Luvut ja lukujonot. otavan matematiikka. Helsingissä Kustannusyhtiö Otava

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luvut ja lukujonot. otavan matematiikka. Helsingissä Kustannusyhtiö Otava"

Transkriptio

1 otavan matematiikka Luvut ja lukujonot Hanna Halinen Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Sampsa Kurvinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Jukka Ottelin Kati Parmanen Terhi Raittila Tommi Tauriainen Tommi Tikka Sari Vallineva Helsingissä Kustannusyhtiö Otava

2

3 Sisällys Kirjan rakenne Kertaa tarvittaessa 5 Tuntisuunnitelma 75 min 5 min. Luvut ja lukualueet 6. Laskutoimituksia kokonaisluvuilla 8. Laskutoimituksia reaaliluvuilla 6. Lukujonot 6 7. Lukujonon muodostaminen 8. Lukujonon yleinen jäsen 6. Aritmeettinen lukujono 7. Prosentti ja geometrinen lukujono Prosenttikerroin 60. Prosentuaalisia muutoksia 67. Geometrinen lukujono 75. Summa 8. Aritmeettinen summa 86. Geometrinen summa Eksponenttiyhtälö ja logaritmi 0 5. Eksponenttiyhtälö Logaritmi 6. Funktiot 0 6. Funktio 6. Funktion kuvaajan tulkinta Kertaus Kokoavia tehtäviä 9 Vihjeet 5 Vastaukset 55 Hakemisto 68

4 Kirjan rakenne Luvun aloitusaukeama esittelee luvun aiheeseen liittyvän sovelluksen, johon palataan luvun viimeisen sivun tehtävissä. Tehtävät on mahdollista ratkaista luvussa opittujen tietojen avulla. Johdanto on uuteen asiaan johdatteleva selittävä esimerkki, joka aloittaa alaluvun teorian. Teoria sisältää myös muita esimerkkejä ja keskeisimmät asiat kokoavia väripohjia. Harjoitustehtävät on jaoteltu kolmeen osioon. Luo perusta -tehtävät on tarkoitettu kaikille, ja niissä kohdataan keskeiset uudet asiat. Vahvista osaamista -tehtävät lujittavat osaamista ja antavat pohjan tulevien asioiden ymmärtämiselle. Syvennä ymmärrystä -tehtäviä on syytä tehdä, jos tavoitellaan aiheen perusteellista hallintaa. Teknisten apuvälineiden käytöstä on mainittu harjoitustehtävässä erikseen, jos tehtävä on tarkoitus ratkaista ilman teknisiä apuvälineitä tai sopivalla ohjelmalla. Teknisellä apuvälineellä tarkoitetaan ohjelman toimintoa, josta on matematiikan kannalta apua. Muilta osin tietokoneen tai muun laitteen käyttäminen ratkaisun kirjaamisessa on aina sallittua. Kertausosiossa kurssin keskeiset ideat esitellään tiiviissä muodossa ja niitä harjoitellaan muutamalla tehtävällä. Kertausosion lopussa on kokoavia tehtäviä koko kurssista. Logojen merkitykset ovat seuraavat: Asiaan liittyy appletti tai video osoitteessa Tehtävään on vihje kirjan lopussa.

5 Kertaa tarvittaessa Voit kerrata tämän sivun sisältämät asiat aluksi tai palata niihin tarvittaessa myöhemmin. Sivunumero kertoo, missä asia tulee vastaan. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku Murtoluvut lavennetaan ensin samannimisiksi. Esimerkiksi ) ) 5 + = + = + = ) ) = = = 6 Katso s. 7 ja Lausekkeiden sievennykset Yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään termit, joilla on sama muuttujaosa. Esimerkiksi n n n = n n Kertolaskussa sulkeiden edessä olevalla termillä kerrotaan kaikki sulkeiden sisällä olevat termit. Esimerkiksi n(n ) = n n + n ( ) = n 6n Katso s. 8 Yhtälön ratkaiseminen Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä tai molemmilta puolilta vähentää sama luku tai lauseke. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa nollasta poikkeavalla luvulla. Esimerkiksi x + = 5 x + = 5 x = : x = Katso s. 50 Murtolukujen kertolasku Kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät keskenään. Esimerkiksi = = = Katso s. 7 ja 5 Murtolukujen jakolasku Jaettava murtoluku kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Esimerkiksi 5 6 : = = = = Katso s. 7 ja 76 5 Samankantaisten potenssien tulo 7 7= 7 7 = = 7 kpl Yleisesti am an = am + n Katso s. 07 kpl + 5 Potenssin potenssi (7 ) = = = 7 = 7 6 Yleisesti m n ( a ) a m n = Katso s. 07 Tulon potenssi (5 ) = 555 = 555 = 5 Yleisesti (ab)n = an bn Katso s. 08 Samankantaisten potenssien osamäärä kpl = = 7 = Yleisesti m a m a n a kpl n = Katso s kertaa tarvittaessa 5

6 . LUKUJONOT Opitaan, miten lukujonojen sääntöjä muodostetaan eri tavoin miten lukujonoja voidaan jatkaa sääntöjen mukaan miten lukujonoja tutkitaan teknisillä apuvälineillä mikä on aritmeettinen lukujono.

7 Tässä luvussa opitaan, miten seuraavat ongelmat voidaan ratkaista. kuvio kuvio kuvio Kuinka monta appelsiinia olisi ylhäältä lukien 6. kerroksessa? Miten kuvio jatkuu? Kuinka monta neliötä olisi 00. kuviossa? Lukujen luetteloita eli lukujonoja käytetään kuvaamaan tilanteita tai ilmiöitä, jotka noudattavat jotain matemaattista sääntöä. Lukujonoja hyödynnetään monissa sovelluksissa, joissa halutaan ennakoida tulevaa kehitystä. Eräs kuuluisimmista lukujonoista on Fibonaccin lukujono. Sen avulla voidaan kuvata esimerkiksi kanipopulaation kasvua: Kuvitellaan, että kanipari saa kaksi poikasta ensimmäisen kerran kahden kuukauden iässä ja siitä eteenpäin kuukauden välein uuden poikasparin. Poikasparit alkavat lisääntyä samalla tavalla. Parien lukumäärät,,, ja 5 ovat Fibonaccin lukujonon viisi ensimmäistä lukua. Kolmannesta luvusta alkaen luku on aina kahden edellisen luvun summa. Kaavio esittää kaniparien lukumäärää viiden ensimmäisen kuukauden aikana. Fibonaccin luvut näkyvät luonnossa monella mielenkiintoisella tavalla. Esimerkiksi auringonkukan mykerössä siemenet sijoittuvat myötä- ja vastapäivään kulkeviin kierteisiin, joiden lukumäärät esiintyvät Fibonaccin lukujonossa. Sama ilmiö näkyy myös esimerkiksi männynkävyn ja ananaksen pintakuvioinnissa. Luvun lopussa esitellään toinen matemaattinen malli, jonka avulla voidaan ennustaa populaation koko.. Lukujonot 7

8 . Lukujonon muodostaminen JOHDANTO Kuviojono muodostuu tietyn säännön mukaan piirretyistä kuvioista. kuvio kuvio kuvio a) Piirrä kuviojonon seuraava eli neljäs kuvio. b) Luettele kuviojonon viiden ensimmäisen kuvion sinisten kuusikulmioiden lukumäärät. c) Kuinka monta sinistä kuusikulmiota on 0. kuviossa? RATKAISU a) Neljäs kuvio saadaan lisäämällä edelliseen eli kolmanteen kuvioon yksi vihreä kuusikulmio ja neljä sinistä kuusikulmiota. b) Ensimmäisessä kuviossa on kuusi sinistä kuusikulmiota. Seuraavissa kuvioissa niitä on aina neljä edellistä enemmän. Sinisten kuusikulmioiden lukumäärät ovat 6, 0,, 8 ja. c) Kymmenennessä kuviossa on b-kohdan perusteella kpl =+ = 6 9 sinistä kuusikulmiota. Johdannon kuviojonoa ja sinisten kuusikulmioiden lukumäärien luettelemista voitaisiin jatkaa loputtomiin. Tällaista tietyssä järjestyksessä olevien lukujen luetteloa kutsutaan lukujonoksi. 8

9 Lukujono Lukujono on järjestetty ja päättymätön luettelo reaalilukuja. Lukujonon lukuja kutsutaan jäseniksi. lukujono,, 5, kolmas jäsen Lukujonoja ovat esimerkiksi parittomat luonnolliset luvut,, 5, 7, vuorotteleva lukujono, 0,, 0,, 0, vakiojono,,,, jono,,,,... 5 luvun π numeroiden jono,,,, 5, 9, Kolme pistettä luettelon perässä kuvaa sitä, että lukujono ei pääty, vaan lukujonon jäseniä voidaan kirjoittaa lisää. ESIMERKKI RATKAISU Jatka lukujonoa kolmella jäsenellä. a),, 6, b),, 5, c) π, π, π, d),,,,... a) Lukujono,, 6, näyttää muodostuvan suuruusjärjestyksessä olevista parillisista luonnollisista luvuista. Lukujono on,, 6, 8, 0,, b) Lukujono,, 5, näyttää muodostuvan parittomista, negatiivisista kokonaisluvuista, jotka on lueteltu suuruusjärjestyksessä suurimmasta alkaen. Lukujono on,, 5, 7, 9,, c) Lukujono π, π, π, näyttää olevan vakiojono. Näin ollen lukujono on π, π, π, π, π, π, d) Lukujono,,,,... näyttää muodostuvan :n välein valituista rationaaliluvuista. Lukujono on siis,,,,,,,... Lukujonoa voi yleensä jatkaa usealla eri tavalla. Esimerkin jonoja voi jatkaa myös muilla kuin ratkaisussa esitetyillä tavoilla.. Lukujonot Lukujonon muodostaminen 9

10 ESIMERKKI Lukujono on,,,, 5, Määritä lukujonon a) 9. jäsen b) 00. jäsen c) sanallinen sääntö, jolla voidaan laskea mikä tahansa jäsen. RATKAISU a) Eräs tapa jatkaa lukujonoa on lisätä edelliseen jäseneen luku jäsen. jäsen. jäsen. jäsen 5. jäsen Lukujonon yhdeksän ensimmäistä jäsentä ovat tällöin,,,, 5, 7, 9, ja. Lukujonon 9. jäsen on. b) Lukujonon toinen jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen yhden kerran luku. Kolmas jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen kaksi kertaa luku. Neljäs jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen kolme kertaa luku. Samalla päättelyllä jonon 00. jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen 99 kertaa luku. Lukujonon 00. jäsen on tällä perusteella + 99 = + 98 = 95. c) Edellisen kohdan perusteella lukujonon mikä tahansa jäsen saadaan, kun ensimmäiseen jäseneen lisätään luku yhden kerran vähemmän kuin lukujonon jäsenen järjestysluku. Tarinan mukaan Akhilleus ei pysty koskaan ohittamaan etumatkan saanutta kilpikonnaa, sillä hänen on ensin juostava siihen, missä kilpikonna on. Kun Akhilleus saapuu tähän paikkaan, on kilpikonna aina liikkunut eteenpäin. 0

11 ESIMERKKI Lukujonon ensimmäinen jäsen on. Toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. a) Laske lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä. b) Kuinka monta positiivista jäsentä lukujonossa on? RATKAISU a) Lasketaan lukujonon peräkkäisiä jäseniä säännön mukaisesti. ensimmäinen jäsen toinen jäsen ) = = kolmas jäsen = neljäs jäsen = viides jäsen = 5 Toista jäsentä laskettaessa huomattiin, että =. Lukujonon jäsen voidaan siis laskea vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. Lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä ovat,,, ja. 5 b) Koska lukujonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä positiivinen luku, jokainen uusi jäsen on aina edellistä pienempi. Lukujonossa on näin ollen vain kaksi positiivista jäsentä, ja. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku Murtoluvut lavennetaan ensin samannimisiksi. Esimerkiksi ) ) 5 + = + = + = ) ) = = = 6. Lukujonot Lukujonon muodostaminen

12 Harjoitustehtävät luo perusta Ratkaise tehtävät 0 05 ilman teknisiä apuvälineitä. 0. Lukujonon ensimmäinen jäsen on. Kirjoita lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, kun toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan a) lisäämällä edelliseen jäseneen luku b) kertomalla edellinen jäsen luvulla c) vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. 0. Määritä lukujonon viides ja kuudes jäsen. a), 7, 0,, b) 7,, 8, 56, c), 6,,, 0. Muotoile lukujonolle sääntö, jolla lukujonon jäsen saadaan edellisestä jäsenestä. Laske puuttuvat jäsenet. a), 7,,, 5, b),, 9,, 8, c) 6,, 6,,,, 0. Lukujonon jäsen saadaan kertomalla järjestysluku viidellä ja vähentämällä tuloksesta luku. Täydennä taulukko. Järjestysluku Lauseke Jäsen a) Piirrä kuviojonon seuraava kuvio. kuvio kuvio kuvio b) Kuinka monta neliötä on kymmenennessä kuviossa? c) Kuinka monta neliötä on sadannessa kuviossa? d) Muotoile sääntö, jolla kuvion muodostavien neliöiden lukumäärä saadaan laskettua kuvion järjestysluvun perusteella.

13 vahvista osaamista 06. Lukujonon kaksi ensimmäistä jäsentä ovat 5 ja. Selvitä ilman teknisiä apuvälineitä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, jos kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen a) summa b) tulo. 07. a) Kirjoita kuviojonon viiden ensimmäisen kuvion pisteiden lukumäärät lukujonona. kuvio kuvio kuvio kuvio b) Muotoile sääntö, jolla kuvion pisteiden lukumäärä saadaan edellisen kuvion pisteiden lukumäärästä. c) Kuinka monta pistettä on kuviojonon sadannessa kuviossa? d) Muotoile sääntö, jolla saadaan kuvion pisteiden lukumäärä kuvion järjestysluvun perusteella. 08. Jalkapalloturnauksen ensimmäinen ottelu alkaa klo 0.0. Jokainen ottelu kestää 0 minuuttia, ja otteluiden välissä on 0 minuutin tauko. a) Luettele viiden ensimmäisen ottelun alkamisajat. b) Mihin aikaan alkaa päivän viimeinen eli 9. ottelu? Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä. 09. Luettele järjestyksessä pienimmästä suurimpaan a) kolmella jaolliset lukua 0 pienemmät luonnolliset luvut b) yksinumeroiset negatiiviset kokonaisluvut c) lukua 5 pienemmät alkuluvut eli lukua suuremmat kokonaisluvut, jotka ovat jaollisia vain itsellään ja luvulla. 0. Lukujonojen A, B, C ja D alku on yhteinen, mutta kolmannet jäsenet eivät enää ole samoja. Lukujono A,,,, Lukujono B,,, 5, Lukujono C,,, 7, Lukujono D,,, 8, a) Muotoile kullekin lukujonolle sääntö, jolla lukujonon jäsen saadaan edellisestä jäsenestä. b) Kirjoita kunkin lukujonon kolme seuraavaa jäsentä.. Lukujonot Lukujonon muodostaminen

14 . Muodosta jokin sääntö lukujonolle, jonka ensimmäinen jäsen on 00 ja yhdestoista jäsen 00. Selvitä lukujonon kolme ensimmäistä ja sadas jäsen.. Lukujonon viides jäsen on. Lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku. Selvitä ilman teknisiä apuvälineitä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä.. Lukujonon,,... jäsen saadaan lisäämällä sama luku edelliseen jäseneen. a) Mikä on tämä vakiolisäys? b) Laske lukujonon. ja 5. jäsen. Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä.. Jatka lukujonoa,,, ainakin kolmella eri tavalla. Muotoile kukin sääntö sanallisesti. 5. Keksi ainakin kaksi säännönmukaista tapaa täydentää lukujonon,,, 7,, puuttuvat jäsenet. syvennä ymmärrystä 6. Saksalainen matemaatikko Lothar Collatz esitti vuonna 97 seuraavanlaisen säännön eräälle lukujonolle: Valitaan ensimmäiseksi jäseneksi mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan i) jakamalla edellinen jäsen kahdella, jos se on parillinen ii) kertomalla edellinen jäsen kolmella ja lisäämällä tuloon yksi, jos edellinen jäsen on pariton. Tarkastele lukujonoa erilaisilla aloitusluvuilla. Millainen ominaisuus lukujonoon näyttää liittyvän? 7. Lukujonon ensimmäinen jäsen on 5 6, ja lukujonon jokainen uusi jäsen saadaan lisäämällä sama luku edelliseen jäseneen. Lukujonon 6 kolmas jäsen on. Laske ilman teknisiä apuvälineitä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä.

15 8. Kirjoita viisi ensimmäistä jäsentä ja kymmenes jäsen lukujonosta, joka ilmaisee oheisten kuutioiden a) pikkukuutioiden lukumäärän b) sivutahkot peittävien pikkuneliöiden lukumäärän. kuvio kuvio kuvio 9. Lukujonossa,,,,,... jokainen jäsen on toisesta jäsenestä alkaen edellisen ja seuraavan jäsenen keskiarvo. a) Laske. ja 5. jäsen. b) Muotoile sääntö, jolla voidaan laskea mikä tahansa lukujonon jäsen, jos tunnetaan jäsenen järjestysluku. Ratkaise ilman teknisiä apuvälineitä. 0. Tarkastele lukujonoa,,, a) Kirjoita lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä kokonaislukuina. b) Millainen säännönmukaisuus liittyy jonon yhdeksään ensimmäiseen jäseneen, jos ne kirjoitetaan ilman potenssimerkintää? c) Miten jonon jäsenet näyttävät käyttäytyvän 0. jäsenestä alkaen?. Päättele belgialaisen Eugène Catalanin 800-luvulla kehittämän kolmion pohjalta, kuinka jatkuu lukujono a),,, 5,, b),, 5,, c),, 9, d), 5, 9,, e) Kuvaile sanallisesti, miten Catalanin kolmio muodostetaan Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Millaisen säännön mukaan lukujono muodostuu? a),,,,,,, b),,, 5, 0,, 9,, 7,. Lukujonot Lukujonon muodostaminen 5

16 . Lukujonon yleinen jäsen JOHDANTO Kuviojonon kuviot muodostuvat neliönmuotoisista ruuduista. kuvio kuvio kuvio a) Kuinka monta ruutua on neljännessä kuviossa? b) Kuinka monta ruutua on 0. kuviossa? c) Muodosta sääntö, jolla voidaan laskea ruutujen lukumäärä, kun kuvion järjestysluku on n. RATKAISU a) Kuviojonon jokaisen kuvion keskusosa on neliö ja reunaosat ovat suorakulmioita. Neljännen kuvion keskusneliössä on ruutua ja jokaisessa neljässä reunaosassa ruutua. Koko kuviossa on siis + = ruutua. b) Taulukoidaan ruutujen lukumääriä kuvion järjestysluvun perusteella. Järjestysluku Keskusneliö Reunaosat Koko kuvio + = 5 + = + = + = Taulukon perusteella järjestysluvultaan 0. kuvion keskusneliössä on 0 0 ruutua ja jokaisessa neljässä reunaosassa 0 ruutua. Koko kuviossa on siis = = 0 ruutua. c) Jos kuvion järjestysluku on n, sen keskusneliössä on n n ruutua ja jokaisessa neljässä reunaosassa n ruutua. Koko kuviossa on siis n n + n = n + n ruutua. 6

17 Johdannossa kuvion järjestysluvun avulla muodostettiin lauseke, jolla voidaan laskea jonon minkä tahansa kuvion ruutujen lukumäärä. Järjestyslukua n kutsutaan muuttujaksi ja lukujonon n. jäsentä yleiseksi jäseneksi. Jotta jatkossa voidaan helposti viitata lukujonon tiettyyn jäseneen tai jonon yleiseen jäseneen, tarvitaan seuraavia merkintöjä. Lukujonoihin liittyviä merkintöjä Lukujonon nimeämisessä käytetään yleensä aakkosten alkupään pieniä kirjaimia a, b, c jne. Jos lukujonon nimeämisessä käytetään kirjainta a, niin merkintä a tarkoittaa lukujonon. jäsentä n. jäseneen eli yleiseen jäseneen viitataan merkinnällä a n koko lukujonoon viitataan merkinnällä (a n ). Lukujonon n. jäsen voidaan usein esittää lausekkeena. Esimerkiksi johdannossa n. jäsen oli a n = n + n. ESIMERKKI RATKAISU n Lukujonon n. jäsen on an = + n. Laske lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä. Lukujonon ensimmäinen jäsen saadaan, kun muuttujan n paikalle sijoitetaan jäsenen järjestysluku : = + a =. Lasketaan vastaavalla tavalla kolme seuraavaa jäsentä: = + 5 a = 6 a a ( = + 6 = = 9 = + 7 =. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen 7

18 ESIMERKKI Johdannossa kuviojonon n. kuvion ruutujen lukumäärälle muodostettiin sääntö a n = n + n. Eräät opiskelijat ovat ehdottaneet myös sääntöä a n = n(n + ) + n. Onko sääntö oikea? Jos on, miten tällaiseen sääntöön voidaan päätyä? kuvio kuvio kuvio RATKAISU Kerrotaan ehdotetun lausekkeen n(n + ) + n sulkeet auki ja katsotaan, sieveneekö sääntö muotoon n + n. a n = n(n + ) + n = n n + n + n = n + n + n = n + n Sääntö on sama kuin johdannossa muodostettu sääntö. Sääntöön voi päätyä esimerkiksi jakamalla kuvion oheisella tavalla. Jos kuvion järjestysluku on n, kuvion keskellä olevassa sinisessä suorakulmiossa on n (n + ) ruutua ja violeteissa reunaosissa yhteensä n ruutua. n ruutua Appletti havainnollistaa kuvion jakamista. Lausekkeiden sievennykset Yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään termit, joilla on sama muuttujaosa. Esimerkiksi n n n = n n Kertolaskussa sulkeiden edessä olevalla termillä kerrotaan kaikki sulkeiden sisällä olevat termit. Esimerkiksi n(n ) = n n + n ( ) = n 6n 8

19 Kun kappale heijastuu kahden peilin kautta, syntyy useita peräkkäisiä peilikuvia. Lukujonon analyyttinen ja rekursiivinen sääntö Sääntö on analyyttinen, jos lukujonon jäsen voidaan laskea sen järjestysluvun n avulla. Analyyttisellä säännöllä voidaan laskea mikä tahansa lukujonon jäsen. Sääntö on rekursiivinen, jos lukujonon jäsen voidaan laskea edeltävien jäsenien avulla. Rekursiivista sääntöä ei voi käyttää, jos edeltäviä jäseniä ei tiedetä. n Esimerkin sääntö an = + on analyyttinen. Sitä käyttäen voidaan n laskea suoraan esimerkiksi jäsen a 00 sijoittamalla muuttujan n paikalle arvo 00. Rekursiivinen sääntö voi olla esimerkiksi Ensimmäinen jäsen a =, ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku. Sääntöä voidaan havainnollistaa seuraavasti: a = a a a a n a n Kuvassa merkintä a n tarkoittaa n. jäsentä ja merkintä a n tätä edeltävää jäsentä. Lukujonon rekursiivinen sääntö voidaan kirjoittaa muodossa a = ja a n = a n +, kun n =,,,. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen 9

20 ESIMERKKI RATKAISU Lukujono alkaa,, 8, 6, Muotoile lukujonolle jokin sääntö, joka on a) rekursiivinen b) analyyttinen. a) Näyttää siltä, että toisesta jäsenestä alkaen jonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla. Lukujonoa voidaan siis jatkaa esimerkiksi luvuilla, 6, 8, Lukujonon ensimmäinen jäsen on a =. Toinen jäsen saadaan kertomalla ensimmäinen jäsen luvulla eli a = a. Vastaavasti a = a eli kerrotaan edellinen jäsen luvulla. Merkitään jäsentä a n edeltävää jäsentä a n. Tällöin toisesta jäsenestä alkaen a n = a n. Lukujonon rekursiivinen sääntö on siis a = ja a n = a n, kun n =,,, b) Lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla. Jonon toinen jäsen voidaan kirjoittaa ensimmäisen jäsenen avulla muodossa a =. Vastaavasti kolmas jäsen 8 saadaan kertomalla lukujonon toinen jäsen a luvulla. Taulukoidaan lukujonon jäseniä järjestysluvun perusteella. n Lauseke Vaihtoehtoinen esitysmuoto Lukujonon jäsen ( ) = 8 ( ) = 6 Taulukosta nähdään, että lukujonon kukin jäsen saadaan, kun luku korotetaan järjestysluvun osoittamaan potenssiin. Lukujonon analyyttinen sääntö on siis a n = n. 0

21 ESIMERKKI Fibonaccin lukujonon ensimmäinen ja toinen jäsen on. Kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen summa. a) Laske Fibonaccin lukujonon kuusi ensimmäistä jäsentä. b) Määritä lukujonon 50. jäsen. c) Muotoile lukujonon rekursiivinen sääntö. RATKAISU a) Merkitään a = ja a =. Lukujonon kolmas jäsen on ensimmäisen ja toisen jäsenen summa eli a = a + a = + =. Neljäs jäsen on toisen ja kolmannen jäsenen summa eli a = a + a = + =. Lasketaan vastaavalla tavalla lukujonon viides ja kuudes jäsen: a 5 = a + a = + = 5 a 6 = a + a 5 = + 5 = 8 Fibonaccin lukujonon kuusi ensimmäistä jäsentä ovat,,,, 5 ja 8. b) Kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen summa. Koska 50. jäsenen selvittäminen olisi työlästä ilman teknisiä apuvälineitä, lasketaan lukujonon jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla. Taulukon perusteella Fibonaccin lukujonon 50. jäsen on Videossa näytetään, miten lukujonon jäseniä voidaan laskea taulukkolaskentaohjelman avulla. c) Merkitään n. jäsentä a n edeltävää jäsentä a n ja tätä edeltävää jäsentä a n. Lukujonon rekursiivinen sääntö on a =, a = ja a n = a n + a n, kun n =,, 5,. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen

22 Harjoitustehtävät luo perusta Ratkaise tehtävät 8 ilman teknisiä apuvälineitä.. Lukujonon n. jäsen an =. Laske lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä. n. Lukujonon jäsen saadaan lisäämällä sen järjestyslukuun n luku 5. a) Laske lukujonon jäsenet a, a ja a sekä sadas jäsen a 00. b) Kirjoita lukujonon n. jäsen a n. 5. Kirjoita lukujonon n. jäsen a n sekä 0. jäsen a 0, kun jäsen saadaan a) korottamalla järjestysluku n potenssiin b) kertomalla järjestysluku n luvulla ja vähentämällä tulosta luku. 6. Mikä on lukujonon 5, 0, 5, 0, a) sadas jäsen a 00 b) n. jäsen a n? 7. Selvitä lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä, kun jonon rekursiivinen sääntö on seuraava: Ensimmäinen jäsen a =, ja toisesta jäsenestä alkaen jonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. 8. Muotoile lukujonon,, 7, 0, rekursiivinen sääntö sanallisesti. 9. Lukujonon ensimmäinen jäsen a = 5, ja toisesta jäsenestä alkaen jonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. Laske oheisen laskentataulukon avulla lukujonon 0 ensimmäistä jäsentä. vahvista osaamista 0. Laske lukujonon (a n ) neljä ensimmäistä jäsentä ilman teknisiä apuvälineitä. a) a n n n = b) an = + c) a 6 n n = n. a) Kirjoita kuviojonon neljän ensimmäisen ja 00. kuvion neliöiden lukumäärät. b) Muodosta sääntö a n, jolla voidaan laskea n. kuvion neliöiden lukumäärä. kuvio kuvio kuvio

23 . Mikä on lukujonon,, 6, 8, a) sadas jäsen a 00 b) n. jäsen a n?. Määritä lukujonon 0. jäsen a 0 sekä n. jäsen a n, kun lukujono on a),, 9, 6, b), 5, 0, 7,. Lukujonon rekursiivinen sääntö on a) a = 5 ja a n = a n + b) a = ja a n = a n. Kirjoita lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä, kun n =,,, 5. Esitä lukujonon rekursiivinen sääntö lausekkeena, kun a) lukujonon ensimmäinen jäsen a = ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku b) lukujonon ensimmäinen jäsen a = 5 ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla Esitä lukujonolle 7,, 7,, rekursiivinen sääntö a) sanallisesti b) lausekkeena. 7. a) Kirjoita kuviojonon viiden ensimmäisen kuvion janojen lukumäärät lukujonona. b) Esitä kuviojonon janojen lukumäärän ilmaiseva rekursiivinen sääntö lausekkeena. kuvio kuvio kuvio kuvio 8. Onko sääntö rekursiivinen vai analyyttinen? Perustele. a) Lukujonon jäsen saadaan, kun järjestysluku kerrotaan kahdella. b) Lukujonon ensimmäinen jäsen on ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku Muodosta lauseke lukujonon, 6, 9,, a) rekursiiviselle säännölle b) analyyttiselle säännölle.. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen

24 0. Lukujonon ensimmäinen jäsen on, ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen luku. a) Jos laskentataulukon solussa A on luku, millä kaavalla soluun A saadaan laskettua lukujonon toinen jäsen? b) Laske taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon viisitoista ensimmäistä jäsentä.. Laske taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon a = ja a n = a n kymmenen ensimmäistä jäsentä, kun n =,,,. Suomalaisten vastasyntyneiden odotettavissa oleva elinikä kasvaa noin kahdella kuukaudella joka vuosi. Vuonna 00 syntyneiden elinajan odote oli noin 80 vuotta. Muodosta taulukkolaskentaohjelman avulla taulukko, jonka sarakkeessa A on allekkain syntymävuodet ja sarakkeessa B vastaavat oletettavat eliniät.. Kuinka monta a) keltaista b) oranssia neliötä on kuviojonon 0. jäsenessä a 0 ja n. jäsenessä a n? kuvio kuvio kuvio. Mikä on lukujonon n. jäsenen lauseke a n, kun lukujonon muodostavat a) parilliset positiiviset kokonaisluvut b) parittomat positiiviset kokonaisluvut c) kolmella jaolliset positiiviset kokonaisluvut d) positiivisten kokonaislukujen neliöt? 5. Lukujonon ensimmäinen jäsen on 5 6, ja kukin seuraava jäsen saadaan vähentämällä edellisestä luku. a) Laske lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä. b) Kirjoita lukujonon sääntö sekä rekursiivisesti että analyyttisesti. 6. Päättele lukujonon,,,, a) 0. jäsen a 0 b) n. jäsen a n.

25 syvennä ymmärrystä 7. a) Miten kuvio liittyy Fibonaccin lukujonoon,,,, 5, 8,,? b) Piirrä vastaava kuvio ja jatka sitä ainakin yhdellä kaarella. 8. Kuinka monta neliötä on kuviojonon n. kuviossa? Muodosta sääntö ainakin kahdella eri tavalla. kuvio kuvio kuvio 9. Johdannossa kuviojonon n. kuvion ruutujen lukumäärälle muodostettiin sääntö a n = n + n. Onko myös seuraava sääntö oikea? Jos on, miten siihen voidaan päätyä? a) a n = (n + )n b) a n = n(n + ) + n(n + ) n kuvio kuvio kuvio 50. a) Kirjoita lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, kun a =, a = ja a n = a n a n, n =,, 5, b) Esitä lukujonon rekursiivinen sääntö lausekkeena, kun ensimmäinen jäsen a =, toinen jäsen a = 7 ja kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan laskemalla kahden edellisen jäsenen summa. 5. Rekursiivisen lukujonon (a n ) kaksi ensimmäistä jäsentä ovat ja ja kolmannesta jäsenestä alkaen uusi jäsen saadaan kaavalla a n = a n a n. a) Jos taulukkolaskentaohjelman soluissa A ja A on luku, millä kaavalla soluun A saadaan lukujonon kolmas jäsen? b) Laske lukujonon peräkkäisiä jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla ja kuvaile lukujonon käyttäytymistä. c) Miten lukujonon käyttäytyminen muuttuu, jos lukujonon kaksi ensimmäistä jäsentä ovat a = ja a =? Käytä b-kohdan taulukkoa vaihtamalla pelkästään ensimmäisten solujen arvot. Kokeile myös muita ensimmäisten jäsenten a ja a arvoja.. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen 5

26 5. a) Laadi taulukkolaskentaohjelmalla oheinen taulukko. Kirjoita luvut aluksi soluihin A ja B. Käytä muilta osin kaavoja ja soluviittauksia. b) Ilmoita sarakkeessa B olevan lukujonon (b n ) rekursiivinen sääntö. 5. a) Kirjoita lukujonon a n = ( ) n viisi peräkkäistä jäsentä. b) Mikä on lukujonon,,,,... n. jäsen a n? c) Mikä on lukujonon 0,, 0,, n. jäsen a n? Entä mikä on lukujonon, 0,, 0, n. jäsen a n? 5. Lukujonon (a n ) sääntö on ilmaistu rekursiivisesti muodossa a = ja an= an, ( + a ) kun n =,,, n a) Laske lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ilman teknisiä apuvälineitä. Laske tämän jälkeen taulukkolaskentaohjelmalla lisää lukujonon jäseniä kymmenen desimaalin tarkkuudella. Miten jono käyttäytyy? b) Vertaa lukujonon jäseniä luvun neliöjuureen. c) Muokkaa lukujonon sääntöä siten, että saat laskettua luvun 5 neliöjuuren. Pohdi, mitä käyttöä tämänkaltaisella lukujonolla voi olla. 55. a) Täydennä taulukko. Pohdi erityisesti, miten lausekkeen arvo liittyy Fibonaccin lukujonon jäseniin. 6 Kolme peräkkäistä Fibonaccin lukujonon jäsentä Sääntö,, =,, + =,, 5 5 =, 5, 8 5, 8, 8,, b) Muotoile yhtälö, joka kuvaa taulukon perusteella havaittua säännönmukaisuutta. Käytä yhtälössä merkintöjä F n, F n ja F n kuvaamaan Fibonaccin lukujonon kolmea peräkkäistä jäsentä.

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

4. Oheisessa 4x4 ruudukossa jokainen merkki tarkoittaa jotakin lukua. Mikä lukua salmiakki vastaa?

4. Oheisessa 4x4 ruudukossa jokainen merkki tarkoittaa jotakin lukua. Mikä lukua salmiakki vastaa? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 30.1.2015 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Tietorakenteet (syksy 2013)

Tietorakenteet (syksy 2013) Tietorakenteet (syksy 2013) Harjoitus 1 (6.9.2013) Huom. Sinun on osallistuttava perjantain laskuharjoitustilaisuuteen ja tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. Näiden laskuharjoitusten

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05

Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05 Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05 Matematiikka Huom! Mikäli tehtävällä ei vielä ole molempia teknisiä koodeja, tarkoittaa se sitä, että tehtävä ei ole vielä valmis jaettavaksi käyttöön, vaan

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

o Ohjeet annetaan kurssin aikana. MAY1 Luvut ja lukujonot, Opintokortti

o Ohjeet annetaan kurssin aikana. MAY1 Luvut ja lukujonot, Opintokortti MAY1 Luvut ja lukujonot, Opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut

Lisätiedot

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan! Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8 Nimi 1 ALGEBRAN KERTAUS 1) Järjestä luvut pienimmästä suurimpaan., 8 3, 8, 8 4, 908, 7, 1, 99, 167, 1, 987, 1011. 4 ) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Mikä luvuista on parillinen? (A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 9 (D) 200 9 (E) 200 + 9 Ainoa parillinen on 200 9 = 1800. 2. Kuvan tähti koostuu 12

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016

LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 Lukujonot Tarvikkeet: siniset ja vihreät lukukortit Toteutus: yksin, pareittain,

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Seguinin lauta A: 11-19

Seguinin lauta A: 11-19 Lukujen syventäminen Kun lapsi ryhtyy montessorileikkikoulussa syventämään tietouttaan lukualueesta 1-1000, uutena montessorimateriaalina tulevat värihelmet. Värihelmet johdattavat lasta mm. laskutoimituksiin,

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat?

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Matti Lehtinen Desimaaliluvut ovat niin jokapäiväisiä ja niillä laskemiseen niin totuttu, ettei yleensä tule miettineeksi, mitä ne oikeastaan ovat. Joskus kauan

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Ma4 Yhtälöt ja lukujonot

Ma4 Yhtälöt ja lukujonot Ma4 Yhtälöt ja lukujonot H4 Lukujonot 4.1 Kirjoita lukujonon seuraavat viisi termiä, kun ensimmäinen termi on 1 ja muut muodostuvat seuraavien sääntöjen mukaan. a) Lisää edelliseen termiin 3. b) Kerro

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

R1 Harjoitustehtävien ratkaisut

R1 Harjoitustehtävien ratkaisut MAB R Harjoitustehtävien ratkaisut R Harjoitustehtävien ratkaisut. Jos lämpötila nousee asteesta asteella, mikä on uusi lämpötila? +. Lämpötila nousee viiteen asteeseen. Lukusuoralla: 0 + Nuolen pituus.

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015)

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Harjoitus 2 (14. 18.9.2015) Huom. Sinun on tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. 1. Erään algoritmin suoritus vie 1 ms, kun syötteen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Tehtävät 1/10. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät 1/10. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Tehtävien

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot