Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473

Transkriptio

1 Torsioheiluri IIT3S Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G904 Petteri Viitanen G8473 Mittauspäivämäärä:..4 Selostuksen jättöpäivä: Torsioheilurin mitatuilla neljän jakson aikojen ja palautuskertoimen avulla määritetään kokeellisia hitausmomentteja erilaisille kappaleille. Näitä verrataan niiden teoreettisiin hitausmomentteihin, joilla on omat laskentakaavansa kaavastoissa. Vahvistetaan myös kokeellisesti Steinerin sääntö. Pelkän tangon kokeelliseksi arvoksi saatiin 0,0035±0,00 kgm ja teoreettiselle 0,004±0,0003 kgm. Steinerin kokeellistamisessa arvoiksi saatiin 0,0±0,004 kgm kokeelliseksi ja 0,08±0,005 kgm teoreettiseksi.

2 ohdanto Työssä oli tarkoituksena saada selville eri kappaleiden teoreettisia ja kokeellisia hitausmomentteja (yksikkö: kgm ) sekä verrata niiden saatuja arvoja. Käytimme torsioheiluria erilaisilla kappaleilla jaksonaikojen mittauksessa. Niiden avulla mietitään hitausmomentin ratkaisevia tekijöitä. Opintojaksona oli ensimmäisen vuoden Fysiikka ( Teoreettinen tarkastelu Teoreettiset hitausmomentit lasketaan eri kaavoilla eri kappaleille. Ohuen tangon hitausmomentti lasketaan seuraavalla kaavalla, jossa m on massa ja l on tangon pituus. m tan ko l () Kaksi punnuksen ja tangon yhteinen hitausmomentti lasketaan seuraavalla kaavalla, jossa r on etäisyys värähdysakselista ja m on massa. m on ensimmäisen punnuksen massa ja m on toisen punnuksen massa. (Molemmat ovat saman painoisia). m r m r m tan ko l () Umpinaisen puisen kiekon ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti on laskettavissa seuraavalla kaavalla, jossa m on massa ja R on kappaleen säde mr (3) Onton sylinterin hitausmomentti lasketaan seuraavalla kaavalla, jossa m on massa, R on sisäsäde ja R on ulkosäde m R R (4) Puupallon hitausmomentti kaava ei ollut tehtävänannossa, mutta se löytyi MAOLista []. Se lasketaan seuraavalla kaavalla, jossa m on massa ja R on pallon säde mr 5 (5) Umpinainen ohut metallikiekko laskettiin Steinerin teoreeman mukaan seuraavalla kaavalla, jossa m on massa, R on kappaleen säde ja a on painopisteen ja värähdysakselin välimatka R a m (6) os välimatkaa a ei ole, hitausmomentti voidaan laskea samalla kaavalla (3) kuin umpinainen puinen kiekko ja umpinainen sylinteri.

3 Tukikehälle ei ole teoreettista kaavaa eli sitä ei lasketakaan. Kokeellisten hitausmomenttien tulosten saamiseksi tarvitaan torsioheilurin värähtelyn jaksonaika T (yksikkö: s) ja palautuskerroin D (yksikkö: /). D ratkaisemiseksi käytämme hyödyksi seuraavaa kaavaa ja johdamme sitä. Heiluria kierretään 80 verran, mikä on laskua käytettäessä -π() = ϴ. sin φ on, koska värähdysakselin etäisyys r ja voiman F välinen kulma on voimaa mitattaessa 90. Menetelmä selitetään myöhemmin selosteessa. M Fr sin D Fr D D Fr () (7) Työohjeistuksen seuraavalla kaavalla saadaan ratkaistua kokeelliset hitausmomentit T T D D T 4 D D T 4 (8) Puupallon halkaisijan sijaan mitattiin ympärysmitta, jonka avulla lasketaan säde seuraavalla kaavalla, jossa b ympärysmitta ja π pallon asteet. r b (9)

4 3 Kokeelliset menetelmät Torsioheiluri koostuu tukevasta jalasta (), spiraalijousesta (), kuulalaakerilla tuetusta torsioakselista, metallitangosta (3) ja siihen laitettavista punnuksista. Värähtelijää kierretään 80 myötä päivään, päästetään irti ja annetaan pyöriä neljä jaksoa. Sekuntikellolla otetaan neljän jakson pyörimä aika laskelmia varten. Kuva : Torsioheiluri Spiraalijousen palautuskerroin D voidaan määrätä kokeellisesti. Värähtelijää kierretään 80 myötä päivään ja dynamometri asetetaan kuvan mukaisesti, millä saadaan mitattua palauttava voima F. Mittaus suoritetaan kolmelta eri etäisyydeltä r. Kuva : Palauttavan voiman F mittaaminen dynamometrillä Eri kappaleiden massat ovat punnittu puntarilla ja mitat kuten halkaisijat, pituudet ja etäisyydet ovat saatu rulla- ja työntömitalla. Ajan mittaus suoritettiin analogisella sekuntikellolla.

5 4 Tulokset Taulukko : Kappaleiden mittausarvoja kappale massa (g) jakson aika (s) halkaisija (mm) Tanko 3,8, Tanko + puntit puntti 38,4 7, Tanko + puntit puntti 38,4 3, Ump. puinen kiekko 366,,875 3,5 Ump. sylinteri 3,5 0,75 90 Ontto sylinteri 337, R: 85, R: 3,8 Tukikehä 0,5 0,5 00 Puupallo 988,,75 0,07 Ump. ohut metallikiekko 743 4, Ump. ohut metallikiekko 743 4, Virherajat ± 5 ± 0, ± 5 Tangon pituudeksi mitattiin 60mm ± 5mm ja kaavaa () varten r = 50mm ± 5mm sekä r = 00mm ± 5mm. Steinerin teoreeman kaava (6) varten mitattiin a = 60 mm ± 5mm. Puupallon ympärysmitaksi mitattiin 455mm ja kaavan (9) avulla saatiin säteeksi: 0,455 m r 0, m 0,07 m 0, 00 m Taulukko : Voiman mittaus dynamometrillä etäisyys r (mm) voima F (N) Mittaus 300 0,0 Mittaus 50 0,5 Mittaus ,3 Taulukon arvoilla lasketaan erikseen D, D ja D3 kaavaa (7) käyttäen: F r 0,0N 0,30m D 0, , 00 Fr 0,5N 0,5m D 0, , 00 F3r3 0,3N 0,0m D3 0, , 00

6 5 Seuraavaksi lasketaan keskiarvo Dk: D D D3 D k 0, , 00 3 Kokeelliset hitausmomentit Nyt on mahdollista laskea kokeelliset hitausmomentit kaavalla (8). Seuraavassa esitetään esimerkkilasku tangolle ja sen jälkeen taulukko jokaiselle kappaleelle. Ainut muuttuja, joka muuttuu laskussa on jaksonaika T. Eri jaksonajat ovat mainittu taulukossa. Laskut löytyvät liitteessä. DT 4 0, ,65 s 4 0, kgm 0,0035 kgm Umpinaisen sylinterin ja onton sylinterin arvosta vähennetään tukikehän arvolla, koska tukikehä oli jalustana niille kappaleille. Taulukko 3: Kokeelliset hitausmomentit kappale kokeellinen hitausmomentti (kgm ) Tanko 0,0035 Tanko + puntit 0,03 Tanko + puntit 0,0075 Ump. puinen kiekko 0,008 Ump. sylinteri 0,0006 Ontto sylinteri 0,00038 Tukikehä 0,0003 Puupallo 0,005 Ump. ohut kiekko ja 0,0 Teoreettiset hitausmomentit Teoreettiset hitausmomentit lasketaan jokaisen kappaleen omilla kaavoilla. Ensiksi tanko kaavalla (). m kol 0,38 kg 0,6m 0, kgm 0, kgm tan 004 Ensimmäinen tanko puntteineen lasku kaavalla (). 0,5m 0,384 kg 0,5m 0, kgm 0, kgm 0,034 0,384 kg kgm

7 6 Toinen tanko puntteineen lasku samalla kaavalla. 0,384 kg 0, m 0,384 kg 0, m 0, kgm 0, kgm 0,0089 kgm Umpinainen puinen kiekko kaavalla (3). 0,35 m 0,336 kg 0, kgm 0,003 kgm Umpinainen sylinteri lasketaan samalla kaavalla. 0,09m 0,35 kg 0, kgm 0,0003 kgm Ontto sylinteri lasketaan kaavalla (4). 0,0038 m 0,337 kg 0,085 m 0, kgm 0,0003 kgm Puupallon lasketaan MAOLista [] löytyneellä kaavalla (5). 5 0,988 kg 0, m 0, kgm 0,00 kgm Ensimmäinen umpinaisen ohuen metallikiekon hitausmomentin laskeminen tehdään kaavalla (3), koska a = 0. 0,743 kg 0,m 0,0486 kgm 0,05 kgm Toisessa umpinaisen ohuen metallikiekon hitausmomentin laskemissa käytetään Steinerin teoreeman kaavaa (6). 0,m 0,06m 0,743 kg 0, kgm 0,08 kgm

8 7 Absoluuttiset virheet Absoluuttinen virheet lasketaan ottamalla ensin molemmilta lausekkeen puolilta logaritmit ja perään derivoimalla. okainen termi asetetaan itseisarvomerkkien sisälle ja lopuksi kerrotaan sillä muuttujalla, jonka absoluuttinen virhe lasketaan. Esimerkkinä palautuskertoimen D absoluuttinen virhe kaavan (7) avulla: D Fr () Fr ln D ln D D F F r r F D D F r r D lasketaan ottamalla keskiarvo D, D ja D3:sta. Lasketaan ensin D arvot: F r 0,05N 0,005 m D D 0, , , 006 F r 0,0 N 0,30m 0,05N 0,005 m D 0, , , 005 0,5N 0,5m 0,05N 0,005 m D3 0, , , 004 0,3N 0,0m D D D3 D k 0, , Kokeellisten hitausmomenttien absoluuttiset virheet Äskeisen menetelmän avulla tehtiin kaavalle (8) sama menetelmä D T D T Nyt esitetään esimerkkilasku tangolle ja sen jälkeen taulukko jokaiselle kappaleelle. Ainut muuttuja, joka muuttuu laskussa on jaksonaika T ja hitausmomentti. 0, , ,s,65 s 0, kgm 0,009.. kgm 0,00 kgm

9 8 Umpinaisen sylinterin ja onton sylinterin arvosta vähennetään jälleen tukikehän arvolla. Taulukko 4: Kokeelliset hitausmomentit virherajoineen kappale hitausmomentti kgm Tanko 0,0035 ± 0,00 Tanko + puntit 0,03 ± 0,009 Tanko + puntit 0,0075 ± 0,003 Ump. puinen kiekko 0,008 ± 0,0008 Ump. sylinteri 0,0006 ± 0,0000 Ontto sylinteri 0,00038 ± 0,000 Tukikehä 0,0003 ± 0,000 Puupallo 0,005 ± 0,0007 Ump. ohut kiekko ja 0,0 ± 0,004 Teoreettisten hitausmomenttien absoluuttiset virheet okaisen teoreettisen hitausmomentin kaavasta tehtiin absoluuttiset virhekaavat edellisen sivun samalla tavalla. Alla on esimerkkinä parin kappaleen virheyhtälökaava ja lopuksi taulukko hitausmomenteista ja niiden virherajoista. Tanko: m m l l 0,005 kg 0,38 kg 0,005 m 0,6m 0, kgm 0, kgm 0,0003 kgm Tanko+puntit: m r m r mt l m r m r mt l 0,005 kg 0,005 m 0,005 kg 0,005 m 0,005 kg 0,005 m 0, kgm 0,384 kg 0,5m 0,384 kg 0,5m 0,38 kg 0,6m 0, kgm 0,006 kgm

10 9 Taulukko 5: Hitausmomentit virherajoineen kappale teoreettiset [kgm ] kokeelliset [kgm ] Tanko 0,004 ± 0,0003 0,0035 ± 0,00 Tanko + puntit 0,034 ± 0,006 0,03 ± 0,009 Tanko + puntit 0,0089 ± 0,003 0,0075 ± 0,003 Ump. puinen kiekko 0,003 ± 0,0003 0,008 ± 0,0008 Ump. sylinteri 0,0003 ± 0, ,0006 ± 0,0000 Ontto sylinteri 0,0003 ± 0,00 0,00038 ± 0,000 Tukikehä ,0003 ± 0,000 Puupallo 0,00 ± 0, ,005 ± 0,0007 Ump. ohut kiekko 0,05 ± 0,0009 0,0 ± 0,004 Ump. ohut kiekko 0,08 ± 0,005 0,0 ± 0,004 Tulosten tarkastelu (johtopäätös) Suurin osa kokeellisista arvoista täsmää teoreettisia arvoja. akson aikojen mittauksessa voisi olla erilaisia tuloksia koska heiluri ei aina pyörinyt täyttä jaksoa vaan hieman alle. Kokeelliset arvot olisivat olleet joko lähempänä tai kauempana teoreettisista riippuen kuinka nopeasti heiluri olisi pyörinyt. Myös sekuntikellon aloituksessa ja lopetuksessa on tarkkojen arvojen saaminen riippuu myös refleksistä. Dynamometrillä mittaaminen ei ollut aivan helppoa. Asteikkoa oli vaikea käyttää joten virherajaa piti määrittää hieman isoksi. Siksi palautuskerroin ei varmasti ole aivan tarkka luku, joten tulokset eivät ole myöskään tarkkoja. Halkaisijalla on suurin merkitys hitausmomenttia määrittäessä. Usein mitä pienempi halkaisija, sitä nopeammin pyörii. Esimerkkinä umpinainen sylinteri 90mm ajalla 3 sekuntia ja puupallon noin 7,4mm ajalla 7s. Steinerin teoreemassa ei ajallisesti ollut eroa jos etäisyys painopisteestä oli suurempi. Laskelmissa tulokset olivat teoreettisesti erilaiset kuin kokeellisesti. Teoreettisella oli eroa noin 0,003 kgm johtunee etäisyys painopisteestä. Lähdeluettelo [] R. Seppänen, M. Kervinen, I. Parkkila, L. Karkela, P. Meriläinen, MAOL taulukot, ss.9, Otava, Helsinki, 007. Liitteet Liite : Mittauspöytäkirja Liite : Laskuja Liite 3: Alkuperäinen raportti