Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Transkriptio

1 1/10 Tehtävä Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise kukin tehtävä sille paperille, jossa tehtävä esitetään. Voit tarvittaessa käyttää myös paperin kääntöpuolta. Kirjoita nimesi ja henkilötunnuksesi jokaiseen vastauspaperiin (myös mahdolliseen vastaamatta jääneen tehtävän paperiin). Palauta kaikki vastauspaperit. Tehtävät 1. Ratkaistava epäyhtälöt a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6.

2 2/10 2. Olkoon f (x) = x 2 /(x 2 + 1). a) Sievennettävä f (x) + f (1/x) + f (x), (x 0). f (1/x) b) Sievennettävä x 4 f (x 2 ) f (1/x 2 ), (x 0).

3 3/10 3. Määritettävä niiden suorien yhtälöt, jotka kulkevat pisteen P(1, 1) kautta ja ovat suoran 2x + 3y = 4 kanssa yhdensuuntaisia.

4 4/10 4. Hahmoteltava xy-tasoon seuraavat alueet: a) { (x, y): x + 1 y ja x 0 }, b) { (x, y): x y ja y 2 }, c) { (x, y): x 2 tai y 2 }. Tämän tehtävän vastausta ei tarvitse perustella, pelkkä kuvio riittää.

5 5/10 5. Olkoon f : Z Z sellainen funktio, että f (1) = 2 ja f (a + b) = f (a) f (b) aina, kun a, b Z. Laskettava f (0), f (5) ja f ( 5).

6 6/10 6. Olkoon positiivisen kokonaisluvun a esitys 10-järjestelmässä a = (a n a n 1... a 1 a 0 ) 10, missä 0 a k 9. Siis a n, a n 1,..., a 1, a 0 ovat luvun a numerot. Esimerkiksi luvun 365 numerot ovat 3, 6 ja 5. Luvulla 11 jaollisuussääntö sanoo, että positiivinen kokonaisluku a on jaollinen luvulla 11 silloin ja vain silloin, kun kokonaisluku on jaollinen luvulla 11. ( 1) n a n + ( 1) n 1 a n ( 1)a 1 + a 0 a) Tutkittava tällä jaollisuussäännöllä, onko luku jaollinen luvulla 11. b) Tutkittava tällä jaollisuussäännöllä, onko luku jaollinen luvulla 11. { }} { c) Tutkittava tällä jaollisuussäännöllä, millä ehdolla luku ( dd d) 10, missä d {1, 2,..., 9}, on jaollinen luvulla 11. (Tarkastellaan siis lukuja, joiden kaikki numerot ovat samoja.) Huom. Kokonaisluku a on jaollinen kokonaisluvulla b, jos on olemassa sellainen kokonaisluku c, että a = bc. n kpl

7 7/10 7. Seuraava kuvio perustuu Seurakunnan kasvu ry:n TNS Gallup Oy:llä vuonna 2008 teettämään tutkimukseen, jossa tiedusteltiin ihmisten mielipiteitä uskoon ja seurakuntien toimintaan liittyvissä asioissa. Tutkimukseen osallistui 1387 ihmistä, jotka edustivat alueellisesti, iältään, koulutukseltaan jne. suomalaista yhteiskuntaa pienoiskoossa. Vastaajat olivat iältään vuotiaita. Ahvenanmaa ei ollut otoksessa mukana. Mikä vaikuttaa eri ikäisten ihmisten uskonnolliseen vakaumukseen Sairaus, muu kriisi tai kokemani ihme Koulu Rippikoulu Seurakuntien jumalanpalvelukset tai muut kokoukset Ystävä Kirja/lehti TV, radio, musiikki yli 60v 50 60v 35 49v 25 34v alle 25v Osuus haastatelluista (%) a) Mikä on tutkimuksen perusteella suurin yksittäinen uskonnolliseen vakaumukseen vaikuttava tekijä? b) Millä ikäryhmällä sairaus, muu kriisi tai koettu ihme vaikuttavat uskonnolliseen vakaumukseen eniten? c) Mainitse kaksi tekijää, jotka vaikuttavat eniten yli 60-vuotiaiden uskonnolliseen vakaumukseen. d) Miten tiedotusvälineet vaikuttavat eri ikäryhmiin kuuluvien uskonnolliseen vakaumukseen? e) Minkä tekijöiden vaikutus uskonnolliseen vakaumukseen kasvaa henkilön ikääntyessä? f) Luettele tekijät, jotka vaikuttavat enemmän alle 25-vuotiaiden kuin muiden ikäryhmien uskonnolliseen vakaumuksen.

8 8/10 8. Olkoon satunnaismuuttuja x:n tiheysfunktio f (x) muotoa f (x) = 6(x x 2 ), 0 x 1. a) Laske kertymäfunktion avulla todennäköisyys P ( 1 2 x 3 4). b) Laske x:n odotusarvo. c) Laske x:n varianssi.

9 9/10 9. Suomen jalkapallomaajoukkueen seuraavat vastustajat vuoden 2010 maailmanmestaruusturnauksen karsintapeleissä ovat järjestyksessä Liechtenstein, Venäjä ja Azerbaidzhan. Oletetaan, että yksittäisinä peleinä Suomi voittaa Liechtensteinin todennäköisyydellä 0,85, Venäjän todennäköisyydellä 0,4 ja Azerbaidzhanin todennäköisyydellä 0,7. Oletetaan lisäksi, että pelin voitto aiheuttaa Suomen joukkueessa aina sellaisen hurmostilan, että voiton seurauksena järjestyksessä seuraavan pelin voittamisen todennäköisyys kasvaa 0,05:llä siitä, mikä voittamisen todennäköisyys yksittäisenä pelinä muuten olisi. Lisäksi jos kaksi edellistä peliä ovat päättyneet Suomen joukkueen voittoihin, kasvaa järjestyksessä seuraavan pelin voittamisen todennäköisyys 0,15:llä. Vastaavasti, jos Suomen joukkue häviää pelinsä, vähenee seuraavan pelin voittamisen todennäköisyys 0,05:llä, ja jos kaksi edellistä peliä ovat päättyneet Suomen joukkueen häviöihin, vähenee seuraavan pelin voittamisen todennäköisyys 0,15:llä. a) Millä todennäköisyydellä Suomen jalkapallomaajoukkue voittaa kaikki seuraavat kolme karsintapeliään? b) Millä todennäköisyydellä Suomen jalkapallomaajoukkue voittaa seuraavista kolmesta karsintapelistään kaksi peliä? c) Millä todennäköisyydellä Suomen jalkapallomaajoukkue voittaa seuraavista kolmesta karsintapelistään yhden pelin?

10 10/ (Aineistotehtävä.) Viime vuonna valintakokeen perusteella matematiikkaa ja tilastotiedettä opiskelemaan pyrkineistä opiskelijoista poimittiin 12 opiskelijan satunnaisotos. Otokseen valituista 7 oli suorittanut lukion pitkän matematiikan oppimäärän ja 5 lukion lyhyen matematiikan oppimäärän. Opiskelijoiden saamat pistemäärät valintakokeessa olivat seuraavat: Pitkä matematiikka Lyhyt matematiikka Testaa kahden riippumattoman otoksen t-testillä (ks. Liite 1), eroaako pitkän matematiikan opiskelijoiden keskimääräinen valintakoepistemäärä tilastollisesti merkitsevästi lyhyen matematiikan opiskelijoiden keskimääräisestä valintakoepistemäärästä. a) Laske yllä olevasta aineistosta kahden riippumattoman otoksen t-testin t-arvo. b) Päättele saamasi t-arvon perusteella, eroaako pitkän matematiikan opiskelijoiden keskimääräinen valintakoepistemäärä tilastollisesti merkitsevästi lyhyen matematiikan opiskelijoiden keskimääräisestä valintakoepistemäärästä.

11 Liite 1: Kahden riippumattoman otoksen t-testi Kahden riippumattoman otoksen t-testillä voidaan testata, eroavatko jonkin tarkasteltavan numeerisen muuttujan x keskimääräiset arvot (odotusarvot) tilastollisesti merkitsevästi kahdessa eri ennalta määritellyssä ryhmässä. Esimerkiksi kahden riippumattoman otoksen t-testin avulla voitaisiin testata, eroavatko miesten ja naisten keskipituudet toisistaan, jos käytössä on aineisto, mikä sisältää tiedon henkilön sukupuolesta ja mittaustuloksia eri henkilöiden pituuksista. Tällaisessa aineistossa pituus on numeerinen muuttuja x, ja tieto sukupuolesta jakaa aineiston ryhmiin 1 ja 2. Kahden riippumattoman otoksen t-testin t-arvo lasketaan kaavalla t = x 1 x 2. 1 s x n n 2 Kaavassa x 1 ja x 2 ovat aineistosta lasketut aritmeettiset keskiarvot muuttujalle x ryhmissä 1 ja 2. Vastaavasti n 1 ja n 2 ovat ryhmiin 1 ja 2 liittyvien havaintojen lukumäärät tarkasteltavassa aineistossa. Yhdistetty hajontaluku s x puolestaan saadaan kaavasta (n 1 1)s 2 1 s x = + (n 2 1)s 2 2, n 1 + n 2 2 missä s 1 ja s 2 ovat aineistosta lasketut otoskeskihajonnat muuttujalle x ryhmissä 1 ja 2. Päättely muuttujan x keskimääräisten arvojen eroavuudesta ryhmien 1 ja 2 välillä perustuu t-testistä saadun t-arvon suuruuteen. Voidaan osoittaa, että silloin kun ryhmien keskimääräisten arvojen välillä ei ole eroavuutta, t-arvo noudattaa ns. Studentin jakaumaa parametrilla n 1 + n 2 2. Mikäli aineistosta lasketun t-arvon ei uskota olevan tästä Studentin jakaumasta peräisin, päätellään, että muuttujan x keskimääräiset arvot eroavat tilastollisesti merkitsevästi. Esimerkiksi tilanteessa, jossa Studentin jakauman parametri on 10, päätellään, että muuttujan x keskimääräiset arvot eroavat tilastollisesti merkitsevästi, jos laskettu t-arvo on suurempi kuin 2,228 tai pienempi kuin 2,228. Tapauksissa, missä laskettu t-arvo kuuluu välille ( 2,228; 2,228), päätellään, että muuttujan x keskimääräiset arvot eivät eroa tilastollisesti merkitsevästi.