Luvut ja lukujonot. otavan matematiikka. Helsingissä Kustannusyhtiö Otava

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luvut ja lukujonot. otavan matematiikka. Helsingissä Kustannusyhtiö Otava"

Transkriptio

1 otavan matematiikka Luvut ja lukujonot Hanna Halinen Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Sampsa Kurvinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Jukka Ottelin Kati Parmanen Terhi Raittila Tommi Tauriainen Tommi Tikka Sari Vallineva Helsingissä Kustannusyhtiö Otava

2

3 Sisällys Kirjan rakenne Kertaa tarvittaessa 5 Tuntisuunnitelma 75 min 5 min. Luvut ja lukualueet 6. Laskutoimituksia kokonaisluvuilla 8. Laskutoimituksia reaaliluvuilla 6. Lukujonot 6 7. Lukujonon muodostaminen 8. Lukujonon yleinen jäsen 6. Aritmeettinen lukujono 7. Prosentti ja geometrinen lukujono Prosenttikerroin 60. Prosentuaalisia muutoksia 67. Geometrinen lukujono 75. Summa 8. Aritmeettinen summa 86. Geometrinen summa Eksponenttiyhtälö ja logaritmi 0 5. Eksponenttiyhtälö Logaritmi 6. Funktiot 0 6. Funktio 6. Funktion kuvaajan tulkinta Kertaus Kokoavia tehtäviä 9 Vihjeet 5 Vastaukset 55 Hakemisto 68

4 Kirjan rakenne Luvun aloitusaukeama esittelee luvun aiheeseen liittyvän sovelluksen, johon palataan luvun viimeisen sivun tehtävissä. Tehtävät on mahdollista ratkaista luvussa opittujen tietojen avulla. Johdanto on uuteen asiaan johdatteleva selittävä esimerkki, joka aloittaa alaluvun teorian. Teoria sisältää myös muita esimerkkejä ja keskeisimmät asiat kokoavia väripohjia. Harjoitustehtävät on jaoteltu kolmeen osioon. Luo perusta -tehtävät on tarkoitettu kaikille, ja niissä kohdataan keskeiset uudet asiat. Vahvista osaamista -tehtävät lujittavat osaamista ja antavat pohjan tulevien asioiden ymmärtämiselle. Syvennä ymmärrystä -tehtäviä on syytä tehdä, jos tavoitellaan aiheen perusteellista hallintaa. Teknisten apuvälineiden käytöstä on mainittu harjoitustehtävässä erikseen, jos tehtävä on tarkoitus ratkaista ilman teknisiä apuvälineitä tai sopivalla ohjelmalla. Teknisellä apuvälineellä tarkoitetaan ohjelman toimintoa, josta on matematiikan kannalta apua. Muilta osin tietokoneen tai muun laitteen käyttäminen ratkaisun kirjaamisessa on aina sallittua. Kertausosiossa kurssin keskeiset ideat esitellään tiiviissä muodossa ja niitä harjoitellaan muutamalla tehtävällä. Kertausosion lopussa on kokoavia tehtäviä koko kurssista. Logojen merkitykset ovat seuraavat: Asiaan liittyy appletti tai video osoitteessa Tehtävään on vihje kirjan lopussa.

5 Kertaa tarvittaessa Voit kerrata tämän sivun sisältämät asiat aluksi tai palata niihin tarvittaessa myöhemmin. Sivunumero kertoo, missä asia tulee vastaan. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku Murtoluvut lavennetaan ensin samannimisiksi. Esimerkiksi ) ) 5 + = + = + = ) ) = = = 6 Katso s. 7 ja Lausekkeiden sievennykset Yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään termit, joilla on sama muuttujaosa. Esimerkiksi n n n = n n Kertolaskussa sulkeiden edessä olevalla termillä kerrotaan kaikki sulkeiden sisällä olevat termit. Esimerkiksi n(n ) = n n + n ( ) = n 6n Katso s. 8 Yhtälön ratkaiseminen Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä tai molemmilta puolilta vähentää sama luku tai lauseke. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa nollasta poikkeavalla luvulla. Esimerkiksi x + = 5 x + = 5 x = : x = Katso s. 50 Murtolukujen kertolasku Kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät keskenään. Esimerkiksi = = = Katso s. 7 ja 5 Murtolukujen jakolasku Jaettava murtoluku kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Esimerkiksi 5 6 : = = = = Katso s. 7 ja 76 5 Samankantaisten potenssien tulo 7 7= 7 7 = = 7 kpl Yleisesti am an = am + n Katso s. 07 kpl + 5 Potenssin potenssi (7 ) = = = 7 = 7 6 Yleisesti m n ( a ) a m n = Katso s. 07 Tulon potenssi (5 ) = 555 = 555 = 5 Yleisesti (ab)n = an bn Katso s. 08 Samankantaisten potenssien osamäärä kpl = = 7 = Yleisesti m a m a n a kpl n = Katso s kertaa tarvittaessa 5

6 . LUKUJONOT Opitaan, miten lukujonojen sääntöjä muodostetaan eri tavoin miten lukujonoja voidaan jatkaa sääntöjen mukaan miten lukujonoja tutkitaan teknisillä apuvälineillä mikä on aritmeettinen lukujono.

7 Tässä luvussa opitaan, miten seuraavat ongelmat voidaan ratkaista. kuvio kuvio kuvio Kuinka monta appelsiinia olisi ylhäältä lukien 6. kerroksessa? Miten kuvio jatkuu? Kuinka monta neliötä olisi 00. kuviossa? Lukujen luetteloita eli lukujonoja käytetään kuvaamaan tilanteita tai ilmiöitä, jotka noudattavat jotain matemaattista sääntöä. Lukujonoja hyödynnetään monissa sovelluksissa, joissa halutaan ennakoida tulevaa kehitystä. Eräs kuuluisimmista lukujonoista on Fibonaccin lukujono. Sen avulla voidaan kuvata esimerkiksi kanipopulaation kasvua: Kuvitellaan, että kanipari saa kaksi poikasta ensimmäisen kerran kahden kuukauden iässä ja siitä eteenpäin kuukauden välein uuden poikasparin. Poikasparit alkavat lisääntyä samalla tavalla. Parien lukumäärät,,, ja 5 ovat Fibonaccin lukujonon viisi ensimmäistä lukua. Kolmannesta luvusta alkaen luku on aina kahden edellisen luvun summa. Kaavio esittää kaniparien lukumäärää viiden ensimmäisen kuukauden aikana. Fibonaccin luvut näkyvät luonnossa monella mielenkiintoisella tavalla. Esimerkiksi auringonkukan mykerössä siemenet sijoittuvat myötä- ja vastapäivään kulkeviin kierteisiin, joiden lukumäärät esiintyvät Fibonaccin lukujonossa. Sama ilmiö näkyy myös esimerkiksi männynkävyn ja ananaksen pintakuvioinnissa. Luvun lopussa esitellään toinen matemaattinen malli, jonka avulla voidaan ennustaa populaation koko.. Lukujonot 7

8 . Lukujonon muodostaminen JOHDANTO Kuviojono muodostuu tietyn säännön mukaan piirretyistä kuvioista. kuvio kuvio kuvio a) Piirrä kuviojonon seuraava eli neljäs kuvio. b) Luettele kuviojonon viiden ensimmäisen kuvion sinisten kuusikulmioiden lukumäärät. c) Kuinka monta sinistä kuusikulmiota on 0. kuviossa? RATKAISU a) Neljäs kuvio saadaan lisäämällä edelliseen eli kolmanteen kuvioon yksi vihreä kuusikulmio ja neljä sinistä kuusikulmiota. b) Ensimmäisessä kuviossa on kuusi sinistä kuusikulmiota. Seuraavissa kuvioissa niitä on aina neljä edellistä enemmän. Sinisten kuusikulmioiden lukumäärät ovat 6, 0,, 8 ja. c) Kymmenennessä kuviossa on b-kohdan perusteella kpl =+ = 6 9 sinistä kuusikulmiota. Johdannon kuviojonoa ja sinisten kuusikulmioiden lukumäärien luettelemista voitaisiin jatkaa loputtomiin. Tällaista tietyssä järjestyksessä olevien lukujen luetteloa kutsutaan lukujonoksi. 8

9 Lukujono Lukujono on järjestetty ja päättymätön luettelo reaalilukuja. Lukujonon lukuja kutsutaan jäseniksi. lukujono,, 5, kolmas jäsen Lukujonoja ovat esimerkiksi parittomat luonnolliset luvut,, 5, 7, vuorotteleva lukujono, 0,, 0,, 0, vakiojono,,,, jono,,,,... 5 luvun π numeroiden jono,,,, 5, 9, Kolme pistettä luettelon perässä kuvaa sitä, että lukujono ei pääty, vaan lukujonon jäseniä voidaan kirjoittaa lisää. ESIMERKKI RATKAISU Jatka lukujonoa kolmella jäsenellä. a),, 6, b),, 5, c) π, π, π, d),,,,... a) Lukujono,, 6, näyttää muodostuvan suuruusjärjestyksessä olevista parillisista luonnollisista luvuista. Lukujono on,, 6, 8, 0,, b) Lukujono,, 5, näyttää muodostuvan parittomista, negatiivisista kokonaisluvuista, jotka on lueteltu suuruusjärjestyksessä suurimmasta alkaen. Lukujono on,, 5, 7, 9,, c) Lukujono π, π, π, näyttää olevan vakiojono. Näin ollen lukujono on π, π, π, π, π, π, d) Lukujono,,,,... näyttää muodostuvan :n välein valituista rationaaliluvuista. Lukujono on siis,,,,,,,... Lukujonoa voi yleensä jatkaa usealla eri tavalla. Esimerkin jonoja voi jatkaa myös muilla kuin ratkaisussa esitetyillä tavoilla.. Lukujonot Lukujonon muodostaminen 9

10 ESIMERKKI Lukujono on,,,, 5, Määritä lukujonon a) 9. jäsen b) 00. jäsen c) sanallinen sääntö, jolla voidaan laskea mikä tahansa jäsen. RATKAISU a) Eräs tapa jatkaa lukujonoa on lisätä edelliseen jäseneen luku jäsen. jäsen. jäsen. jäsen 5. jäsen Lukujonon yhdeksän ensimmäistä jäsentä ovat tällöin,,,, 5, 7, 9, ja. Lukujonon 9. jäsen on. b) Lukujonon toinen jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen yhden kerran luku. Kolmas jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen kaksi kertaa luku. Neljäs jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen kolme kertaa luku. Samalla päättelyllä jonon 00. jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen 99 kertaa luku. Lukujonon 00. jäsen on tällä perusteella + 99 = + 98 = 95. c) Edellisen kohdan perusteella lukujonon mikä tahansa jäsen saadaan, kun ensimmäiseen jäseneen lisätään luku yhden kerran vähemmän kuin lukujonon jäsenen järjestysluku. Tarinan mukaan Akhilleus ei pysty koskaan ohittamaan etumatkan saanutta kilpikonnaa, sillä hänen on ensin juostava siihen, missä kilpikonna on. Kun Akhilleus saapuu tähän paikkaan, on kilpikonna aina liikkunut eteenpäin. 0

11 ESIMERKKI Lukujonon ensimmäinen jäsen on. Toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. a) Laske lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä. b) Kuinka monta positiivista jäsentä lukujonossa on? RATKAISU a) Lasketaan lukujonon peräkkäisiä jäseniä säännön mukaisesti. ensimmäinen jäsen toinen jäsen ) = = kolmas jäsen = neljäs jäsen = viides jäsen = 5 Toista jäsentä laskettaessa huomattiin, että =. Lukujonon jäsen voidaan siis laskea vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. Lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä ovat,,, ja. 5 b) Koska lukujonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä positiivinen luku, jokainen uusi jäsen on aina edellistä pienempi. Lukujonossa on näin ollen vain kaksi positiivista jäsentä, ja. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku Murtoluvut lavennetaan ensin samannimisiksi. Esimerkiksi ) ) 5 + = + = + = ) ) = = = 6. Lukujonot Lukujonon muodostaminen

12 Harjoitustehtävät luo perusta Ratkaise tehtävät 0 05 ilman teknisiä apuvälineitä. 0. Lukujonon ensimmäinen jäsen on. Kirjoita lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, kun toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan a) lisäämällä edelliseen jäseneen luku b) kertomalla edellinen jäsen luvulla c) vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. 0. Määritä lukujonon viides ja kuudes jäsen. a), 7, 0,, b) 7,, 8, 56, c), 6,,, 0. Muotoile lukujonolle sääntö, jolla lukujonon jäsen saadaan edellisestä jäsenestä. Laske puuttuvat jäsenet. a), 7,,, 5, b),, 9,, 8, c) 6,, 6,,,, 0. Lukujonon jäsen saadaan kertomalla järjestysluku viidellä ja vähentämällä tuloksesta luku. Täydennä taulukko. Järjestysluku Lauseke Jäsen a) Piirrä kuviojonon seuraava kuvio. kuvio kuvio kuvio b) Kuinka monta neliötä on kymmenennessä kuviossa? c) Kuinka monta neliötä on sadannessa kuviossa? d) Muotoile sääntö, jolla kuvion muodostavien neliöiden lukumäärä saadaan laskettua kuvion järjestysluvun perusteella.

13 vahvista osaamista 06. Lukujonon kaksi ensimmäistä jäsentä ovat 5 ja. Selvitä ilman teknisiä apuvälineitä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, jos kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen a) summa b) tulo. 07. a) Kirjoita kuviojonon viiden ensimmäisen kuvion pisteiden lukumäärät lukujonona. kuvio kuvio kuvio kuvio b) Muotoile sääntö, jolla kuvion pisteiden lukumäärä saadaan edellisen kuvion pisteiden lukumäärästä. c) Kuinka monta pistettä on kuviojonon sadannessa kuviossa? d) Muotoile sääntö, jolla saadaan kuvion pisteiden lukumäärä kuvion järjestysluvun perusteella. 08. Jalkapalloturnauksen ensimmäinen ottelu alkaa klo 0.0. Jokainen ottelu kestää 0 minuuttia, ja otteluiden välissä on 0 minuutin tauko. a) Luettele viiden ensimmäisen ottelun alkamisajat. b) Mihin aikaan alkaa päivän viimeinen eli 9. ottelu? Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä. 09. Luettele järjestyksessä pienimmästä suurimpaan a) kolmella jaolliset lukua 0 pienemmät luonnolliset luvut b) yksinumeroiset negatiiviset kokonaisluvut c) lukua 5 pienemmät alkuluvut eli lukua suuremmat kokonaisluvut, jotka ovat jaollisia vain itsellään ja luvulla. 0. Lukujonojen A, B, C ja D alku on yhteinen, mutta kolmannet jäsenet eivät enää ole samoja. Lukujono A,,,, Lukujono B,,, 5, Lukujono C,,, 7, Lukujono D,,, 8, a) Muotoile kullekin lukujonolle sääntö, jolla lukujonon jäsen saadaan edellisestä jäsenestä. b) Kirjoita kunkin lukujonon kolme seuraavaa jäsentä.. Lukujonot Lukujonon muodostaminen

14 . Muodosta jokin sääntö lukujonolle, jonka ensimmäinen jäsen on 00 ja yhdestoista jäsen 00. Selvitä lukujonon kolme ensimmäistä ja sadas jäsen.. Lukujonon viides jäsen on. Lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku. Selvitä ilman teknisiä apuvälineitä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä.. Lukujonon,,... jäsen saadaan lisäämällä sama luku edelliseen jäseneen. a) Mikä on tämä vakiolisäys? b) Laske lukujonon. ja 5. jäsen. Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä.. Jatka lukujonoa,,, ainakin kolmella eri tavalla. Muotoile kukin sääntö sanallisesti. 5. Keksi ainakin kaksi säännönmukaista tapaa täydentää lukujonon,,, 7,, puuttuvat jäsenet. syvennä ymmärrystä 6. Saksalainen matemaatikko Lothar Collatz esitti vuonna 97 seuraavanlaisen säännön eräälle lukujonolle: Valitaan ensimmäiseksi jäseneksi mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan i) jakamalla edellinen jäsen kahdella, jos se on parillinen ii) kertomalla edellinen jäsen kolmella ja lisäämällä tuloon yksi, jos edellinen jäsen on pariton. Tarkastele lukujonoa erilaisilla aloitusluvuilla. Millainen ominaisuus lukujonoon näyttää liittyvän? 7. Lukujonon ensimmäinen jäsen on 5 6, ja lukujonon jokainen uusi jäsen saadaan lisäämällä sama luku edelliseen jäseneen. Lukujonon 6 kolmas jäsen on. Laske ilman teknisiä apuvälineitä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä.

15 8. Kirjoita viisi ensimmäistä jäsentä ja kymmenes jäsen lukujonosta, joka ilmaisee oheisten kuutioiden a) pikkukuutioiden lukumäärän b) sivutahkot peittävien pikkuneliöiden lukumäärän. kuvio kuvio kuvio 9. Lukujonossa,,,,,... jokainen jäsen on toisesta jäsenestä alkaen edellisen ja seuraavan jäsenen keskiarvo. a) Laske. ja 5. jäsen. b) Muotoile sääntö, jolla voidaan laskea mikä tahansa lukujonon jäsen, jos tunnetaan jäsenen järjestysluku. Ratkaise ilman teknisiä apuvälineitä. 0. Tarkastele lukujonoa,,, a) Kirjoita lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä kokonaislukuina. b) Millainen säännönmukaisuus liittyy jonon yhdeksään ensimmäiseen jäseneen, jos ne kirjoitetaan ilman potenssimerkintää? c) Miten jonon jäsenet näyttävät käyttäytyvän 0. jäsenestä alkaen?. Päättele belgialaisen Eugène Catalanin 800-luvulla kehittämän kolmion pohjalta, kuinka jatkuu lukujono a),,, 5,, b),, 5,, c),, 9, d), 5, 9,, e) Kuvaile sanallisesti, miten Catalanin kolmio muodostetaan Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Millaisen säännön mukaan lukujono muodostuu? a),,,,,,, b),,, 5, 0,, 9,, 7,. Lukujonot Lukujonon muodostaminen 5

16 . Lukujonon yleinen jäsen JOHDANTO Kuviojonon kuviot muodostuvat neliönmuotoisista ruuduista. kuvio kuvio kuvio a) Kuinka monta ruutua on neljännessä kuviossa? b) Kuinka monta ruutua on 0. kuviossa? c) Muodosta sääntö, jolla voidaan laskea ruutujen lukumäärä, kun kuvion järjestysluku on n. RATKAISU a) Kuviojonon jokaisen kuvion keskusosa on neliö ja reunaosat ovat suorakulmioita. Neljännen kuvion keskusneliössä on ruutua ja jokaisessa neljässä reunaosassa ruutua. Koko kuviossa on siis + = ruutua. b) Taulukoidaan ruutujen lukumääriä kuvion järjestysluvun perusteella. Järjestysluku Keskusneliö Reunaosat Koko kuvio + = 5 + = + = + = Taulukon perusteella järjestysluvultaan 0. kuvion keskusneliössä on 0 0 ruutua ja jokaisessa neljässä reunaosassa 0 ruutua. Koko kuviossa on siis = = 0 ruutua. c) Jos kuvion järjestysluku on n, sen keskusneliössä on n n ruutua ja jokaisessa neljässä reunaosassa n ruutua. Koko kuviossa on siis n n + n = n + n ruutua. 6

17 Johdannossa kuvion järjestysluvun avulla muodostettiin lauseke, jolla voidaan laskea jonon minkä tahansa kuvion ruutujen lukumäärä. Järjestyslukua n kutsutaan muuttujaksi ja lukujonon n. jäsentä yleiseksi jäseneksi. Jotta jatkossa voidaan helposti viitata lukujonon tiettyyn jäseneen tai jonon yleiseen jäseneen, tarvitaan seuraavia merkintöjä. Lukujonoihin liittyviä merkintöjä Lukujonon nimeämisessä käytetään yleensä aakkosten alkupään pieniä kirjaimia a, b, c jne. Jos lukujonon nimeämisessä käytetään kirjainta a, niin merkintä a tarkoittaa lukujonon. jäsentä n. jäseneen eli yleiseen jäseneen viitataan merkinnällä a n koko lukujonoon viitataan merkinnällä (a n ). Lukujonon n. jäsen voidaan usein esittää lausekkeena. Esimerkiksi johdannossa n. jäsen oli a n = n + n. ESIMERKKI RATKAISU n Lukujonon n. jäsen on an = + n. Laske lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä. Lukujonon ensimmäinen jäsen saadaan, kun muuttujan n paikalle sijoitetaan jäsenen järjestysluku : = + a =. Lasketaan vastaavalla tavalla kolme seuraavaa jäsentä: = + 5 a = 6 a a ( = + 6 = = 9 = + 7 =. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen 7

18 ESIMERKKI Johdannossa kuviojonon n. kuvion ruutujen lukumäärälle muodostettiin sääntö a n = n + n. Eräät opiskelijat ovat ehdottaneet myös sääntöä a n = n(n + ) + n. Onko sääntö oikea? Jos on, miten tällaiseen sääntöön voidaan päätyä? kuvio kuvio kuvio RATKAISU Kerrotaan ehdotetun lausekkeen n(n + ) + n sulkeet auki ja katsotaan, sieveneekö sääntö muotoon n + n. a n = n(n + ) + n = n n + n + n = n + n + n = n + n Sääntö on sama kuin johdannossa muodostettu sääntö. Sääntöön voi päätyä esimerkiksi jakamalla kuvion oheisella tavalla. Jos kuvion järjestysluku on n, kuvion keskellä olevassa sinisessä suorakulmiossa on n (n + ) ruutua ja violeteissa reunaosissa yhteensä n ruutua. n ruutua Appletti havainnollistaa kuvion jakamista. Lausekkeiden sievennykset Yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään termit, joilla on sama muuttujaosa. Esimerkiksi n n n = n n Kertolaskussa sulkeiden edessä olevalla termillä kerrotaan kaikki sulkeiden sisällä olevat termit. Esimerkiksi n(n ) = n n + n ( ) = n 6n 8

19 Kun kappale heijastuu kahden peilin kautta, syntyy useita peräkkäisiä peilikuvia. Lukujonon analyyttinen ja rekursiivinen sääntö Sääntö on analyyttinen, jos lukujonon jäsen voidaan laskea sen järjestysluvun n avulla. Analyyttisellä säännöllä voidaan laskea mikä tahansa lukujonon jäsen. Sääntö on rekursiivinen, jos lukujonon jäsen voidaan laskea edeltävien jäsenien avulla. Rekursiivista sääntöä ei voi käyttää, jos edeltäviä jäseniä ei tiedetä. n Esimerkin sääntö an = + on analyyttinen. Sitä käyttäen voidaan n laskea suoraan esimerkiksi jäsen a 00 sijoittamalla muuttujan n paikalle arvo 00. Rekursiivinen sääntö voi olla esimerkiksi Ensimmäinen jäsen a =, ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku. Sääntöä voidaan havainnollistaa seuraavasti: a = a a a a n a n Kuvassa merkintä a n tarkoittaa n. jäsentä ja merkintä a n tätä edeltävää jäsentä. Lukujonon rekursiivinen sääntö voidaan kirjoittaa muodossa a = ja a n = a n +, kun n =,,,. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen 9

20 ESIMERKKI RATKAISU Lukujono alkaa,, 8, 6, Muotoile lukujonolle jokin sääntö, joka on a) rekursiivinen b) analyyttinen. a) Näyttää siltä, että toisesta jäsenestä alkaen jonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla. Lukujonoa voidaan siis jatkaa esimerkiksi luvuilla, 6, 8, Lukujonon ensimmäinen jäsen on a =. Toinen jäsen saadaan kertomalla ensimmäinen jäsen luvulla eli a = a. Vastaavasti a = a eli kerrotaan edellinen jäsen luvulla. Merkitään jäsentä a n edeltävää jäsentä a n. Tällöin toisesta jäsenestä alkaen a n = a n. Lukujonon rekursiivinen sääntö on siis a = ja a n = a n, kun n =,,, b) Lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla. Jonon toinen jäsen voidaan kirjoittaa ensimmäisen jäsenen avulla muodossa a =. Vastaavasti kolmas jäsen 8 saadaan kertomalla lukujonon toinen jäsen a luvulla. Taulukoidaan lukujonon jäseniä järjestysluvun perusteella. n Lauseke Vaihtoehtoinen esitysmuoto Lukujonon jäsen ( ) = 8 ( ) = 6 Taulukosta nähdään, että lukujonon kukin jäsen saadaan, kun luku korotetaan järjestysluvun osoittamaan potenssiin. Lukujonon analyyttinen sääntö on siis a n = n. 0

21 ESIMERKKI Fibonaccin lukujonon ensimmäinen ja toinen jäsen on. Kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen summa. a) Laske Fibonaccin lukujonon kuusi ensimmäistä jäsentä. b) Määritä lukujonon 50. jäsen. c) Muotoile lukujonon rekursiivinen sääntö. RATKAISU a) Merkitään a = ja a =. Lukujonon kolmas jäsen on ensimmäisen ja toisen jäsenen summa eli a = a + a = + =. Neljäs jäsen on toisen ja kolmannen jäsenen summa eli a = a + a = + =. Lasketaan vastaavalla tavalla lukujonon viides ja kuudes jäsen: a 5 = a + a = + = 5 a 6 = a + a 5 = + 5 = 8 Fibonaccin lukujonon kuusi ensimmäistä jäsentä ovat,,,, 5 ja 8. b) Kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen summa. Koska 50. jäsenen selvittäminen olisi työlästä ilman teknisiä apuvälineitä, lasketaan lukujonon jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla. Taulukon perusteella Fibonaccin lukujonon 50. jäsen on Videossa näytetään, miten lukujonon jäseniä voidaan laskea taulukkolaskentaohjelman avulla. c) Merkitään n. jäsentä a n edeltävää jäsentä a n ja tätä edeltävää jäsentä a n. Lukujonon rekursiivinen sääntö on a =, a = ja a n = a n + a n, kun n =,, 5,. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen

22 Harjoitustehtävät luo perusta Ratkaise tehtävät 8 ilman teknisiä apuvälineitä.. Lukujonon n. jäsen an =. Laske lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä. n. Lukujonon jäsen saadaan lisäämällä sen järjestyslukuun n luku 5. a) Laske lukujonon jäsenet a, a ja a sekä sadas jäsen a 00. b) Kirjoita lukujonon n. jäsen a n. 5. Kirjoita lukujonon n. jäsen a n sekä 0. jäsen a 0, kun jäsen saadaan a) korottamalla järjestysluku n potenssiin b) kertomalla järjestysluku n luvulla ja vähentämällä tulosta luku. 6. Mikä on lukujonon 5, 0, 5, 0, a) sadas jäsen a 00 b) n. jäsen a n? 7. Selvitä lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä, kun jonon rekursiivinen sääntö on seuraava: Ensimmäinen jäsen a =, ja toisesta jäsenestä alkaen jonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. 8. Muotoile lukujonon,, 7, 0, rekursiivinen sääntö sanallisesti. 9. Lukujonon ensimmäinen jäsen a = 5, ja toisesta jäsenestä alkaen jonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. Laske oheisen laskentataulukon avulla lukujonon 0 ensimmäistä jäsentä. vahvista osaamista 0. Laske lukujonon (a n ) neljä ensimmäistä jäsentä ilman teknisiä apuvälineitä. a) a n n n = b) an = + c) a 6 n n = n. a) Kirjoita kuviojonon neljän ensimmäisen ja 00. kuvion neliöiden lukumäärät. b) Muodosta sääntö a n, jolla voidaan laskea n. kuvion neliöiden lukumäärä. kuvio kuvio kuvio

23 . Mikä on lukujonon,, 6, 8, a) sadas jäsen a 00 b) n. jäsen a n?. Määritä lukujonon 0. jäsen a 0 sekä n. jäsen a n, kun lukujono on a),, 9, 6, b), 5, 0, 7,. Lukujonon rekursiivinen sääntö on a) a = 5 ja a n = a n + b) a = ja a n = a n. Kirjoita lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä, kun n =,,, 5. Esitä lukujonon rekursiivinen sääntö lausekkeena, kun a) lukujonon ensimmäinen jäsen a = ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku b) lukujonon ensimmäinen jäsen a = 5 ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla Esitä lukujonolle 7,, 7,, rekursiivinen sääntö a) sanallisesti b) lausekkeena. 7. a) Kirjoita kuviojonon viiden ensimmäisen kuvion janojen lukumäärät lukujonona. b) Esitä kuviojonon janojen lukumäärän ilmaiseva rekursiivinen sääntö lausekkeena. kuvio kuvio kuvio kuvio 8. Onko sääntö rekursiivinen vai analyyttinen? Perustele. a) Lukujonon jäsen saadaan, kun järjestysluku kerrotaan kahdella. b) Lukujonon ensimmäinen jäsen on ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku Muodosta lauseke lukujonon, 6, 9,, a) rekursiiviselle säännölle b) analyyttiselle säännölle.. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen

24 0. Lukujonon ensimmäinen jäsen on, ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen luku. a) Jos laskentataulukon solussa A on luku, millä kaavalla soluun A saadaan laskettua lukujonon toinen jäsen? b) Laske taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon viisitoista ensimmäistä jäsentä.. Laske taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon a = ja a n = a n kymmenen ensimmäistä jäsentä, kun n =,,,. Suomalaisten vastasyntyneiden odotettavissa oleva elinikä kasvaa noin kahdella kuukaudella joka vuosi. Vuonna 00 syntyneiden elinajan odote oli noin 80 vuotta. Muodosta taulukkolaskentaohjelman avulla taulukko, jonka sarakkeessa A on allekkain syntymävuodet ja sarakkeessa B vastaavat oletettavat eliniät.. Kuinka monta a) keltaista b) oranssia neliötä on kuviojonon 0. jäsenessä a 0 ja n. jäsenessä a n? kuvio kuvio kuvio. Mikä on lukujonon n. jäsenen lauseke a n, kun lukujonon muodostavat a) parilliset positiiviset kokonaisluvut b) parittomat positiiviset kokonaisluvut c) kolmella jaolliset positiiviset kokonaisluvut d) positiivisten kokonaislukujen neliöt? 5. Lukujonon ensimmäinen jäsen on 5 6, ja kukin seuraava jäsen saadaan vähentämällä edellisestä luku. a) Laske lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä. b) Kirjoita lukujonon sääntö sekä rekursiivisesti että analyyttisesti. 6. Päättele lukujonon,,,, a) 0. jäsen a 0 b) n. jäsen a n.

25 syvennä ymmärrystä 7. a) Miten kuvio liittyy Fibonaccin lukujonoon,,,, 5, 8,,? b) Piirrä vastaava kuvio ja jatka sitä ainakin yhdellä kaarella. 8. Kuinka monta neliötä on kuviojonon n. kuviossa? Muodosta sääntö ainakin kahdella eri tavalla. kuvio kuvio kuvio 9. Johdannossa kuviojonon n. kuvion ruutujen lukumäärälle muodostettiin sääntö a n = n + n. Onko myös seuraava sääntö oikea? Jos on, miten siihen voidaan päätyä? a) a n = (n + )n b) a n = n(n + ) + n(n + ) n kuvio kuvio kuvio 50. a) Kirjoita lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, kun a =, a = ja a n = a n a n, n =,, 5, b) Esitä lukujonon rekursiivinen sääntö lausekkeena, kun ensimmäinen jäsen a =, toinen jäsen a = 7 ja kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan laskemalla kahden edellisen jäsenen summa. 5. Rekursiivisen lukujonon (a n ) kaksi ensimmäistä jäsentä ovat ja ja kolmannesta jäsenestä alkaen uusi jäsen saadaan kaavalla a n = a n a n. a) Jos taulukkolaskentaohjelman soluissa A ja A on luku, millä kaavalla soluun A saadaan lukujonon kolmas jäsen? b) Laske lukujonon peräkkäisiä jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla ja kuvaile lukujonon käyttäytymistä. c) Miten lukujonon käyttäytyminen muuttuu, jos lukujonon kaksi ensimmäistä jäsentä ovat a = ja a =? Käytä b-kohdan taulukkoa vaihtamalla pelkästään ensimmäisten solujen arvot. Kokeile myös muita ensimmäisten jäsenten a ja a arvoja.. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen 5

26 5. a) Laadi taulukkolaskentaohjelmalla oheinen taulukko. Kirjoita luvut aluksi soluihin A ja B. Käytä muilta osin kaavoja ja soluviittauksia. b) Ilmoita sarakkeessa B olevan lukujonon (b n ) rekursiivinen sääntö. 5. a) Kirjoita lukujonon a n = ( ) n viisi peräkkäistä jäsentä. b) Mikä on lukujonon,,,,... n. jäsen a n? c) Mikä on lukujonon 0,, 0,, n. jäsen a n? Entä mikä on lukujonon, 0,, 0, n. jäsen a n? 5. Lukujonon (a n ) sääntö on ilmaistu rekursiivisesti muodossa a = ja an= an, ( + a ) kun n =,,, n a) Laske lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ilman teknisiä apuvälineitä. Laske tämän jälkeen taulukkolaskentaohjelmalla lisää lukujonon jäseniä kymmenen desimaalin tarkkuudella. Miten jono käyttäytyy? b) Vertaa lukujonon jäseniä luvun neliöjuureen. c) Muokkaa lukujonon sääntöä siten, että saat laskettua luvun 5 neliöjuuren. Pohdi, mitä käyttöä tämänkaltaisella lukujonolla voi olla. 55. a) Täydennä taulukko. Pohdi erityisesti, miten lausekkeen arvo liittyy Fibonaccin lukujonon jäseniin. 6 Kolme peräkkäistä Fibonaccin lukujonon jäsentä Sääntö,, =,, + =,, 5 5 =, 5, 8 5, 8, 8,, b) Muotoile yhtälö, joka kuvaa taulukon perusteella havaittua säännönmukaisuutta. Käytä yhtälössä merkintöjä F n, F n ja F n kuvaamaan Fibonaccin lukujonon kolmea peräkkäistä jäsentä.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan! Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen

Lisätiedot

Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05

Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05 Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05 Matematiikka Huom! Mikäli tehtävällä ei vielä ole molempia teknisiä koodeja, tarkoittaa se sitä, että tehtävä ei ole vielä valmis jaettavaksi käyttöön, vaan

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8 Nimi 1 ALGEBRAN KERTAUS 1) Järjestä luvut pienimmästä suurimpaan., 8 3, 8, 8 4, 908, 7, 1, 99, 167, 1, 987, 1011. 4 ) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi

Lisätiedot

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat?

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Matti Lehtinen Desimaaliluvut ovat niin jokapäiväisiä ja niillä laskemiseen niin totuttu, ettei yleensä tule miettineeksi, mitä ne oikeastaan ovat. Joskus kauan

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Seguinin lauta A: 11-19

Seguinin lauta A: 11-19 Lukujen syventäminen Kun lapsi ryhtyy montessorileikkikoulussa syventämään tietouttaan lukualueesta 1-1000, uutena montessorimateriaalina tulevat värihelmet. Värihelmet johdattavat lasta mm. laskutoimituksiin,

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Ma4 Yhtälöt ja lukujonot

Ma4 Yhtälöt ja lukujonot Ma4 Yhtälöt ja lukujonot H4 Lukujonot 4.1 Kirjoita lukujonon seuraavat viisi termiä, kun ensimmäinen termi on 1 ja muut muodostuvat seuraavien sääntöjen mukaan. a) Lisää edelliseen termiin 3. b) Kerro

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA 1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Seuraavien tehtävien tekemiseen tarvitset tulitikkuja

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 3. luokan opintopolku (Laskutaito-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 3. luokan opintopolku (Laskutaito-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI TEHTÄVIEN KUVAUKSET 3. luokan opintopolku (Laskutaito-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI -TEKSTI- ESSI TAMMINEN -TAITTO- TOMMY JOHANSSON 2015 VILLE TEAM Esipuhe Tämä kirja on kokonaiskatsaus

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka) sivu / 2 IKET VSTUSVIHTEHDT N LLEVIIVTTU. 3 pistettä. Minkä laskun tulos on suurin? () 20 (B) 20 (C) 20 (D) + 20 (E) : 20 20 20, 20, 20 20 20 202 ( suurin ) ja : 20 0,0005 2. Hamsteri Fridolin suuntaa

Lisätiedot

MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005

MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005 MABK1 Kurssimateriaali Eiran aikuislukio 2005 Sisältö 1 Sanasto 1 2 Luvut ja laskutoimitukset 5 2.1 Lukujoukot................................ 5 2.2 Peruslaskutoimitukset.......................... 6 2.3

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

b) Kun vähenevä on 1000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava 180. Mikä on toinen?

b) Kun vähenevä on 1000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava 180. Mikä on toinen? LASKUTOIMITUKSET Nimi: ) Muista laskutoimituksissa käytettävät nimet. a) Mikä on lukujen 650 ja 70 summa erotus b) Kun vähenevä on 000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa 1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa (Lähde: Lamon, S. 1999. Teaching fractions and ratios for understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Publishers.) Murtolukujen alueelle siirryttäessä

Lisätiedot

EHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat

EHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat EHDOTUS Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOL ry 12.2.2015 Asemamiehenkatu 4 00520 HELSINKI Opetushallitus Hakaniemenranta 6 00530 Helsinki EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

LASKUTOIMITUKSET. Montako ötökkää on kussakin ruudussa? Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos:

LASKUTOIMITUKSET. Montako ötökkää on kussakin ruudussa? Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: LASKUTOIMITUKSET Montako ötökkää on kussakin ruudussa? Nimi: 1 Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Jos laskit ötökät yksitellen, harjoittele ja mieti, miten voit tehdä laskun

Lisätiedot

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Cadet, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos

Lisätiedot

Lukujono eteenpain 1-50 Puuttuvan luvun taydentaminen, 1-50 1. LukiMat/Arviointi/Laskemisen taidot

Lukujono eteenpain 1-50 Puuttuvan luvun taydentaminen, 1-50 1. LukiMat/Arviointi/Laskemisen taidot NEUREN TEHTAVAKUVAUKSET kaikki vuosiluokat Arviointi TAITO TEHTAVA TAVOITE LK. TEHTAVAN SIJAINTI LASKEMISEN TAIDOT Lukujonon luetteleminen Lukujonotaitojen arviointi1-50 Puuttuvan luvun taydentaminen on,

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI TEHTÄVIEN KUVAUKSET 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI -TEKSTI- ESSI TAMMINEN -TAITTO- TOMMY JOHANSSON 2015 VILLE TEAM Esipuhe Tämä kirja on kokonaiskatsaus

Lisätiedot

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015 Yleistä Excel on taulukkolaskentaohjelma. Tämä tarkoittaa sitä että sillä voi laskea laajoja, paljon laskentatehoa vaativia asioita, esimerkiksi fysiikan laboratoriotöiden koetuloksia. Excel-ohjelmalla

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia 3 Peruslaskutoimitukset luvuilla 3 Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5 Prosentti 7 Prosenteilla vertaaminen 9 Kuvaaminen koordinaatistossa 11 2 Lausekkeesta yhtälöksi

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 (lukion 1. vuosikurssi) RATKAISUT

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 (lukion 1. vuosikurssi) RATKAISUT Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 3 pistettä 1. Kenguru-kilpailu on joka vuosi maaliskuun kolmantena torstaina. Mikä on ensimmäinen mahdollinen päivä kilpailulle? (A) 14.3. (B) 15.3. (C) 20.3. (D) 21.3.

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,

Lisätiedot

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Algoritmit C++ Kauko Kolehmainen

Algoritmit C++ Kauko Kolehmainen Algoritmit C++ Kauko Kolehmainen Algoritmit - C++ Kirjoittanut Taitto Kansi Kustantaja Kauko Kolehmainen Kauko Kolehmainen Frank Chaumont Oy Edita Ab IT Press PL 760 00043 EDITA Sähköpostiosoite Internet

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Prosenttikäsite-pelin ohje

Prosenttikäsite-pelin ohje 1(5) Prosenttikäsite-pelin ohje Yksi neljäsosa kakkua Tässä pelissä opitaan yhdistämään * murtoluvun kuva ja sanallinen kuvaus sekä murtolukumerkintä * murto- ja desimaali- sekä %-luvun merkinnät. 0,25

Lisätiedot

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8) Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI TEHTÄVIEN KUVAUKSET 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI -TEKSTI- ESSI TAMMINEN -TAITTO- TOMMY JOHANSSON 2015 VILLE TEAM Esipuhe Tämä kirja on kokonaiskatsaus

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Luokka 0-1. Vertailua (Luokka 0-1) Lukukäsite ja luvut 0-10 (Luokka 0-1) Yhteen- ja vähennyslasku 0-5 (Luokka 0-1)

Luokka 0-1. Vertailua (Luokka 0-1) Lukukäsite ja luvut 0-10 (Luokka 0-1) Yhteen- ja vähennyslasku 0-5 (Luokka 0-1) Lasku-Lassin maatila - Harjoituslista Sivu 1 / 20 Luokka 0-1 Vertailua (Luokka 0-1) 1. Etsi erilainen Kuvavalinta 2. Mikä ei kuulu joukkoon? Kuvavalinta 3. Pitempi, lyhyempi Kuvavalinta 4. Mikä ei kuulu

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Gaussin jalanjäljissä

Gaussin jalanjäljissä Gaussin jalanjäljissä Gauss 1 on kaikkien aikojen suurimpia matemaatikoita. Kerrotaan, mutta tarinan todenperäisyys on epävarma, että Gauss sai yhdeksänvuotiaana opettajaltaan tehtäväksi laskea yhteen

Lisätiedot

1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin.

1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin. Peruskoulun matematiikkakilpailu 2015 2016 alkukilpailu 29.10.2015. Ratkaisut 1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia.

Lisätiedot

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 12 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2011 1 / 34 Luentopalaute kännykällä käynnissä! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

1. Johdanto... 4. 2. Pähkinälista... 5 2.1. Luokka 3... 5 2.2. Luokka 4... 5 2.3. Luokka 5... 5 2.4. Luokka 6... 6

1. Johdanto... 4. 2. Pähkinälista... 5 2.1. Luokka 3... 5 2.2. Luokka 4... 5 2.3. Luokka 5... 5 2.4. Luokka 6... 6 1. Johdanto... 4 2. Pähkinälista... 5 2.1. Luokka 3... 5 2.2. Luokka 4... 5 2.3. Luokka 5... 5 2.4. Luokka 6... 6 3. Pähkinöiden sisältö... 6 3.1. Kaikille luokille yhteisiä pähkinöitä... 6 3.1.1. Järjestä

Lisätiedot