeen kulmataajuus on mgb ω =. (8) I 2

5 Koska ω = 2π f, missä f on värähtelytaajuus, heilahdusjakson aika on T = 2π ω = 2π I mgb = 2π l r g, (9) missä on otettu käyttöön uusi suure l r = I mb, (10) joka on nimeltään redusoitu heilahduspituus ja sillä tarkoitetaan sellaisen matemaattisen heilurin varren pituutta, jonka jaksonaika vastaa jaksonajaltaan fysikaalista heiluriamme. [1] Hitausmomentti I on laskettu kiertoakselin, toisin sanoen kuvan 1 z-akselin, suhteen. Jos tunnemme hitausmomentin I C, eli hitausmomentti massakeskipisteen läpi kulkevalle z-akselin suuntaiselle akselille, niin hitausmomentti I voidaan määrittää Steinerin säännöllä: I = I C + mb 2. (11) Toisaalta hitausmomentti I C voidaan kirjoittaa kappaleen muodosta riippumatta I C = mk 2, (12) missä k on hitaussäde, joka on pituus, joka valitaan sopivasti vastaamaan todellisuutta. [1] Sijoittamalla I C :n lausekkeen 12 Steinerin sääntöön (11) ja tämä edelleen redusoidun heilahduspituuden kaavaan 10, saadaan mikä voidaan kirjoittaa toisen asteen yhtälön muodossa l r = I mb = mk2 + mb 2 = k2 + b, (13) mb b b 2 l r b + k 2 = 0. (14) Koska toisen asteen yhtälön juurten summa on ensimmäisen asteen tuntemattoman kertoimen vastaluku, voimme päätellä, että jos toinen juuri on b, niin toinen on l r b. Tämä tulkitaan siten, että redusoitua heilahduuspituutta kuvaavan janan toisessa päässä on piste, jonka suhteen heilahduksen jaksonaika on sama kuin janan toisessa päässä olevan pisteen suhteen. [1] 2.2 Kääntöheiluri Käätöheilurin avulla voimme kokeellisesti havannoida edellä johdetun tuloksen. Kun kääntöheilurin siirrettävät massat ovat oikeissa kohdissa, on heilurin heilahduksen jaksonaika täsmälleen sama kummankin terän suhteen. Tällöin jaksonaika on s T = T = 2π g. (15) 3

6 Kuva 2: Kääntöheilurissa on jäykkä tanko, jossa on kaksi siirrettävää massaa M ja M, kaksi terää O ja O, joiden varaan heiluri voidaan asettaa heilumaan. [1] Käytännössä aikoja on lähes mahdotonta saada täsmäämään. Siksi kirjoitamme tämän kaavojen 9 ja 13 perusteella T = 2π T = 2π ja edelleen eliminoimalla hitaussäde k, saadaan k 2 +b 2 bg k 2 +b 2 b g (16) g 4π 2 = b2 b 2 T 2 b T 2 b, (17) mistä edelleen saadaan 4π 2 g = 1 ( T 2 + T 2 2 b + b + T 2 T 2 ) b b. (18) Tätä voidaan käyttää käytännössä tarkempaan analysointiin. Huomataan myös, että koska hitaussäde eliminoituu, hitausmomentilla ei ole vaikutusta putoamiskiihtyvyyden g määritykseen. Ratkaisemalla kaavasta 18 g saadaan g = 8π 2 T 2 +T 2 b+b + T (19) 2 T 2 b b Huomataan myös, että optimi tilanteessa heilahdusajat saataisiin täysin samoiksi, T = T, jolloin b + b = s = l r ja kaava 18 saa muodon 4π 2 g = T 2 l r (20) 4

7 eli l r T = 2π g, (21) joka on matemaattisen heilurin jaksonajan yhtälö. [2, s ] 3 Työn suoritus Käytimme mittauksiin fysiikan oppilaslaboratoriosta löytyvää laitteistoa. Laitteistoon kuului kuvan 2 mukainen kääntöheiluri telineineen, nauhamitta, sekuntikello ja tasapainotusterä. Samantapaisella laitteistolla tulisi kyetä toistamaan oheiset mittaukset. Asetimme ensimmäisenä massan M (1400g) 6-12 cm etäisyydelle terästä O, jonka jälkeen massaan M ei mittausten aikana koskettu. Sitten otimme terän pois tangon urasta ja aloimme määrittittämään satunnaisvirhettä asettamalla massan M sen omasta keskipisteestä 50 cm etäisyydelle terän O alapinnasta. Ensin mittasimme viidesti 20 heilahdukseen kuluvan ajan terän O suhteen, jonka jälkeen laskimme yhteen heilahdukseen kuluvan ajan jakamalla kokonaisaika jaksojen lukumäärällä. Yksi heilahdus vastaa jaksonaikaa eli aikaa, joka kääntöheilurilta kuluu palata lähtöpisteeseen. Heilahduksen lähtökulma tulee olla korkeintaan 6 ja heilurin tulee heilahdella tasomaisesti, jotta suuremmilta virheiltä vältyttäisiin. Selkeän virheen sattuessa mittaus on uusittava. Tämän jälkeen lähdimme määrittämään tasapainoasemaa ja mittasimme 20 heilahdukseen kuluvan ajan massan M eri etäisyyksillä terästä O. Etäisyyttä muutimme 10 cm välein 50 cm:stä 90 cm:iin. Mittaukset teimme kummankin terän suhteen. Ajat saatuamme laskimme yhteen heilahduksiin kuluneet ajat sekä aikojen erotukset T T (s). T kuvaa terän O suhteen tehtyjä mittauksia ja T terän O suhteen tehtyjä mittauksia. Näiden tulosten avulla määritimme kuvaajan, jossa x-akseli kuvaa M :n etäisyyttä O:sta ja y-akseli heilahdusaikojen erotusta. Piirsimme kuvaajaan sovitesuoran, jonka avulla saimme määritettyä M sijainnin, jossa heilahdusajat molempien terien suhteen ovat lähes samat. Seuraavaksi aloimme haarukoida massan M tarkempaa sijaintia tasapainokohtaan. Mittasimme määrittämästämme nollakohdasta ±4 cm, ±2 cm ja nollakohdan etäisyyksiltä 50 heilahdukseen kuluvaa aikaa ja laskimme terien O ja O suhteen samalta etäisyydeltä mitattujen yhteen heilahdukseen kuluneiden aikojen erotuksen. Jonka jälkeen määritimme jälleen kuvaajan vastaavasti kuten edellisessä kohdassa, ja määritimme näin tarkemman tasapainokohdan. Kun olimme määrittäneet nollakohdan mittasimme kyseisellä etäisyydellä 100 heilahdukseen kuluvan ajan, kummankin terän suhteen, jonka jälkeen laskimme niiden yhteen heilahdukseen kuluvan ajan. Lopuksi irrotimme heilurin telineestä ja etsimme heilurin massakeskipisteen ta- 5

8 sapainotusterän avulla, jonka jälkeen mittasimme tasapainostuskohdan etäisyyden molempien massojen keskikohtaan b ja b. 4 Mittaustulokset ja havainnot Taulukossa 1 on esitetty ajanmittauksen satunnaisvirheen määritystä varten tehdyistä mittauksista saadut tulokset. Hajonta oli melko pientä eli mittaajan reaktioaika oli melko nopea. Hei- Taulukko 1: Satunnaisvirheen määrittämistä varten tehdyt mittaukset. i 20T(s) T(s) 1 37,82 1, ,69 1, ,72 1, ,82 1, ,91 1,8955 lukematarkkuus 0,1 0,005 lurin toiminta oli melko stabiilia ja ilmeisesti onnistuimme asettamaan sen liikkeelle melko samasta paikasta, mistä päätellen myös tämän jälkeen mitatut tulokset ovat melko tarkkoja. Taulukko 2: Tasapainoaseman määrittämistä varten tehdyt mittaukset. d(cm) 20T(s) 20T (s) T-T (s) 50 37,69 39,1-0, ,22 39,32-0, ,88 39,34-0, ,69 39,9-0, ,75 40,38 0,0185 Taulukkoon 2 on koottu 20 heilahdusjakson ajat, kun heiluri käännettiin eri terien O ja O varaan ja massaa M siirrettiin. Heilahdusaikojen erotukset on myös laskettu ja esitetty taulukossa 2. Erotuksista päätellen tulokset ovat järkeviä, sillä 50 cm:llä erotuksen piti olla negatiivinen ja 90 cm:llä positiivinen. 6

9 Taulukko 3: Tasapainoaseman tarkempaa määrittämistä varten tehdyt mittaukset. d(cm) 50T(s) 50T (s) T-T (s) 79 99,62 99,93-0, ,12 100,35-0, ,6 100,59 0, ,16 100,85 0, ,62 101,03 0,0118 Tasapainoaseman läheisyydessä haarukoidut heilahdusajat on esitetty taulukossa heilahduksen käyttäminen selvästi paransi tarkkuutta. Tulokset vaikuttavat johdonmukaisilta, koska erotukset ovat negatiivisia, kun etäisyys on pienempi kuin tasapainoasema ja positiivisia, kun etäisyys on tasapainoasemaa suurempi. Taulukko 4: Lopulliset mittaukset putoamiskiihtyvyyden määritystä varten. d(cm) 100T(s) 100T (s) 82,7 201,25 201,25 T(s) T (s) T-T (s) 2,0125 2, Suure Tulos Tarkkuus b(mm) mm b (mm) mm Taulukossa 4 on sadan heilahduksen ajat ja heilahdusajat eri terien varassa sekä painopisteen määrityksen tulos. Yllättävää kyllä, saimme kummankin terän varassa täsmälleen saman ajan. Tämä lienee suuremmilta osin sattumaa ja eroa varmasti oli, mutta kellon tarkkuus ei riittänyt sitä näyttämään. 5 Tulosten laskenta Kuvissa 3 ja 4 nähdään kuvaajat, joiden perusteella tasapainoasema arvioitiin. Ensin mittasimme tasapainoasemaksi d 83cm ja tarkemmalla mittauksella saimme d 82,7cm Käytimme 7

10 Kuva 3: Tasapainopisteen määritys taulukon 2 arvoista interpoloimalla. Kuva 4: Tasapainopisteen tarkempi määritys taulukon 3 perusteella. lopullisissa mittauksissa käsin määritettyä arvoa tasapainopisteelle, d = 82,7 cm, mutta tietokoneella tehdyn perusteella d 82,4cm. Laskimme kaavasta 19 ja taulukon 4 arvoista putoamiskiihtyvyydelle arvon g = 9, m. Arvo on hieman pienempi kuin vertailuarvot. Tutkimme tätä tarkemmin yhteenvedossa. s 2 8

11 6 Virhearvio Keskiarvon keskivirhe lasketaan kaavalla m x = n i=1 (x i x) 2 n(n 1) Laskimme taulukon 1 arvoille keskiarvon keskivirheen Excel -ohjelman STDEV() funktion avulla, STDEV(arvot)/SQRT(N), missä STDEV laskee yksittäisen tuloksen keskivirheen ja SQRT(N) tarkoittaa otoksen neliöjuurta, jolloin tulokseksi saadaan keskiarvon keskivirhe. Lisäksi otimme huomioon mittavälineen virheen kaavan x mx m x mukaisesti. [3] Näin saimme virheen T ±0, s heilahdusajoille T ja T. Mittanauhan virheeksi arvioimme suoraan sen mittatarkkuuden, b 1 mm. Virheet on koottu taulukkoon 5. Taulukko 5: Arvioidut virheet muuttujille. (22) (23) Muuttuja T b Arvioitu virhe ±0, s ±1 mm Laskimme putoamiskiihtyvyydelle virheen todennäköisen maksimivirheen kaavalla [3] ( ) f 2 ( ) f 2 u x x + y y +. (24) Sijoittamalla siihen kaava 19 saadaan ( ) g 2 ( ) g 2 ( ) g 2 ( ) g 2 g T T + T T + b b + b b (25) ( 64 b 2 π 4 T 2 T 2 g ) 2 T 2 +T 2 (b b ) 2 (b +b) 2 ( T 2 +T 2 b +b + T 2 T 2 b b ) b 2 π 4 ( T 2 +T T 2 π ( ( 4 2T b +b + b b 2T ) 2 64 T 2 π 4 2T ( b ) T 2 +T 2 b +b + T 2 T b 2T ( ) T 2 +T 2 b b b +b + T 2 T 2 4 b b ) 2 T 2 T 2 (b +b) 2 (b b ) 2 ( T 2 +T 2 b +b + T 2 T 2 b b ) 4 (26) b b ) 2 Kun sijoitetaan kaavaan 26 virheet taulukosta 5, saadaan virheeksi putoamiskiihtyvyydelle lopulta g ±0, m s 2 9

12 7 Yhteenveto Putoamiskiihtyvyydeksi saimme siis g = 9,71 ± 0,14 m s 2 Taulukkoon 6 on koottu kirjallisuus ja internet lähteistä löytyneitä arvoja putoamiskiihtyvyydelle. Kuvasta 5 nähdään miten putoamiskiihtyvyys muuttuu Suomen eri leveysasteilla. Tästä voidaan myös päätellä, että putoamiskiihtyvyys pienenee päiväntasaajaa kohti mentäessä ja Taulukko 6: Kirjallisuudesta ja internetistä löytyneitä arvoja putoamiskiihtyvyydelle. g ( m ) s 2 leveyspiiri tai sijainti lähde 9,81 45 [2, s. 118] 9, [4] 9,819 Helsinki [5, s. 14] 9,80665 ei ilmoitettu [6] 9,8 ei ilmoitettu [7] Kuva 5: Putoamiskiihtyvyys Suomessa, yksikkönä m s 2 [8]. kasvaa päiväntasaajalta pois päin mennessä. Päiväntasaajalla se on kaikkein pienin. Kartasta 10

13 myös havaitaan, että fysiikan oppilaslaboratorion leveysasteella g 9,820 m. s 2 Leveyspiirien, eli maapallon muodon, lisäksi putoamiskiihtyvyys riippuu ajasta. Riippuvuus ajasta johtuu auringon ja kuun vuoksivoimista, pohjaveden ja ilmakehän massan vaihteluista. [8] Vuoksivoimasta johtuu maan tehollisen vetovoiman vaihtelut ovat jaksottaisia ja suurimmillaan mgal [9], mikä on SI-yksiköissä 0,002 m - 0,003 m [10]. s 2 s 2 Työ onnistui melko hyvin. Kirjallisuudesta löytynyt arvo putoamiskiihtyvyydelle oppilaslaboratorion leveyspiirillä osuu virherajojen sisälle. Mittaustilanteessa emme aivan onnistuneet saamaan heiluria heilumaan pelkästään tasossa, vaan se heilahteli hyvin ohutta ellipsimäistä rataa. Viimeisissä mittauksissa keksimme paremman tavan irrottaa heilurista, jolla saimme heilahtelun enemmän tasomaiseksi ja vakaammaksi. Lisäksi poikkeutuskulmaa ei silmämääräisesti pystytty kovin tarkkaan arvioimaan. Heilahdusajan mittauksessa ihmisen reaktioaika sekä kellon tarkkuus vaikuttivat mittaustarkkuuteen. Painopisteen mittauksessa käytetty tasapainotusterä oli hieman tylsistynyt ja siten ehkä antoi hieman väärän tuloksen. Tarkempia tuloksia olisi voinut saada esimerkiksi automatisoimalla mittaukset optisella laskurilla ja koneellisella heilurin irroittajalla. Näin olisi voitu poistaa paljolti reaktioajasta ja poikkeutuskulman vaihtelusta johtuvaa virhettä. Heilurin teline olisi myös voinut olla vakaampi. Painopisteen etsinnässä voitaisiin käyttää antureita mittaamaan, että tasapainotusterän kummallekin puolelle jäänyt osa painaa täsmälleen saman verran. 11

14 Viitteet [1] Fysiikan työt I -opintomoniste: 2.2 Kääntöheiluri, [Online]. Available: [2] S. R. K, Practical Physics. New Age International, [3] J. Laaksonen and M. Hirsimäki, Fysiikan oppilaslaboratorio, Virheiden ja tulosten analysoiminen. [Online]. Available: [4] Wikipedia: putoamiskiihtyvyys. [Online]. Available: [5] SI-Opas: Suureet ja mittayksiköt, SI-mittayksikköjärjestelmä, [Online]. Available: [6] R. Seppänen, M. kervinen, I. Parkkila, L. Karkela, and P. meriläinen, maol taulukot, 3rd ed. Otava, [7] Bueche and F. J., College Physics. McGraw-Hill Professional Book Group, [8] Mittatekniikan keskus: Putoamiskiihtyvyys, [Online]. Available: [9] S. Elo, Hajapistepainovoimamittausten tulostenkäsittely, osa I, [Online]. Available: [10] Wikipedia: Gal (yksikkö), [Online]. Available: 12

15 Liitteet 1. Mittauspöytäkirja 13