Mekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot

Transkriptio

1 Mekaniikka, osa 2 Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat kirjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R. A. Freedman (Pearson, 2012) 8. helmikuuta 2016

2 Osa II Luku 11: Tasapaino ja elastisuus

3 Tasapaino ja elastisuus 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopiste 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen 11.1 Tasapainoehdot kappaleessa käsitellään ehtoja, joilla kappale tai rakenne on tasapainossa (equilibrium) Painopiste Mitä tarkoitetaan kappaleen painopisteellä ja miten se liittyy kappaleen vakauteen? 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen Miten käsitellään tilanteita, joissa kappale muuttaa muotoaan jännityksen, puristuksen, paineen tai leikkausvoiman vuoksi? Mitä tapahtuu kun kappaletta venytetään niin paljon, että sen muoto muuttuu tai se murtuu?

4 Tasapaino ja elastisuus 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopiste 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen Laajempien rakenteiden, kuten erilaisten rakennusten, siltojen, tikkaiden ja nostureiden pysyminen tasapainossa edellyttää voimien lisäksi vääntömomenttien vektorisummien nollautumista kaikissa osissa kappaletta. Painovoiman aiheuttamaa vääntömomenttia käsitellään kohdistamalla se kappaleen painopisteeseen. Todelliset kappaleet eivät ole jäykkiä vaan elastisia eli ne venyvät, taipuvat ja puristuvat voimien vaikutuksesta. Materiaalin sopiva elastisuus on erittäin tärkeää sen sovellukselle (esim. lentokoneen siipi). Elastisuuteen liittyvät suureet kuten rasitus, muodonmuutos ja kimmokerroin auttavat ennustamaan voimien aiheuttamia muutoksia oikeissa materiaaleissa. Ovatko roomalaisen akveduktin holvikaaren kivet puristuneita vai venytettyjä vai kumpaakin?

5 11.1 Tasapainoehdot 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopiste 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen Hiukkanen on tasapainossa (equilibrium) inertiaalikoordinaatistossa eli se ei ole kiihtyvässä liikkeessä, kun siihen kohdistuvien voimien vektorisumma on nolla. Laajalla tai ojentuneella (extended) kappaleella se tarkoittaa, että massakeskipisteellä ei ole kiihtyvyyttä, kun siihen kohdistuvien ulkoisten voimien vektorisumma on nolla. Tätä sanotaan ensimmäiseksi tasapainoehdoksi (vektori- ja komponenttimuodossa): F = 0 (11.1) Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0 Kappaleella ei myöskään saa olla taipumusta pyöriä. Aivan kuten ensimmäinen ehto perustuu Newton:in 1. lakiin, toinen ehto perustuu rotaatiodynamiikkaan Staattiset tasapainoehdot.

6 11.1 Tasapainoehdot 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopiste 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen Inertiaalikoordinaatistossa tietyn pisteen suhteen pyörimättömällä kappaleella ei ole impulssimomenttia tämän pisteen suhteen. Jotta se ei myöskään ala pyöriä, impulssimomentin muutosnopeus pitää myös olla nolla eli kaikkien kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten vääntömomenttien vektorisumman saman pisteen suhteen pitää olla nolla. Koska jäykkä kappale ei saa alkaa pyöriä minkään pisteen suhteen, kaikkien ulkoisten voimien vääntömomenttien vektorisumma minkä tahansa pisteen suhteen täytyy olla nolla eli toinen tasapainoehto on: τ = 0 (11.2) Paikoillaan oleva kappale, jolle edellä mainitut kaksi tasapainoehtoa pätee, on staattisessa tasapainossa (static equilibrium). Lisäksi nämä ehdot pätevät myös tasaisessa, ei pyörivässä, translaatioliikkeessä olevalle jäykälle kappaleelle (esim. lentokone, jolla on vakio vauhti, suunta ja lentokorkeus) Staattiset tasapainoehdot.

7 11.2 Painopiste Luku 11: Tasapaino ja elastisuus (Osa 1) 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopiste 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen Useimmissa tasapaino-ongelmissa yksi kappaleeseen vaikuttavista voimista on painovoima. Painon aiheuttama vääntömomentti voidaan aina laskea olettamalla, että koko gravitaatio kohdistuu kappaleen painopisteeseen (center of gravity, cg). Tarkalleen ottaen gravitaation aiheuttama kiihtyvyys ja siis painovoima pienenee korkeuden kasvaessa. Jos tätä ei huomioida painopiste on sama kuin massakeskipiste (center of mass, cm). Massakeskipisteen koordinaatit hiukkasjoukolle m 1,m 2,... x cm = m 1x 1 +m 2 x = m 1 +m i y cm = m iy i i m, z cm = i jotka voidaan kirjoittaa vektoriyhtälönä: r cm = m 1 r 1 +m 2 r m 1 +m i m iz i i m, i = i m ix i i m i i m i r i i m i (11.3) (11.4) 11.2 Laajan kappaleen massakeskipiste (center of mass, cm) ja painopiste (center of gravity, cg).

8 11.2 Painopiste Luku 11: Tasapaino ja elastisuus (Osa 1) Kun oletetaan, että g on sama kaikille mielivaltaisen muotoisen kappaleen (kuva 11.2) hiukkasille, koko kappaleen kokonaispaino on vektorisumma suuresta määrästä samansuuntaisia voimia w i = m i g. Paikassa r i suhteessa origoon olevaan hiukkaseen kohdistuu siis vääntömomentti: τ i = r i w i = r i m i g Ja kokonaisvääntömomentti saadaan summana kaikkien hiukkasten painovoiman vääntömomenteista: 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopiste 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen Eli painon kokonaisvääntömomentti saadaan kohdistamalla se massakeskipisteeseen: τ = r cm M g = r cm w (11.5) Jos g on sama kaikissa kappaleen pisteissä, kappaleen painopiste on sama kuin massakeskipiste. Tavallisesti tämä on hyvä ja siksi yleensä käytössä oleva oletus (kuva 11.3). τ = i τ i = r 1 m 1 g + r 2 m 2 g +... = (m 1 r 1 +m 1 r ) g r cm ( {}}{ M i = m i r i ) g = m { i r i }}{ i i m m i g i i 11.3 Petronas tornin (452 m) alaosassa g on 0.014% suurempi kuin huipulla, joten painopiste on 2 cm alempana kuin massakeskipiste.

9 Painopisteen löytäminen ja käyttö 11.2 Painopiste 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopiste 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen Painopisteen, kuten massakeskipisteenkin, löytämiseksi voidaan käyttää hyväksi kappaleen symmetriaa (esim. pallo, kuutio, sylinteri, jne.) Monimutkaisempien kappaleiden tapauksessa ne voidaan määrittää erillisten symmetristen osien (m 1,m 2,...) painopisteiden (x 1,y 1,z 1 ),(x 2,y 2,z 2 ),... kombinaationa. Kun kappale, johon graviteetti vaikuttaa, on tuettu tai riiputettu yhdestä pisteestä, massakeskipiste on aina suoraan tukipisteen ylä- tai alapuolella. Jos painopiste olisi muualla, painovoimalla olisi vääntömomentti tukipisteen suhteen ja kappale ei olisi pyörimisen suhteen tasapainossa. Tätä voidaan käyttää määrittämään epäsäännöllisen painopisteen paikka kokeellisesti (kuva 11.4) Epäsäännöllisen kappaleen painopisteen määrittäminen.

10 Painopisteen löytäminen ja käyttö 11.2 Painopiste 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopiste 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen Myös useammasta pisteestä tuetun kappaleen tasapaino edellyttää, että painopisteen täytyy olla tukipisteiden määräämään pinta-alan ylä- tai alapuolella (kuva 11.5). MItä matalammalla painopiste on ja mitä suurempi pinta-ala tukipisteiden alla on, sitä vaikeammin kappale on kääntää. Esimerkiksi kaksijalkaiset eläimet tarvitsevat suuremman jalkapinta-alan kuin nelijalkaiset mutta myös erityyppisiä tasapainoliikkeitä pystyssä pysyäkseen Auton tasapaino.

11 Painopisteen löytäminen ja käyttö 11.2 Painopiste 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopiste 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen Esimerkki 11.1: Lankulla kävely L = 6.0m pitkä ja M = 90kg massainen lankku lepää symmetrisesti kahden D = 1.5 m etäisyyydellä toisistaan olevan pukin päällä. Minkä massainen lapsi voi seisoa lankun oikeassa päässä? Lankun painopiste origossa x P = 0, lapsi positiivisella x-akselilla x T = L ja oikea 2 pukki kohdassa x s = D 2. Painopisteen paikka: x cg = M(0)+m(L/2) = m L M+m M+m 2 Jotta systeemi pysyy juuri ja juuri tasapainossa, painopiste täytyy olla oikean pukin päällä eli asetetaan x cg = x s = D 2 m M+m L 2 = D 2 ml = (M +m)d m = M D L D = (90kg) 1.5m ( )m = 30kg Tulos ei riipu origon valinnasta, minkä voi testata asettamalle origon esim. oikean pukin kohdalle. Koska tasapainossa vääntömomenttien pitää olla tukipisteen suhteen samat, aikuisen, jolla on kaksinkertainen massa (60kg), täytyy seisoa tuen ja lankun pään puolivälissä Ongelman piirros.

12 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopiste 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaiseminen Jäykän kappaleen tasapainolle on vain kaksi perusehtoa: kappaleeseen kohdistuvien voimien sekä niiden minkä tahansa pisteen suhteen laskettujen vääntömomenttien vektorisummien pitää olla nollia. Ratkaisu helpottuu tapauksissa, joissa voidaan käsitellä voimien kohdistumista yksittäiseen xy-tasossa olevaan kappaleeseen. Tällöin F z = 0 ehto voidaan unohtaa ja riittää tarkastella vain z-suuntaisia vääntömomentteja: Fx = 0, Fy = 0 τz = 0 (11.6) Vääntömomentti voidaan laskea minkä pisteen suhteen tahansa mutta kaikki vääntömomentit on laskettava saman pisteen suhteen. Referenssipiste eli rotaatioakselin paikka kannattaa kuitenkin valita niin, että ratkaisu on mahdollisimman yksinkertainen.

13 Varsin usein todellisille kappaleille jäykän kappaleen idealisoitu malli ei riitä vaan joudutaan huomioimaan voimien aiheuttamia kappaleen venymisiä, kasaan painumisia ja vääntymisiä. Erityyppisiin kappaleen muodonmuutoksiin eli deformaatioihin (deformation) liittyy jännitys eli rasitus (stress) suure, joka kuvaa muodonmuutoksen aiheuttavien voimien suuruutta. Rasituksen aiheuttamaa muodonmuutoksen suhteellista suuruutta kuvaavaa suuretta kutsutaan usein venymäksi (strain). Mitä enemmän kappaletta venytetään tai puristetaan, sitä enemmän se venyy tai kutistuu. Kun rasitus ja venymä ovat riittävän pieniä, ne ovat suoraan verrannollisia toisiinsa ja vastaavaa verrannollisuuskerrointa kutsutaan kimmokertoimeksi (elastic modulus), jonka määrittää Hooke:n laki: Jännitys = Kimmokerroin (11.7) Venymä Kolmen tyyppistä jännitystä: (a) sillan kaapelit kokevat venytysjännitystä (tensile stress), (b) sukeltajaan kohdistuu bulkki- eli tilavuusjännitys (bulk stress) ja (c) sakset kohdistavat nauhaan leikkausjännityksen (shear stress).

14 Venytysjännitys ja venymä Yksinkertaisimmillaan elastisuutta nähdään esim. langan venymisenä, kun sen päistä vedetään. Kuvan kappale (poikkipinta-ala on A ja pituus l 0 ) on venytyksessä (tension), kun sen päistä vedetään vastakkaisiin suuntiin samansuuruisella voimalla F (kohtisuorassa poikkipinta-alaan). Venytysjännitys (tensile stress) määritellään voiman ja poikkipinta-alan suhteena: Venymä (tensile strain) on kappaleen suhteellinen pituuden muutos eli se on aina puhdas, yksikötön, luku: Venymä = l l 0 l 0 = l l 0 (11.9) Venytysjännitys = F A (11.8) Jännityksen SI yksikkö on sama kuin paineella eli pascal (1Pa = 1N/m 2 ). Paine auton renkaassa on n. 300 kpa, kun taas teräskaapelin odotetaan kestävän n. 100 MPa venytysjännityksiä. Venytyksessä kuvan kappale venyy l = l 0 + l pituiseksi. Pituuden muutos l ei tapahdu vain kappaleen päissä vaan kappale venyy tasaisesti kaikkialta Venytetty kappale muuttaa muotoaan vaikka nettovoima on nolla.

15 Kokeellinen havainto on, että riittävän pienillä venytysjännityksillä venymä on suoraan verrannollinen jännitykseen. Sitä vastaavaa kimmokerrointa sanotaan Young:in moduuliksi (Young s modulus): Y = Venytysjännitys Venymä = F /A = F l 0 l/l 0 A l (11.10) Koska venymä on puhdas luku, Youngin moduulin yksikkö on sama kuin venytysjännityksellä (Pa = N/m 2 ). Sen tyypillisiä arvoja materiaaleille on Taulukossa Mitä suurempi Y, sitä suurempi voima tarvitaan saman venymän aikaan saamiseksi.

16 Jos vetämisen sijasta kappale on puristuksissa (compression) eli siihen kohdistuu puristusvoima (compressive stress), sen suhteellinen puristusmuodonmuutos eli puristuma (compressive strain) määritellään samoin kuin venymä mutta l on eri suuntaan (kuva 11.14). Pienille puristusvoimille Hooke:n laki on voimassa ja monilla materiaaleilla Youngin moduuli on sama puristukselle kuin venytykselle. Komposiitti- eli yhdistelmämateriaalit (composite materials), kuten betoni ja kivi ovat poikkeus, sillä ne kestävät puristusta paremmin kuin vastaavaa venytysvoimaa. Vanhojen sivilisaatioiden (Babylonia, Assyria, Rooma) rakennelmat tehtiin kivestä, joten ne piti suunnitella niin, ettei rakenteessa ollut venytysvoimia. Tämän vuoksi holvirakenteita käytettiin esim. silloissa ja ovenkarmeissa, sillä niissä yläpuolinen materiaali puristaa holvikaaren kivet yhteen eikä niihin kohdistu venytystä Kappale puristuksissa.

17 Usein kappaleihin kohdistuu sekä puristus- että venytysjännityksiä. Esimerkiksi päistään tuetun palkin yläosa kokee puristusjännityksiä, kun taas alaosa on venytyksessä johtuen palkin omasta painosta (kuva 11.15a). Koska palkin keskiosa ei tunne kumpaakaan, sillä voi olla pienempi poikkipinta-ala. Vääntymää aiheuttavan painovoiman minimoimiseksi kappale tehdään mahdollisimman kevyeksi samalla maksimoiden palkin ylä- ja alaosien poikkipinta-ala. Tuloksena saadaan I-palkki, jota käytetään useissa rakenteissa (kuva 11.15b) (a) Päistään tuettu palkki vääntyy. (b) I-palkin poikkileikkaus minimoi sekä painon että jännityksen.

18 Esimerkki 11.5: Vetojännitys ja muodonmuutos. Teräspalkin (taulukko 11.1: Y = Pa) pituus on l 0 = 2.0m ja poikkipinta-ala A = 0.30cm 2. Se roikkuu toisesta päästään ja sen toiseen päähän on ripustettu jyrsin m = 550kg. Lasketaan palkin jännitys ja siitä seuraava suhteellinen pituuden muutos eli venymä sekä pituuden absoluuttinen muutos eli pitenemä. Yhtälöstä (11.8): Venytysjännitys = F A = (550kg)(9.8m/s 2 ) m 2 = Pa Yhtälöstä (11.10): Venymä = l = Venytysjännitys = l 0 Y Pa Pa = Pituuden muutos: Pitenemä = Venymä l 0 = ( )(2.0m) = m = 1.8mm Eli yli puolen tonnin massa saa ohuen terästangon venymään vain pari milliä, mikä kertoo teräksen jäykkyydestä (stiffness).

19 Bulkki- eli tilavuusjännitys ja tilavuusmuutos Toisin kuin edellä venytyksessä tai puristuksessa, sukeltajaan kohdistuva jännitysvoima (kuva 11.12b) on tasainen joka puolelta ja sitä kutsutaan bulkki- tai tilavuusjännitykseksi (bulk or volume stress). Sen aiheuttama deformaatio on suhteellinen tilavuusmuutos (bulk or volume strain). Kaasu tai neste kohdistaa upotetun kappaleen pintaan kohtisuoran voiman ja paine (pressure) määritellään tämän voiman suuruutena pinta-alayksikköä kohti: p = F A (11.11) Vaikka paine (SI: [P] = 1Pa, myös 1 ilmakehä eli 1atm = Pa) kasvaa mentäessä syvemmälle nesteessä tai kaasussa, sen voidaan olettaa olevan sama pienehkön kappaleen kaikilla pinnoilla. Paine ei ole, kuten voima, vektorisuure eli se ei riipu kappaleen orientaatiosta Kappaleeseen kohdistuva bulkkijännitys ja siitä seuraava suhteellinen tilavuuden muutos.

20 Bulkki- eli tilavuusjännitys ja tilavuusmuutos Paineen muutos siis toimii tilavuuden muutoksia aiheuttavana bulkkijännityksenä. Sitä vastaava suhteellinen muodonmuutos on pienen tilavuuden muutoksen V ja alkuperäisen tilavuuden V 0 suhde: Suhteellinen tilavuusmuutos = V V 0 (11.12) eli laaduton suhdeluku kuten suhteellinen venytys ja puristuskin. Hooke:n lain ollessa voimassa paineen kasvaessa p 0 p 0 + p suhteellinen tilavuus muuttuu paineen muutokseen p verrannollisesti ja muutosta vastaava kimmokerroin on tilavuuskimmokerroin eli nesteen kimmomoduuli (bulk modulus) B = bulkkijännitys suhteellinen tilavuusmuutos = p V/V 0 (11.13) Kappaleeseen kohdistuva bulkkijännitys ja siitä seuraava suhteellinen tilavuuden muutos.

21 Bulkki- eli tilavuusjännitys ja tilavuusmuutos Miinusmerkki yhtälössä (11.13) tarkoittaa, että tilavuus pienenee kun paine kasvaa ja päinvastoin. B on positiivinen ja kiinteille aineille ja nesteille käytännössä vakio, kun painemuutokset ovat pieniä (kts. taulukko 11.1). Kaasuilla B sen sijaan riippuu lähtöpaineesta p 0. Kimmomoduulin käänteisluku on kokoonpuristuvuus (compressibility): k = 1 B = V/V 0 p = 1 V 0 V p (11.14) eli pieni (fractional) suhteellinen tilavuusmuutos paineen yksikkomuutosta p kohti ja yksikkö on Pa 1 (tai atm 1 ) Taulukossa 11.2 on useiden nesteiden kokoonpuristuvuuksia k. Materiaaleja, joilla on pieni kimmomoduuli tai siten suuri kokoonpuristuvuus, on helpompi puristaa kokoon tai tiivistää. Taulukko 11.2 Nesteiden kokoonpuristuvuuksia.

22 Bulkki- eli tilavuusjännitys ja muodonmuutos Esimerkki 11.6: Bulkki- eli tilavuusjännitys ja tilavuusmuutos. Hydrauliprässi sisältää 0.25m 3 (250L) öljyä. Lasketaan öljytilavuuden pieneneminen, kun paine kasvaa p = Pa( 160atm). Öljyn kimmokerroin on B = Pa( atm). Kokoonpuristuvuus on siis: k = 1 B = Pa atm 1 Ratkaistaan absoluuttinen tilavuusmuutos yhtälöstä (11.13): V = v 0 p B m 3 = 0.80L = (0.25m3 )( Pa) Pa = Voidaan käyttää myös yhtälöä (11.14) ja vaihtoehtoisesti eri paineyksiköitä: V = kv 0 p = ( atm 1 )(0.25m 3 )(160atm) = m 3 Negatiivinen V:n arvo tarkoittaa, että tilavuus pienenee kun paine kasvaa. Vaikka 160 ilmakehän paine on suuri, suhteellinen tilavuuden muutos on hyvin pieni: V = m 3 V m 3 = = 0.32%

23 Leikkausjännitys ja muodonmuutos Kolmas jännityksen muoto on leikkausjännitys (shear stress) kuten nauhan leikkauksessa saksilla (kuva 11.12c): toinen osa nauhasta pakotetaan alas toinen ylös, mikä aiheuttaa nauhan muodonmuutoksen. Kuva esittää kappaleen muodonmuutosta, kun siihen kohdistuu leikkausjännitys. Siinä samansuuruiset mutta erisuuntaiset voimat kohdistuvat pinnan tangentin suuntaisesti, kappaleen vastakkaisissa päissä. Leikkausjännitys määritellään pinnan suhteen tangentiaalisen voiman F ja kyseisen pinta-alan A suhteena: Tällöin kappaleen vastakkaiset sivut liikkuvat toistensa suhteen matkan x voiman suuntaan. (Kimmoinen) leikkausmuodonmuutos (shear strain) määritellään poikkeaman x ja kappaleen poikittaisen dimension (paksuuden) suhteena: Leikkausmuodonmuutos = x h (11.16) Leikkausjännitys = F A (11.15) Kappaleeseen kohdistuva leikkausjännitys.

24 Leikkausjännitys ja muodonmuutos Leikkausmuodonmuutos on suhteellinen eli laaduton suure ja todellisuudessa x on aina paljon pienempi kuin h. Jos voimat ovat tarpeeksi pieniä, Hooke:n laki on voimassa ja leikkausmuodonmuutos on suoraan verrannollinen leikkausjännitykseen. Tällöin (kimmoinen) leikkausmoduuli (shear modulus) määritellään: Leikkausjännitys S = Leikkausmuodonmuutos = F /A x/h = F h A x (11.17) Taulukko 11.1 sisältää useita leikkausmoduuleita. Yleensä tietylle materiaalille leikkausmoduuli S on alle puolet venytysjännityksen Young:in moduulista Y. Leikkaussuureet ovat olemassa vain kiinteille aineille, joilla on jokin tietty muoto. Niitä ei siis ole olemassa nesteille ja kaasuille Kappaleeseen kohdistuva leikkausjännitys.

25 Leikkausjännitys ja muodonmuutos Esimerkki 11.7: Leikkausjännitys ja muodonmuutos. Patsaan messinkinen (Taulukko 11.1: S = Pa) neliömäinen aluslevy (sivunpituus 0.80 m ja paksuus 0.50 cm) kokee leikkausvoimia maanjäristyksessä. Mikä on levyn leikkausmuodonmuutos ja siihen kohdistuva leikkausjännitys ja -voima, jos levyn reuna liikkuu pituussuunnassaan x = 0.16mm? Pinta-ala, johon tangentiaalinen leikkausvoima kohdistuu on nyt sivun pituus kertaa paksuus eli A = (0.80m m) = 0.004m 2. Kappaleen poikittainen dimensio on nyt h = 0.80m. Yhtälöstä (11.16) saadaan suhteellinen leikkausmuodonmuutos = x h = m 0.80m = Yhtälöstä (11.17) saadaan leikkausjännitys = leikkausmuodonmuutos S = ( )( Pa) = Pa Yhtälöstä (11.17): F = SAx h = ( Pa)(0.004m 2 )( m) 0.80 m = N Maanjäristyksen leikkausvoima vastaa kolmen tonnin massan painoa. Messingin leikkausmoduuli on suuri, mikä tekee sen muokkaamisesta vaikeaa. Lisäksi levy on suhteellisen paksu (0.50 cm), joten levyn leikkausala A on melko suuri ja tarvitaan merkittävä voima F aiheuttamaan riittävä leikkausjännitys F /A.

26 Hooke:n laki, eli jannityksen ja venymän suora verrannollisuus elastisissa muodonmuutoksissa, on voimassa vain pienillä voimilla. Tarkempi määritelmä on esitetty kuvassa 11.18, jossa on tyypillinen metallin (esim. kupari) jännitys-venymä käyrä. Hooke:n laki on voimassa ensimmäisellä lineaarisella osalla, missä suhteellinen venymä < 1% ja kulmakerroin on Young:in moduuli. Se loppuu pisteessä a, jossa jännitys on verrannollisuusrajalla (proportional limit). Pisteestä a pisteeseen b Hooke:n laki ei ole enää voimassa mutta voimat ovat konservatiivisia eli energia, jonka materiaalin venytykseen on käytetty palautuu täysin ja muodonmuutos on reversiibeli eli muoto palautuu takaisin, jos jännitys poistetaan. Materiaalin sanotaan käyttäytyvän elastisesti ennen pistettä b, jota sanotaan myöntymisrajaksi (yield point) ja piste on jännityksen elastinen raja (elastic limit) Tyypillinen jännitys-venymä diagrammi joustavalle metallille jännityksessä.

27 Materiaali jatkaa venymistään pisteen b jälkeen mutta ei palaudu alkuperäiseen pituuteensa vaan on alkuperäistä pidempi (punainen viiva kuvassa 11.18). Materiaali on käynyt läpi irreversiibelin eli pysyvän muodonmuutoksen (permanent set). Materiaalin venymä kasvaa b pisteen jälkeen varsin paljon pienellä jännityksellä kunnes se saavuttaa pisteen d, jossa alkaa materiaalin murtuminen (fracture). Välillä b d materiaali muuttuu plastisesti (plastic flow or plastic deformation), joka on siis irreversiibeli muutos. Joustavilla (ductile) materiaaleilla (esim. meltorauta, soft iron) plastista muutosta voi tapahtua paljon mutta haurailla (brittle) materiaaleilla (esim. teräskieli) murtuminen tapahtuu pian elastisen rajan jälkeen Tyypillinen jännitys-venymä diagrammi joustavalle metallille jännityksessä.

28 Vaikka vulkanisoidun kumin venymä ei ole verrannollinen jännitykseen, 7-kertaiseksi venytetyllä kumilla (kuva 11.19) tapahtuu elastinen palautuminen lähtöpituuteen. Kumi ei kuitenkaan palaudu samaa tietä alkutilanteeseen, vaan tapahtuu elastinen hysterisis (elastic hysteresis). Materiaalin tekemä työ on palautuessa pienempi kuin työ joka sen venyttämiseen tarvittiin, joten nergiaa kuluu materiaalin sisäiseen kitkaan liittyviin ei-konservatiivisiin voimiin. Suuren elastisen hysteresiksen vuoksi kumi on hyvä absorboimaan värähtelyjä. Varsinaisen murtuman synnyttämiseen tarvittavaa jännitystä sanotaan murtojännitykseksi (breaking stress), murtolujuudeksi (ultimate strenght) tai vetolujuudeksi (tensile strenght). Kahdella materiaalilla, jolla on samankaltaiset elastiset vakiot voi olla hyvin erilainen murtolujuus (taulukko 11.3) Kumin jännitys-venymä diagrammi. Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat Mekaniikka, kirjaan: osa 2 UniversityTaulukko physics, th Interna

29 11. luvun yhteenveto Tasapainoehdot: a F x = 0 a F y = 0 a F z = 0 (11.1) a TS 0 about any point (11.2) S r cm m 1r S 1 m 2r S 2 m 3r S 3 Á m 1 + m 2 + m 3 + Á w y w T y T T x T E x E y E (11.4) Jännitys, muodonmuutos ja Hooke:n laki: Stress = Elastic modulus Strain x (11.7) Veto- ja puristusjännitys: Tensile stress l 0 Y = Tensile strain = F >A = F l>l 0 A l (11.10) Bulkki- eli tilavuusjännitys: p = F A Bulk stress B = Bulk strain =- p V>V 0 Leikkausjännitys: (11.11) (11.13) Shear stress S = Shear strain = F Œ>A x>h = F Œ h A x (11.17) F ' l 0 Pressure5p 0 Pressure5p 5 p 0 1Dp h F x A l F ' F ' A Dl A F ' F ' Initial state A Volume V 0 Volume V Initial state F ' F ' F ' F Hooke:n lain rajat: Verrannollisuusraja (proportional limit) on suurin jännitys, jolla jännitys ja muodonmuutos vielä vastaavat toisiaan. Sen jälkeen Hooke:n laki ei ole enää voimassa. Elastisuusrajaa (elastic limit) eli kimmorajaa suuremmilla jännityksillä materiaalissa tapahtuu palautumattomia muodonmuutoksia (irreversible deformations). Murtojännitys (breaking stress) tai murtolujuus (ultimate strenght) on jännitys, jossa materiaali hajoaa.