KANSANTALOUSTIETEEN ILMIÖIDEN MITTAAMISESTA

Transkriptio

1 KANSANTALOUSTIETEEN ILMIÖIDEN MITTAAMISESTA Matti Estola 4. lokakuuta 2013 Sisältö 1 Eksaktin tieteen vaatimukset 2 2 Kansantaloustieteen mittajärjestelmä Määrän mittaaminen Arvon mittaaminen Ajan mittaaminen Mielihyvän (tyytyväisyyden) eli hyödyn mittaaminen Jonkin suureen muutoksen mittaamisesta Esimerkkejä kansantaloudessa mitatuista ilmiöistä Havainnoimisesta kansantaloustieteessä Suureiden välisen riippuvuuden arviointi Indeksipisteluvut Indeksipisteluvut keskimääräisinä hintoina Nimelliset ja reaaliset suureet Teksti on lainattu kirjasta: Estola, M. Kansantaloustieteen perusteet, Jyväskylän yliopisto, Taloustieteen laitos, Julkaisuja 104/96. 1

2 1 Eksaktin tieteen vaatimukset Jotta kansantaloustiedettä voitaisiin kutsua eksaktiksi (tarkaksi) tieteeksi, seuraavien ehtojen tulisi toteutua. (1) Olisi oltava mittajärjestelmä, jolla taloudessa havaittavat ilmiöt saadaan mitattua. (2) Talouden ilmiöiden selittämisen tulisi perustua teoriaan ihmisten ja ihmisten muodostamien organisaatioiden käyttäytymisestä, jota korjataan tarvittaessa havaintojen perusteella. (3) Olisi oltava yleisesti hyväksytyt mallittamisperiaatteet eri tilanteille. Sekä dynaamiset että staattiset ilmiöt tulisi mallittaa samalla lähestymistavalla, sillä tuntuisi oudolta, jos talousyksiköiden käyttäytymisen muutosta mallitettaisiin eri periaatteella kuin normaalia käyttäytymistä. 4) Formaali teoreettinen mallittaminen tulisi tehdä vain sellaisten muuttujien avulla, jotka ovat joko suoraan tai epäsuorasti mitattavissa. (5) Jonkin tilanteen mallittamisessa tehdyt yksinkertaistukset tulisi perustella ja raportoida mallittamisen yhteydessä. (6) Makrotason ilmiöiden mallittaminen tulisi perustua joko talousyksiköiden mikrotason käyttäytymiseen tai taloudessa vallitseviin makrotaloudellisiin riippuvuuksiin (tarkemmin kirjan osassa III). (7) Makrotason suureiden mittayksiköt tulisi pystyä määrittelemään. Esimerkiksi fysiikassa kaasujen makrofysikaalisten ilmiöiden tutkimisessa yksittäisten molekyylien käyttäytymiseen perustuva mallittaminen on todettu liian monimutkaiseksi. Tästä syystä kaasujen käyttäytymistä mallitetaan molekyylien keskimääräisen käyttäytymisen perusteella, mikä tuottaa riittävän tarkkoja ennusteita. Kaasujen käyttäytymisen makroteoreettisissa yhtälöissä esiintyy myös suureita kuten lämpötila, joita mikrotasolla ei voida edes mitata. Mikrotasolla lämpötilan nousu havaitaan molekyylien lämpöliikkeen lisääntymisenä. Myös kansantaloustieteessä makrotason ilmiöitä voidaan ajatella mallitettavan eri periaatteilla kuin mikrotason käyttäytymistä. Näihin asioihin palataan kirjan osassa III, missä tarkastellaan makrotaloustiedettä. Yllä esitetyt formaalin tieteen vaatimukset pyritään tässä oppikirjassa täyttämään. Aloittakaamme talouden mittajärjestelmästä. 2 Kansantaloustieteen mittajärjestelmä Kansantaloustieteen mittajärjestelmän vertailukohteena on mekaniikan metrinen mittajärjestelmä, jonka perusdimensiot (-suureet) ovat [pituus], [massa] 2

3 ja [aika] (muuttujan dimensiota merkitään hakasuluilla), ja niiden mittayksiköt ovat metri (m), kilogramma (kg) ja sekunti (s). Kaikki mekaniikan ilmiöt voidaan mitata näiden perusdimensioiden sekä niistä muodostettujen johdettujen dimensioiden avulla. Johdetut dimensiot ovat perusdimensioiden potenssituloja, eli muodostetut niistä joko kerto- tai jakolaskun avulla. Esimerkiksi nopeus on johdettu dimensio, joka saadaan perusdimensioiden [pituus] ja [aika] potenssitulona: [nopeus] = [pituus]/[aika] = [pituus aika 1 ]. Tämä nähdään myös nopeuden mittayksiköstä (m/s) = (ms 1 ). Tilavuus puolestaan on pituus-dimensiosta potenssitulona muodostettu johdettu dimensio [tilavuus] = [pituus 3 ], jonka mittayksikkö metrisessä järjestelmässä on (m 3 ). Yksi erikoistapaus johdetuista dimensioista on dimensioton suure, joka saadaan kahden samandimensioisen suureen suhdelukuna; esim. [pituus]/[pituus] = [pituus/pituus] = [1]. Määritelmä: Dimensiollisia tai dimensiottomia lukuja kutsutaan yhdessä skalaareiksi. Suuri osa kansantaloudessa havaittavista ilmiöistä voidaan kvantifioida (mitata) seuraavia dimensioita käyttäen: määrä [R], arvo [M] ja aika [T ]. Nämä merkinnät tulevat termeistä real dimension, monetary dimension ja time dimension. Ihmisten käyttäytymiseen vaikuttaa lisäksi heidän subjektiivisesti tuntemansa mielihyvä eli tyytyväisyyden tila, jota kansantaloustieteessä on perinteisesti nimitetty hyödyksi. Tätä tyytyväisyyden astetta voidaan pitää omana perusdimensionaan, jota merkitään [S]:llä termin satisfaction dimension mukaan. Tässä esitetty merkintätapa noudattaa Frits de Jongin (1967) näille dimensioille käyttämiä symboleja. Näitä voidaan pitää kansantalouden mittajärjestelmän perus- eli primääreinä dimensioina, ja niiden muodostamat potenssitulot ovat talouden johdettuja, eli sekundaarisia, dimensioita. Myöhemmin tulemme kuitenkin havaitsemaan, että mielihyvä -dimensiota tarvitaan ainoastaan apusuureena kansantalouden ilmiöiden mittaamisessa ja mallittamisessa. Dimensioanalyysissa tarkastellaan mittayksiköllisten suureiden algebrallisia operaatioita. Sen mukaan dimensionaalisilla suureilla voidaan kertoa ja jakaa reaalilukujen tapaan siten, että suureiden numeeriset arvot kerrotaan ja jaetaan kerto- ja jakolaskusääntöjen mukaan. Olennaista tällöin on se, että kahden dimensionaalisen suureen tulon (osamäärän) dimensio (mittayksikkö) poikkeaa yleensä molempien tulon (osamäärän) tekijöiden dimensioista (mittayksiköistä). Yhteenlasku ja vähentäminen on sallittua vain kahden samandimensioisen suureen tapauksessa, ja laskun tuloksena saadaan samaa dimensiota oleva suure. Jonkin dimensionaalisen suureen kertominen dimensiottomalla (tai paljaalla) luvulla muuttaa suureen numeerista arvoa mutta ei dimensiota (katso tämän osion loppuosan esimerkit). Näitä asioita 3

4 käsitellään tarkemmin esimerkiksi de Jongin kirjassa (1967). Määritelmä: Dimensionaaliseksi vakioksi kutsutaan sellaista dimensionaalista suuretta, jolla on kiinteä numeerinen arvo. Esimerkki. Fysiikassa dimensionaalisia vakioita ovat esimerkiksi Newtonin gravitaatiovakio (m 3 kg 1 s 2 ) sekä valon nopeus (ms 1 ). Fysikaalisessa kemiassa dimensionaalisia vakioita ovat esimerkiksi Avogadron ja Faradayn vakiot: (mol 1 ) ja (Cmol 1 ). Kansantaloustieteessä dimensionaalisia vakioita ovat mm. kiinteän valuuttakurssijärjestelmän mukaiset vaihtokurssit esim. Suomen markan ja USA:n dollarin välinen vaihtokurssi 4.51 (F IM/U SD) sekä tuotantoteoriassa esiintyvät teknologiavakiot. Huomautus! Rahayksiköistä puhuttaessa merkitsemme jatkossa Suomen markkaa ja USA:n dollaria lyhenteillä (mk) ja ($), jotka ovat vakiintuneita merkintätapoja. Valuutoista ja valuuttojen vaihtokursseista puhuttaessa käytämme taas valuuttojen virallisia lyhenteitä (F IM) ja (U SD). Tunnetuimpien valuuttojen viralliset lyhenteet on taulukoitu luvun 15 lopussa olevassa liitteessä. Määritelmä Kahden valuutan tapauksessa puhutaan niiden välisestä vaihtokurssista. Myöhemmin luvussa 15 tarkastelemme Suomen markan valuuttakurssi-indeksiä, joka mittaa markan vaihtosuhdetta useista valuutoista muodostettuun valuuttakoriin. Tällöin puhutaan Suomen markan valuuttakurssista. Kansantaloustieteessä dimensionaalisia vakioita tarvitaan fysiikan tapaan dimensionaalisesti hyvin määriteltyjen yhtälöiden muodostamisessa. Yleisessä funktiomuodossa esitetyt teoriat voidaan yksinkertaistaa dimensionaalisten vakioiden avulla siten, että päästään käyttämään mahdollisimman yksinkertaisia tarkkoja funktiomuotoja (esim. polynomimuotoisia). Tarkkojen funktiomuotojen sisältämien suureiden dimensionaalisuus vaatii sellaisten dimensionaalisten vakioiden määrittämisen, jotka tekevät funktioista dimensioiden suhteen hyvin määriteltyjä. Tätä vaihetta kutsutaan mallin parametrisoinniksi, eli sellaisten dimensionaalisten vakioiden määrittämiseksi, joiden numeeriset arvot määrätään havaintojen perusteella (liite; luku 5 osio 4). Teoriatasolla yhtälöt kirjoitetaan siten, että niissä esiintyviä dimensionaalisia vakioita merkitään kirjaimin a, b, c, a 1, a 2,... Dimensionaalisten vakioiden dimensiot ja mittayksiköt määrätään teoriatasolla, kun taas niiden numeeriset arvot määrätään havaintojen perusteella. Kansantaloustieteen dimensionaalisilla vakioilla ei kuitenkaan ole fysiikan ja kemian vakioiden kaltaista universaalisuutta, sillä mikään taloudessa mitattu dimensionaalinen suure ei pitkällä aikavälillä pysy kiinteänä. Kansantaloustieteen empiirinen 4

5 analyysi ei myöskään tarkkuudeltaan vastaa fysiikan laboratorio-olosuhteita. Eri aineistoilla tehdyt analyysit tuottavat yleensä toisistaan poikkeavia numeerisia arvoja samoille vakioille. Yllä esitetystä puutteista huolimatta dimensionaalisten vakioiden huomioiminen teoriatasolla on tärkeää siitä syystä, että niiden mittayksiköt saadaan oikein määriteltyä. Mittayksiköt auttavat meitä havaintojen perusteella määrättyjen vakioiden numeeristen arvojen tulkinnassa. Tässä kirjassa esitettyjä teoreettisia yhtälöitä tutkiessaan lukija voi aina korvata dimensionaaliset vakiot joillakin numeroarvoilla, jos kokee sen helpottavan asian ymmärtämistä. Teoriat pyritään yleensä kirjoittamaan sellaisessa muodossa, että dimensionaalisten vakioiden numeeriset arvot ovat positiivisia. Esimerkkejä dimensionaalisista laskutoimituksista. 5 (kg) + 3 (kg) = 8 (kg), (mk/vrk) = 1000 (mk/vrk), 2 (mk/kg) 100 (kg/kpl) 8 (kpl/kk) = 1600 (mk/kk), 100 (mk/kk) 20 (mk/kg) = 5 (kg/kk), 100 (mk/kk) 12 (kk/v) = 1200 (mk/v), 1200 (mk/v) 4 (v) = 4800 (mk), 200 (mk) 10 (mk) = 20, 10 (mk/kk) + 5 (mk/kpl) 4 (kpl/kk) = 30 (mk/kk), x (kg/kpl) y (mk/kg) = xy (mk/kpl) Kaikki yllä esitetyt yhtälöt ovat homogeenisia dimensioiden suhteen, eli dimensiohomogeenisia. Jos esimerkiksi viimeisen yhtälön molemmat puolet kerrotaan jollakin nollasta eroavalla suureella jolla on mittayksikkö (kpl/mk), yhtälö muuttuu mittayksiköttömäksi. 2.1 Määrän mittaaminen Kansantaloustieteessä määrä -dimension mittayksikköinä voidaan pitää kaikkia niitä fysikaalisia mittayksiköitä, joita hyödykemäärien mittaamisessa käytetään. Näitä ovat kilogramma (kg), metri (m), neliömetri (m 2 ), kuutiometri (m 3 ), litra (l), lukumäärä (kpl) jne. sekä kaikki näiden kymmenpotenssit, eli gramma (g), kilometri (km) jne. Koska samandimensioisia suureita tulee voida laskea yhteen, määrää mittaavien suureiden yhteenlaskettavuus vaatii sen, että on olemassa kiinteät muunnossäännöt eri määräyksik- 5

6 köjen välillä. Hyödykemääriä voidaan laskea yhteen näiden muunnossääntöjen avulla esimerkiksi seuraavasti. Esimerkki. Oletetaan että 0.5 litran riisipaketin sisältö painaa 0.6 kiloa; 1 (l) riisiä painaa siis 1.2 (kg). Jos nyt yhden kilon riisimäärään lisätään yksi litra riisiä, saatu riisimäärä voidaan esittää joko 1 (kg) + 1 (l) 1.2 (kg/l) = 2.2 (kg) tai 1 (l) + 1 (kg) / 1.2 (kg/l) = 1.83 (l) riisiä. Edellä mainittujen muunnossääntöjen tulee toteuttaa seuraava ehto: kun jokin hyödykemäärä mitataan metri-, kilo- tai kuutiotavarana, eri mittayksiköissä mitattujen samansuuruisten hyödykemäärien hintojen tulee olla samat. Edellä esitetyn perusteella 1.2 (kg) riisiä maksaa yhtä paljon kuin 1 (l) riisiä. Olkoon riisin litrahinta 5 (mk/l). Tällöin riisin kilohinnaksi saadaan 5 (mk/l) = 5 (mk) / 1.2 (kg) = 5/1.2 (mk/kg) = 4.17 (mk/kg). Eri hyödykkeiden kilo-, metri- ja kuutiohinnat tulee määritellä siten, että niiden avulla tietty hyödykemäärä voidaan hinnoitella identtisesti mitä tahansa määräyksikköä käyttäen. 2.2 Arvon mittaaminen Arvon mittayksikkönä voidaan pitää tarkasteltavan kansantalouden rahayksikköä, eli Suomen tapauksessa Suomen markkaa (mk). Jonkin hyödykkeen arvon mittaaminen ei kuitenkaan koskaan ole objektiivista, sillä se vaihtelee eri ihmisillä heidän arvostustensa ja varallisuutensa mukaan. Näistä ongelmista huolimatta (katso esim. Estola (1995)) jokaisen hyödykkeen arvo voidaan määritellä markkinamekanismin avulla suurimman maksuhalukkuuden mukaan. Määritelmä: Jonkin hyödykkeen rahamääräinen arvo on siihen kohdistuvan maksuhalukkuusvälin suurin arvo. Maksuhalukkuusvälillä tarkoitetaan suurimman ja pienimmän ostotarjouksen rajaamaa ostotarjousten joukkoa. Jos hyödykkeen omistaja haluaa muuttaa hyödykkeensä rahaksi, hyödykkeen arvo vastaa huutokauppatilanteen korkeinta ostotarjousta. Määritelmä toimii järkevästi myös negatiivisille arvoille eli jätteiden arvoa määriteltäessä. Omistaja, joka haluaa päästä eroon jätteestään mahdollisimman halvalla, valitsee kaikkein edullisimman osto tarjouksen. Tämä vastaa jätteen ostajien maksuhalukkuusvälin suurinta arvoa, eli negatiivisella puolella lähimpänä nollaa olevaa arvoa. 2.3 Ajan mittaaminen Kansantaloustieteessä aikaa voidaan mitata usealla yksiköllä: tunti (h), vuorokausi (vrk = 24h), työpäivä; esim. (pv = 8h), viikko (vk = 7vrk), 6

7 kuukausi (kk = 4vk), vuosi (v = 52vk) jne. Koska eri kalenterikuukausien päivien lukumäärä vaihtelee, kuukaudella tarkoitetaan jatkossa neljän viikon (eli 28 vuorokauden) pituista ajanjaksoa, jotta se olisi tarkka mittayksikkö ajanjakson pituudelle. Vuodella tarkoitetaan puolestaan 52 viikon pituista ajanjaksoa, jolloin yksi vuosi ei vastaa 12 kuukautta. Syy useisiin ajan mittayksiköihin on se, että esimerkiksi työpanoksen vuosittaista käyttöä voidaan mitata vuoden aikana tehtyjen työtuntien määrällä. Työpanoksen käyttö on siis johdettu suure, jonka mittayksikkö voi esimerkiksi olla (h/v) = (hv 1 ). Jos mittayksikössä (h/v) vuosi muunnetaan tunneiksi (tai tunti vuoden murto-osaksi), työpanoksen mittasuureeksi saadaan dimensioton suure, joka mittaa työtuntien osuutta vuoden koko tuntimäärästä. Mittayksikkö (h/v) työpanokselle on kuitenkin jälkimmäistä selvempi, joten sitä käytetään jatkossa. 2.4 Mielihyvän (tyytyväisyyden) eli hyödyn mittaaminen Ihmisten kokeman tyytyväisyyden tason mittaaminen on huomattavasti vaikeampaa kuin muiden kansantaloustieteen perussuureiden, sillä se vaatisi periaatteessa ihmisen aivojen sähkökemiallisten reaktioiden kvantifioimista. Hymyn leveys ei liene riittävän tarkka mittari ko. suureelle. Ihmisten kulutuskäyttäytymistä mallitettaessa olennaista on kuitenkin se, että ihminen kokee saavansa tyydytystä eri hyödykkeiden kuluttamisesta, ja pystyy vertailemaan erilaisten hyödykekombinaatioiden (-yhdistelmien) kuluttamisesta saamaansa mielihyvää tämän subjektiivisen tuntemuksensa perusteella. Oletus eri hyödykkeiden kuluttamisen tuottaman mielihyvän vertailtavuudesta on välttämätön edellytys rationaaliselle kulutuskäyttäytymiselle. Kuluttajan valintateoriassa osoitamme myöhemmin, että tiettyjen oletusten ollessa voimassa kuluttaja pystyy järjestämään kulutettavana olevat hyödykekombinaatiot paremmuusjärjestykseen. Toisin sanoen kaikkien mahdollisten hyödykekombinaatioiden muodostama joukko on järjestysrelaatiollinen mielihyväasteikon suhteen (liite; luku 11 osio 2.2). Jotta kuluttaja voisi verrata eri hyödykkeiden kuluttamisesta saamaansa mielihyvää, kaikkien hyödykkeiden kuluttamisesta saatavan mielihyvän tulisi olla samaa lajia. Kuluttajien tarpeita voidaan kuitenkin luokitella useilla tavoilla: fysiologiset, sosiaaliset, tunne-elämän tarpeet jne. Nälän tunteen poistaminen syömällä tuottaa ihmisille varmasti erilaatuista mielihyvää kuin teatterinäytännön seuraaminen. On siis perusteltua ajatella, että on olemassa erilaisia mielihyvälajeja, joita ihminen kokee eri hyödykkeitä kuluttaessaan. Määritelmä: Jonkin epätyhjän joukon osituksella tarkoitetaan joukon 7

8 jakamista osajoukkoihin seuraavasti: 1) osajoukot eivät leikkaa toisiaan, 2) joukon jokainen alkio kuuluu johonkin osajoukkoon ja 3) joukko voidaan esittää näiden osajoukkojen yhdisteenä. Yksi ratkaisu yllä kuvattuun mielihyvän vertailtavuus -ongelmaan on seuraava: kuluttajan oletetaan osittavan kaikkien kulutettavana olevien hyödykkeiden muodostaman joukon erillisiin osajoukkoihin siten, että niiden sisältämät hyödykkeet ovat homogeenisia (samanlaisia) niiden tuottaman mielihyvälajin suhteen. Tietyn osajoukon sisältävistä hyödykkeistä saatavaa mielihyvää voidaan siten suoraan verrata toisiinsa. Tällä tavalla määriteltyjen osajoukkojen lukumäärä vaihtelee yksilökohtaisesti sen mukaan, miten tarkasti kyseinen henkilö erottelee erilaatuisia mielihyvälajeja. Erilaiset mielihyvälajit voidaan edelleen järjestää tärkeysjärjestykseen, ja päättää miten suuri osuus tarkasteltavan ajanjakson budjetista kullekin lajille annetaan. Kutakuinkin tällä tavalla ihmiset käytännössä toimivat. Fysiologisilla tarpeilla on selvä prioriteettiasema tarpeiden hierarkiassa, ja muiden tarpeiden tyydyttäminen on mielekästä vasta sen jälkeen, kun niiden tyydytys on saavuttanut tietyn minimitason. Nälkäinen ihminen ei saa tyydytettyä nälän tunnettaan seuraamalla teatterinäytäntöä, eikä kykene nauttimaan näytelmästä. Jos taas joku haluaa rentoutua työpäivän jälkeen, elokuvissakäynnin tuottama mielihyvä edustaa tällöin samaa mielihyvälajia kuin ravintolassa tai tansseissa käynti. Näitä punnitaankin usein vaihtoehtoisina ajankäyttötapoina. Jonkinlainen vaihdettavuus eri mielihyvälajien välillä on kuitenkin olemassa, sillä havaintojen perusteella ihmiset kykenevät korvaamaan esimerkiksi tunne-elämän tarpeitaan muiden henkisten tarpeiden tyydyttämisellä. Halu saada toisten ihmisten arvostusta voidaan myös (ainakin osittain) tyydyttää status-hyödykkeiden hankinnoilla, mikä lienee ainoa syy niiden olemassaoloon. Näiden esimerkkien perusteella voidaan ajatella, että jokainen ihminen luo itselleen oman subjektiivisen arvostusjärjestelmänsä, jossa hän määrittelee tietyt vaihtosuhteet erilaisten mielihyvälajien välille. Nämä vaihtosuhteet riippuvat henkilön vallitsevasta tarpeidentyydytystasosta, sillä sama ihminen nälkäisenä ja kylläisenä määrittelee varmasti erisuuren vaihtosuhteen lisäruuan syömisen ja teatterinäytännön seuraamisen välille. Tässä esitetyn analysoinnin tarkoitus oli kuvata varsin karkealla tasolla sitä prosessia, mikä ihmisen aivoissa tapahtuu hänen vertaillessaan eri hyödykkeiden kuluttamisesta saamaansa mielihyvää. Koska rahatalouksissa hyödykkeiden hinnat ilmaistaan rahamääräisinä, rationaalinen kuluttajan valintakäyttäytyminen vaatii hyödykekombinaatioiden järjestysrelaatiollisuus -ominaisuuden lisäksi sen, että kuluttaja pystyy muuntamaan sekä raha- että mielihyväasteikolliset suureet yhteismitallisik- 8

9 si. Rahamääräisinä suureina hyödykkeiden hinnat ovat jatkuvia suureita, joten kuluttajan tulee pystyä määrittelemään jatkuva yksikäsitteinen vastaavuus yksiköissä (mk) mitatuille rahamääräisille suureille sekä joissakin yksiköissä mitatuille mielihyvämäärille. Kuluttajan kokemaa mielihyvää (tyytyväisyyttä) on kansantaloustieteessä perinteisesti kutsutty hyödyksi, mitä nimitystä tässäkin kirjassa käytetään jatkossa perinteiden vuoksi. Kuluttajan valintateoriassa on kyetty osoittamaan, että silloin kun kuluttaja kykenee asettamaan erilaiset hyödykekombinaatiot paremmuusjärjestykseen, sellainen argumenttiensa suhteen jatkuva skalaariarvoinen funktio (liite; luku 5 osio 1) voidaan määritellä, joka kuvaa kuluttajan preferenssijärjestyksen ( prefer = pitää parempana) yksikäsitteisesti. Näin muodostettua funktiota kutsutaan kuluttajan hyötyfunktioksi. Yllä määritelty kuluttajan hyötyfunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen; mikä tahansa sen positiivinen muunnos esim. hyötyfunktion kertominen positiivisella luvulla tai korottaminen potenssiin kuvaa saman preferenssijärjestyksen. Jokainen saman preferenssijärjestyksen kuvaava hyötyfunktio määrittelee yhden jatkuvan yksikäsitteisen vastaavuuden hyötyfunktion arvojen ja rahamääräisten suureiden välille. Tämä vastaavuus määritellään kuluttajan valintateoriassa luvussa 4. Hyödyn mittaamisessa hyötyfunktion valinnalla ei ole muuta vaikutusta kuin se, että tietty hyötyfunktio määrittelee yhden tietyn vastaavuuden rahamääräisten suureiden ja hyötymäärien välille. Voidaan siis ajatella, että jokainen saman preferenssijärjestyksen kuvaava hyötyfunktio määrittelee kuluttajan hyödylle yhden tietyn funktion arvojen ilmaiseman mittayksikön. Kuluttajan hyötytason absoluuttisilla arvoilla ei kuitenkaan ole merkitystä kuluttajan valintaa mallitettaessa, sillä kuluttajan optimitilanteen läheisyydessä jokainen tietyn kuluttajan saman preferenssijärjestyksen ilmaisema jatkuva hyötyfunktio määrittelee eri hyödykkeille yksikäsitteiset maksuhalukkuudet. Jos kuluttaja kykenee järjestämään tarjolla olevat hyödykekombinaatiot paremmuusjärjestykseen niiden kuluttamisesta saamansa mielihyvän perusteella, ja pystyy ilmaisemaan maksuhalukkuutensa niistä, rationaalinen kuluttajan valintakäyttäytyminen voidaan pelkistää vertailuksi hyödykkeiden hintojen ja kuluttajan niihin kohdistaman maksuhalukkuuden välillä. Tämä vastaa karkealla tasolla ihmisten päivittäistä ostokäyttäytymistä. Vaikka kuluttajan subjektiivinen mielihyvä on rationaalisen valintakäyttäytymisen perusta, hyödyn tasoa ei kuitenkaan tarvitse mitata kuluttajan valintatilannetta mallitettaessa, vaan sitä mitataan epäsuorasti maksuhalukkuuden perusteella. Kuluttajan kokema hyöty on siten ainoastaan apusuure hänen maksuhalukkuutensa määrittämisessä, mistä syystä edellä esitetyillä hyödyn mittausongelmilla ei ole merkitystä kuluttajan valintakäyt- 9

10 täytymistä mallitettaessa. Näihin asioihin palataan luvussa 4. Tässä esitetyn perusteella mielihyvän (tyytyväisyyden) eli hyödyn mittaaminen ei ole objektiivista, vaan se riippuu sekä kuluttajan subjektiivisista arvostuksista että hänen preferenssejään kuvaavan hyötyfunktion valinnasta. Tämä epätäsmällisyys vastaa edellä esitettyä epätäsmällisyyttä hyödykkeiden arvojen mittaamisessa, ja se johtuu samasta syystä; kuluttajat kokevat saavansa mielihyvää erilaisista asioista. Samalla tavalla kuin ihmisten maksuhalukkuus vaihtelee tietyn hyödykkeen suhteen, vaihtelee myös yhden henkilön maksuhalukkuus eri hyödykkeistä hänen tulojensa, varallisuutensa sekä vallitsevan tarpeidentyydytystasonsa myötä. Nämä tekijät tekevät hyödyn objektiivisen mittaamisen mahdottomaksi. Tietty mittayksikkö hyödylle on kuitenkin tarpeellinen siitä syystä, että sen avulla voidaan kirjoittaa sellaisia dimensioiden suhteen hyvin määriteltyjä yhtälöitä, joissa hyödyn tasoa kuvaava funktio esiintyy. Näillä perusteluilla mielihyvän (hyödyn) mittayksikköä merkitään jatkossa (ut):llä (utility = hyöty), mikä on mittayksikkö ihmisen aivoissaan tuntemalle mielihyvän asteelle. Jatkossa kuluttajan hyötytasoa mitataan yhden sellaisen jatkuvan funktion arvoilla, joka määrittelee kuluttajan preferenssijärjestyksen yksikäsitteisesti. Hyötyfunktion arvojen mittayksikkö on siis (ut). 2.5 Jonkin suureen muutoksen mittaamisesta Suureita on periaatteessa kahdenlaisia; jatkuvia ja diskreettejä. Diskreetti suure on sillä tavalla epäjatkuva, että sen arvo muuttuu joko hyppäyksin tai tietyin arvovälein. Yksi syy näihin hyppyihin on se, että suure voi saada ainoastaan tiettyjä arvoja; esimerkiksi kokonaislukuja 1, 2, 3,... Esimerkki tällaisesta suureesta on valmistuneiden hyödykkeiden lukumäärä. Toinen yleinen epäjatkuvuuden syy on se, että suureiden arvoja mitataan ainoastaan tietyiltä ajanjaksoilta tai tietyin aikavälein. Esimerkkejä näistä ovat yrityksen päivätuotannon määrä sekä aamuisin mitattu ulkoilman lämpötila. Päivätuotannon määrän kuvaaja on porrasfunktio koordinaatistossa (x, y), missä vaaka-akselilla x mitataan aikaa ja pystyakselilla y mitataan päivätuotannon määrää. Portaan korkeus vastaa päivätuotannon määrää ja leveys vaaka-akselille valitun asteikon määrittämää yhden päivän pituutta. Aamuisin mitattu ulkoilman lämpötila kuvautuu puolestaan koordinaatistoon (aika, lämpötila) erillisten pisteiden joukoksi, jossa päivän välein saadaan yksi mittaustulos. Kuviossa 2.1 on esitettynä suureen x(t) mitattuja arvoja eri ajanhetkillä t 0, t 1, jne. Merkintä t tulee sanasta time eli aika ja alaindeksit 0 ja 1 viittaavat tiettyyn ajanhetkeen. Ensimmäinen kuvio esittää ajan suhteen jatkuvaa suuretta ja muut ovat ajan suhteen diskreettejä. Jatkuvan suureen kuvaaja 10

11 on yhtenäinen viiva, kun taas diskreetin suureen kuvaaja on joko porrasfunktio tai erillisten pisteiden muodostama joukko. Kuvio 2.1. Yksi jatkuva ja kaksi diskreettiä suuretta Esimerkki. Jatkuvia suureita ovat esimerkiksi aika, auringonpaiste (silloin kun paistaa), selluloosan tai minkä tahansa muun massan tuotanto kun tuotantoprosessi on käynnissä jne. Diskreettejä suureita ovat puolestaan arpanopan silmämäärä usean heiton sarjassa, päivän aikana valmistuneiden autojen lukumäärä esimerkiksi viikon pituisen tarkastelujakson aikana, työntekijän kuukausitulot vuoden pituisen tarkastelujakson aikana, tietyn maan vuotuinen bruttokansantuote luvulla jne. Ajan suhteen jatkuvista suureista saadaan aina muodostettua diskreetti suure siten, että aika ositetaan diskreetiksi suureeksi (tunneiksi, vuorokausiksi, viikoiksi jne.), miltä jaksoilta suureen arvot mitataan. Toinen tapa muuntaa jatkuva suure diskreetiksi on se, että suureen arvojoukko ositetaan sellaisiksi arvoväleiksi, joissa suureen arvo on vakio. Massanvalmistusta voidaan esimerkiksi mitata siten, että määriä mitataan vain täysinä kiloina. Kaikki määrät Q (kg), 1 Q < 2, vastaavat tällöin yhtä kiloa, määrät 2 Q < 3 vastaavat kahta kiloa jne. Matematiikassa ja tilastotieteessä on kehitetty useita menetelmiä, joiden avulla päinvastainen muunnos diskreetin suureen muuntaminen jatkuvaksi voidaan tehdä. Näiden menetelmien tarkka käsittely sivuutetaan tässä kirjassa, mutta niiden periaatetta tarkastellaan seuraavissa kahdessa esimerkissä. Esimerkki. Oletetaan että tietyn yrityksen tuotantoa mitataan valmistuneiden hyödykkeiden lukumäärällä: 1, 2, 3,... Olkoon päivän aikana on valmistunut kolme hyödykettä. Yrityksen tuotantonopeus voidaan tällöin ilmaista seuraavasti: 3 (kpl/vrk). Tämä diskreetti vuorokausinopeus voidaan muuntaa ajan mittayksiköiden muunnoksilla seuraavasti: 3 (kpl/vrk) = 3 (kpl/24h) = 3 24 (kpl/h) = 3 24 (kpl/60min) = (kpl/min) = (kpl/60sek) = (kpl/sek) jne. Kun ajan ositusta tihennetään riittävästi, diskreettiä tuotantonopeutta vastaava hetkellinen tuotantonopeus (tarkemmin myöhemmin) saadaan määritettyä. Käänteisillä ajan mittayksiköiden muunnoksilla hetkellinen tuotantonopeus voidaan muuntaa vuorokausinopeudeksi. On syytä huomata, että tällä tavalla johdettu hetkellinen tuotantonopeus ei vastaa jonkun tietyn hetken todellista hetkellistä nopeutta, vaan sitä keskimääräistä hetkellistä nopeutta, joka vastaa vuorokausinopeutta 3 (kpl/vrk). 11

12 Esimerkki. Oletetaan nyt, että yrityksen tietyn hyödykkeen tuotannosta aiheutuvat viikottaiset tuotantokustannukset ovat 1000 (mk/vk). Viikon aikana yrityksessä on saatu valmiiksi kaksi soutuvenettä. Yrityksen yhden veneen valmistuskustannukset ovat tällöin 1000 (mk/vk)/2 (kpl/vk) = 500 (mk/kpl). Tällä tavalla mitattuja diskreettejä yksikkökustannuksia voidaan muuntaa seuraavasti. 500 (mk/kpl) = (mk/kpl) = (mk/(1/10)kpl) = 50 (mk/0.1kpl) = (mk/0.1kpl) = 0.5 (mk/(0.1/100)kpl) 100 = 0.5 (mk/0.001kpl) jne. Soutuveneen yhden tuhannesosan valmistaminen maksaa siis 50 penniä. Tällä tavalla muuntamalla yksikkökustannuksista saadaan johdettua keskimääräisiä yksikkökustannuksia vastaavat marginaaliset yksikkökustannukset eli rajakustannukset, joita tarkastelemme luvussa 5. Käänteisesti muuntaen marginaalisista yksikkökustannuksista saadaan kokonaisen veneen valmistuskustannukset. Yllä olevissa esimerkeissä mitatut diskreetit suureet muunnettiin sellaisiksi marginaalisiksi suureiksi, jotka vastaavat mitattuja suureita. Marginaalisten suureiden käytön mielekkyys perustuu kuitenkin siihen, että ne mitataan jonkin suhteellisen lyhyen ajanjakson tai pienen funktion argumentin (esimerkiksi tuotantokustannukset ovat tuotantonopeuden funktio) perusteella. Marginaalisen mittaustuloksen perusteella voidaan sitten arvioida joko pitemmän aikavälin tai suuremman argumentin muutoksen vaikutuksia. Marginaaliset suureet poikkeavat yleensä keskimääräisistä suureista. Esimerkiksi palkansaajan keskimääräinen tulovero vuoden aikana saattaa olla 35 % samanaikaisesti kuin hänen marginaaliveronsa on 50 % progressiivisen tuloveron takia. Ylitöiden rahallista kannattavuutta ei siten tule arvioida keskimääräisen vaan marginaalisen veroasteen perusteella. Seuraavan soutuveneen valmistuskustannukset poikkevat myös erilaisista syistä (työntekijöiden oppiminen, ylityökorvaukset jne.) vallitsevan kuukauden aikana valmistuneiden veneiden keskimääräisistä valmistuskustannuksista. Seuraavan soutuveneen valmistamisen kannattavuutta tulee siten arvioida marginaalisten kustannusten eikä aiemmin toteutuneiden keskimääräisten yksikkökustannusten perusteella. Tässä esitetyistä syistä johtuen marginaaliset suureet ovat tarpeellisia käsitteitä taloustieteellisessä analyysissa. Oletetaan nyt, että aika on ositettu tasavälisiin t = t 1 t 0 :n pituisiin jaksoihin, missä t 0, t 1 ovat kaksi ajan hetkeä ja jakson t pituus voi olla yksi sekunti, tunti, vuorokausi, viikko tai mikä tahansa muu aikaväli, 12

13 kolme päivää, neljä viikkoa jne. Suureissa tapahtuvia muutoksia merkitään jatkossa :lla (delta). Yhteys jatkuvan ja diskreetin ajan välillä voidaan nyt esittää seuraavasti. Diskreetti aika muunnetaan jatkuvaksi siten, että aikavälien pituudet pienennetään nollamittaisiksi, eli asetetaan lim t 0. Tällä tavalla syntyvät nollamittaiset aikavälit vastaavat ajanhetkiä, ja jatkuva aika muodostetaan ketjuttamalla peräkkäiset ajanhetket. Merkitään nyt x:llä jotakin suuretta ja tarkastellaan sen ajassa tapahtuvan muutoksen mittaamista. Suureet x(t 0 + t) x(t 0 ) = x(t 0 +t 1 t 0 ) x(t 0 ) = x(t 1 ) x(t 0 ) ja x(t 0 + t) x(t 0 ) x(t 0 ) mittaavat x:n absoluuttista ja suhteellista muutosta jakson t aikana. Näillä suureilla on se ero, että edellisellä on sama mittayksikkö kuin x:llä kun taas jälkimmäinen on dimensioton suure eli paljas luku, sillä siinä osoittajan ja nimittäjän mittayksiköt supistuvat pois. Määritelmä: Suureen x keskimääräinen (kasvu)nopeus jakson t aikana on v x = x(t 0 + t) x(t 0 ) = x(t 1) x(t 0 ), t t 1 t 0 missä merkintä v tulee sanasta velocity eli nopeus ja viiva suureen yläpuolella viittaa keskiarvoon. Fysiikassa kappaleen nopeus ja vauhti erotellaan siten, että vauhti on nopeuden itseisarvo. Vauhti on siis ei-negatiivinen skalaarisuure. Nopeus sen sijaan voi olla positiivinen, negatiivinen tai vektorisuure (nopeusvektori). Negatiivinen nopeus merkitsee kulkemista koordinaatistossa positiiviseksi määriteltyä suuntaa vastaan. Suureen x kasvunopeuden mittayksikkö riippuu siitä, missä yksiköissä x:ää ja t 1 t 0 = t:tä mitataan. Hetkellinen kasvunopeus saadaan keskimääräisen kasvunopeuden raja-arvona ajanjakson pituuden lähestyessä nollaa, x(t 0 + t) x(t 0 ) v x = lim t 0 t x = lim t 0 t = dx dt = x (t 0 ), t=t0 ja sillä on sama mittayksikkö kuin keskimääräisellä kasvunopeudellakin, sillä raja-arvon ottaminen ei muuta suureen mittayksikköä. Suureen x kasvunopeus (aikaderivaatta) dx/dt mittaa x:n muutoksen dx suuruutta ajan muuttuessa marginaalisesti dt. Koska reaalimaailmassa aika muuttuu ainoastaan positiiviseen suuntaan, t 1 t 0 = t > 0 eli t 1 > t 0, x:n kasvunopeuden positiivisuus merkitsee suureen x kasvua ajan myötä, sillä x(t 0 + t) x(t 0 ) > 0 x(t 0 + t) > x(t 0 ) ja päinvastoin. 13

14 Esimerkki. Jos x:n mittayksikkö on (mk) ja t:n (kk), v x :n ja v x :n mittayksiköt ovat (mk/kk). Jos taas x:n mittayksikkö on (kg) ja t:n (v), v x :n ja v x :n mittayksiköt ovat (kg/v). Jonkin suureen keskimääräisen ja hetkellisen kasvunopeuden (tai lyhyesti nopeuden) ero on siinä, miten pitkän ajanjakson aikana tapahtunutta muutosta tarkastellaan. Vaikka hetkellinen nopeus mitataankin periaatteessa äärimmäisen lyhyen ajanjakson aikana, suure v x voidaan silti ilmaista esimerkiksi mittayksiköissä (kg/kk). Tilanne vastaa fysiikassa mitattavaa hetkellistä nopeutta, jota esimerkiksi auton nopeusmittari mittaa yksiköissä (km/h). Esimerkki. Mitatkoon suure x tietyn yrityksen tuotantomäärää yksiköissä (kg). Jos x:n hetkellinen nopeus v x (t 0 ) = x (t 0 ) (kg/kk) hetkellä t 0 säilyy vakiona yhden kuukauden ajan, kuukauden kuluttua mittaushetkestä tuotantoa on valmistunut v x (kg/kk) 1 (kk) = v x (kg). Oletetaan nyt, että suure x mittaa pankkitilillä olevan talletuksen määrää jolle pankki maksaa korkoa. Seuraavassa esimerkissä näemme, miten tilillä olevan talletuksen määrä vaikuttaa talletuksen kasvunopeuteen. Määritelmä: Prosenttia (eli yhtä sadasosaa) merkitään seuraavasti: 1 (%) = 1 (1/100) = 1/100. Prosentti ei ole aikaisemmin määrittelemämme dimensio eikä mittayksikkö; se on ainoastaan yhden sadasosan merkintätapa. Esimerkki. Olkoon pankin talletuksille maksama vuosittainen korko 4 (%/v). Tällöin talletuksen 100 (mk) kasvunopeus vuoden aikana on 4 (mk/v), talletuksen 1000 (mk) kasvunopeus on 40 (mk/v) jne. Yllä esitetyn syyn vuoksi talletuksen kasvun voimakkuutta on käytännöllistä mitata sellaisella tavalla, että talletuksen määrä ei vaikuta sen kasvun voimakkuuden mittaamiseen. Tämä voidaan tehdä suhteuttamalla talletuksen muutos talletuksen määrään; näin laskettuja suureita kutsutaan kasvuasteiksi. Suureen x kasvuaste voidaan määritellä seuraavalla kahdella tavalla x(t 0 + t) x(t 0 ) t x(t 0 ) = 1 t x(t 0 + t) x(t 0 ) x(t 0 ) tai x (t 0 ) x(t 0 ). Näistä edellinen on keskimääräinen kasvuaste jakson t aikana ja jälkimmäinen on hetkellinen kasvuaste hetkellä t 0. Minkä tahansa suureen kasvuaste mittaa sen kasvun voimakkuutta yksiköissä (1/ t). Esimerkki. Olkoon suureen x mittayksikkö (kpl) ja mitattakoon aikaa tunneissa (h). Tällöin x:n kasvuasteen mittayksikkö on (1/h). Jos taas x:n 14

15 mittayksikkö on (mk) ja ajan (kk), x:n kasvuasteen mittayksikkö on (1/kk). Esimerkki. Edellä olleessa esimerkissä korkotuotot 4 (mk/v) ja 40 (mk/v) vastaavat kasvunopeuksia. Jos ne suhteutetaan talletusten määriin, talletusten kasvuasteiksi saadaan: 4/100 ((mk/v)/mk) = 0.04 (1/v) ja 40/1000 ((mk/v)/mk) = 0.04 (1/v). Molempien kasvuasteet ovat siten 0.04 (1/v) eli 4 (%/v). Eri suureiden yhtä pitkältä ajanjaksolta mitatut kasvuasteet ovat vertailukelpoisia suureita, joista voidaan suoraan päätellä, onko toisen kasvu ollut toista voimakkaampaa. Suureiden kasvuasteita verrattaessa on syytä tarkistaa, että ne ovat mitatut yhtä pitkiltä ajanjaksoilta. Tämän alustuksen jälkeen voimme esittää neljä mahdollista tapaa mitata suureen x muutosta ajanjakson t aikana: absoluuttinen muutos x(t 0 + t) x(t 0 ), suhteellinen muutos x(t 0 + t) x(t 0 ) x(t 0 ), kasvunopeus x(t 0 + t) x(t 0 ) t, kasvuaste 1 t x(t 0+ t) x(t 0 ) x(t 0 ). Näiden suureiden jatkuva-aikaiset vastineet saadaan niiden raja-arvoina aikavälin t pituuden lähestyessä nollaa. Ne on esitetty alla olevassa taulukossa. Suureen x hetkellistä absoluuttista muutosta dx kutsutaan myös suureen differentiaaliksi; hetkellistä kasvunopeutta dx/dt taas kutsutaan x:n aikaderivaataksi. Suureen aikaderivaatta on siten kahden differentiaalin suhdeluku. Muutoksen suuruutta mittaavilla hetkellisillä suureilla on samat mittayksiköt kuin niiden diskreeteillä vastineillakin. Näihin asioihin palataan tämän luvun osioissa 2.2 ja 2.3 sekä kirjan liiteosassa. hetkellinen absoluuttinen muutos lim t 0 [x(t 0 + t) x(t 0 )] = dx t=t0, [ ] hetkellinen suhteellinen muutos lim x(t0 + t) x(t 0 ) t 0 x(t 0 = dx ) x t=t 0, [ ] hetkellinen kasvunopeus lim x(t0 + t) x(t 0 ) t 0 = dx t dt t=t 0, [ ] 1 hetkellinen kasvuaste lim t 0 x(t 0+ t) x(t 0 ) t x(t 0 = dx/dt ) x t=t 0. 15

16 Tilastoissa kasvuasteet esitetään usein kasvuprosentteina. Kasvuprosentti eroaa kasvuasteesta ainoastaan siten, että kasvuaste mittaa kasvun voimakkuutta ykkösen osina kun taas kasvuprosentti mittaa kasvun voimakkuutta sadan osina. Kasvuprosentteina esitetyt luvut on jossain määrin selkeämpiä kuin kasvuasteet, vaikka ne ilmaisevatkin saman asian. Korkolaskennassa korot ilmaistaan yleensä kasvuprosentteina tietyn ajanjakson aikana; taloudessa mitattavat korot ovat rahamääräisten suureiden (talletusten, velkojen) kasvuprosentteja. Kasvuprosenttia 10 (%/v) (10 sadasosaa vuodessa) vastaa kasvuaste 0.1 (1/v) (0.1 ykkösen osaa vuodessa), kasvuprosenttia 15 (%/kk) (15 sadasosaa kuukaudessa) vastaa 0.15 (1/kk) jne. Yleisesti ottaen prosenttilukuja käytetään kolmella tavalla. Ensimmäinen tapa on kuvata jonkin tekijän prosentuaalista osuutta tietystä kokonaisuudesta; esimerkiksi verojen osuus bruttopalkasta. Toinen tapa on kuvata jonkin suureen muutosta prosenttiosuutena suureen arvosta ja kolmas tapa on edellä esitetty kasvuprosentti. Nämä kolme tapaa on esitetty alla olevassa taulukossa. Ensimmäinen esittää x 1 :n prosenttiosuuden kokonaisuudesta n i=1 x i = x 1 + x 2 + +x n, toinen x:n suhteellisen muutoksen prosentteina ja kolmas on x:n kasvuprosentti. prosenttiosuus 100 x 1 n i=1 x i (%), prosenttimuutos 100 x(t 0+ t) x(t 0 ) x(t 0 ) (%), 100 kasvuprosentti x(t 0+ t) x(t 0 ) t x(t 0 ) (%/ t). Taulukosta havaitaan se, että prosenttiosuus ja prosenttimuutos ovat dimensiottomia suureita eli paljaita lukuja, kun taas kasvuprosentin mittayksikkö on (%/ t) = ((1/100)/ t) = 1/100 (1/ t). Nämä erot on syytä muistaa silloin, kun kirjoitetaan sellaisia dimensionaalisia yhtälöitä, joissa kasvuprosentteja tai -asteita esiintyy. 2.6 Esimerkkejä kansantaloudessa mitatuista ilmiöistä Esimerkki 1. Kymmenen tonnia kartonkipaperia on tuotettu Paperi Oy:n tehtaalla kahden vuorokauden aikana. Tämän tuotantonopeuden dimensio on [RT 1 ], mikä saadaan näiden perusdimensioiden potenssitulona. Ilmiön mittayksikkö on (tn/vrk), ja se voidaan kvantifioida seuraavasti: 10 (tn) / 2 (vrk) = 5 (tn/vrk). 16

17 Esimerkki 2. Edellisen esimerkin tuotanto on myyty hintaan 1 (mk/kg) Sanomalehti Oy:lle. Tässä yksikköhinnan mittayksikkö on annettu ja sen dimensio on [M]/[R] = [MR 1 ]. Yksikköhinta on johdettu suure, joka saadaan perusdimensioiden [arvo] ja [määrä] potenssitulona. Esimerkki 3. Paperi Oy:n tehtaan tuotannon arvo (tai pikemminkin tuotantonopeuden arvo) voidaan laskea seuraavasti: 5 (tn/vrk) 1 (mk/kg) = 5 (1000kg/vrk) 1 (mk/kg) = 5000 (kg/vrk) (mk/kg) = 5000 (mk/vrk). Tuotannon arvon dimensio [MT 1 ] on perusdimensioista [M] ja [T ] saatu johdettu dimensio. Esimerkki 4. Pankin maksama korkotuotto voidaan kvantifioida seuraavasti. Merkitään jotakin markkamäärää rahaa hetkellä t x(t):llä. Hetkellä t 0 rahamäärä x(t 0 ) talletetaan pankkiin kasvamaan korkoa. Talletus nostetaan korkoineen pankista hetkellä t 1 (> t 0 ), ja pankista saatavaa markkamäärää merkitään x(t 1 ):llä. Markkamääräinen korkotuotto aikaväliltä t = t 1 t 0 on tällöin x = x(t 0 + t) x(t 0 ). Korko voidaan ilmaista talletuksen kasvunopeutena seuraavasti x(t 0 + t) x(t 0 ) t = x(t 1) x(t 0 ) t 1 t 0. Jos aikaa mitataan vuorokausissa, talletuksen kasvunopeuden mittayksikkö on (mk/vrk); jos taas aikaa mitataan kuukausissa, kasvunopeuden mittayksikkö on (mk/kk) jne. Yleisin koron ilmaisutapa on esittää se talletuksen kasvuasteena tai -prosenttina, 1 x(t 1) x(t 0 ) t 1 t 0 x(t 0 ) (1/ t) tai 100 x(t 1) x(t 0 ) t 1 t 0 x(t 0 ) (%/ t), missä korkotuotto jaksolta t 1 t 0 on suhteutettu sijoitettuun päömaan. Jos aikaa mitataan vuorokausissa, koron mittayksikkö on (1/vrk) tai (%/vrk); jos taas aikaa mitataan vuosissa, koron mittayksikkö on (1/v) tai (%/v). Tässä kirjassa noudatetaan tässä osiossa esitettyä mittajärjestelmää, vaikka kaikkia kansantalouden ilmiöitä ei sen avulla kyetäkään kvantifioimaan. 3 Havainnoimisesta kansantaloustieteessä Kansantaloudesta saatavat mittaushavainnot pitävät sisällään eri suureiden väliset riippuvuudet, sillä eristettyjen laboratoriokokeiden tekeminen kansantalouden ilmiöillä on mahdotonta. Voidaan tietysti ajatella, että 17

18 verojärjestelmän muutos on koe siitä, miten talous sopeutuu uuteen verojärjestelmään, tai että Neuvostoliitto oli kokeilu keskusjohtoisen talousjärjestelmän toimivuudesta. Näissä kokeissa ei kuitenkaan voida eliminoida muiden tekijöiden vaikutuksia siten, että ainoastaan yhden tekijän vaikutusta tutkittavaan ilmiöön voitaisiin tarkastella kerrallaan. Esimerkiksi puheet tietyn hallituksen aikaansaamasta talouskasvusta ovat epämääräisiä, sillä mitattu talouden kasvu pitää sisällään monien muidenkin tekijöiden vaikutukset. Kyseisen hallituksen osuutta talouden kasvusta on vaikea eritellä. Yhtä hyvin voitaisiin puhua toteutuneesta talouskasvusta hallituksen toimista huolimatta. Jos kuitenkin halutaan arvioida jonkin tekijän vaikutusta talouden toimintaan tietyn ajanjakson aikana, tämä arviointi perustuu aina oletukseen, että muut kuin kyseinen tekijä pysyvät muuttumattomina. Tästä oletuksesta käytetään yleisesti nimitystä ceteris paribus. Kansantaloudesta saatavat havainnot ovat yleensä tilastokeskuksen tai jonkin muun tietoja keräävän organisaation (ministeriöt, ammattiyhdistysliikkeet jne.) mittaamia arvoja talouden eri suureille. Talouden suureiden välisten riippuvuuksien mittaamisen tilastollinen analyysi vaatii useita havaintoja. Koska havaintomateriaalia kansantalouden toiminnasta ei voida tuottaa laboratoriokokeilla, useiden havaintojen joukko talouden toiminnasta muodostetaan joko mittaamalla saman suureen arvoja eri ajanjaksoilta, tai mittaamalla tietyn suureen arvoja samalta ajanjaksolta eri talousyksiköiltä. Näistä edellistä havaintojoukkoa kutsutaan suureen aikasarjaksi ja jälkimmäistä suureen poikkileikkausaineistoksi eri talousyksiköiden suhteen. vuosi ai ka sar ja poik- ki- leik- kaus- sarja Taulukko 2.1. Teollisuustyöntekijöiden keskituntiansioita 1 Taulukossa 2.1 esitetään teollisuustyöntekijöiden keskimääräisiä tuntipalkkoja (miehet ja naiset yhdessä (mk/h)). Taulukon merkinnät ovat seuraavat: 1 = puutavarateollisuus, 2 = huonekaluteollisuus, 3 = paperiteollisuus, 4 = graafinen teollisuus ja 5 = kemian perusteollisuus. Taulukon rivit (vaakasuorat numerosarjat) ovat poikkileikkaussarjoja ja sarakkeet (pystysuorat numerosarjat) aikasarjoja. Tällaista aineistoa, jossa on sekä pitkittäis- että 1 Lähde: Suomen tilastollinen vuosikirja 1993, s

19 poikittaishavaintoja, kutsutaan paneeliaineistoksi. Nimitys juontaa paneloidun seinän ja taulukoidun paneeliaineiston yhtenevästä ulkomuodosta. Aikasarja voi olla muodostettu esimerkiksi vuosi-, kuukausi-, viikko- tai vuorokausihavainnoista. Suomen bruttokansantuote vuosina 1980, -81, - 82,... on esimerkki vuositasolla mitatusta aikasarjasta. Esimerkki poikkileikkausaineistosta voisi puolestaan olla havaintojoukko eri yritysten palkkamenoista tietyn kuukauden ajalta. Jonkin suureen aikasarja voidaan esittää joko taulukkona tai graafina (kuvaajana), eli pistejoukkona koordinaatistossa (ajanjakso, suureen arvo). 3.1 Suureiden välisen riippuvuuden arviointi Kahden suureen välistä keskinäistä riippuvuutta voidaan arvioida hajontakuvion avulla. Hajontakuviossa kahden suureen samanaikaiset havainnot kuvataan yhdeksi pisteeksi kaksiulotteiseen tasoon, jossa tarkasteltavia suureita mitataan eri koordinaattiakseleilla. Molempien suureiden usealta ajanjaksolta samanaikaisesti mitatut arvot muodostavat koordinaatistoon pistejoukon, jonka avulla suureiden välistä riippuvuutta voidaan arvioida. Jokainen havainto on 2-ulotteinen vektori, ja näin muodostettu havaintojoukko on 2-ulotteisen vektorikuvauksen arvojoukko. Esimerkki hajontakuviosta on kuviossa 2.9. Havaintopisteiden perusteella riippuvuuden laatua ja voimakkuutta voidaan arvioida, ja sitä voidaan myös mitata erilaisin tilastollisin tunnusluvuin. Kuvio 2.9. Hajontakuvio VR:n liikennemääristä ja toimintaylijäämästä 2 Jos molemmat suureet kasvavat (pienenevät) yhtä aikaa, pistejoukko muodostaa nousevaa suoraa vastaavan hajontakuvion. Suureiden välinen riippuvuus on tällöin positiivinen. Jos taas toinen suure kasvaa ja toinen pienenee yhtä aikaa, hajontakuvio muistuttaa laskevaa suoraa. Tällöin riippuvuus on negatiivinen. Nämä tapaukset ovat yksinkertaisimmat. Epälineaariset riippuvuudet (kaarevaa käyrää muistuttavat pistejoukot) sekä epämääräiset kuviot ovat vaikeampia tapauksia. Jos hajontakuviossa ei voida havaita mitään erityistä muotoa eli kuvio muistuttaa haulikolla ammuttua ladon seinää suureiden välillä ei ole riippuvuutta. Tilastohavaintojen perusteella tehtävä talouden suureiden välisten riippuvuuksien mittaaminen kuuluu ekonometrian piiriin, ja niitä asioita käsitellään ekonometrian oppikirjoissa. Kuvion 2.9 perusteella on vaikea päätellä, minkälaisessa riippuvuussuhteessa Valtionrautateiden liikennemäärä ja toimintaylijäämä ovat. Jos hajontakuviosta poistetaan joitakin yksittäisiä havaintoja, kuviosta voidaan 2 Lähde: Suomen tilastollinen vuosikirja 1993, s

20 löytää sekä positiivinen että negatiivinen riippuvuus. Tämä esimerkki o- soittaa hyvin mitä suuruusluokkaa epävarmuus on, kun talouden suureiden välisiä riippuvuuksia mitataan. 3.2 Indeksipisteluvut Indeksipisteluku esittää jonkin suureen arvoa tiettyyn perusarvoon suhteutettuna. Tarkastellaan seuraavaksi indeksipistelukujen laskemisen periaatetta. Merkitään jonkin hyödykkeen i hintaa ajanjaksolla 0 p i0 :lla ja jaksolla 1 p i1 :lla. Kiinnitetään hyödykkeen i ajanjakson 0 hintaindeksin pisteluvuksi 100 (perusluvuksi asetetaan jokin riittävän suuri positiivinen luku, jotta negatiivisilta luvuilta vältytään). Tämän jälkeen muunnetaan hyödykkeen i hinnan aikasarja sitä vastaavaksi indeksipistelukusarjaksi seuraavalla tavalla. Merkitään tuntematonta indeksipistelukua jaksolla 1 x 1 :llä. Asetetaan näiden kahden ajanjakson indeksipistelukujen suhde yhtä suureksi havaittujen hintojen suhdeluvun kanssa; molempien aikasarjojen peräkkäisten havaintojen suhdeluvut ovat tällöin yhtä suuret. Ratkaistaan näin saatu yhtälö x 1 :n suhteen seuraavasti: p i1 p i0 = x x 1 = 100 p i 1 p i0. Yo. kaavasta nähdään, että jakson 1 indeksipisteluku x 1 on dimensioton suure, sillä siinä hintojen mittayksiköt supistuvat pois. Indeksipistelukusarjan seuraava havainto x 2 saadaan vastaavasti; merkitään jaksolla 2 mitattua hintaa p i2 :lla ja käytetään edellä johdettua x 1 :n arvoa: p i2 p i1 = x 2 x 1 x 2 = x 1 p i 2 p i1 = 100 p i 1 p i0 p i 2 p i1 = 100 p i 2 p i0. Jatkamalla yllä esitetyllä tavalla saadaan hinnan p i havaittua aikasarjaa vastaava indeksipistelukusarja johdettua. Indeksipistelukusarjan sisältämä informaatio hinnan p i kehityksestä on identtinen alkuperäisen sarjan kanssa. Indeksien käyttökelpoisuus perustuu seuraaviin seikkoihin: 1) indeksit ovat dimensiottomia pistelukuja, joten indeksipistelukuja voidaan suoraan laskea yhteen, ja 2) eri suureista muodostetut indeksipisteluvut ovat suoraan vertailukelpoisia, sillä ne voidaan skaalata lähtemään samasta numeroarvosta (esim. 100) samalla perusjaksolla. Taulukko 2.2 osoittaa miten hintaindekseistä nähdään helpommin kuin vallitsevia hintoja tarkastelemalla, että juuston hinta on noussut hieman farmarien hintaa nopeammin. 20

21 vuosi juusto, Emmental (mk/kg) nuorison farmarit (mk/kpl) juuston hintaindeksi (1989=100) farmarien hintaindeksi (1989=100) Taulukko 2.2. Hyödykkeiden hintoja ja hintaindeksejä Indeksipisteluvut keskimääräisinä hintoina Määritelmä: Suureen X havaintojen x i, i = 1,..., n, painotetulla keskiarvolla tarkoitetaan seuraavaa summaa X = n i=1 a ix i, missä 0 a i 1 ja n i=1 a i = 1. Aritmeettinen keskiarvo on yksi tietty painotettu keskiarvo, jossa jokaisen havainnon painokerroin on sama, a i = (1/n), i = 1,..., n. Yo. määritelmässä yksittäisen havainnon painokertoimella tarkoitetaan kyseisen havainnon merkitystä keskiarvoa laskettaessa. Nimitys painokerroin tulee siitä, että painotettu keskiarvo vastaa fysiikassa määriteltyä massakeskieli painopistettä. Vaakasuoralla viivalla sijaitsevien pistemäisten massojen muodostaman kappaleen massakeskipiste voidaan ilmaista sellaisena pistemäisten massojen kiinteästä pisteestä mitattujen etäisyyksien summana, jossa pistemäisten massojen etäisyyksiä valitusta kiinteästä pisteestä painotetaan niiden massaosuuksilla kappaleen kokonaismassasta. Painopistettä laskettaessa painotetun keskiarvon havainnot ovat pistemäisten massojen etäisyydet valitusta kiinteästä pisteestä, ja havaintojen painokertoimet ovat pistemäisten massojen osuudet kappaleen kokonaismassasta. Nämä painokertoimet summautuvat ykköseksi kuten pitääkin. Todennäköisyyslaskennassa diskreetin suureen odotusarvoa laskettaessa suureen yksittäisille havainnoille määritellään tietyt todennäköisyydet, jotka summautuvat ykköseksi. Diskreetin suureen odotusarvo on havaintojen todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo suureen havainnoista. Suureen havaintojen todennäköisyyksien muodostama todennäköisyystiheysfunktio voidaan samastaa suureen todennäköisyysmassaksi, jonka painopistettä suureen odotusarvo vastaa. Mitä suuremman todennäköisyyden yksittäinen havainto omaa, sitä suurempi painokerroin sillä on painotettua keskiarvoa laskettaessa, ja sitä enemmän se vaikuttaa todennäköisyysmassan painopisteeseen eli suureen odotusarvoon. 3 Lähde: Suomen tilastollinen vuosikirja 1993, s

22 Esimerkki. Tarkastellaan sellaista uhkapeliä, jossa pelaaja heittää virheetöntä arpanoppaa yhden kerran ja voittaa arpanopan ilmaiseman markkamäärän. Mikä on pelin tuoton odotusarvo? Vastaus: Jokaisella arpanopan mahdollisella arvolla 1,..., 6 on todennäköisyys 1/6. Pelin tuoton R (R tulee termistä revenue ) odotusarvo E(R) (E tulee termistä expected value ) on tällöin E(R) = (mk) (mk) (mk) = 1 21 ( ) (mk) = 6 6 (mk) = 31 2 (mk). Pelin tuoton odotusarvo on erilaisten mahdollisten tuottojen todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo. Koska erilaisten noppapistelukujen todennäköisyydet ovat yhtä suuret eli todennäköisyystiheysjakauma on tasajakauma pelin tuoton odotusarvo vastaa erisuurista tuotoista laskettua aritmeettista keskiarvoa. Indeksien yksi tehtävä on eliminoida eri mittayksiköissä mitattujen suureiden yhteenlaskuongelmat, sillä esimerkiksi makkaran (mk/kg) ja maidon (mk/l) yksikköhintoja ei voida suoraan laskea yhteen. Jos ollaan kiinnostuneita ruuan (tai jonkin muun hyödykeryhmän) kalleudesta keskimäärin, eikä yksittäisten ruokalajien hinnoista, ruualle voidaan muodostaa erilaisia keskimääräisiä hintaindeksejä. Tämä tehdään seuraavasti. Kerätään havainnot yksittäisten ruokalajien hinnoista eri ajanjaksoilta; esimerkiksi keskimääräiset kuukausittaiset hinnat yhden vuoden ajalta. Tämän jälkeen muodostetaan jokaisen ruokalajin hinnasta sitä vastaava indeksipistelukusarja edellä esitetyllä tavalla. Jokaisen indeksipistelukusarjan peruskuukaudeksi asetetaan sama kuukausi ja sama peruspisteluku (esim. 100). Laskemalla edellä johdetuista yksittäisten ruokalajien indeksipisteluvuista jollakin periaatteella painotettu keskiarvo, ruualle saadaan laskettua painotettu keskimääräinen hintaindeksi. Käytetyin painotettu keskimääräinen hintaindeksi on kuluttajahintaindeksi, joka mittaa kansantalouden kotitalouksien keskimääräisiä elinkustannuksia. Kuluttajahintaindeksi on kulutushyödykkeiden yksikköhinnoista muodostetuista indeksipisteluvuista laskettu painotettu keskiarvo, jossa painoina käytetään hyödykkeiden osuuksia kotitalouksien kulutusmenoista. Nämä painot summautuvat ykköseksi kuten pitääkin, ja ne määrätään kotitalouksien kulutusmenoista tietyin väliajoin tehtyjen tiedustelujen perusteella. Kuluttajahintaindeksi ei ole ainoa yleisesti käytetty painotettu hintaindeksi. Vientitavaroiden keskimääräistä hintakehitystä voidaan vastaavasti arvioida muuntamalla yksittäisten vientihyödykkeiden hinnat indeksipisteluvuiksi, ja painottamalla näitä pistelukuja hyödykkeiden vientiosuuksilla. Näin 22