Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa
Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa / jatkuvasti Diskonttaus ja nykyarvo 2
Prosenttilaskennan kertausta Yksi prosentti (1%) luvusta a: 1 a p% luvusta a: p a Prosenttilaskennassa tarkastellaan suhteellisia osuuksia / muutoksia Esim. Henkilön X bruttotulo on 55 000 /v. ja nettotulo 35 750 /v. Absoluuttinen ennakonpidätys = 55 000 35 750 = 19 250. Suhteellinen ennakonpidätys = 55 000 35 750 55 000 = 0.35 = 35%. 3
Montako prosenttia luku a on luvusta b? Esim. Tuotteen tukkuhinta on 120 ja vähittäishinta 180. Kuinka monta prosenttia vähittäishinta on tukkuhinnasta? Mitä verrataan Mihin verrataan (=%) 180 150 = 1.5 = 120 = = 150% Vähittäishinta on 1.5-kertainen 180 120 % 150% Esim. Kuinka monta prosenttia henkilön vuosituloista menee veroihin, kun tulo on 142 000 ja vero 47 000? 47k 33.1% Mitä verrataan Mihin verrataan (=%) 47 000 = 0.331 = 33.1% 142 000 Vero on 0.331- kertainen 142k % 4
Prosentuaalinen muutos Jos luku a (esim. rahamäärä) kasvaa p%, se muuttuu (1 + p )-kertaiseksi Jos luku a (esim. auton arvo) pienenee p%, se muuttuu (1 p )-kertaiseksi 5
Prosentuaalinen muutos Esim. Rahastoon sijoitetaan 20 000 ja vuosikorko on 5%. Paljonko rahaa on vuoden kuluttua? Pääoma kasvaa 5% eli 1.05-kertaistuu 1.05 20 000 = 21 000 105% % 20k 21k Esim. Auton arvo on 60 000 ja arvellaan, että se vähenee vuosittain 20%. Mikä on arvo vuoden kuluttua? Arvo vähenee 20% eli jäljelle jää 80% Arvo 0.8-kertaistuu 0.8 60 000 = 48 000 20% % 60k 80% 48k 6
Prosentuaalisen kasvun suuruus Esim. Eräänä vuonna henkilön vuositulo oli 80 000 ja seuraavana vuonna 95 000. Montako prosenttia tulo oli jälkimmäisenä vuonna suurempi kuin edellisenä vuonna? Jälkimmäisenä vuonna tulo on 95000 80000 = 1.1875-kertainen eli 118.75% alkuperäisestä Tulo kasvoi (118.75-)%=18.75% 15k 18.75% 95k 118.75% 80k % Vastaavasti: Absoluuttinen kasvu: 95 000-80 000 = 15 000. Suhteellinen kasvu alkuperäiseen verrattuna: 15000 80000 =18.75% 7
Prosentuaalisen vähenemän suuruus Esim. Vuonna 2005 kunnassa oli 32 000 asukasta ja vuonna 2015 27 000 asukasta. Montako prosenttia vähemmän asukkaita oli v. 2015 kuin v. 2005? Vuonna 2015 asukasmäärä oli 27000 32000 = 0.84375- kertainen eli 84.375% alkuperäisestä Asukasmäärä väheni (- 84.375)%=15.625% 5 kas. 15.625% 32 kas. % 27 kas. 84.375% Vastaavasti: Absoluuttinen vähenemä: 32 000 as. - 27 000 as. = 5 000 as. Suhteellinen vähenemä alkuperäiseen verrattuna: 5000 32000 =15.625% 8
Prosentti vs. prosenttiyksikkö Esim. Kristillisdemokraattien kannatus oli vuoden 2011 eduskuntavaaleissa 4.03 % ja vuoden 2015 eduskuntavaaleissa 3.54 %. Kannatus laski 4.03 % 3.54 % = 0.49 %-yksikköä Kannatus laski 4.03 %3.54 % 4.03 % = 12.2 % Esim. Alkoholilain uudistuksessa ruokakaupassa myytävien alkoholijuomien tilavuusprosentin yläraja nousee 4.7 %:sta 5.5 %:iin. Yläraja nousee 5.5 % 4.7 % = 0.8 %-yksikköä Yläraja nousee 5.5 %4.7 % 4.7 % = 17.0 % 9
Presemo-kysymys http://presemo.aalto.fi/talousmatematiikka2018/ Terttu sai 20 % palkankorotuksen, minkä jälkeen hänen palkkansa oli 4800 kuussa. Mikä oli Tertun palkka ennen korotusta? 1. 3840 2. 4000 3. 4600 10
Presemo-kysymys Tuotteen hintaa alennettiin ensin 15 % ja sitten vielä 30 %. Kuinka suuri alennus lopulta oli tuotteen alkuperäiseen hintaan verrattuna? 1. 40.5 % 2. 45 % 3. 59.5 % 3.1.2018 11
Prosenteista korkoihin Prosenttien laskeminen liittyy suhteellisiin muutoksiin Esim. Rahastossa oli vuoden alussa 10 000. Paljonko rahaa oli seuraavan vuoden alussa, kun vuosituotto oli 5 %? Koron kertyminen vastaa peräkkäisiä suhteellisia muutoksia Esim. Paljonko rahastossa oli viiden vuoden kuluttua, kun tuotto oli joka vuosi sama 5 %? 12
Auton arvo Rahaston arvo Peräkkäiset suhteelliset muutokset Rahastoon sijoitetaan 5 % vuosikorolla 20 000 siten, että korko liitetään pääomaan aina vuoden lopussa. Paljonko rahaa on 1,2,3,,n vuoden kuluttua? Rahaa n vuoden jälkeen: 20000 1.05 1.05 1.05 = 20000 1.05 n Esim. kolmen vuoden jälkeen: 20000 1.05 3 = 20000 1.157625 = 23152.50. Alussa 60 000 arvoisen auton arvo vähenee 20% vuosittain. Paljonko arvosta on jäljellä 1,2,,n vuoden kuluttua? n kpl n kpl Arvo n vuoden jälkeen: 60000 0.8 0.8 0.8 = 60000 0.8 n Esim. kolmen vuoden jälkeen: 60000 0.8 3 = 60000 0.512 = 30720. 35000 33000 30 29000 27000 25000 23000 20 19000 17000 15000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 00 0 0 2 4 6 8 10 Vuosi 0 5 10 Vuosi 13
Korkolaskujen peruskäsitteitä Käsitteitä Alkupääoma / pääoman nykyarvo: K 0 Korkokanta: p% (yl. vuodessa) Pääoma t vuoden kuluttua: K t = K 0 1 + p Pääoman suhteellinen muutos eli korkotekijä: r = K t K 0 t. Korko: ΔK = K t K 0 Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla 20 000. Kuinka suureksi pääoma on kasvanut a) vuoden, b) kolmen vuoden kuluttua? a) K 1 = 20000 1 + 5 = 20 r = 1.05 ja ΔK = 0, b) K 3 = 20000 1.05 3 = 23152.5 r = 1.1576 ja ΔK = 3152.5. 14
Vuosikoron kertymä ei-täysinä vuosina Pääoma mielivaltaisella ajanhetkellä t (vuotta) lasketaan kaavalla K t = K 0 1 + p Täydet vuodet t 1 + (t t )p, Ylijäämä täysistä vuosista missä t tarkoittaa täysiä vuosia hetkeen t asti. Esim. Rahastoon sijoitetaan 5 % vuosikorolla 20 000. Paljonko rahaa on a) 4 kk:n, b) 5.5 vuoden kuluttua? a) t = 4 12 t = 0 K 4/12 = 20000 1 + b) t = 5.5 t = 5 K 5.5 = 20000 1 + 5 4 12 5 = 20333.33 5 1 + 0.5 5 = 26163.77. 15
Presemo-kysymys Kaapo sijoittaa säästötililleen 5000 2% vuosikorolla. Kuinka paljon rahaa tilillä on 4.5 vuoden kuluttua? 1. 5 2. 5326 3. 5466 16
Koron lisääminen m kertaa vuodessa Usein korkokanta p ilmoitetaan (nimellisenä) vuosikorkona, mutta korkoa lisätään pääomaan esim. kuukausittain Jos korko p/m lisätään pääomaan m kertaa vuodessa, on pääoma 1 vuoden kuluttua: K 1 = K 0 1 + p/m Ajanhetkellä t (vuotta): K t = K 0 1 + p/m m r = tm r = 1 + p/m m 1 + p/m tm Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla 20 000 siten, että korko liitetään pääomaan kuukausittain. Paljonko rahaa on a) 4 kk:n, b) vuoden, c) 5.5 vuoden kuluttua? a) m = 12, t = 4 12 tm = 4 K 4/12 = 20000 1 + 5/12 b) m = 12, t = 1 tm = 12 K 1 = 20000 1 + 5/12 c) m = 12, t = 5.5 tm = 66 K 5.5 = 20000 1 + 5/12 4 = 20335.42 12 = 21023.24, 66 = 26315.57. 17
r Koron lisääminen jatkuvasti Tarkastellaan tilannetta, jossa nimellinen vuosikorko on % (eli p=) ja korkoa lisätään m kertaa vuodessa Vuoden kuluttua maksettavan lainan korkokerroin on r = Kuinka suuri korkokerroin on, jos korkoa lisätään pääomaan a) 2 kertaa vuodessa, b) 10 kertaa vuodessa, c) kertaa vuodessa? 2.8 2.7 2.6 2.5 e 1 + p/m m = 1 + 1 m m Mitä lukua korkokerroin lähestyy? r = lim m 1 + 1 m m = e 2.718282 2.4 2.3 2.2 2.1 2 1.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 m 18
Koron lisääminen jatkuvasti Yleisesti: Kun vuosikorko on p ja korkoa lisätään jatkuvasti, korkotekijä t vuoden kuluttua maksettavalle pääomalle K t on r = lim m 1 + p/m mt = e pt K t = K 0 r = K 0 e pt Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla 20 000 siten, että korko liitetään pääomaan jatkuvasti. Paljonko rahaa on a) 4 kk:n, b) vuoden, c) 5.5 vuoden kuluttua? a) t = 4 12 r = e 5 4 12 1.0168 K4/12 = 20000 e 5 4 12 = 20336.13, b) t = 1 r = e 5 1.0513 K1 = 20000 e 5 = 21025.42, c) t = 5.5 r = e 5 5.5 1.3165 K 5.5 = 20000 e 5 5.5 = 26330.61. 19
Nimellinen vs. efektiivinen korko 5% nimellistä vuosikorkoa käyttäen 20 000 :n pääoma kasvoi vuodessa 21023.24 20000 21025.42 20000 1 = 5.12%, kun korkoa lisättiin kuukausittain 1 = 5.13%, kun korkoa lisättiin jatkuvasti Todellista pääoman kasvua kutsutaan efektiiviseksi koroksi Esim. Mikä nimellisen vuosikoron pitäisi olla, jotta efektiivinen vuosikorko olisi 5%, kun korkoa lisätään pääomaan kuukausittain? K 1 = K 0 1 + p/12 12 = 1.05K 0 1 + p/12 12 = 1.05 0.0514 0.0512 0.051 0.0508 0.0506 0.0504 0.0502 0.05 0.0498 0.225 0.22 0.215 0.21 0.205 0.2 p=5 1 6 11 16 m p=20 p = 12 12 1.05 1 4.889 0.195 1 6 11 16 m 20
Presemo-kysymys Kaarina ottaa kolmen vuoden laina-ajalla 10 000 :n jatkuvakorkoisen lainan, jonka nimellinen vuosikorko on 6 %. Mikä on lainan efektiivinen vuosikorko? 1. 6.18 % 2. 6.38 % 3. 6.57 % Mikä on lainapääoman suuruus laina-ajan päätyttyä? 1. 10 618 2. 11 910 3. 11 972 3.1.2018 21
Diskonttaus Edellä on tarkasteltu prolongointia eli pääoman arvon kasvua koron johdosta nykyhetkestä tulevaisuuteen. Diskonttaus on käänteinen toimenpide prolongoinnille: mikä on pääoman arvon alenema tulevaisuudesta nykyhetkeen? K 0 = dk t = 1 r K t Diskonttaus Pääoman nykyarvo K 0 K t Pääoman tuleva arvo Prolongointi r = korkotekijä d = diskonttotekijä K t = rk 0 = 1 d K 0 22
Prolongointi vs. diskonttaus Prolongointi Pääoman tuleva arvo, kun nykyarvo tunnetaan: Diskonttaus Pääoman nykyarvo, kun tuleva arvo tunnetaan: K t = K 0 1 + p K t = K 0 1 + p/m K t = K 0 e pt t tm 1 + t t p K 0 = K 0 = 1+ p K t 1+ p/m K 0 = K t e pt K t t 1+ tm t t p Pääoman suhteellinen muutos nykyarvosta tulevaan arvoon eli korkotekijä: r = K t K 0 Pääoman absoluuttinen muutos nykyarvosta tulevaan arvoon eli korko: K t K 0 Pääoman suhteellinen muutos tulevasta arvosta nykyarvoon eli diskonttotekijä: d = K 0 = 1 K t r Pääoman absoluuttinen muutos tulevasta arvosta nykyarvoon eli diskontto: K 0 K t 23
Diskonttaus, kun korkoa lisätään pääomaan kerran vuodessa Pääoman nykyarvo saadaan kaavalla K 0 = Täydet vuodet 1 + p t K t 1 + t t p Ylijäämä täysistä vuosista Esim. On sovittu, että 5000 korvaus maksetaan vuoden kuluttua. Kuinka suuri on kohtuullinen maksun arvon alennus (diskontto), jos korvaus maksetaankin a) heti, b) 4kk sovittua aikaisemmin, kun korkokanta on 6% vuodessa? a) t = 1: K 0 = 5000 1+ 6 b) t = 4 12 : K 0 = 5000 4 1+ 12 6 1 = 5000 1.06 = 4716.98. Diskontto on 5000 K 0 = 283.02. = 5000 1.02 = 4901.96. Diskontto on 5000 K 0 = 98.04. 24
Diskonttaus, kun korkoa lisätään pääomaan m kertaa vuodessa Pääoman nykyarvo saadaan kaavalla K 0 = K t 1 + p/m tm Esim. Henkilö ostaa joukkovelkakirjan, joka takaa hänelle 20 000 laina-ajan umpeutuessa. Nimellinen vuosikorko on 5%, ja korkoa lisätään lainapääomaan kuukausittain. Mikä on joukkovelkakirjan hinta (ts. nykyarvo), kun laina-aika on a) yksi vuosi, b) 4 kk? a) t = 1: K 0 = 20000 1+ 5/12 b) t = 4 12 : K 0 = 20000 1+ 5/12 1 12 = 20000 1.051162 = 19026.56. 20000 4 = 12 12 1.016771 = 19670.11. 25
Diskonttaus, kun korkoa lisätään pääomaan jatkuvasti Pääoman nykyarvo saadaan kaavalla K 0 = K t e pt Esim. Henkilö ostaa joukkovelkakirjan, joka takaa hänelle 20 000 laina-ajan umpeutuessa. Nimellinen vuosikorko on 5%, ja korkoa lisätään lainapääomaan jatkuvasti. Mikä on joukkovelkakirjan hinta (ts. nykyarvo), kun laina-aika on a) yksi vuosi, b) 4 kk? a) t = 1: K 0 = 20000 e 5 1 = 20000 0.951229 = 19024.59. b) t = 4 12 : K 0 = 20000 e 5 4/12 = 20000 0.983471 = 19669.43. 26
Presemo-kysymys Vuoden 2017 jouluvararikosta viisastuneena Pekka päättää lainata Kallelle rahaa 3.1.2018 yhdeksitoista kuukaudeksi siten, että Kalle maksaa Pekalle 500 3.12.2018. Lainan nimellinen vuosikorko on 4 % ja korkoa kerrytetään kuukausittain. Mikä on Kallen saaman lainan suuruus? 1. 482.00 2. 482.03 3. 482.32 3.1.2018 27
Yhteenveto korkolaskennasta Pääoman nykyarvon ollessa K 0 ja korkokannan p, pääoman arvo hetkellä t saadaan prolongoimalla K t = rk 0, missä korkotekijä r = 1 + p t 1 + (t t )p, jos korko lisätään pääomaan vuosittain r = 1 + p/m tm, jos korkoa lisätään pääomaan m kertaa vuodessa r = e pt, jos korkoa lisätään pääomaan jatkuvasti. Pääoman tulevan arvon ollessa K t, pääoman nykyarvo saadaan diskonttaamalla K 0 = dk t, missä diskonttotekijä d = 1/r. 28